差函数的等价无穷小替换

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等价无穷小替换_极限的计算

无穷小极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。

下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。

例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义：当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。

显然，∞→n 时，、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。

无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0l i m =-∞→x x e ， +∞=+∞→xx e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。

小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())x x xx f x A x α =+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kC C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ；（2）x arcsin ～x ；（3）x tan ～x ；（4）x arctan ～x ；（5）)1ln(x +～x ；（6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim20xx x -→求；（2）1cos 1lim20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220xx x -→=21- 例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

等价无穷小在计算函数极限中的应用

等价无穷小在计算函数极限中的应用
王洪涛
【期刊名称】《读写算（教研版）》
【年(卷),期】2014(000)005
【摘要】求函数极限的方法很多，等价无穷小代换法就是其中之一。

很多问题利用等价无穷小代换不仅能解决问题，而且显得非常简单。

本文结合具体例子，对等价无穷小代换法的应用作一探讨。

【总页数】1页(P203-203)
【作者】王洪涛
【作者单位】新乡职业技术学院河南新乡 453006
【正文语种】中文
【中图分类】G712
【相关文献】
1.等价无穷小在求函数极限中的应用
2.浅谈等价无穷小在求复合函数极限中的应用
3.等价无穷小在求函数极限中的应用刍议
4.几对差函数的等价无穷小量在求极限中的应用
5.等价无穷小量替换法在复合函数极限中的应用
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差函数的等价无穷小代换

差函数的等价无穷小代换当x→0时，sinx~x；tanx~x；arcsinx~x；arctanx~x；1-cosx~(1/2)*（x^2）；（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)；（e^x）-1~x；ln(1+x)~x；(1+bx)^a-1~abx；loga(1+x)~x/lna。

首先来看看什么是无穷小：无穷小就是以数零为音速的变量。

确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x0)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

比如，f(x)=(x－1)2就是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n就是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx就是当x→0时的无穷小量。

特别必须表示的就是，切勿把不大的数与无穷小量混为一谈。

这里值得一提的是，无穷小是可以比较的：假设a、b都就是lim(x→x0)时的无穷小，如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）如果lim b/a=∞，就是说b就是比a低阶的无穷小。

比如b=1/x^2， a=1/x。

x-\ue无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。

假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶，因为c更快地趋于0了。

如果lim b/a^n=常数c≠0（k\ue0），就说道b就是关于a的n阶的无穷小， b和a^n就是同阶无穷小。

下面来介绍等价无穷小：从无穷小的比较里可以晓得，如果lim b/a^n=常数，就说道b就是a的n阶的无穷小，b和a^n就是同阶无穷小。

特定地，如果这个常数就是1，且n=1，即lim b/a=1，则表示a和b就是等价无穷小的关系，记作a～b等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：假设lim a～a'、b～b'则：lim a/b=lim a'/b'现在我们建议这个音速lim(x→0) sin(x)/(x+3)根据上述定理当x→0时 sin(x)～x (重要极限一) x+3～x+3 ，那么lim(x→0)sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=1等价无穷小就是无穷小之间的一种关系，所指的就是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的音速为1，则表示这两个无穷小就是等价的。

等价无穷小替换公式常用

等价无穷小替换公式常用关键信息项：1、等价无穷小的定义2、常见的等价无穷小替换公式3、适用条件和限制4、应用举例5、误差分析与注意事项11 等价无穷小的定义等价无穷小是指在某一极限过程中，两个函数的比值趋近于 1。

即当自变量趋近于某个值时，两个函数的差值相对于它们本身来说可以忽略不计。

111 例如，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 是等价无穷小。

12 常见的等价无穷小替换公式以下是一些常见的等价无穷小替换公式，在满足一定条件下可以相互替换：当 x 趋近于 0 时：121 sin x ～ x122 tan x ～ x123 arcsin x ～ x124 arctan x ～ x125 ln(1 ＋ x) ～ x126 e^x 1 ～ x127 1 cos x ～（1/2)x^2128 （1 ＋ x)＾a 1 ～ ax （a 为常数）13 适用条件和限制等价无穷小替换公式并非在所有情况下都能随意使用，需要满足一定的条件。

131 替换的无穷小必须是在极限过程中趋于 0 的量。

132 只能在乘除法中进行等价无穷小的替换，在加减法中一般不能直接替换，除非经过特殊的处理和判断。

133 替换后的式子必须存在极限，且极限值应与原式子的极限值相同。

14 应用举例通过以下例子来说明等价无穷小替换公式的应用：例 1：求极限lim(x→0) （sin x ／ x)解：因为当x→0 时，sin x ～ x，所以lim(x→0) （sin x ／ x) ＝lim(x→0) （x ／ x) ＝ 1例 2：求极限lim(x→0) （tan x x) ／ x^3解：tan x x ＝（sin x ／ cos x) x ＝（sin x x cos x) ／ cos x当x→0 时，sin x x cos x 不能直接用等价无穷小替换。

通过泰勒展开：sin x ＝ x （1/6)x^3 ＋ o(x^3)，cos x ＝ 1 （1/2)x^2 ＋ o(x^2)则 x cos x ＝ x （1/2)x^3 ＋ o(x^3)所以 sin x x cos x ＝（1/2)x^3 ＋ o(x^3)因此lim(x→0) （tan x x) ／ x^3 ＝lim(x→0) （1/2)x^3 ／ x^3 ＝1/215 误差分析与注意事项在使用等价无穷小替换公式时，需要注意可能产生的误差。

等价无穷小替换及洛必达法则

例 4 求 lim x ln x ，其中 0 . x 0
在用洛必达法则求待定型时，应注意以下几点：
（1）在
0 0
或

待定型中，
lim
f (x) g ( x)
不存在，不能断言
lim
f (x) 不存在！例如 g(x)
6
lim
x
sin
x x
x
＝
1。但 lim x
(sin
x x

00, 求
lim
x0
f
( x).
8. 拆项，凑项求极限
例 21 求极限 lim e x cos x ；
x0
x
3
例 22
求极限
lim
3
sin
x

x
2
cos
1 x
x0
2x
【启发与讨论】
思考题
1：当
x

0
时，
y

1 x
sin
1 x
是无界变量吗？是无穷大吗？
解： (1)
取
x0

1 2k
＝
A
t
例 1 求 lim x x0 1 e2 x
例2
求极限
lim
x0
ex
(1 ln(1
2x)1/ 2 x2)
关于待定型，也有类似的洛必达法则．
定理若(1) f (x) ， g(x) 在 (a, a ) 可导且 g(x) 0 ，其中 0 ；
5
(2) lim f (x) ＝ lim g(x) ＝；
常用等价无穷小:当x 0时,
（1） sin x ～ x ；

等价无穷小替换定理本质及推广

等价无穷小替换定理本质及推广作者：窦慧来源：《教育教学论坛》2014年第30期摘要：通过等价无穷小的认知、分析，指出了等价无穷小替换定理的本质是将无穷小的基本初等函数替换为无穷小的幂函数，将等价无穷小替换定理由乘积推广到了和差运算，建立了新的定理。

关键词：基本初等无穷小；等价；初等无穷小；幂函数中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）30-0106-03文[1～7]给出了无穷小的定义、无穷小的阶以及等价无穷小替换定理的各种不同变形，讨论了等价无穷替换定理的各种应用。

本文说明了等价无穷小替换定理的本质——用幂函数等价替换初等无穷小，并在此基础上将等价无穷小替换定理的应用范围由乘法运算推广到和差运算。

一、初等无穷小的定义和性质众所周知，当x→0时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均为无穷小，而且与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

为了描述方便，作如下定义：定义称时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）为当x→0时的基本初等无穷小。

性质1 x→0时的基本无穷小均与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

性质2 基本初等无穷小复合运算后所得的初等无穷小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

证设α（x）、f（x）均为x→0时的基本初等无穷小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），则■■=■■·■=1即f（α（x））也为x→0时的初等无穷小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，则f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。

即基本初等初等无穷小复合运算后所得的初等无穷小也与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。

不常见的等价无穷小替换公式

不常见的等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种常见的用于求解极限的方法。

但是，除了常见的等价无穷小替换公式之外，还有一些不常见的等价无穷小替换公式。

本文将介绍其中一些不常见的等价无穷小替换公式，并探讨它们的应用。

我们来看一个不常见的等价无穷小替换公式：当 x 趋近于无穷大时，sin(x) 可以被替换为 x。

这个公式的推导可以通过泰勒展开式来进行。

根据泰勒展开式，sin(x) 可以表示为 x 减去 x 的三阶无穷小量。

因此，当 x 趋近于无穷大时，sin(x) 可以忽略 x 的三阶无穷小量，从而被替换为 x。

接下来，我们来看另一个不常见的等价无穷小替换公式：当 x 趋近于无穷大时，e^x 可以被替换为无穷大。

这个公式的推导可以通过极限的定义来进行。

根据极限的定义，当 x 趋近于无穷大时，e^x 可以表示为无穷大加上一个小于任意正实数的无穷小量。

因此，当x 趋近于无穷大时，e^x 可以被替换为无穷大。

除了上述两个不常见的等价无穷小替换公式之外，还有一些其他的不常见的等价无穷小替换公式。

例如，当 x 趋近于无穷大时，ln(x+1) 可以被替换为 x。

这个公式的推导可以通过泰勒展开式来进行。

根据泰勒展开式，ln(x+1) 可以表示为 x 减去 x 的平方的一半。

因此，当 x 趋近于无穷大时，ln(x+1) 可以忽略 x 的平方的一半，从而被替换为 x。

在实际应用中，不常见的等价无穷小替换公式可能会用于简化复杂的极限计算。

例如，在求解某个函数的极限时，如果可以将函数中的某个部分替换为无穷大或其他等价无穷小量，就可以简化计算过程。

这在计算机科学、物理学等领域中经常会遇到。

然而，需要注意的是，不常见的等价无穷小替换公式并不适用于所有情况。

在使用这些替换公式时，需要进行严格的推导和分析，确保替换后的结果与原始函数在极限意义下相等。

否则，可能会导致计算结果的误差或错误。

不常见的等价无穷小替换公式是一种在极限计算中使用的方法。

等价无穷小量代换法的应用技巧

=例5求极限lim(1+tanx)
sin3x％
x→x.
α'(x)x→.
1,故limI１
α
=.
,解因为sinx～x～tan＇
,故由定理2知,
x→x0α'11113xx33
I１
α
原式=lim(1+x)=(lim(1+x))=e.
x→0x→.
从而limI１
(或和)函数及几种未定式的极限问题
,给出了相
应的结论
,并通过算例说明理论的正确性和有效性。
〔关键词〕等价无穷小量;极限;未定式
众所周知
,极限是建立微积分理论的重要方
法,用等价无穷小量代换法求函数极限又是一种简
洁且有效的方法.在多种《数学分析》或《高等数
学》教材中只给出了函数中含有积商因子的相关结
(x)-tanx)cosxlimIn（
·2tanx
=
cosx=In2.
x→0
定理2设α(x)～α＝
(x).
β(x)～β＝
(x).
γ(x)～γ＝
(x＃
.
(x→x0＃
.
(i)若limα(x＃
=．
.
≠1＃
,且lim
x→x.
α=lim(I１
α-1+1)=1+limα'=
x→x0I１
α'x→x.
I１
α'x→x0I１
α＝
11参考文献
1,即
I１
α:
I１
α'
,于是

等价无穷小替换公式的使用条件

等价无穷小替换公式的使用条件1.被替换的函数以及其无穷小量的关系：被替换的函数应该是无穷小量的高阶部分。

例如，当$x$趋向于无穷大时，如果函数$f(x)$在无穷大范围内，$f(x)$的高阶无穷小项比较占主导地位，那么可以将$f(x)$用高阶无穷小项替换。

2. 无穷小量的定义：无穷小量是当$x$趋向于一些特定值时，函数的变化量趋近于0的数量。

在等价无穷小替换中，我们常使用一些常见的无穷小量，如$dx$代表$\Delta x$或$\frac{1}{\sqrt{x}}$，$dt$代表$\Delta t$或$\frac{1}{\sqrt{t}}$等。

3.被替换函数的极限存在：在使用等价无穷小替换时，需要确保被替换的函数极限存在。

只有当函数在其中一点的极限存在时，才能进行等价无穷小替换。

4.右极限和左极限的一致性：在使用等价无穷小替换时，需要确保函数的右极限和左极限是一致的。

如果函数在无穷小区间内的右极限和左极限不一致，那么等价无穷小替换就不能使用。

5.对称性：等价无穷小替换公式通常满足函数的对称性。

例如，当$x$趋向于0时，$f(x)$的无穷小量与$f(-x)$的无穷小量的替换公式是相同的。

需要注意的是，在使用等价无穷小替换时，一定要慎重。

因为替换过程可能会引入误差，从而导致得到的结果不准确。

因此，在进行等价无穷小替换时，需要仔细分析被替换函数的特点，确保替换后的结果能够保持原来的性质。

此外，等价无穷小替换公式的使用条件还与具体的情况有关。

不同的函数可能需要不同的替换方法，因此在具体问题求解时，需要根据具体情况进行分析和判断。

掌握了等价无穷小替换公式的使用条件，可以帮助我们更好地理解和应用微积分知识，提高问题求解的效率。

差函数的等价无穷小代换

", , ) *4+ （上接第 .) 页） ! (（（! % 1）（! " 1）在 ! # 1 不连续，由命题 , 知 # （!） , !）# )（ ! " 1）（ ! " )）在 ! # 1 不可导。综上，（ !）在 ! # ) 及 ! # 1 不可导。 # 注 ! 易证（ ( !） # ) ! " * ) ! 在 ! # * 点可导，当且仅当 ! + )。 , % 命题 .! 设（ ( !）#（! " *） ) ! " * )（, % ! ），则（ ( !）在 ! # * 点的各阶导数 % ， ! ! - , ,，（-） ( （*）# 。不存在， - +, ,%) " （! " *）， ! , *， " （, % )）（！! " *）， ! , *，（,）证明 ! 由（ ( !）# ! 得( （*）# ,%) （！! " *）， ! + *。（, % )）（! " *）， ! + *，（,%)）（,%)）（,%)）但( （*）# " （, % )）！， ( （*）#（, % )）！，故( （*）不存在。 " % , 1 （ ,）高数一） ! 设（ ( !） # , ! % ! ) ! ) ，则( （%）存在的最高阶数为! ! ! ! ! ! 例 -! （)551 年， ! ! ! ! 87 )； ! ! ! ! 97 1； ! ! ! ! :7 , 67 %； , 1 解! （ ( !） # (（，其中 (（但 (（ ) ! ）% (（ 1 !） ) ! ） # , ! 在 ! # % 任意阶可导， 1 !） # ! ) ! ) 在 ! # % 点至多只有二阶导数，故应选 .。

用等价无穷小替换求极限使用条件的探讨

用等价无穷小替换求极限使用条件的探讨作者：冉金花
来源：《科技资讯》2019年第27期
摘; 要：等价无穷小替换是求极限中常用的方法之一，正确的使用可以大量地减少计算量。

该文探讨了函数乘积、商的极限和商的极限中分子、分母为和差项时等价无穷小替换的使用条件，特别给出了3项无穷小的和项的等价替换条件并给出了证明，还给出了相应的实例。

关键词：等价无穷小; 替换; 极限; 和差项
中图分类号：G64 ; ;文獻标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）09（c）-0222-02
等价无穷小替换是求极限中常用的方法之一，正确地使用等价无穷小替换求极限可以大量地减少计算量，但在使用时往往也会出现一些常见的误区，该文主要从函数乘积、商的极限和分式极限中分子、分母为和差项时对等价无穷小的替换条件进行探讨。

3; 结语
综上，可以知道使用等价无穷小替换求极限时需要遵循以下规则。

（1）乘除项等价替换时，是分子或分母的整体代换，或因式替换，即替换后不可出现和差的情形。

（2）和差项等价替换时需替换的几个无穷小的等价无穷小应该是同阶或等价的，且最终的和差项不能被抵消为0。

总之，等价无穷小替换求极限虽然方便，但在替换之前需验证是否满足定理及推论里的条件，否则将会产生错误。

参考文献
[1] 同济大学数学系.高等数学[M].7版.北京：高等教育出版社，2014：53.
[2] 魏国祥，张隆辉，成明山.关于等价无穷小替换求极限方法的推广[J]. 四川教育学院学报，2008，24（5）：111-112.
[3] 吴维峰.对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨[J].潍坊教育学院学报，2008，21（2）：22-23.。

和差运算中无穷小的等价替换方法利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式求无穷小量代数和的极限

和
差
运
算
中
无穷小的等价替换方法
&
利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公
式求无穷小量代数和的极限
1 2 3
01 和差运算中无穷小的等价替换方法
复习：常见的求极限的方法方法1：极限运算法则
函数和差积商的极限=极限的和差积
方法2：等价无穷小替换无穷小的比较
常见等价无穷小
x→0
sin x ~ x tan x ~ x arcsin x ~ x
在求无穷小量代数和的极限时，可将阶数较高的无穷小量舍弃，以简化计算。(即：低阶无穷小＋高阶无穷小⇔低阶无穷小)P54定理1
为什么上一题的sin x 和xcos x要用三阶的麦克劳林公式而不用一阶或者五阶的呢？拿到一个题目要怎么确定要用几阶的麦克劳林公式呢？有大佬总结出两个规律来自分式上下同阶原则和加减幂次最低原则
arctan x ~ x
ln(1+ x) ~ x
x＋1
x＋1
★在利用等价无穷小量替换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换。
推论：两个同阶但非等价的无穷小之差的每一项都可以用与之等价的无穷小替换。
简单地说：替换后分子或分母不为0的均可替换
thank you for watching!
2019.05.23
两个同号无穷小之和的每一项都可以用与之等价的无穷小替换。
运用等价无穷小的替换时，可以只替换分子或分母，也可以将分子和分母同时替换。
02 泰勒公式
泰勒公式是高等数学的核心内容之一，其基本思想是将一些
复杂的函数关系近似地表示为简单的幂级数的形式达到化繁

关于大学高等数学等价无穷小

关于大学高等数学等价无穷小这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。

其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。

1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。

如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。

关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。

2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。

f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。

当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。

但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。

此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。

碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。

大学高等数学等价无穷小

那个问题很多人都弄不明白，很多自以为明白的人也不负责任地说一句“乘除能够，加减不行”，包括很多高校教师。

其实这种讲法是不对的！关键是要明白其中的道理，而不是记住结论。

1•做乘除法的时候必然能够替换，那个大伙儿都明白。

若是f(x)〜u(x), g(x)〜v(x),那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)o关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)苴中两项的极限是1,因此就顺利替换掉了。

2.加减法的时候也能够替换！可是注意保留余项。

f(x)〜u(x)不能推岀f(x)+g(x)〜u(x)+g(x),那个是很多人说不能替换的缘故，可是若是你如此看：f(x)〜u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x)),那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x)),注意那个地址是等号,因此必然是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成髙阶的无穷小量，现在余项o(f(x))成为主导，因此不能忽略掉。

当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是能够忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是能够替换的，因为ln(1 +x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x),因此ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。

可是若是碰着ln(1+x)-x,那么ln(1 +x)+x=[x+o(x)]-x=o(x),现在发生了相消，余项o(x)成了主导项。

现在那个式子仍然是成立的！只只是用它来作为分子或分母的极限问题可能取得不定型而无法直接求出来罢了。

碰着这种情形也不是说就不能替换，若是你换一个高阶近似：ln(1 +x)=x-x A2/2+o(x A2)那么ln(1 +x)-x=-x A2/2+o(x A2)那个和前而ln(1+x)-x=o(x)是相容的，可是是更成心义的结果，现在余项0(x^2)能够忽略。

(黄兆麟)等价无穷小量替换法求极限初探综述

等价无穷小量替换法求极限初探天津港黄兆麟（发表于内部刊物《港口职工教育》1998年第1期）经验告诉我们，借助一个依赖深奥困难的论证的一般定理,我们就能期望在应用此定理的特殊情形中,避免经历同样深奥困难的论证。

求解某些极限时，借助于一些常见的无穷小量等价式，再利用替换定理 (此即等价无穷小量替换法)正是达到了这样的简化。

然而各类教科书对此法介绍不多，笔者愿在此抛砖引玉，谈谈在教学中的体会。

先说明一些符号：若,αβ是在同一变化过程中的无穷小，则lim1αβ= 记作 αβ，读作：“α与β等价”。

lim0αβ= 记作 0()αβ=，读作：“α比β高阶”。

lim0k αβ=≠，读作：“α与β同阶”。

再给出一些常见的无穷小量等价式：当0x →时,23sin ,tan ,arcsin ,arctan ,1,1ln ,ln(1),(1)1,1,1cos ,sin 26x x x x x x x x x x e x a x a x x x x x xxxx xnαα--++---这里x 可以为趋于零的函数式。

替换定理：若11,,,αβαβ是同一变化过程中的无穷小,同时11,ααββ且11limαβ存在, 则有 11limlim ααββ= 证：111111111111limlim()lim lim lim 1lim 1lim αβαβαααααβαββαββββ=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= 等价符号还满足以下规律 (1)自反律：αα (2)对称律：若αβ,则βα(3)传递律：若αβ且βγ,则αγ, (4)弃高律（吸收律）：0()ααα±(5)乘积律：若1αα且1ββ,则11αβαβ(6)方幂律：若αβ,则kk αβ,(0)k >需要指出，以上给出的等价式，均可用两个重要极限及连续函数取极限的有关性质加以证明；而六个规律均可用极限四则运算法则给出证明。

所谓弃高律是指替换时可将和差式中的高阶无穷小弃掉。

探求和差运算中无穷小的等价代换方法_李胜正

1+ 2t - 1~
t-
1 2
t2,
1+ t - 1~
1 2
t-
1 8
t2
原式=

tlim
t 0+
1 2
t 2-
2(
1 2
t
-
t2
1 8
t2) =
-
1 4
.
以下再举一例, 以说明该方法简单易行。
例4
求极限 lim x0
x2 5 1+ 5x - 1-
x
解 ∋: 用洛必达法则直接求
原式=
lim
x0
1 5
(
教育出版社, 2002.
(2) 当分子、分母中含有和差运算, 且和差运算
中的各部分无穷小满足一定条件, 则各部分无穷小也可直接进行等价代换( 定理) 。
( 3) 当定理的条件不满足时, 和差运算中的各部分无穷小可按泰勒公式展开, 适当选取等价无穷小的阶数, 则各部分无穷小也可直接分别等价代换 ( % 补充说明&) , 并且注意到分别代换后的结果其实质都是把整个和差运算的无穷小量整体代换成阶数较高的等价无穷小量。
前述已知上接第72则各部分无穷小也可直接进行等价代换和差运算中的各部分无穷小可按泰勒公式展开并且注意到分别代换后的结果其实质都是把整个和差运算的无穷小量整体代换成阶数较高的等价无穷小量和差运算中的无穷小等价代换问题得到了很好的解决解法要比解法简单的多由以上各题我们注意到
第 22 卷第 2 期
2008 年
为例,
说明该方法的
应用。
例2
求极限
lim
x0
tanx x3
s
inx