江海名师零距离二轮数学(大题提高版)

专题一 解决集合与常用逻辑用语问题

【典题导引】

例1. 设函数2

lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数2

,(0,)1

y x m x =

∈+的值域为B . （1）当2m =时，求A B I ；

（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.

例2. 设函数()ln f x ax x =，且曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为20x y b --=(其

中e 是自然对数的底数)． （1）求实数a 、b 的值； （2）设集合32

1393

{|,[3,)}x x x A y y b

x --+==∈-+∞，{}()0B x f x m =-≥．

①求集合A ；

②若A B ⊆，求实数m 的取值范围．

例3．已知1a ≥，函数9

()441

f x x x =+

++（[]0,1x ∈）

，32()3216g x x a x a =--+（[]0,1x ∈）． （1）求()f x 和()g x 的值域；

（2）若[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得21()()g x f x =成立，试求a 的取值范围．

变题：是否存在实数a ，使得[]12,0,1x x ∃∈，21()()g x f x =成立？

例4. 设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，数列{}

2n a 的前n 项和为n T ，且

2

4(2)3

n n S T --=

． （1）求证：数列{}n a 为等比数列；

（2）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是

“1x =，且2y =”．

专题二 解决函数的图象与性质问题

【典题导引】

例1. 已知函数()f x 为R 上的偶函数．

（1）若0x ≥时，2()1()f x x ax a R =-+∈． ①求0x <时，()f x 的解析式；

②若函数()f x 有4个零点，求实数a 的取值范围；

（2）设m R ∈，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，试比较(1)f m -与(3)f m -的大小．

例2. 已知二次函数2()1f x ax bx =++和函数21

()2bx g x a x b

-=+．

（1）若()f x 为偶函数，试判断()g x 的奇偶性；

（2）若方程()g x x =有两个不等的实根，求证：函数()f x 在(1,1)-上是单调函数．

例3.（2015⋅上海）已知函数21

()f x ax x

=+

，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）若(1,3)a ∈，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.

例4. 设0a >，函数()a

f x x x

=+，当[]13x ,∈时，()f x 的值域为A ，且[,]()A n m n m ⊆<.

（1）①若1a =,求m n -的最小值；

②若16m =，8n =，求a 的值；

（2）若1m n -≤，且[,]A n m =，求a 的取值范围.

专题三 解决基本初等函数问题

【典题导引】

例1.已知函数()2log (1)a f x x x =-+ (0a >且1a ≠)．

（1）当a 变化时，函数()y f x =的图象恒过定点，试求定点的坐标； （2）若()f x 在区间[]0,2上的最大值为2，求a 的值．

例2. 设m R ∈，函数12()423x x f x m m +=-⋅+-，x R ∈． （1）当[0,2]x ∈时，求函数()y f x =的最大值；

（2）若x R ∃∈，使得()()0f x f x -+=，求实数m 的取值范围．

例3. 设函数2()2(,)f x x x a x R a R =+-∈∈.

（1）若()f x 为偶函数，求实数a 的值； （2）设2a >，求函数()f x 的最小值.

变式：求函数2()2([0,1],)f x x x a x a R =+-∈∈的最小值．

例4. 已知函数()log a f x b x =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(8,2)和(1,1)-．

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）求函数()3(2)()g x f x f x =+-的最小值；

（3）若对任意[1,2]x ∈，不等式(2)2(2)f x f x m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．

专题四 解决利用导数研究函数问题（1）

【典题导引】

例1．设函数()ln f x x ax =-，其中a 为实数．

（1）若a =1，求证：()1f x -≤恒成立； （2）若曲线(),(1 )y f x x =∈+∞，上任意两点的连线的斜率都小于4，求实数a 的最小

值．

例2. 设函数2

()ln 2x f x a x =-，()(1)g x a x =-．

（1）当1

,12

a x =>时，求证：()()f x g x >；

（2）若[1,]x e ∃∈，使得不等式()()f x g x a +≤成立，求实数a 的取值范围．

例3．(2013⋅山东)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈．

（1）设0a ≥，求()f x 的单调区间；

（2）设0a >，且对任意0x >，()(1)f x f ≥．试比较ln a 与2b -的大小．

例4. 已知()ln 1x f x e x =--其中e 是自然对数的底数． （1）求证：函数()f x 存在极小值；

（2）若1

[,)2x ∃∈+∞，使得不等式ln 0x e m x x x --≤成立，求实数m 的取值范围．