高中数学双曲线离心率求解的基本方法
双曲线离心率常见求法整理归纳
1双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a =>，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -=(a >)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为 .3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .4．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 .6．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 .8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线12222=-by a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 .10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．方法二、构造,a c 的齐次式，解出e1．过双曲线22221x y a b-=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．2．设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________．3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形1．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________．2．双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________．3．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________．4．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为________．6．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，离心率为e ，若12||||PF e PF =，此离心率的取值范围为________．方法四、双曲线离心率取值范围问题例1.(本题需要使用双曲线的第二定义解决)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．例2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．例 4.已知点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上，双曲线两焦点为12,F F ，2221||||PF PF 最小值是8a ，则此双曲线的离心率的取值范围是 ． 例 5.双曲线2222222211x y y x a b b a-=-=与的离心率分别是12,,e e 则12e e +的最小值为 ．与准线有关的题目1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 .2．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 . 3.设点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支上，双曲线两焦点为12,F F ，已知1PF 是点P 到左准线l 的距离d 和2PF 的比例中项，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．4．已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是_______.。
双曲线离心率如何求——从一道高考真题谈起
双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。
如何求双曲线的离心率
%
2 姨 3 －1
%
故选D. = 姨 3 +1，
%
与渐近线y=
b 得出其斜率的乘积为-1， 进而求得b和a， x垂直， c a
点评 ： 本题把双曲线的问题放在正六边形中考查 ， 情境新 颖 ， 综合考查多方面的能力 ， 掌握正六边形的性质是解决本题的 基础 . 利用性质得出计算 2a=|EC|-|FE| 的值是解题的关键 ． 例 6 （2012 年浙江杭州第二中学高三模拟） 如图 3， F2为双
如何 求 双 曲
离心率 的 线
黄 健
筅湖北省广水市育才高中
也可求出渐近线的方程， 即
b % 2 当双曲线的 = 姨e －1 . 但要注意， a x2 y 2 （a>0， － =1 a2 b2
焦点所在的坐标轴不确定时上述两类问题都有两解.
例 1 （2012 年湖北黄冈高三模拟） 双曲线
%
则它的离心率e=______. ） 的一条渐近线方程为y= 姨 2 x， b>0 2 由于新课标降低了对双曲线的要求， 双曲线中基本知识必然 成为高考考查的热点， 考查中常常涉及到双曲线基本量 （a、 b、 c、 ） 之间的关系以及双曲线的渐近线， 特别是双曲线的离心率， 求 e 双曲线离心率涉及到解析几何 、 平面几何、 代数等多个知识点， 综合性强， 方法灵活， 解题关键是挖掘题中的隐含条件， 能够体 现双曲线解题的技巧与方法. 下面通过具体例子分类解析如何 求解双曲线的离心率.
一 、利用渐近线与离心率的关系求解
双曲线的渐近线也是用来反映双曲线的开口大小的程度 的， 所以双曲线的离心率与渐近线之间有着密切的联系， 二者之 间可以互求. 已知渐近线的方程时，可得 b a +b =1+ a a2
巧解双曲线的离心率问题
(1,
2]
，故选A.
典例4：已知双曲线C： a2 － b2 ＝1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点
分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲
线C的离心率的取值范围为
A．(1，3] B．[3，＋∞) C．(0，3) D．(0，3]
（下转第255页）
**注：本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《高中数学教学渗透数学文化的实践与研究》（立项批准号FJJKXB18-605）研究 成果。
角三角形，则双曲线的离心率为( )
几何法：根据几何关系找出 a与c 的关系式 解析：∵△ABF2是直角三角形， ∴∠AF2F1＝45°， |AF1|＝|F1F2|，＝2c. ∴b2＝2ac，∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0.
解得e＝1± 2 .又e>1，
∴e＝1＋ 2 .
所以选A 二、求离心率的范围
≥
1 2
S∆IF1F2
所以
r 2
PF1
−r 2
PF2
≥r 4
F1F2
，
r 两边约去 2 得 PF1 =
PF2
+
1 2
F1F2
,∴
PF1
−
PF2
=
1 2
F1F2
，
根据双曲线定义，得 PF1 − PF=2 2a, F1F=2 2c ，∴ 2a ≥ c ⇒ 离心
率为 e=
c a
≤
2
，双曲线的离心率x2取值y2范围为
2019 年 9 月
巧解双曲线的离心率问题 *
李建生
（厦门外国语学校石狮分校 ）
摘 要：通过列举各种方法求解双曲线离心率问题，让学生掌握解决双曲线离心率的方法与技巧 关键词：直接法 通径法 几何法 设而不求法 导数法
人教版高中数学选修2-1《求取离心率问题》
e 的取值范围
例4：已知椭圆 (a>b>0)的左顶点
为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中 点 2 2MF MA BF 0 为M，若 ，求该椭圆离心率的 取值范围．
y
B
M
A
o
F
x
《3》根据曲线方程列出含参数的关系式，求
e 的取值范围
例4：已知椭圆 (a>b>0)的左顶点
为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中 点 2 2MF MA BF 0 为M，若 ，求该椭圆离心率的 1 ， 1) 取值范围．[ 2－
(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点， 过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两 点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线离心率 e 的取值范围是( B ) A．(1，＋∞) C．(1,1＋ ) B．(1 , 2 )
D．(2,1＋
)
三．归纳小结
1.注意椭圆与双曲线的离心率取值范围. 2.求离心率解题步骤。 3.求离心率的关键。 4.求离心率的题型有两类（1）求值 （2）求取值范围
3 或 D 2
5
例2： 设双曲线的—个焦点为F；虚轴的— 个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) (A)
《2》构建关于a，c的方程求解
2 (B)
3 (C)
3 1 (D) 2
5 1 2
B
F
例2： 设双曲线的—个焦点为F；虚轴的— 个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( D ) (A)
《2》构建关于a，c的方程求解
2 (B)
3 (C)
3 1 (D) 2
双曲线离心率求解的基本方法
精品文档双曲线离心率的求法、利用双曲线定义 例1.已知椭圆E 上存在点P ,在P 与椭圆E 的两个焦点F 、F 2构成的△ FPF 2中, sin. PF 1F 2 : si n. FfF 2:si n. PF 2F 1 ^7 :10 :11.则椭圆 E 的离心率等于 ________二、利用平面几何性质2 2例2 设点P 在双曲线 冷-爲=1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两 a b 焦点F 、F 2, I PF I=4| PF 2 I ,求双曲线离心率的取值范围。
三、 利用数形结合例3 (同例2)四、 利用均值不等式2 2务一笃_1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两焦a b六、 利用直线与双曲线的位置关系2X 2例6已知双曲线—-y = 1(a . 0)与直线I : x • y = 1交于P 、Qa 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
七、 利用点与双曲线的位置关系2例7已知双曲线■X 〒一 y 2 = 1(a > 0)上存在p 、Q 两点关于直线a x - 2y =1对称，求双曲线离心率的取值范围。
八、 利用非负数性质2 2例8已知过双曲线 务-花-1(a ■ 0,b . 0)左焦点R ,的直线I 交a b双曲线于 P Q 两点，且OP_OQ ( O 为原点)，求双曲线离心率的取值范围。
九、 利用双曲线性质2 2例9.已知双曲线务-首-1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F i (-c,0), F 2(C ,0) •若双曲a b 线上存在点P 使si n PF i F 2朋，则该双曲线的离心率的取值范围是 __________________________sin /PF 2F 1 c精品文档 例4已知点P 在双曲线 点为斤、F 2 , |一丄最小值是8a ,求双曲线离心率的取值范围。
|PF 2|五、利用已知参数的范围例5已知梯形ABCD 中, |AB | = 2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为，，双曲线过 C 、D E 三点，且以 A B 为焦点，当 <3- 4 <- 求双曲线离心率的取值范围。
双曲线的焦点与离心率的计算方法
双曲线的焦点与离心率的计算方法双曲线是经典的数学曲线之一，具有特殊的性质和形态。
焦点和离心率是描述双曲线的重要参数，能够帮助我们深入理解和分析双曲线的性质。
本文将介绍双曲线的定义、焦点与离心率的计算方法，并探讨它们在几何和物理中的应用。
一、双曲线的定义双曲线是具有以下几何性质的曲线：1. 定义域：双曲线的定义域为实数集，即曲线上的每一个点都对应一个实数，而且实数可以取任意值。
2. 对称轴：双曲线有两条对称轴，分别为纵轴和横轴。
对称轴是曲线的镜像轴，将曲线分为两个对称的部分。
3. 四个分支：双曲线由四个分支组成，分别位于对称轴及其延长线的两侧。
4. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别靠近其两个对称轴。
渐近线与双曲线在无穷远处趋于平行。
二、焦点的计算方法焦点是双曲线上的一个特殊点，具有重要的几何和物理意义。
双曲线的焦点计算方法如下：1. 横轴双曲线：设双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点距离原点的距离为c，离中心最近的点为F1，离中心最远的点为F2。
则焦点的坐标为F1(c,0)和F2(-c,0)。
2. 纵轴双曲线：设双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点距离原点的距离为c，离中心最近的点为F1，离中心最远的点为F2。
则焦点的坐标为F1(0,c)和F2(0,-c)。
三、离心率的计算方法离心率是双曲线的一个重要参数，用来描述双曲线的形态特征。
离心率的计算方法如下：1. 横轴双曲线：设双曲线的焦点为F1(c,0)和F2(-c,0)，顶点为V(a,0)，则离心率e的计算公式为 e = c / a。
2. 纵轴双曲线：设双曲线的焦点为F1(0,c)和F2(0,-c)，顶点为V(0,a)，则离心率e的计算公式为 e = c / a。
离心率e是一个大于1的实数，可以反映出双曲线的独特形状。
当离心率e趋近于1时，双曲线的形状趋近于抛物线；当e大于1时，双曲线的形状更加尖锐。
四、焦点和离心率的应用焦点和离心率是双曲线的重要参数，在几何和物理中具有广泛的应用。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧【摘要】高中数学中，离心率题型是一个常见但也容易出错的题目。
本文将介绍关于高中数学离心率题型的解法技巧。
在我们将介绍离心率的定义和背景知识。
在我们将详细讲解离心率的性质、解题步骤，并举例说明常见的题型。
我们会提醒大家在解题时需要注意的事项，并进行实战演练。
在我们将总结本文的内容，并探讨离心率在实际生活中的拓展应用，以及如何进一步提升解题能力。
通过本文的学习，读者将能够更加熟练地解决高中数学中关于离心率的题目。
【关键词】高中数学、离心率、题型、解法、有效技巧、引言、定义与性质、解题步骤、常见题型举例、注意事项、实战演练、结论、总结、拓展应用、思考提升。
1. 引言1.1 介绍高中数学中的离心率题型是一种常见而重要的题型，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等几何图形的特性和性质。
理解和掌握离心率的计算方法对于解题十分重要，而有效的解决技巧可以帮助学生提高解题效率，提升数学成绩。
在本文中，我们将介绍关于高中数学离心率题型的解题技巧，希望能够为学生们在学习和应试过程中提供指导和帮助。
在接下来的我们将详细介绍离心率的定义和性质，解题步骤以及常见题型举例，同时给出一些注意事项和实战演练，希望能够帮助学生们全面深入地理解和掌握离心率这一重要的数学知识。
通过不断的学习和练习，我们相信每位学生都能够在离心率题型上取得更好的成绩。
1.2 背景知识高中数学中，离心率是一个重要且常见的概念。
在几何学和代数学中，离心率通常用来描述椭圆、双曲线和抛物线等二次曲线的形状。
理解离心率的概念对于解决与二次曲线相关的数学问题非常重要。
离心率的定义是一个数值，用来衡量一个二次曲线的“扁平”程度。
在椭圆和双曲线中，离心率的取值范围是0到1，越接近1表示曲线越扁平；在抛物线中，离心率为1，表示曲线为对称。
在解决与离心率相关的数学题目时，首先要掌握离心率的定义及其性质。
需要了解解题的基本步骤，包括求解离心率、判断曲线类型、求解焦点、导线等。
离心率的求法
例谈双曲线离心率的求法从近几年新课标全国卷对圆锥曲线的考察来看，考察考察形式基本上都是一大两小共三个题，大题主要考察椭圆和抛物线，小题主要考察双曲线的性质，对双曲线性质的考察主要以离心率为主，本文结合近几年高考题谈谈双曲线离心率问题的处理策略。
一，利用标准方程求解例1，（2015全国2卷）已知A,B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）2分析：设出双曲线的标准方程，利用顶角为120°求出M 的坐标，带人双曲线的方程即可。
解：设双曲线E 的标准方程为：22221x y a b -=(0,0)a b >>，则(,0),a a -(,0)B a ，不妨设M点在第一象限，则易得(2)M a ，又M 在双曲线E上，于是22(2)1a a =，解得：22a b =，所以e ==A 。
二，利用渐近线方程求解例2：（2013全国新课标卷改编）已知双曲线C ：22221x y a b-=的渐近线方程为12y x =±，则双曲线的离心率为_________分析：利用离心率与渐近线的关系e =即可求解。
解：由渐近线方程可知：12b a =，所以2c e a ====三，利用双曲线定义求解例3：（2014重庆卷）设1F ,2F 为双曲线22221x y a b-=的左右焦点，双曲线上存在一点P 使得123,PF PF b +=126,PF PF ab ⋅=则双曲线的离心率为（ ） A.43B.53 C.94D.3分析：此题考查双曲线焦点三角形问题，焦点三角形问题通常考虑双曲线定义及正余弦定义或勾股定理。
解：由双曲线的定义可知：122,PF PF a -=±又123,PF PF b +=所以22221212()()94PF PF PF a PF b a +--=-即2212494,PF PF b a ⋅=-又126,PF PF ab ⋅=所以22949,b a ab -=即299()40b b a a --=解得43b a =，所以离心率53e ==。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率是一个常见的题型，解题时需要掌握一些有效的解决技巧。
下面将介绍几种常见的离心率题型及解法。
一、求离心率的大小对于给定的椭圆方程或双曲线方程，要求其离心率的大小，可以通过以下步骤进行解题：1.找到椭圆（或双曲线）的焦点坐标（a，0）和（-a，0），及顶点的坐标（c，0）和（-c，0）。
2.根据离心率的定义，离心率e等于焦点到顶点的距离与长轴的一半的比值，即e=c/a。
3.计算离心率的大小。
二、已知离心率和焦点坐标求椭圆（或双曲线）方程对于给定的离心率e和焦点坐标（a，0）和（-a，0），要求方程的解，可以按照以下步骤进行：2.由于离心率与顶点的坐标有关，可以令顶点的坐标为（c，0）和（-c，0）。
3.根据顶点坐标和离心率的定义，可以得到方程的表达式。
4.化简方程，得到标准形式的方程。
2.根据标准形式可以得到椭圆（或双曲线）的中心坐标（h，k），椭圆（或双曲线）的焦点公式为（h ± ae，k），离心率为e。
四、已知椭圆（或双曲线）方程及一点求与该点相切的切线方程3.通过求导可得到椭圆（或双曲线）的斜率k1。
4.由于切线与椭圆（或双曲线）相切，切线的斜率与椭圆（或双曲线）的斜率k1相等。
5.利用点斜式得到切线方程。
五、已知圆心和两个点的坐标求圆方程1.根据圆的定义，圆的半径r等于圆心到任意一点的距离，即r=sqrt((x1-h)^2+(y1-k)^2)。
六、已知圆的方程求切线方程总结：在解决高中数学离心率题型时，需要熟悉椭圆和双曲线的基本概念和性质，掌握离心率的定义和求解方法。
通过对给定的条件进行分析和计算，可以得到离心率的大小、椭圆（或双曲线）的方程、焦点的坐标及离心率的大小、与给定点相切的切线方程等信息。
掌握了这些解题技巧，就能够快速、准确地解决高中数学离心率题型。
求离心率范围的六种方法
求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。
离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。
因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。
笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。
一、利用椭圆上一点P (x ,y )坐标的取值范围，构造关于a ,b ,c 的不等式例1 若椭圆()012222 b a by a x =+上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。
解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则122220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ，所以以O A 为直径的圆经过点P ，所以020020=+-y ax x . ②联立①、②消去0y 并整理得当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。
所以2220ba ab x -=又a x 00，所以a ba ab 2220-， 即 ()22222c a b a -=得2122 ac ，即223e又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a ,b ,c 不等式例2 已知双曲线()0,01x 2222 b a by a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且221PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ，所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得a PF 2PF 12=- ②由①-②得在21PF F ∆中，所以 c e ea e a 21212≥-+- ， 即e e e ≥-+11. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(]21,1+。
三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 设椭圆()012222 b a by a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ∆=120°.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知a PF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得=212221PF PF PF PF ++ =（21221)PF PF PF PF -+所以22212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=- 所以23,4322≥≤a cc a 得. 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a ,b ,c 的不等式例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y 2-=x 上，求椭圆离心率e 的取值范围。
高考数学离心率的求值或取值范围问题解题模板
考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念.
【方法点评】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，
数中档题.其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线 代入双曲线 方程中即可得出点 的坐标，再由矩形的几何性质可得 ，最后可得出所求的结果.其解题的关键是正确地运用矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.
离心率的求值或取值范围问题解题模版
【高考地位】
圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点，有关离心率的试题，究其原因，一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想，离心率问题综合性较强，灵活多变，能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力，能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容，具有数学的实用性和美学价值，也是以后进一步学习的基础.
因为 为等边三角形，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为在 中， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故选：B
方法四借助题目中给出的不等信息
万能模板
内容
使用场景
离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立， 的范围等；
第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
【详解】解：因为过 作垂直于 轴的直线与椭圆交于 两点（ 在 轴上方），
所以 为椭圆的一条通径，
所以 ， ， ， ，
因为 ，
所以 ，即： ，
整理得： ，
所以 .
故选：C.
方法三借助平面几何图形中的不等关系
抓住关键__掌握方法_双曲线离心率的求法_王泽龙
，
∴ kAB ·kOP
=－
b2 a2
（值范围
例 7 如图 2，在直角 DEF 中，∠DEF
=
90°，| E→F |
= 2，| E→F + E→D |
=
5 2
，椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1，以 E、F 为焦点，且过点 D，点 O 为
坐标原点．
（ 1） 求椭圆 C 的标准方程；
为 60°，则双曲线的离心率为
．
分析 先 确 定 双 曲 线 的 图 形，结 合
ＲtB1 OF1 中边角之间几何特征，建立相应的 关系式，进而求解对应的离心率，利用几何法
求解双曲线的离心率关键是应用几何图形的
性质．
解 如图 1，不失一般性，假设双曲线的
焦点在 x 轴上． 由于 c ＞ b，所以
∠B1 F1 B2 = 60°，∠B1 F1 O = 30°． 在 ＲtB1 OF1 中，
设 MN 的中点为 H，则 KH ⊥ MN，此条件涉及
到弦 MN 的中点及弦 MN 的斜率，故用“点差
法”． 解
( ) （ 1）
x2 + y2 43
= 1，K 0，12
． （ 过程
略）
设 M（ x1 ，y1 ） ，N（ x2 ，y2 ） ，H（ x0 ，y0 ） ，直线 l
的斜率为 k（ k ≠ 0） ，则
2a = | PF1 | － | PF2 | = （ 槡3 － 1） m．
而 2c = 2m，
所以根据离心率的定义，有
e=
c a
=
2c 2a
=2 槡3 － 1
=
槡3
+ 1．
高二文科数学离心率的五种求法(精)
离心率的五种求法椭圆的离心率0<e<1，双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=c来解决。
ax2例1：已知双曲线2-y2=1（a>0）的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为a（） 3233 B. C. D. 2322223ac-132解：抛物线y=-6x的准线是x=，即双曲线的右准线x===，则2c2-3c-2=0，解得2cc2A.c=2，a=，e=c2，故选D =a3变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(3,0)，则其离心率为（）3211 B. C. D. 4324解：由F1(1,0)、F2(3,0)知 2c=3-1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=3，∴a=2，c=1，c1所以离心率e==.故选C. a2A.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（） A. 36 B. C. D 2 222c3=，因此选C a2解：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=x2y2变式练习3：点P（-3，1）在椭圆2+2=1（a>b>0）的左准线上，过点P且方向为=(2,-5)的光线，ab经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A 112BCD 32325(x+3)，关于y=-2的反射光线（对称关系）为5x-2y+5=0，则2解：由题意知，入射光线为y-1=-⎧a2c⎪=3c=1a=e==解得，，则，故选A ⎨ca3⎪-5c+5=0⎩二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
x2y2例2：已知F1、F2是双曲线2-2=1（a>0,b>0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若ab边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） +1 D. +1 2c解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为-，由焦半径公式2PF1=-exp-a， A. 4+2 B. 3-1 C.2c⎛c⎫c⎛⎫⎛c⎫即c=-⨯ -⎪-a，得⎪-2 ⎪-2=0，解得 a⎝2⎭⎝a⎭⎝a⎭ce==1+（1-3舍去），故选D ax2y2变式练习1：设双曲线2-2=1（0<a<b）的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线ab的距离为3c，则双曲线的离心率为( ) 4A. 2B.C. 2D. 2 3解：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，得aba2+b2=c， 422242又c=a+b, ∴4ab=3c,两边平方，得16a2c2-a2=3c4，整理得3e-16e+16=0， 2() c2a2+b2b2422=1+>2e=4，∴e=2，故选A 得e=4或e=，又0<a<b ，∴e=2=，∴223aaa22变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，则双曲线的离心率为（）∠F1MF2=1200，A B 6 C D 323解：如图所示，不妨设M(0,b)，F1(-c,0)，F2(c,0)，则MF1=MF2=c2+b2，又F1F2=2c，在∆F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2= MF1+MF2-F1F22MF1⋅MF2222,b2-c211c2+b2+c2+b2-4c2即-=，∴， =-22222b+c22c+b()()-a213222∵b=c-a，∴2，∴，∴，∴，故选B e==-3a=2ce=22222c-a222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∆F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
双曲线离心率秒杀公式
双曲线离心率秒杀公式
在数学中，双曲线是一种非常有趣且重要的曲线形式。
它由两个分离的点（焦点）和与这两个点的距离之差（称为离心率）的比例确定。
离心率是双曲线的一个重要参数，可以用来描述其形状。
在研究双曲线的性质和应用时，计算离心率是一个常见的任务。
幸运的是，有一个简单的公式可以用来计算双曲线的离心率，这个公式被称为双曲线离心率秒杀公式。
双曲线离心率秒杀公式是通过使用双曲线的焦点和顶点的坐标来计
算离心率的。
假设双曲线的焦点坐标为（h，k），顶点坐标为（a，b），离心率为e。
则公式如下：
e = √(h^2 + k^2 - a^2 - b^2) / |a|
这个公式的推导和证明可以通过几何和代数的方法完成，但是在这里我们只关注它的实际应用。
通过使用这个公式，我们可以轻松地计算给定双曲线的离心率。
双曲线离心率秒杀公式的应用非常广泛。
它可以在数学问题中使用，比如求解双曲线的方程、性质和参数等；它还可以在物理学和工程学中使用，比如在轨道力学中描述行星轨道的形状和运动等。
总结起来，双曲线离心率秒杀公式是一个非常有用的工具，可以帮助我们快速准确地计算双曲线的离心率。
它在数学、物理学和工程学等领域都有着广泛的应用。
掌握这个公式可以帮助我们更好地理解和应用双曲线的各种性质和特点。
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努力成就未来，综合文档 双曲线离心率的求法 一、利用双曲线定义 例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于
二、利用平面几何性质
例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
三、利用数形结合
例3 （同例2）
四、利用均值不等式
例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，|
PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。
五、利用已知参数的范围
例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线
段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B
为焦点，当4
332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。
六、利用直线与双曲线的位置关系
例6 已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
七、利用点与双曲线的位置关系
例7 已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。
八、利用非负数性质
例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。
九、利用双曲线性质
例9.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c
∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是。