数字信号处理原理2-数字信号处理原理及其 MATLAB 实现丛玉良等编著

2 X (k ) X R (k ) X I2 (k ) , (k ) arctan


X I (k ) X R (k )
电子工业出版社
离散傅立叶变换及其性质
- 离散傅立叶变换与z变换和傅立叶变换间的关系
N 1 n 0 N 1 n 0
X ( z ) z W k x(n) z
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习题课（一）
例1 已知一因果稳定的线性定常移不变系统，如下图。 （1）求系统函数 H (z ) 。 a （2）当b0 0.5 ，1 1，1 0.5 时，求单位取样响应 h(n) ，画出零点 b 和极点分布图。
b0
x (n)
z
x(n) a1
1
b1
y (n)
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1 2


X 1 (e j ) X 2 (e j )d
1 2 1 X1 (e )d 2

j
X 2 (e j )d

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离散傅立叶变换
●
连续时间函数、连续频率的傅立叶变换
X ( j) x(t )e

离散时间函数、连续频率的傅立叶变换（序列的傅立叶变换）
X (e )
●
j
n
x ( n) e

j n
1 x ( n) 2



X (e j )e jn d
离散时间函数、离散频率的傅立叶变换？
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离散傅立叶级数及其性质
●
离散傅立叶级数（DFS）
x 一个周期为 N 的周期序列 ~ (n)可以表示为 ~(n) ~n kN , k为意整数 x x
x 由 ~ (n)的周期性可知它是不能用z变换来表示的。要寻求其它的频域表示
方式。可用离散傅立叶级数来表示周期序列。
j kn 1 N 1 ~ ~ ( n) x X (k ) e N N k 0 2
（1）
2 kn N
- 基频序列
e1 (n) e
j
2 n N
, e1 (n) e
2
（2）
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离散傅立叶级数及其性质
- 周期性 2 j ~ X (k )是周期为N 的周期信号。记WN e N
N 1 ~ ~ (n) e j N k pN n X (k pN ) x n 0 2
~ ( n) e x
n 0
N 1
j
2 2 kn j pNn N N
2 2
x x x 若 ~3 (n) a~1 (n) b~2 (n) ，则有 ~ ~ ~ X 3 (k ) DFS a~1 (n) b~2 (n) aX 1 (k ) bX 2 (k ) x x
~ x - 周期序列的移位 设 DFS ~(n) X (k ) ，则
mk ~ DFS ~ (n m) WN X (k ) x
1 x(n) IFDT X (k ) N
X (k )WN kn , k 0
N 1
0 n N 1
离散傅立叶变换隐含着周期性。离散傅立叶级数和有限长序列的离散 傅立叶变换在本质上没有区别。前者是后者的周期延拓。后者是前者取 主值的结果。 一般情况下 X (k ) X R (k ) jX I (k ) X (k ) e j ( k )
z变换
- z变换和其它变换的关系
ˆ ( s) Lx (t ) p(t ) L x (nT ) (t nT ) Xa a a n

n
xa (nT )L (t nT )

n
xa ( nT ) e snT
理想取样
拉氏变换
X a (s)
s j
xa (t )
傅氏变换
ˆ xa (t )
Z变换
ˆ X a (s)
z e sT
X a ( j)
x(n)
傅氏变换
X (z )
ˆ X ( z) zesT X a (s)
z e j
X ( e j )
X (e )
j
T
1 2 Xa j j r T r T T
类似有
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~ IDFS X (k l ) WN nl ~ (n) x


离散傅立叶级数及其性质
证明： DFS ~ (n m) x
N 1 n 0
~ (n m) W nk x N
n 0 N 1 n 0
N 1
nk mk ~ (n m) WN WN mk WN ~ (n m) WNn m k WN mk x x
j z e sT 和 z re , s a j 可得 由
r e aT ,
映射关系
j
3 T
T
j Im

T
a

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Re

T 3 T
z变换
z变换和其它变换的关系图
拉氏变换
1 ˆ X a ( s ) X a s jr s T r
r 1 N
M


零点 极点
1 d k z 1
k 1
若 h(n) 的z变换存在，
h(n) z n
n
成立。若系统稳定，则由系统稳定的充要条件知
n


h( n)
因此，若系统函数在单位圆上收敛，则系统是稳定的。这也说明， 如果系统函数的收敛域包括单位圆，系统是稳定的。
x ~(l N ) W
m 1 l 0
lk ~(l ) WN WN mk x
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离散傅立叶级数及其性质
~ ( n ) ~ ( n) x1 和 x2 是周期都为 N 的周期序列，且 ~ ~ DFS ~1 (n) X 1 (k ) x DFS ~2 (n) X 2 (k ) x ~ ~ ~ 令Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )，则 交换律
r 1 N 1 k 0 M
的两端做z变换，得
ak z Y ( z ) br z r X ( z )
k r 1
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系统函数
因此
Y ( z) H ( z) X ( z)
br z
r 0 N k 0
M
r
ห้องสมุดไป่ตู้
ak z k



A 1 cr z 1
符号(( n)) N 表示 n对模 N 的余数，即
n kN (( n)) N , 0 (( n)) N N 1
同理有
~ X (k ) X (( k )) N
~ X (k ) X (k ) RN (k )
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离散傅立叶变换及其性质
- 离散傅立叶变换
kn X (k ) FDT x(n) x(n)WN ， 0 k N 1 n 0 N 1
e
~ ( n) e x
k 0
N 1 n 0
N 1
j
2 kn N
~ ~ (n)W kn X (k ) x N
周期序列及其DFS
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离散傅立叶级数及其性质
●
离散傅立叶级数的性质 x x - 线性 设周期序列 ~1 (n)和 ~2 (n)的周期都为N ，且 ~ DFS ~1 (n) X 1 (k ) x ~ DFS ~ (n) X (k ) x
N
n
z WN k
kn x(n)WN X (k ) ， 0 k N 1
令i mn
N 1

N 1 m i m
x ~(i) W
ik N
WN mk
ik ~ (i ) WN WN mk x i m m 1 l 0
N 1 m iN
~ (i ) W ik W mk x N N
令i l N
l N k N WN mk
a 1
a 是实数。求该系统的单位取样响应、画出零点和极点的分布图
给出该系统的结构图。
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习题课（一）
例4 已知一线性定常移不变因果系统的差分方程为
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n)
求该系统的系统函数、画出零点和极点的分布图、指出收敛域。 求出该系统的单位取样响应。该系统是一个不稳定系统，找出一 个满足差分方程的稳定非因果系统的单位取样响应。 例5 若 x1 (n) 和 x2 (n) 是因果稳定序列，求证：

●

jt
dt
1 x(t ) 2


X ( j)e jt d
连续时间周期函数、离散频率的傅立叶变换（傅立叶级数）
1 X ( jk s ) T
●

T 2 T 2
~ (t )e x
jk s t
dt
~ ( n) x
k
~ X ( jk s ) e jk st
习题课（一）
例2 已知一阶线性定常移不变因果系统的差分方程为（IIR）
y (n) ay(n 1) x(n),
a 1
a 是实数
求该系统的单位取样响应、频率响应和幅度响应，并画出简图。
给出该系统的结构图。 例3 已知线性定常移不变因果系统的差分方程为（FIR）
y (n) x(n) ax(n 1) a M 1 x(n M 1),
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系统函数
• 系统函数的定义
线性非移变系统可以用线性常系数差分方程、单位取样响应 和频率特性来描述。系统函数是另外一种描述形式。定义为
H ( z)
对差分方程
N 1 k 0
n
h( n) z n
M

Y ( z) X ( z)
ak y (n k ) br x(n r )
N 1
2
2 ~ 1 N 1 j N k r n X (k ) e N n 0 k 0
2 1 N 1 j N k r n 1 , k r (k r ) e N n 0 0 , k r
于是有
k 0
N 1 ~ ~ (n) e j N kn X (k ) x
2 k rN n N
j
2 2n N
, , e1 (n) e
j
,
e
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j
e
j
2 kn N
e j 2rn
离散傅立叶级数及其性质
~ X (k )为 k 次谐波系数
x ~ ( n )e
n 0
N 1
j
2 nr N
1 N 1 N n 0
N 1
j k r n ~ X (k ) e N k 0
- 周期卷积
N 1 ~ ~ ~(n) IDFS X (k ) X (k ) ~ (m) ~ (n m) ~ (n) ~ (n) ~ (n) ~ (n) y x1 x2 x2 x1 x1 x2 1 2 m 0


证明：
~ ~ ~ (n) IDFS X (k ) X (k ) 1 y 1 2 N 1 N
N 1


~ ~ X 1 (k ) X 2 (k )WN nk
k 0
N 1

k 0
N 1
m 0
~ ~ (m) X (k )W nkW mk x1 2 N N
N 1
1 ~1 (m) x m 0 N
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W
k 0
N 1
mk N
N 1 ~ nk X 2 (k )WN ~1 (m) ~2 (n m) x x m 0
离散傅立叶变换及其性质
●
离散傅立叶变换（DFT）
x 将有限长序列 x(n) , 0 n N 1延拓成周期序列 ~ (n)。
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离散傅立叶变换及其性质
有限长序列周期延拓的数学表示
~ ( n) x
r
x(n rN ) x((n))

N
~ ( n) , 0 n N 1 ~ ( n) R ( n) x x ( n) x N 其它n 0, 1 , 0 n N 1 RN ( n ) 其中 其它n 0,
比较两式


X ( z)
X ( z)
n
x ( n) z n
z e sT
1 1 2 ˆ X a ( s ) X a s jr s X a s j r T r T r T
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z变换