8.5 自旋单态和自旋三重态

又因
h 0 1 1 h 0 h Sx 1 = 1 2 2 2 1 0 0 2 1 2 h 0 1 0 h 1 h Sx 1 1 2 2 1 0 1 2 0 2 2
9
（17） （18）
（19）
（20）
（21） （22）
5
2 $ 综合（15）至（22）式得出，S 作 (1) (2) (3) 用在对称波函数上 S 、 S 、 S 时，其本 2 2 $ 征值为 2h ，若将 S 的本征值表示 2 为 s(s 1)h ，即得总自旋角动量量子 1 1 数 s 1 ，这正是 耦合的结果。同理， 2 2 2 $ A 将 作用在反对称波函数 上，其本征 S 1 1 s0 值为零，相应的 ，这是 耦合 2 2 的结果。
1 2
2
利用单个粒子的自旋波函数，可以按以下四 种方式构成两个粒子的总自旋波函数：
s(1) 1 ( s1z ) 1 ( s2 z )
2 2
9
s(2) 1 ( s1z ) 1 ( s2 z )
2 2
（2） （3）
1

(3) s
1 2 1 2
[ 1 ( s1z ) 1 ( s2 z ) 1 ( s2 z ) 1 ( s1z )]
2 µ $ S 和 S z 的本征
2
u r u u r 2 S ( s1 s2 )
2
S1z s1z s2 z
u r u u r 2 2 =s s 1 2 2 s1 s2
（6） （7） （8）
3 2 = h 2[ s1x s2 x s1 y s2 y s1z s2 z ] 2
9
4
µ (1) ( s ¶ s ¶ ) ( s ) ( s ) h (1) （16） S z S 1z 2z 1 1z 1 2z S
2 2
类似有
2 (2) (2) $ S S 2h 2 S µ (2) h (2) S z S S 2 (3) (3) $ S S 2h 2 S µ (3) 0 S z S 2 $ S A 0 µ 0 S z A
2 2 2 2
（4）
A
[ 1 ( s1z ) 1 ( s2 z ) 1 ( s2 z ) 1 ( s1z )]
2 2 2 2
（5）
脚标 S 表示波函数是对称的，交换两个粒子， 将 s1z 变为s2 z 后，波函数不变号，脚标 A 表示波 函数是反对称的，交换两个粒子，将 s1z 变为 s2 z 后，波函数反号。 两个自旋为 1 2 的粒子组成的体系具有三个对 称的波函数，是自旋的三重态，一个反对称 的波函数，是自旋单态。 现在来计算耦合表象中算符 u r u r u u r 值。令 9 S s1 s2 ，则有
8.5 自旋单态和自旋三重态 本节我们讨论两个自旋都是 1 2 的粒子， 自旋和自旋之间的耦合。 当两个粒子体系的哈密顿算符不含自旋 时，两个自旋为 1 2 粒子的总的自旋波函数 是每个粒子自旋波函数的乘积。 1 (s1z , s2 z ) (s1z ) (s2 z ) (1 , 2 = )（1）
9
6
上述结果表明：
2 ˆ S (1) S ( 2) S ( 3) S
S 1 1 1 0
ˆ S z 0 0
mS 1 1 0 0
2 S 1 3 3
m
S
2 2
2 2
22பைடு நூலகம்0
1 三重态 3 0
1
1
A
0
单态
9
7
2 $ 说明：态 、 、 各不同。 S 表现在 作用在这些波 函数上，分别得出三个 不同的值 h、- h、 0 。
(1) S (2) S (3) S
(1) （1） 态 S ，两个粒子的自旋都平行于 z 轴；
(2) （2）态 S 两个粒子的自旋都反平行于 z 轴；
(3) （3）态 S 两个粒子的自旋虽然平行，但合成
后的总自旋角动量与 z 轴垂直；
（4）态 A两个粒子的自旋反平行。
9 8
9
9
2 3 2 (1) (1) $ ¶ (s )s ¶ (s ) S S h S 2[ s 1x 1 1z 2x 1 2z 2 2 2 ¶ (s )s ¶ (s ) s ¶ (s )s ¶ ( s )] s 1y 1 1z 2y 1 2z 1z 1 1z 2z 1 2z （15） 2 2 2 2 (1) = 2h2 S
9
（9） （10）
3
h 0 i 1 hi 0 hi ¶ （11） Sy 1 = 1 2 2 2 i 0 0 2 1 2 h 0 i 0 hi 1 hi ¶ S y 1 = - 1 （12） 2 2 i 0 1 2 0 2 2 h Sz 1 1 （13） 2 2 2 h （14） Sz 1 1 2 2 2 由此直接给出