2020学年温州新力量联盟高二上期中数学试卷

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浙江省温州十五校联合体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题及答案

2020学年第一学期“温州十五校联合体”期中联考高二年级数学学科试题-无答案选择题部分（共 36 分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分。

1.用一个平面去截圆锥，则截面不可能是A . 椭圆B. 圆C. 三角形D. 矩形2.一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条A ．平行B ．相交C ．异面D ．相交或异面3.椭圆22+13y x =的焦点坐标是A ．()2,0，()2,0-B ．)2,0，()2,0-C ．(2，(0,2-D ．()0,2，()0,2-4．原命题“若实数a, b, c 成等比数列，则b ac =2”，则 A ．逆命题与否命题假，逆否命题真 B ．逆命题假，否命题和逆否命题真C ．逆命题和否命题真，逆否命题假D ．逆命题、否命题、逆否命题都真5.如图1所示，正方形''''O A B C 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是A. 21 cmB. 22 2 cmC. 23 2 cmD.226. “直线l 与平面α内无数条直线平行”是“直线l 与平面α平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.方程2||11(2)x y -=-+A.一个圆B. 两个圆C.一个半圆D.两个半圆8.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为o 70，则图122+143x y =这样的直线lA.不存在B. 2条C.4条D. 无数条9.如图2所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱BC 的中点，点P 是平面DCC 1D 1内的动点，若直线AP 与平面DCC 1D 1所成的角等于直线MP 与平面DCC 1D 1所成的角，则点P 的轨迹是 A . 圆 B. 椭圆C . 直线D. 射线非选择题部分（共114分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.10.椭圆22:194x y C +=的离心率为 ▲ ，长轴长 ▲ .11.某三棱锥的三视图如图3所示，则俯视图的面积为 ▲__, 该几何体的体积是 ▲__.12.过圆228x y +=上任意一点P 作x 轴垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程为 ▲ .13.已知圆锥的侧面积为24cm π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是 ▲ cm ,母线长为 ▲ cm .14.不等式210kx x --≤对任意的实数x 恒成立的充要条件是k ∈ ▲ .15.已知椭圆22195x y +=的左右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF F ∠= ▲ ， 12||||PF PF -= ▲ .16.在正三棱锥A -BCD 中，AB=AC=AD =5，BC=BD=CD =6. 点M 是线段BC 上的点，且2BM MC =. 点P 是棱AC 上的动点，直线PM 与平面BCD 所成角为θ，则sin θ的最大值为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题,共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（满分14分）已知2:8150p x x -+≤，22:2 ()q x x a a -+-≤>100．（Ⅰ）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若p 为q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．图2图3ABCDE18. （满分16分）如图4所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值.图419. （满分16分）已知12(1,0),(1,0),F F - 动点P 满足12||||4PF PF +=，动点P 的轨迹为曲线Γ.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）直线l 与曲线Γ交于A 、B 两点，且线段AB 的中点为M （1,1），求直线l 的方程.20.（满分16分）如图5所示，在三棱锥D-ABC 中，AD DBC ⊥平面，o 120BDC ∠=，且DA =1，DB =DC =2，E 是DC 的中点.（Ⅰ）求异面直线AE 与BD 所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角A-BE-C 的正切值.图521.（满分16分）已知椭圆2222:1(0)y xC a ba b+=>>经过点1(3)2，且3)F是C的一个焦点，过焦点F的动直线l交椭圆于,A B两点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）y轴上是否存在定点P（异于点F），使得对任意的动直线l都有APF BPF∠=∠，若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.。

2023-2024学年浙江省温州市新力量联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省温州市新力量联盟高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线l ：x +2y +2＝0在y 轴上的截距是（） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．22．圆C 1：(x −4)2+y 2=4与圆C 2：x 2+(y −3)2=16的位置关系是（） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．c →+b →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，BB 1的中点，则异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为（）A ．√515B ．4√515 C ．−2√515D ．2√5155．直线l ：y ＝﹣2x +1在椭圆y 22+x 2=1上截得的弦长是（）A ．√103B ．2√53C ．8√59D ．5√236．点P 是圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝1上的动点，直线l ：（m ﹣1）x +my +2＝0是动直线，则点P 到直线l 的距离的最大值是（） A ．4B ．5C ．6D ．77．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（） A ．1−√32B ．2−√3C ．√3−12D ．√3−18．已知E ，F 是圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（） A ．2√2B ．4√2C ．6√2D ．8√2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知直线l 的方向向量是a →，两个平面α，β的法向量分别是m →，n →，则下列说法中正确的是（） A ．若a →∥m →，则l ⊥α B ．若a →⋅m →=0，则l ⊥α C ．若m →∥n →，则α⊥βD ．若m →⋅n →=0，则α⊥β10．已知点M 椭圆C ：4x 2+9y 2＝36上一点，椭圆C 的焦点是F 1，F 2，则下列说法中正确的是（） A ．椭圆C 的长轴长是9B ．椭圆C 焦距是2√5C ．存在M 使得∠F 1MF 2＝90°D ．三角形MF 1F 2的面积的最大值是2√511．已知两点A （﹣5，﹣1），B （0，4）点P 是直线l ：y ＝2x ﹣1上的动点，则下列结论中正确的是（） A ．存在P （1，1）使|P A |+|PB |最小B ．存在P(12，0)使|P A |2+|PB |2最小C ．存在P （5，9）使|P A |﹣|PB |最小D ．存在P （0，﹣1）使||P A |﹣|PB ||最小12．已知曲线C ：（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8，则（） A ．曲线C 上两点间距离的最大值为4√2B ．若点P （a ，a ）在曲线C 内部（不含边界），则﹣3＜a ＜3 C ．若曲线C 与直线y ＝x +m 有公共点，则﹣6≤m ≤6D ．若曲线C 与圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）有公共点，则3≤r ≤3√2 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．直线√3x +y −2=0的倾斜角为．14．圆C 1和圆C 2的圆心分别为C 1（1，2），C 2（3，4），半径都为√2，写出一条与圆C 1和圆C 2都相切的直线的方程是．15．正四面体ABCD 的所有棱长都是2，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，则AE →⋅BF →= ． 16．如图，三角形ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠B ＝90°，D 为AC 中点，E 为BC 上的动点，将△CDE 沿DE 翻折到C ′DE 位置，使点C ′在平面ABC 上的射影H 落在线段AB 上，则当E 变化时，二面角C ′﹣DE ﹣A 的余弦值的最小值是．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知直线2x ﹣3y ﹣1＝0和直线x +y ﹣3＝0的交点为P ．（1）求过点P且与直线2x﹣y﹣1＝0平行的直线l1的方程；（2）求线段OP（O为原点）的垂直平分线l2的方程．18．（12分）已知圆C的圆心C在直线y＝2x上，且经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求圆C的方程；（2）直线l：mx+y﹣3m﹣1＝0与圆C交于E，F两点，且|EF|=2√3，求实数m的值．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝AB＝AD＝2BC ＝2，E为PD中点．（1）求证：CE∥平面P AB；（2）求直线CE与平面P AC所成角的正弦值．20．（12分）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正东方向设立了观测站A，在平台O的正北方向设立了观测站B，它们到平台O的距离分别为6海里和m（m＞0）海里，记海平面上到观测站A和平台O的距离之比为2的点P的轨迹为曲线C，规定曲线C及其内部区域为安全预警区（如图）．（1）以O为坐标原点，1海里为单位长度，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的方程；（2）海平面上有渔船从A出发，沿AB方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求m的取值范围．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，∠ACC1＝60°，点D，E分别是线段AC，CC1的中点，二面角C1﹣AC﹣B为直二面角．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）若点P为线段B1C1上的动点（不包括端点），求锐二面角P﹣DE﹣B的余弦值的取值范围．22．（12分）如图，已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），离心率为√22，椭圆C 的上、下顶点分别为A ，B ，右顶点为D ，直线l 过点D 且垂直于x 轴，点Q 在椭圆C 上（且在第一象限），直线AQ 与l 交于点N ，直线BQ 与x 轴交于点M ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）判定△AOM （O 为坐标原点）与△ADN 的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年浙江省温州市新力量联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线l ：x +2y +2＝0在y 轴上的截距是（） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2解：将x ＝0代入直线方程x +2y +2＝0，可得2y +2＝0，解得y ＝﹣1．故选：A ．2．圆C 1：(x −4)2+y 2=4与圆C 2：x 2+(y −3)2=16的位置关系是（） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切解：圆C 1：（x ﹣4）2+y 2＝4的圆心（4，0），半径为：2；圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝16的圆心（0，3），半径为：4；两个圆心的距离为：√32+42=5，两个圆的半径和为：2+4＝6，半径差为：4﹣2＝2， 2＜5＜6；所以两个圆相交．故选：B ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．c →+b →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：对于A ，b →=12(c →+b →)+12(b →−c →)，所以c →+b →，b →，b →−c →三个向量共面，故A 错误，对于C ，假设a →+b →，a →−b →，c →三个向量共面，则存在非零实数x ，y ，满足a →+b →=x(a →−b →)+yc →，整理可得(x −1)a →+(−x −1)b →+yc →=0，因为a →，b →，c →不共面，所以x ﹣1＝﹣x ﹣1＝y ＝0，无解，所以假设不成立，则a →+b →，a →−b →，c →三个向量不共面，故C 正确，对于B ，a →=12(a →+b →)+12(a →−b →)，所以a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面，故B 错误，对于D ，c →=(a →+b →+c →)−(a →+b →)，所以a →+b →，a →+b →+c →，c →三个向量共面，故D 错误．故选：C ．4．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，BB 1的中点，则异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为（）A ．√515B ．4√515C ．−2√515D ．2√515解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （2，0，0），E （0，1，2），F （2，2，1），C （0，2，0）， AE →=（﹣2，1，2），FC →=（﹣2，0，﹣1），设异面直线AE 与FC 所成角为θ，则cos θ=|AE →⋅FC →||AE →|⋅|FC →|=23⋅√5=2√515， ∴异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为2√515．故选：D ．5．直线l ：y ＝﹣2x +1在椭圆y 22+x 2=1上截得的弦长是（）A ．√103B ．2√53C ．8√59D ．5√23解：联立{y =−2x +1y 22+x 2=1，消去y 并整理得6x 2﹣4x ﹣1＝0，此时Δ＞0，所以直线l 与椭圆有两个交点，不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理得x 1+x 2=23，x 1x 2=−16，则直线l 在椭圆上截得的弦长|AB |=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√1+22⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5•√(23)2−4×(−16)=5√23．故选：D ．6．点P 是圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝1上的动点，直线l ：（m ﹣1）x +my +2＝0是动直线，则点P 到直线l 的距离的最大值是（） A ．4B ．5C ．6D ．7解：圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝1，可知圆心C （﹣1，2），半径r ＝1，上的直线l ：（m ﹣1）x +my +2＝0整理可得m （x +y ）﹣x +2＝0，可得直线l 恒过定点Q （2，﹣2），当CQ ⊥l 时，P 到直线的距离最大，且为r +|CQ |，即1+√(−1−2)2+[2−(−2)]2=1+5＝6．故选：C ．7．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（） A ．1−√32B ．2−√3C ．√3−12D ．√3−1解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P （12c ，√32c ）．可得：c 24a 2+3c 24b 2=1，可得14e 2+34(1e2−1)=1，可得e 4﹣8e 2+4＝0，e ∈（0，1），解得e =√3−1．法二，由题意可得|PF 1|=√3c ，|PF 2|＝c ， ∴2a ＝|PF 1|+|PF 2|=√3c +c ，∴ca =√3+1=√3−1．故选：D ．8．已知E ，F 是圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（） A ．2√2B ．4√2C ．6√2D ．8√2解：由圆C 的方程化为标准方程：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4，可知圆心C（1，2），半径r=√2，又CE⊥CF，P是EF的中点，所以∠CEF＝∠CFE＝45°，|CP|=|EF|2=2√22=√2，所以点P的轨迹方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，圆心为点C（1，2），半径R=√2．若直线l：x﹣y﹣3＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，则以AB为直径的圆与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=√2的位置关系为内切或内含．而点C（1，2）到直线l的距离d=|1−2−3|√1+(−1)2=2√2，设AB的中点为M，则|CM|＝d≤|AB| 2，所以|AB|≥2d＝4√2，即|AB|的最小值为4√2．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知直线l的方向向量是a→，两个平面α，β的法向量分别是m→，n→，则下列说法中正确的是（）A．若a→∥m→，则l⊥αB．若a→⋅m→=0，则l⊥αC．若m→∥n→，则α⊥βD．若m→⋅n→=0，则α⊥β解：对于A，若a→∥m→，则l⊥α，故A正确；对于B，若a→⋅m→=0，则l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，若m→∥n→，则α∥β，故C错误；对于D，若m→⋅n→=0，则α⊥β，故D正确．故选：AD．10．已知点M椭圆C：4x2+9y2＝36上一点，椭圆C的焦点是F1，F2，则下列说法中正确的是（）A．椭圆C的长轴长是9B．椭圆C焦距是2√5C．存在M使得∠F1MF2＝90°D．三角形MF1F2的面积的最大值是2√5解：椭圆C：4x2+9y2＝36即x29+y24=1，可得a ＝3，b ＝2，故c =√9−4=√5，所以椭圆C 的长轴长是2a ＝6，A 错；焦距是2c ＝2√5，B 对；当M 与A 重合时，三角形MF 1F 2的高最大，此时三角形MF 1F 2的面积也最大，面积的最大值是：12×2c×b =12×2√5×2=2√5，故D 对；当M 与A 重合时，∠F 1MF 2＝2∠F 1AO 最大，而tan ∠F 1AO =√52＞1＝tan45°，故此时的∠F 1MF 2＝2∠F 1AO ＞90°，故C 正确．故选：BCD ．11．已知两点A （﹣5，﹣1），B （0，4）点P 是直线l ：y ＝2x ﹣1上的动点，则下列结论中正确的是（） A ．存在P （1，1）使|P A |+|PB |最小B ．存在P(12，0)使|P A |2+|PB |2最小C ．存在P （5，9）使|P A |﹣|PB |最小D ．存在P （0，﹣1）使||P A |﹣|PB ||最小解：对于A ：设点B 关于直线l 的对称点为C （m ，n ），所以{n+42=2×m+02−1n−4m−0×2=−1，所以{m =4n =2，所以C （4，2），所以|P A |+|PB |≥|AC |，当且仅当P 为AC 与l 交点时满足题意，又因为AC ：y −2=−1−2−5−4(x −4)，即AC ：y =13x +23，所以{y =13x +23y =2x −1，所以{x =1y =1，所以P （1，1），故A 正确；对于B ：设P （x ，2x ﹣1），所以（|P A |）2+（|PB |）2＝（x +5）2+（2x ﹣1+1）2+x 2+（2x ﹣1﹣4）2，所以(|PA|)2+(|PB|)2=10[(x −12)2+194]，当且仅当x =12时，（|P A |）2+（|PB |）2有最小值，此时2x ﹣1＝0，所以P(12，0)，故B 正确；对于C ：如下图，根据A ，B 与l 的位置关系可判断出|P A |﹣|PB |有最大值，无最小值，故C 错误；对于D ：因为|P A ﹣|PB |≥0，取等号时|P A |＝|PB |，即P 为AB 垂直平分线与l 的交点，因为AB 垂直平分线方程为y −−1+42=−14−(−1)0−(−5)(x −−5+02)，即y ＝﹣x ﹣1，所以 {y =−x −1y =2x −1，所以{x =0y =−1，所以P （0，﹣1），故D 正确．故选：ABD ．12．已知曲线C ：（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8，则（） A ．曲线C 上两点间距离的最大值为4√2B ．若点P （a ，a ）在曲线C 内部（不含边界），则﹣3＜a ＜3 C ．若曲线C 与直线y ＝x +m 有公共点，则﹣6≤m ≤6D ．若曲线C 与圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）有公共点，则3≤r ≤3√2解：分x ，y 的符号讨论曲线的形状，画出曲线C ：（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8的图象如图所示：对于A ，曲线C 上两点的最大距离为d =√(1+1)2+(1+1)2+4√2=6√2，故A 错误；对于B ，在曲线（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝8（x ＞0，y ＞0）中，取y ＝x ，可得x ＝3，由P （a ，a ）在曲线的内部（不含边界），则﹣3＜a ＜3，故B 正确；对于C ：由图象可得，直线y ＝x +m 与半圆（x +1）2+（y ﹣1）2＝8（x ＜0，y ＞0）相切时，截距m 最大，由√2=2√2，可得m ＝6或m ＝﹣2（舍去），直线y ＝x +m 与半圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝8（x ＞0，y ＜0）相切时，截距m 最小，由√2=2√2，可得m ＝﹣6或m ＝2（舍去），∴若曲线C 与直线y ＝x +m 有公共点，则﹣6≤m ≤6，故C 正确；对于D ：由线（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8与坐标轴的交点为（0，±(1+√7)），（±（1+√7），0），当圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）过点（0，±（1+√7）），（±（1+√7），0）时，r 最小，最小值为1+√7，故D 错误．故选：BC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．直线√3x +y −2=0的倾斜角为 120° ．解：直线√3x +y −2=0的斜率为−√3， ∴tan α=−√3， ∴α＝120°，故答案为：120°．14．圆C 1和圆C 2的圆心分别为C 1（1，2），C 2（3，4），半径都为√2，写出一条与圆C 1和圆C 2都相切的直线的方程是 y ＝﹣x +5（或y ＝x ﹣1或y ＝x +3）．解：圆C 1和圆C 2的圆心分别为C 1（1，2），C 2（3，4），半径都为√2， |C 1C 2|=√(3−1)2+(4−2)2=2√2，两个圆的位置关系是外切，k C 1C 2=4−23−1=1，中点坐标（2，3），所以一条公切线方程为：y ﹣2＝﹣（x ﹣3），即y ＝﹣x +5．设与圆C 1和圆C 2都相切的直线方程为y ＝x +b ，可得√2=|1−2+b|√2，解得b ＝﹣1或b ＝3，所以公切线方程为：y ＝﹣x +5或y ＝x ﹣1或y ＝x +3．故答案为：y ＝﹣x +5（或y ＝x ﹣1或y ＝x +3）．15．正四面体ABCD 的所有棱长都是2，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，则AE →⋅BF →= 12．解：正四面体ABCD 的所有棱长都是2，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，如图所示：取FC 的中点G ，连接EG ，AG ，在△AEG 中，由于AE =√3，BF =√3，EG =√32，AG =√(12)2+(√3)2=√132，故∠AEG 为异面直线AE 和BF 所成的角；故cos ＜AE →，AF →＞=cos∠AEG =(√3)2+(√32)2−(√132)22⋅3⋅√32=16；故AE →⋅AF →=|AE →||AF →|cos ＜AE →，AF →＞=√3×√3×16=12．故答案为：12．16．如图，三角形ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠B ＝90°，D 为AC 中点，E 为BC 上的动点，将△CDE 沿DE 翻折到C ′DE 位置，使点C ′在平面ABC 上的射影H 落在线段AB 上，则当E 变化时，二面角C ′﹣DE ﹣A 的余弦值的最小值是 4√2−5 ．解：过点H 作HG ⊥DE 交DE 于G 点，连接C ′G ，CG ，如下图所示：因为C 在平面ABC 内的射影为H 点，所以C ′H ⊥平面ABC ，所以C ′H ⊥DE ，又因为HG ⊥DE ，CH ∩HG ＝H ，所以DE ⊥平面CHG ，所以DE ⊥CG ，所以二面角C ′﹣DE ﹣A 的平面角为∠C ′GH ，且cos ∠C ′GH =HGC′G，又因为DE ⊥C 'G ，所以DE ⊥CG ，易知C ，G ，H 三点共线，且CG ＝CG ，则cos ∠C ′GH =HGCG ，在平面ABC 中建立平面直角坐标系如下图所示：设E （0，m ），因为C 在平面ABC 内的射影为H 点，所以可知m ∈（0，2），又D （﹣2，2），C （0，4），所以DE ：y =m−22x +m ，CH ：y =−2m−2x +4，所以{y =m−22x +m y =−2m−2x +4，所以{x =2(m−2)(4−m)m 2−4m+8y =4m 2−12m+16m 2−4m+8，所以G(2(m−2)(4−m)m 2−4m+8，4m 2−12m+16m 2−4m+8)，所以cos ∠C ′GH =HG C′G =y G −y H y C −y G=4m 2−12m+16m 2−4m+8−04−4m 2−12m+16m 2−4m+8=4m 2−12m+1616−4m =m 2−3m+44−m，设4﹣m ＝t ∈（2，4），所以cos ∠C ′GH =(4−t)2−3(4−t)+4t =t 2−5t+8t ≥t +8t −5≥2√t ×8t−5＝4√2−5，当且仅当t =8t，即t =2√2，即m =4−2√2时取等号，所以（cos ∠C ′GH ）min ＝4√2−5，故答案为：4√2−5．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知直线2x ﹣3y ﹣1＝0和直线x +y ﹣3＝0的交点为P ．（1）求过点P 且与直线2x ﹣y ﹣1＝0平行的直线l 1的方程；（2）求线段OP （O 为原点）的垂直平分线l 2的方程．解：（1）联立方程组{2x −3y −1=0x +y −3=0，得{x =2y =1，∴P （2，1），设l 1：2x ﹣y +m ＝0，代入P （2，1），得4﹣a +m ＝0，解得m ＝﹣3，∴直线l 1的方程为2x ﹣y ﹣3＝0；（2）∵k OP =1−02−0=12，OP 中点坐标为（1，12），∴OP 的垂直平分线方程为y −12=−2（x ﹣1），整理得4x +2y ﹣5＝0，∴线段OP（O为原点）的垂直平分线l2的方程为4x+2y﹣5＝0．18．（12分）已知圆C的圆心C在直线y＝2x上，且经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求圆C的方程；（2）直线l：mx+y﹣3m﹣1＝0与圆C交于E，F两点，且|EF|=2√3，求实数m的值．解：（1）由题意设圆心C（a，2a），半径r＝|AC|＝|BC|，即√(a+1)2+(2a)2=√(a−3)2+(2a)2，解得a＝1，即圆心C（1，2），半径r＝|AC|=√(1+1)2+(2×1)2=2√2，所以圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝8；（2）由（1）可得圆心C到直线l的距离d=|m+2−3m−1|√1+m2=|1−2m|√1+m2，由题意可得|EF|＝2√r2−d2=2√3，可得d2＝r2﹣3＝8﹣3＝5，所以√1+m2=√5，整理可得：m2+4m+4＝0，解得m＝﹣2．即实数m的值为﹣2．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝AB＝AD＝2BC ＝2，E为PD中点．（1）求证：CE∥平面P AB；（2）求直线CE与平面P AC所成角的正弦值．解：（1）证明：取P A的中点M，连接BM，ME，∵E为PD的中点，∴ME∥AD且ME=12 AD，∵BC∥AD且BC=12 AD，∴ME∥BC且ME＝BC，∴四边形MEBC为平行四边形，∴BM∥CE，又∵CE⊄面P AB，BM⊂面P AB，∴CE∥平面P AB．（2）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥DC ，过C 作CC ′⊥AD ，交AD 于C ′，则CC ′＝1，C ′D ＝1， ∴CD =√2，又AC =√2，∴AC 2+CD 2＝2+2＝AD 2，∴DC ⊥AC ，又AC ∩P A ＝A ， ∴DC ⊥平面P AC ，又DC ⊂平面PDC ， ∴平面P AC ⊥平面PDC ．取PC 中点F ，连接EF ，则EF ∥DC ， ∴DC ⊥平面P AC ，则EF ⊥平面P AC ， ∴∠ECF 为直线EC 与平面P AC 所成的角， CF =12PC =√32，EF =12CD =√22，∴EC =√34+24=√52， ∴sin ∠ECF =EF CF =√22√52=√105，即直线EC 与平面P AC 所成角的正弦值为√105．20．（12分）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的正东方向设立了观测站A ，在平台O 的正北方向设立了观测站B ，它们到平台O 的距离分别为6海里和m （m ＞0）海里，记海平面上到观测站A 和平台O 的距离之比为2的点P 的轨迹为曲线C ，规定曲线C 及其内部区域为安全预警区（如图）．（1）以O 为坐标原点，1海里为单位长度，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（2）海平面上有渔船从A 出发，沿AB 方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求m 的取值范围．解：（1）不妨设P （x ，y ），O （0，0），A （6，0），因为海平面上到观测站A 和平台O 的距离之比为2，所以|PA||PO|=2，即√(x −6)2+y 2=2√x 2+y 2，整理得（x +2）2+y 2＝16，所以曲线C 是以（﹣2，0）为圆心，4为半径的圆，则曲线C 的方程为（x +2）2+y 2＝16；（2）易知A （6，0），B （0，m ），若过AB 的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，此时直线AB 的方程为x6+y m=1(m ＞0)，即mx +6y ﹣6m ＝0（m ＞0），若渔船从A 出发，沿AB 方向直线行驶且不进入预警区，此时直线AB 与圆C 切，而圆心C 到直线AB 的距离为4，即d =|−2m−6m|√m 2+36=4，①又m ＞0，②联立①②，解得m =2√3，综上，满足条件的m 的取值范围为（2√3，+∞）．21．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是边长为2的等边三角形，CC 1＝2，∠ACC 1＝60°，点D ，E 分别是线段AC ，CC 1的中点，二面角C 1﹣AC ﹣B 为直二面角．（1）求证：A 1C ⊥平面BDE ；（2）若点P 为线段B 1C 1上的动点（不包括端点），求锐二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值的取值范围．（1）证明：连接AC 1，如图所示：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1，∵D，E分别为AC，CC1中点，∴DE∥AC1，∴A1C⊥DE，又D为线段AC中点，△ABC是等边三角形，∴BD⊥AC，又二面角C1﹣AC﹣B为直二面角，即平面AA1C1C⊥平面ABC，且平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，又BD∩DE＝D，BD⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，∴A1C⊥平面BDE；（2）解：∵CA＝CC1＝2，∠ACC1＝60°，∴△ACC1为等边三角形，∴C1D⊥AC，∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，C1D⊂平面ACC1A1，∴C1D⊥平面ABC，则建立以D为坐标原点，以DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：则D （0，0，0），B （√3，0，0），E （0，−12，√32），C 1（0，0，√3）， B 1（√3，1，√3），C （0，﹣1，0），A 1（0，2，√3）， ∴DB →=（√3，0，0），DE →=（0，−12，√32）， C 1B 1→=（√3，1，0），CA 1→=（0，3，√3），设P （x ，y ，z ），C 1P →=λC 1B 1→（0＜λ＜1），则有(x ，y ，z −√3)=(√3λ，λ，0)，∴x =√3λ，y =λ，z =√3，即P(√3λ，λ，√3)， ∴DP →=(√3λ，λ，√3)，由（1）得A 1C ⊥平面BDE ，∴平面BDE 的一个法向量CA 1→=（0，3，√3），设平面PDE 的法向量n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅DE →=−12b +√32c =0n →⋅DP →=√3λa +λb +√3c =0，取c ＝1，则b =√3，a ＝﹣1−1λ，∴平面PDE 的法向量为n →=(−1−1λ，√3，1)， ∴|cos ＜CA 1→，n →＞|=|CA 1→⋅n →||CA 1→|⋅|n →|=4√32√3×√4+(−1−1λ)2=2√2(1λ+12)2+92，∵λ∈（0，1），∴1λ∈(1，+∞)，∴|cos ＜CA 1→，n →＞|=2√2(1λ+12)2+9223，∴|cos ＜CA 1→，n →＞|∈（0，23），故锐二面角P ﹣BD ﹣E 的余弦值的取值范围为（0，23）．22．（12分）如图，已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），离心率为√22，椭圆C 的上、下顶点分别为A ，B ，右顶点为D ，直线l 过点D 且垂直于x 轴，点Q 在椭圆C 上（且在第一象限），直线AQ 与l 交于点N ，直线BQ 与x 轴交于点M ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）判定△AOM （O 为坐标原点）与△ADN 的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）因为椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），所以椭圆C 的半焦距c ＝1，又椭圆C 的离心率e =c a =√22，所以椭圆C 的长半轴a =ce =√2，可得b =√a 2−c 2=1，则椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）由（1）知A （0，1），B （0，﹣1），D(√2，0)，不妨设Q （x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，因为点Q 在椭圆C 上，所以x 022+y 02=1，此时直线AQ 的方程为y =y 0−1x 0x +1，当x =√2时，解得y =√2(y0−1)x 0+1，即N （√2，√2(y 0−1)x 0+1），直线BQ 的方程为y =y 0+1x 0x −1，当y ＝0时，解得x =x0y 0+1，即M(x 0y 0+1，0)，易知点N 在x 轴上方，所以|DN|=√2(y0−1)x 0+1，|OM|=xy 0+1，则S △AOM +S △ADN =12|OM|⋅|OA|+12|DN|⋅|OD|=12|OM|+√22|DN| =12⋅x 0y 0+1+√22(√2(y 0−1)x 0+1)=√22+x 02(y 0+1)+y 0−1x 0 =√22+x 02+2y 02−22x 0(y 0+1)=√22．故△AOM （O 为坐标原点）与△ADN 的面积之和是定值，定值为√22．。

浙江省温州中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题含答案

（1）求证： BF / / 面 PDE ；（2）是否在棱 PB 上存在一点 G，使得 EG ⊥ DE ？并证明你的结论． 20．（15 分）如图，已知抛物线 y2 = 2 px( p 0) 上一点 M (4,a)(a 0) 到抛物线焦点 F 的距离为 5．
（1）求抛物线的方程及实数 a 的值；
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．两圆 x2 + y2 + 4x − 4 y = 0 与 x2 + y2 + 2x − 1 = 0 的位置关系为（）
A．相离
B．相交
C．相切
D．内含
4．若动点 P 到点 M (1,1) 和直线 3x + y − 4 = 0 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为（）
3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（14 分）已知圆 C： x2 + y2 = 4 ．（1）过点 P(2,3) 向圆 C 引切线，求切线 l 的方程；（2）若 M (x, y) 为圆 C 上任意一点，求 x2 + y2 + 2x − 4 y 的取值范围． 19．（15 分）四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， APD 是以 AP 为底的等腰直角三角形，AP = AB ， E、F 分别棱 AB 、 PC 的中点，面 PAD ⊥ 面 ABCD ．
___________，P，Q 两点之间距离的最小值为___________．
14．圆锥的母线 PA = 6 ，高为 PO = 4 2 ，点 M 是 PA的中点，则圆锥的体积为___________，一质点自 A

浙江省温州市2020年(春秋版)高二上学期期中数学试卷C卷

浙江省温州市2020年（春秋版）高二上学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·市北期中) 设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，M∩N=（）A . {0}B . {0，1}C . {﹣1，1}D . {﹣1，0}2. （2分） (2016高一下·深圳期中) 设函数f（x）= ，g（x）=x2f（x﹣1），则函数g（x）的递减区间是（）A . （﹣∞，0]B . [0，1）C . [1，+∞）D . [﹣1，0]3. （2分）已知等差数列的公差为2，若成等比数列, 则（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·宜昌期末) 在中，若，则是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 直角三角形或钝角三角形5. （2分）①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题，②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是真命题”；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；则其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分） (2016高三上·沈阳期中) 已知，若，则 =（）A . 3B . 4C . 5D . 97. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是（）A .B .C .D .9. （2分）从随机编号为0001，0002，…5000的5000名参加这次鹰潭市模拟考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（）A . 4966B . 4967C . 4968D . 496910. （2分）若点P(x, y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷文) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A . 90πB . 63πC . 42πD . 36π12. （2分） (2017高二下·南昌期末) 已知函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A . （0，2）B . （0，8）C . （2，8）D . （﹣∞，0）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是________14. （1分）△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的________ 条件．15. （1分） (2016高三上·湖北期中) 已知x＞1，y＞1，且 lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值为________．16. （1分） (2017高一上·南山期末) 设函数f（x）= ，则方程f（x）=2的所有实数根之和为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）高校相关人数抽取人数A18xB362C54y（1）求x，y；（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．18. （15分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜．（1）若sin sinφ﹣cos cosφ=0，求φ的值；（2）在（1）的条件下，函数f（x）图象相邻两对称轴之间的距离为，求f（x）的解析式；（3）在（2）条件下，将函数f（x）左移m个单位后得到偶函数时，求最小正实数m的值．19. （10分）如图所示，正方形ABCD的边长为2，且平面ABCD⊥平面ABE，AE=BE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求点F到平面ABCD的距离．20. （10分）(2017·深圳模拟) 某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y （单位cm）的情况如下表1：M900700300100y0.5 3.5 6.59.5哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：M[0，200]（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]频数361263（1）设x= ，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；（参考公式：；其中，）（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．21. （10分） (2015高二上·昌平期末) 已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（1）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；（2）若直线l：ax﹣y+4=0与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值．22. （5分） (2018高一下·台州期中) 已知数列的前项和为 ,满足 ,且.(I)求数列的通项公式(Ⅱ)设 ,求数列的前项和 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

2019-2020学年浙江省温州新力量联盟高二上学期期中联考数学试题(解析版)

2019-2020学年浙江省温州新力量联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,5,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =U I （） A ．{}2 B ．{}1,2,4C ．{}1,2,4,5D ．{}1,2,3,4,6【答案】B【解析】由集合的运算直接计算即可得出答案. 【详解】由题意可得:{}1,2,4,5,6A B =U ,∴(){}1,2,4A B C =U I . 故选:B. 【点睛】本题考查了集合间的运算,属于基础题.2．函数()21xf x x =-的定义域是（） A ．()1,-+∞ B ．()()1,11,-+∞U C ．[)1,-+∞D ．[)()1,11,-+∞U【答案】D 【解析】由1010x x +≥⎧⎨-≠⎩联立即可解得定义域.【详解】1010x x +≥⎧⎨-≠⎩Q ,11x x ≥-⎧∴⎨≠⎩,可得函数定义域为:[)()1,11,-⋃+∞ 故选D ．【点睛】本题考查了函数定义域的求法,掌握负数没有平方根以及零不能作为分母是解决本题关键,属于基础题.3．已知函数()1f x x x=+，则函数()y f x =的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用奇偶性排除排除,A C ，令1x =-排除D ，从而可得结果. 【详解】11()||||f x x x x x-=-+=--，即函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，排除,A C ；令1x =-，则()0f x =，排除D ，故选B. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（）A ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．【详解】根据函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象，可得2A =，236T πππω==+，解得2w =，再根据五点法作图，可得232ππϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选A ．【点睛】本题主要考查由函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象求解析式，其中解答中函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．若x ，y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为（）A ．2-B ．1C ．1-D ．0【答案】C【解析】由不等式组作出可行域,根据目标函数的几何意义求解最值. 【详解】由题意画出可行域,如图所示,由3z x y =-得3y x z =-,要使z 取最小值,只需截距最大即可,故直线过()0,1A 时,z 最小.min 3011Z ∴=⨯-=-.故选:C. 【点睛】本题考查了线性规划的基本应用,利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决此类问题的方法,属于基础题.6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝，则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 【答案】B【解析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==，而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键. 7．设0a >，0b >，若直线2ax by +=平分圆C ：()()22111x y -+-=，则11a b+的最小值为（） A ．1 B ．2C ．4D ．14【答案】B【解析】由直线平分圆,可得圆心在直线上即得2a b +=,然后利用基本不等式即可求得11a b+的最小值. 【详解】直线2ax by +=过圆心()1,1,2a b ∴+=,()1111112222b a a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+⋅+=++≥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦（当且仅当a b =取等号）. 故选:B. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了基本不等式的应用,属于基础题. 8．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A 、32π B 、3π+ C 、332π+ D 、532π+ 【答案】C【解析】试题分析：由三视图，可知该几何体是一个圆锥的一半（沿轴截面截得），其中底面圆的半径为1，高为3，母线长为2，其表面积是半圆面、轴截面和曲面的一半的面积之和，则该几何体的表面积323122132211212+=⨯⨯+⨯⨯+⨯=πππS ；故选C ．【考点】1．三视图；2．几何体的表面积． 9．设函数()212019f x x x=-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】A【解析】由函数解析式可得函数为偶函数且在()0,∞+上为增函数,则可得21x x >-,然后解绝对值不等式即可得出答案. 【详解】函数是偶函数且在()0,∞+递增，()()21fx f x ∴>-，21x x ∴>-，解得1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．故选:A. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的综合应用,属于中档题.10．已知AB AC u u u v u u u v ⊥，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（）.A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．二、填空题11．设两直线1L ：10mx y ++=；2L ：20x my ++=．若12L L P ，则m =________；【答案】1m =或1m =-.【解析】由直线平行,可得两条直线的斜率相等,排除重合情况,即可得出参数的值. 【详解】12L L Q P ,21m ∴=,1m ∴=或1m =-,经检验符合题意.故答案为:1m =或1m =-. 【点睛】本题考查了根据直线平行求参数的问题,忽略直线重合的情况是解决此类问题容易犯的错误,属于基础题.12．已知函数()sin cos 2f x x x x =，则函数()y f x =的周期为________．函数()y f x =在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的最小值是________．【答案】π. . 【解析】由二倍角公式结合两角和差公式可将原函数化简为()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用周期公式2T πω=即可求出函数周期;由题意求出23x π-的范围,然后利用函数图像求解最小值. 【详解】()1sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,T π∴=.[0,)2π∈Q x ，22[,)333πππ∴-∈-x ．∴当233x ππ-=-即0x =时，()f x 取得最小值．故答案为:π;【点睛】本题考查了三角函数的化简,求周期以及三角函数求最值,二倍角公式以及三角和差公式的准确掌握是解决本题的关键,属于一般难度的题.13．已知数列{}n a 满足2518a a +=，3432a a =，若{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，则6S =________，若{}n a 为单调递减的等比数列，其前n 项和为63n T =，则n =________．【答案】54. 6.【解析】当数列是等差数列时,则利用等差数列的性质162518a a a a +=+=,可直接求6S ;当数列是等比数列时,则利用等比数列的性质253432a a a a ==,结合2518a a +=可以将25,a a 转化为一元二次方程的根,求出2a 和5a ,且利用递减等比数列即25a a >,求得首项和公比,利用等比数列前n 和公式即可求得结果. 【详解】若{}n a 为等差数列,则162518a a a a +=+=, ()1666542a a S +∴==; 若{}n a 为等比数列,253432a a a a ∴==,2a ∴,5a 是方程218320x x -+=两根．n a 为单调递减等比数列，216a ∴=，52a =,12q ∴=,132,a =1321263112nn T ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-Q ，6n ∴=.故答案为:54;6. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质,熟练掌握数列的相关计算公式是解题的关键,考查了学生的转化及计算能力,属于一般难度的题.14．已知向量a r ,b r ,c r是同一平面内的三个向量,其中(a =r ．若2b =r ,且b a r r P ,则向量b r的坐标________.若c =r ,且()()23a c a c +⊥-r r r r ,则a c ⋅r r ________．【答案】(b =r，或(1,b =-r. 2.【解析】利用平行向量的概念设λb a =r r,再利用向量b r的模即可求出λ的值,进而求出向量b r 的坐标;利用垂直的两个向量的数量积为零即()()203=+⋅-r r r r a c a c ,化简结合a r和c r的模即可求出答案.【详解】由b a r P r,令()b a λλ==r r ,,得2=1λ,=1λ∴±．(b ∴=r或(1,b =-r;()()23a c a c +⊥-r r r r Q ,()()230a c a c ∴+=⋅-r r r r．化简得222324322⋅=-=⨯-⨯=r r r r a c a c ．故答案为: (b =r或(1,b =-r;2.【点睛】本题考查了向量的平行关系和垂直关系,属于基础题.15．已知定点()0,0O ，()3,0A 且2MO MA =，则动点M 的轨迹方程________．【答案】()2244x y -+=.【解析】设点(),M x y ,由题中等量关系2MO MA =利用两点之间距离公式可得()222243x y x y ⎡⎤+=-+⎣⎦,化简即得答案.【详解】设(),M x y ,根据题意得到方程()222243x y x y ⎡⎤+=-+⎣⎦,解得()2244x y -+=.故答案为:()2244x y -+=. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解问题,熟练掌握两点之间距离公式是解题的关键,属于基础题.16．已知矩形ABCD ，22AB AD ==，沿AC 翻折，使面ADB ⊥面ABC ，则二面角B AD C --的余弦值为________．3【解析】分析翻折前后的变量与不变量,利用面面垂直的性质定理可得BC BD ⊥,求得3BD =再利用二面角平面角的定义结合题中已知条件判断BDC ∠为B AD C--的二面角平面角,最后在直角三角形BCD 中由cos ∠=BDBDC CD即可求出答案. 【详解】因为ADB ⊥面ABC ，BC AB ⊥，所以BC ⊥面ADB ，BC BD ⊥，3BD =，所以AD DB ⊥，又AD DC ⊥，所以BDC ∠为B AD C --的二面角平面角，所以3cos 2BDC ∠=．故答案为3【点睛】本题重点考查了二面角的平面角的证明与求解计算,考查了学生对平面图形翻折前后的变量与不变量的分析,属于一般难度的题. 17．已知t R ∈，记函数()42f x x t t x =+-++在[]1,2-的最大值为3，则实数t 的取值范围是________．【答案】52t ≤. 【解析】令42x a x +=+由[]1,2x ∈-,利用基本不等式可求得[]2,3a ∈, 分别讨论2t ≤, 23t <<, 3t ≥对应的解析式,结合最值求参数t 的取值范围.【详解】令42x a x +=+,由[]1,2x ∈-,利用基本不等式4422222x x x x +=++-≥++, 当且仅当422x x +=+,即0x =时取等号,当1x =-时3a =,当2x =时3a =,所以[]2,3a ∈,问题转化为求函数y a t t =-+,在[]2,3a ∈上的最大值为3,当2t ≤时,函数3y a t t a =-+=≤,所以3max y =恒成立;当23t <<时,由函数的最大值在端点处取得则22233max t t t y t t ⎧-+=-⎪=⎨-+=⎪⎩,令223t -=得52t =,所以t 得取值范围为:52?2t <<; 当3t ≥时,函数2y a t t t a =-+=-,此时2a =时223max y t =-=得52t =不成立; 综上所述,满足要求的t 得取值范围为52t ≤. 故答案为:52t ≤. 【点睛】本题考查了函数最值问题,通过换元将函数转化为绝对值函数在闭区间上最大值的问题,对参数取值范围的讨论是解题的关键,属于难题.三、解答题18．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）若60B =︒，ABC ∆b ．【答案】（1）14；（2）2b =. 【解析】(1)由正弦定理将题中关系式2sin 2sin sin B A C =角化边即22b ac =,然后利用余弦定理即可求得结果;(2)利用(1)得22b ac =结合正弦定理三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1）由题设及正弦定理可得22b ac =.又a b =，可得2b c =,2a c =, 由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （2）由（1）知22b ac =.因为60B =︒,1sin 22S ac B ∆==,2ac ∴=,2b =. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中应用,属于基础题.19．已知圆C 经过两点()1,3P --，()2,6Q ，且圆心在直线240x y +-=上，直线l 的方程()()110x m y m R +-+=∈．（1）求圆C 的方程；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时的方程．【答案】（1）2242200x y x y +---=；（2）1x =-.【解析】(1)用待定系数法求解,设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=,根据题意列出关于D,E,F 的三元一次方程组,求解即可;(2)由(1)求得圆的圆心()C ,a b 和半径r ,求出圆心到直线l 的距离d ,利用直线与圆相交所得弦的弦长公式写出表达式求出参数的值.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,由条件,得193043626024022D E F D E F D E ⎧⎪+--+=⎪⎪++++=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-+⨯--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．∴圆的方程为2242200x y x y +---=．（2）由(1)得圆心()C 2,1,半径5r =,由点到直线的距离公式可得圆心到直线l : ()()110x m y m R +-+=∈的距离231d m =+,所以由直线与圆相交所得弦的弦长公式222r d -可得弦长为:292251m -+,当0m =时弦长最短，此时直线方程为1x =-．【点睛】本题考查了圆的方程的求法,考查了直线和圆交点弦弦长公式的应用,求圆的方程一般有如下两种方法,(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而求出圆的方程;(2)待定系数法:首先根据题意,设出标准方程或一般方程;然后根据题意列出有关,,a b r 或D,E,F 的方程;最后解方程组求出,,a b r 或D,E,F,代入标准方程或一般方程即可.属于中档题.20．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】（1）112n a n =+;（2）1422n n n S ++=-. 【解析】（1）方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可求出．【详解】方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3.由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. （2）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ，由（1）知n na 2＝122n n ++，则S n ＝232＋342＋…＋12n n +＋122n n ++， 12S n ＝332＋442＋…＋112n n ++＋222n n ++，两式相减得12S n ＝34＋311122n +⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭－222n n ++ ＝34＋111142n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－222n n ++，所以S n ＝2－142n n ++. 【考点】等差数列的性质；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．21．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB ⊥DM ；（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．【答案】（1）证明：设BC=1P （0，0，2） B （2，0，0） D （0，2，0） C （2，1，0） M （1，12，1） (2,0,2)PB =-u u u v 3(1,,1)2DM =-u u u u v 0PB DM ∴⋅=u u u v u u u u v ∴PB ⊥DM（2）(2,1,0)CD =-u u u v (0,2,0)AD =u u u v 1(1,,1)2AM =u u u u v 设平面ADMN 的法向量(,,)n x y z =v 0002002y n AD y y x x z n AM =⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩v u u u v v u u u u v 取z=-1 (1,0,1)n ∴=-v设直线CD 与平面ADMN 成角为θsin |cos ,|52105n CD θ=<>=⋅=v u u u v 【解析】略22．设函数()()()22213f x x a x a a a R =++++∈．（1）若()231f x a a ≥++对任意的[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[],m n 上单调递增，且函数()f x 在区间[],m n 上的值域为[],m n ，求a 的取值范围．【答案】（1）12a ≥-；（2）1012a -≤<. 【解析】(1)由题意分离参数得121a x x +≥-在[]1,2x ∈上恒成立,令()1g x x x =-判断其在[]1,2x ∈上的单调性,由()21max a g x +≥即可求出参数范围;(2)由题意判断,m n 是方程()f x x =在)21,2a x +⎡∈-+∞⎢⎣上的两个不相等的实数根,然后再根据根的判别式,对称轴的位置和端点值的范围联立即可求出参数范围.【详解】（1）由题意()231f x a a ≥++在[]1,2x ∈上恒成立,可得21121-+≥=-x a x x x 在[]1,2x ∈上恒成立, 令()1g x x x =-,易得函数()1g x x x =-在[]1,2递减, 可得()()2110maxa g x g +≥==,即210a +≥即得12a ≥-. （2）因为()()()22213f x x a x a a a R =++++∈在[],m n 上递增且值域为[],m n , 则满足：()()212a mf m m f n n +⎧-≤⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩,则可得方程()f x x =在21,2a +⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根,m n ,设()()2223F x f x x x ax a a =-=+++, 则22441202122102a a a a a a f ⎧⎪∆=-->⎪+⎪->-⎨⎪⎪+⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩联立解得:1012a -≤<．【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用,考查了由值域求参数的问题,准确的将函数问题借助二次函数图像转化为方程根的问题是解题的关键,考查了学生的转化和综合运算能力.。

2020年浙江省温州高二(上)期中数学试卷解析版

8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（）
A. + B. C. + D.
9. 设函数 f（x）=|x|-
A. （，1）
，则使得 f（x）＞f（2x-1）成立的 x 的取值范围是（）
B. （-∞，）∪（1，+∞）
C. （- ，）
D. （-∞，- ）∪（，+∞）
14. 已知向量
是同一平面内的三个向量，其中 =（1，）．若| |=2，且 ∥ ，则
向量 b 的坐标______；若| |= ，且（ + ）⊥（2 -3 ），则 • ═______．
15. 已知定点 O（0，0），A（3，0）且|MO|=2|MA|，则动点 M 的轨迹方程______． 16. 已知矩形 ABCD，AB=2AD=2，沿 AC 翻折，使面 ADB⊥面 ABC，则二面角 B-AD-C
的余弦值为______．
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17. 已知 t∈R，记函数 f（x）=
+t 在[-1，2]的最大值为 3，则实数 t 的取值范
围是______．三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分） 18. 已知 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC．
+ 的定义域是（）
B. （-1，1）∪（1，+∞） D. [-1，1）∪（1，+∞）
3. 已知函数
，则函数 y=f（x）的大致图象为（）
A.
B.
C.
D.
4. 函数 y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）
A. B. C. D.

2020年浙江省温州新力量联盟高二(上)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={1，2，5，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A. {2}B. {1，2，4}C. {1，2，4，5}D. {1，2，3，4，6}2.函数f（x）=+的定义域是（）A. （-1，+∞）B. （-1，1）∪（1，+∞）C. [-1，+∞）D. [-1，1）∪（1，+∞）3.已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）A. B. C. D.4.函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A.B.C.D.5.若x，y满足约束条件，则z=3x-y的最小值为（）A. -2B. 1C. -1D. 06.数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则S n=（）A. 2n-1B.C.D.7.设a＞0，b＞0，若直线ax+by=2平分圆C：（x-1）2+（y-1）2=1，则的最小值为（）A. 1B. 2C. 4D.8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（）A. +B.C. +D.9.设函数f（x）=|x|-，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（）A. （，1）B. （-∞，）∪（1，+∞）C. （-，）D. （-∞，-）∪（，+∞）10.已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A. 13B. 15C. 19D. 21二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.设两直线L1：mx+y+1=0；L2：x+my+2=0，若L1∥L2，则m=______；若L1⊥L2，则m═______．12.已知函数f（x）=sin x cosx-cos2x，则函数y=f（x）的周期为______，函数y=f（x）在区间[0，]上的最小值是______13.已知数列{a n}满足a2+a5=18，a3a4=32，若{a n}为等差数列，其前n项和为S n，则S6=______；若{a n}为单调递减的等比数列，其前n项和为T n=63，则n═______．14.已知向量是同一平面内的三个向量，其中=（1，）．若||=2，且∥，则向量b的坐标______；若||=，且（+）⊥（2-3），则•═______．15.已知定点O（0，0），A（3，0）且|MO|=2|MA|，则动点M的轨迹方程______．16.已知矩形ABCD，AB=2AD=2，沿AC翻折，使面ADB⊥面ABC，则二面角B-AD-C的余弦值为______．17.已知t∈R，记函数f（x）=+t在[-1，2]的最大值为3，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sin A sin C．（Ⅰ）若a=b，求cos B；（Ⅱ）若B=60°，△ABC的面积为，求b．19.已知圆C经过两点P（-1，-3），Q（2，6），且圆心在直线x+2y-4=0上，直线l的方程x+m（y-1）+1=0（m∈R）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程．20.已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的余弦值．22.设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）≥a2+3a+1对任意的x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在区间[m，n]上单调递增，且函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={1，2，5，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，∴A∪B={1，2，4，5，6}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．利用并集、交集定义直接求解．本题考查并集、交集求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：函数f（x）=+，令，解得x≥-1且x≠1；所以f（x）的定义域是[-1，1）∪（1，+∞）．故选：D．根据函数f（x）的解析式，列出不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A、C，又当x=-1时，函数值等于0，故排除D，故选：B．由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除A、C，由x＞0时，函数值恒正，排除D．本题考查函数图象的特征，通过排除错误的选项，从而得到正确的选项．排除法是解选择题常用的一种方法．4.【答案】A【解析】解：根据函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象，可得A=2，==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=-，故f（x）=2sin（2x-），故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：作出约束条件，表示的平面区域，如图所示由z=3x-y可得y=3x-z，则-z表示直线3x-y-z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x-y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=-1故选：C．作出不等式组表示的平面区域，由z=3x-y可得y=3x-z，则-z表示直线3x-y-z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求．本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵a1=1，S n=2a n+1，∴S n=2（S n+1-S n），化为：S n+1=S n．∴数列{S n}是等比数列，公比为，首项为1．则S n=．故选：D．由a1=1，S n=2a n+1，可得S n=2（S n+1-S n），化为：S n+1=S n，再利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，圆C：（x-1）2+（y-1）2=1的圆心为（1，1），若直线ax+by=2平分圆C，则直线经过圆C的圆心，则有a+b=2，则有=（a+b）（）=×（2++），又由a＞0，b＞0，则+≥2=2，则=×（2++）≥2，即的最小值为2；故选：B．根据题意，由直线与圆的位置关系分析可得直线经过圆C的圆心，则有a+b=2，进而可得=（a+b）（）=×（2++），结合基本不等式的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为×π×1×2=π，底面积为π，观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为×2×2×=，则该几何体的表面积为：π+．故选：C．三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9.【答案】A【解析】解：f（x）是R上的偶函数，x≥0时，，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴由f（x）＞f（2x-1）得，f（|x|）＞f（|2x-1|），∴|x|＞|2x-1|，∴x2＞4x2-4x+1，解得，∴x的取值范围是．故选：A．可以判断出f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，从而根据f（x）＞f（2x-1）得出|x|＞|2x-1|，从而得出x2＞（2x-1）2，解出x的范围即可．本题考查了偶函数的定义，二次函数、一次函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（-1，-4），=（-1，t-4），∴=-4（-4）-（t-1）=17-（4t+），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17-（4t+）≤17-4=13，当且仅当4t=即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=-4（-4）-（t-1）=17-（4•+t），由基本不等式可得．本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．11.【答案】±1 0【解析】解：①由m2=1，解得m=±1，经过验证，满足条件L1∥L2，∴m=±1．②由m+m=0，解得m=0，此时L1⊥L2．故答案为：±1；0．①利用直线平行与斜率之间的关系即可得出m．②利用直线垂直与斜率之间的关系即可得出m．本题考查了直线平行垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】π【解析】解：∵f（x）=sin x cosx-cos2x=．∴T=；∵x∈[0，]，∴∈[，]，∴当=，即x=0时，f（x）取得最小值为．故答案为：π；．利用倍角公式及辅助角公式化积，然后利用周期公式求周期，由x的范围求得相位的范围，则函数y=f（x）在区间[0，]上的最小值可求．本题考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．13.【答案】54 6【解析】解：∵{a n}为等差数列，∴a1+a6=a2+a5=18，则；∵{a n}为等比数列，∴a2a5=a3a4=32，则a2，a5是方程x2-18x+32=0的两根．又{a n}单调递减，∴a2=16，a5=2，则q=．∵，∴n=6．故答案为：54；6．由已知结合等差数列的性质及前n项和求得S6；再由等比数列的性质及前n项和列式求得n值．本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的性质，考查等差数列与等比数列的前n项和，是基础的计算题．14.【答案】（1，）或（-1，-） 2【解析】解：令=（λ，λ），因为||=2，所有=2，解得λ=±1，所以或；因为（+）⊥（2-3），所以（+）•（2-3）=0，即=0，所以=2||2-3||2=2×4-3×2=2．故答案为：（1，）或（-1，-）；2．因为，为共线向量，所以设参数λ，令=λ，可求出参数λ，再求的坐标形式，第二个空，需要使用向量垂直性质，得（+）．（2-3）=0，从而求得．本题考查向量的平行和垂直性质：即若∥，则=；若⊥，则.=0，属于中档题．15.【答案】（x-4）2+y2=4【解析】解：设点M（x，y），由于定点O（0，0），A（3，0）且|MO|=2|MA|，所以，整理得（x-4）2+y2=4，所以动点M的轨迹方程为（x-4）2+y2=4．故答案为：（x-4）2+y2=4直接利用两点间的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：轨迹方程的求法和应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.【答案】【解析】解：∵平面ADB⊥平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面ADB，∴BC⊥BD，∵AB=2AD=2，∴CD=2，BC=1，∴BD==，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵AD⊥DC，BD∩DC=D，∴∠BDC是B-AD-C的二面角的平面角，∵cos∠BDC===，∴二面角B-AD-C的余弦值为．故答案为：．推导出BC⊥平面ADB，BC⊥BD，AD⊥BD，AD⊥DC，从而∠BDC是B-AD-C的二面角的平面角，由此能求出二面角B-AD-C的余弦值．本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】t【解析】解：令a=，求导得，由已知，x∈[-1，2]，令a′＞0，解得x∈（-1，0），令a′＜0，解得x∈（0，2），∴函数a=在（-1，0）减，（0，2）增，又当x=0时，a=2，当x=-1时，a=3，当x=2时，a=3，∴a∈[2，3]，则问题转化为y=|a-t|+t在a∈[2，3]上的最大值为3，当a≥t在a∈[2，3]恒成立时，函数变为y=a，此时a=3时，满足最大值为3，则t≤2；当a＜t时，此时函数变为y=2t-a，则2t-a≤3在在a∈[2，3]恒成立，故2t≤3+a恒成立，此时解得t≤，综上得，t≤，故答案为：t≤．由题意，可先令a=，求出a的取值范围，将问题转化为y=|a-t|+t在a∈[2，3]上的最大值为3，再分类去绝对值转化为函数最值问题，即可求出参数的取值范围．本题考查函数的最值，属于已知函数最值求参数取值范围类的题，本题难度较大，比较抽象，解答的关键是将函数转化为y=|a-t|+t在a∈[2，3]上的最大值为3，再分类讨论去绝对值号将问题转化为不含有绝对值的函数最值问题，本题考查了分类讨论转化化归的思想．18.【答案】解：（Ⅰ）sin2B=2sin A sin C．由正弦定理可得b2=2ac，因为a=b，可得b=2c，a=2c，所以cos B==；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b2=2ac，因为B=60°，△ABC的面积为，可得=，所以ac=2，可得b=2．【解析】（Ⅰ）利用正弦定理结合a=b，然后通过余弦定理求cos B；（Ⅱ）若B=60°，△ABC的面积为，求出ac，然后求解b．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0由条件得，解得：故圆的方程为：x2+y2-4x-2y-20=0；（Ⅱ）直线l的方程x+m（y-1）+1=0（m∈R）过定点M（-1，1），且点（-1，1）在圆C内；又圆心为C（2，1），半径为5；由半弦长，半径，弦心距构成一个直角三角形；则要使得弦长最短，只需要弦心距最大即可；过圆心C作弦的垂线，则垂足在以CM为直径的圆周上，所以当垂足为M时，垂线段最长；所以当CM⊥l时，弦长最短，此时l的方程为：x=-1；【解析】（Ⅰ）已知圆C经过两点P（-1，-3），Q（2，6），代入圆的方程，又圆心在直线x+2y-4=0上，列出方程；再求解；（Ⅱ）直线l的方程x+m（y-1）+1=0（m∈R）过定点M（-1，1）且该点在圆内，当CM⊥l 时，弦长最短；圆内弦长的最短最长问题，要充分考虑垂径定理的应用，属于基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）设公差为d的等差数列，由于a2，a4是方程x2-5x+6=0的根．由于数列{a n}是递增的等差数列，解得a2=2，a4=3，所以=，所以．（Ⅱ）由于所以，所以，所以S n=b1+b2+…+b n=①，②，①-②得：，解得．【解析】（Ⅰ）首先利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.【答案】（Ⅰ）证明：因为N是PB的中点，NM∥AD，所以N、M、D、A四点共面；又PA=AB，所以AN⊥PB；因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB；且AN∩AD=A，所以PB⊥平面ADMN；所以PB⊥DM．（Ⅱ）解：取AD的中点G，连接BG、NG，如图所示；则BG∥CD，所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等，因为PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角，在Rt△BNG中，BG=，BN=，所以NG==，所以cos∠BNG===，即CD与平面ADMN所成角的余弦值为．【解析】（Ⅰ）由N是PB的中点得出NM∥AD，N、M、D、A四点共面；再证明AN⊥PB，AD⊥PB，得出PB⊥平面ADMN，即证PB⊥DM．（Ⅱ）取AD的中点G，连接BG、NG，得出BG∥CD，利用BG与平面ADMN所成的角等于CD与平面ADMN所成的角，在Rt△BNG中求得CD与平面ADMN所成角的余弦值．本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了直线与平面所成角的计算问题．22.【答案】解：（I）由题意可得x2+（2a+1）x+a2+3a≥a2+3a+1对任意的x∈[1，2]上恒成立，即x2+（2a+1）x-1≥0对任意的x∈[1，2]上恒成立，分离可得2a+1≥=对任意的x∈[1，2]上恒成立，令g（x）=，x∈[1，2]，则可得g（x）在[1，2]上单调递减，故g（x）max=0，则2a+1≥0，解可得，a．（II）由f（x）在区间[m，n]上单调递增，则由题意可得，≤m且即f（x）=x在[-，+∞）上有两个不等的实数根，所以x2+2ax+a2+3a=0在[-，+∞）上有两个不等的实数根，令h（x）=x2+2ax+a2+3a，则可得，，解可得，-．故a的范围为[-）．【解析】（I）由已知分离参数可得2a+1≥=对任意的x∈[1，2]上恒成立，构造函数g（x）=，x∈[1，2]，则问题转化为2a+1≥g（x）max=0，结合函数的单调性即可求解；（II）结合二次函数的单调性及方程的实根分布可进行求解．本题主要考查了函数的恒成立问题，体现了转化思想的应用，还考查了考生推理的能力．。

浙江省温州市新力量联盟2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题解析版

2020学年第一学期温州新力量联盟期中联考高二数学试题一、选择题1. 直线l+y ﹣3＝0的倾斜角为（） A. 30°B. 60°C. 120°D. 90°2. 若水平放置的四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//AC O B ''''，A C B C ''⊥''，1A C B C ''=''=，2O B ''=，则原四边形AOBC 的面积为（）A.32B. 3C.D. 3. 函数()()lg 4f x x =+-的定义域是（） A.()2,4B. ()3,4C. ()(]2,33,4 D. [)()2,33,44. 关于直线m ，n ，l 及平面α，βλ，，下列命题中正确的是（） A. 若m l ⊥，n l ⊥，则//m n B. 若m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥ C. 若αλ⊥，βλ⊥，则//αβD. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥5. 实数x ，y 满足约束条件22010220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y=-最小值是（）A 5B. 4C. 5-D. 6-6. 函数()(),0,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，则ω的值是（）.A. 4B. 2C.65D.1257. 刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则此阳马的体积为（）A83B.163C. 8D. 168. 若动点()()1122,,,A x y B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( ) A.B.C.D. 9. 在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥A D ，P A =AD ，则异面直线PB 与AC 所成的角为（） A. 30B. 45C. 60D. 9010. 平面向量a 、b 、e 满足1e =，1a e ⋅=，2b e ⋅=，2a b -=，则a b ⋅的最小值为（） A.12B.54C. 1D. 2二、填空题11. 设两直线()1:3453l m x y m ++=-与()2:258l x m y ++=.若12//l l ,则m =_____,若12l l ⊥,则m =_____．.12. 函数()24f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.13. 设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列．若159a a a π++=，则()28cos a a +=_______；若0n b >，且56474b b b b +=，则1210b b b =_______．14. 已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且=2a ，5b =，则b 在a 方向上的投影是________，()a b R λλ-∈的最小值是________．15. 如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是______．16. 已知函数()242f x x a x =-++，[]4,4x ∈-．若()f x 的最大值是0，则实数a 的取值范围是______．17. 已知一个三棱锥P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，则它外接球的表面积为______.三、解析题18. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()22b c b c a +-=．（1）求A 的大小；（2）若ABC 的面积等于5b =，求sin sin B C 的值． 19. 在等差数列{}n a 中，23a =，56a =．（1）求n a ；（2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S 的取值范围．20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．的（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，AB =EF 与平面ABC 所成角．21. 已知直线l ：()120kx y k k R -++=∈．（1）已知点()1,5P ，若点P 到直线l 的距离为d ，求d 的最大值并求此时直线l 的方程；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，求AOB 的面积的最小值并求此时直线l 的方程． 22. 在三棱柱111ABC A B C -中，已知，点1A 在底面ABC 的投影是线段BC的中点O ．（1）证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长；（2）求：平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值．2020学年第一学期温州新力量联盟期中联考高二数学试题一、选择题1. 直线l+y ﹣3＝0的倾斜角为（） A. 30° B. 60°C. 120°D. 90°【答案】C的【解析】【分析】根据直线方程求得斜率，再由 tan k α=求解.【详解】直线l x +y ﹣3＝0的倾斜角为α则tan k α== 因为 [0,180)α∈︒，所以120α=︒ 故选：C【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题.2. 若水平放置的四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//AC O B ''''，A C B C ''⊥''，1A C B C ''=''=，2O B ''=，则原四边形AOBC 的面积为（）A.32B. 3C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可【详解】根据图像可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，且'''4A OB π∠=，B C O'B'⊥''，1A C B C ''=''=，2O B ''=，''A O ∴=2''AO A O ==， ''1AC A C ==，''2OB O B ==，且AO OB ⊥，//AC OB ，所以，原四边形AOBC 的面积为11()(12)22S AC OB AO =+⨯=⨯+⨯=故选：C【点睛】关键点睛：根据题意，得到四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形是解题关键，进而可以得出原四边形AOBC 的面积为1()2S AC OB AO =+⨯，属于基础题 3. 函数()()lg 43f x x x =+--的定义域是（） A.()2,4 B. ()3,4C. ()(]2,33,4 D. [)()2,33,4【答案】D 【解析】【分析】根据函数解析式，利用分式、根式、对数的性质即可求函数定义域.【详解】要使函数有意义，则203040x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，即23x ≤<或34x <<，故函数的定义域为[)()2,33,4．故选：D ．4. 关于直线m ，n ，l 及平面α，βλ，，下列命题中正确的是（） A. 若m l ⊥，n l ⊥，则//m n B. 若m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥ C. 若αλ⊥，βλ⊥，则//αβ D. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面之间的位置关系，逐个选项判断即可【详解】对于A.，由m l ⊥，n l ⊥，在同一个平面可得//m n ，在空间不成立，故A.错误；对于B ，由线面垂直的判定定理知少相交条件，故B 错误；对于C ，当三个平面α，β，λ两两垂直时，显然结论错误，故C 错误；对于D ，若m α⊥，//m β，则αβ⊥，故D 正确．故选：D ．5. 实数x ，y 满足约束条件22010220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最小值是（）A. 5B. 4C. 5-D. 6-【答案】C 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得到答案．【详解】由题意，作出约束条件22010220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，所表示的平面区域，如图所示，由目标函数2z x y =-，可得直线2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，联立10220x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得()4,3A --，所以目标函数的最小值为min 2(4)(3)5z =⨯---=-，故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．6. 函数()(),0,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，则ω的值是（）A. 4B. 2C.65D.125【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，先求出T π=，进而利用公式求出ω即可【详解】由图象可得35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭．故可解得：T π=．故有：222T ππωπ===．故选：B7. 刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则此阳马的体积为（）A.83B.163C. 8D. 16【答案】B 【解析】【分析】由三视图还原原图，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图还原原图如下图所示几何体1A ABCD -，该几何体为四棱锥，体积为()11642233⨯⨯⨯=. 故选：B【点睛】本小题主要考查根据三视图求几何体的体积，属于基础题.8. 若动点()()1122,,,A x y B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】先求AB 中点M 所在的直线方程，再求原点到直线的距离得解. 【详解】点M 一定在直线7502x y ++-=，即60x y +-=，∴M=故选：A【点睛】本题主要考查点的轨迹问题，考查点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.注意夹在两条平行直线120,0ax by c ax by c ++=++=正中间的平行线方程为1202c c ax by +++=. 9. 在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥A D ，P A =AD ，则异面直线PB 与AC 所成的角为（） A. 30 B. 45C. 60D. 90【答案】C 【解析】【分析】由已知可得P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角,再求解.【详解】由题意：底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ， ∵PM ∥AD ，AD ∥BC ，PM ＝AD ，AD ＝BC ． ∴PBCM 是平行四边形， ∴PB ∥CM ，所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．设P A ＝AB ＝a ，在三角形ACM 中，AM =，AC =，CM =，∴三角形ACM 是等边三角形．所以∠ACM 等于60°，即异面直线PB 与AC 所成的角为60°．故答案为：C【点睛】本题考查了两条异面直线所成的角的证明及求法，空间直线与直线的位置关系，难度中档．10. 平面向量a 、b 、e 满足1e =，1a e ⋅=，2b e ⋅=，2a b -=，则a b ⋅的最小值为（） A.12B.54C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】取()1,0e =，设11,ax y 、22,bx y ，根据已知条件计算得出11x =，22x =，根据2a b -=可计算得出()2123y y -=，由a b ⋅取最小值，可得出120y y <，不妨设10y <，可得20y >，进而利用基本不等式可求得a b ⋅的最小值. 【详解】设11,ax y ，22,bx y ，e 满足1e =，不妨取()1,0e =.平面向量a 、b ，满足1a e ⋅=，2b e ⋅=，即11a e x ⋅==，22b e x ⋅==，()11,a y ∴=，()22,b y =，2a b -=2=，化为()2123y y -=．122a b y y ⋅=+取最小值，只考虑120y y <．不妨取20y >，10y <．()2121212522224y y a b y y y y -+⎛⎫∴⋅=+=--≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当122y y -==时取等号．a b ∴⋅的最小值为54．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的最值，在求解时可将向量特殊化、坐标化来处理，在求解最值时，可充分利用基本不等式以及三角函数、函数等相关知识求解.二、填空题11. 设两直线()1:3453l m x y m ++=-与()2:258l x m y ++=.若12//l l ,则m =_____,若12l l ⊥,则m =_____．【答案】 (1). -7 (2). 133- 【解析】【分析】由直线平行,得()()3542m m ++=⨯ 解出方程进行检验可得m 的值;由直线垂直可得,()()23450m m +++=解出方程即可得m 的值.【详解】解:当12//l l 时, ()()3542m m ++=⨯,解得1m =- 或7m =- 当1m =- 时,12,l l 两直线重合,不符合题意.即7m =- 当12l l ⊥时, ()()23450m m +++=,解得133m =- 故答案为:-7; 133-【点睛】本题考查了直线的平行和垂直问题.一般地,对于两条直线,1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=.当12//l l 时,1221A B A B =; 当12l l ⊥时,12120A A B B +=.本题的易错点在于,在平行问题中,求出m 的值后没有代入方程检验两直线是否重合. 12. 函数()24f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.【答案】 (1). π (2). 8π 【解析】【分析】直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13. 设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列．若159a a a π++=，则()28cos a a +=_______；若0n b >，且56474b b b b +=，则1210b b b =_______．【答案】 (1). 12- (2). 32 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可解决p q m n p q m n a a a a +=+⇒+=+即可解决第一空，根据对比数列的性质p q m n p q m n a a a a +=+⇒⋅=⋅即可解决第二空．【详解】因为列{}n a 为等差数列，159a a a π++=，所以5533a a ππ=⇒=，所以()()28521cos cos 2cos32a a a π+===-．又因为数列{}nb 为等比数列0n b >，且56474b b b b +=，所以5656242b b b b =⇒=，所以()55121056232b b b b b ⋯===．【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的性质：在等差数列中有p q m n p q m n a a a a +=+⇒+=+，在等比数列中有p q m n p q m n a a a a +=+⇒⋅=⋅，属于中等题．14. 已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且=2a ，5b =，则b 在a 方向上的投影是________，()a b R λλ-∈的最小值是________．【答案】 (1). 52- (2). 【解析】【分析】向量b 在a 方向上的投影为cos ,b a b <>求出，平方2222()2cos120a b a b a b λλλ-=+-，转化为求函数最值可解. 【详解】因为平面向量a ，b 的夹角为120︒，且=2a ，5b = 向量b 在a 方向上的投影为5cos ,5cos1202b a b <>=⨯=-2222()2cos120a b a b a b λλλ-=+-221425+10=25()35λλλ=+++所以当1=5λ-时，min 3a b λ-=故答案为：52-【点睛】求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ，是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22·a a a a ＝＝或2222||2()a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．15. 如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是______．【解析】【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A 到C 的直线距离，根据已知条件、余弦定理可求出最短距离. 【详解】圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧AB 长为122ππ⨯=，∴3AVB π∠=，则3AVC π∠=，由余弦定理可知22212cos 9123172AC VA VC VA VC AVC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，AC =．．16. 已知函数()242f x x a x =-++，[]4,4x ∈-．若()f x 最大值是0，则实数a 的取值范围是______．【答案】6a ≤- 【解析】【分析】等价于2a x ≤--，再画出函数2y x =--，[]4,4x ∈-的图象求出函数的最小值即得解.【详解】∵()f x 的最大值是0，∴函数()()242220f x x a x x x a =-++=+-+≤，∴当2x =-时，0f x 恒成立，当2x ≠-时，∴20x a -+≤，∴2a x ≤--，设2y x =--，[]4,4x ∈-，其函数图象如图：由图象可知，当4x =-时，min 426y =---=-， ∴实数a 的取值范围为6a ≤-．故答案为：6a ≤-．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到原命题的等价命题，由()()220f x x x a =+-+≤得到2a x ≤--在[]4,4x ∈-上恒成立.再画函数的图象求函数的最小值就自然而然了.17. 已知一个三棱锥P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，则它的外接球的表面积为______. 【答案】412π 【解析】【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,4,3，则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积．【详解】∵三棱锥P ﹣ABC 中，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==， ∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3，则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，则x 2+y 2＝16，y 2+z 2＝16，x 2+z 2＝9， ∴x 2+y 2+z 2＝412∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为2R ==∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为24142R ．故答案为412π．【点睛】本题考查球内接多面体，考查学生的计算能力，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．三、解析题18. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()22b c b c a +-=．（1）求A 的大小；（2）若ABC 的面积等于5b =，求sin sin B C 的值．【答案】（1）3A π=；（2）57．【解析】【分析】（1）根据题意结合余弦定理得1cos 2A =，进而得3A π=；（2）结合（1），由ABC 的面积等于得20bc =，进而得4c =，故由余弦定理得a =正弦定理求解即可.【详解】解：（1）∵222b c bc a +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<<，∴3A π=．（2）因为1sin 2S bc A === 所以20bc =，又5b =，故4c =，于2222cos 21a b c bc A =+-=，∴a =2sin sin 3a R A π===，所以()25sin sin 72bcB C R ==．【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查运算求解能力，是基础题.本题第二问解题的关键在于利用正弦定理()2sin sin 2bcB C R =求解.19. 在等差数列{}n a 中，23a =，56a =．（1）求n a ；（2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S 的取值范围．【答案】（1）1n a n =+；（2）1162n S ≤<．【解析】分析】（1）根据已知项，结合等差数列通项公式求1a ，d ，写出通项公式即可. （2）由题意得()()112n b n n =++，利用裂项求和法求数列{}n b前n 项和n S ，应用极限思想即可求n S 的取值范围．【详解】（1）在等差数列{}n a 中，23a =，56a =，∴依题意可知11346a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，1d =，故()2111n a n n =+-⨯=+．（2）∵11n n n b a a +=⋅，则()()1111212nb n n n n ==-++++．∴1111111123341222n S n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++，显然n 增大，趋向无穷大，12n +变小，并且趋向0，而当1n =时取最小值16，是【的∴1162n S ≤<． 20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，AB =EF 与平面ABC 所成的角．【答案】（1）证明见解析；（2）60°．【解析】【分析】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，推导出四边形1DFEA 是平行四边形，从而1//A D EF ，由此能证明//EF 平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，则EFH ∠为EF 与面ABC 所成角，由此能求出EF 与平面ABC 所成的角．【详解】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，在ABC ∆中，D 、F 为中点，1//2DF AC =∴，又11//A C AC ，且11112A E AC =，1//DF A E =∴， ∴四边形1DFEA 是平行四边形，1//A D EF ∴，1A D ∴⊂平面11AA B B ，EF ⊂/平面11AA B B ，//EF ∴平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ， 1//EH AA ，1AA ⊥面ABC ，EH∴⊥面ABC ，EFH ∴∠为EF 与面ABC 所成角，在Rt EHF ∆中，FH =，13EH AA ==，tan tan 60HFE ∴∠︒，60HFE ∴∠=︒，EF ∴与平面ABC 所成的角为60︒．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题． 21. 已知直线l ：()120kx y k k R -++=∈．（1）已知点()1,5P ，若点P 到直线l 的距离为d ，求d 的最大值并求此时直线l 的方程；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，求AOB 的面积的最小值并求此时直线l 的方程．【答案】（1）d 最大值5，此时l ：3420x y ++=；（2）面积最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=．【解析】【分析】（1）注意到直线l 必过点()2,1M -，故点()1,5P 到直线l 的距离为d 满足5d PM ≤=，当且仅当PM 垂直于直线l ，垂足为M 时，再根据等号成立解得34k =-，进而得此时直线l 方程. （2）根据题意得以12,0k A k +⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,12B k +，且0k >，进而得AOB 的面积11442S k k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式求解即可.【详解】解：（1）因为点()1,5P 到直线l 的距离为d ，于是有d ==，由直线l ：120kx y k -++=的表达式变形得：()12y k x -=+，所以直线l 必过点()2,1M -，根据点与直线间的关系可知5d PM ≤==，于是当且仅当PM 垂直于直线l ，垂足为M 时，点P 到直线l 的距离d 取最大值55=，解得34k =-，代入直线l 方程，得到l ：3420x y ++=．（2）依题意，直线l 在x 轴上的截距为12kk+-，在y 轴上的截距为12k +，且0k >，所以12,0k A k +⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,12B k +，故()1112111244222k S OA OB k k k k +⎛⎫=⋅=⨯⨯+=++ ⎪⎝⎭()14442≥⨯+=，当且仅当14k k=，即12k =时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=．【点睛】本题考查直线的方程的求解，考查回归转化思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于发现直线l 必过点()2,1M -，进而得5d PM ≤=；第二问解题的关键是根据题意得12,0k A k +⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,12B k +，0k >，进而利用基本不等式求解即可.22. 在三棱柱111ABC A B C -中，已知，点1A 在底面ABC 的投影是线段BC的中点O ．（1）证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长；（2）求：平面11A B C与平面11BB C C 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；5AE =．（2）10．【解析】试题分析：（1）证明：作1OE AA ⊥于点E ，由11//AA BB ⇒1OE BB ⊥，又1AO ⊥平面ABC ⇒1A O BC ⊥，易得AO BC ⊥⇒BC ⊥平面1AA O ⇒BC OE ⊥⇒OE ⊥平面11BB C C，由1AO ==，1AA =⇒215AO AE AA ==；（2）建立空间直角坐标系，求得平面11BB C C 的法向量是42,0,55OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，平面11A B C 的法向量()2,1,1n =-⇒cos ,10·OEnOE n OE n 〈〉==. 试题解析：（1）证明：连接AO ，在1AOA ∆中，作1OE AA ⊥于点E ，因为11//AA BB ，得1OE BB ⊥，因为1AO ⊥平面ABC ，所以1A O BC ⊥，因为,AB AC OB OC ==，得AO BC ⊥，所以BC ⊥平面1AA O ，所以BC OE ⊥，所以OE ⊥平面11BB C C ，又11,AO AA ===21AO AE AA ==．．．．．．．．．．．．．．5分（2）如图，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()11,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,2A B C A -．由115AE AA =得点E 的坐标是42055⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，由（1）得平面11BB C C 的法向量是42,0,55OE ⎛⎫=⎪⎝⎭，设平面11A B C 的法向理(),,n x y z =，由1·0{·0n AB n A C ==得20{0x y y z -+=+=，令1y =，得2,1x z ==-，即()2,1,1n =-，所以cos ,·OEnOE n OE n 〈〉== 即平面11BB C C 与平面11A B C 的夹角的余弦值是10．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、线面垂直；2、二面角的平面角.【方法点晴】本题考查线面垂直、二面角的平面角，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题型. 第一小题作1OE AA ⊥于点E ，由11//AA BB ⇒1OE BB ⊥，再证BC ⊥平面1AA O ⇒BC OE⊥⇒OE ⊥平面11BB C C，由1AO =，1AA ⇒215AO AE AA ==．第二小题建立空间直角坐标系，求得平面11BB C C 的法向量是42,0,55OE ⎛⎫=⎪⎝⎭，平面11A B C 的法向量()2,1,1n =-⇒cos ,OE n 〈〉=30.。

浙江省温州市2020年数学高二上学期理数期中考试试卷D卷

浙江省温州市2020年数学高二上学期理数期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）一个工厂生产某种产品27000件，它们来自于甲、乙、丙三条生产线，现采取分层抽样的方法对此批产品进行检测，已知从甲、乙、丙三条生产线依次抽取的个数恰成等差数列，则乙生产线共生产了（）件．A . 300B . 13500C . 600D . 90002. （2分）在输入语句中，若同时输入多个变量，则变量之间的分隔符号是（）A . 逗号B . 空格C . 分号D . 顿号3. （2分） (2016高二上·孝感期中) 已知数据x1 ， x2 ， x3 ，…，x100是杭州市100个普通职工的2016年10月份的收入（均不超过2万元），设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上马云2016年10月份的收入x101（约100亿元），则相对于x、y、z，这101个月收入数据（）A . 平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B . 平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变C . 平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变D . 平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大4. （2分）(2016·新课标Ⅱ卷理) 某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得27个小立方块，从中任取两个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·广州期中) 对两个变量Y与X进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（）A . 模型Ⅰ的相关系数r为0.96B . 模型Ⅱ的相关系数r为0.81C . 模型Ⅲ的相关系数r为0.53D . 模型Ⅳ的相关系数r为0.357. （2分）从一批产品中取出两件，设事件A=“两件产品全不是次品”，事件B=“两件产品全是次品”，事件C=“两件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A . 事件B与事件C互斥B . 事件A与事件C互斥C . 任两个事件均互斥D . 任两个事件均不互斥8. （2分）设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6．现用直径等于2的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）一位母亲纪录了儿子3到9岁的身高数据（略），她根据这些数据建立的身高y（cm）与年龄x的回归模型为=7.19x+73.93，用此模型预测孩子10岁时的身高，则有（）A . 身高一定是145.83cmB . 身高在145.83cm左右C . 身高在145.83cm以上D . 身高在145.83cm以下10. （2分）的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（）A . 0B . 2C . 4D . 611. （2分）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（）A . 10B . 16C . 20D . 2412. （2分）已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（）A . 2B . 1C . 1或2D . 1或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·和平期末) 把118化为六进制数为________．14. （1分） (2016高一下.中山期中) 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，003， (1000)打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法把编号分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0013，那么抽取的第40个号码________．15. （1分）在新华中学进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生、 2 位男生.如果这 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的的排法种数为________.16. （1分）(2018·河南模拟) 已知，，若，则 ________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分）用秦九韶算法计算函数f（x）=2x5+3x4+2x3﹣4x+5当x=2时的函数值．18. （15分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性．禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（1）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（2）从（1）中方式得到的5人中在抽取2人作为本次活动的获奖者，求[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．19. （10分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．20. （15分） (2018高一下·枣庄期末) 在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.（1）若抽奖规则是从一个装有个红球和个白球的袋中一次取出个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在之间赶到，乙计划在之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.21. （15分） (2015高二下·淮安期中) 综合题。

浙江省温州新力量联盟高二(上)期中数学试卷

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观察三视图可知，轴截面为边长为 2
的正三角形，所以轴截面面积为12 × 2 × 2
×
3 2
=
3，
则该几何体的表面积为：32휋 + 3．
故选：C．
三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
A. 푦 = 2푠푖푛(2푥−휋6) B. 푦 = 2푠푖푛(2푥−휋3) C. 푦 = 2푠푖푛(2푥 + 휋6) D. 푦 = 2푠푖푛(2푥 + 휋3)
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{푥−푦 + 1 ≥ 0
5. 若 x，y 满足约束条件 푥 + 푦−3 ≤ 0 ，则푧 = 3푥−푦的最小值为( ) 푥 + 3푦−3 ≥ 0
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1.【答案】B
答案和解析
【解析】解： ∵ 集合퐴 = {1,2，5，6}，퐵 = {2,4}，퐶 = {1,2，3，4}， ∴ 퐴 ∪ 퐵 = {1,2，4，5，6}， ∴ (퐴 ∪ 퐵) ∩ 퐶 = {1,2，4}．故选：B．利用并集、交集定义直接求解．本题考查并集、交集求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
的解析式．本题主要考查由函数푦 = 퐴푠푖푛(휔푥 + 휑)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出휔，由五点法作图求出휑的值，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：作出约束条件
{푥−푦 + 1 ≥ 0
푥 푥
+ +
푦3−푦−33≤≥00，表示的平面

2022~2023学年上学期温州新力量高二期中考试数学试题答案

2022学年第一学期温州新力量联盟期中联考高二年级数学试题参考答案的得2分)三、填空题. 13.；—814．523；15．； 16．3四、解答题：本大题共5小题，每小题14分，满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为(6,6)A −，(2,2)B ，所以线段AB 中点(4,2)−，……………………………… 2分因为2(6)226AB k −−==−−，所以线段AB 的中垂线的斜率为12，…………4分所以线段AB 的中垂线方程为：12(4)2y x +=−，即280x y −−=；…5分（2）因为直线l 与直线AB 平行，所以2l AB k k ==−，……………8分又因为过(2,3)P −，所以直线l 的方程为：32(2)y x +=−−，即210x y +−=．..…10分18. 解：（1）由2268240x y x y +−−+=，可得22(3)(4)1x y −+−=……………………………… 2分故圆心坐标为(34)，，半径为1；……………………………… 4分 (2)当直线斜率不存在时，方程为2x =，显然与圆相切；……… 7分当直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为20kx y k −−=，…8分1=，…10分解得158k=，则切线方程为158300x y−−=，…………………11分综上，切线方程为2x=或158300x y−−=。

…………………12分19.解：（I）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（0，0，2），E（1，1，0），C1（0，2，2），＝（0，0，2），＝（1，1，0），＝（0，2，2），……2分设平面AEC1的法向量为＝（x，y，z），则，取y＝﹣1，得＝（1，﹣1，1），…………5分∴点A1到平面AEC1的距离d＝||＝＝．∴点A 1到平面AEC1的距离为．…………7分（Ⅱ）解由（I）可得：B（2，0，0），B1（2，0，2），所以＝（﹣2，0，﹣2）•由（I）平面AEC1的一个法向量为＝（1，﹣1，1），因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为＝（0，2，0）， (10)所以cos＜，＞＝＝﹣，平面AEC1与平面ABB1A1所成夹角的余弦值为．…………12分ABD C PEFz 20.解：（1）设椭圆的半焦距为c ，离心率为e ，由题意可得3c e a ==，22c =，即1c =，可得3a =222b a c =−= …………..…..3分可得椭圆的方程为22132x y +=；…………………………….…4分（2）联立221236y x x y =−+⎧⎨+=⎩，可得5x 2−6x −3=0，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1265x x +=，1235x x =−，………………………. .…6分所以2121212361283||11||2()42255AB x x x x x x =+⋅−=+−+=，………………………. .…8分1(1,0)F −直线10x y +−=的距离为211d ==+，… .….10分则1ABF ∆的面积为118346||222S d AB ===……..….12分21. 解：（Ⅰ）证明：连接PE ，AE ，因为三角形PBC 为正三角形，PE ⊥BC . ……. .…1分又四边形ABCD 为菱形，且∠ADB =60o，所以△ABC 也是正三角形所以AE ⊥BC . ………………………………. .…3分AE ∩PE =E ，AE ,PE ⊂平面P AE∴BC ⊥平面P AE . ……………………………….4分又P A ⊂平面P AE ，∴BC ⊥P A .………………………………. .…6分（Ⅱ）由平面PBC ⊥平面ABCD ，及PE ⊥BC 可得，PE ⊥平面ABC .直线EA,EB,EP 两两垂直，以E 为原点，直线EA,EB,EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.菱形ABCD 边长为2，所以可求得3,0,0),(0,0,0),3),(0,1,0)A E P C − ，31,00,13(3,0,3)CA=CP=PA =−（，），（，）， …… 7分设平面P AC 的法向量为(,,)n x y z =，则300n CA x y n CP y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1,1zy x ===可得其中一个法向量(1,3,1)n =−……9分因为F 是线段P A 上的点，所以存在实数01λλ≤≤（）使得303PF PA= λλλ=（，，-）00EF EP PF EP PA= = λ=+=+，，））………………………………. .………………………………. .……10分设直线EF 与平面P AC 所成的角为θ，则||3sin |cos ,|5||||1EF n EF n EF n θ⋅=<>===⋅+解得1233λ=或.所以，线段P A 上存在点F 满足题意，且F 为线段P A 的两个三等分点. ……………………………. . .12分22解:（1）∵A ､B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个顶点，且AB =AB 的斜率为12−，由(),0A a ，()0,B b ，得AB =……………2分又0102b b k a a −==−=−−，解得2a =，1b =，……………4分 ∴椭圆的方程为2214xy +=；………………. 5分（2）OCM 的面积等于ODN △的面积关系………………. 6分证明：直线l 的方程为2x y m =−+，即122my x =−+，其代入2214x y +=，消去y ，整理得222240x mx m −+−=.………7分设()11,C x y ，()22,D x y .∴12x x m +=，212122x x m =−.………………………………. 8分记OCM 的面积是1S ，ODN △的面积是2S .由题意(),0M m ，0,2m N ⎛⎫⎪⎝⎭，∵12x x m +=， ∴111212222m y x x m x ⎛⎫=−+=−+= ⎪⎝⎭，………………. 10分 ∵112OCM S m y =△，2122ODN m S x =△. ∴OCM 的面积等于ODN △的面积；………………. 12分。