信号与系统第二章时域分析方法

与其对应的右端为
t 2 t
3AA1 1AA2 212
A1

1 2
A2

1 2
对应的冲激响应的表示为
ht 1 et e3t u t 2
系统对 u t 的零状态响应 g t
g t 求法与 h t 类似，但可能有强迫项
d2 dt 2
i
t


a

t


b
t


cu
t


d dt
i
t


a
t


bu
t

代入
i t au t
a t b t cu t 7a t bu t 10au t
2 t 12 t 8u t
0


izi
0


iL
0

dizi 0
dt



1 R1C
izi
0
iL
0


2A
s
02
系统数学模型的建立
03 用时域经典法求解微分方程
04
起始点的跳变
来自百度文库
05
零输入响应与零状态响应
06
冲激响应与阶跃响应
由基本信号所产生的响应
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简 称冲激响应，记为h(t)。
n
r t Aieit rp t i 1
一般对于n阶微分方程（n阶系统），需n个边界条件，如
在t=0时刻的状态，r(0),
d dt
r 0,L
d n1 , dt n1
r 0
作为边界条件
对完全解的一般表达式求导，将各式（边界条件）代入可得P47
r 0 rp 0
特解（强迫）
（3） 定系数 A1，L , An ，最关键的一步，也是最难的一步。
需要根据实际电路及激励源确定一组边界条件，其难点在于确定这组边界条件
02
系统数学模型的建立
03 用时域经典法求解微分方程
04
起始点的跳变
05
零输入响应与零状态响应
06
冲激响应与阶跃响应
“换路”
例题：（1） 解题步骤，基本方法 （2）求0+状态

d dt
d n1 dt n1
r r
0 0

d dt
rp
M

d n1 dt n1

0




rp 0

1

1
M
1n1
1 2 M n1
2
L 1 A1
L
n


A2

范德蒙（Vandermonde）矩阵
对冲激响应进行逐步求解
dht
dt


A1

A2

t

( A1et

3A2e3t
)u
t

d 2ht dt 2



A1

A2

t

( A1

3A2 )
t

A1et 9 A2e3t
u t
A1 A2 t 3A1 A2 t
10B 16
B8 5

i t

A1
e2t

A2e5t

8 5
③ 确定 A1, A2
需要确定
i0
和
d dt
i
0

t 0
e t 2 2u t
t

0
:
d2 dt 2
i
t


7
d dt
i
t

10i
t


2

t

12
t


8u
t

设
M M M
L

n n
1


An

上式中所得解限于t>0，t=0的状态是激励加入之后的零状态，或称0+状态。 在t=0时刻，由于激励的加入，会导致状态的跳变，
经典解： （三步曲）
（1） 齐次解：激励为0，特征方程 c0 n c1 n1 L cn1 c 0
Recall：
d2 dt 2
i
t


7
d dt
i
t


10i
t


d2 dt 2
e
t


6
d dt
e
t


4e
t

① rzi t
等效电路
vc
0


6 5
V
,
iL
0


4V 5
izi
0



1 R1
vc

0



6 5
A
ic

0


C
d dt
vc
0


C
d dt
R1izi
① 建立微分方程：列回路方 程及节点方程，目标

R1i t vc t e t
vc
t


L
diL t
dt


iL
t

R2
i

t


iC

t


iL

t


C
dvc t
dt


iL

t

消去 iL t 、vC t 中间变量并代入参数得
d2 dt 2
06
冲激响应与阶跃响应
输入 et 连续时间系 r t
统
输出=齐次解+特解 齐次解：固有频率 特解：强迫响应
LTI系统——线性可加性
零输入响应
零状态响应
t
t
t 0 输入=无输入（起始状态）+输入（无起始状态）
输出=零输入响应+零输出响应
举例说明： 仍以上例进行说明，分别求零输入响应和零状响应
求解冲激响应，用冲激函数匹配法
在 t 作用下，等式右端将出现 t 及其导数项
C0
d nr t d n1r t
dtn C1 dtn1 L

Cn1
dr t
dt


Cn r
t


E0
d me t
dtm E1
d m1e t
L dt m1

Em1
de t
dt


Eme
t

在 nm
，齐次解包含
h
t



n
Ak
ek t

u
t

k 1

n m 齐次解包含其他导数项 mn t , mn1 t ,L , t
微分方程的特征根为-1，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(A1e-t + A2e-3t)u(t)
时域分 析方法
在分析的过程中，涉及
的函数变量为时间“t”，
因此称为时域分析方法。 主要的方式归结为： 建立并求解微分方程（数学 模型）——端口描述
et 连续时间系 r t
统
微分方程解的结构
完全解= 齐次解+ 特解 见书P51页：表2-3
et 连续时间系 r t
统
齐次解
特征方程 齐次解
下节课内容
卷积积分
第25页 Page 25
题1 求如下图所示的一个连续时间系统的阶跃响应及冲激响应
et

1

3
2
2
r t
Page 26
第27页
谢谢大家
求根得到 1,L ,，n n个根，-> A1e1t A2e2t L Anent 为齐次解
（2） 特解：由激励形式决定，查表 -> P46
完全解：
rp t
A1e1t
144
A2e2t L
4 44 2 4 4 4
齐次（自由）
Anent
4 43
r{p t

d dt
i

0


2
14 5

i
0


A1

A2

8 5
2

d dt
i 0


2 A1

5 A2
i
t



4 3
e2t

2 15
e5t

8 5

A
t0
02
系统数学模型的建立
03 用时域经典法求解微分方程
04
起始点的跳变
05
零输入响应与零状态响应
明德至诚 博学远志
信号与系统
第二章 连续时间系统的时域分析
钱慧
02
系统数学模型的建立
03 用时域经典法求解微分方程
04
起始点的跳变
05
零输入响应与零状态响应
06
冲激响应与阶跃响应
02
系统数学模型的建立
03 用时域经典法求解微分方程
04
起始点的跳变
05
零输入响应与零状态响应
06
冲激响应与阶跃响应
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a 2 系数匹配： b 2
c 2

i

0


i
0


a

2

d dt
i

0


d dt
i

0


b

2
d2 dt 2
i
0


d2 dt 2
i
0


c

2
因此：i

0


2

i

0


14 5


d dt
i

0


2
可以用 t 与 u t 关系由 h t 求 g t
t
ht
u t
LTI
g t
u t

t


d

g t

t h
d

t
0
h

d
t 0
课程内容小结
经典时域分析方法 零输入响应&零状态响应
第24页 Page 24
i
t


7
d dt
i
t

10i
t


d2 dt 2
e
t


6
d dt
e
t


4e
t

② 完全响应（形式）
齐次解 2 7 10 0 → 1 2,2 5
ik t A1e2t A2e5t t 0 与激励无关
特解 t 0 时 et 4 → B t 为常数