线性代数期末考试复习资料

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推论2.1 任意m(m>n)个n维向量线性相关.
（注：由于没有m阶子式，故R(A)<m）
推论2.2 m个n维向量线性无关的充要条件是由它们组成 的m n矩阵的秩为m(m n).
推论2.3 n 个n维向量线性无关（相关）的充要条件 是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).
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如果向量组1, 2 L
则方程组有向量形式 x11 x22 L xnn b 7
2.2 向量的线性关系
定义2.4 设有同维向量1,2 ,L ,n , ，如果存在
一组数 k1, k2 ,L , kn ，使得 k11 k22 L knn 成立，
则称向量 可由向量组 1,2 ,L ,n 线性表示，或称向量
是向量组 1,2 ,L ,n 的线性组合。
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向量组的等价
如果向量组A 可由向量组B线性表示，且B 可由A线性表示，则称A与B等价。
（1） 自反性：任何向量组都与自身等价。
性
质
（2） 对称性： 如果向量组A与B 等价，则B
与A等价。
（3） 传递性： 如果向量组A与B等价，B与C 等价，则A与C等价。
相互等价的线性无关向量组含有相同的向量个数
设A Amn , R( A) r n, 则方程组 Ax 0的基础解系含有n - r个解向量。
基础解系： 1，2 ,L nr
通解定义2.11 x k11 k22 L knr nr
k1, k2 ,L
kn
为任意实数
r
下面来看如何求齐次线性方程组的通解(书上P61)。
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非齐次线性方程组
a11x1a12 x 2 L a1n xn b1
1
2
3
4
5
6
●线性方程组的向量表达式
线性方程组
a11x1 a12x2 L a1n xn b1 La21Lx1L a22x2 L a2nxn b2 am1x1 am2x2 L amn xn bm
（1）
a1 j
若记
j
a2
j
M
amj
( j 1, 2,L , n) j 即为系数矩阵的第 j 列
特殊 行列式 的计算
a11
a11
a11a22 ann
a11 a1n
ann
an1 ann
a n1
a1n
a1n a11
a1n
a n1
an1 ann an1
n(n1)
(1) 2 a1na2,n1 an1
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性质1.8 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一 数 k， 等于用数 k 乘此行列式 。
a1n
a2n
M
amn
a11 a12 L a1n b1
B
a21
a22
L
a2n
b2
M M M M M
am1 am2 L amn bm
系数矩阵
增广矩阵 31
记系数矩阵 A 1 2 L n
矩阵形式的方程组可以写成等价的向量形式
x11 x22 L xnn b
记矩阵 B 1 2 L n b A b
定义
设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块，其余子块都是零距阵，且非零子 块都是方阵，即
A1 O O A1
A
O O
A2 O
O
As
A2
As
()
其中 Ai (i 1,2, , s) 都是方阵，称A为分块对角矩阵
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定理1.9 (1) A A1 A2 As
A1 1 A，A1 1（要求证明）
A
A
若方程组中常数项全为零（齐次线性方程组），且
D不等于零，则该方程组有唯一零解，即若有非零解，
则系数行列式D等于零。
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定理1.7
A11 A21
证明
A
A12 A1n
A22 A2n
a11 a12
AA a21 a22
a n1
an2
An1
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推论1：当m>n时，m个n维向量线性相关。R( A) n m
推论2m个n维向量线性无关的充要条件是由它们为行向量
组成的m n矩阵的秩为mm n.
推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零.
推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零.
，部分向量组
m
S线性相关。由此部分向量组S扩充，得到 1,2 ,L ,m
由命题3，1,2 ,L ,m 线性相关,矛盾。
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• 定理2.3 (1)线性相关向量组添加向量后仍 然线性相关;
• (2)线性无关向量组的子向量组必线性无关; • (3)线性无关向量组中的每个向量扩大同样
的维数,得到的新向量组仍然线性无关.
线性表示
线性方程组
x11 x22 L xnn 有解
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定义2.5
设有向量组1，2，L ，n ，如果存在一组不全为零的数 k1, k2 ,L , kn ，使得 k11 k22 L knn o 成立，则称 向量组 1，2，L ，n 线性相关，否则，称向量组 1，2，L ，n 线性无关。即当且仅当 k1, k2 ,L , kn 全为零时，k11 k22 L knn O 才成立，则称向量组 1，2，L ，n 线性无关。 ●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。
证1. “” 由A可逆知 A 0, 由伴随阵重要公式知,
AA A I
A A
A
,I
( A)1
1 A
A;
又A1(A1) A1
I
( A1)
1 A
A
( A)1
“” Q A可逆，且AA A I A 0 .
否则, 若 A 0 AA O A AA ( A )1 O A O, 这与A可逆矛盾. A可逆.
A﹡重要公式
An2
Ann
AA*
A* A
A
I
a1n A11 A21
a2n A12 A22
a nn
A1n
A2n
An1
An2
Ann
A 0
A 0
0 A
A
I.
例如乘积阵的第2行元素分别为
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定理1.8 n 阶方阵A 可逆的充要条件是 A 0. 且A1 1 A
证 “”
交换i, j两列 数乘第 i 列
column
数乘第 i 列
加到第 j 列
ci c j 变号
k ci
K倍
c j kci 等值
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定理1.7
A 设 A 是n 阶矩阵， * 为其转置伴随矩阵，则有
AA* A*A A I
定理1.8
设A为方阵。如果
A 0
则A可逆（非奇异、非 退化）矩阵，且
推论1.5
(2)两个等价的向量组秩相等.
用矩阵的初等行变换来解线性方程组，实际上，将矩阵的初 等行变换对比行列式的性质，有：矩阵的初等行变换并不改 变矩阵的秩，因此，可以将矩阵先化成行阶梯型矩阵，就可较 快求出矩阵的秩。
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说明：1）其中 表示对所有n阶排列求和，共有n！项； j1L jn 2） 对应于方阵A的行列式记为 A 或det（A）；
由A可逆知 AA1 I , 两边取行列式，
A
A1 1 A
AA1 A A1 I 1 A 0，A1 1
牢
“” 由 A 0, AA AA A I
A记
A( 1 A ) ( 1 A ) A I A1 1 A
A
A
A
这 个
定
A可逆 A 0 A非奇异
理
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(1,伴随阵性质.) 证明 A A n1
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线性相关的一些命题(定理2.3部分蕴涵其中)
1. 含有零向量的向量组，总是线性相关的。
不妨设1 0，则 11 02 L 0m 0
注：单个零向量构成的向量组线性相关。单个 非零向量是线性无关的。
2.含有相同向量的向量组，总是线性相关的。
不妨设1 2，则 11 （-1）2 L 0m 0
（2）若 Ai 0(i 1, 2,L , s),则 A 0,并有
A11 O O
A1
O
A21
O
O O As-1
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伴随矩阵的性质：
1.
A可逆 A可逆, 且( A )1
1 A
A ( A1 )
2. A A A1
3. A A n1
4. (kA) k n1 A
5. ( A ) A n2 A
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3.线性相关的向量组添加若干向量后，仍是线性 相关的。
设存在不全为零 k1, k2, L , kr使
k11 k22 L krr 0 k11 k22 L krr 0r1 L 0m 0
推论： 线性无关向量组的部分向量组，仍是线性 无关的。
反证法：
设线性无关向量组 1,2 ,L
,
(2,伴随阵性质.) 设A可逆，证明 ( A ) A n2 A .
证 由伴随阵重要公式知, A(A) A I, 而 A A n1 ,
A(A) A n1 I,
又 A可逆， A可逆，
且( A )1 1 A , ( A ) A n1 ( A )1 A n2A.
A
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定理1.9 分块对角矩阵
a11 a12 L a1n L LLL
a11
a12 L
a1n
L LLL
D ai1 ai2 L ain D1 kai1 kai2 L kain k D
L LLL
L LLL
an1 an2 L ann
an1 an2 L ann
推论1 :行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以
提到行列式符号的外面。
线性方程组 x11 x22 L xnn 有解
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●向量组的线性相关性的几个性质定理
1、单个非零向量是线性无关的。 2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。 3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变
向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关， 则部分无关。 4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。
因为 1O 0 1 0 2 L 0 n O
●两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。
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小结：
（1）向量组 1,2 ,L ,n 线性相关
齐次线性方程组
x11 x22 L xnn 0 有非零解 （2） 向量组 1,2 ,L ,n 线性无关
齐次线性方程组
x11 x22 L xnn 0 只有零解 (3) 向量 可由向量组 1,2 ,L ,n 线性表示
B为增广矩阵 方程组（4）有解的充分必要条件是它的增广矩阵
的秩与系数矩阵的秩相等。(定理2.11)
方程（4）无解的充分必要条件是：R(B)=R(A)+1
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1. 设 R(A)=R(B)=n
向量组1,2 ,L ,n 线性无关，而向量组
证 若 A 0, 则 A 0 . 否则, 若 A 0
A(A)1 I A AA ( A )1 A I (A)1 O
A O Aij O A O, 与 A 0矛盾。
若 A 0, Q AA A I, A A A1.
A A n A1 又 A1 A 1 , A A n1
例2 设 1 （1，2，1），2 （2,3,6）, =（5,8,13），
判断向量
表达式。
能否由向量组 1，2 线性表示？如果可以，求出
解 设 k11 k22
小结：
则 所以
k1 2k2 5 2k1 3k2 8 k1 6 22
可由向量组1，2，L ，n
推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则
D=0
推论3：如果行列式D有两行（列）的元素成比例，则
D=0
推论4： 设A为n阶方阵，则 A n A 。
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行的运算
交换i, j两行 数乘第 i 行
ri rj k ri
变号 K倍
row
数乘第 i行 加到第 j 行
rj kri
等值
列的运算
中的每一个向量都可以
s
由向量组1,2 ,L r线性表示,则称向量组1,
2 L s可以由向量组1,2 ,L r线性表示.
定义2.9:如果向量组1, 2 L s与向量组1,2,L r
可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.
引理2.1: (1)设向量组1, 2 L s可以由向量组1,2,L r
线性表示,如果s>r,则1, 2 L s线性相关.
a21x1a22 x 2 L a2n xn b2 ........................................
am1x1am2 x 2 L amn xn bm
(4)
m个方程 ，
n个未知数
矩阵形式 Ax b
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
am1 am2 L
定理2.5矩阵A的秩等于r的充要条件是A中存在r个 行向量线性无关,且任意r+1个行向量线性相关。
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最大无关组的含义有两层：1无关性;2.最大性.
注:1.线性无关向量组的最大无关组就是其本身;
2.向量组与其最大无关组等价; 3.同一个向量组的最大无关组不惟一,但它们之间是
等价的.
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定理2.10