2013全国高中数学联赛河北省预赛(含答案)

2013年河北省高中数学竞赛试题

一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分．将每小题的答案填在题后的横线上． 1.已知集合1

{1,10,

}10

A =，{lg ,}

B y y x x A ==∈，则A B = ． 2.已知复数z 满足2z z i +=+，那么z = ．

3.某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖），且相应奖项获奖的概率是以a 为首项、2为公比的等比数列，相应的奖金依次是以700元为首项、140-元为公差的等差数列，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元．

4.2

2

cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ．

5.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2

f =，且对任意的x R ∈，都有1

()2

f x '<，则不等式22lo

g 3

(log )2

x f x +>

的解集为 ． 6.圆O 的方程为22

1x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且

1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．

7.12100l l l 、、、为100条共面且不同的直线，若其中编号为*4()k k N ∈的直线互相平行，编号为41k -的直线都过定点A ．则这100条直线的交点个数最多为 ．

8.过正四面体1234A A A A 的四个顶点分别作四个相互平行的平面1234αααα、、、，若每相邻两个平面间的距离都为1，则该四面体的体积为 ．

二、解答题：共6道小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9.（本题满分14分）设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2cos 2a C b c =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，求b c +的取值范围．

10. （本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，AB a =，2AC =，11AA =．点D 在棱11B C 上，且11:1:3B D DC =.

（Ⅰ）证明：1BD AC ⊥； （Ⅱ）当α为何值时，二面角11B A D B --的大小为60？

1

A D 1

B 1

C B

C

A

11. （本题满分14分）已知数列{}n a 满足：12a =，23a =，1123(2)n n n a a a n +-=-≥， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求使不等式

12

3

n n a m a m +-<-成立的所有正整数m n 、的值．

12. （本题满分14分）在椭圆中定义：过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径．如

图，已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F 、2

F ，其离心率为12，通径长为3. （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于

A B 、两点，12I I 、分别为1212F BF F AF ∆∆、

． （ⅰ）求四边形1221F I F I 与2AF B ∆的面积的比值p ； （ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CM CB ⋅为常数？ 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．

13. （本题满分15分）已知函数21()()()2

x

f x a e

x a R =-+∈．

（Ⅰ）若()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）若在区间(0,)+∞上，函数()f x 的图象恒在曲线2x y ae =下方，求a 的取值范围．

14. （本题满分15分）设4

3

2

2534A x x x x =+--+，求使A 为完全平方数的整数x 的值．

2013全国高中数学联赛河北区预赛解答 1.﹛1﹜ 提示：{lg ,}B y y x x A ==∈

=﹛y |y=lg 1，y=lg10, y=lg 1/10 ﹜ =﹛0,1,﹣1﹜, 所以A∩B=﹛1﹜。 2.

4

3÷i 提示：设z=x+i ﹙x ∈R ﹚，有x+i+＋12

x

=2+i ，则x+

＋12

x

＝2,解得x ＝43，z=4

3

+i

3. 500，提示：设获得的奖金为ε元，则ε=700,560,420， p ﹙ε=700﹚=a,，p ﹙ε=560﹚=2a ， p ﹙ε=420﹚=4a ，由7a=1得，a=71，所以Eε=700×71＋560×72＋420×7

4

=500﹙元﹚。 4.

5

4 提示：22

cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+

°30sin 21

=5

4

5. ﹙0,2﹚ 提示：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X

化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0

k

1

）。将坐标代入.=1可得 k=

2

2)1(y x x

+- ①

又点B 在圆x 2+y 2=1上，则

k 2(x-1)2+k 2y 2=1 ② 由①②消去k 得y 2=2x-1

7.4351,提示：100条直线任意两条的组合有C 2100，其中编号为4k （k ϵN *）的直线互相平行，编号为4k —1的直线都过定点A ，所以这100条直线的交点个数最多为 C 2100 —C 225—C 225 +1=4351 8.

3

5

5 提示：如图：将四面体补成一个正方体，E 1 , F 1 分别是A 1B 1 , C 1D 1 的中点 ，面EF 1D 1D 和面BB 1F 1F 是两个平行平面，它们的距离是1.

设正方体的棱长为a, A 1M=MN=1 , 则A 1E 1=

2

a ，