2008年考研数学一真题

D3
解： B .
分析： f (x) ln(2 x2) 2x 2x ln(2 x2)
f (x)
2 ln(2 x 2)
4x2 2 x2
0，恒大于
0，所以
f
(x) 在 (, ) 上是单调递增的.
又因为 f (0) 0 ，根据其单调性可知 f (x) 只有一个零点.
（2）函数 f (x, y) arctan x 在点 (0,1) 处的梯度等于（ ） y
通解的是（ ）
A y y 4 y 4 y 0 .
B y y 4 y 4 y 0 .
C y y 4y 4y 0.
D y y 4y 4y 0 .
解： D .
第 1 页 共 12 页
分析；由
y
C1e x
C2
cos
2x
C3
sin
2x
可知其特征根为 1
1, 2,3
2i .
分析：设 F(x, y) sin(xy) ln( y x) x ，斜率 k Fx
yx ，
Fy x cos( xy) 1
y x
在 (0,1) 处， k 1，所以切线方程为 y 1 x ，即 y x 1
（ 11 ）已 知 幂 级 数 an x 2n 在 x 0 处收 敛 ， 在 x 4 处发 散 ， 则 幂 级 数
解： 4
分析； xydydz xdzdx x2dxdy xydydz xdzdx x2 dxdy x2dxdy
D
D上
ydxdydz
D上
x2 dxdy
0
1 2
D上
x2
y2
dxdy
1
2
（8）设随机变量 X N 0,1 ， Y N 1, 4 且相关系数 XY 1，则（ ）
A PY 2 X 1 1.
B PY 2 X 1 1 .
C PY 2 X 1 1 .
D PY 2 X 1 1.
解：选 D
分析：用排除法
设Y aX b ，由 XY 1，知道 X ,Y 正相关，得 a 0 ，排除 A 、 C
解： y 1 x
分析；由 dy y , dy
dx , ln
y
ln
x
所以
1
x ，又
y(1) 1，所以 y
1
.
dx x y x
y
x
（10）曲线 sin xy ln y x x 在点 0,1 处的切线方程为 .
第 3 页 共 12 页
解： y x 1.
y cos(xy) 1 1
n0
an x 3n 的收敛域为 .
n0
解： (1, 5].
分析：由题意知 an ( x 2) n 的收敛域为 (4, 0] ，则 an xn 的收敛域为 (2, 2].
n0
n0
所以 an( x 3)n 的收敛域为 (1,5] .
n0
（12）设曲面 是 z 4 x2 y2 的上侧，则 xydydz xdzdx x2dxdy .
2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所 选项前的字母填在题后的括号内.
x2
（1）设函数 f (x) ln(2 t)dt ，则 f (x)的零点个数（ ） 0
A 0
B 1
C 2
故 E A, E A 均可逆。
x
（6）设
A为
3
阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
(Fra Baidu bibliotek
x,
y,
z)
A
y
1 在正交变换下的标准方
z
程的图形如图，则 A 的正特征值个数为（ ）
A 0.
B 1.
C 2.
D 3.
解：选 B
分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 x2 y2 z2 1，故 A 的正特
a2
c2
第 2 页 共 12 页
征值个数为 1。
（7）设随机变量 X ,Y 独立同分布且 X 分布函数为 F x ，则 Z max X ,Y 分布函数为
（）
A F 2 x .
B F x F y.
C 1 1 F x 2 .
D 1 F x 1 F y .
解：选 A
分析；
F Z P Z z Pmax X ,Y z P X z P Y z F z F z F2 z
故对应的特征方程为 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)(2 4)
3 4 2 4 3 2 4 4
所以所求微分方程为 y y 4 y 4 y 0 , 选 D .
（4）设函数 f (x) 在 (, ) 内单调有界， xn 为数列，下列命题正确的是（ ）
A 若 xn 收敛，则 f ( xn)收敛.
B 若 xn 单调，则 f ( xn ) 收敛.
C 若 f ( xn ) 收敛，则 xn 收敛.
D 若 f ( xn)单调，则 xn 收敛.
解： B
分析：若 xn 单调，则由 f (x) 在 (, ) 内单调有界知， f ( xn) 单调有界，
因此 f ( xn)收敛,应选 B .
由 X ~ N(0,1),Y ~ N (1, 4)，得
EX 0, EY 1, E(Y) E(aX b) aEX b
1 a 0b, b 1
排除 B
故选择 D
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）微分方程 xy y 0 满足条件 y 1 1的解是 y .
A i
B -i
C j
D j
解； A .
分析：由
1
1
y
y
y
fx
1
x2
x2 y2
x2
y2 ,
y2
y2
1 f x(0,1) 1 1.
x
y2
x
fy
1 x2
,
x2 y2
y2
f y (0,1) 0.
所以 gradf (0,1) 1i 0 j i.
（3）在下列微分方程中，以 y C1ex C2 cos 2x C3 sin 2x （ C1,C2 ,C3 为任意常数）为
（5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 A3 0 ，则（ ）
A E A不可逆， E A 不可逆.
B E A不可逆， E A 可逆.
C E A可逆， E A 可逆.
D E A 可逆， E A不可逆.
解：选 C
分析： (E A)(E A A2) E A3 E ， (E A)(E A A2) E A3 E