微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)
(完整word版)微积分期末试卷A及答案
共 4 页,第 1 页 学生答题注意:勿超黑线两端;注意字迹工整。
共 4页,第 2 页) ()f x 在x a =处可导; (B )()f x 在x a =处不连续; (C)。
lim ()x af x →不存在 ; (D ) ()f x 在x a =处没有定义。
、设lnsin y x =,则dy =( )(A) 1cos x ; (B ) 1cos dx x;(C) cot x dx -; (D) cot x dx 。
6. 若()f x 的一个原函数为2x ,则()f x dx '=⎰( ) (A)12x C + (B ) 2x C + (C) x C + (D ) 2C +7、 1dx =⎰( )(A ) 2; (B ) 2π-; (C ) 0; (D )。
8、对-p 级数∑∞=11n p n ,下列说法正确的是( )(A ) 收敛; (B ) 发散;(C ) 1≥p 时,级数收敛; (D) 级数的收敛与p 的取值范围有关。
9、二元函数在(,)xy f x y ye =点0(1,1)p 可微,则(,)xy f x y ye =在0p 的全微 )00)()limx x f x x→-- .cos x ,求它的微分共 4 页,第 5 页 学生答题注意:勿超黑线两端;注意字迹工整。
共 4页,第 6 页5、(10分)求微分方程()x xe y dx xdy +=在初始条件1|0x y ==下的特解;6、(12分)判断级数211ln(1)n n ∞=+∑的敛散性。
《微积分》课程期末考试试卷参考答案及评分标准(A 卷,考试)一、单项选择(在备选答案中选出一个正确答案,并将其号码填在题目后的括号内.每题3分,共30分)1、(C );2、(D );3、(B);4、(A );5、(D);6、(B);7、(A );8、(D );9、(A); 10、(D)。
二、填空(每题4分,共20分)1、 bx n e a b )ln (;2、 同阶无穷小;3、3- ;4、0;5、2。
北京理工大学微积分a期末试题及答案
北京理工大学微积分a期末试题及答案一、选择题(每题5分,共30分)1. 若函数f(x)=x^2-4x+c,且f(2)=0,则c的值为多少?A. 0B. 2C. 4D. 6答案:C2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值为:A. 0B. 1C. -1D. 2答案:B3. 设函数f(x)=3x^3-2x^2+5x-7,其导数f'(x)为:A. 9x^2-4x+5B. 3x^2-4x+5C. 9x^2-4xD. 3x^2+5x-7答案:A4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程为:A. y=3x-2B. y=3xC. y=xD. y=3x+2答案:B5. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值为:A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案:B6. 微分方程dy/dx+y=0的通解为:A. y=e^(-x)B. y=e^xC. y=e^(-2x)D. y=e^(2x)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x)=x^3-3x,其在x=1处的导数为______。
答案:02. 设函数f(x)=x^2+3x+2,其在x=-1处的定积分值为______。
答案:13. 函数y=ln(x)的导数为______。
答案:1/x4. 微分方程dy/dx-2y=0的通解为______。
答案:y=e^(2x)三、计算题(每题10分,共40分)1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案:首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11,令f'(x)=0,解得x=1或x=11/3。
通过二阶导数测试或分析f'(x)的符号变化,可得x=1为极大值点,x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(1到2) (x^3-2x+1) dx。
答案:首先求出被积函数的原函数F(x)=1/4x^4-x^2+x,然后计算F(2)-F(1)=5/4-2+2-1/4+1=1。
《微积分》课程期末考试试卷(A)及参考答案
3、若函数
f (x, y)
x y ,则
x y
f
(
1 x
,
y)
(
)
A、 x y
x y
B、 1 xy
1 xy
C、 1 xy
1 xy
4、设 D 由 y x, y 2x, y 1围成,则 dxdy ( )
D
A、 1
2
B、 1
4
C、1
5、( )是一阶微分方程
3x 2
3y2
(6
分)。
2、
z y
xy
ln
x (3
分);
2z y 2
xy
ln 2
x
(6
分)。
3、
f
1 x
(
x,
y)
1
x x2
y2
(5
分);
f
1 x
(3,4)
2 (6
5
分)。
4、
z x
y
1 y
,
z y
x
x y2
(4
分);
dz
(y
1 )dx y
(x
x y2
六、求方程 yy' x 的通解。(6 分)
七、判别级数 n1
2n n3n
的敛散性。(6
分)
《微积分》课程期末考试试卷(A)参考答案
一、 填空题(每题 3 分,共 36 分)。
1、
x3 y3
2x
xy y
3xy
2、 1
微积分A第一学期期末试卷A及答案
《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级 学号 姓名 成绩一、求解下列各题(每小题7分,共35分) 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题(每小题7分,共28分)1 设当0→x 时,c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小,求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数,求.dx dy 4 求证:.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、(8分)设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导,又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =,上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件,并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线,记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ,(1) 求图形D 的面积;(2) 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、(7分)求证:方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、(8分)一圆柱形桶内有500升含盐溶液,其浓度为每升溶液中含盐10克。
现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合),同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。
郑州大学微积分(上)试题(A卷)及其参考答案
郑州大学2012—2013学年度第一学期微积分期末考试试卷(A 卷)考试时间:2小时30分钟 考试方式:闭卷复查总分 总复查人一、求解下列各题(每题8分,共48分)1.求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x 1113lim 31.解:⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x 1113lim 31()()()2211113lim x x x x x x ++-++-=→()()()()211121lim x x x x x x ++-+-=→ 112lim21=+++=→x x x x .2.求x e y arctan =的导数. 解:()()'+='xxe ey 211()'+=x eexx.112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x e e x x 21.112()xxex e212+=.3.求由y e y x x sin 22=-①的函数()x y 的导数. 解:①式两边关于x 求导得'=-'+y y xe y x xy x .cos 2222即()()y e x xe y y xx x -=-'-2222cos 2所以 ()y x ye x y x c o s 222--='.4.求()dx x x x⎰+2ln ln 1.解:()dx x x x⎰+2ln ln 1()().ln 1ln ln 12C xx x x d x x +-==⎰ 5. 求⎰+e x x dx 1ln 1 .解:⎰+exx dx 1ln 1()().122ln 12ln 1ln 11|11-=+=++=⎰eex x d x6. 求⎰+∞++0284x x dx. 解:⎰+∞++0284x x dx ()()⎪⎭⎫⎝⎛-=+=+++=∞+∞+⎰422122arctan 212221|0022ππx x d x .8π=7.求一个以x xe y =为其特解的二阶常系数线性齐次微分方程. 解:设所求方程为 0=+'+''qy y p y ①根据题意知,方程的①的特征方程的根应为 121==r r , 因此其特征方程应为 ()012=-r ,即 .0122=+-r r所以,所求方程为 .02=+'-''y y y8.设()x f 是以π2为周期的函数,它在[)ππ,-上的表达式为()⎩⎨⎧<≤+<≤-=.0,1,0,ππx x x x x f 求它的富里叶展开式.解:(一)()()1111000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==⎰⎰⎰--ππππππdx x xdx dx x f a ; ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==⎰⎰⎰--00cos 1cos 1cos 1ππππππnxdx x nxdx x nxdx x f a n其中 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰----0000sin sin 1sin 1cos |ππππnxdx nx x n nx xd n nxdx x()⎰⎰---=-=002sin 1sin 1ππnx nxd n nxdx n()()[]nnnx n 111cos 1202|--=--=-π; ①()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=+⎰⎰⎰ππππ0000sin sin 11sin 11cos 1|nxdx nx x n nx d x n nxdx x ()⎰⎰-=-=ππ002sin 1sin 1nx nxd n nxdx n()()[]111cos 1202|--=--=nnnx n π.②故 ,...)2,1.(0==n a n (二) ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==⎰⎰⎰--0s i n 1s i n 1s i n 1ππππππn x d x x n x d x x n x d x x f b n 其中()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⎰⎰⎰----0000cos cos 1cos 1sin |ππππnxdx nx x nnx xd n nxdx x ()⎰---=---=011]cos )1([1πππnnxdx n n n ; ①()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=+⎰⎰⎰ππππ0000cos cos 11cos 11sin 1|nxdx nx x n nx d x n nxdx x ()()[]()()[]nn n n n n 1111111111---++-=--+-=ππ②故 ()()[]1111121---++-=n n n n n b π()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=,...5,3,1,12,...,6,4,2,2n n n n ππ所以,所求富里叶展开式为()()().,....,3sin 3122sin sin 1221N n n x x x x x f ∈≠-++-++=πππππ 二、(12分)已知函数()()231-=x x x f ,求(1)函数()x f 的单调增加、单调减少区间,极大、极小值; (2)函数图形的凸性区间、拐点、渐进线;解:(一)()()+∞∞-=,11, D ;1.因为()()32lim lim1x x x f x x →∞→∞==∞-,所以无水平渐进线;2.因为函数在1=x 处无定义,且()()3211lim lim1x x x f x x →→==+∞-,故有垂直渐进线1=x ;3.因为()()22lim lim 1,1x x f x x a x x →∞→∞===-,()()()32222lim lim lim 211x x x x x x b f x ax x x x →∞→∞→∞⎡⎤-=-=-==⎡⎤⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎣⎦均存在, 所以,有斜渐进线2+=x y . (三)令()()()2123300, 3.1x x f x x x x -'==⇒==-;令()()4600.1xf x x x ''==⇒=-于是可得下表:()0,∞- 0 ()1,01()3,1 3 ()+∞,3()f x ' + 0 + 不存在 — 0 + ()f x ''— 0 + 不存在 + + + ()x f 升 拐点 升 间断 降 升三、求解下列各题(每题8分,共32分)1.将()21ln arctan x x x x f +-=展开为x 的幂级数.解法一:()()21ln 21arctan x x x x f +-=()x x x x x x x f arctan 2.11.211arctan 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=';()211x x f +=''. 由展式 ()n n nx x ∑∞=-=+0111,()1,1-∈x 得()()()()nn nnn nxx x x f 202021111∑∑∞=∞=-=-=+='' ,()1,1-∈x .①故 ()()()()dx x dx x f f x f xn n nx⎰∑⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=''+'='∞=0200100()()121112020+-=-=+∞=∞=∑⎰∑n x dx x n n nxnn n,[]1,1-∈x .② 所以 ()()()()dx n x dx x f f x f xn n n x⎰∑⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+='+=+∞=012012100 ()()()()22121121220120++-=+-=+∞=+∞=∑⎰∑n n x dx xn n n nxn n n,[]1,1-∈x . 解法二:由()dx x dx x x x n n n x⎰∑⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=+=∞=02002111arctan ()121120+-=+∞=∑n x n n n,[]1,1-∈x .① ()()()()11111ln 1201202+-=+-=++∞=+∞=∑∑n x n x xn n nn n n,[]1,1-∈x , ② 得()()21ln 21arctan x x x x f +-=()121120+-=+∞=∑n x x n n n()1121120+--+∞=∑n xn n n ()121220+-=+∞=∑n x n n n()()121120+--+∞=∑n xn n n()1202211211+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=∑n n n x n n()()()22121120++-=+∞=∑n n x n n n,[]1,1-∈x . 2.在某N 个人中推广新技术.已知在0=t 时,这N 个人中已有0X 个人掌握了这项技术.设在任意时刻t 已掌握这项技术的人数为()t x ,并认为()t x 是连续函数.如果()t x 的变化率与已掌握技术和未掌握技术的人数之积成正比,比例系数为)0(>k ,求()t x .解:根据题意知()x N kx dtdx-=..① 且()00|X t x t ==.②①为可分离变量型的一阶微分方程.由 ①得到()⎰⎰=-dt k dx x N x 1其中()⎰-dx x N x 1()x N x x N x dx x N x -=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰ln ln ln 11故①的通解为C kt x N x ln ln -=-③ 由③解得 ()ktCeNt x -+=1④ 将初始条件()00|X t x t ==代入④,解得X X N C -=⑤ 所以,将⑤代入④,有()kt kt kt e X X N e NX eX X N Nt x 00000.1+-=-+=-. 3.一台摄像机放置在距火箭发射塔4000米处,为了使摄像机的镜头始终对准火箭,摄像机的仰角应随火箭的上升而不断增加.火箭发射后,它与地面垂直距离随时间的变化率()t x 是可以测出的.若已知火箭垂直上升距离为m 3000时,其速度达到s m /600.求此时摄像机仰角的变化率. 解:设在时刻t 摄像机的仰角为()t α,则由题意知4000tan x=α① ①式两边关于t 求导得dt dx dt d .40001.sec 2=αα②将222240001tan 1sec x +=+=αα代入②式,得到dtdxx dt d .1600000040002+=α③ 将 600,3000==dtdxx 代入③式,解得 )/(09.0s m dtd =α. 即当火箭垂直上升距离为m 3000时,摄像机仰角的变化率为)./(09.0s m 4.在曲线2x y =上求一点,使过此点的切线与0,8==y x 所围成位于第一象限的三角形的面积最大.解:(一)在曲边2x y =上任取一点()2,t t ,则曲线在该点处切线斜率为()t x t y k tx 22|=='==.从而曲线在该点处切线方程为()t x t t y -=-.22① ①中令0=y ,解得 2tx =;令8=x ,解得 .162t t y -=②所以曲线在该点处的切线与两直角边8,0==x y 围成的三角形面积为()()()80.6484116.28.21232≤≤+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t t t t t t S ③(二) 令()()02566434164164322=+-=+-='t t t t t S ,④ 得.16=t (舍)或者.316=t又因为()()64641-=''t t S ,01296316<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛''S ,所以当316=t 时,()t S 取到最大 值.即所求点为⎪⎭⎫⎝⎛9256,316.四、(8分)就k 的不同情况讨论曲线k x y +=ln 4与 x x y 4ln 4+=交点的个数解:问题等价于讨论方程0ln 4ln 44=--+k x x x 有几个不同的根.令 ()k x x x x f --+=ln 44ln 4,()+∞∈,0x .①则 ()()xx x x x x x f 1l n 4144l n 433-+=-+='.② 由()0='x f ,解得唯一驻点1=x .【注意到:()01ln 03=-+⇔='x x x f .记 ()1ln 3-+=x x x g ,()+∞∈,0x .因为()01ln 32>+='xxx g ,故()x g 在()+∞,0上单调增加,故方程01ln 3=-+x x 至多有一个实根.】因为当10<<x 时,()0<'x f ;而当1>x 时,()0>'x f ,故()k f -=41为函数()x f 的最小值.又()()+∞=--+=++→→k x x x x f x x ln 44ln lim lim 4; ()()k x x x x f x x --+=+∞→+∞→ln 44ln lim lim 4+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+∞→x k x x x x x x 4334ln 1ln 14ln 1.ln 41ln lim . 根据以上分析可画出()x f y =的草图(略).就此草图易作出以下判断 (1)当4<k 时,方程()0=x f 无实根,从而两曲线无交点;(2)当4=k 时,方程()0=x f 恰有一个实根,从而两曲线恰有一个交点; (3)当4>k 时,方程()0=x f 恰有两个实根,从而两曲线恰有两个交点.。
最新微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)
一、 选择题 (选出每小题的正确选项,每小题2分,共计10分)1.1lim 2xx -→=_________。
(A ) -∞ (B ) +∞ (C ) 0 (D ) 不存在 2.当0x →时,()x xf x x+=的极限为 _________。
(A ) 0 (B ) 1 (C )2 (D ) 不存在 3. 下列极限存在,则成立的是_________。
0()()()lim ()x f a x f a A f a x -∆→+∆-'=∆0()(0)()lim (0)x f tx f B tf x→-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()()()lim ()x f x f a D f a a x →-'=-4. 设f (x )有二阶连续导数,且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。
(A ) 极小值 (B )极大值( C )拐点 (D ) 不是极值点也不是拐点 5.若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。
()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dxφ=⎰⎰ 二、 填空题(每小题3分,共18分)1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导,且,那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。
2.函数()f x =[0,3]上满足罗尔定理,则定理中的ξ= 。
3.设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么 。
4.设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。
微积分上期末试题及答案
微积分上期末试题及答案试题一:1.求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x的导数f'(x)。
答案:f'(x) = 3x^2 + 4x - 5。
2.计算极限lim(x->3)[(x^2 - 9)/(x - 3)]。
答案:由分式的定义可知,当x ≠ 3时,(x^2 - 9)/(x - 3) = x + 3,故lim(x->3)[(x^2 - 9)/(x - 3)] = 3 + 3 = 6。
3.已知y = 2x^3 - x^2 + 4x + 7,求dy/dx。
答案:dy/dx = 6x^2 - 2x + 4。
4.求函数f(x) = sin(x)的不定积分∫f(x)dx。
答案:∫f(x)dx = -cos(x) + C(C为常数)。
5.已知直线L的斜率为2,并且过点P(3, 4),求直线L的方程。
答案:直线L的方程为y - 4 = 2(x - 3)。
试题二:1.求曲线y = x^2的切线方程,且该切线通过点P(2, 3)。
答案:曲线y = x^2的导数为2x,斜率为m = 2(2) = 4。
切线方程为y - 3 = 4(x - 2)。
2.计算定积分∫(2x + 1)dx在区间[0, 2]上的值。
答案:∫(2x + 1)dx = x^2 + x + C。
在区间[0, 2]上的定积分值为[(2)^2 + 2 + C] - [(0)^2 + 0 + C] = 6。
3.已知函数f(x) = e^x,求f'(x)。
答案:f'(x) = e^x。
4.求函数f(x) = ln(x)的不定积分∫f(x)dx。
答案:∫f(x)dx = xln(x) - x + C(C为常数)。
5.已知曲线C的方程为y = x^3 - 3x^2 + 2,求曲线C的切线方程在点Q(-1, -2)处的斜率。
答案:曲线C的导数为3x^2 - 6x,点Q(-1, -2)在曲线C上,代入x = -1得到斜率m = 3((-1)^2) - 6(-1) = 3 - 6 = -3。
大一上学期微积分期末试卷及答案
11•设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内(2 2A f (x)是增函数,g (x)是减函数Bf (x)是减函数,g(x)是增函数C二者都是增函数D二者都是减函数2、x 0时,e2x cosx与sinx相比是()A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小13、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺()A连续点E可去间断点C跳跃间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 nA X n ( 1)B X n sin -n 21 1C X n n (a 1)D X n cos—a n5、若f "(x)在X。
处取得最大值,则必有()A f /(X。
)o Bf /(X。
)oCf /(X。
)0且f''( X o)<O Df''(X o)不存在或f'(X o) 046、曲线y xe x( )A仅有水平渐近线E仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线1~6 DDBDBD一、填空题11、d ) = ----dxx +12、求过点(2,0 )的一条直线,使它与曲线y=-相切。
这条直线方程为:x2x3、函数y=-—的反函数及其定义域与值域分别是:2x+14、y= 3、x的拐点为:2D同阶但不等价无价小D无穷型间断点5、 若则a,b 的值分别为:X 1X + 2x-321 In x 1 ;2y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0)xlim5解:原式=x 1(x 1)( x m )~~1)( x 7 blim3) x7, a1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(, X 0 X 是连续函数()3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 ()4、 若f(X)在X o 处取得极值,则必有f(x)在X o 处连续不可导(5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1)f (0),则必有 A>B>C(1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 12 ~lim x e x x 01 e 解:原式=lim x 0 1 x x2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x3 34 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3)1 lim e x x 0 3 32 2 f '(x)4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 32 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)33 .. .334 , 3(x 10)108 x (x10)24 r t I 八] 2 3 求极限 lim(cos x)xx 0224 ,2I ncosx解:原式=lim e xx 05tan 3xdx2=sec x tan xdx tan xdx6 求xarctanxdxQ lim p Incosx x 0x 2原式e 2I>解:In y 5ln3x11 Jx 1cosxI>yy1 5 311y 2 x 21 2(x 1)1 2(x 2)1cosx(sin x) tanx limlim x x x 0 xx 0 x2 224Incosxlim / e x 0解:原式=tan 2xtanxdx2(sec x 1)tanxdx =tan xd tan x =tan xd tan xsin x , dx cosx 1 . d cosx cosx= -ta n 2xIn cosx c22’解:原式=1 arcta nxd(x 2)1(x 2 arcta nx2 22arcta nx四、证明题。
《微积分》期末考试试卷(含ABC三套)
四、计算题 1、求极限 lim
x 。 (6 分) x 0 2 4 x
B、 lim f (0 x) f (0)
x 0
f (x) f (0) x
)
D、 lim
x 0
f ( x x) f ( x) x
4、 (ln x)dx =( A、 ln x
2
B、 ln x C )
C、
2
1 x
1 D、 C x
5、定积分为零的是( A、 ( x 3 x 5 )dx
四、计算题 1、求极限 lim
1 cos x 。 (6 分) x 0 x2
2、 y ln( x x 2 a 2 ), 求y 。 (8 分)
3、 y cos x , 求dy 。 (8 分)
4、求 arctan xdx 。 (10 分)
2 sin 3 xdx 。 5、求 (10 分) 2
sin x A、 lim 1 x x
2
sin
B、 lim
x 0
1 x
1 x 1
C、 lim
x
2
tan x 1 x
D、 lim x sin
x
1 1 x
)
3、若函数 y f ( x) 在点 x=0 处可导,则 f (0) =( A、 f (0) C、 lim
x 0
2 2
B、 ( x 3 x 5 1)dx
2 2
C、 x sin xdx
2
D、 x 2 cos xdx
2
二、填空题(每空 3 分,共 18 分) 1、若函数 y f ( x) 在点 x。连续,则 lim f ( x) f ( x0 ) =
2012-2013上学期微积分试卷及答案A
本试卷共五道大题,卷面满分100分,答题时间120分钟。
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核人
得分
得分 评卷人
一、选择题:(本大题共10小题,每小题2分,
共20分)
1.设函数,则该函数是( ). A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
2. 当=( )时,函数,在处连续. A.1 B.2 C. D.0
共10分)
设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为 100km处有一原料供应站C, 如下图. 现在要在铁路BC中间某处D修建一 个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运 费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到 工厂A所需运费最省?
………3分………3分
3.
………3分
………3分
4. ………3分
.………3分 5. ,………3分
.………3分 6. ………3分
==−=−2………4分 7. 等式两边同时取对数,得 ………2分
等式两边同时对求导,得………3分
. ………2分
四.证明题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)
1. 证 设则在上连续,且…2分 由介值定理,存在使即为方程的小于1的正实根. …2分 设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点(在之间),使得但导致矛盾, 故为唯一实根. …4分 2. 证 作辅助函数 …1分 因为在上连续,在内可导,且…3分 当时,又 故当时,…3分 所以…1分
A.
B.
7. 若
C.
D.
,a,b均为常数,则(
)
A.
;
B.
; C.
微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)
一、 选择题 (选出每小题的正确选项,每小题2分,共计10分)1.10lim 2xx -→=_________。
(A ) -∞ (B ) +∞ (C ) 0 (D ) 不存在 2.当0x →时,()x xf x x+=的极限为 _________。
(A ) 0 (B ) 1 (C )2 (D ) 不存在 3. 下列极限存在,则成立的是_________。
0()()()lim ()x f a x f a A f a x-∆→+∆-'=∆0()(0)()lim(0)x f tx f B tf x→-'=0000()()()lim2()t f x t f x t C f x t→+--'=0()()()lim()x f x f a D f a a x→-'=-4. 设f (x )有二阶连续导数,且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。
(A ) 极小值 (B )极大值( C )拐点 (D ) 不是极值点也不是拐点 5.若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。
()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dx φ=⎰⎰二、 填空题(每小题3分,共18分)1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导,且,那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。
2.函数()f x =[0,3]上满足罗尔定理,则定理中的ξ=。
3.设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么 。
4.设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。
微积分(上册)期末考试卷含答案
---○---○------○---○---………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题,密封线外不准填写考生信息,违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线…………中南大学考试试卷2009 ~2010学年 一 学期 微积分A 课程(时间:10年1月21日,星期四,15:20—15:00,共计:100分钟)一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,总计15分)1.])2(sin 11sin[lim x x xx x x x x +++∞→= . 2. 函数32y ax bx cx d =+++满足条件 时, 这函数没有极值.3. 广义积分=-+∞⎰dx e x 20.4.幂级数nn n x n 30212∑∞=-的收敛半径=R ,收敛区间为 . 5.曲线⎪⎩⎪⎨⎧==++11222z z y x 的参数方程为 .二、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在括号中,本大题共5小题,每小题3分,总计15分)1.当0→x 时,下列变量是无穷小量的是( ).(A )x1sin ; (B )x e 1; (C ))1ln(2x +; (D )xe .2.设xex f -=)(,则='⎰dx xx f )(ln ( ). (A )C x +-1; (B )C x x+ln 1; (C )C x +1; (D )C e xx +1. 3. 若)(x f 是奇函数且)0(f '存在,则0=x 点是函数xx f x F )()(=的( ). (A )无穷间断点; (B )可去间断点; (C )连续点; (D )振荡间断点.4.如果b a ,是方程0)(=x f 的两个根,)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,那么方程0)(='x f 在),(b a 内( ).(A)只有一个根; (B)至少有一个根; (C)没有根; (D)以上结论都不对.5.无穷级数∑∞=--11)1(n pn n ,(0>p )敛散性是( ).(A)一定绝对收敛; (B)一定条件收敛; (C)一定收敛; (D)以上结论都不对.三、(14分,每小题7分)按要求求下列函数的导数1.设0tan ln arcsin 2=+-y e y x x ,求40π==y x dxdy .2.设⎩⎨⎧==-tt ey te x ,求dx dy ,22dx y d . 四、(10分)已知由曲线2x y = 与)0(3>=c cx y 所围成平面图形D 的面积为32。
四川大学《微积分(I)-1》2020-2021学年第一学期期末试卷A卷及解答
四川大学期末考试试题(闭卷)(2020——2021学年第 1 学期)A卷课程号:201137050 课序号:课程名称:微积分(Ⅰ)-1 任课教师:成绩:试卷编号:(1)n+-与轴所围成区域的面积x试卷编号:20202021(I)-1-四川大学学年微积分期末试题参考答案(315)一、填空题每小题分,共分3221111.3 2.1 3.3 4.arctan ln(1)3665.131x x x x C y x y x --+++=+=-;;;;;.(832)二、计算题每小题分,共分222021(121.lim.cos x x x x x e→-+--求极限 2224422421111cos 1()1()()2!4!2!2!2x x x x x o x e x o x -=-++=-+-+解因为,,12244211(1)1()28x x x o x =+=+-+ ……………….. 3分2244211101~cos ~2812xx x x x e x -→+---所以当时,,……………….. 6分404138lim .1212x xx →==--因此,原式 ……………….. 8分23332.()(1)sin ()sin d ().x f x x e x f x x x f x ππ-=++⎰设,求33()sin d sin ]A f x x x x ππππ-=-⎰解设,两边同乘并在区间,上积分,得23363()sind (1)sin d sin d x f x x x xe x x A x x ππππππ---=++⎰⎰⎰ ……….. 4分由奇偶性得662605315sin d 4sin d 4I 4.64228A x x x x πππππ-====⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2335()(1)sin .8x f x x e x π=++所以 …………….. 8分3.()(0)()1[()()]sin d .f x f f f x f x x x ππ''''==+⎰已知连续,且,求积分的值()sin d ()sin d ()sin d sin d ()f x x x f x x x f x x x x f x ππππ'''=+=+⎰⎰⎰⎰解由分部积分公式原式00()sin d [()sin |()cos d ]f x x x f x x f x x x πππ''=+-⎰⎰()sin d ()cos d f x x x f x x x ππ'=-⎰⎰ …………….. 4分()sin d cos d ()f x x x x f x ππ=-⎰⎰00()sin d [cos ()|()sin d ]f x x x x f x f x x x πππ=-+⎰⎰…………….. 6分2= …………….. 8分22(12)4.()cos (0).f x x x f =设,求222211()cos cos 222f x x x x x x ==+解首先, …………….. 2分 由莱布尼茨公式(12)22(12)2(12)111()(cos 2)(cos 2)222f x x x x x x =+=⋅(12)21(11)2(10)12121[(cos 2)(cos 2)2(cos 2)20]2x x C x x C x =⋅+⋅+⋅+……….. 6分 (12)2(10)1201(0)(cos 2)2|2x f C x ==⋅⋅所以10100662cos(210)|662.2x x π==⋅⋅+⋅=-⋅ …………….. 8分(1020)三、解答题每小题分,共分220()()1.()0lim1lim(0)x ax x t f x t d tf x f x x b b xxa b →→-===≠⎰设函数在处可导,且,若,求,的值.()lim1 0()~.x f x x f x x x→=→解知,当时,因此 22222220011()()()()22x x x t f x t d t f x t d x t f u du -=---=⎰⎰⎰ ……….. 4分224001110()~224x x x f u du udu x →=⎰⎰所以,当时,,从而2204()1lim4x x t f x t d tx →-=⎰14.4a b ∴==, …………….. 10分 232.()1(1)0().23nnx x x f x x n n=-+-++-=讨论方程为正整数有几个实根0()0.0x f x x ≤>>解易知当时,,无实根故就讨论即可. 212221(1) 21()10.1k k x n k f x x x xx--+'=-=-+-+-=-<+当时,()(0)1()f x f f =+∞=-∞严格单减,,,.由零点存在定理知原方程有唯一实根 …………….. 6分 22211(2) 2()10 1.1k k x n k f x x x xx x--'==-+-+=-==+当时,令,得01()0() 1()0()x f x f x x f x f x ''<<<>>当时,,严格单减;当时,,严格单增.11111(1)(11)()()02322212f k k k=-+-++-+>--而,2.n k =因此当时原方程无实根 …………….. 10分(1020)四、应用题每小题分,共分sin 1.(02).1cos x t t t x y tπ=-⎧≤≤⎨=-⎩求由曲线与轴所围成区域的面积解 区域的面积20d A y x π=⎰…………….. 2分20(1cos )d(sin )t t t π=--⎰22244200(1cos )d 4sin d 16sin d 2tt t t u u πππ=-==⎰⎰⎰ ………….. 8分31163422ππ=⋅⋅⋅= …………….. 10分2.(110)(021).(1)0(2)(3)02.A B AB z AB AB z z z ===设空间有两点,,,,,求经过且与坐标面垂直的平面方程;求经过的直线方程;将直线绕轴旋转一周,求介于面与之间的旋转体体积(1)(001).()n M x y z =解 平面的法矢量,,设所求平面上任意一点为,,,则1111101[]020.x y z AM AB n x y ---==+-=,,,即平面方程为…………….. 3分11(2).111x y zAB --==-由两点式知经过的直线方程为…………….. 6分 22222(3)11.[02]()()((1)(1))2(1).AB x z y z z z A z x y z z z πππ=-=+=+=-++=+由直线的方程知:,故在区间,上任取一点,做垂直于轴的截面,面积为222028()d 2(1)d .3V A z z z z ππ==+=⎰⎰因此旋转体的体积为…………….. 10分(162713)五、证明题第小题分,第小题分,共分120121.()[0]()d 0(1)(0)()0(2)()cos d 0(0)()()0.f x C f x x f f x x x f f πππξπξηηπηη∈=∈==∈==⎰⎰设函数,,满足,证明:存在,,使得;若同时还满足,则存在不同的,,,使得0(1)()()(0)0()0(0)xF x f t d t F F ππξ===⎰证明令,则,,由罗尔定理知,在,内至少存在,()0()0.F f ξξ'==使得,即 …………….. 3分 00(2)0()cos cos ()[cos ()]sin ()sin ()f x xd x xd F x xF x xF x d x xF x d xπππππ===+=⎰⎰⎰⎰同时(1)(0)()sin 0()0.F F ξπξξξ∈==由知存在,,使得,即12[0][](0)ξξππηη在区间,,,上分别由罗尔定理即得:在,内存在两个不同的点,, 12()()0.f f ηη==使得 …………….. 6分11112.{}1 2.lim !.(1)n n n n n n a a a a n n a n a e-→∞-==≥=+设数列满足:,,证明111211111111!(1)!(1)!(1)!(1)!(2)!(2)!n n n n n a n a n a n n a n n n a ----+==+=++------证明111+1(1)!(2)!1!n n ==+++-- …………….. 3分 111+1()(1)!(2)!1!!e e e n n n n ξ+++=-→→∞--由泰勒公式知, …………….. 5分 11lim !lim.111+1(1)!(2)!1!n n n n a en n →∞→∞∴==+++-- …………….. 7分。
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一、 选择题 (选出每小题的正确选项,每小题2分,共计10分)1.1lim 2xx -→=_________。
(A ) - (B ) + (C ) 0 (D ) 不存在 2.当0x →时,()x xf x x+=的极限为 _________。
(A ) 0 (B ) 1 (C )2 (D ) 不存在 3. 下列极限存在,则成立的是_________。
0()()()lim ()x f a x f a A f a x -∆→+∆-'=∆0()(0)()lim (0)x f tx f B tf x→-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()()()lim ()x f x f a D f a a x →-'=-4. 设f (x )有二阶连续导数,且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。
(A ) 极小值 (B )极大值( C )拐点 (D ) 不是极值点也不是拐点 5.若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。
()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dxφ=⎰⎰ 二、 填空题(每小题3分,共18分)1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导,且,那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。
2.函数()3f x x x =-在区间[0,3]上满足罗尔定理,则定理中的= 。
3.设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么 。
4.设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。
5.设某商品的需求量Q是价格P的函数5Q P =-,那么在P=4的水平上,若价格 下降1%,需求量将 。
6.若,11),(+-==x x u u f y 且,1)('u u f =dydx = 。
三、计算题(每小题6分,共42分):1、 求11ln (ln )lim xx ex -→2、1[(1)]lim xx x ex →∞+-3、设211~,21x ax x c bx→∞-++时,无穷小量求常数a 、b 、c. 4、5、ln(2)x xe dx e +⎰ 6、3cos sin x x dx x ⎰7、设函数f(x)具有二阶导数,且f (0)=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x'=⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ,求()g x '。
四、(8分)假设某种商品的需求量Q 是单价P (单位元)的函数:Q=1200-8P ;商品的总成本C 是需求量Q 的函数:C=2500+5Q 。
(1) 求边际收益函数和边际成本函数; (2) 求使销售利润最大的商品单价。
五、(12分)作函数221(1)x y x -=-的图形 六、证明题(每题5分,共计10分)1、 设函数)(x f 在[,]a b 上连续,且()f x '在(,)a b 内是常数,证明)(x f 在[,]a b 上的表达式为 (),f x Ax B A B =+其中、为常数。
2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导,且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。
《微积分》(上)期末考试试卷答案(A)一、 选择题 (选出每小题的正确选项,每小题2分,共计10分)1.C ; 2. D ; 3.B C; 4.A; 5.B C.二、 填空题(每小题3分,共18分)1. 12y x =-2. 2 3.21ln C x x-+ 4.X=2,极小值 5.上升2% 6.221dy dx x =- 三、计算题(每小题6分,共42分): 1、求11ln (ln )lim xx ex -→解:令11ln (ln )xy x -=,则1ln ln(ln )______21ln y x x=-分00011ln limln lim ln(ln lim 11ln x x x x x y x x x →→→==--)=-1-----3分 10lim x y e -→=-----1分3、1[(1)]lim xx x ex →∞+-解:原式= 11[(1)1]2lim x x x e x →∞+------分11111lim(1)241lim xx x x x e e x e x→∞→∞-+==+=-----分 3、设211~,21x ax x c bx→∞-++时,无穷小量求常数a 、b 、c.解:由2211ax x cbx -+=+ 3分 得a=0,b=-2,c 取任意实数。
3分 4解:12==分1arc 2C = 3分5、解ln(2)1ln(2)ln(2)2x x x x xxx e dx e de e e dx e e --+=-+=-+++⎰⎰⎰ 2分 12ln(2)22x x xxxe e e e dx e -+-=-+++⎰ 2分 11ln(2)ln(2)2211()ln(2)22x x x x x e e x e C e e x C--=-++-++=-++++ 2分6、解:32cos 11sin 2sin x x dx xd x x=-⎰⎰ 2分221[csc ]2sin xxdx x=--⎰ 2分2112sin 2x ctgx C x =--+ 2分 7、设函数f(x)具有二阶连续导数,且f (0)=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x'=⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ,求()g x '解:2()()0()xf x f x x x x '-'≠=当时,g ,这时()g x '连续 2分200()(0)()(0)10(0)lim lim (0)22x x f x xf f x f x f x x →→'''--'''====当时,g 3分 所以2()(),0,()1(0),0.2xf x f x x x g x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩ 1分四、(8分)假设某种商品的需求量Q 是单价P (单位元)的函数:Q=1200-8P ;商品的总成本C 是需求量Q 的函数:C=2500+5Q 。
(3) 求边际收益函数MR 和边际成本函数MC ; (4) 求使销售利润最大的商品单价。
解:(1)212008,5;MR PQ P P MC ==-= 3分 (2)利润函数2()812408500,L P PQ C P P =-=-+- 1分155()1612400,2L P P '=-+=令得P=()160,L p ''=-<唯一驻点,又 2分P=155/2时利润最大。
2分五、(12分)作函数221(1)x y x -=-的图形 答案: (1)定义域是()()1,,11,=+∞⋃∞-x 是间断点 1分 (2)渐近线因,0)1(122lim =--∞→x x x 故y=0为水平渐近线 因,)1(1221lim ∞=--→x x x 故x=1为垂直渐近线 2分 (3)单调性、极值、凹凸及拐点 ,)1(23'--=x x y 令,0'=y 得x=0 ,)1(244''-+=x x y 令,0''=y 得21-=x 再列表1)0(-=f 是极小值;拐点是)89,21(--. 6分(4)选点当21=x 时,y=0;当23=x 时,y=8;当x=2时,y=3;当x=3时,45=y 1分(5)描点作图 略 2分六、证明题(每题5分,共计10分)1、设函数)(x f 在[,]a b 上连续,且()f x '在(,)a b 内是常数,证明)(x f 在[,]a b 上的表达式为 (),f x Ax B A B =+其中、为常数。
证明:设(),f x k '=在(a ,b )内任取一点x ,在区间[a ,x]上由拉格朗日中值定理有:()()()()()f x f a f a x k a x a x ξξ'-=-=-<< 2分则()()(,())f x kx ka f a Ax B A k B ka f a =-++=+=-=+其中 2分当x=a 时,上式也成立。
1分2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导,且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。
证明:在0,)+∞(内任取一点x ,则()[0]f x x 在,上满足拉格朗日中值定理条件, 1()(0)(),f x f f x kx ξ'-=>()(0),f x kx f >+即 3分令11(0)0,()0f x f x k=->>且,由f (x )的单调性和零值定理知原命题成立。
2分。