二次根式的概念及运算

二次根式的概念及运算二次根式形如()0

a a ≥的式子．

二次根式有意义被开方数大于等于零（即若a有意义，则0

a≥）【例1】1当x取何值时，下列式子有意义？

⑴2x-⑵

1

2x

-

⑶

2

3

x

x

-

-

⑷213

x x

++-

⑸

1

1x

-

⑹x

模块一二次根式的概念知识导航

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夯实基础

2 若x ，y 为实数，且14411y x x =-+-+．求xy 的值．

3 设3

1221

x x

y x -+-=+，求使y 有意义的x 的取值范围.

①0(0)a a ≥≥ ②2

()(0)a a a =≥

③（必考）2a a a a ⎧==⎨-⎩()

(

)00a a <≥

【例2】 化简下列各式

⑴ (

)

2

25

- ⑵ ()

2

3a -

能力提升

夯实基础

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题型二 二次根式的性质

【例3】 ⑴已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示：

化简：()

2

2a a c c b b -++---的结果为________

⑵已知01a <<，化简2

2

1144a a a a ⎛⎫⎛

⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⑶化简(

)

2

2

412912x x x

-+-

-得( )

A. 2

B.44x --

C.2-

D.44x -

⑷若()2

2340a b c -+-+-=，则a b c -+= ．

⑸已知实数x 、y 满足480x y -+-=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）

A ． 20或16

B ． 20

C ． 16

D ． 以上答案均不对

⑹若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=，

求1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b +++++++++的值.

乘法 与积的算术平方根可互相转化：(0,0)a b ab a b ⋅=≥≥ 除法 与商的算术平方根可互相转化：

(0,0)a a a b b b

=>≥

最简二次根式

①被开方数不含分母

②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

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模块三 二次根式的运算

c a

同类二次根式 被开方数相同的两个最简二次根式． 加减法 先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式 混合运算 有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用 乘法公式的推广

①123123

12(0,0,

,0)n n n a a a a a a a a a a a ⋅⋅=⋅⋅≥≥≥

②

(

)

2

2a b

a b ab ±=+± ③

(

)(

)

a b

a b a b +-=-

【引例】计算：

⑴23⨯ ⑵1

273

⨯ ⑶147× ⑷

21

3

⑸31218÷

⑹3

5

【例4】 计算下列各式

1 ⑴ 35210× ⑵ 3

212524

÷× ⑶ 132453

2523

÷⨯

夯实基础

能力提升

2

()

00 a b

>>

，

⑶

是同类二次根式，则______

x y

-=

【例6】计算下列各式

⑵22

-

【例7】⑴把下列各式中根号外的因式移入根号内

--；-

⑵把下列各式中根号外的因式移入根号内：

①②(1

a-

【例8】 ⑴若v u ,满足223

43432

u v v u v u v u v --=++++，那么22u u v v -⋅+=

⑵已知141025x =-+，241025x =++，求12x x +的值．

探索创新

训练1. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+⋅--，则

m = ．

训练2. 已知a b ，为实数，且()1110a b b +---=，求20132013a b -的值．

训练3. 计算

⑴1148275278--+ ⑵11

(30.54 1.5)(0.244)22

+--

训练4. ⑴ ()

3322a a a -⋅

⑵ (

)

333a b ab ab ab -+÷，其中0a >，0b >．

思维拓展训练(选讲)

题型一 二次根式的概念 巩固练习

【练习1】 当x _______时，241x +有意义，当x ____时，241x +有最____值为______．

题型二 二次根式的性质 巩固练习

【练习2】 已知a 、b 两实数在数轴上对应位置如图所示，化简()

()

()

2

2

2

12a b a b --

++

+

题型三 二次根式的运算 巩固练习

【练习3】 计算：⑴8045- ⑵ (

)(

)

122035++

-

【练习4】 如果最简根式4411a b a b ++与2641a b a b +++是同类二次根式，求100()a b +的值．

【练习5】 计算⑴ 2196234x x x x +- ⑵3312

2b a a b a b ab a b a b

-+-()00a b >>，

实战演练

b a

-2-1

2

1