初二数学——乘法公式
初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结复习和常考题型练习
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()nm mn aa = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1.(2015·襄阳中考)下列运算正确的是( ) =3 ·a2=a3C.(-a3)2=a5÷a2=a32.(2015·烟台中考)下列运算中正确的是( ) +2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+43.(2015·遵义中考)计算(−12ab2)3的结果是( )3 23218184.(2015·沈阳中考)下面的计算一定正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2·3y5=15y8÷b3=b35.(2015·凉山州中考)下列各式正确的是( )=(−a)2=(−a)3=|−a2|=|a3|6.(2015·长春中考)计算：7a2·5a3= .7.(2015·广州中考)分解因式：x2+xy= .8.(2015·东营中考)分解因式2a2-8b2= .9.(2015·无锡中考)分解因式：2x2-4x= .10.(2015·连云港中考)分解因式：4-x2= .11.(2015·盐城中考)分解因式a2-9= .12.(2015·长沙中考)x2+2x+1= .13.(2015·临沂中考)分解因式4x-x3= .14.(2015·安徽中考)分解因式：x2y-y= .15.(2015·潍坊中考)分解因式：(a+2)(a-2)+3a= .16.(2015·遂宁中考)为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照下面的规律，摆第(n)个图案，需用火柴棒的根数为.17.(2015·潍坊中考)当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示，n是正整数)18.(2015·牡丹江中考)一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元.19.(2015·株洲中考)先化简，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3)，其中x=3.1．(2015·徐州)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．下列计算错误的是( )A．(5－2)0＝1 B．28x4y2÷7x3＝4xy2C．(4xy2－6x2y＋2xy)÷2xy＝2y－3x D．(a－5)(a＋3)＝a2－2a－153．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( )A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2C．x2－2x＋4＝(x－2)2D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)4．将(2x)n－81分解因式后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n等于( ) A．2 B．4 C．6 D．85．若m＝2100，n＝375，则m，n的大小关系是( )A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法确定6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )A．3 B．4 C．5 D．67．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝( )A．a2＋b2－9 B．a2－b2－6b－9C．a2－b2＋6b－9 D．a2＋b2－2ab＋6a＋6b＋98．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 29．若x 2＋mx －15＝(x －3)(x ＋n)，则m ，n 的值分别是( ) A ．4，3 B ．3，4 C ．5，2 D ．2，510．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5 …请你猜想(a ＋b)10的展开式第三项的系数是( ) A ．36 B ．45 C ．55 D ．6611．计算：(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝ ．12．(2015·孝感)分解因式：(a －b)2－4b 2＝ ．13．若(2x ＋1)0＝(3x －6)0，则x 的取值范围是 ．14．已知a m ＝3，a n ＝2，则a 2m －3n ＝ ．15．若一个正方形的面积为a 2＋a ＋14，则此正方形的周长为 ．16．已知实数a ，b 满足a 2－b 2＝10，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是 ．17．已知△ABC 的三边长为整数a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2－6a －4b ＋13＝0，则c为．18．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为．19．计算：(1)(2015·重庆)y(2x－y)＋(x＋y)2; (2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．20．用乘方公式计算：(1)982; (2)899×901＋1.21．分解因式：(1)18a3－2a；(2)ab(ab－6)＋9；(3)m2－n2＋2m－2n.22．先化简，再求值：(1)(2015·随州)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.23．如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．24．学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．25．阅读材料并回答问题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示．(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a ＋b)(a ＋3b)＝a 2＋4ab ＋3b 2；(3)请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．26. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ．。
整式的乘法与因式分解精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版整式的乘法与因式分解一：[整式的乘法与因式分解]初二数学知识点之整式乘除与因式分解讲解及汇总1.单项式的乘法法那么：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二数学知识点解析：二次函数的应用，希望对大家的学习有一定帮助。
2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图)，那么此抛物线的解析式为().3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长到达了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是()4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y.那么当y最大时，x所取的值是()A.0.5B.0.4C.0.3D.0.6【考点归纳】1.二次函数的解析式：(1)一般式：();(2)顶点式：();(3)交点式：().2.顶点式的几种特殊形式.线()对称，顶点坐标为(，).⑴当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是();⑵当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是().【典型例题】一、例1橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如下图).假设OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.(1)求这条抛物线的解析式;(2)假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外6.以下函数关系中，是二次函数的是( )A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系小编为大家整理的初二数学知识点解析：二次函数的应用相关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝大家学习愉快!二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底〞;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-〞号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。
人教版八年级数学上册《乘法公式》
二、探求新知
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
整式的乘除与因式分解
乘法公式
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式 相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x－1)； (3) (3－x)(3+x) ；
大家谈收获
(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积等于 这两个数的平方差。
平方差公式中字母 a、b可代表一个数、一 个单项式或多项式。
拓展探究
再谢 谢见!！
人教版 ·数学 ·八年级(上)
乘法公式
—完全平方公式
一、情景引入
请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每 当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他 们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个 孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这 些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起 去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这 些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果 总数哪个多？多多少？为什么？
人教版八上数学整式的乘法及因式分解单元培优
第1讲 整式的乘法知识点梳理：复习回顾：整式的加减：同类项，合并同类项 新课要点：（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=⋅(m 、n 都是正整数) 注意公式逆用。
（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘。
mnnm a a =)(（m 、n 都是正整数) 注意公式逆用。
（3）积的乘方：nnnb a ab =)(（n 是正整数） 注意公式逆用。
（4）整式的乘法：①单项式和单项式相乘：把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
例如：)3(2322bc a ab -⋅=3336c b a -②单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即mb ma b a m +=+)(③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积再相加。
即nb na mb ma b a n m +++=++))((经典例题例1．（1）-x 3·x 5 （2）x m ·x 3m+1 （3）2×24×23（4）31++••m m ma a a （5）n m m m m a a a a 321⋅⋅例2．计算： ①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅例3.计算：⑴()33x - ⑵()25ab - ⑶()22xy ⑷()4322xy z-（5）()()4234242a a a a a ⋅⋅++- （6）()()()2323337235xx xx x ⋅-+⋅例4.计算：⑴()()2353a b a -⋅- ⑵()()3225x x y ⋅-（3）()()152n a b a +-- （4）()()()232236ab a cab c --⋅（5）()()24231x x x -⋅+- （6）221232ab ab ab ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭（7）()22221252a ab b a a b ab ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭（8）()()32x y x y +-（9）()()22m n m n +- （10）2)2(b a +例5．若20x y +=，则代数式3342()x xy x y y +++的值为 。
《乘法公式》教学反思
《乘法公式》教学反思《乘法公式》教学反思1乘法公式是《整式的乘除》一章的重要内容，也是今后学习数学的重要工具，要学好这部分，除了要注意：1、掌握公式的几何意义比如完全平方公式。
2、注意掌握公式的结构特点，掌握公式的结构特点是正确使用公式的前提。
如平方差公式的结构特点是：公式的左边是这两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，公式的右边是这两项的平方差，且是左边的相同的一项的平方减去互为相反数的一项的平方。
掌握了这些特点，就能在各种情况下正确运用平方差公式进行计算了。
3、注意公式中字母的广泛意义，乘法公式中的字母既可以代表任意的数，又可以代表代数式，只有注意到字母所表示的意义的广泛性，就能扩大乘法公式的应用范围。
对课本中的教材必须要看的更深也更广，所以我就在学生对乘法公式的基础知识掌握的还不错的基础上专门提出了今天的内容，可以说是带点专题性质也可以说是课本知识的一种延续，让学生还要注意乘法公式的逆用，不仅要掌握乘法公式的正向应用，还要注意掌握公式的逆向应用，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用就是配方，配方是一种很重要的数学思想方法，它的应用非常广泛。
还要注意乘法公式的变形，要善于对公式变形的应用，在解题中充分体现应用公式的思维灵活性和广泛性。
同学们在运用公式时，不应拘泥于公式的形式而要深刻理解、灵活运用。
在课堂的反映中，我深刻的感到这个这样的教学内容虽然脱离了课本，但是又和课本内容紧密联系非常受学生欢迎，主要表现在学生的注意力相当集中，尽管没有让更多的同学表达他们的思路，但是让同学们的思维都动了起来，当有些同学有了自己的思路之后，都能大胆地发表自己的见解，或者在老师的启示下能够产生新的解题方法，但是我也发现对部分领悟能力较弱的孩子有一定的困难，需要老师把解题过程能够全部的展现出来。
《乘法公式》教学反思2数学课程标准中关于公式的教学目标是：会推导公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能简单计算。
2022秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式2两数和(差)的平方课件新版华东师大版
19．【2021·广水期末】[知识生成] 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一
个恒等式． 例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用
A．2 cm2 B．2a cm2 C．4a cm2 D．(a2－1)cm2
【点拨】本题利用了面积法，长方形的面积等于大正 方形的面积减去小正方形的面积，即(a＋1)2－(a－1)2 ＝4a(cm2)．
【答案】C
16．【中考·邵阳】先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－ 2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝ 1 . 2
(4)根据(3)中的等量关系解决如下问题：若x＋y＝6，xy＝ 11， 2
则(x－y)2＝_1_4______；
[知识迁移] 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以 得到一个恒等式． (5)根据图③，写出一个代数恒等式： __(_a_＋__b_)_3＝__a_3_＋__3_a_2_b_＋__3_a_b_2＋__b_3___； (6)已知a＋b＝3，ab＝1，利用上面的恒等式求的值． 解：∵a＋b＝3，ab＝1， ∴a3＋2 b3＝（a＋b）3－23ab（a＋b）＝27－ 2 9＝9.
D．－12
8．【中考·白银】若x2＋4x－4＝0，则3(x－2)2－6(x＋
1)(x－1)的值为( B )
A．－6
B．6
C．18
D．30
【点拨】3(x－2)2－6(x＋1)(x－1)＝－3(x2＋4x)＋18，
由x2＋4x－4＝0得x2＋4x＝4，所以原式＝－3×4＋18
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式(教案)示例
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。
(完整版)初二数学—整式的乘法知识点归纳及练习
解析《整式乘法》知识点五、同底数幂的乘法a 相乘，记作 a n ，读作 a 的 n 次方（幂），其中 a 为底数， n 为指数， a n 的结果叫做幂。
1、n 个同样因式（或因数） 2、底数同样的幂叫做同底数幂。
a m ﹒a n =a m+n 。
3、同底数幂乘法的运算法规：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：4、此法规也能够逆用，即： m+nmna = a ﹒ a 。
5、开始底数不同样的幂的乘法，若是能够化成底数同样的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法规。
八、同底数幂的除法a m ÷ a n =a m-n （ a ≠0）。
1、同底数幂的除法法规：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：2、此法规也能够逆用，即： m-nmna = a÷ a （ a ≠ 0）。
十、负指数幂1、任何不等于零的数的― p 次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数。
注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为 0。
十一、整式的乘法（一）单项式与单项式相乘1、单项式乘法法规：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同样字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、同样字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法规对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘1、单项式与多项式乘法法规：单项式与多项式相乘，就是依照分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
即： m(a+b+c)=ma+mb+mc 。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数同样。
4、混杂运算中，注意运算序次，结果有同类项时要合并同类项，从而获取最简结果。
（三）多项式与多项式相乘1、多项式与多项式乘法法规：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
人教版八年级上册数学乘法公式含答案
14.2乘法公式专题一乘法公式1．下列各式中运算错误的是（）A．a2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4abC．(a+b)(－a+b)=－a2+b2D．(a+b)(－a－b)=－a2－b2 2．代数式(x+1)(x－1)(x2+1)的计算结果正确的是（）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4D．(x+1)43．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)（其中x=2，y=3）．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）A．（a+b）（a－b）=a2－b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．（a+b）2=a2+ab+b25．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）A．a2－b2=（a+b）（a－b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．a（a+b）=a2+ab6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？状元笔记【知识要点】1．平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．2．完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．【温馨提示】1．不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同．2．完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点．【方法技巧】1．公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式．只要符合公式的结构特征，就可以利用公式．2．有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解．如：位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等．参考答案:1．D 解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b2，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)2=a2－2ab+b2，(a+b)2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b2－a2=－a2+b2，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)2=－a2－2ab－b2，故D错误．2．A 解析：原式=(x2－1)(x2+1)=(x2)2－1=x4－1．3．解：原式=4x2－y2+x2+2xy+y2－4x2+2xy=x2+4xy，当x=2，y=3时，原式=22+4×2×3=4+24=28．4．B 解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各部分的面积的和为a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2．故选B．5．C 解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）2和b2，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）2，∴（a－b）2=a2－2ab+b2，故选C．6．解：（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．别浪费一分一秒——如何利用零散时间学人们常说,时间是公平的,每个人的一天只有24个小时,所以应该珍惜时间去充实自己。
新初2数学暑期辅导1 乘法公式
初二数学暑期辅导(1) 乘法公式【知识要点】1．初中阶段常用的乘法公式有：（1）平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；（2）完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；（3）立方和公式：(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3； 立方差公式：(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3；（4）和的立方公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3；差的立方公式：(a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3．2．乘法公式的变形：（1）(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ；（2）a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝21[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]； （3）(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca )＝a 3＋b 3＋c 3－3abc ．根据题目特点，运用乘法公式及其变形进行计算，可以使计算变得简单而准确．合理使用运算律，也可以使计算变得简单、有效。
【例题选讲】例1、计算：20052．例2、计算：(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(32004＋1)．例3、已知x ＋y ＝5，xy ＝－14，求(x －y )2及x 3＋y 3的值．例4、已知x－y＝1，x3－y3＝4，求x13－y13的值．例5、设a、b、c都是有理数，且a＋b＋c＝a3＋b3＋c3＝0，求证：a2003＋b2003＋c2003＝0．例6、求证：(x2－xy＋y2)3＋(x2＋xy＋y2)3能被2x2＋2y2整除．【习题A】1．若a＝(x＋1)2(x－1)2，b＝(x2＋x＋1)(x2－x＋1)，且x≠0，则（）（A）a＞b（B）a＝b（C）a＜b（D）a、b的大小不确定2．若x－y＝2，x2＋y2＝4，则x1992＋y1992的值是（）（A）4 （B）19922（C）21992（D）419923．计算(21＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)(264＋1)的结果是（）（A）232－1 （B）264－1 （C）2128－1 （D）2644．若正数a、b、c满足关系式a3＋b3＋c3－3abc＝0，则（）（A）a＝b＝c（B）a＝b≠c（C）b＝c≠a（D）a、b、c两两不等5．若a＋b＝4，a3＋b3＝28，则a2＋b2的值是（）（A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）146．已知a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a (b ＋c )＋b (c ＋a )＋c (a ＋b )＝ ．7．若a ＝1990，b ＝1991，c ＝1992，则a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝ ．8．已知a －2b ＝7，ab ＝3，则(a ＋2b )2＝ ．9．已知x ＋y ＝1，则x 3＋y 3＋3xy ＝ ．10．代数式A ＝3x 2－x ，B ＝2x 2－7x －10，则A 与B 的大小关系是 ．【习题B 】1．计算：（1）20042； （2）1982．2．计算：(a ＋b )(a －b )(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)…(n n b a 22 )．3．已知x －y ＝xy ＝3，求(x ＋y )2及x 3－y 3的值．4．若x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝2，求x 5＋y 5的值．5．设a 、b 、c 、d 满足a ≤b ，c ≤d ，a ＋b ＝c ＋d ≠0，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证：a ＝c ，b ＝d ．6、已知25200080,x y ==则11x y +的值是多少？7、已知554433222,3,5,6a b c d ====，比较a 、b 、c 、d 的大小.8、若11222,22n n n n x y +--=+=+，用等式表示x 和y 的关系。
初二数学 代数式乘法公式整式的运算
暑假数学思维训练初二数学 第二讲 代数式 乘法公式 整式的运算【主要知识点及考试要求】1． 代数式:①理解用字母表示数的意义-b;②会用代数式表示简单问题的数量关系-c;③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义-b ； ④会求代数式的值-c ；⑤会根据具体问题选择或确定数学公式并带入数值进行计算-b2． 整式：①了解整数指数幂的意义和基本性质-a ；②会用科学记数法表示数-b ；③了解整式的概念-a3． 整式的运算：①会进行简单的整式加减运算-c ；②会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）-c4． 乘法公式：①了解平方差公式的几何背景-a ；②会推导平方差公式-c ；③能用平方差公式进行计算-c ；④了解完全平方公式的几何背景-a ；⑤会推导完全平方公式-c ；⑥能用完全平方公式进行计算-c【易混淆的知识点】1.要弄清一些概念的区别,如一次式与单项式,一次式与多项式的区别与联系.2.要注意200=,而20-无意义;()12200=-=,()010≠=a a . 3.平方差公式与差的完全平方公式不能混淆.4.科学记数法的表示方法:n a 10⨯（1≤a ＜10,n 为整数）【例】1．987232-+y x y x 是___________次___________项式。
2．用代数式表示长为a 米，宽为b 米的长方形的周长是（ ）A ．（a +b ）米B ．（2a +b ）米C ．（a +2b ）米D ．（2a +2b ）米3．计算：()n n n x x x 24÷=___________ 4．甲乙两地相距S 千米，汽车从甲地到乙地按每小时v 千米的速度行驶，可按时到达；若每小时多行驶a 千米，则汽车可提前到达（ ）小时A ．a SB ．a v S +C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+v S a v SD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a v S v S 5．已知矩形绿地的长为⎪⎭⎫⎝⎛-b a 2132，宽为⎪⎭⎫ ⎝⎛++22413194b ab a ，这块绿地的面积是___________6．先化简，再求值：()()()3222a a b b b ab a b a -++++-，其中a =41- ，b =2 7．要使多项式()()q x px x -++22不含关于x 的二次项，则p 与q 的关系是（ ） A ．相等 B ．互为相反数 C ．互为倒数 D ．乘积为－18．已知代数式533++x x 的值等于7，则代数式2933-+x x 的值等于（ ）A ．0B ．2C ．4D ．69．若32+m n y x 与213+--n m y x 是同类项，则他们都是（ ）A ．4次单项式B ．5次单项式C ．6次单项式D ．7次单项10．若A=2532+-m m ，B=2432+-m m ，则A 与B 之间的大小关系是（ ）A ． A ＞B B ． A ＜BC ． A=BD ．不能唯一确定11．甲种茶叶每千克m 元，乙种茶叶每千克n 元，现取甲种茶叶a 千克，乙种茶叶b 千克，混合后的茶叶每千克___________元12．不论x ，y 取什么实数值，代数式74222+-++y x y x 的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数13．计算：（1）2997 （2）（2+4+6+...+160）－（1+3+5+ (159)14．已知a =10000，b =9999，求766222++--+b a ab b a 的值15．已知a －b =32+， b －c =32-，求ac bc ab c b a ---++222的值 16．已知b ax x x ++-236（a ，b 都是常数）能被342+-x x 整除，求a ，b 的值。
八年级数学乘法公式3
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc+ bd
ac
bc
ac
ad
bc bd
ad
bd
和的(完全)平方公式：
a b 若將二項式成績公式中的 c用a代換，d用b代換 我們可以得到以下的結果 d + bc a+ d b)= a c a + ab a + bd b (a+b)( c 2 2 = a + ab + ba + b a2 ab a
2
平方差公式：
同樣的，我們也用代數的方式來證明一次
(a+b)(a-b) = a - ab + ba - b = a -b
現在我們四種 乘法公式都學 過啦， 一起複習一下 吧！
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二項式乘積公式：
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 和的完全平方公式：
（a+b) = a + 2ab +b 差的完全平方公式： 2 2 2 （a-b) = a - 2ab +b 平方差公式：
乘法公式
二項式乘積公式：
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 和的完全平方公式：
（a+b) = a + 2ab +b 差的完全平方公式： 2 2 2 （a-b) = a - 2ab +b 平方差公式：
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(a+b)(a-b) = a - b
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二項式乘積公式：
（a+b)(c+d）= ac + ad + bc + bd a b 我們可以用兩種方式來 這個公式是怎麼來的呢？ 表示大長方形的面積： 讓我們用以下的圖形來說明：
数学公式大全
知识储备基本知识一、乘法公式与二项式定理(1)(a b)2二a22ab b2;( a -b)2二a2 -2ab b2(2)(a b)3二a33a2b 3ab2b3;( a - b)3二a3 -3a2b 3ab2 -b3(3)(a b)^C0a n - C；a n-b C^a n~b2 C：a nJs b k - C；J ab nJ- C；；b n(4) a b c (a2b2 c2-ab -ac-be) = a3 b3 c3-3abc ；2 2 2 2(5) a b -c a b c 2ab-2ac-2bc经典习题：1.二、因式分解2 2(1) a -b =(a b)(a-b)(2)a3b3 = a b a2_ab b2;a3_b3 = a _b a2ab b2；(3)a n-b^ a -b a nJ - a n^b ... b n」三、分式裂项(1)1x(x -1)(2)1(x a)(x b)(1)_na 二丄-n(a = 0)a(4)m n a a二am -n(7)(b)n nn(a =0)a a(2) a = 1(a =1)/ 、m ・n m-n(5) a " a an n nm ________(3) a n = (a 色0)(1)a=N(2) (4)l og a=1(5)MM (7)l og N N"og a」og a(8)二nlog：=0log：(3)(6)log aJ lognMNlog a =log M log(9) Iga 二log；0,ln a 二log；四、指数运算五、对数运算“ m、n mn(6) (a ) ^ab nblOg a1log alog a六、函数1、若集合A 中有n （n 三N ）个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为 2n ,所有非空真子集的个数是2n _2。
2b次函数y=ax 2 ・bx ・c 的图象的对称轴方程是x，顶点坐标是2a式，即 f （x ） = ax 2 bx c （一般式），f （x ） = a （x - 捲）〈x - x 2）（零点式）和2f （x ）二a （x 「m ） n （顶点式）m2、幕函数y =x n ，当n 为正奇数，m 为正偶数，m<n 时，其大致图象是2a4ac -b 2 4a。
八年级数学上册听课记录：第十四章乘法公式《因式分解：公式法》
新2024秋季八年级人教版数学上册第十四章乘法公式《因式分解：公式法》听课记录一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法，能够准确地将符合公式的多项式进行因式分解。
2.过程与方法：通过例题讲解和练习，培养学生的观察、分析和解决问题的能力，以及代数运算的熟练度。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养严谨的数学思维和良好的学习习惯。
二、导入教师行为：•教师首先回顾上一节课学习的乘法公式（平方差公式和完全平方公式），通过几个简单的例子，让学生快速回忆并理解这些公式。
•接着，教师提出一个问题：“如果我们有一个多项式，它恰好是某个乘法公式的展开形式，那么我们能否利用这个公式将它‘还原’成两个整式的乘积呢？”以此引出本节课的主题——因式分解的公式法。
学生活动：•学生认真聆听教师的回顾，并尝试在脑海中回忆乘法公式的形式。
•面对教师的问题，学生表现出好奇和兴趣，积极思考并尝试给出答案。
过程点评：•导入环节通过回顾旧知，自然引出新知，既巩固了学生的基础，又激发了他们的求知欲。
•教师的问题设计巧妙，能够迅速吸引学生的注意力，为后续的学习做好铺垫。
三、教学过程3.1 公式法讲解教师行为：•教师首先明确因式分解的定义和目的，然后详细讲解如何利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
通过具体的例子，展示每一步的解题步骤和注意事项。
•在讲解过程中，教师注重引导学生观察多项式的特点，判断其是否符合某个乘法公式的形式，并鼓励学生尝试自己进行因式分解。
学生活动：•学生认真听讲，跟随教师的思路理解因式分解的公式法。
•在教师的引导下，学生积极观察、分析和思考，尝试自己进行因式分解，并与教师和同学交流讨论。
过程点评：•教师讲解清晰、有条理，能够帮助学生快速掌握因式分解的公式法。
•通过具体的例子和逐步的引导，学生能够更好地理解和掌握解题步骤和注意事项。
3.2 练习与巩固教师行为：•教师分发练习题，要求学生独立完成。
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乘法公式
填空：
1、平方差公式：两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 。
字母表达式： 。
公式中的字母可以是 ，也可以是 。
2、完全平方和公式：两数 的平方等于它们的平方和，加上它们的乘积2倍。
字母表达式： 。
这个公式也叫做两数 的完全平方公式。
3、完全平方差公式：两数 的平方等于它们的平方和，减去它们的乘积2倍。
字母表达式： 。
这个公式也叫做两数 的完全平方公式。
4、完全平方公式的口诀：首 ，尾 ，积的2倍在中央。
公式中的字母可以是 ，也可以是 。
5、添括号法则：如果括号前面是正数，括到括号里的各项都 ；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 。
可以简记为：要变都变，要不变都 。
以下变形公式需要熟记：①ab b a b a 2)(222-+=+ ②ab b a b a 2)(222+-=+ ③2)()(2
22
2b a b a b a -++=+ ④22)(41)(41b a b a ab --+= ⑤ab x b a x b x a x +++=++)())((2 一、填空
1、(m －2)（m+2）= ，（2x+3y ）（－3y+2x ）= ，
（x －2y ）（2y －x ）=
2、（x+y ）（x －y ）（ ）=x 4－2x 2y 2+y 4，
（x 2+2x －1）（－2x+1+x 2）= ，
3、4m 2+ +9=（ 2m+ ）2 ，9x 2－ +81=（3x － ）2 －16x 2＋ －9y 2=－（4x+ ）2，3x 2+ +12y 2=3（ ）2
( )－24a 2c 2+( )＝( －4c 2)2，（ +5n ）2=9m 2+ + ，
二、解答题：
6、利用平方差公式计算：①)32)(32(-+a a ②)2)(2(y x y x --- ③))((22yz x yz x -+
④5.995.100⨯ ⑤)5)(2()3)(3(-+--+a a a a
7、利用完全平方公式计算：
①2)3(b a + ②2)23(a +- ③2)2(y x -
④ 2)32(y x -- ⑤22002 ⑥21999
8、用适当的方法计算
（1）（－a －2b ）2 （2）（－a+3b ）（a －3b ）
（3））(3x m +2y n +4)(3x m +2y n －4) （4）（m+n ）（m －n ）（m 2－n 2）
（5））(x 2+x+6)(x 2-x+6) （6） (9-a 2)2-(3-a)(3-a)(9+a)2
（7）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)
（8）（3x+2）2－（3x －2）2+（3x+2）2（3x －2）2
9、按要求把多项式2332325b ab ab b a -+-添上括号：
①把前两项括到前面带有“＋”号的括号里，后两项括到前面带有“－”号的括号里；
②把后三项括到前面带有“－”号的括号里；
③把四次项括到前面带有“＋”号的括号里，把二次项括到前面带有“－”号的括号里；
10、计算：)42
1)(214(22x x +- 11、计算：))()()((4422b a b a b a b a +++-
12、计算：22)43
()32(a b b a --+ 13、计算：）c b a c b a --++)((
14、计算：1)12)(12)(12)(12(842+++++
15、的值？
，求，已知223134y xy x xy y x +--==+
16、的值？
，求），（已知2222364)(b ab a b a b a +-=-=+
17、计算：22)2()2)(32(2)3b a 2b a b a b a ++++-+（
18、0222=---++bc ac ab c b a c b a ABC 满足、、的三边长已知△，试判断ABC △的形状？
19、①92++bx x 已知是用完全平方计算的结果，求b 的值？
②36442++mx x 已知是完全平方式，求m 的值？
20、的值？，求若6242322-++=+n mn m n m
21、的值？，求已知2222)()(4y x y x y x +-=-
22、计算：1
2012201020112+⨯
23、的值？，求代数式，2))((13y y x y x y x +-+==
24、简算：①2299101+ ②7655.0469.2)7655.0(2345.122⨯++
③)12()12)(12)(12)(12(32842+++++
25、解方程：5)13)(13()59(=-+--x x x x
26、⑴3)(10)(22=-=+b a b a ，已知。
①a 、b 两数的平方和。
②a 、b 两数的积。
⑵的值？和，求已知222)1
(131
x x x x x x -+=+
27、的形状？，试判断△，满足、、三边长为△ABC a a bc c b c b a ABC 521282+-==+
28.证明：不论x 、y 为何值，x 2+y 2－2x ＋4y ＋5总为非负数。