《一元二次方程》知识点总结及基础题含答案详解
(完整版)一元二次方程知识点和经典例题
一元二次方程一.基本概念定义：形如：02=++c bx ax （0≠a ）的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题：若方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值.二.一元二次方程的解法（1）直接开方法： 02=+c ax , 开平方求出未知数的值：ac x -±= （2）因式分解法：0)(2=++-mn x n m x ,因式分解得：0))((=--n x m x ∴m x =1，n 2=x（3）配方法:061232=-+x x ,得：242=+x x ,∴222)2(2)2(4+=++x x 即：6)2(2=+x ∴621+-=x ，622--=x（4）公式法：解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式； ○2找出方程中a 、b 、c 等各项系数和常数的值；○3计算出ac b 42-的值；○4把a,b, ac b 42-的值代入公式;○5求出方程的两个根.例题：解方程： x(x+12)=8x+12解：原方程化简得：01242=-+x x ,方程中：a=1,b=4,c=-12∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴28412644±-=⨯±-=x =42±- ∴原方程根为：21=x ，=2x -6.一元二次方程解法练习题：（1）用直接开方法解一元二次方程： ○1 (2x-1)2=7 ○222)43()43(x x -=- ○30144)3(2=--x（2）用因式分解法解一元二次方程：○11)1(3-=-x x x ○25x(x-3)=6-2x ○32(x +2)(x -1)=(x +2)(x +4)○4025)2(10)2(2=++-+x x ○542)2)(1(+=++x x x ○60)4()52(22=+--x x（3）用配方法解一元二次方程：○1x(x+4)=8x+12 ○226120x x --= ○30223)12(22=-+-+x x（4）用公式法解一元二次方程：○123520x x -+= ○5(3)(1)2x x +-=- ○112x 2-33x+130=0（5）选择适当的方法解下列方程:○122(2)9x x -= ○22299990x x +-= ○32(101)10(101)90x x +-++=○42690x x -+= ○5x(37)2x x -= ○6}113111[1()]222323x x x x ⎧--+-+=⎨⎩三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把ac b 42-=∆叫做一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：20(1)00(2)400.b ac ∆>⇔⎧∆≥⇔⎨∆=⇔⎩∆=-∆<⇔当时方程有两个不相等的实根；当时方程有两个实数根；当时方程有两个相等的实数根；当的值小于时，即：时方程无实数根例1.不解方程判断下列方程跟的情况：（1）08822=+-x x （2）24120x x +-= （3）20232=+-x x解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，∆=ac b 42-=(-8)2-4×2×8=64-64=0∵∆=0 ∴原方程有两个相等的实数根.（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 ∵∆>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，∆=ac b 42-=(-3)2-4×2×2=9-16=-7∵∆<0 ∴原方程无实数根.例2.关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根，求m 的取值范围.解：当m －1≠0时, 即：m 1≠时，该方程是关于x 一元二次方程.∵原方程有实数根∴0≥∆，即：Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥ 解得：711≤m ∴m 的取值范围是711≤m 且m 1≠. 例3. 求证：关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根. 证明：∵224=[2(1)]4(2)(1)4(3)b ac k k k k ∆=-----+=-且k 3≤，∴总有0≥∆ ∴关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a 且042≥-ac b )的两个根分别为1x 和2x ，则：ab 2x 1x -=+； a 2x 1xc =• 特别地：对于一元二次方程20x px q ++=，根与系数的关系为：12x x p +=-； 12x x q =注：○1此定理成立的前提是0∆≥．也就是说必须在方程有实．．数根．．时才可使用. ○2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。
一元二次方程的概念(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)
一元二次方程的概念（知识点考点一站到底）知识点☀笔记1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程概念三要素： (1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。
3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
考点☀梳理考点1：一元二次方程的概念必备知识点：只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
解题指导：① 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
② 将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 题型1 判断一元二次方程例1．（2022·江苏泰州·八年级期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A ．()2224x x -+= B ．2220x x ++=C ．2130x x+-= D ．21xy +=【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程解决此题．【详解】解：A ．由（x -2）2+4=x 2，得-4x +8=0，那么（x -2）2+4=x 2不是一元二次方程，故不符合题意． B ．根据一元二次方程的定义，x 2+2x +2=0是一元二次方程，故符合题意．C ．根据一元二次方程的定义，x 2+1x-3=0不是一元二次方程，而是分式方程，故不符合题意．D ．根据一元二次方程，xy +2=1不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键． 例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键． 练习1．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2 C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．练习2．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++= B ．()222322x x x -=-C ．3270x x -+=D ．()2240x --=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义判断选择即可．【详解】A ．当0a =时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意； B ．原方程整理得：34x -=-，不是一元二次方程，故不符合题意； C ．3270x x -+=是一元三次方程，故不符合题意； D ．符合一元二次方程的定义，故符合题意； 故选D ．【点睛】本题考查判断一元二次方程．掌握一元二次方程的定义是解题关键．练习3．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=B ．210x y --=C ．2210x x += D ．()()121x x -+=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、当a =0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本不选项符合题意； C 、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D 、原方程整理得x 2+x -3=0是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 题型2 利用一元二次方程的概念求参数例1．（2022·江苏·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5． (1)为一元二次方程； (2)为一元一次方程． 【答案】(1)m ＝3 (2)m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案； （2）根据一元一次方程的定义，可得答案．（1）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5一元二次方程，得1210m m ⎧-=⎨+≠⎩，解得m ＝3．当m ＝3时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元二次方程．（2）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程，得m +1＝0或11130m m m ⎧-=⎨++-≠⎩，解得m＝﹣1或m ＝0，m ＝2，当m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．例2．（2022·全国·九年级专题练习）若方程(2)310m m x mx --=是关于的一元二次方程，求m 的值． 【答案】2m =-．【分析】根据一元二次方程的定义得出m 2=2，20m -≠再求出答案即可．【详解】根据题意得2220m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得22m m ⎧=±⎪⎨≠⎪⎩所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于的一元二次方程时，2m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．m 【答案】4【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可 【详解】解：由题意，得4022m m +≠⎧⎨-=⎩解|m|-2=2得m=±4， 当m=4时，m+4=8≠0，当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去， ∴m 的值为4．【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 32mx x x mx -=-+程，m 应满足什么条件？ 【答案】1m ≠【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数不为零可得答案． 【详解】解：2232mx x x mx -=-+，()()21320m x m x ∴-+--=结合题意得：10,m -≠ 1.m ∴≠【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 练习3．（2020·全国·九年级专题练习）当m 取何值时，方程1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程．【答案】m=-1【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程，列出方程求解即可.【详解】解：由题意可得：12m +=且m -1≠0， 解得：m=-1，∴当m=-1时，方程||1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．考点2：一元二次方程的一般式必备知识点：一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点(含答案解析)
一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4B 解析：B【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．【详解】∵()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，∴240,20m m -=-≠，∴m=-2，故选：B ．【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++=C 解析：C【分析】设月平均增长率为x ，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长率为x ，根据题意得：400（1+x ）2=900．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．3．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ）A ．（x+2）2＝3B ．（x+2）2＝11C ．（x ﹣2）2＝3D ．（x ﹣2）2＝11D 解析：D【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．【详解】解：x 2﹣4x ﹣7＝0，移项得：247x x -=配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -=故答案为：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4．关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．0C ．1D ．-3或0C 解析：C【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-3a ）x+a=0的两个实数根互为倒数，∴x 1•x 2=a=1．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0，b 2-4ac≥0）的两根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 5．方程22x x =的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x = D ．10x =，2x = 解析：C【分析】移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．【详解】解：移项，得220x x -=，因式分解，得()20x x -=，∴0x =或20x -=，解得10x =，22x =，故选：C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．6．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2B 解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2，∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．7．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关A 解析：A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，∴220m m c --=∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，∴p ＜q故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．8．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=D解析：D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：2000（1+x ）2=2880．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．9．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．210x x +=B ．ax 2+bx +c ＝0C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2C 解析：C【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、是分式方程．错误；B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；C 、是，一元二次方程，正确；D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；故选：C ．【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．10．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ）A ．x ＝5B ．x ＝1C ．x 1＝5，x 2＝﹣5D ．x 1＝1，x 2＝5D解析：D【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵（x ﹣3）2﹣4＝0，∴（x ﹣3）2＝4，则x ﹣3＝2或x ﹣3＝﹣2，解得x 1＝5，x 2＝1，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.二、填空题11．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解解析：1+x+x 2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．【详解】解：依题意得支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，故答案为：1+x+x 2=91．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．12．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．13．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析：1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．14．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】∵2630x x +-=∴263x x +=∴26939x x+++=∴()2312x+= 故答案为：()2312x+=【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．16．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．17．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝解析：2016．【分析】将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，即a +b ＝2016．故答案是2016．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 18．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】解析：2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a-是解题的关键． 19．用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=，将左边分解因式后有一个因式为3x -，则的p 值为_______1【分析】方法一：根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一：由题意得解得则；方法二：由题意得是关于x 的方程的解析：1【分析】方法一：根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+，再展开去括号，根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】方法一：由题意得，226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--， 3p a ∴-=-，36a -=-，解得2a =，则1p =；方法二：由题意得，3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解，则将3x =代入得：23360p --=，解得1p =，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键．20．将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则b ＝_____．21【分析】先把常数项移到等号的右边再等号两边同时加上16即可【详解】解：∵x2﹣8x ＝5∴x2﹣8x+16＝5+16即（x ﹣4）2＝21故答案为：21【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方掌握完全解析：21【分析】先把常数项移到等号的右边，再等号两边同时加上16，即可．【详解】解：∵x 2﹣8x ＝5，∴x 2﹣8x +16＝5+16，即（x ﹣4）2＝21，故答案为：21．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．三、解答题21．用配方法解方程：22510x x -+=解析：154x =+，254x = 【分析】依据配方法的基本步骤解方程即可．【详解】解：22510x x -+=，系数化为1得：251022x x -+=，配方得：2255251()024162x x -+--+=， 即：2517()416x -=，两边同时开平方得：54x -=，即154x =254x =-． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系．22．已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．解析：（1）证明见解析；（2）k 的值为2或1或3．【分析】（1）先计算出△＝4（k ﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，然后分类讨论：当AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k 2+4k +12）＝4（k ﹣2）2≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0，（x +k ﹣6）（x ﹣k ﹣2）＝0，解得：x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，当AB ＝AC 时，﹣k +6＝k +2，则k ＝2；当AB ＝BC 时，﹣k +6＝5，则k ＝1；当AC ＝BC 时，则k +2＝5，解得k ＝3，综合上述，k 的值为2或1或3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．23．解方程：2410y y --=．解析：12y =22y =【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可得到答案．【详解】解：2410y y --= 24=1y y -24+4=5y y -2(2)=5y -2=y -±解得，12y =22y =【点睛】此题主要考查了解一元二次方程---配方法，熟练掌握各种解法是解答此题的关键． 24．解下列方程：（1）2410x x --=；（2）(4)123x x x -=-．解析：（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.【详解】（1）2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，(4)(3)0x x -+=，则40x -=或30x +=，解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.25．如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD ，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，求AB 和BC 的长．解析：AB=8米，BC=12米．【分析】设AB 为x 米，然后表示出BC 的长为（36-3x ）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【详解】解：设AB 为x 米，则BC 为（36-3x ）米，x （36-3x ）=96，解得：x 1=4，x 2=8，当x=4时，36-3x=24＞22（不合题意，舍去），当x=8时，36-3x=12．答：AB=8米，BC=12米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．26．解下列方程：（1）2810x x --=；（2）2(2)6(2)80x x ---+=．参考答案解析：（1）1417x =，2417x =；（2）16x =，24x =．【分析】（1）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可；（2）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可．【详解】解：（1）2810x x --=281x x -=281617x x -+=()2417x -=417x -=±1417x =，2417x =（2）2(2)6(2)80x x ---+=[]2(2)31x --=51x =±，16x =，24x =．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，正确的对原方程配方成为解答本题的关键． 27．某地为刺激旅客来旅游及消费，讨论5月至9月推出全城推广活动．杭州某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？解析：30名【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解．【详解】解：设该单位这次共有x 名员工去旅游．因为2000×25=50000＜54000，所以员工人数一定超过25人．根据题意列方程得：[2000-40（x-25）]x=54000．解得x 1=45，x 2=30．当x 1=45时，2000-40（x-25）=1200＜1700，故舍去；当x 2=30时，2000-40（x-25）=1800＞1700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的应用，一元二次方程的解法的运用，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于1700元来判断，得到满足题意的x 的值． 28．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值； （2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．解析：（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为99x x x x+≥⋅ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】 解：（1）∵0x >，∴99x x x x+≥⋅又∵296=，∴96x x+≥ ∴9x x +的最小值为6；（2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x=△， ∴四边形ABCD 面积364913x x =+++≥， ∵13=25，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)
一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1. 理解一元二次方程定义；2. 会解一元二次方程；3. 会根据根的判别式24b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲 一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),,,ax bx c a a b c ++=≠（其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有220c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】 例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（） 分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（（1） m 为何值时，此方程为一元二次方程？ （2） m 为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如0nax bx c ++=的方程，当n ＝2且a≠0时为一元二次方程；当a ＝0时且b≠0时为一元二次方程.解：（1）当m －2＝2时，m ＝4，这时5)(3)0.m m --≠（当m ＝4时，此方程为一元二次方程.（2）5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠（得＝或＝，又因为3，∴当m ＝5时，此方程为一元一次方程.例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x －20）米.根据题意德22402240220x x-=-，整理，得 22022400x x --=【知识运用】 一、选择题1．一元二次方程得一般形式是（ ）A.20x bx c ++= `B.20ax bx c ++=C. 20()ax bx c a o ++== D.以上都不对 2．下列方程为一元二次方程的有（ ）A.21102x x-+= B. 252ax bx c +=C.()219x -=D.x+y=03.关于x 的方程232232(m n m x mx m x nx px q +=+-+≠其中），经化简整理，化为200)ax bx c a ++=≠（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）A.m －n ，p ，qB. m －n ，－p ，qC.m －n ，－p ，－qD.m －n ，p ，－q4．将一元二次方程21x 2x 302-+=－的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（ ）A. 2x 2x 30+=－ B. 2x x 60+=－4C 2x x 60=－4－D 2x x 60-=+4二、填空题5．方程24x 0=是_____元______次方程，二次项系数是______，一次项系数是____，常数项是_______.6.当m__________时，方程2m-1)x 21)x 0m m -+=（－(不是关于x 的一元二次方程；当m___________时，上述方程才是关于x 的一元二次方程；7.若方程22x 3x 1k x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是_________; 三、解答题 8．若方程1(3)x230k k x --+-=是关于x 的一元二次方程，求k 的值.9．若关于x 的一元二次方程22(a-1)x +x+a 10-=的一个根是0，求a 的值.10．某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.第2讲 配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成()2b(0)x a b +=≥的形式，则x＝0)a b -±≥.2、配方法解一元二次方程：利用公式222a 2()ab b a b ±+=±，把一元二次方程转化为2()(0)x a b b +=≥，再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1 用配方法解关于x 的一元二次方程： x 0px q ++=2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2x x p q +=-，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：22221212x ,x (),244qx ,244q p 400,4x (2)p 40x 23p 40px q p p px q p p p q x pq x q +=-++=-+--->>---<222222移项，得配方，得整理，得（+）＝（1）当时，方程两边直接开平方，得当＝时，＝＝；（）当时,原方程无实数解.例2 用配方法解方程（1）2x 6x 50+-=； （2）24x 7x 20-+=分析：方程经过移项，配方后变为形如2().ax b c +=的方程 解：（1）（2）移项，得24x 7x 2-=-化二次项系数为1，例3 试证：不论x 为何实数，多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解：∴多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 【知识运用】 一、选择题1． 已知代数式2224x 228x 5x x +-+-的值为3，则代数式的值为（ ） A.5B. －5C. 5或－5D.02．将二次三项式22x 4x 6-+进行配方，正确的结果是（ ）A.24-2（x-1） B.24+2（x-1）C.22-2（x-2）D. 22+2（x-2） 3．方程2(1)9x +=的解是（ ） A.2x =B. 4x =-C. 122,4x x ==-D. 122,4x x =-=221265,6959,314333x x x x x x x +=++=+=∴+=∴=-+=--2移项，得配方，得即（x ＋）2222127717x ()()48287177x x 864877x x 88x x x -+=-+-∴-∴--∴得即（）＝，＝＝＝4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x (1)20(241)(24)0x x x x x x x x x x x x x x -----=-+=-++=-+-+>----->对于任何实数，总有即4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ） A.4 B.3C. 2D. 1二、填空题5．224___9(___3)x -+=-6．将二次三项式2x 2x 2--进行配方，其结果等于__________.7.已知m 是方程2x x 20--=的一个根，则代数式2m m -的值等于______. 三、解答题8．用配方法解下列方程2(1)2360;x x --= 221(2)20;33y y --=2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y ++=9.用配方法证明21074x x -+-的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示，2019年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2018年全年手机产量的80％，预计到2020年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.第3讲公式法【知识要点】1．公式法：一般地，对于一元二次方程221200),b 4ac 0x ax bx c a ++=≠≥，（当－时， 2．2b 4ac 0≥V 当=－，方程可用公式法求解；当2b 4ac 0<V 当=－时，方程无解.【典型例题】例1 用公式法解下列方程21x 100-+=（） 2(2)221x x +=(3)(1)(1)x x +-=分析：首先把每个方程化成一般式，确定a 、b 、c 的值，在2b 4ac 0≥－的前提下，代入求根公式求出方程的根.解：2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(1122(3)10,1,2,1,44?1?(2(4)x x a b c b ac x x x a b c b ac x x +-====--=-±∴=⨯-+-∴===--===-=--=-±∴==⨯∴==Q 移项，得-1)=12>0,-2x=22原方程可化为（-1)=12>0,-（x=222221210,1,1,1,414?1?(x x a b c b ac x x +-====--=-∴=∴===Q 将原方程可化为-1)=5>0,x例2 阅读下面一段材料，并解答问题.22(1)1,4,10,4(411080,(212x x a b c b ac x ==-=-=-⨯⨯>--∴===⨯∴=Q 1=2－＝22220(0)40,4200(0,,,)ax bx c a x b ac b ac b x aa ax bx c a abc ++=≠=-≥--∆=≠∆≥++=≠ 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当222121242,(1)10,:4,?,,?:,b ac b a k x x k x k x x x x k ∆=-∆--+++==∆≥注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 ⑴为何值时方程有两个实数根 ⑵若方程的两个实数根满足则为何值 分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对[]1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,x x k k k k x x x x x x x x x x x k k x =∆≥+-+≥-≥∴≥=≥=∆===><-=+=∴+==-∆≥Q 1于⑵中需分类讨论 解方程有实数根故0,即-( 化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x 时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x = 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米 的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理 池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米 400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平 方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1) 当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x;(2) 如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析：可根据三级污水处理池的总造价为47200元列方程.ADBC隔墙隔墙x21212400400:(1)400(2)3002008047200,4007008002008047200,393500,14,25,,14,25,2516(,)10014,16.7x x xx xx x x x x x ⨯++⨯+⨯=⨯++⨯=-+=====><∴ 解由题意得即有 化简得 解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去 当池长为米时池宽为米米符合题意 当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.5164007008001620080463004720016<⨯⨯++⨯=<∴元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算. 当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用】 一、选择题22222401)53200,0,0,x x k k m x x m m m n x mx n n m n --=-++-+=++=≠+1.方程2有两个相等的实数根,则的值为( )A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为( )A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为( )1A. B.1 C.222235020,______.6.610_______.7.x x x mx m x x x --=++=--=1- D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知的一个根则方程的另一个根是_____,的值是方程3的两根之和是方程22230530______.x x x --=++=与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm 求直角三角形的周长.21)(4)240,10,.k x k x k k k +++-+=+≠9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,a a x ax b x a --++=要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第4讲 分解因式法【知识要点】112212121212a xb a x b b b a a x x a a ++≠=-=- 1. 分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式，方程的解为：；；. 2.注意(1)方程一边一定化为0；（2）常用的方法：①提公因式法；②运用公式法③十字相乘法.【典型例题】260;x x -=例1 用因式分解法解下列方程. (1):(1),,(2),(5)(5),,.x x --分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0, 6.(2)3(5)2(5)0,(5)[3(5)2]0,(5)(133)0,501330,135,.3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=∴=-=∴==---=---=--=∴-=-=∴==解(1)即或原方程可变形为 即或 2(2)3(5)2(5)x x -=-例2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)x x x x -=--=+ (1)3221222(1)(2)(1)(4)(43)0[(4)(43)][(4)(43)]0(77)(1)0,770101, 1.(2)7(3)][4(6)]0,7(3)4(6)][7(3)4(x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴-+----=∴---=∴-=--=∴==---+=-++--分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得333或 原方程化为[ [126)]0,(113)(345)0,3,15.11x x x x +=+-=∴=-=化简为,1).x x x x +-例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年，某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务，为了尽量减少施工带来的交通不便，实际施工时每天比计划多修1千米，结果提前16天完成任务，问原计划每天修多少千米？分析：如果把修路队原来计划每天修（千米），则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:x x x x x x x =++-=∴+-=∴=-= 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用】1212121212121200550505244552A. B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,A B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -======-==--======+-===-一、选择题1.一元二次方（5）＝0的两个根为（ ）A.，B.，C.，D.，2.方程（）＝5（）的根为（ ）3.方程的根是，则这个方程为（ ）.-1,2 .12C D 34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0x x x x x x x x x x ==--+=+-=++=--=1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（ ）22225123,_____.4_____,.5147.235(23)201(21);(2)(5)59.,3,x x x x x x x x x x y x x x +-+=-=+-++++=-=-=2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_____.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.第5讲 一元二次方程【知识要点】 1、黄金分割：如,图若点C 把线段分成两条线段AB 和BC ，且满足AC BCAB AC=则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为：审（审题）；设（设未知数）；列（列方程）解（解方程）；答（答案）.3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系 【典型例题】例1 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x ，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x ），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x ）2.解：设平均月增长率为x ，由题意得400（1＋10％）（1＋x ）2＝633.6 整理得：（1＋x ）2＝633.61 1.2440x ∴+=± 0.2x ∴= 所以平均月增长率为20％.例2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？分析：这类问题的 特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起，那ABC么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米.解：设水渠应挖x 米宽，以题意，得（162－2x ）（64－4x ）＝9600化简，297960x x -+=解得11x =,296x =（舍去）答：水渠应挖1米宽. 【知识运用】 一、选择题1． 某商店十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率是( ) A ．20% B ．.12％ C ．22％ D.10％2． 从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是（ ）A. 9cm 2B.68cm 2C. 8cm 2D. 64cm 23．有一个两位数，它的数字和等于14，交换数字位置后，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是（ ）A ．68 B.86 C.－68 D.－864．随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了a 院后，再次下降25％，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟（ ） A. 5(1)4b -元 B. 5()4b a +元 C. 3()4b a +元 D 4()3b a +元. 二、填空题5．三个连续偶数，较小的两个数的平方和等于较大的数的平方，则这三个数为________. 6．一个两位数，它的数字之和为9，如果十位数字为a ，那么这个两位数是________;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，则这个数与原数的差为________. 7.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元，那么平均每年降低成本的百分率是_____. 三、解答题8．某工厂计划用两个月把产量提高21％，如果每月比上个月提高的百分数相同，求这个百分数.9．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支出1000元用来购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.10．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.第1讲一、1．C 2.C 3.D 4.D 二、5．一、二，4，0，0 6.m=1,m ≠1 7.222a ab b --三、8.根据题意的1230k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩①②由①得k －1=－2解得k=3或k=－1,由②得k ≠3,所以k=－19.由于方程的解使方程的左右两边相等，故将方程的解代入原方程后得到关于a 得方程，求出a 得值，但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零，故只取a=－1. 10．设步行道的宽度为x 米，根据题意得（80－2x ）.(60－2x)=3500整理，得方程的一般形式为703250x -+=2x 第2讲一、1．A 2.B 3.C 4.B二、5．12x,2x ；6.2(1)3x --；7.22m m -=三、8．121233(1)(2)2,31342x y y y y ±±==-==-=--2（）x=29．2711110)002040x --<原式配方得－（ 2210740,10740x x x x +-=+-即－故－的值恒小于 10．设这两年手机产量平均每年的增长率为x ，根据题意得2124000212(1)980040%,8055x x x +====-解得％（舍去） 第3讲一、1．B 2..B 3.D 4.A 二、5．24-- 6.2 7.x=－1三、8．设直角三角形的较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为（x+2）cm.根据题意得：2001)0(4)02402x x k k k k =∴=+⨯++⨯-+=∴=Q 方程有零根即将代入方程得，（2121(2)24248026,8()2810x x x x x x x +=∴+-===-∴+=∴∴解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的周长为6＋8＋10＝24（cm ）9． 10．要使方程是x 的一元二次方程，则由一元二次方程的定义.有220,2,1a a a a x --≠∴≠≠-且时该方程时关于的一元二次方程第4讲一、1．C 2.A 3.C 4.C 二、5.－ 1或4 6.x ＝－27.260,y y x +-==三、8.（1）y＝12±（2）121x x 5==- 9. 3，4，5 10. 32，23第5讲一、1．C 2.A 3.B 4.D 二、5. 7,6,8 6.9a+9,81－18a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为x,原产量为a ，以题意得a(1+x)2=a(1+21%)220(1) 1.210.110% 2.1(10a x x ≠∴+====-∴Q 1解得x 舍去）为％9.设此种存款的年利率为x ，由题意得： 【2000（1＋x ）－1000】(1+x)=1320 所以年利率为10％10．设此种商品的售价为x 元，商品所赚利润s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.x s x x x s x x s -=-⨯=-+∴=--+∴=当时，取最大值。
2021年九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(答案解析)
一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ）A ．（x+2）2＝3B ．（x+2）2＝11C ．（x ﹣2）2＝3D ．（x ﹣2）2＝11 2．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ）A ．10%B ．29%C ．81%D ．14.5%3．27742322x -±+⨯⨯=⨯是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+= 4．下列方程中，没有实数根的是（ ） A ．2670x x ++=B ．25260x x --=C ．22270x x -=D ．2220x x -+-=5．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ）A ．()50166x +=B ．()250166x +=C ．()2501266x += D ．()()5011266x x ++= 6．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设1a =，则b =（ ）A 51-B ．512C 53+D 21 7．若用配方法解方程24121x x +=，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（ ）A ．2221212412122x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22241212112x x ++=+C ．2412919x x ++=+D ．241212112x x ++=+ 8．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜－2B ．a ＞－2C ．－2＜a ＜0D ．－2≤a ＜0 9．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（ ）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人 10．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．9 11．已知2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12- 12．一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0配方后正确的是（ ）A ．(x ﹣2)2＝1B ．(x ﹣2)2＝5C ．(x ﹣4)2＝1D ．(x ﹣4)2＝5 13．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，则ab ﹣mn的值为（ ）A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1 14．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝0 15．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（ ）A ．0B ．2020C ．1D ．-2020 二、填空题16．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n+的值为_________． 17．写出有一个根为1的一元二次方程是______． 18．设a ，b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则11a b+=_____． 19．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____．20．用配方法解方程x 2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝_____．21．已知（x 2+y 2）（x 2+y 2﹣5）=6，则x 2+y 2=_____．22．若m 是方程210x x +-=的根，则2222018m m ++的值为__________23．当m ______时，关于x 的一元二次方程2350mx x -+=有两个不相等的实数根． 24．若关于x 的一元二次方程()21210k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．25．已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，则m =_________．26．如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB ＝18m ，AD ＝15m ，在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，则x ＝_____．三、解答题27．解方程．（1）2560x x -+=．（2）23(21)(21)x x -=-．（3）23139x x x -=--． 28．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0．（1）若方程有实数根，求k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，如果k 是满足条件的最大的整数，且方程x 2-2x+k=0一根的相反数是一元二次方程(m-1)x 2-3mx-7=0的一个根，求m 的值．29．解方程：22350x x --= （请用两种方法解方程）30．解方程：（1）2(1)80x --=；（2）25210x x +-=．。
《常考题》初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AM AF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM2．27742322x -+⨯⨯=⨯是下列哪个一元二次方程的根（ ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=3．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ） A ．()50166x += B ．()250166x += C ．()2501266x +=D ．()()5011266x x ++=4．已知4是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A ．7 B ．7或10 C ．10或11 D ．11 5．x=－2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－46．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e 是（ ） 日一二 三 四 五 六1 2 3 4 5 6789101112abcd ef ghi图1图2A ．17B ．18C ．19D ．207．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ） A ．(1)81x x x ++= B ．2181x x ++= C ．1(1)81x x x +++=D ．(1)81x x +=8．用配方法解方程23620x x -+=时，方程可变形为（ ） A ．21(3)3x -= B ．21(1)33x -=C ．21(1)3-=x D ．2(31)1x -=9．一元二次方程20x x -=的根是（ ） A ．10x =，21x = B ．11x =，21x =- C ．10x =，21x =-D ．121x x ==10．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．1或011．方程23x x =的解为（ ） A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-12．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定13．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）人． A ．40 B ．10 C ．9D ．814．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ）A ．x ＝5B ．x ＝1C ．x 1＝5，x 2＝﹣5D ．x 1＝1，x 2＝515．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，将△BCD 沿BD 翻折得到BC D '△，BC '与边AD 交于点E ．若AB ＝x 1，BC ＝2x 2，DE ＝3，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实根，则m 的值是（ ）A ．165B ．125C ．3D ．2二、填空题16．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）217．设a ，b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则11a b+=_____． 18．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为________．19．设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则m+n ＝_____． 20．已知a 为方程210x x -+=的一个根，则代数式2233a a -+的值为_____ 21．如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使两个顶点A C 、重合，折痕为FG ，若4,8AB BC ==，则线段BF 的长为_________．22．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．23．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x ，根据题意，可得方程_______24．已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，则m =_________．25．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0（m ＞0），当m ＝1、2、3、…2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2020、β2020，则112220202020111111αβαβαβ++++++的值为_____．26．为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为x，可列方程．为____________．三、解答题27．已知关于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0．（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．28．5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展，已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元，第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．（1）若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？（2）第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期向，桃片糕每盒降价10%3a，红茶每盒降价4a%，桃片糕数量在（1）问最多的数量下增加6a%，红茶数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a 元，求a的值．29．某水果超市以每千克20元的价格购进一批大枣，规定每千克大枣的售价不低于进价又不高于40元．经市场调查发现：大枣的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：（2）该水果超市想要获利1000元的日销售利润，每千克大枣的售价应定为多少元? 30．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．（1）分别求出甲乙两款积木的进价．（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降()0m m>元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当m为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元．。
九年级数学一元二次方程(基础)(含答案)
一元二次方程（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的定义2.方程是关于x的一元二次方程，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的定义3.方程(x+1)(x-2)=6的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.1，1，8B.1，-1，8C.1，-1，-8D.-1，1，-8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的定义4.把方程(2x+1)(x-2)=5-3x整理成一般式后，得到( )A.2x2-3x-2=0B.2x2-6x+3=0C.2x2-7=0D.2x2+3=0答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的定义5.若一元二次方程没有一次项，则a的值为( )A.2B.-2C.8D.±2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的定义6.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=( )A.2B.-4C.4D.-2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的解7.某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，设这两年的年利润平均增长率为x，应列方程是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——增长率型8.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？若设长方形门的宽为x，则应列方程为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程9.2017-2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——循环制10.如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形边长．设剪去的小正方形边长为xcm，根据题意可列方程为( )A.10×6-4×6x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32D.10×6-4x2=32答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——面积型。
(完整版)一元二次方程知识点和易错点总结
一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式，2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或（3） 法（4） 法，其中求根公式是 根的判别式当 时，方程有两个不相等的实数根。
（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用 （2）（3）可用于解决实际问题的步骤 （4） （5）（6）知识点归类知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是一元二次方程2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
(完整word版)九年级数学一元二次方程(带答案)(良心出品必属精品)
第二章一元二次方程第1讲一元二次方程概念及解法【知识要点】:知识结构网络一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为x2 =bb -0或x a 2二b的形式的方程求解。
当b 一0时，可两边开平方求得方程的解；当b：：： 0时, 方程无实数根。
2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0,得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为（x m）^ n 的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式ax2 bx 0，确定a、b、c的..b b2- 4ac 值；（2）计算b2-4ac的值并判别其符号；（3）若b2-4ac — 0，则利用公式x二」b—4ac求2a 方程的解，若b2 -4ac ：：： 0，则方程无实数解。
【典型例题】(1) 6x 2 —7x —3=0 (用因式分解法)解：(3x1)( 2x - 3) = 0 • 3x 1 二 0 或 2x _3=0 1 3 x 1, x 2 = — 3 2 (2) 3x 2 = 4x 1 （用公式法）解：3x 2 — 4x — 1 = 0.-：=(一4)2 - 4 X 3 X ( _1) = 28 . 0解:手）—2= 3 2, -5 2【经典练习】、直接开方法二、配方法注：（1） 2x 2 -、2x -30 = 0 二、公式法1. 用求根公式法解下列方程(1) x 2 2x —2 =0; -(-4) ± ,28 2 ± ,7(3) 2x -2x-30 0 （用配方法） ,2 x (-2)2 4 二 15 ( (1) (x 1)2 二(1 -2x)(2) (x a)2 = b.2121 (2) 3x2 = 4x 1解：2(2) 2y 8y _1 =0 ;解：2 1⑶2x -3x 0 ;8解：(4) 3y2 -2y =1 ;解：(5) 2x2 5x -1 =0 ;解：2 —(6) x 2..5x 3=0 ;解：(7) 3x2 -4x 5 =0 ;解：(7)方程无实数根；(8) 、2x2 4 3x - 2 .2 =0 ;解：(9) 0.02x2 - 0.03x =0.35 ;解：(9)先在方程两边同乘以100,化为整数系数，再代入求根公式, (10) (1 2、3)x —x2二、、3(1 、3)解：。
第01讲 一元二次方程(解析版)
第01讲一元二次方程理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.类型一、关于一元二次方程的判定例1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.例2.判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a 2+2)x 2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a 都有a 2≥0，于是都有a 2+2＞0，由此可知a 2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m 2-1)x 2+(2-2m)x+(m 3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m 2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x 的方程，若整理为(m-4)x 2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x 的一元二次方程(a-1)x 2+(2a+1)x+a 2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x-+=；⑤2230x xy y +-=；⑥232y =；⑦2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x-+=不是整式方程；⑤2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程.②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例3.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0；(2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是：a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．例4.已知关于y 的一元二次方程m 2(y 2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m 2-8)y 2-(3m-1)y+m 3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m 2-8≠0，即m≠±．可知它的各项系数分别是a=m 2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m 3-1．参数m 的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-；（2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是-a-2.【变式2】关于x 的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x 2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）例5.若0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出m 的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．【答案与解析】解：∵0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，∴2280m m +-=∴24m m ==-或①当20m -≠∴4m =-∴原方程为：2630x x -+=2490b ac =-=> ∴此方程有两个不相等的根．2630x x -+=()3210x x --=解得：00.5x =或②当2m =∴30x =∴0x =【总结升华】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．例6.已知关于x 的方程（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m 的值；（2）求方程的解．【答案与解析】解：（1）∵关于x 的方程（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，∴m 2﹣3m+2=0，解得：m 1=1，m 2=2，∴m 的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0得出：x 2+5x=0x（x+5）=0，解得：x 1=0，x 2=﹣5．当m=1时，5x=0，解得x=0．【总结升华】此题是一元一次方程与一元二次方程的解法的小综合，注意本题中说的是“方程”，而不是“一元二次方程”．【变式】（1）x=1是的根，则a=.（2）已知关于x 的一元二次方程22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得一、单选题【分析】通过观察表格可得20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，即可求解．【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1-或0【答案】A【分析】根据方程是一元二次方程，可得10a -≠，将0x =代入解析式，求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，∴10a -≠，210a -=，∴1a =-；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．二、填空题一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．3、2、3-B ．3、2、3C ．3、2-、3D ．3、2-、3-【答案】D【分析】将一元二次方程2323x x -=化为一般形式即可求得结果．【详解】解：将一元二次方程2323x x -=化为一般形式，得23230x x --=，二次项系数为3，一次项系数为2-，常数项为3-．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式以及多项式的有关概念，解决问题的关键是将一元二次方程化为一般形式．2．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m ＝（）A ．1B ．2C ．1或2D ．0【答案】B 【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．【详解】若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则232010m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）观察表格中数据，一元二次方程4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +-=≠有一根为1x =，则一元二次方程()()21110a x b x -+--=必有一根为______．【答案】2【分析】利用整体思想设1x t -=，得到方程210at bt +-=，再根据210(0)ax bx a +-=≠即可得到t 的值，最后得出结论．【详解】解：∵在2(1)(1)10-+--=a x b x 中，设1x t-=∴210at bt +-=∵210(0)ax bx a +-=≠有一个根1x =∴在210at bt +-=中1t =∴即在2(1)(1)10-+--=a x b x 中，11x -=∴2x =故答案为：2【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）已知m 是方程2210x x +-=的一个根，则代数式2242021m m ++的值为_________【答案】2023【分析】由方程根的定义得到221m m +=，整体代入2242021m m ++即可得到答案．【详解】解：∵m 是方程2210x x +-=的一个根，∴2210m m +-=，∴221m m +=，∴()222420212220212120212023m m m m ++=++=⨯+=．故答案为：2023【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．6．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）已知方程20x bx c ++=的两个根分别是2、1，则b c +=______．【答案】1-【分析】把1x =代入20x bx c ++=得出10b c ++=，整理即可得出答案．【详解】解：把1x =代入20x bx c ++=得：10b c ++=，∴1b c +=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程解的定义，得出10b c ++=．三、解答题（2）解：∵（﹣3x 2+6x ﹣5）－（﹣x 2+2x +3）＝﹣2x 2+4x ﹣8＝﹣2（x ﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x 2+6x ﹣5＜﹣x 2+2x +3，（﹣3x 2+6x ﹣5）*（﹣x 2+2x +3）＝（﹣3x 2+6x ﹣5）﹣3（﹣x 2+2x +3）＝﹣3x 2+6x ﹣5+3x 2﹣6x ﹣9＝﹣14，∵化简后的结果与x 取值无关，∴不论x 取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，∴小华说小明计算错误．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12．（2022秋·九年级课时练习）已知方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程．（1）求a 的取值范围；（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．【答案】（1）a 1≠；（2）1x 4=-，2x 4=【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a 的值，再代入原方程，解出方程即可.【详解】解：()1化简，得()2a 1x 3ax 8a 160-+-+=．方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程，得a 10-≠，解得a 1≠，当a 1≠时，方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程；()2由一次项系数为零，得a 0=．则原方程是2x 160-+=，即2x 160-=．因式分解得()()x 4x 40+-=，解得1x 4=-，2x 4=．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.13．（2022秋·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x＝5．。
新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结
一元二次方程知识题型总结一、知识与技能的总结（一）概念一元二次方程--“整式方程”;“只含一个未知数,且未知数的最高次数是2"．一元二次方程的一般形式-—，按未知数x降幂排列方程的根（解）—-是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法-—把一元二次方程降次为一元一次方程求解1．直接开平方法-—适用于的方程．2．配方法——适用于所有的一元二次方程；（1）“移项”-—使得（2)“系数化1”——使得（3）“配方”——使得(4)“求解”—-利用解方程3．公式法—-适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；（2）先求出的值，若,则代入公式．若,则；4．因式分解法--适用于的方程．用因式分解法解一元二次方程的依据是：．通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．（三）其它知识方法1．根的判别式: ，（1）若，则方程有解；（2）若，则方程有解;(3）若，则方程有解;2．换元法（1）；（2）(3)．3．可化为一元二次方程的分式方程解方程二、典型题型的总结（一）一元二次方程的概念1．(一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：(1）；(2);（3）；（4) ；（5）；2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值)（1)= 时,关于的方程是一元二次方程。
(2)若分式，则3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）(1）关于的一元二次方程有一个根为0，则(2）已知关于的一元二次方程有一个根为1,一个根为,则，(3）已知2是关于的方程的一个根,则的值是(4)已知c为实数,并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，则方程的根为,c=（二）一元二次方程的解法4．开平方法解下列方程：(1）（2)（3) （4)（5）；（6)；（7）．（8)5．用配方法解下列各方程：（1）; (2）;（3) (4）（5）；（6）．6．用公式法解下列各方程:（1）; （2）；(3）；（4）．（5）(6）（7）（8）（9）7．用因式分解法解下列各方程：(1）；（2）(3）（4）（5) （6）(7）；(8）．（9）(10）(11）8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：(1）（2）（3）（4）（5）9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：(1）（2）(3)（）(4）（三）一元二次方程的根的判别式10．不解方程，判别方程根的情况：(1）4 —-(2）-—（3）—-11．为何值时，关于x的二次方程（1）满足时，方程有两个不等的实数根(2）满足时，方程有两个相等的实数根(3）满足时，方程无实数根12．已知关于的方程,如果，那么此方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定13．关于的方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（）．A．B．且C．D．15．已知,且方程有两个相等实根,那么的值等于（）．A．B．C．3或D．316．若关于的方程有实根,则的非负整数值是（）．A．0,1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，317．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．18．方程有实数根，求正整数a.19．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根。
2023年中考数学-----《一元二次方程之解一元二次方程》知识总结与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学-----《一元二次方程之解一元二次方程》知识总结与专项练习题（含答案解析）知识总结1. 直接开方法解一元二次方程：适用形式：p x =2或()p a x =+2或()p b ax =+2（p 均大于等于0）①p x =2时，方程的解为：p x p x −==21，。
②()p a x =+2时，方程的解为：a p x a p x −−=−=21，。
③()p b ax =+2时，方程的解为：abp x a b p x −−=−=21，。
2. 配方法解一元二次方程：运用公式：()2222b a b ab a ±=+±。
具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
②移项——把常数项移到等号右边。
③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。
④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。
⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。
即：2222222222442420a acb a b x ac a b a b x a b x a cx a b x acx a b x c bx ax −=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛++−=+=++=++∴a ac b a b x a ac b a b x 24224222−−=+−=+， aacb b x a ac b b x 24242221−−−=−+−=， 若042≥−ac b ，则即可求得两根。
3. 公式法解一元二次方程：（1）根的判别式：由配方法可知，ac b 42−即为一元二次方程根的判别式。
用∆表示。
①⇔−=∆042＞ac b 方程有两个不相等的实数根。
②⇔=−=∆042ac b 方程有两个相等的实数根。
③⇔−=∆042＜ac b 方程没有实数根。
（2）求根公式：当042≥−=∆ac b 时，则一元二次方程可以用aacb b x 242−±−=来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12D解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．2．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20B 解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．3．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C．5000（1﹣x）2＝6050 D．5000（1+x）2＝6050D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝6050．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（）A．4 B．5 C．6 D．7B解析：B【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：1x（x-1）=10，2化简，得x2-x-20=0，解得x1=5，x2=-4（舍去），∴参加此次比赛的球队数是5队．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．5．若关于x的一元二次方程260-+=有两个相等的实数根，则常数c的值为（）x x cA．3B．6C．8D．9D解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c =故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．6．一元二次方程20x x -=的根是（ ）A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x ==A 解析：A【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：∵x 2-x=0，∴x （x-1）=0，则x=0或x-1=0，解得：x 1=0，x 2=1，故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7．方程23x x =的解为（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-C解析：C【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：方程变形得：x 2-3x=0，分解因式得：x （x-3）=0，可得x=0或x-3=0，解得：x 1=3，x 2=0．故选：C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．【详解】解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8．∵k 2≥0，∴k 2+8＞0，即△＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．9．已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx （k ≠1），则方程根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两不等实数根C ．有两相等实数根D ．无法确定B解析：B【分析】 根据方程的系数结合根的判别式，可得出△21432k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭＞0，由此即可得出：无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【详解】在方程()21210--+=k x kx 中， ∵1a k =-，2b k =-，1c =，∴()()224241b ac k k =-=--- 214302k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， ∴无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．10．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝0C 解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【详解】解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 二、填空题11．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．13．已知0x =是关于x 的一元二次方程()()22213340m x m x m m -+++-=的一个根，则m =__________．-4【分析】根据方程根的定义把代入原方程求出m 的值【详解】解：将代入原方程得解得∵该方程是一元二次方程∴即∴故答案是：【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程需要注意一元二次方程的二次项解析：-4【分析】根据方程根的定义，把0x =代入原方程，求出m 的值．【详解】解：将0x =代入原方程，得2340m m +-=，解得14m =-，21m =，∵该方程是一元二次方程，∴10m -≠，即1m ≠，∴4m =-．故答案是：4-．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程，需要注意一元二次方程的二次项系数不能为0．14．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为________．-1【分析】根据方程的根的判别式得出m 的取值范围然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1）α•β=m2-m 结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的解析：-1【分析】根据方程的根的判别式，得出m 的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根，∴△=[2（m-1）]2-4×1×（m 2-m ）=-4m+4≥0，解得：m≤1．∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根α，β，∴α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，∴α2+β2=（α+β）2-2α•β=[-2（m-1）]2-2（m 2-m ）=12，即m 2-3m-4=0，解得：m=-1或m=4（舍去）．故答案为：-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系得出关于m 的一元二次方程．15．一元二次方程()422x x x +=+的解为__．【分析】利用因式分解法解一元二次方程提取公因式【详解】解：故答案是：【点睛】本题考查解一元二次方程解题的关键是掌握一元二次方程的解法 解析：114x =，22x =- 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式()2x +．【详解】解：()422x x x +=+ ()()4220x x x +-+=()()4120x x -+=114x =，22x =-． 故答案是：114x =，22x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．16．已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，则m =________．0【分析】先将方程化成一般式然后再运用根的判别式求解即可【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根∴关于的方程有两个相等的实数根∴△=02-4m=0解得m=0故答案为0【点睛】本题主要考查了一元二次解析：0【分析】先将方程化成一般式，然后再运用根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的方程2x m=有两个相等的实数根，∴关于x的方程20x m-=有两个相等的实数根，∴△=02-4m=0，解得m=0．故答案为0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解答本题的关键．17．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．10【分析】设共有x个队参加比赛根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：设共有x个队参加比赛根据题意得：2×x（x-1）=90整理得：x2解析：10．【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x个队参加比赛，根据题意得：2×12x（x-1）=90，整理得：x2-x-90=0，解得：x=10或x=-9（舍去）．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元二次方程是解题的关键．18．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程_______54（1-x）2=42【分析】根据题意经过两次的钢量减少最后的结果应该是原来的（1-x）2倍列出方程即可【详解】解：根据题意有：54（1-x）2=42故答案为：54（1-x）2=42【点睛】本题考查解析：5.4（1-x）2=4.2【分析】根据题意，经过两次的钢量减少，最后的结果应该是原来的（1-x）2倍，列出方程即可．【详解】解：根据题意有：5.4（1-x）2=4.2故答案为：5.4（1-x）2=4.2【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题，属于基础题．19．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛(即每两个队之间比赛一场)一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜__场11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x+1）支队伍参加比赛根据一共比赛66场即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x解析：11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：12x(x+1)=66， 整理，得：x 2+x-132=0，解得：x 1=11，x 2=-12（不合题意，舍去）．所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项可以通过配方法得到三个平方数的和为0然后根据非负数的性质可以得到abc 的值从而求得a+b+c 的值【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：即∴∴a=解析：3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∴()()()2223110a b c -+++-=，∴a=3,b=-1,c=1，∴a+b+c=3-1+1=3，故答案为3．【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．三、解答题21．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm =？（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC Scm =？（3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？解析：（1）2或4；（2）2；（3）1082-+【分析】本题可设P 出发x 秒后，QPC S 符合已知条件：在（1）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，2QC xcm =，根据题意列方程求解即可； 在（2）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，()22QC x cm =-，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -，利用勾股定理和PQ BQ =列出方程，即可求出答案．【详解】（1）P 、Q 同时出发，经过x 秒钟，28QPC Scm =， 由题意得：()16282x x -⋅= ∴2680x x -+=，解得：12x =，24x =．经2秒点P 到离A 点1×2＝2cm 处，点Q 离C 点2×2＝4cm 处，经4秒点P 到离A 点1×4＝4cm 处，点Q 到离C 点2×4＝8cm 处，经验证，它们都符合要求．答：P 、Q 同时出发，经过2秒或4秒，28QPC Scm =． （2）设P 出发t 秒时24QPC S cm =，则Q 运动的时间为()2t -秒，由题意得：()()162242t t -⋅-=， ∴28160t t -+=，解得：124t t ==．因此经4秒点P 离A 点1×4＝4cm ，点Q 离C 点2×（4﹣2）＝4cm ，符合题意． 答：P 先出发2秒，Q 再从C 出发，经过2秒后24QPC S cm =．（3）设经过x 秒钟后PQ ＝BQ ，则()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -， ()()()2226282x x x -+=-，解得：110x =-+210x =--答：经过10-+PQ ＝BQ ．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．22．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？解析：（1）口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）预计4月份平均日产量为39930个．【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为36300个，即可预计4月份平均日产量．【详解】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意，得30000（1＋x ）2＝36300，解得x 1＝−2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）36300（1＋10%）＝39930（个）．答：预计4月份平均日产量为39930个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 23．5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展，已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元，第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．（1）若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？（2）第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期向，桃片糕每盒降价10%3a，红茶每盒降价4a%，桃片糕数量在（1）问最多的数量下增加6a%，红茶数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a 元，求a的值．解析：（1）至少卖出仙女山红茶800盒；（2）a的值为5．【分析】（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000-x）盒，由题意得关于x的不等式，求解即可；（2）根据（1）的结果得出桃片糕最多卖出的盒数，根据题意得出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000-x）盒，由题意得：50x+12（2000-x）≥54400，解得：x≥800，∴x的最小值是800，∴至少卖出仙女山红茶800盒；（2）∵（1）中最少卖出仙女山红茶800盒，∴桃片糕最多卖出的盒数为：2000-800=1200（盒）．由题意得：12×（110%3a）×1200×（1+6a%）+50（1-4a%）×800×（1+4a%）=54400-80a，解得：a1=0（舍去），a2=5．∴a的值为5．【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下面的问题：例题：说明代数式m2+2m+4的值一定是正数．解：m2+2m+4＝m2+2m+1+3＝（m+1）2+3．∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，∴m2+2m+4的值一定是正数．（1）说明代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数．（2）设正方形面积为S1，长方形的面积为S2，正方形的边长为a，如果长方形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为4，请你比较S1与S2的大小关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）S1＞S2，见解析【分析】（1）利用配方法，将原式化成含平方代数式形式﹣（a﹣3）2﹣1，可判断其值为负数；（2）用a 分别表示出S 1与S 2，再作差比较即可．【详解】解：（1）﹣a 2+6a ﹣10＝﹣（a 2﹣6a+9）﹣1＝﹣（a ﹣3）2﹣1，∵（a ﹣3）2≥0，∴﹣（a ﹣3）2≤0，∴﹣（a ﹣3）2﹣1＜0，∴代数式﹣a 2+6a ﹣10的值一定是负数；（2）S 1＞S 2，理由是：∵S 1＝a 2，S 2＝4（a ﹣3），∴S 1﹣S 2＝a 2﹣4（a ﹣3）＝a 2﹣4a+12＝a 2﹣4a+4+8＝（a ﹣2）2+8，∵（a ﹣2）2≥0，∴（a ﹣2）2+8≥8，∴S 1﹣S 2＞0，∴S 1＞S 2．【点睛】本题主要考查配方法的应用，掌握配方法是解题的关键，注意两数比较大小时可用作差法．25．某种品牌的衬衫，进货时的单价为50元．如果按每件60元销售，可销售800件;售价每提高1元，其销售量就减少20件．若要获得12000元的利润，则每件的售价为多少元? 解析：每件的售价为70元或80元．【分析】要求衬衫的单价，就要设每件的售价为x 元，则每件衬衫的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可．【详解】解:设每件的售价为x 元，根据题意，得()()50800206012000 ,x x ⎡⎤⎣⎦---=化简整理，得215056000x x -+=()70800()x x --=1270,80x x ∴==答:每件的售价为70元或80元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．26．回答下列问题．（1（2|1-． （3）计算：102(1)-++． （4）解方程：2(1)90x +-=．解析：（13；（21+；（3）44）12x =，24x =-． 【分析】 （1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可； （3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可； （4）移项，利用直接开平方法即可求解．【详解】（133=+3=； （2|11)=-1=12=+； （3）102(1)-++121=+-4=-（4）2(1)90x +-=，移项得：2(1)9x +=，∴13x +=或13x +=-，12x =，24x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．27．解下列方程（1）2210x x ++= （2）233x x解析：（1）121x x ==-；（2）123,4x x ==．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】（1）2210x x ++=，2(1)0x +=，解得121x x ==-；（2）233x x ，2330x x ， 3310x x ，即()()340x x --=，30x -=或40x -=，3x =或4x =，即123,4x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．28．某文具商从荷花池小商品批发市场购进一批书包，每个进价50元．调查发现，当销售价为80元时，每季度可售出500个；如果售价每降低1元，那么平均每季度可多售出40个．（1）当降价2元时，平均每季度销售书包_____个．（2）某文具商要想平均每季度赢利18000元，且尽可能让利与顾客，应该如何定价？ 解析：（1）580；（2）70元．【分析】（1）根据降价后销量＝降价前销量＋增加的销量可求得结果；（2）设定价x 元，根据每季度的总利润＝每个玩具利润×降价后每天的销售数量列出方程，解方程可求得定价．【详解】（1）500240580+⨯=（个）．故答案为：580．（2）设定价x 元，根据题意得：(50)[50040(80)]18000x x -+-=，解得：1272.5,70x x ==，∵尽可能让利与顾客，70x ∴=．答：应该定价70元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目隐含的等量关系是解决问题的关键．。
一元二次方程章节总结及练习题及答案
知识点总结：一元二次方程一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。
应该说，一元二次方程是本书的重点内容。
一、知识框架二、知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
专题2.1 一元二次方程(基础)(解析版)
专题2.1 一元二次方程目录一元二次方程的定义 (1)一元二次方程项数系数 (2)一元二次方程含参 (4)一元二次方程的解 (5)直接开平方法 (6)配方法 (8)一元二次方程判别式 (11)含参求根的辨别式 (12)根的辨别式综合运用 (13)因式分解法 (16)十字相乘 (17)根与系数的关系..............................................................................................................................19一元二次方程的定义【例1】下列是一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B ．22x x -=C ．22(2)x x x -=-D ．11x x+=【解答】解：A 、当0a =时，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；B 、它符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意；C 、化简后它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；D 、是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：B ．【变式训练1】下列方程是关于x 的一元二次方程的是( )A ．211x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x ++=D ．22(3)4x x -+=【解答】解：A ．该方程是分式方程，故本选项不合题意；B ．当0a =时，20ax bx c ++=不是关于x 的一元二次方程，故本选项不合题意；C ．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；D 、化简后不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【变式训练2】下列关于x 的方程是一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B ．20x =C ．212x x x +=D ．220x y +=【解答】解：A 、该选项a 可能等于0，所以可能不是一元二次方程，故该选项不符合题意；B 、该选项有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；C 、该选项为分式方程，故该选项不符合题意；D 、该选项有两个未知数，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：B ．【变式训练3】下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( )A ．6x p =B ．32x x -=C ．1xy =D ．256x x +=【解答】解：A 、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B 、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C 、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D 、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D ．一元二次方程项数系数【例2】把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是( )A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=【解答】解：(1)(1)3x x x +-=，2130x x --=，即2310x x --=，故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项的和是( )A ．1B ．8C ．7D ．2【解答】解：关于x 的一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项分别为4、1和3-．所以一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项的和是4132+-=．故选：D ．【变式训练2】方程2514x x -=化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是( )A ．4，1-B ．4，1C ．4-，1-D ．4-，1【解答】解：2514x x -=化成一元二次方程一般形式是25410x x --=，它的一次项系数是4-，常数项是1-．故选：C ．【变式训练3】把方程225(2)x x x +=-化成20ax bx c ++=的形式，则a ，b ，c 的值分别为( )A ．1，3-，2B ．1，7，10-C ．1，5-，12D ．1，3-，10【解答】解：225(2)x x x +=-，22510x x x +=-，225100x x x +-+=，23100x x -+=，则1a =，3b =-，10c =，故选：D ．【例3】若关于x 的方程2(1)2a x -=为一元二次方程，则a 满足( )A ．1a =B ．1a ¹C ．0a =D ．0a ¹【解答】解：Q 方程2(1)2a x -=为一元二次方程，10a \-¹，解得1a ¹．故选：B ．【变式训练1】若||1(3)(3)50m m x m x -+---=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．3B ．3-C ．3±D ．2±【解答】解：由题意可知：||1230m m -=ìí+¹î，解得：3m =，故选：A ．【变式训练2】若方程||1(1)23m m x x +--=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．不存在【解答】解：由题意得：||12m +=，且10m -¹，解得：1m =-，故选：B ．【变式训练3】已知关于x 的方程||(2)340m m x x ---=是一元二次方程，则( )A ．2m ¹±B ．2m =-C ．2m =D ．2m =±【解答】解：Q 关于x 的方程||(2)340m m x x ---=是一元二次方程，\20||2m m -¹ìí=î，解得2m =-，故选：B ．【例4】如果关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =，则代数式a b +的值为( )A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =，10a b \++=，1a b \+=-．故选：A ．【变式训练1】若关于x 的方程2240x ax a ++=有一个根为3-，则a 的值是( )A ．9B ．4.5C ．3D ．3-【解答】解：把3x =-代入方程得9640a a -+=，解得 4.5a =．故选：B ．【变式训练2】若a 是2320220x x --=的一个根，则231a a -+的值是( )A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【解答】解：a Q 是2320220x x --=的一个根，2320220a a \--=，232022a a \-=，231202212023a a \-+=+=．故选：D ．【变式训练3】已知a 是方程22350x x --=的一个解，则246a a -+的值为( )A ．10B ．10-C ．2D ．40-【解答】解：把x a =代入方程得：22350a a --=，则2235a a -=，则22462(23)10a a a a -+=--=-．故选：B ．直接开平方法【例5】方程2(1)9x +=的解为( )A ．2x =，4x =-B ．2x =-，4x =C ．4x =，2x =D ．2x =-，4x =-【解答】解：方程2(1)9x +=，开方得：13x +=或13x +=-，解得：12x =，24x =-．故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2160x -=的根是( )A ．4B ．4-C ．4±D ．16【解答】解：2160x -=Q ，216x \=，4x \=±，故选：C ．【变式训练2】解方程22(1)160x --=．【解答】解：22(1)160x --=，22(1)16x -=，2(1)8x -=，1x -=±11x \=-，21x =+．【变式训练3】解方程：24(3)250x --=．【解答】解：24(3)250x --=，24(3)25x -=，225(3)4x -=，532x \-=±，1112x \=，212x =．【例6】解方程：22(23)(32)x x +=+．【解答】解：方程：22(23)(32)x x +=+，开方得：2332x x +=+或2332x x +=--，解得：11x =，21x =-．【变式训练1】解方程：22(21)(3)x x -=-．【解答】解：21(3)x x -=±-，213x x -=-或213x x -=-+，所以143x =，22x =-．【变式训练2】用适当的方法解一元二次方程：22(1)4(1)x x -=+．【解答】解：12(1)x x -=±+，所以13x =-，213x =-．【变式训练3】解方程：22(21)(1)x x +=-．【解答】解：21(1)x x +=±-，所以12x =-，20x =．配方法【例7】一元二次方程2220x x --=配方后可化为( )A ．2(1)3x +=B ．2(1)3x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)2x -=【解答】解：2220x x --=，222x x -=，22121x x -+=+，2(1)3x -=，故选：B ．【变式训练1】把一元二次方程2240x x --=配方后，下列变形正确的是( )A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x -=C ．2(1)5x -=D ．2(1)3x -=【解答】解：2240x x --=，224x x -=，22141x x -+=+，2(1)5x -=，故选：C ．【变式训练2】方程2460x x --=经配方后，可化为( )A ．2(2)10x -=B ．2(2)10x +=C ．2(2)8x -=D ．2(2)8x +=【解答】解：2460x x --=Q ，246x x \-=，则24464x x -+=+，即2(2)10x -=，故选：A ．【变式训练3】下列配方中，变形正确的是()A ．222(1)x x x +=+B ．2243(2)1x x x --=-+C ．222432(1)1x x x ++=++D ．222(1)1x x x -+=-+-【解答】解：22x x+2211x x =++-2(1)1x =+-，A 错误．243x x --24443x x =-+--2(44)(43)x x =-++--2(2)7x =--．B 错误．2243x x ++22(2)3x x =++22(211)3x x =++-+22(21)213x x =++-´+22(1)23x =+-+22(1)1x =++．C 正确．22x x -+2(211)x x =--+-2(21)1x x =--++2(1)1x =-++D 错误．故选：C ．【例8】用配方法解一元二次方程：22410x x -+=．【解答】解：方程整理得：2122x x -=-，配方得：21212x x -+=，即21(1)2x -=，开方得：1x -=，解得：11x =+，21x =．【变式训练1】解一元二次方程：22460x x --=．【解答】解：22460x x --=Q ，2230x x --=，223x x -=，则22131x x -+=+，即2(1)4x -=，12x \-=±，11x \=-，23x =．【变式训练2】用配方法解方程：24x -=．【解答】解：Q 24x -=，2545x \-+=+，即2(9x =，3x \-=或3x =-，13x \=+23x =-+【变式训练3】用配方法解方程：21090x x -+=．【解答】解：21090x x -+=，2109x x -=-，21025925x x -+=-+，2(5)16x -=，54x -=±，54x -=或54x -=-，19x =，21x =．一元二次方程判别式【例9】方程2450x x --=的根的情况为( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定【解答】解：方程2450x x --=，Q △2(4)41(5)1620360=--´´-=+=>，\方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2610x ++=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解答】解：一元二次方程2610x ++=中，△24610=-´´=，2610x \++=有两个相等的实数根，故选：C ．【变式训练2】一元二次方程2210x x -+=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有无数个实数根【解答】解：对一元二次方程2210x x -+=，△2(2)4110=--´´=，2210x x \-+=有两个相等实数根，故选：B ．【变式训练3】关于x 的一元二次方程24(1)(3)0x x m m ++--=，下列选项正确的是( )A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．根的个数与m 的取值有关【解答】解：方程24(1)(3)0x x m m ++--=，△164(1)(3)m m =---2164(33)m m m =---+241628m m =-+24(44)12m m =-++24(2)12m =-+，2(2)0m -Q …，24(2)12120m \-+>…，则方程有两个不相等的实数根．故选：C ．含参求根的辨别式【例10】关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．98m …B ．98m <且0m ¹C ．98m …且0m ¹D ．98m …【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有实数根，\△2(3)80m =--…，且0m ¹，解得：98m …且0m ¹．故选：C ．【变式训练1】若关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是( )A ．36B ．9C ．6D ．9-【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，\△2640c =-=，解得9c =，故选：B ．【变式训练2】若关于x 的方程220x x m --=没有实数根，则m 的最大整数值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：Q 关于x 的方程220x x m --=没有实数根，2(2)41()440m m \--´´-=+<，解得：1m <-，则m 的最大整数值是2-．故选：A ．【变式训练3】关于x 的一元二次方程2(1)210m x x -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ．1m <-B ．0m >C ．1m <且0m ¹D ．0m >且1m ¹【解答】解：根据题意得10m -¹且△224(1)(1)0m =--->，解得0m >且1m ¹．故选：D ．根的辨别式综合运用【例11】已知关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=有实数根．（1）求实数k 的取值范围．（2）若此方程有一个根为1，求k 的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=有实数根，\△2224(23)41(1)0b ac k k =-=--´´-…，解得：1312k …；（2）Q 关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=的一个根为1，\把1x =代入方程得：21(23)10k k +-+-=，2230k k \+-=，解得：1k =或3-，故k 的值为1或3-．【变式训练1】已知关于x 的一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=．（1）求证：对于任意实数m ，该方程总有两个不相等实数根；（2）如果此方程有一个根为0，求m 的值．【解答】（1）证明：对关于x 的一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=，△22221[(1)]4(2)21214m m m m m m m =---´-=-+-+=，\△0>，\对于任意实数m ，一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=总有两个不相等实数根；（2）解：如果此方程有一个根为0，则2210(1)0(2)04m m m ´--´+-=，220m m \-=，解得0m =或2m =，答：m 的值为0或【变式训练2】已知关于x 的一元二次方程2(1)230x k x k -++-=．（1）当3k =时，求一元二次方程2(1)230x k x k -++-=的解；（2）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：当3k =时，方程可化为2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，11x \=，23x =；（2）证明：Q △222[(1)]4(23)613(3)4k k k k k =-+--=-+=-+，而2(3)0k -…，\△0>．\对任意实数k ，方程有两个不相等的实数根．【变式训练3】已知关于x 的方程2(3)30x k x k -++=．（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有两个实数根．（2）等腰ABC D 的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求ABC D 的周长．【解答】（1）证明：△22(3)43(3)0k k k =+-´=-…，故不论k 取何实数，该方程总有实数根；（2）解：依题意有△2(3)0k =-=，则3k =，将其代入方程2(3)30x k x k -++=，得2(33)330x x -++´=．解得123x x ==．故ABC D 的周长是2338++=．如果220a a +=，那么a 的值是( )A ．0B ．2C ．0，2D ．0，2-【解答】解：220a a +=Q ，(2)0a a \+=，0a \=或20a +=，10a \=，22a =-，故选：D ．因式分解法【例12】方程24x x =的解是( )A．x =B ．12x =，22x =-C ．124x x ==D ．10x =，24x =【解答】解：24x x =，240x x -=，(4)0x x -=，0x =或40x -=，10x =，24x =，故选：D ．【变式训练1】方程2(2)3(2)x x -=-的解是( )A ．5x =B ．15x =，22x =C ．11x =，22x =D ．2x =【解答】解：2(2)3(2)x x -=-，2(2)3(2)0x x ---=，(2)(23)0x x ---=，20x -=或230x --=，所以12x =，25x =．故选：B ．【变式训练2】方程(1)2x x x -=的解是( )A ．3x =B ．3x =-C ．13x =，20x =D ．13x =-，20x =【解答】解：(1)2x x x -=，(12)0x x --=，(3)0x x -=，10x =，23x =，故选：C ．十字相乘【例13】方程22240x x --=的根是( )A ．16x =，24x =B ．16x =，24x =-C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-【解答】解：22240x x --=，(6)(4)0x x -+=，60x -=或40x +=，解得16x =，24x =-，故选：B ．【变式训练1】方程2430x x ++=的两个根为( )A ．11x =，23x =B ．11x =-，23x =C ．11x =，23x =-D ．11x =-，23x =-【解答】解：2430x x ++=，30x +=或10x +=，13x =-，21x =-，故选：D ．【变式训练2】方程220x x +-=的两个根为( )A ．12x =-，21x =B ．11x =-，22x =C ．12x =-，21x =-D ．11x =，22x =【解答】解：220x x +-=，(2)(1)0x x +-=，20x +=或10x -=，12x =-，21x =，故选：A ．【变式训练3】下列各数是方程23100x x +-=的根的是( )A ．2和5B ．5-和3C ．5和3D ．5-和2【解答】解：方程23100x x +-=，分解因式得：(2)(5)0x x -+=，所以20x -=或50x +=，解得：2x =或5x =-．故选：D ．根与系数的关系【例14】设方程2840x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为( )A ．8B ．8-C ．4D ．2【解答】解：由2840x x -+=可知，其二次项系数1a =，一次项系数8b =-，由根与系数的关系：12881b x x a -+=-=-=．故选：A ．【变式训练1】下列一元二次方程两实数根和等于4-的是( )A ．2340x x +-=B ．2440x x -+=C ．2450x x ++=D ．2440x x ++=【解答】解：A 、两实数根的和等于3-，所以A 选项不符合题意；B 、两实数根的和等于4，所以B 选项不符合题意；C 、△2441540=-´´=-<，方程没有实数根，所以C 选项符合题意；D 、两实数根的和等于4-，所以D 选项不符合题意．故选：D ．【变式训练2】设a ，b 是方程220210x x --=的两个实数根，则a b ab +-的值为( )A ．2022B ．2022-C ．2020D ．2020-【解答】解：根据题意，得1a b +=，2021ab =-，120212022a b ab \+-=+=，故选：A ．【变式训练3】若矩形的长和宽是方程241230x x -+=的两个根，则该矩形的周长和面积分别为( )A ．3和34B ．34和3C ．34和6D ．6和34【解答】解：Q 矩形的长和宽是方程241230x x -+=的两个根，设长为a ，宽为b ，3a b \+=，34ab =，则该矩形的周长为2()6a b +=，面积为34ab =．故选：D ．【例15】已知a 、b 分别是一元二次方程2450x x +-=的两个实数根，则11a b+的值为( )A ．25B ．45C ．1D ．65【解答】解：根据题意，可知4a b +=-，5ab =-，\1145b a a b ab ++==，故选：B ．【变式训练1】关于x 的方程2(1)20x k x k -+++=的两个实数根分别为1x 和2x ，且22126x x +=，则k 的值是( )A ．3-B ．3±C ．2-D ．2±【解答】解：x Q 的方程2(1)20x k x k -+++=的两个实数根分别为1x 和2x ，121x x k \+=+，122x x k ⋅=+，Q 22126x x +=，\221212()2(1)2(2)6x x x x k k +-=+-+=，解得3k =±，根据题意，得△2[(1)]4(2)0k k =-+-+…，当3k =时，△162040=-=-<，不符合题意，当3k =-时，△4480=+=>，符合题意，3k \=-，故选：A ．【变式训练2】已知1x 、2x 是一元二次方程270x x --=的两个实数根，则2211224x x x x ++的值是( )A ．6-B ．2-C ．13-D ．30-【解答】解：根据根与系数的关系得121x x +=，127x x =-，所以2222112212124()212(7)13x x x x x x x x ++=++=+´-=-．故选：C ．【变式训练3】一元二次方程220x x --=的两个实数根为1x ，2x ，则21212x x x x ++的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：Q 一元二次方程220x x --=的两个实数根为1x ，2x ，\2112x x =+，121x x +=，122x x =-，\21212x x x x ++12122x x x x =+++12122x x x x =+++122=-+1=．故选：D ．【例16】关于x 的一元二次方程2(4)20x m x m +++=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是方程的两个实根，且212124x x x x m m ++=-，求m 的值．【解答】（1）证明：Q △2(4)42m m=+-´28168m m m=++-2160m =+>，\方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得12(4)x x m +=-+，122x x m =，212124x x x x m m ++=-Q ，2(4)24m m m m \-++=-，解得1m =或4，即m 的值为1或4【变式训练1】已知关于x 的方程22290x mx m -+-=．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为1x ，2x ，若221236x x +=求m 的值．【解答】（1）证明：Q △22(2)4(9)360m m =---=>，\方程有两个不相等的实数根；（2）解：122x x m +=Q ，2129x x m ⋅=-，\22222121212()2421836x x x x x x m m +=+-=-+=，化简，得2218m =，解得3m =或3m =-．【变式训练2】若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程2240kx x -+=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若113x =，求12(1)(1)x x ++的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的一元二次方程2240kx x -+=有两个实数根，0k \¹，且△2(2)440k =--´…，解得14k …且0k ¹；（2）由根与系数的关系可得122123x x x k +=+=，122143x x x k ==，解得30k =-，225x =-．12115x x \+=-，12215x x =-，12(1)(1)x x \++1212()1x x x x =+++2111515=--+45=．【变式训练3】关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足2212129x x x x +-=，求m 的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=有实数根，\△2224[(21)]41(2)410b ac m m m m =-=---´´-=+…，解得：14m -…．（2）Q 关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=的两个根分别为1x ，2x ，1221x x m \+=-，2122x x m m ⋅=-，2212129x x x x +-=Q ，21212()39x x x x \+-=，即22(21)3(2)9m m m ---=，整理得：2219m m ++=，2(1)9m \+=，解得：14m =-，22m =，14m -Q …．m \的值为21．下列方程中，关于x 的一元二次方程的是( )A ．212x x -=B ．3220x x +=C ．210x x +=D ．210x y -+=【解答】解：A ．212x x -=，故A 符合题意；B ．3220x x +=，不是一元二次方程，故B 不符合题意；C ．210x x+=，不是一元二次方程，故C 不符合题意；D ．210x y -+=，不是一元二次方程，故D 不符合题意；故选：A ．2．下列式子是一元二次方程的是( )A ．223x x --B ．21x y +=C ．5(1)5x x --=D ．210x -=【解答】解：A 、223x x --是代数式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B 、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C 、是一元二次方程，故本选项符合题意；D 、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C ．3．关于x 的方程2(1)320a x x --+=是一元二次方程，则( )A ．0a >B ．0a ¹C ．1a ¹D ．1a =【解答】解：Q 关于x 的方程2(1)320a x x --+=是一元二次方程，10a \-¹，1a ¹，故选：C ．4．关于x 的一元二次方程22410x x --=的二次项系数和一次项系数分别是( )A ．2-，4B ．2-，1-C ．2，4D ．2，4-【解答】解：关于x 的一元二次方程22410x x --=的二次项系数和一次项系数分别2和4-，故选：D ．5．已知m 是一元二次方程2310x x -+=的一个根，则220213m m -+的值为( )A ．2022B ．2021C ．2019D ．2020-【解答】解：把x m =代入方程2310x x -+=得2310m m -+=，所以231m m -=-，所以22202132021(3)2021(1)2022m m m m -+=--=--=．故选：A ．6．一元二次方程20x c +=的一个根为3-，那么c 的值为( )A ．9B ．3C ．3-D ．9-【解答】解：把3x =-代入方程20x c +=得90c +=，解得9c =-．故选：D ．7．方程2(3)4x -=的根为( )A ．125x x ==B ．15x =，21x =C ．121x x ==D ．17x =，21x =-【解答】解：方程2(3)4x -=，开方得：32x -=或32x -=-，解得：15x =，21x =．故选：B ．8．若把方程2640x x --=的左边配成完全平方的形式，则正确的变形是( )A ．2(3)5x -=B ．2(3)13x -=C ．2(3)9x -=D ．2(3)5x +=【解答】解：2640x x --=264x x -=26913x x -+=2(3)13x -=，故选：B ．9．关于x 的方程2(1)230m x x -+-=是一元二次方程，则m 的取值是 1m ¹ ．【解答】解：由题意得：10m -¹，1m \¹，故答案为1m ¹．10．已知||1(1)210m m x x +--+=是关于x 的一元二次方程，则m = 1- ．【解答】解：||1(1)210m m x x +--+=Q 是关于x 的一元二次方程，||12m \+=，10m -¹，解得：1m =-．故答案为：1-．11．如果关于x 的方程27(3)30m m x x ---+=是一元二次方程，那么m 的值为 3- ．【解答】解：由题意得：272m -=，且30m -¹，解得：3m =-，故答案为：3-．12．构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为1-．这个一元二次方程可以是 210x -= （写出一个即可）．【解答】解：由题意可得，方程可以为：(1)(1)0x x +-=，即210x -=．故答案为：210x -=．13．已知关于x 的一元二次方程||111(3)032a a x ax -++-=．（1）求a 的值；（2）解这个一元二次方程．【解答】解：（1）Q 方程||111(3)032a a x ax -++-=是一元二次方程，||12a \-=且30a +¹，解得：3a =；（2）方程为21602x x +-=，212210x x +-=，2242412(1)520b ac -=-´´-=>Q ，x \=，解得：1x =2x =14．已知关于x 的一元二次方程2()2()0a c x bx a c +-+-=，其中a 、b 、c 分别为ABC D 三边的长．（1）如果1x =是方程的根，试判断ABC D 的形状，并说明理由；（2）如果ABC D 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）ABC D 是等腰三角形，理由是：Q 把1x =代入方程2()2()0a c x bx a c +-+-=得：20a c b a c +-+-=，22a b \=，a b \=，ABC \D 的形状是等腰三角形；（2）ABC D Q 是等边三角形，a b c \==，2()2()0a c x bx a c +-+-=Q ，2()20a a x ax a a \+-+-=，即20x x -=，解得：10x =，21x =，即这个一元二次方程的根是10x =，21x =．15．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为2*a b a ab =-．如：22*12212=-´=．根据这个法则，（1）计算：3*2= 3 ；（2）判断(2)*(21)0t t ++=是否为一元二次方程，并求解；（3）判断方程(2)*13x +=的根是否为1x 2x =，并说明理由．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：23*2332963=-´=-=，故答案为：3；（2）已知等式变形得：2(2)(2)(21)0t t t +-++=，整理得220t t +-=，是一元二次方程；解方程得220t t +-=，得(2)(1)0t t +-=，即20t +=或10t -=，解得12t =-，21t =；（3）方程变形得：2(2)(2)3x x +-+=，整理得：244230x x x ++---=，即2310x x +-=，1a =Q ，3b =，1c =-，x \==，解得：1x =，2x =．故方程(2)*13x +=的根不是1x =2x =．。
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一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=x a +=，∴x a =-±。
注意：若b<0，方程无解（2）因式分解法： 一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3） 配方法:用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解（4） 公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点 0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点3. 韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -； 1x •2x ＝ca4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
④“解”就是求出说列方程的解；⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
《一元二次方程》基础题一 选择题（每小题3分，共24分）： 1．方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ）（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±12．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是……………（ ） （A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解3．方程x x -=+65的解是…………………………（ ）（A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝34．若关于x 的方程2x 2－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是…………（ ）（A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）25．如果关于x 的方程x 2－2x －2k＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是…………（ ）（A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）06．以 213+ 和 213- 为根的一个一元二次方程是…………（ ）（A ）02132=+-x x （B ）02132=++x x（C ）0132=+-x x （D ）02132=-+x x7．4x 2－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是………………（ ） （A ）（2x ＋5）（2x －5） （B ）（4x ＋5）（4x －5） （C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x8．已知关于x 的方程x 2－（a 2－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是…………………………………（ ）（A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1答案：１． Ｃ；２．Ｂ；３．Ｃ；４．Ｂ；５．Ｂ；６．Ａ；７．Ｄ；８．Ｂ．二 填空题（每空2分，共12分）： 1．方程x 2－2＝0的解是x ＝ ；2．若分式2652-+-x x x 的值是零，则x ＝ ；3．已知方程 3x 2 － 5x －41＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ ， x 1·x 2＝ ； 4．关于x 方程（k －1）x 2－4x ＋5＝0有两个不相等的实数根，则k ； 5．一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是 ． 答案：１．±2；２．3；３．35，121-；４．k ＜59且k ≠1；５．46．三 解下列方程或方程组（第１、２小题８分，第３小题９分，共25分）： 1．03232=+-x x ； 解：用公式法．因为 1=a ，23-=b ，3=c ， 所以6314)23(422=⨯⨯--=-ac b ， 所以2623126)23(1+=⨯+--=x ，2623126)23(2-=⨯---=x ；2．7510101522=--+--x x x x ； 解：用换元法．设152--=x x y ，原方程可化为710=+yy ， 也就是01072=+-y y ， 解这个方程，有0)2)(5(=--y y ，51=y ，22=y ．由1521--=x x y ＝5得方程052=-x x ， 解得01=x ，52=x ；由1522--=x x y ＝2得方程0322=--x x ， 解得13-=x ，34=x ．经检验，01=x ，52=x ，13-=x ，34=x 都是原方程的解．３．.5201222⎩⎨⎧=+=--+y x xy y x 解：由52=+y x 得y x 25-=，代入方程 01222=--+xy y x ，得 01)25(2)25(22=---+-y y y y ，081032=+-y y ， 0)2)(43(=--y y ，341=y ，22=y ．把 341=y 代入y x 25-=，得371=x ；把 22=y 代入y x 25-=，得12=x ．所以方程组的解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==343711y x ，⎩⎨⎧==2122y x ．四 列方程解应题（本题每小题8分，共16分）：１．某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？略解：设甲、乙两管单独开放注满油罐时各需x 小时和y 小时，依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=-19334y x x y ， 解得 ⎩⎨⎧==1612y x所以，甲管单独开放注满油罐需12小时，乙管单独开放注满油罐需16小时．２．甲、乙二人分别从相距20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B 地后乙还需30分钟才能到达A 地，求乙每小时走多少千米．略解：用图形分析：A 地 相遇地B 地依题意，相遇地为中点，设乙的速度为v 千米／时，根据“甲、乙走10千米所用时间的差为半小时”列式，有1102110+=-v v ，解得 v ＝4（千米∕时）．五 （本题11分）已知关于x 的方程（m ＋2）x 2－035=-+m mx . （1）求证方程有实数根；（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m 的值．略解：（1）当m ＝－2时，是一元一次方程，有一个实根；当m ≠ －2时，⊿＝（m ＋2）2＋20＞0，方程有两个不等实根； 综合上述，m 为任意实数时，方程均有实数根；（2）设两根为p ，q .依题意，有p 2＋q 2＝3，也就是（p ＋q ）2－2pq ＝3，有因为p ＋q ＝m 5，pq ＝3-m ， 所以3232)25(2=+-⨯-+m m m m ， 22)2(3)2)(3(25+=+--m m m m ，1212122+=+m m ， 010=m ，0=m ．六 （本题12分）已知关于x 的方程式x 2＝（2m ＋2）x －（m 2＋4m －3）中的m 为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m 的值，并解方程．提示：由m ≥0和⊿＞0，解出m 的整数值是0或1，当m ＝0时，求出方程的两根，x 1＝3，x 2＝－1，符合题意；当m ＝1时，方程的两根积x 1x 2＝m 2＋4m －3＝2＞0，两根同号，不符合题意， 所以，舍去；所以m ＝0时，解为x 1＝3，x 2＝－1．。