初等数学研究不等式的解法

念
f=g.
第 恒等变换
一
节 一个解析式转换成另一个与它恒等的
解析式，这种变换称为恒等变换.
基
本
x 2x 1 3x 1
概
念
(a b)(a b) a2 b2
恒等变换是代数式运算的重要依据
第 1、不等式及其基本概念
五
节
定义1 用不等号联结两个解析式所成的式子， 称为不等式。
不 ① 按不等号分类
不
f (x) g(x)的定义域为M，
D((x)) M
f f
( (
x) x)
g(x)与
(x) g
(x)
同解。
(x)
等
式 定理3
f (x)
D((
g(x)的定义域为M，
x)) M ,(x) 0
f f
( (
x) g(
x)(x)
x)与
同解。
g(x)(x)
定理3
第 五
f (x) g(x)的定义域为M，
不 等
推论2
a b 0, c d 0 a b ; dc
式 推论3 a b 0 a n b n (n N );
推论4 a b 0 n a n b (n N ).
第 同解变形( 分式不等式 )
五
节
f (x) 0 g(x)
f (x)g(x)
0
不
等 f (x) 0 f (x)g(x) 0且g(x) 0.
式 g(x)
第 当n 2, an 0时， 五
节 F (x) an x n an1x n1 ... a1x a0 0(或 0)
一般采用“零点分区穿线法”求解
不
等
1）把F(x)因式分解；
式
2)在数轴上依次标出零点；
3）从右上角开始，根据“奇穿偶不穿”原 则进行穿线。
第 解下列不等式： 五
不 (2)传递性： a b, b c a c; 等 (3)加法单调性： a b a c b c;
式 (4)乘法单调性： a b, c 0 ac bc;
a b, c 0 ac bc.
第 由基本性质得到的推论： 五
节 推论1 a b 0, c d 0 ac bd 0;
| x | a, (a 0) x a或x a；
式 | f (x) | g(x), g(x) 0 f (x) g(x)或f (x) -g(x)
| x || a | x 2 a 2 . | f (x) || g(x) | f (x)2 g(x)2
第 五 例题5 解不等式： 节
不 || x 3 | | x 1 || 4
等 式
例题4 解不等式：
第 | x 1 | | x 2 | | x 3 | 2
五
节
含多个绝对值的不等式，一般采取 零点分段去绝对值进行求解。
不 等 式
例题6 解不等式：
第
五 节
| x a | | x | 2,其中a为参数。
不
最小距离 | a |
等 分类讨论：10）当 | a | 2时，不等式无解；
② 按解析式分类
等 式
、
、
严不等式 非严不等式
代数不等式 超越不等式
定义2 用不等号联结的两个解析式定义域的交集，
第 称为不等式的定义域。
五
节
③ 按不等式解集与其定义域的关系分类
不
定义域
绝对不等式
等
真子集
条件不等式
式
空集
矛盾不等式
第 二、不等式基本性质 五
节 (1)对称性：a b b a;
五
节 不
f (x) 0,
f (x)
g(x)
g f
(x) (x)
0, g
2
(
或 x);
f g
(x) (x)
0, 0.
等
式
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f (x) 0,
f (x)
g(x)
g
f
(x) (x)
0, g
2
(
或 x);
f g
(x) (x)
0, 0.
第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节
f (x) 0,
D((x)) M ,(x) 0
f f
(x) g(
(x)(x)
x)与
同解。
g(x)(x)
节
证明思路：
不
10 证对f (x) g(x)的任意解a,
等
都有f (a)(a) g(a)(a)；
式
20 证对f (x)(x) g(x)(x)的任意解b,
都有f (b) g(b)的解。
第 同解变形（ 无理不等式 ）
式
20 )当| a | 2时，解集为(- 2 a , 2 - a ). 22
思考：| x 1| | x | 2
| x -1| | x - 3 | 4
解绝对值不等式小结
第 五
1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉 绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一
节 元高次不等式（组），进行求解。
不
A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般
等 采用零点分段法。
式
eg :| x a | | x b | | x c | | x - d | m,
其中a、b、c、d都是实数。
第 五 节 B、形如 | x - a | | x - b | m( m),
其中m为正常数，一般采用数 形结合的方法求解。
不 等 式
第 同解变形
五 节 定理2
念
运算不同对解析式进行分类
第 运算
一
节 1.代数运算
代数式
基 、、、、指数为有理数的乘方（开方）运算
本 概
2.超越运算
超越式
念 指数有无理数的乘方、对数、三角，反三角运算
第 恒等式
一
节 两个解析式 f 和 g 对于它们公共定义
基 域的某个子集内的一切值都有相同的 本 取值，记作 f ≡ g，通常在不引起混 概 淆的情况下也记作
第2章 式与不等式
讲授内容： 1.解析式的基本概念； 2.不等式的有关概念和性质； 3.不等式（组）的解法； 4.不等式的证明； 5.几个著名的不等式；(均值、柯西、排序、
Jensen) 6.不等式的应用.
解析式
第 一
节 1.字母代表数;
2.式本身是代表数的符号，也表明对于
基
本 数和字母按怎样的次序进行什么运算 概 的符号.
节 1、(x 1)2 (x 1)( x 7)( x 9) 0
不
等
式
2、 10x 2 x 1
x 2 3x 2
第 同解变形（ 绝对值不等式 ）
五
| x | a, (a 0) a x a;
节
| f (x) | g(x), g(x) 0 g(x) f (x) g(x)
不 等
f
(x)
g(x)
g
(
x)
0,
不 等
f
(x)
g
2
(x)
式
f (x) 0,
f
(x)
g(x)
g
(
x)
0,
f
(x)
g
2 (x)
第 思维训练
五
节 1、(x 1) x2 x 2 0;
不 2、x2 5x 6 x 1