对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

x1 x2 2
变式探究 7： 取 a x1 1,b x2 1 ，则由①知： ( x1 1) ( x2 1)
( x2 1) ( x1 1) . 于
2
ln( x2 1) ln( x1 1)
是，可编制如下试题： 对任意 x1, x2 (1, ) ，且 x1 x2 ，求证：
x2 x1
x1 x2 1 .
ln( x2 1) ln( x1 1)
年天津、 2013 年新课标Ⅰ、 2014 年陕西卷、 2014 福建预赛、 2014 年绵阳一、三诊、 2015 合
肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的 .
为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式
a+ b >
b - a ，记为①式；
2 ln b - ln a
将 b- a > ln b - ln a
变式探究 6：取 a x1 1,b x2 1 ，则由③知： x2 1
(x2 1) ( x1 1)
ln( x2 1) ln( x1 1)
2
.
1
1
x1 1 x2 1
于是，可编制如下试题：对任意 x1, x2 ( 1, ) ，且 x1 x2 ，求证：
x2 1
x2 x1
2( x1 1)(x2 1) .
ln( x2 1) ln( x1 1)
2
变式探究 8：取 a x1 1,b x2 1 ，则由②知： ( x2 1) ( x1 1) ln( x2 1) ln( x1 1)
(x1 1)( x2 1) . 于是，
可编制如下试题：对任意 x1, x2 (1, ) ，且 x1 x2 ，求证：
x2 x1 ln( x2 1) ln( x1 1)
x1 x2 x1 x2 1 .
ab 1 dx = ln
ax
ab -
ln a =
1 (ln b -
2
ln a) =
1 2 S曲边梯形 ABQP ，
( ) S = 梯形 AUTP
1 2
骣???桫1a
+
1 ab
÷÷÷
ab -
a
=
1 b- a ?
2 ab
1 2 S梯形 ABCD ，
而根据右图可知：
S曲边梯形 AUTP < S梯形 AUTP ，所以 ln b - ln a < b -
对数平 均数不 等式 链的几 何证明 及变 式探究
中学数学教育专家安振平在剖析 2013 年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是：
a+ b b- a
设 b > a > 0 ，则 b >
>
>
2 ln b - ln a
2
a
ab >
1+
> 1
a ，其中 ln a
ab
b
被称为“对
ln b
数平均数” . 安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大
a .②
ab
另外，根据 S矩形 ABQX < S < 曲边梯形 ABQP S梯形 ABQP < S矩形 ABYP ，可得：
1
(b -
b
a) < ln b -
ln a <
1 2
骣???桫1a
+
1 b
÷÷÷(b-
a) <
1
(b -
a
a). ③
综上，结合重要不等式可知：
1
(b -
b
2(b - a)
a) <
ln( x2 1) ln( x1 1)
x1 x2 2
变式探究 10：取 a ex1 , b ex2 ，则由①知： ex1 ex2 2
e e x2
x1
. 于是，可编制如下试题：
x2 x1
对任意 x1, x2
R ，且 x2
x1 ，求证： x2 x1 2
ex2 ex1
ex1 ex2
.
变式探究 11：取 a ex1 , b ex2 ，则由②知： ex2 ex1 x2 x1
ex1 ex2 . 于是，可编制如下试题：
对任意 x1, x2
R ，且 x2
x1 ，求证： x2
x e 2 x1 x2 1
ex2
ex1
2
.
变式探究 12： 取 a ex1 , b ex2 ，则由③知： ex2
ex2 ex1 x2 x1
2 . 于是，可编制如下 11 ex1 ex2
试题：对任意 x1, x2 R ，且 x2
2
变式探究 5：取 a x1 1,b x2 1，则由②知： ( x2 1) ( x1 1) ln( x2 1) ln( x1 1)
(x1 1)(x2 1) . 于是，
可编制如下试题：对任意 x1, x2 ( 1, ) ，且 x1 x2 ，求证：
x2 x1 ln( x2 1) ln( x1 1)
x1 x2 x1 x2 1 .
ab ，记为②式；将
b> bln b -
a> ln a
2
1 +
1
，记为③式
.
ab
变式探究 1： 取 a x1, b x2 ，则由①知： x1 x2
x2 x1 . 于是，可编制如下试题：
2
ln x2 ln x1
已知 x2 x1 0 ，求证： ln x2 ln x1 2( x2 x1) . x1 x2
变式探究 2：取 a x1, b x2 ，则由②知： x2 x1 ln x2 ln x1
x1x2 . 于是，可编制如下试题：
已知 x2 x1 0 ，求证： ln x2 ln x1 x2 x1 . x1 x2
变式探究 3：取 a x1, b x2 ，则由③知： x2
x2 x1
ln x2 ln x1
2 . 于是，可编制如下试 11 x1 x2
题：已知 x2 x1 0 ，求证： 1 x1 ln x2 ln x1 x22 x12 .
此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解 1 对数平均数不等式链的几何证明 如图，先画反比例函数 f x 1 x 0 的图象，再画其他的辅助线，其中 x
. 基于 .
AP BC TU
KV ， MN
CD
1
1
x 轴， A a,0 , P a, , B b,0 , Q b, , T
< ln b -
a+ b
ln a <
b- a ab
<
1 2
骣???桫1a
+
b1÷÷÷(b-
1
a) < (b -
a
a)，
即 b> a+ b > b- a > 2 ln b- ln a
ab >
2 11
+
>
a (b >
a>
0). ④
ab
2 对数平均数不等式链的变式探究
近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如 2010 年湖北卷、 2012
x2
2 x1 x2
变式探究 4： 取 a x1 1,b x2 1，则由①知： ( x1 1) ( x2 1)
( x2 1) (x1 1) . 于
2
ln( x2 1) ln( x1 1)
是，可编制如下试题： 对任意 x1, x2 ( 1, ) ，且 x1 x2 ，求证：
x2 x1
x1 x2 1 .
ln( x2 1) ln( x1 1)
变式探究 9：取 a
x1 1,b x2 1 ，则由③知： x2 1
(x2 1) ( x1 1)
ln( x2 1) ln( x1 1)
2
.
1
1
x1 1 x2 1
于是，可编制如下试题：对任意 x1, x2 (1, ) ，且 x1 x2 ，求证：
x2 1
(x2 1) ( x1 1)
2( x1 1)(x2 1) .
x1 ，求证： ex2
e e x2
x1
x2 x1
2ex1 x2
e e x1
x2
2ex1
e e x1
x2
1 ex1 x2 x2 x1
1.
………… 总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真 题的理论背景，正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习， 去领悟那种解无限道题的数学机智 . 这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题 本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘 . 水有源，题有根， 茫 茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径 .
1 ab,
.设
a
b
ab
函数 f
x 在点 K
a
b ,
2
百度文库
处的切线分别与直线 AP, BQ 交于点 E, F ，则根据左图可知：
2 ab
因为 S曲边梯形 ABQP > S梯形 ABFE = S矩形 ABNM ，
ò 所以
b1 dx = ln b - ln a >
2 (b - a). ①
ax
a+ b
ò 因为 S曲边梯形 AUTP =