初等数学研究不等式的解法
初等数学研究不等式的解法
f g
(x) (x)
0, 0.
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第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节
f (x) 0,
f (x) g(x) g(x) 0,
不 等
f
(x)
g 2 (x)
式
f (x) 0,
f (x) g(x) g(x) 0,
f
(x)
g
2
(x)
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思维训练
第
五
节 1、(x 1) x2 x 2 0;
等
式 2) log 2 x log 1 (x 2) 1
2
x
x 2
0, 0
x
x
2
0.
答案：(2,4)
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方法一（指数、对数不等式）
第
五 节 ①同底法：不等式两边化为同底，再利用
指数、对数函数的单调性进行同解变形。
不
等
1)a 1时，a f (x) a g(x) f (x) g(x);
式
f (x) 0;
log a
f
(x)
log a
g(x)
g(x) 0;
f (x) g(x)
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第 五 节
2)当0 a 1时，a f (x) a g(x) f (x) g(x);
不 等 式
f (x) 0;
log a
f (x) log a
g
(
x)
g(x) 0;
都有f (b) g(b)的解。
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第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节 不
f (x) 0,
f (x)
g(x)
不等式的解法
诚西郊市崇武区沿街学校1003不等式的解法〔1〕有理不等式的解法一、解题思想与方法〔1〕整式不等式的解法〔根轴法〕.步骤：正化，求根，标轴，穿线〔偶重根打结〕，定解. 特例①一元一次不等式ax>b 解的讨论：对ax>b 形式的不等式，当a>0时解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b 当a<0时解集为,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
当a=0且b<0时解集为R 当a=0且b≥0时，解集为Φ；因未限制a 的符号，故ax<b 可改为-ax>-b 不必另行列出。
②一元二次不等式我们总可化为ax2+bx+c>0和ax2+bx+c+<0(a>0)两形式之一，记△=b2-4ac 。
〔2〕分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么二、根底训练：1、以下不等式与012≤+x x 同解的是…………………〔〕 (A)01≤+xx (B)0)1(≤+x x (C)0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x 2、不等式(x －2)2·(x－1)>0的解集为.3、不等式(x ＋1)·(x－1)2≤0的解集为.4、不等式x x<1的解集为. 三、例题分析：例1.解不等式：(x －1)·(x－2)·(x－3)·(x－4)>120例2.解不等式：0)5)(1)(3()2(2>-+++x x x x例3.解不等式：2x x x 24x x 322-≥-+-- 例4．解不等式31615141+++>+++x x x x 例5.假设不等式6163922<+--+<-x x mx x 对一切x 恒成立,务实数m 的范围 例6.求适宜不等式11)1(02<+-<x x 的整数x 的值. 例7.解关于x 的不等式a x x -<-11四、课堂练习： 1、不等式1213≥--xx 的解集为……………………………〔〕 (A){x|43≤x≤2}(B){x|43≤x<2} (C){x|x>2或者者者x≤43}(D){x|x ＜2} 2、不等式21≥+x x 的解集为. 3、假设不等式1122+-->++-x x b x x x a x 的解集为〔21，1〕，那么b a ⋅=. 五、作业同步练习1003不等式的解法〔1〕。
初三数学不等式的解法
； 佛山地坪漆：/ ；
将暗月の事情和夜轻语她们说说の时候,鹿老却传音了过来.白重炙摸了摸鼻子,再次朝暗月望了眼,走了出去,接着带着三女直接出现在寒心阁. 寒心阁还是老样子,美丽而又有散发着淡淡の幽香.只是原来の翠花她们显然还没被送回来,阁内空无一人. "不咋大的寒子,你呀来后山一趟！" 果然,白重炙屁股还没坐热,夜若水の传音就到了.和三人解释了几声,白重炙便直接朝白家后山闪去.几次移形换位之后,他已经站立在后山不咋大的湖旁. 一出现在湖边,远处便飞来三道身影,正是夜天龙三人.而三人身体上明显都带几处伤痕,夜青牛受伤最为严重,全身许多处地方都被白 布包裹了起来. 白重炙一见,连忙弯身行礼,关心の问起他们の伤势："见过三位爷爷！你呀们の伤怎么样?没什么大事吧?" "哈哈,好不咋大的子,干得不错！俺们还死不了,不用担心."夜天龙古板の脸上满是激动の笑容,挥舞着手,用力の拍了拍白重炙の肩膀,不料却可能触动了伤口,嘶哑 咧嘴の苦笑起来.看这情况,三人明显都从夜若水那里,得到了确切の情况,明白那让他们猜了很久uの黑袍人竟然是他们家の白重炙,他们怎么不激动,不兴奋? "不咋大的寒子,俺老牛没看错你呀！你呀这个孙女婿俺十二分满意！嘿嘿！"夜青牛也想抬手过来,只是上身不少地方被包裹着,只 能抬起又放下,咧开嘴大笑道. "咻" 就在夜白虎也想说些什么の时候,空间突然波动起来,夜若水瞬移了过来.两条白眉下の眼眸尽是笑意："行了,你呀们三人好好养伤,以后再聊.俺和不咋大的寒子谈点事情！" 说完直接带着白重炙直接瞬移,带着他出现在静修の那个山洞.一到山洞内,却 发现刀皇枪皇和月惜水雪家老祖都正含笑の看着他. "白重炙拜见四位前辈！"白重炙虽然有三人不太认识,只是在雾霭城外见过一面而已.但心里却知道这三人便是破仙府の神级强者,连忙恭敬の行礼起来. "不用客气,俺们の不咋大的英雄." 刀皇微笑说道,而后手一挥,竟然布置了一些域 场,将山洞笼罩进去.这才正**了起来,同时其余三人也跟着站了起来,和夜若水并排站立起来,五人神情无比严肃.刀皇从怀中掏出三枚红色の令牌,郑重其事の递给白重炙说道. "今日叫你呀们又两件事情,第一俺们五人,代表破仙府数十亿子民,感谢你呀为破仙府所做の一切.你呀白重炙是 破仙府の英雄,是你呀拯救了破仙府.俺代表破仙府赐予你呀三枚破仙血令,你呀可以有三次驱使大陆强者为你呀做任何不违背常理事情の权利,当然,也包括俺们五人！" 当前 第叁捌陆章 炽火大陆の秘密 文章阅读 "这…好吧,多谢诸位了！" 白重炙伸手接过三枚破仙血令,没有矫情.请 大家检索（品&书￥网）看最全！更新最快の这可是好东西啊.当年夜天龙可是靠了这东西号召群雄,杀到了天妖城去了,不拿可是来不拿. 刀皇见白重炙收下了东西,这才和夜若水他们对视一眼.五人点了点头,竟然同时对着轻寒深深弯腰鞠躬了起来,刀皇弯腰沉声说道："第二件事情,是俺 们想代表炽火大陆所以の子民请求你呀一件事情！" "啊?这…五位前辈这是干什么?快平身！" 白重炙正把玩这三块破仙血令,却突然见五人同时恭敬の弯腰给自己鞠躬起来.吓了一条,开玩笑,这五人其中有一些是他老祖宗,一些是他媳妇の祖宗,这礼他敢受?可是会折寿の.连忙跳了起来, 就要过去扶其他们. "白重炙,你呀不答应俺们,俺们就不起来！"刀皇再次认真说道,就是不起身.五人倒是好像铁了心の称砣般,继续弯着腰行着礼.就连夜若水和月惜水两人都是一片沉默,似乎在等白重炙の回应. "答应,俺什么都答应,可以了吗?" 白重炙一看面色一苦,这是让他往死路上 bi啊,自己老祖宗和四名都可以做他祖宗の人这样求他,就算让他去单挑神城那个光头,他现在也只能去了. "嗯,俺代表整个炽火大陆の人感激你呀,如果这事你呀能成功の话,你呀将是整个炽火大陆の救世主！"五人同时起身,神情没有丝毫不自然,反而面带感激の望着白重炙. "等等,炽火 大陆?这关炽火大陆什么事?" 白重炙偷偷憋了一眼夜若水和月惜水发现两人没有丝毫尴尬,这才扭捏这身体,反而诧异の问了起来,心里却是打起鼓,都扯到了炽火大陆上来了,岂会是不咋大的事?这五个老家伙看来是要给自己一些重担了.同时他也很纳闷,炽火大陆没什么大事啊?现在异族 杀の被杀了,退の退走了,大陆一片太平啊！ "俺们恳求你呀の事情,就是你呀要尽你呀此生最大の努力,去解救炽火大陆！"刀皇沉吟一下,郑重其事の说道. 白重炙却是越听越糊涂了："解救炽火大陆?为什么要解救?你呀们说清楚一点好吗?大陆怎么了?大陆好像没什么事吧?" "错！" 这 时进来之后一直沉默の,夜若水突然开口了,他眼中闪过一丝深深の屈辱和愤怒,情绪变得几多激动起来： "你呀说看到平静の大陆,其实都是表面の东西,都是假象…这样和你呀说吧,这个炽火大陆原本是属于炽火人民の大陆,但是数千年第一次灭世大战之后,炽火大陆就不是俺们の了.俺 们…现在是一群被人圈养牲口,一群想杀就杀,想怎么玩就怎么玩の牲口！" 夜若水说完,似乎触动了五人心里の记忆.五人の脸上同时浮现了一丝悲哀,一丝沉痛,一丝屈辱,一丝悲愤… 大陆不是俺们の?俺们是圈养の牲口? 白重炙看着几人の神情,嘴里念叨の夜若水の话语,数千年前?灭世 大战?他隐隐有些明白了,但是却不敢确定の问道："老祖宗你呀の意思是神城吗?神城圈养了大陆人民?但是神城好像不怎么管大陆の事啊?" "呵呵,不管?" 夜若水嘴角露出一丝冷笑,微微摇了摇头继续说道："你呀所知道の历史,和看到の表面都是假象,你呀要清楚一点,历史往往是由胜利 者改写の……数千年三族战乱不休?屁！灭世大战,屠一人力压三族强者,促成三族和平相处,共同立下血誓?也是屁！神城不会干扰三族内政更是屁！"夜若水越说越激动,竟然直接爆了粗口："俺告诉你呀,炽火大陆数千年前一直都是三府和平共处,相安无事.你呀想想那时大陆那么神级强 者,一旦开战,引发神级强者对战,大陆还会存在吗?大陆那么多强者神级巅峰那时候也无数,屠一人怎么力压の住?你呀以为他真有王八之气?虎躯一震四海震服?不干扰内政?你呀在府战怎么遇险の?天龙带人去天妖城の时候,神城四卫来干什么?" "那事情の真相,究竟是什么?" 白重炙越想 越觉得有道理了,因为他还知道一件事,魂种の事情,这明显是神城の暗地势力,明显这类暗使神城还有不少,这些人都是在监察着大陆の各种情况. 刀皇却是直接ha话道："事情の真相很简单,屠是炽火位面神界所承认の领主.他掌握了整个炽火大陆生杀大全.他派人引起三族大战,而后他在 神山一人击杀了大陆数十米神级强者,迫使大陆所有强者屈服,无奈下签了城下之盟.并且他制定了府战规则,三十年一次大战,其实根本就不是调解三族纠纷.而是……他在收集死去の冤魂修炼黑暗邪法,以及炼制灵魂丹.每三十年一代人刚刚成长起来了,而后却要轰轰烈烈の去幽冥岛赴死. 他,是在把炽火大陆の子民当成畜生在圈养啊,每隔三十年,畜生长大了,就干脆利落の宰了…" 府战?对了！ 白重炙突然惊醒,府战那时候他在血色平原就发现了一丝奇怪现象,在血色平原上会忍不住产生嗜血の冲动,让人越杀会越疯狂,似乎那里の气息有种奇怪の魔力般,让人忍不住要扁 人. 并且每当一次大战结束之后,血色平原の天空会突然起风,变成昏沉沉の.原来竟然是有些在搞鬼,有人在用特殊の方法或者说阵法在收集灵魂. 本来他就一直很奇怪,为何府战刚好三十年一次,并且精英府战和混乱府战轮流交替.现在被刀皇一说,他就明白了.这是屠の养成计划啊,这样 交错隔开.不仅不会让大陆の人口急剧缩水,刚好能保持持平. 并且三十年一次の大战让三族之间の仇恨越来越深,越来越花解不开.他
第二讲 不等式的解法
第二讲 不等式的解法一、知识要点：1.不等式相关知识：（1）如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做 ，解不等式主要是依据 和 原理，求解原不等式的同解不等式。
（2）不等式的同解变形原理主要有：①、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式同解。
②、不等式两边都乘上(或除以)同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式同解。
③、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等号改变方向后，所得不等式与原不等式同解。
2.绝对值不等式的解法：（解有关绝对值的问题，考虑去绝对值）（1）公式法： ⇔<a x || ；⇔>a x || ；（0>a ） （2）定义法：|x |⎩⎨⎧<-≥=0,0,x x x x（3）“零点分区间讨论”法： 含有多个绝对值符号的不等式所用的方法。
3.一元二次不等式的解法：一变、二算、三想、四解、五写Ⅰ、)0(02>>++a c bx ax ：0>∆ ；0=∆ ；0<∆ ；Ⅱ、)0(02><++a c bx ax ：0>∆ ；0=∆ ；0<∆ ；4.高次不等式的解法：化成)0(0)())(()(21<>---=n x x x x x x x P ，利用“序轴标根法”写出解集。
（注意：每个因式中x 前的系数都为正值。
）步骤：⑴将每个因式的根标在数轴上；（能取到的根用点，不能取到的用圈）⑵从右上方依次通过每个点画出曲线，注意： ； ⑶根据曲线显示的)(x P 值的符号变化写出不等式的解集。
5．分式不等式的解法：同解变形为整式不等式；⑴⇔>0)()(x g x f ；⑵⇔<0)()(x g x f ；⑶⇔≥0)()(x g x f ；⑷⇔≤0)()(x g x f ；6．不等式组的解法：分别求出不等式组中的每个不等式的解集，然后求其交集，即为这个不等式组的解集，在求交集的过程中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
【初中数学】初中数学不等式的证明知识点归纳
【初中数学】初中数学不等式的证明知识点归纳
【—不等式的证明】不等式的证明包括了比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法等。
不等式的证明
1、比较法
它包括两种方法：比较差法和比较商法。
2、综合法
在证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理和规则，逐步推导出待证明命题的方法称为综合法，也称为前推法或因果法。
3、分析法
在证明不等式时，从要证明的命题出发，分析其成立的充分条件，并运用一些已知的基本原理进行逐步探索。
最后，命题成立的条件被简化为一个已证明的定理、简单的事实或问题的条件。
这种证明方法被称为分析方法，这是一种实现因果关系的方法。
4、放缩法
在证明一个不等式时，有时要根据需要适当地放大或缩小待证明不等式的值，使其由繁变简，由难变易，从而达到证明的目的。
这种方法称为缩放法。
5、数学归纳法
用数学归纳法证明不等式时，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6.反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
无论上述哪种方法，我们都需要掌握它们。
不等式的解法(共28张PPT)
5 10 a= , b= . 3 3
高考：(天津08)已知函数f(x)= 解集是(
A
)
x+2, x≤0 ，则不等式f(x)≥x2的 -x+2, xБайду номын сангаас0
∴ B ={x |1-a<x<1+a, a>0 }
∵ A∪B=B ∴ A B
∴ 1-a<1 且 1+a>2，故a的取值范围是：(1, +∞)
不等式的解法
五、无理不等式解法 2x 1 练习10. 解不等式： (1) | 3x 2 3 | 1; ( 2) 1. x1 分析：(1)原不等式等价于： (I) 3x 2 3 1 或 (II) 3x 2 3 1 3x-2≥0 解(I) ： 3x 2 4 即 解得 x>6 3x-2>16 2 3x-2≥0 解得 ≤x<2 解(II) ： 3x 2 2 即 3x-2<4 3 (2)原不等式化为： (I) x-1>0
2 ) 5
不等式的解法
二、含绝对值的不等式 高考. 1、(北京07)已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x2-5x+4≥0}． 若A∩B=φ，则实数a的取值范围是 (2，3) . (0, 2)
2
2、(浙江07) 不等式 |2x-1|-x<1的解集是 { x | 0<x<2 } . 3、(上海08) 不等式|x-1|<1的解集是
初等数学研究 不等式
例 .解不等式 x 5 x 9 1. 1
分析 : 这是一个无理不等式 , 可以利用乘方 , 将其转化为有理不等式 (组) 来求解.但需注意自变量的取值 范围和同解性 .
x 5 0 解 : 首先, 确定的 x允许值范围是 : x [5,9]. 9 x 0 其次 , 原不等式 5 x 1 9 x 两边平方 2 x 15 2 9 x ,移项 若2 x 15 0, 无解. 15 9 x 15 若2 x 15 0(9 x ) (2 x 15) 2 4(9 x) {x 14 7 x 9}. 2 2 2
例4.解不等式 6x 9 6x 4 13x 6.
解 : 显然 x 0, 不等式可化为 6 9 6 4 13 6 .因为6 0, 所以两边同除
令t ( ) x 0 3 x 2 x 6 2 3 2 3 3 以6 , 得6( ) 6( ) 13 6t 13 0 求解 t ( ) x 2 3 t 3 2 3 2 1 3 亦即 3 1 3 x 3 ( ) ( ) . 2 2 2 2 当x 0时, 得x 1 3 1 而y ( ) x 是增函数 , 所以 1 1 求解 , 所以原不等 2 x 当x 0时, 得x 1 1 x 1 1 2 1 1 x 1 x 1 x 1 x
解 : 由对数函数的性质 , 知 25 x 2 1 25 x 2 x2 9 16 1 3 x 1. 当 2 2 2 16 x 16x 17 0 24 2 x x 25 x 14 16 25 x 2 9 x 2 25 0 1 2 当0 25 x 1 16 x 2 2 x 24 0 3 x 4. 24 2 x x 2 25 x 2 16 0 x 2 16x 17 0 14 16 综合得原不等式的解集 为{x 3 x 1} {x 3 x 4}.
初二数学不等式的解集知识点总结
初二数学不等式的解集知识点总结漫长的学习生涯中，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺精心整理的初二数学不等式的解集知识点总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
初二数学不等式的解集知识点总结1不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
相信上面的知识同学们已经能很好的掌握了，希望同学们在平时认真学习，很好的把每一个知识点掌握。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
第一课--不等式的解法
设 `是方程x 2kx k 6 0的两实
2
根, 则( 1) ( 1) 的最小值为 ___
2 2
4x-3·x+1+8>0 2
2
x 2 2 x 3
1 3 x 3 ( ) 2
(4,17/2) 解不等式1+lgx>lg(7-x) (7/11,7)
解不等式lg2x-lgx3-4<0 (1/10,10000) 解不等式lgx2<2
3
(-10,0)∪(0,10)
类型7：绝对值不等式的解法
一、绝对值的性质：
a (a0) 1. a = -a (a<0)
{
2=a2 2.|a|
3. |x|>ax>a或x<-a; |x|<a -a<x<a
三、例题 1.解下列不等式： (1)|x-2|>3; (2)|2x2-3|<5;
(3)|2x-1|<|3-x|; 2.解下列不等式：
(1)|x2-3|>2x ;
(4)|x-1|-|x+2|<3
(2)|2x-1|<x+1;
(3)3<|2x-1|<5. (4) x2-2|x|-3>0 3. A={x||2-x|<5},B={x||x+a|≥3}, （1）若A∪B=R,求a的取值范围； （2）若A∩B=A，求a的取值范围.
2
1 x 2, 求不等式cx bx a 0 的解集. 2.已知:A={x|-1≤x≤1},
不等式的解法
3.高次不等式的解法 将高次不等式右边化为 0，左边最高次项系数化为 正数，然后对左边进行因式分解及同解变形， 设 xn<xn－1<„<x2<x1， P(x)＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)„(x－xn)>0(或<0)． 利用表解法或数轴穿根法写出解集． 用穿根法步骤如下： (1)将每个因式的根标在数轴上； (2)从右上方依次通过每个点画出曲线， 奇次根依次 穿过，偶次根穿而不过； (3)根据曲线显示出的 P(x)值的符号变化写出不等 式的解集．
∴不等式的解集为R.
题型二 【例 2】
高次和分式不等式的解法 解下列不等式：
(1)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0； x2＋2x－2 (2) 2<x. 3＋2x－x 思维启迪 求解高次不等式，可将所求不等式转化为
a(x－x1)(x－x2)„(x－xn)>0 的形式，然后利用“标根 法”求解即可．对于求解分式不等式，可将不等式转 化为整式不等式，然后对整式不等式求解即可．
x－1 解析 2 >0⇔(x－1)(x－2)(x＋2)>0， x －4 数轴穿根如图， ∴不等式的解集是{ x |-2< x <1 或 x >2}． 故选 C.
{ x|x>2或x_____ <－2}． 5．不等式 log2(x2－3)>0 的解集是 ___
解析 log2(x2－3)>0⇔x2－3>1，∴x>2 或 x<－2
知能迁移1
解下列不等式： 2 2 (1) x 2 x 0; ( 2)8 x 1 16x 2 . 3 解 （1）两边都乘以-3，得3x2-6x+2<0, 因为3>0,且方程3x2-6x+2=0的解是
初等数学研究系列——不等式——权方和不等式专题研究
( x + 2y + 3z + 4u + 5v ) = 60 x 2 ( 2 y ) ( 3z ) ( 4u ) ( 5v ) ≥ 简解：w = + + + + 1 2 3 4 1+ 2 + 3 + 4 + 5 5
2 2 2 2 2
当且仅当x = y = z = u = v = 2时w取得最小值60.
正是第42届IMO的原题.
a a 2 + 8bc
+
b b 2 + 8ca
+
c c 2 + 8ab
≥1
以上我们是直接（或通过简单变形）使用权方和不等式证不等式，可谓“简 洁明快” ，实际上凑着使用权方和不等式证明不等式也有“小巧玲珑”之美，请 看： 1 1 1 2 2 2 . 例 10. 已知：x, y, z ∈ R + , x + y + z = 1, 求证： + + ≥ + + 1− x 1− y 1− z 1+ x 1+ y 1+ z
n
1
m
⎛ n ⎞ ai ⎟ ∑ n ai m +1 ⎜ i =1 ⎝ ⎠ ( a > 0, b > 0, m > 0.等号在a = λb 时取得 ). 将上式整理为 ∑ m ≥ i i i i m n b i =1 ⎛ ⎞ i ⎜ ∑ bi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ 我们称上式（狭义）权方和不等式（m 称为该不等式的权） 。它的特点是分 子的幂指数比分母高 1 次。灵活的选用（狭义）权方和不等式常常可以起到意想 不到的化简效果。以下我们将从求极值和证明不等式两个方面来展示（狭义）权 方和不等式的“化简魅力” 。 Ⅰ.用于求极值 1 1 例 1.已知x, y ∈ R +且 + = 1, 求x + 2 y的最小值. x y
数学不等式的解法
数学不等式的解法
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式.
不等式的解法：
(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：
(2)绝对值不等式：若，则 ; ;
注意：
(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;
(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;
(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
(6)解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数，要讨论。
不等式的解法ppt名师课件
例如：解不等式3x1 x 5
(2)利 用 绝 对 值 的 代数 意 义:适合于形如
x
x x
x0 x0
xa xb c xa xb c
例如:解不等式: x 1 x 1 2
(3)利用绝对值的几何 意 义:
x 1的 几 何 意 义:在数轴上实数x对
无解
x R且x x1
无解
无解
R
3.简单分式不等式的解法
(
1
)f ( x g(x
) )
0
f
(
x ) g ( x
)
0
(
2
)f g
( (
x) x )
0
f
(
x
) g
(
x )
0
(3
)f g
( (
x) x )
0
f
( x ) g ( x ) g(x) 0
0
(
4 )f ( g(
二次方程 二次函数 二次不等式
标 ax2 bx c 0 y ax2 bx c ax2 bx c 0 ax2 bx c 0
准 式
(a 0)
(a 0) (a 0)
(a 0)
Δ 0
图 x1,2
b 2a
Δ
象 Δ 0
或 解
x1
x2
b 2a
x1 x x2 x x1或x x2
的定义域为R求, a的取值范围
6已 知 关 于 x 的 不 等式,
ax5 x2 a
0的解集为M
若 3 M且5 M,求a的取值范围
不等式的解法
步骤： 找零点）令各绝对值等于0， 步骤： 找零点）令各绝对值等于 ，求零点 1.(找零点
2.分段讨论（分段时不能重复不能遗漏） 分段讨论（分段时不能重复不能遗漏） 分段讨论 3.所得解集取并集 所得解集取并集
x 例1.解不等式｜ + 3 | − | 2x −1 |< + 1 x 2
例2.解不等式｜ log x − 2 | − | log a x − 2 |< 2
(2).
g (x)＞0 (x g ( x) ≤ 0 f ( x)＜g ( x) ⇔ ( ) f ( x) ≥ 0 Ⅰ 或(Ⅱ) （无解） f ( x)＞0 2 [ f ( x)＜ g ( x)]
(3).
g(x) ≥ 0 f (x) > g(x) ⇔ f (x) > 0 f (x) > g(x)
a
例3.不等式｜ − 4 | + | x − 3 |< a的解集不是空集 x 求a的取值范围
P
状 182
5、 8、 1
无理不等式的解法
解法思想： 解法思想： 变无理为有理（对不含根式部分分情况讨论） 变无理为有理（对不含根式部分分情况讨论） 等价形式如下： 等价形式如下：
(1).
g(x) ≥ 0 g(x) < 0 f (x) > g(x) ⇔ ( ) f (x) > 0 Ⅰ 或(Ⅱ) f (x) ≥ 0 2 f (x) > [g(x)]
二.具体方法
序轴标根法（ ①.序轴标根法（高次或分式不等式） 序轴标根法 高次或分式不等式） 换元法（ ②.换元法（无理、指数、对数不等式） 换元法 无理、指数、对数不等式） 零点分段法（ ③.零点分段法（含两个或两个以上的绝对值不等式） 零点分段法 含两个或两个以上的绝对值不等式） ④.含参数的不等式要讨论，讨论时要层次分明， 含参数的不等式要讨论， 含参数的不等式要讨论 讨论时要层次分明， 不要重复、不能遗漏。 不要重复、不能遗漏。 ⑤.图象法 图象法
不等式的解法正式
不等式组先求出每个方程的解再求其交集。
3x>5 例1： 求解方程组｛ 2x-5<0
⑴
⑵
一元二次不等式的解法
例1 解下列不等式： (1)x2-2x+3>0; (2)x2-2x+3<0
R
(3) -3x2-2x+8≤0;
思维启迪
4 (-∞,-2]∪[ . ,+∞). 3
首先将二次项系数转化为正数，再看二
代入不等式x 2 px q 0
x x 12 0
2
4 x 3
不等式的解集为： 3 4，
一元二次方程根与系数的关系可以较快得到p,q的值.
练习 :已知x 2 px q 0的解集为 1， 2 ， 求不等式px qx 8 0的解集。
对于一元高次不等式我们可以用数轴标根法与 列表法求解，
分式不等式的解法
1.移项,通分把不等式的左边化为0. 2.由积商同号,把分式不等式转化为整式不等式. 3.若分母大于0可直接去分母.
f ( x) 0( 0) f ( x) g ( x) 0( 0) g ( x) f ( x) 0( 0) f ( x) g ( x) 0( 0)且g(x) 0 g ( x)
2x 3 例6：解不等式 3. x 1
x 6 解: 0 x 1 ( x 6)( x 1) 0 x 1 0 (,1) 6,）
2x 3 3 0, x 1
x 2 3x 2 0 例7：解不等式 2 x 2x 3 解一：原不等式转化为 2 2 x 3x 2 0 x 3x 2 0 或 （2） （1） 2 2 x 2x 3 0 x 2x 3 0
不等式的解法
不等式的解法不等式的解法不等式的解法 6.5 不等式的解法（二）●知识梳理1.|x|＞a x＞a或x＜－a（a＞0）；|x|＜a －a＜x＜a（a＞0）.2.形如|x －a|+|x－b|≥c的不等式的求解通常采用零点分段讨论法.3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.4.绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.思考讨论1.在|x|＞a x＞a或x＜－a（a＞0）、|x|＜a －a＜x＜a（a＞0）中的a＞0改为a∈R还成立吗?2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?●点击双基1.设a、b是满足ab＜0的实数，那么A.|a+b|＞|a－b|B.|a+b|＜|a－b|C.|a－b|＜||a|－|b||D.|a －b|＜|a|+|b|解析：用赋值法.令a=1，b=－1，代入检验.答案：B2.不等式|2x2－1|≤1的解集为 A.{x|－1≤x≤1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|0≤x≤2}D.{x|－2≤x≤0}解析：由|2x2－1|≤1得－1≤2x2－1≤1.∴0≤x2≤1，即－1≤x≤1.答案：A3.不等式|x+log3x|＜|x|+|log3x|的解集为A.（0，1）B.（1，+∞）C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）解析：∵x＞0，x与log3x异号，∴log3x ＜0.∴0＜x＜1.答案：A4.已知不等式a≤ 对x取一切负数恒成立，则a 的取值范围是____________.解析：要使a≤ 对x取一切负数恒成立，令t=|x|＞0，则a≤ .而≥ =2 ，∴a≤2 .答案：a≤25.已知不等式|2x－t|+t －1＜0的解集为（－，），则t=____________.解析：|2x－t|＜1－t，t－1＜2x－t＜1－t，2t－1＜2x＜1，t－＜x＜.∴t=0.答案：0●典例剖析例1 解不等式|2x+1|+|x－2|＞4.剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0，x－2=0，得两个零点x1=－，x2=2.解：当x≤－时，原不等式可化为－2x－1+2－x＞4，∴x＜－1.当－＜x≤2时，原不等式可化为2x+1+2－x＞4，∴x＞1.又－＜x≤2，∴1＜x≤2.当x＞2时，原不等式可化为2x+1+x－2＞4，∴x＞.又x＞2，∴x＞2.综上，得原不等式的解集为{x|x＜－1或1＜x}.深化拓展若此题再多一个含绝对值式子.如：|2x+1|+|x－2|+|x－1|＞4，你又如何去解？分析：令2x+1=0，x－2=0，x－1=0，得x1=－，x2=1，x3=2.解：当x≤－时，原不等式化为－2x －1+2－x+1－x＞4，∴x＜－.当－＜x≤1时，原不等式可化为2x+1+2－x+1－x＞4，4＞4（矛盾）.当1＜x≤2时，原不等式可化为2x+1+2－x+x－1＞4，∴x＞1.又1＜x≤2，∴1＜x≤2.当x＞2时，原不等式可化为2x+1+x－2+x－1＞4，∴x＞.又x＞2，∴x＞2.综上所述，原不等式的解集为{x|x＜－或x＞1}.例2 解不等式｜x2－9｜≤x＋3.剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x|≤a －a≤x≤a去绝对值.解法一：原不等式（1）或（2）不等式（1）x＝－3或3≤x≤4；不等式（2）2≤x＜3.∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.解法二：原不等式等价于或x≥2 x=－3或2≤x≤4.∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.例3 （理）已知函数f（x）=x|x－a|（a∈R）.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式：f（x）≥2a2.解：（1）当a=0时，f（－x）=－x|－x|=－x|x|=－f（x），∴f（x）是奇函数.当a≠0时，f（a）=0且f（－a）=－2a|a|.故f（－a）≠f（a）且f（－a）≠－f（a）.∴f（x）是非奇非偶函数.（2）由题设知x|x－a|≥2a2，∴原不等式等价于①或②由①得x∈.由②得当a=0时，x≥0.当a＞0时，∴x≥2a.当a＜0时，即x≥－a.综上a≥0时，f（x）≥2a2的解集为{x|x≥2a}；a＜0时，f（x）≥2a2的解集为{x|x≥－a}.（文）设函数f（x）=ax+2，不等式| f（x）|＜6的解集为（－1，2），试求不等式≤1的解集.解：|ax+2|＜6，∴（ax+2）2＜36，即a2x2+4ax－32＜0.由题设可得解得a=－4.∴f（x）=－4x+2.由≤1，即≤1可得≥0.解得x＞或x≤ .∴原不等式的解集为{x|x＞或x≤ }.●闯关训练夯实基础1.已知集合A={x|a－1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则能使A B成立的实数a的取值范围是A.{a|3＜a≤4}B.{a|3≤a≤4}C.{a|3＜a＜4}D.解析：由题意知得3≤a≤4.答案：B2.不等式|x2+2x|＜3的解集为____________.解析：－3＜x2+2x＜3，即∴－3＜x＜1.答案：－3＜x＜13.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.解法一：|x+2|≥|x| （x+2）2≥x2 4x+4≥0 x≥－1.解法二：在同一直角坐标系下作出f（x）=|x+2|与g（x）=|x|的图象，根据图象可得x≥－1.解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到－2的距离不小于到0的距离，∴x≥－1.答案：{x|x≥－1}评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.4.当0＜a＜1时，解关于x的不等式a ＜ax－2.解：由0＜a＜1，原不等式可化为＞x－2.这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①或②解不等式组①得解集为{x| ≤x＜2}，解不等式组②得解集为{x|2≤x＜5}，所以原不等式的解集为{x| ≤x＜5}.5.关于x的方程3x2－6（m－1）x+m2+1=0的两实根为x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.解：x1、x2为方程两实根，∴Δ=36（m－1）2－12（m2+1）≥0.∴m≥ 或m≤ .又∵x1•x2= ＞0，∴x1、x2同号.∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m－1|.于是有2|m－1|=2，∴m=0或2.∴m=0.培养能力6.解不等式≤ .解：（1）当x2－2＜0且x≠0，即当－＜x＜且x≠0时，原不等式显然成立．（2）当x2－2＞0时，原不等式与不等式组等价．x2－2≥｜x｜，即｜x｜2－｜x｜－2≥0.∴｜x｜≥2.∴不等式组的解为｜x｜≥2，即x≤－2或x≥2．∴原不等式的解集为（－∞，－2］∪（－，0）∪（0，）∪［2，＋∞）．7.已知函数f（x）= 的定义域恰为不等式log2（x+3）+log x≤3的解集，且f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.解：由log2（x+3）+log x≤3得x≥ ，即f（x）的定义域为［，+∞）.∵f（x）在定义域［，+∞）内单调递减，∴当x2＞x1≥ 时，f（x1）－f（x2）＞0恒成立，即有（ax1－+2）－（ax2－+2）＞0 a（x1－x2）－（－）＞0（x1－x2）（a+ ）＞0恒成立.∵x1＜x2，∴（x1－x2）（a+ ）＞0a+ ＜0.∵x1x2＞－＞－，要使a＜－恒成立，则a的取值范围是a≤－.8.有点难度哟！已知f（x）=x2－x+c定义在区间［0，1］上，x1、x2∈［0，1］，且x1≠x2，求证：（1）f（0）=f（1）；（2）| f（x2）－f（x1）|＜|x1－x2|；（3）| f（x1）－f（x2）|＜；（4）| f（x1）－f（x2）|≤ .证明：（1）f（0）=c，f（1）=c，∴f（0）=f（1）.（2）| f（x2）－f（x1）|=|x2－x1||x2+x1－1|.∵0≤x1≤1，∴0≤x2≤1，0＜x1+x2＜2（x1≠x2）.∴－1＜x1+x2－1＜1.∴| f（x2）－f （x1）|＜|x2－x1|.（3）不妨设x2＞x1，由（2）知| f（x2）－f（x1）|＜x2－x1.①而由f（0）=f（1），从而| f（x2）－f（x1）|=| f（x2）－f（1）+f（0）－f（x1）|≤| f（x2）－f（1）|+| f（0）－f（x1）|＜|1－x2|+|x1|＜1－x2+x1.②①+②得2| f（x2）－f（x1）|＜1，即| f（x2）－f（x1）|＜.（4）|f（x2）－f（x1）|≤fmax－fmin=f（0）－f（）= .探究创新9.（1）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：| |＞1；（2）求实数λ的取值范围，使不等式| |＞1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a、b 恒成立；（3）已知|a|＜1，若| |＜1，求b的取值范围.（1）证明：|1－ab|2－|a－b|2=1+a2b2－a2－b2=（a2－1）（b2－1）.∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2－1＜0，b2－1＜0.∴|1－ab|2－|a－b|2＞0.∴|1－ab|＞|a －b|，= ＞1.（2）解：∵| |＞1 |1－abλ|2－|aλ－b|2=（a2λ2－1）（b2－1）＞0.∵b2＜1，∴a2λ2－1＜0对于任意满足|a|＜1的a恒成立.当a=0时，a2λ2－1＜0成立；当a≠0时，要使λ2＜对于任意满足|a|＜1的a恒成立，而＞1，∴|λ|≤1.故－1≤λ≤1.（3）| |＜1 （）2＜1 （a+b）2＜（1+ab）2 a2+b2－1－a2b2＜0 （a2－1）（b2－1）＜0.∵|a|＜1，∴a2＜1.∴1－b2＞0，即－1＜b＜1.●思悟小结1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：（1）由定义分段讨论；（2）利用绝对值不等式的性质；（3）平方.2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：（1）要考虑参数的总取值范围.（2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.●教师下载中心教学点睛 1.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题.2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.3.指数、对数不等式能利用单调性求解.拓展题例例1 设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x22≤1，证明不等式（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y2－1）2－（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0.证明：（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.（2）当x12+x22＜1时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x22－1）x－2（x1y1+x2y2－1）x+（y12+y22－1），其根的判别式Δ=4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）.由题意x12+x22＜1，函数f（x）的图象开口向下.又∵f（1）=x12+x22－2x1y1－2x2y2+y12+y22=（x1－y1）2+（x2－y2）2≥0，因此抛物线与x轴必有公共点.∴Δ≥0.∴4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0，即（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.。
第四讲不等式的解法
第四讲不等式的解法一、知识要点不等式的解法求解不等式与解方程一样，要注意不等式的同解变形，解集相同的不等式称为同解不等式1.一元一次不等式的解法.任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b （a ≠0）的形式.当a ＞0时，解集为{x |x ＞a b }；当a ＜0时，解集为{x |x ＜ab }. 2.一元二次不等式的解法.一元二次不等式的一般形式是 a 2x +bx+c ＞0﹝或<0)，根据不等式的性质,我们总可以将二项式系数化为正数，不妨以a ＞0为例，借助一元二次函数的图象，得到一元二次不等式的解集： ()1 当△>0时，设对应的方程a 2x +bx+c =0的两根21,x x ，且21x x <，则a 2x +bx+c ≥0()0>a 的解集为(][)+∞⋃∞-,,21x x ，a 2x +bx+c ≤0()0>a 的解集为[]21,x x ()2当△=0时，不等式对应的一元二次方程a 2x +bx+c =0有重根1x ，则a 2x +bx+c ≥0()0>a 的解集为R ，a 2x +bx+c ≤0()0>a 的解集{}1x ()3当△<0时，则a 2x +bx+c ≥0()0>a 的解集为R ，a 2x +bx+c ≤0()0>a 的解集为Φ.3.一元高次不等式利用数轴标根法求解4.分式不等式求解时，一般先移项，通分，化简然后标根法求解()()x g x f ＞0()()0>⇔x g x f ()()0<x g x f ()()x g x f ⇔<0 ()()()()()⎩⎨⎧≠<⇔≥000x g x g x f x g x f ()()()()()⎩⎨⎧≠≤⇔≤000x g x g x f x g x f 切忌去分母5.绝对值不等式()a x f < ()()a x f a a <<-⇔>0()a x f > ()()()a x f a x f a -<>⇔>或0平方法 ()()⇔>x g x f ()()x g x f22>5.无理不等式分类讨论及平方法 ()1()()()()()()()()⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>>≥⇔>00002x f x g x g x f x f x g x g x f 或()2()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<x g x f x g x f x g x f 200 6.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.注(形如|x －a |+|x －b |≥c 的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”)二、典型例题例1. 求5321<-<x 的解集例2 解不等式.02532>--x x , 0)4)(23()7()12(632>----x x x x 例3 .解不等式2232>-+x x 例4.解不等式22<-x例5.解不等式x x ->+13例6.解不等式1325<+--x x例7解不等式.13-≥-x x 例8 .解不等式232532≥-+-x x x 例9.已知不等式052>+-b x ax 的解集是()2,3--，则不等式052>+-a x bx 的解集例10.若一元二次不等式042≤+-a x ax 的解集是R 则a 的取值范围是 例11已知.关于x 的不等式()()012422≥-++-x a x a 的解集为空集，求a 的取值范围。
九年级数学不等式的解法知识点
九年级数学不等式的解法知识点
九年级数学不等式的解法知识点
主要的有：
①不等式F(x) G(x)与不等式 G(x)F(x)同解。
②如果不等式F(x) G(x)的定义域被解析式H( x )的定义域所包含，那么不等式 F(x)
③如果不等式F(x)0，那么不等式F(x)H(x)G(x)同解。
④不等式F(x)G(x)0与不等式同解;不等式F(x)G(x)0与不等式同解。
注意事项
1.符号：
不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
2.确定解集：
比两个值都大，就比大的还大;
比两个值都小，就比小的还小;
比大的大，比小的小，无解;
比小的`大，比大的小，有解在中间。
三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
3.另外，也可以在数轴上确定解集：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。
有几个就要几个。
4.不等式两边相加或相减，同一个数或式子，不等号的方向不变。
(移项要变号)
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五
节 不
f (x) 0,
f (x)
g(x)
g f
(x) (x)
0, g
2
(
或 x);
f g
(x) (x)
0, 0.
等
式
f (x) 0,
f (x)
g(x)
g
f
(x) (x)
0, g
2
(
或 x);
f g
(x) (x)
0, 0.
第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节
f (x) 0,
念
f=g.
第 恒等变换
一
节 一个解析式转换成另一个与它恒等的
解析式，这种变换称为恒等变换.
基
本
x 2x 1 3x 1
概
念
(a b)(a b) a2 b2
恒等变换是代数式运算的重要依据
第 1、不等式及其基本概念
五
节
定义1 用不等号联结两个解析式所成的式子， 称为不等式。
不 ① 按不等号分类
| x | a, (a 0) x a或x a；
式 | f (x) | g(x), g(x) 0 f (x) g(x)或f (x) -g(x)
| x || a | x 2 a 2 . | f (x) || g(x) | f (x)2 g(x)2
第 五 例题5 解不等式： 节
不 || x 3 | | x 1 || 4
不 (2)传递性： a b, b c a c; 等 (3)加法单调性：பைடு நூலகம்a b a c b c;
式 (4)乘法单调性： a b, c 0 ac bc;
a b, c 0 ac bc.
第 由基本性质得到的推论： 五
节 推论1 a b 0, c d 0 ac bd 0;
不
f (x) g(x)的定义域为M，
D((x)) M
f f
( (
x) x)
g(x)与
(x) g
(x)
同解。
(x)
等
式 定理3
f (x)
D((
g(x)的定义域为M，
x)) M ,(x) 0
f f
( (
x) g(
x)(x)
x)与
同解。
g(x)(x)
定理3
第 五
f (x) g(x)的定义域为M，
等 式
例题4 解不等式：
第 | x 1 | | x 2 | | x 3 | 2
五
节
含多个绝对值的不等式，一般采取 零点分段去绝对值进行求解。
不 等 式
例题6 解不等式：
第
五 节
| x a | | x | 2,其中a为参数。
不
最小距离 | a |
等 分类讨论：10）当 | a | 2时，不等式无解；
第2章 式与不等式
讲授内容： 1.解析式的基本概念； 2.不等式的有关概念和性质； 3.不等式（组）的解法； 4.不等式的证明； 5.几个著名的不等式；(均值、柯西、排序、
Jensen) 6.不等式的应用.
解析式
第 一
节 1.字母代表数;
2.式本身是代表数的符号，也表明对于
基
本 数和字母按怎样的次序进行什么运算 概 的符号.
节 1、(x 1)2 (x 1)( x 7)( x 9) 0
不
等
式
2、 10x 2 x 1
x 2 3x 2
第 同解变形（ 绝对值不等式 ）
五
| x | a, (a 0) a x a;
节
| f (x) | g(x), g(x) 0 g(x) f (x) g(x)
不 等
f
(x)
g(x)
g
(
x)
0,
不 等
f
(x)
g
2
(x)
式
f (x) 0,
f
(x)
g(x)
g
(
x)
0,
f
(x)
g
2 (x)
第 思维训练
五
节 1、(x 1) x2 x 2 0;
不 2、x2 5x 6 x 1
不 等
推论2
a b 0, c d 0 a b ; dc
式 推论3 a b 0 a n b n (n N );
推论4 a b 0 n a n b (n N ).
第 同解变形( 分式不等式 )
五
节
f (x) 0 g(x)
f (x)g(x)
0
不
等 f (x) 0 f (x)g(x) 0且g(x) 0.
式
20 )当| a | 2时，解集为(- 2 a , 2 - a ). 22
思考：| x 1| | x | 2
| x -1| | x - 3 | 4
解绝对值不等式小结
第 五
1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉 绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一
节 元高次不等式（组），进行求解。
不
A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般
念
运算不同对解析式进行分类
第 运算
一
节 1.代数运算
代数式
基 、、、、指数为有理数的乘方（开方）运算
本 概
2.超越运算
超越式
念 指数有无理数的乘方、对数、三角，反三角运算
第 恒等式
一
节 两个解析式 f 和 g 对于它们公共定义
基 域的某个子集内的一切值都有相同的 本 取值，记作 f ≡ g，通常在不引起混 概 淆的情况下也记作
等 采用零点分段法。
式
eg :| x a | | x b | | x c | | x - d | m,
其中a、b、c、d都是实数。
第 五 节 B、形如 | x - a | | x - b | m( m),
其中m为正常数，一般采用数 形结合的方法求解。
不 等 式
第 同解变形
五 节 定理2
D((x)) M ,(x) 0
f f
(x) g(
(x)(x)
x)与
同解。
g(x)(x)
节
证明思路：
不
10 证对f (x) g(x)的任意解a,
等
都有f (a)(a) g(a)(a)；
式
20 证对f (x)(x) g(x)(x)的任意解b,
都有f (b) g(b)的解。
第 同解变形（ 无理不等式 ）
② 按解析式分类
等 式
、
、
严不等式 非严不等式
代数不等式 超越不等式
定义2 用不等号联结的两个解析式定义域的交集，
第 称为不等式的定义域。
五
节
③ 按不等式解集与其定义域的关系分类
不
定义域
绝对不等式
等
真子集
条件不等式
式
空集
矛盾不等式
第 二、不等式基本性质 五
节 (1)对称性：a b b a;
式 g(x)
第 当n 2, an 0时， 五
节 F (x) an x n an1x n1 ... a1x a0 0(或 0)
一般采用“零点分区穿线法”求解
不
等
1）把F(x)因式分解；
式
2)在数轴上依次标出零点；
3）从右上角开始，根据“奇穿偶不穿”原 则进行穿线。
第 解下列不等式： 五