5-6 定积分的几何应用

n
i xi
（3） 求和，得A的近似值 （4） 求极限，得A的精确值
n
A f ( i )xi .
i 1
A lim f ( i )xi a f ( x )dx
0 i 1
b
若用A 表示任一小区间
[ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积， 则 A A ，并取A f ( x )dx ，
U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 3) 以所求量
区间[a , b] 上作定积分，得U
U 的积分表达式. 为所求量
a
b
f ( x )dx ，即
这个方法通常叫做微元法．
应用方向：
平面图形的面积，体积。
经济应用。其他应用。
二、平面图形的面积
y
y f ( x)
第一步：取其中任 一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出 相应于这小区间的 部分量 A 的近似 值记作dA ；
o a
b x
x b 所围成。
A a f ( x )dx
b
面积表示为定积分的步骤如下：
x i 的小区间， （1）把区间[a , b] 分成 n 个长度为
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个 小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A
Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值 Ai f ( i )xi
c
d
y
d
b
o
x ( y)
a
曲边梯形的面积
a b
x
c
d
S [ ( y )]dy ( y )dy [ ( y )]dy
c a b
即
S ( y ) dy
c
d
4.由两条曲线x= (y)、x= (y)与直线y = c、y = d 围成的平面图形
dA2 ( x 2 x 3 6 x )dx
于是所求面积
0 3
A Hale Waihona Puke BaiduA1 A2
2 3 0
A ( x 6 x x )dx ( x 2 x 3 6 x )dx
2
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x吗？
观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：
a
a
半径为a的圆面积
例 计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
y x3 6x
解
两曲线的交点
y x3 6x 2 y x
(0,0), ( 2,4), ( 3,9).
y x2
选 x 为积分变量
x [2, 3]
(1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx ( 2) x [0,3],
c
A [ 2 ( y ) 1 ( y )]dy
考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？
3.由曲线x= (y)、直线y=c、y=d与y轴围成的 平面图形
y
d
x ( y)
y
x ( y)
d
o
c c x
x
o
S ( y )dy
c
d
S ( y )dy
第五章 定积分及其应用
不定积分---第4章 一元积分学 定积分------第5章
第六节 定积分的几何应用
一、定积分的微元法
二、平面图形的面积 三、旋转体的体积 四、平行截面面积已知的立体的体积 五、小结
一、定积分的微元法
回顾 曲边梯形求面积的问题
y
y f ( x)
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
微
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主讲
第五章 第六章 第七章
定积分及其应用 多元函数微积分 无穷级数
第八章
微分方程与差分方程
第五章 定积分及其应用
• • • • • •
定积分概念 定积分的性质 微积分基本公式 定积分的换元与分部积分法 广义积分 定积分的几何应用与经济应用
教学基本要求
基本要求： 掌握：牛顿－莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部 积分法，广义积分的计算。 熟悉：利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积， 利用定积分求解简单的经济应用问题，变上限积分定义 的函数的导数。 理解：变上限定积分定义的函数。 了解：定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，反常 积分的概念。 重点：牛顿－莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部 积分法。 难点：变上限积分定义的函数的导数，广义积分的计算。
0
1 2
2 x 1 dx
1 2
y2 2 x 1
y x 1
[ 2 x 1 ( x 1)]dx
0
4
O
1
1
4
x
16 3
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 （1）
y x, y x
（2） y （3）
e, y e , x 0
y
o a
o
b
x
a
b a
b
x
y f ( x)
S f ( x )dx
a b
S f ( x )dx
y
y f ( x)
o
a
c
d
b
x
曲边梯形的面积
S f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c d
c
d
b
即
S f ( x ) dx
o
a
x
x x
b x
如何用元素法分析？
dA＝f x dx
y
y f ( x)
第二步：写出面积 表达式。
A f ( x )dx
a
b
o
b x dA＝f x dx 如何用元素法分析？
a
x
x x
1. 由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b与x轴围成的平 面图形
y
y f ( x)
y
d
y
d
x ( y)
x ( y)
x ( y)
e
c o
d c
x
c o
x ( y)
x
S [ ( y ) ( y )]dy
e d c e
即
S ( y ) ( y ) dy
c
d
S [ ( y ) ( y )]dy [ ( y ) ( y )]dy
y
d
y
d
x 1 ( y )
x ( y)
c c
x
x 2 ( y)
o
o
x
考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？
观察下列图形，选择合适的积分变量：
y
d
y y y
y
d
x 1 ( y )
x ( y)
y y y
c
x 2 ( y)
c
x
d
o
o
d c
x
A ( y )dy
o
a
x
x x
如何用元素法分析？ dA＝ f 2 x f1 x dx
x b
y
y f2 ( x)
y f1 ( x )
第二步：写出面积 表达式。
A [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
a
b
o
a
x
x x
如何用元素法分析？ dA＝ f 2 x f1 x dx
1 1 4 4
在[1,4]区间上，面积微元 为
总结：
1.选择积分变量的原则：
(1)尽量少分块 (2)积分容易。
2.准确的作图.
利用定积分求解面积步骤
1.准确作图（一条曲线还是两条曲线）
2.选择积分变量，确定积分区间.
(1)尽量少分块 (2)积分容易。
3.穿线法：考虑是不是要分块，如需分块，计算每块上的 面积. 4.选择面积计算公式.
y x2
S ( x x )dx
2 0
1
2 3 x 1 2 x . 3 0 3 3
3
1
例
x2 y2 求椭圆 2 2 1的面积. a b
由对称性知总面积等于 第一象限部分面积的4倍．
解
b 2 2 S 4 ydx 4 a x dx 0 0 a a b b 2 2 4 a x dx a 2 ab. 0 a a
x b
2. 由两条曲线y= f (x)、y=g(x)与直线x = a、x = b围 成的平面图形
y y
y f ( x)
y f ( x)
y g( x )
y g( x )
o
a
a
b
b x
o
a
即
c
b a
b x
S [ f ( x ) g( x )]dx
c b a c
S f ( x ) g( x ) dx
a
b
y
y f2 ( x)
y f1 ( x )
第一步：取其中任 一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出 相应于这小区间的 部分量 A 的近似 值，记作dA ；
o
a
x
x x
x b
如何用元素法分析？
dA＝？
y
y f2 ( x)
y f1 ( x )
第一步：取其中任 一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出 相应于这小区间的 部分量 A 的近似 值，记作dA ；
例
计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4所围成
的图形的面积.
两曲线的交点
x=y+4
y x4
解
y 2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4 y [2, 4] 选 y 为积分变量
4 2
y2 2 x
y2 x 2
y y y 4y S [( y 4) ]dy 2 2 6 2
2
3 4
18
2
例计算抛物线
的面积 .
y 2x
2
与直线 y x 4 所围图形
解 选x为积分变量，x的变 换区间为[0,4],但在[0,1]上 面积微元
ds1 [ x ( x )]dx 2 xdx s1 ds1
0 1
ds2 [ x ( x 2)]dx ( x x 2)dx s2 ds2 ( x x 2)dx
2 求由曲线 y 2 x 1 与直线 y x 1 所围成 2. 图形的面积 . y 解 为确定积分限，解方程组 3
y2 2 x 1 y x 1 得交点 (0, 1)， (4, 3) .
( 4, 3 )
y2 2 x 1
y x 1
1 2
O
o
a
x
x x
b x
如何用元素法分析？
dA＝？
，
y
y f ( x)
第一步：取其中任 一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出 相应于这小区间的 部分量 A 的近似 值，记作dA ；
o
a
x
x x
如何用元素法分析？
b x
A f x x
y
y f ( x)
第一步：取其中任 一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出 相应于这小区间的 部分量 A 的近似 值，记作dA ；
1
1
4
x
对 y 积分 .
3
3 1 1 2 1 3 3 S ( y 1) ( y 2 1) dy y y y 1 2 6 2 1 2 16 3
此题如果选 x作积分变量，
必须分成两个部分，即
y
3
( 4, 3 )
S 2
1 1
2 (1 x 2 )dx
1 1
1
4 (1 x 2 )dx
0
1 3 4( x x ) 3 8 3
1 0
例 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解 两曲线的交点 (0,0)
(1,1)
x y2
选 x 为积分变量, x [0,1]
S [ f ( x ) g( x )]dx [ g( x ) f ( x )]dx
例 求由曲线 y x2 , y 2 x2 所围成平面图形的面积。 解 先求出两曲线的交点坐标（-1，1） ， （ 1， 1） ，积分 变量 x 的变化区间为[-1，1]，
S (2 x 2 x 2 )dx
于是 A
y
y f ( x)
dA
面 积 元 素
f ( x )dx
b
A lim f ( x )dx

o a
x x+dx
bx

a
f ( x )dx.
微元法的一般步骤：
1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x [a , b ] ； 为积分变量，并确定它的变化区间
2) 设想把区间[a , b] 分成 n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x , x dx ]，求出相应于这 小区间的部分量U 的近似值. 如果U 能近 似地表示为[a , b] 上的一个连续函数在 x 处的 值 f ( x ) 与 dx 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作 dU，即dU f ( x )dx ；