江海名师零距离二轮数学(大题提高版)

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江苏省南通市海门市2024-2025学年高三上学期第二次调研数学测试卷

江苏省南通市海门市2024-2025学年高三上学期第二次调研数学测试卷一、单选题1．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是A ．4B ．3C ．2D ．12．已知函数()ln 1f x x =-，则()1f x +（）A ．是奇函数且在(0,)+∞上递减B ．是奇函数且在(0,)+∞上递增C ．是偶函数且在(0,)+∞上递减D ．是偶函数且在(0,)+∞上递增3．若α，β是两个不同的平面，直线m α⊥，则“m β∥”是“αβ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．过()1,1P 的直线交圆O ：229x y +=于.M ，N 两点，若2OP OM ON =+，则MN =（）AB C ．D5．若ππsin 1cos 44αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α=（）A ．12-B ．12C D ．2-6．若正数a ，b ，c 满足e 2e 3e a b c a b c +=+=+（e 为自然对数底数），则（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．c a b>>7．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左、右焦点为1F 、2F ，若2AF 上任一点P到直线1AF 的距离与到x 轴的距离之和为b ，则（）A ．2a b=B2b=C ．a =D ．23a b=8．若函数()f x 满足()()()24f x f x x ++=∈R ，且()f x 的图象关于点()0,2对称，则（）A ．()12f -=-B ．()20f =C ．()16f =D ．()62f =二、多选题9．已知复数1z ，2z ，则下列说法正确的是（）A ．若11z =，则1iz =B ．若10z =，则10z =C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12=z z D ．1z ∀，2C z ∈，1212z z z z =10．若把曲线cos y x =上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线()y f x =，则（）A ．2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 图象关于π12x =-对称D ．()y f x =与π26y x =+有2个交点11．在平面直角坐标系xOy 中，到定点()1,0F c -，()()2,00F c c >距离之积等于2c 的动点的轨迹称为伯努利双纽线，1F ，2F 为该曲线的两个焦点.已知曲线C ：()()222228x y x y +=-是一条伯努利双纽线，点(),p p P x y 是曲线C 上一点，则（）A ．2c =B(){},p p p y x y C∈∣C ．当1260F PF ∠=︒时，12||||PF PF +=D ．C 上存在两个点A ，B ，使得OA OB⊥三、填空题12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21343S S S =+，则21a a =.13．已知向量()2,2a = ，向量b 在a上的投影向量的坐标为()1,()t t ∈R ，则a b ⋅=.14．如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD ⊥，E 是AD 中点，且AB BC AE a ===，设AC BE O =I ，将ABE 沿BE 折起向C 点旋转（旋转过程中A 点记为1A ，且1A 与C 不重合），则CD 与平面1AOC 所成角的大小为，点C 到平面1A OD 的距离的最大值是.四、解答题15．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2cos cos sin 2cos C B CA A+=-.(1)求A ；(2)若2b =，sin sin a A b C =，求ABC V 的周长.16．如图，在三棱锥A BCD -中，BCD △为正三角形，E 是CD 的中点，ABC ABD ∠=∠.(1)求证：CD AB ⊥；(2)若4CD =，CA ，二面角A CD B --的大小为60︒，求三棱锥A BCD -的体积.17．已知函数()ln =f x ax x ，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-.(1)求函数()f x 的极值；(2)若(]0,1x ∀∈，()()21f x m x ≥-，求实数m 的取值范围.18．已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为y =，焦距为8.(1)求C 的方程；(2)过点()1,0G 作直线1l ，2l 分别与曲线C 交于点A ，B 和点D ，E .①若GB BA =，求直线1l 的方程；②过点A ，D 作直线4x =的垂线，垂足分别为M ，N ，设直线BM 与直线EN 交于点T ，Q 为曲线C 上任一点，求证：12QT ≥.19．若数列{}n a 满足：对任意的*(3)n n ∈≥N ，总存在i ，*N j ∈，使得n i j a a a =+，(),,i j i n j n ≠<<，则称{}n a 是“S —数列”.(1)判断数列{}21n -和数列12n⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是否为“S —数列”，并说明理由；(2)求证：公差为d 的等差数列{}n a 是“S —数列”的充要条件为1d a =；(3)已知{}n a 是单调递增的“S —数列”，13a =，25a =，求使2024n a =的n 的最大值.。

江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模数学试题

一、单选题1. 在锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，的面积为S ，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．2. 设数列的前项和为，若，且，则（）A ．2019B．C ．2020D．3. 设集合，，则（）A．B ．，C ．，D ．，4.函数的大致图象为（）A．B．C．D．5. 黄瓜是日常生活中非常受欢迎的一种蔬菜．某地引进结果多且市场销售快的甲、乙两种黄瓜品种，为了进一步了解两个品种，农业科技人员各随机选择5棵，将其结果数进行统计，如图．由图可知，以下结论正确的是（）A ．甲品种的平均结果数高于乙品种的平均结果数B ．甲品种结果数的中位数大于乙品种结果数的中位数C ．甲品种结果数的方差小于乙品种结果数的方差D ．甲品种结果数不少于30的概率是0.4，乙品种结果数不少于30的概率是0.66. 如图，“蒸茶器”外形为圆台状，上、下底面直径（内部）分别为，高为（内部），上口内置一个直径为，高为的圆柱形空心金属器皿（厚度不计，用来放置茶叶）．根据经验，一般水面至茶叶（圆柱下底面）下方的距离大于等于时茶叶不会外溢．用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢，水的最大容积为（）A．B．C．D．7. 设为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（）江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模数学试题二、多选题A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位9. 已知椭圆的短轴长为，焦距为.过椭圆的上端点作圆的两条切线，与椭圆分别交于另外两点，.则的面积为（）A．B．C．D．10.中，“为锐角”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11. 已知，则“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12. 已知函数，其中是自然对数的底数.则关于的不等式的解集为A．B．C．D．13. 已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（）A ．0B ．1C．D．14. 曲线在处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为A．B ．2C ．4D ．815. 在正方体中，分别为，的中点，则下列结论正确的个数为（）①平面；②；③直线与所成角的余弦值为④过三点的平面截正方体所得的截面为梯形A ．1B ．2C ．3D ．416. 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（）A ．10种B ．25种C ．26种D ．27种17. 若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线是“好曲线”的有（）A．B．C．D．18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（）A．B．椭圆的离心率是C．的最小值为D．的值为19. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（）A．是递增数列B．C．D．20. 已知，函数，下列选项正确的有（）A ．若的最小正周期，则；B ．当时，函数的图象向右平移后得到的图象；C．若在区间上单调递增，则的取值范围是；D ．若在区间上有两个零点，则的取值范围是；21. 在四个正方体中，，，均为所在棱的中点，过点，，作正方体的截面，则在各个正方体中，直线与平面垂直的是（）A．B．C．D．22. 如图，点是正四面体底面的中心，过点的直线交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（）A．若平面，则B．存在点S与直线MN，使平面C．存在点与直线，使D．是常数23. 已知，，若直线与、图象交点的纵坐标分别为，，且，则（）A．B．C．D．三、填空题四、解答题24. 将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”，B表示事件“医生乙派往①村庄”，C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则（）A ．事件A 与B 相互独立B．C ．事件A 与C 相互独立D．25.二项式的展开式中常数项为______．26.展开式中，含项的系数为______．27.设，，，若，则______.28.如图，在正方体中，点F 是棱上的一个动点，平面交棱于点E ，则下列正确说法的序号是___________.①存在点F使得平面；②存在点F使得平面；③对于任意的点F，都有；④对于任意的点F 三棱锥的体积均不变.29.已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________.30.已知等差数列的前项和为，若，且，则______．31. 函数的值域为______.32. 已知集合，若，则的最小值为__________．33. 在长方体中，，．(1)在边上是否存在点，使得，为什么？(2)当存在点，使时，求的最小值，并求出此时二面角的正弦值．34.已知（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.35.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；五、解答题(2)在数列中，，求数列的前项和.36. 已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.37.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求38. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．39. 某校为了深入学习宣传贯彻党的二十大精神，引导广大师生深入学习党的二十大报告，认真领悟党的二十大提出的新思想、新论断，作出的新部署、新要求，把思想统一到党的二十大精神上来，把力量凝聚到落实党的二十大作出的各项重大部署上来．经研究，学校决定组织开展“学习二十大奋进新征程”的二十大知识竞答活动．本次党的二十大知识竞答活动，组织方设计了两套活动方案：方案一：参赛选手先选择一道多选题作答，之后都选择单选题作答；方案二：参赛选手全部选择单选题作答．其中每道单选题答对得2分，答错不得分；多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项不得分．为了提高广大师生的参与度，受时间和场地的限制，组织方要求参与竞答的师生最多答3道题．在答题过程中如果参赛选手得到4分或4分以上则立即停止答题，举办方给该参赛选手发放奖品．据统计参与竞答活动的师生有500人，统计如表所示：男生女生总计选择方案一10080选择方案二200120总计(1)完善上面列联表，据此资料判断，是否有90%的把握认为方案的选择与性别有关？(2)某同学回答单选题的正确率为0.8，各题答对与否相互独立，多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3；如果你是这位同学，为了获取更好的得分你会选择哪个方案？请通过计算说明理由．附：，．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82840. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.(1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l与圆相切，且与椭圆交于A，B两点，记△OAB的面积为S，若，求直线l的斜率.41. 设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．（1）求函数f(x)的解析式；（2）在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象．42. 某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数．满分为100分）．从中随机抽取一个容量为120的样本．发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）算出第三组的频数．并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）43. 已知正方体的棱长为2，分别为的中点．（1）画出平面截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据；（2）求二面角的余弦值．六、解答题44. 我国核电建设占全球在建核电机组的40%以上，是全球核电在建规模最大的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S 型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y （单位：mm ）关于滚道径向方位角x （单位：rad ）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.(1)求函数的解析式；(2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于0.015mm 且不高于0.02mm 的钢筋，若这批钢筋由题中这种S 型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S 型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例.45.如图，在三棱台中，平面，为中点.，N 为AB的中点，(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．46.如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点.（1）求证：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.47. 在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)设，垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线和曲线交于另一点，求证：直线过定点.48.已知数列满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前n 项和.七、解答题49.已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求证：对任意的，.50.已知数列的前项和为，，．（1）求；（2）求证:．51. 某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示.其中每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元，根据以往的经验第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售，以这50天记录的日需求量的频率作为口需求量发生的概率.2223242526频数10101596(1)如果每天的进货量为24箱，用表示该水果店卖完某类水果所获得的利润，求的平均值；(2)如果店老板计划每天购进24箱或25箱的某类水果，请以利润的平均值作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.52. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977(1)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？(2)若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号两名同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作和，试求和的分布列和数学期望.53.甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为（）．(1)若比赛采用五局三胜制，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；(2)若比赛采用三局两胜制，且，则比赛结束时，求甲获胜局数的期望；(3)结合（1）（2），比较甲在两种赛制中获胜的概率，谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响．54. 2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：方案一，公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；方案二，公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每天收取药费8元.（1）设日收费为（单位：元），每天需要用药的猪的数量为，试写出两种方案中与的函数关系式.（2）若该医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下列联表.9月份10月份合计未发病4085125发病652085合计105105210根据以上列联表，判断是否有的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.附：0.0500.0100.00 13.841 6.63510.8 28（3）当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，并说明理由.55. “黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇年梅雨季节的降雨量单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：Ⅰ“梅实初黄暮雨深”假设每年的梅雨天气相互独立，求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；Ⅱ“江南梅雨无限愁”在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为元，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？需说明理由降雨量亩产量50070060040056. 学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力.学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为三个等级，其统计结果如下表：语言表达能力文字组织能力2201101八、解答题由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为.(1)求，的值；(2)从测试成绩均为或的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率.57. 已知数．(1)求函数的最小正周期，并写出函数的(2)在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足，求的取值范围单调递增区间58. 如图，某地要在矩形区域内建造三角形池塘，、分别在、边上.米，米，，设，.（1）试用解析式将表示成的函数；（2）求三角形池塘面积的最小值及此时的值.59.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设点为椭圆与轴负半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于S ，两点，直线NS ，NT 分别与轴交于C ，D 两点，若C ，D 的横坐标之积是2．问：直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．60. 动圆P 过定点，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4.(1)若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线与曲线C 的交点S ，T 满足为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．61. 已知集合，，若，求实数，的值.62. 据统计，某校高三打印室月份购买的打印纸的箱数如表：月份代号t1234打印纸的数量y （箱）60657085(1)求相关系数r ，并从r 的角度分析能否用线性回归模型拟合y 与t的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；(2)建立y 关于t 的回归方程，并用其预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为多少箱.参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关系数参考数据：。

辽宁点石联考2024-2025学年高三上学期10月月考(二模)数学试题(原卷版)

2024—2025学年高三（25届）二模数学科试卷命题人：孙方辉校对人：王立冉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知12i i z −=，则z =（） A. 1 B. 2C. D. 32. 为了得到函数sin(2)3yx π−的图像，只需把函数sin(2)6y x π+的图像 A. 向左平移4π个长度单位 B. 向右平移4π个长度单位 C. 向左平移2π个长度单位 D. 向右平移2π个长度单位 3. ABC 中，点M 、N 在边BC 上，BM MN NC ==，设AM m = ，AN n = ，则AB = （） A. 2m n −B. 2n m −C. 2m n −D. 2n m −4. 设函数()()cos f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是（） A. ()01f =B. ()00f =C. ()01f ′=D. ()00f ′=5. 已知函数()112,02,0x x x f x x +− ≥= −< ，则不等式()()2f x f x −>解集为（）A. (),1∞−−B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞6. 已知函数()()2cos 1f x x a x =−+，若()f x 在()1,1−有唯一的零点，则a =（） A. 1 B. 2C. 3D. 4 7. 已知函数()()2f x x x c =⋅−在1x =处有极大值，则c =（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数()()()sin ,,0f x A x A ωϕωϕ=+>最小正周期为π，当6074π3x =时，函数()f x 取最小在的的值，则下列结论正确的是（）A. ()()()220f f f <−<B. ()()()202f f f −<<C. ()()()022f f f <<−D. ()()()202f f f <<− 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知O 为坐标原点，()2,1A −，()1,2B ，()1,2C −−，则（）A. AB方向的单位向量为B. 若2AP PB = ，则点P 坐标为4,13 C. π4ACB ∠=D. CA 在CB10. 设函数()πsin 2sin23f x x x=++ ，则下列结论正确的是（）A. 函数()f x 的最大值为2B. ()f x 区间π11π,1212− 有两个极值点C. ()5π06f x f x +−=D.直线3y x =+()y f x =的切线11. ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A. ()2222a b c ab bc ca ++<++B. 1a a +，1b b +，1cc +不能构成三角形C. 若333a b c +=，则ABC 为锐角三角形D. 若a ，b ，c 均为有理数，则()cos A B −为有理数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.的在12. 已知单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅= ，则()12R e te t −∈ 的最小值为______.13. 函数y =[)0,+∞，则实数a 的取值范围是______.14. 如图，圆内接四边形ABCD 中，BD 为直径，AB AC ==，1AD =.则BC 的长度为______；AC BD ⋅=______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 等差数列{aa nn }的前n 项和为n S ，已知60a =，126S =.（1）求数列{aa nn }的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .16. 已知函数()22x x f x a −−⋅. （1）若()f x 为偶函数，求()f x 的最小值；（2）当0a >时，判断()f x 的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于x 的不等式()()22log 20f a x f x −+−>的解集.17. 在ABC 中，D 为BC 的中点，π2BCA BAD ∠+∠=，记ABC α∠=，ACB β∠=. （1）证明：αβ=或π2αβ+=；（2）若3AB =，且3BC AC ≥，求AD 的最大值.18. 如图，函数()()πsin 0,02f x x ωθωθ =+>≤≤的图象与y 轴相交于点10,2 ，且在y 轴右侧的第一个零点为5π12.（1）求θ和ω的值；（2）已知π0π2αβ<<<<，π12123f α −= ，π26f αβ+ + cos β的值. 19. 已知函数()e e cos x x f x k x −=++.（1）若2k =−，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，求正实数k 的取值范围；（3）π0,2x ∈ 时，证明：ππ22π1e e e 4x x x −  ++≥+  .。

广东江门市2025届高三上学期10月调研测试数学试题(解析版)

江门市2025届普通高中高三调研测试数学注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}209,010A x x B x x =∈≤≤=∈≤≤N N∣∣，则A B = （）A. {}09xx ≤≤∣ B. {}1,2,3 C. {}03xx ≤≤∣ D. {}0,1,2,3【答案】D 【解析】【分析】根据题意求集合,A B ，集合交集运算求解.【详解】由题意可得：{}{}2090,1,2,3A x x =∈≤≤=N∣， {}{}0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B x x =∈≤≤=N ∣，所以{}0,1,2,3A B ∩=. 故选：D .2. 设,m n ∈R ，则“33(1)m n +=”是“22m n ”的（） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判断. 【详解】由()331m n +=⇒1m n +=⇒122m n +=，又122m m +<，所以22m n <，故“33(1)m n +=”是“22m n <”的充分条件；又若22m n <，如0m =，2n =，此时33(1)m n +=不成立，所以“33(1)m n +=”是“22m n <”的不必要条件. 综上：“33(1)m n +=”是“22m n <”充分不必要条件. 故选：A3. 下列命题为真命题的是（） A. 若0a b c >>>，则a a cb b c+<+ B. 若0,0a b c >><，则c c a b< C. 0a b >>，则22ac bc > D. 若a b >，则2a ba b +>> 【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果. 【详解】对于A ，()()()()()a b c b a c c a b a a c b b cb bc b b c +−+−+−==+++，因0a b c >>>，所以()0,0a b b b c −>+>，所以()()0c a b a a c b b c b b c −+−=>++，即a a cb b c+>+，故A 错误；对于B ，因为0a b >>，所以11a b<，又0c <，所以c ca b>，故B 错误；对于C ，当0c =时，220ac bc ==，故C 错误；对于D ，若a b >，则2,2a a b a b b >++>，的为所以2a ba b +>>，故D 正确. 故选：D.4. 已知函数()e e ,2,,2,3x x x f x x f x − +≤= >则()ln27f =（）A.83B.103C.72827D.73027【答案】B 【解析】【分析】利用对数的运算性质计算可得答案. 【详解】因为21ln e ln 3ln e 2=<<=所以3ln27ln 33ln 33==>，又因为()e e ,2,23x x x f x x f x − +≤ =>，所以()()1ln ln3ln33ln273ln3110ln27ln3e e 3e 33333f f f f − ====+=+=+=. 故选：B.5. 下列函数中，以π为周期，且在区间π,π2上单调递增的是（） A. sin y x = B. cos y x = C. tan y x = D. cos y x =【答案】D 【解析】【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断．【详解】对于A ：由sin 1s 1π3π2in 2−−==−，，可知π不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误；对于B ：()cos ,0cos ,0coscos cos ,0cos ,0x x x x yx x x x x x ≥≥ === −<< ，其最小正周期为2π，故错误；对于C ：tan y x =满足()tan tan x x π+=，以π为周期，当π,π2x∈时，tan tan y x x ==−，由正切函数的单调性可知tan tan y x x ==−在区间π,π2 上单调递减，故错误；对于D ，cos y x =满足()cos πcos x x +=，以π为周期，当π,π2x∈时，cos cos y x x ==−，由余弦函数的单调性可知，cos y x =−在区间π,π2 上单调递增，故正确；故选:D6. 在正方形ABCD 中，,2,AE EB FC BF AF ==与DE 交于点M ，则cos EMF ∠=（）A.B.15C.D.110【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.【详解】建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 棱长为2，因为,2AE EB FC BF ==，则()0,1E ，()0,2A ，()2,2D ，2,03F，所以2,23AF=−，()2,1DE =−−，所以cos cos ,EMFAF DE ∠== 故选：C的7. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h 与其来摘后时间t （天）满足的函数解析式为()()ln 0h m t a a =+>.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数为（）1.41≈） A. 1.5 B. 1.8C. 2.0D. 2.1【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出a 的值，再根据两个等式相除可求得结果.【详解】由题可得()()ln 10.4ln 30.8m a m a +=+=，两式相除可得()()ln 32ln 1a a +=+，则()()ln 32ln 1a a +=+，()231a a +=+，∵0a >，解得1a =，设t 天后金针菇失去的新鲜度为60%，则()ln 10.6m t +=，又()110.4mln +=， ∴()ln 13ln 22t +=，()2ln 13ln 2t +=，()23128t +==，12 1.41 2.82t +==×=，则 2.821 1.82 1.8t =−=≈，故选：B.8. 已知各项都为正数数列{aa nn }满足121,2a a ==，()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（） A. 8124a > B. 201024a > C. 8124a < D. 201204a <【答案】B 【解析】【分析】由()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N 得()()1120n n n n n a a a a a −−− +−+> ，由题意，12n n n a a a −−>+，根据递推公式可验证B ，通过对3a 赋值，可验证ACD.【详解】由()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，的得()()1120n n n n n a a a a a −−− +−+> ，因为数列{aa nn }各项都为正数，所以10n n a a −>+，故()120n n n a a a −−−+>，即12n n n a a a −−>+，所以321213a a a >+=+=，对于A ，设34a =，则432426a a a >+=+=，设47a =，则5437411a a a >+=+=，设512a =，则65412719a a a >+=+=，设620a =，则765201232a a a >+=+=，设733a =，则876332053a a a >+=+=，则8a 可以为54124<，故A 错误；对于B ，432325a a a >+>+>，543538a a a >+>+>，6548513a a a >+>+>，76513821a a a >+>+>， 876211334a a a >+>+>， 987342155a a a >+>+>， 1098553489a a a >+>+>，111098955144a a a >+>+>， 12111014489233a a a >+>+>，131211233144377a a a >+>+>， 141312377233610a a a >+>+>，151413610377987a a a >+>+>， 1615149876101597a a a >+>+>，17161515979872584a a a >+>+>， 181716258415974181a a a >+>+>，191817418125846765a a a >+>+>，20191867654184109461024a a a >+>+>>，故B 正确；对于C ，若3124a =，由于12n n n a a a −−>+，则8124a >，故C 错误；对于D ，若31024a =，由于12n n n a a a −−>+，则201024a >，故D 错误；故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若函数()2()f x x x c =−在1x =处取得极大值，则（） A. 1c =，或3c =B. ()10xf x +<的解集为()1,0−C. 当π02x <<时，()()2cos cos f x f x > D. ()()224f x f x ++−=【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，由题可得()10f ′=，据此得c 的可能值，验证后可判断选项正误；B 选项，由A 分析，可得()1xf x +表达式，解相应不等式可判断选项正误；C 选项，由A 分析结合cos x ，2cos x 大小关系可判断选项正误；D 选项，由A 分析，验证等式是否成立可判断选项正误.【详解】A 选项，由题()3222f x x cx c x =−+，则()2234f x x cx c =−+′，因在1x =处取得极大值，则()214301f c c c +′=−=⇒=或3c =.当1c =时，()2341f x x x ′=−+，令()()10,1,3f x x ∞∞ >⇒∈−∪+ ′；()10,13f x x <⇒∈′.则()f x 在()1,1,3∞∞−+ ，上单调递增，在1,13上单调递减，则()f x 在1x =处取得极小值，不合题意；当3c =时，()23129f x x x =−+′，令()()()0,13,f x x ∞∞>⇒∈−∪+′；()()01,3f x x <⇒∈′.则()f x 在()(),13,∞∞−+，上单调递增，在()1,3上单调递减，则()f x 在1x =处取得极大值，满足题意；则3c =，故A 错误；B 选项，由A 可知，()()23f x x x =−，则()()()()()21120101,0xf x x x x x x x +=+−<⇒+<⇒∈−.故B 正确； C 选项，当π02x <<，则，则2cos cos x x <，由A 分析，()f x 在(0,1)上单调递增，则()()2cos cos f x f x >，故C 正确；D 选项，令22x m x n +=−=，，由A 可知，()3269f x x x x =−+.则()()()()22f x f x f m f n ++−=+()()()()32322222696969m m m n n n m n m mn n m n m n =−++−+=+−+−+++，又4m n+=，则()()()()22242363624f m f n mn m n m n +=−−++=−+=，故D 正确. 故选：BCD10. 在ABC 中，1AB =，4AC =，BC =，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，点E 为AC 中点，则（） A. ABCB. BA CA ⋅C. BE =D. AD =【答案】ACD 【解析】【分析】根据余弦定理可得π3A ∠=，进而可得面积判断A ，再结合向量的线性运算及向量数量积可判断BC ，根据三角形面积及角分线的性质可判断D.【详解】如图所示，由余弦定理可知222116131cos 22142AB AC BC BAC AB AC +−+−∠===⋅××，而BAC ∠为三角形内角，故π3BAC ∠=，sin BAC ∠，所以ABC面积11sin 1422S AB AC BAC =⋅⋅∠=××=A 选项正确； 1cos 1422BA CA AB AC AB AC BAC ⋅=⋅=⋅⋅∠=××= ，B 选项错误；由点E 为AC 中点，则12BE AE AB AC AB =−=−，所以222211412324BE AC AB AC AB AB AC =−=+−⋅=+−=，则BE = ，C 选项正确；由AD 为BAC ∠的角平分线，则π6BAD CAD ∠=∠=，所以1sin sin 2S AB AD BAD AC AD CAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠，111151422224AD AD AD =××+××=，则AD =D 选项正确；故选：ACD.11. 已知()()22sin cos nnn f x x x n +=+∈N ，则（） A. ()2f x 的最小正周期为π2B. ()2f x 的图象关于点()π,0Z 28k k+∈对称 C. ()n f x 的图象关于直线π2x =对称 D.()1112n n f x −≤≤ 【答案】ACD 【解析】【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断ABC 选项的正误；利用导数法可判断D 选项的正误.【详解】()2442222221()sin cos cos 2sin cos 1sin 22f x x x x x x x x =+=+−=−11cos 43cos 41224x x −+=−×=，所以()f x 的最小正周期为2ππ=42T =，故A 正确；令π4π2xk =+，可得ππ,Z 84k x k =+∈,所以()2f x 的图象关于点()ππ3,Z 484k k+∈对称，故B 错误；对于C ： ()()()()()2222sin cos sin cos nnnnf x x x x x πππ −=−+−=+−()22sin cos n n x x f x =+=，所以函数()f x 的图象关于直线π2x =对称，C 对；对于D: ，因为()()2222sin cos cos sin 222nnnnf x x x x x πππ+=+++=+−()22sin cos n n x x f x =+=，所以，函数()f x 为周期函数，且π2是函数()f x 的一个周期，只需求出函数()f x 在0,2π上的值域，即为函数()f x 在R 上的值域，()22sin cos n n f x x x =+ ，则()()212122222sin cos 2cos sin 2sin cos sin cos n n n n f x n x x n x x n x x x x −−−−−′−=，当,42x ππ ∈ 时，0cos sin 1x x <<<<，因为2n ≥且k ∗∈N ，则222n −≥，故2222sin cos n n x x −−>，此时ff ′(xx )>0，所以，函数()f x 在ππ,42上单调递增，当0,4x π∈时，0sin cos 1x x <<<<，因为2k ≥且k ∗∈N ，则222n −≥，故2222sin cos n n x x −−<，此时ff ′(xx )<0，所以，函数()f x 在0,4π上单调递减，所以，当π0,2 ∈ x 时，()1min π112422n n f x f − ==×=，又因为()π012f f ==，则()max 1f x =，因此，函数()f x 的值域为11,12n −，D 对.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间为______．【答案】10,e##(10,e − 【解析】【分析】利用导数求得()f x 的单调递减区间.【详解】函数的定义域为()0,∞+，∵()ln 1f x x ′=+，令ln 10x +≤得10ex <≤， ∴函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间是10,e．故答案为：10,e13. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________.【答案】()sin 1cos x x −+ 【解析】【分析】根据函数的奇偶性与三角函数的奇偶性求解即可.【详解】因为当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+，所以当0x <时，则0x −>，所以()()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x −=−+−=−+ ，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()()sin 1cos f x f x x x =−=−+. 故答案为：()sin 1cos x x −+.14. 已知0,0a b >≠，且4a b +=，则48b a b++的最小值为__________.【答案】2+. 【解析】【分析】先将所求式子化简4848b b a b a b b ++=++，再根据基本不等式得到48a b+的最小值，则可判断当0b <，求得最小值.【详解】根据题意：4848b b a b a b b++=++，若0b >，则1||b b =，若0b >，则1||=−b b ，因为0,0a b >≠，则||0b >，481482()()34b a a b a b a b a b +=++=++33≥++当且仅当2b aab=即1),4(2a b ==时取等号;则当0b <时，48481b a b a b++=+−的最小值是312+=+，当且仅当1),2)a b ==时取等号.故答案为：2+.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点()4,3P −. （1）求sin2α的值；（2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值. 【答案】（1）2425−（2）3365或6365− 【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数值，再根据二倍角公式，即可求解；（2）利用角的变换()cos cos βαβα=+− ，再结合两角差的余弦公式，即可求解.【小问1详解】由题意可知，()4,3P −，则=5r ，则3sin 5α=−，4cos 5α=， 24sin 22sin cos 25ααα==−；【小问2详解】()5sin 13αβ+=，所以()12cos 13αβ+=±，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++ ，当()12cos 13αβ+=，所以1245333cos 13513565β =×+×−= ，当()12cos 13αβ+=−，所以1245363cos 13513565β=−×+×−=−，综上可知，cos β的值为3365或6365− 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1344n n S n ++=−∈N .（1）证明：数列{}2log n a 为等差数列；（2）记数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，若1231111100101n T T T T ++++< ，求满足条件的最大整数n . 【答案】（1）证明见解析（2）99 【解析】【分析】（1）利用退一相减法可得n a 及2log n a ，即可得证；（2）根据等差数列求和公式可得()1n T n n =+，则()111111n T n n n n ==−++，利用裂项相消法可得1231111111n T T T T n ++++=−+ ，解不等式即可. 【小问1详解】由已知1344n n S +=−，当1n =时，211334412a S ==−=，即14a =；当2n ≥时，1344nn S −=−，则11333444434n n n n n n a S S +−=−=−−+=⋅，即4n n a =，又1n =时，14a =满足4nn a =，所以242n nna ==，设222log log 22nn n b a n ===，()12122n n b b n n +−=+−=，即数列{bb nn }为等差数列，即数列{}2log n a 为以2为首项2为公差的等差数列；【小问2详解】由等差数列可知()()()122122n nb b n n nT n n ++===+，则()111111n T n n n n ==−++，所以1231111n T T T T ++++ 1111112231n n =−+−++−+ 11n 1=−+，即110011101n −<+，N n +∈，解得100n <，即满足条件的最大整数99n =.17. 已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4,3==a c b ，记ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R . （1）若b =，求sin A ；（2）记()12pa b c =++，证明：S r p =；（3）求rR 取值范围：【答案】（1（2）证明见解析（3）3,24【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cos A ，进而求得sin A . （2）根据三角形的面积公式证得结论成立.（3）用b 表示rR ，然后利用导数求得rR 的取值范围. 【小问1详解】 ∵4a =,b =,c =由余弦定理，得2221cos 23b c a A bc +−== ，∵0πA <<,sin A ∴.【小问2详解】∵ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ，的∴()11112222S a r b r c r a b c r =×+×+×=++, 又∵1()2pa b c =++,∴S pr =，∴S r p =.【小问3详解】由正弦定理得2sin aR A=,得2sin 2sin 42sin R A A a A ===, 因为4a =,3c b =，由（2）得1(43)(22)2S pr r b b b r ==++=+，又因为213sin sin 22b S bc A A ==×，所以23sin 4(1)b A r b =+, 所以2321b Rr b=×+, 由3443b b b b +>+>,解得12b <<,令23()(12)2(1)b f b b b =<<+，()()()232021b b f b b +=>+′，则()f b 在(1,2)上单调递增, 所以()243f b <<, 故rR 的取值范围为3,24. 18. 设函数()()()1ln ,10f x x g x x x==−>. （1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）证明：()()f x g x ≥：（3）若方程()()af x g x =有两个实根，求实数a 的取值范围，【答案】（1）10x y −−=（2）证明见解析（3）(0,1)(1,)∪+∞ 【解析】【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（3）利用构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论来求得a 的取值范围. 【小问1详解】 1()f x x′=，则(1)1,(1)0k f f ===′.()f x ∴在1x =处的切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 【小问2详解】令1()()()ln 1,(0,)h x f x g x x x x∞=−=+−∈+ 22111()x h x x x x −′=−=.令21()0x h x x ′−==，解得1x =. 01,()0x h x ′∴<<<；1,()0x h x ′>>.()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.()(1)0h x h ≥=，即()()f x g x ≥.【小问3详解】令1()()()ln 1,(0,)m x f x g x a x x x∞=−=+−∈+，问题转化为()m x 在(0,)+∞上有两个零点.2211()a ax m x x x x−=−=′.①当0a ≤时，()0m x ′<，()m x 在(0,)+∞递减，()m x 至多只有一个零点，不符合要求.②当0a >时，令()0m x ′=，解得1x a= 当10x a<<时，()0m x ′<，()m x 递减；当1x a>时，()0m x ′>，()m x 递增. 所以11()ln 1ln 1m x m a a a a a a a ≥=+−=−−.当1a =时，1(1)0m ma==，()m x 只有一个零点，不合题意. 令()ln 1,()ln a a a a a a ϕϕ′=−−=−，当01a <<时，()ln 0ϕ′=−>a a ，所以()a φ在(0,1)递增，()(1)0a ϕϕ<=. 由于1(1)0,()0m m a a φ ==< ，111111(e )ln e 10e e a aa am a =+−=>， 111,e ax a ∴∃∈，使得1()0m x =，故01a <<满足条件.当1a >时，()ln 0a a ϕ′=−<，所以()a φ在(1,)+∞递减，()(1)0a φφ<=. 由于1(1)0,()0m m a a φ==< ，21(e )ln e 1e 10ea a a a m a a −−−+−−−> 21e ,a x a −∴∃∈，使得2()0m x =，故1a >满足条件.综上所述：实数a 的取值范围为(0,1)(1,)∪+∞.【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．19. 如果定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三个条件：（1）对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；（2）()11f =；（3）当120,0x x ≥≥，且121x x +≤时，()()()1212f x x f x f x +≥+恒成立.则称()f x 为“友谊函数”.请解答下列问题：（1）已知()f x 为“友谊函数”，求()0f 的值；（2）判断函数()[]()310,1xg x x x =−−∈是否为“友谊函数”？并说明理由；（3）已知()f x 为“友谊函数”，存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()0ff x x=，证明：()00f x x =.【答案】（1）()00f = （2）是，理由见解析. （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）结合条件，利用“赋值法”可求函数值. （2）根据给出的条件，逐一验证即可.（3）先判断函数的单调性，结合反证法进行证明. 【小问1详解】由条件（1）可知：()00f ≥；结合条件（3），令120x x ==，则()()020f f ≥⇒()00f ≤. 所以：()00f =. 【小问2详解】函数()[]()310,1xg x x x =−−∈是“友谊函数”.理由如下：对条件（1）：因为()00g =，()3ln 31xgx ′=−，当[]0,1x ∈时，()0g x ′>，所以()g x 在[0,1]上单调递增，所以()0g x ≥，[]0,1x ∈. 对条件（2）：()13111g =−−=.对条件（3）：设120,0x x ≥≥，且121x x +≤，则：()()()1212g x x g x g x +−+ ()()()12121212313131x x x x x x x x + −+−−−−−−−12123331x x x x +=−−+()()123131x x =−−0≥.所以：()()()1212g x x g x g x +≥+.综上可知：函数()[]()310,1xg x x x =−−∈是“友谊函数”.【小问3详解】设1201x x ≤<≤且121x x +≤，则210x x −>，所以()()()()211211f x f x f x x x f x −=+−− ()()()1211f x f x x f x ≥+−−()21f x x −0≥所以函数()f x 在[0,1]上单调递增. 下面用反证法证明：()00f x x =.假设()00f x x ≠，则()00f x x >或()00f x x <.若()00f x x >，则()()000f x f f x x <= ，这与()00f x x >矛盾；若()00f x x <，则()()000f x f f x x >=，这与()00f x x <矛盾. 故假设不成立，所以()00f x x =.【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，“赋值法”是解决问题的突破口.合理赋值是解决问题的突破口.。

广东省江门市2024高三冲刺(高考数学)苏教版摸底(评估卷)完整试卷

广东省江门市2024高三冲刺（高考数学）苏教版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题等比数列的公比为，前项和为，则“”是“对任意的，，，构成等比数列的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件第(2)题双曲线的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．2第(3)题函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．第(5)题在的展开式中，的系数为（）A．B．4C．D．8第(6)题规定，其中，且，这是排列数（，且）的一种推广.则（）A．B．1C．D．2第(7)题设等差数列的前n项和为，若，则（）A．44B．48C．55D．72第(8)题已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在上的所有实根之和为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数为的导数，则下列说法正确的是（）A．当时，在区间单调递减B．当时，恒成立C．当时，在区间上存在唯一极小值点D．当时，有且仅有2个零点第(2)题已知在等边△中，，为的中点，为的中点，延长交占，则（）A．B．C．D．第(3)题已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（）A ．的最小正周期为B．在区间上单调递增C ．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数.有下列结论：①若函数有零点，则的范围是；②函数的零点个数可能为；③若函数有四个零点，则，且；④若函数有四个零点，且成等差数列，则为定值，且.其中所有正确结论的编号为______.第(2)题若数列：中的每一项都为负数，则实数的所有取值组成的集合为__________.第(3)题已知，则=_____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，已知在三棱台中，平面，为等腰直角三角形，，，，分别为，，的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的大小.第(2)题的内角的对边分别为，满足.（1）求角；（2）若的面积为，，求的周长.第(3)题已知函数，其中.(1)若，求的值；(2)已知时，单调递增，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使函数存在，求m的最大值.条件①：；条件②：；条件③：的图像与直线的一个交点的横坐标为.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.第(4)题已知函数.（1）当时，求函数的最大值；（2）若函数存在两个极值点，，求证：.第(5)题已知的内角的对边分别为，且.(1)求的值；(2)若，求面积的最大值.。

江苏省苏州十中2024年高三年级二轮复习数学试题导引卷(二)含附加题

江苏省苏州十中2024年高三年级二轮复习数学试题导引卷（二）含附加题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．193．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)-D ．1(,1)24．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（） A 10B ．3C 5D ．26．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦7．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（） A ．[]22-,B．⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D．⎣⎦8．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．49．2-31ii =+（） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 10．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（）A ．[)4+∞， B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，11．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π12．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届江苏省南通市高三二模数学试题及答案

2024年高考适应性考试（二）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.2sin12π的值为（）A.12 B.12+ C.14D.342.已知复数z 满足234i z =−+，则z =（）A.32B.5D.23.若()()()231021001210111x x x a a x a x a x ++++++=++++ ，则2a 等于（） A.49B.55C.120D.1654.已知()f x 对于任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=⋅，且122f=则()4f =（）A.4B.8C.64D.2565.已知函数cos yx ωω+（0ω>）在区间2,43ππ−上单调递增，则ω的最大值为（）A.14 B.12C.1211D.836.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（） A.15B.25C.30D.357.已知曲线221:420C x y x y +−+=与曲线()22:C f x x =在第一象限交于点A ，在A 处两条曲线的切线倾斜角分别为α，β，则（）A.2παβ+=B.2παβ−=C.3παβ+=D.4παβ−=8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，P ，Q ，R 分别为棱BC ，CD ，1CC 的中点，平面PQR 截正方体1111ABCD A B C D −外接球所得的截面面积为（）A.53π B.83π C.353π二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9.已知向量a 在向量b方向上的投影向量为32，向量(b = ，且a 与b 夹角6π，则向量a 可以为（） A.()0,2B.()2,0C.(D.)10.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，上，下两个顶点分别为1B ，2B ，11B F 的延长线交C 于A ，且11112AF B F =，则（） A.椭圆CB.直线1ABC.12AB F △为等腰三角形D.21:AB AB =11.某农科所针对耕种深度x （单位：cm ）与水稻每公顷产量（单位：t ）的关系进行研究，所得部分数据如下表：已知m n <，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程： y bx a =+ ，621510ii y ==∑，()62124ii y y =−=∑，数据在样本()12,m ，()14,n 的残差分别为1ε，2ε.（参考数据：两个变量x ，y 之间的相关系数r ，参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==−−=−∑∑ ，ay b x =−⋅ ，nx y r =则（）A.17m n +=B.47b= C. 107a= D.121εε+=−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()32f x x x =−，当0h →时，()()11f h f h+−→_________. 13.已知二面角l αβ−−为直二面角，A α∈，B β∈，A l ∉，B l ∉，则AB 与α，β所成的角分别为6π，4π，AB 与l 所成的角为___________.14.已知抛物线2:4C y x =，过点()4,0的直线与抛物线交于A ，B 两点，则线段AB 中点M 的轨迹方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.15.（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2112n n S a n −=+，*n ∈N . （1）求1a ，2a ，并证明：数列{}1n n a a ++是等差数列；（2）求20S .16.（本小题满分15分）已知函数()ln f x x ax =−，()2g x ax=，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >且()()f x g x ≤恒成立，求a 的最小值.17.（本小题满分15分）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.（1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？（2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？18.（本小题满分17分）已知三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC △是边长为2的正三角形，G 为1A BC △的重心，1160A AB A AC ∠=∠=°.（1）求证：1B B BC ⊥；（2）已知12A A =，P ∈平面ABC ，且1C P ⊥平面1A BC . ①求证：1AG C P ∥；②求1A P 与平面1A BC 所成角的正弦值.19.（本小题满分17分）已知双曲线E 的渐近线为y x =±，左顶点为()A . （1）求双曲线E 的方程；（2）直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标； ②求圆P 面积的最小值.【参考答案】一、单选题1.A2.C3.D4.D5.B6.B7.A8.A二、多选题9.AD 10.ACD 11.ABD三、填空题12.113.3π14.()224y x =−四、解答题15.（1）当1n =时，由条件得11122a a −=，所以14a =. 当2n =时，由条件得()122152a a a +−=，所以22a =. 因为2112n n S a n −=+，所以()2111112n n S a n −−−=−+（2n ≥），两式相减得：1112122n n n a a a n −−+=−，即142n n a a n −+=−，所以()()()()11412424n n n n a a a a n n +−+−+=+−−−= ，从而数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）由（1）知142n n a a n −+=−，与（1）类似，可证：12a a +，34a a +，…，1920a a +成等差数列，所以()()()2012341920S a a a a a a =++++++()()()()1067842244242024202+=×−+×−++×−== . 16.（1）()11ax f x a x x−′=−=（0a ≠），当0a <时，由于0x >，所以()0f x ′>恒成立，从而()f x 在()0,+∞上递增；当0a >时，10x a <<，()0f x ′>；1x a>，()0f x ′<，从而()f x 在10,a上递增，在1,a+∞递减. （2）令()()()2ln h x f x g x x ax ax−−−，要使()()f x g x ≤恒成立，只要使()0h x ≤恒成立，也只要使()max 0h x ≤.()()()221212ax ax h x a x ax ax −+−′=−+=，由于0a >，0x >，所以10ax +>恒成立，当20x a <<时，()0h x ′>，当2x a<<+∞时，()0h x ′<，所以2x a =，()max22ln 30h x h a a==−≤，解得：32a e ≥，所以a 的最小值为32e. 17.（1）法一先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为13C ；再选出副队长，方法数也是13C ，故共有方法数为11339C C ×=（种）. 方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为244312A =×=（种）；若甲任队长，方法数为13C ，故甲不担任队长的选法种数为1239−=（种）答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种. （2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为14；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为67；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为17，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：161347798××=. ②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为34，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为27，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为17，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为321347798××=. 所以，前三次传球中满足题意的概率为：333989849+=. 答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是349. 18.（1）连1AG 交BC 于D ，连AD . 由于G 为1A BC △的重心，所以D 为BC 的中点.在三棱柱111ABC A B C −中，因为AB AC =，11A A A A =，11A AB A AC ∠=∠，所以11A AB A AC △≌△，从而11A B A C =.由于D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，1A D BC ⊥，又1AD A D D = ，所以BC ⊥平面1A AD ，因为1A A ⊂平面1A AD ，所以1BC A A ⊥，因为11A A B B ∥，所以1BC B B ⊥.（2）①∵12A AAB ==，160A AB ∠=°，∴1A AB △为正三角形；同理，1A AC △也为正三角形，∴112A B A CBC ===，从而三棱锥1A A BC −的所有棱长均为2，该四面体为正四面体，由于G 为1A BC △的重心，∴AG ⊥平面1A BC ，又1C P ⊥平面1A BC ，所以1AG C P ∥. ②设ABC △的重心为O ，O AD ∈，且:2:1AO OD =，在平面ABC 内，过O 作OE BC ∥，连1A O ，则1A O ⊥平面ABC .以O 为原点，以OA ，OE ，1OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.1A O所以A，B，1,0C −，1A ，()111111,0OC OA A C OA AC =+=+=+−=−，所以1C − . 设(),,G x y z ，1A P与平面1A BC 所成的角为θ，则()1,,1,03x y z =++−=，所以AG =，因为P ∈平面ABC ，所以设(),,0P x y ，由①知：1C P AG∥，从而存在实数λ，使1C P AG λ= ，所以1,x y λ ++ ，解得：3λ=−，1y =−，x =，从而1,0P −.(11,5,A P =−−∥，令(5,a =− ，(AG − ∥，令(n =− ，sin θ. 19.（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b−=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：by x a=±，由题条件知：b a =.因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，双曲线的方程为：2213x y −=.（2）①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =−，将x my t =+代入方程：22330x y −−=，得：()2223230m y mty t −++−=，当230m −≠且()221230t m ∆=+−>时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=−−，212233t y y m −=−. 设直线AG 得倾斜角为α，不妨设02πα<<，则2AGH πα∠=−，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为2πα−，sin sin 2tan tan 12cos cos 2AG OH k k παπαααπαα −⋅=⋅−=×=−.直线AC的方程为：yx ，令x t =，则y =H t ，所以OH k=，又AGABk k==1=，((1212t y y t x x ⇒=+，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y y t my t my t +=+++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⇒+++++，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m −−−⇒⋅⋅++⋅++ −−−，化简得：2430t +−=，解得：t =（舍）或t =. 故点D的坐标为.②(:tan AG y x α=⋅+，由①知：t =，所以tan G α. 1:tan OH y x α=，所以H ，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α> 若G ，H 在x 轴下方时，即tan 0α<tan α<tan α>tan α<又直线AG与渐近线不平行，所以tan α≠所以0απ<<，tan α>或α<且tan α≠因为OG 设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OGR α==，所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=×=×()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++ =×=++327266416 =≥，当且仅当22125tantan αα=即tan α=tan α>或tan α<且tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而2716S π>且74S π≠.。

2023-2024学年广东省江门市台师高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省江门市台师高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 1．在空间直角坐标系中，a →=（2x ﹣4，x 2，﹣4），b →=（﹣1，﹣4，1），若a →∥b →，则x 的值为（） A ．3B ．6C ．5D ．42．设直线l 的斜率k 满足|k |≤1，则直线l 的倾斜角的取值范围是（） A ．[0，π4)B ．[0，π4]∪[3π4，π)C ．(3π4，π) D ．[0，π4)∪(3π4，π]3．三棱锥O ﹣ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OE →=（） A ．−12a →−12b →+c →B ．−12a →+12b →+c →C ．−12a →−14b →+14c →D ．12a →+14b →+14c →4．已知平面α的一个法向量为n →=（√3，1，0），则x 轴与平面α所成角的大小为（） A ．π2B ．π3C ．4D ．π65．若点P （3，a ）到直线x +√3y ﹣4＝0的距离为1，则a 值为（） A ．√3B ．−√33C ．√33或−√3 D ．√3或−√336．已知平面α的一个法向量n →=(1，−2，−2)，点A （﹣1，3，0）在α内，则平面外一点P （﹣2，1，4）到α的距离为（） A ．10B ．3C ．53D ．1037．光线自点M （2，3）射到N （1，0）后被x 轴反射，则反射光线所在的直线与圆C ：x 2+（y ﹣4）2＝1（） A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心8．圆x 2+y 2+4x ﹣6y ＝0和圆x 2+y 2﹣6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（） A ．3x +5y +9＝0B ．3x ﹣5y ﹣9＝0C ．3x ﹣5y +9＝0D ．3x +5y ﹣9＝0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023_2024学年江苏省苏州市姑苏区上册八年级12月月考数学模拟测试卷(附答案)

2023_2024学年江苏省苏州市姑苏区上册八年级12月月考数学模拟测试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卷相应的位置上．1. 9的平方根是（）A. 3B. －3C. ±3D. ±32. 在平面直角坐标系中，把点向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的()2,3坐标是（）A. B. C. D. ()3,1()0,4()4,4()1,13. ）A. B. C. D. 12<<23<<34<<45<<4. 垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源．下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（）A. B. C. D.5. 如图，，点在上，连接，下列结论：①平分；②ABC AMN ≌M BC CN AM BMN ∠；③，其中，所有正确结论的序号是（）CMN BAM ∠=∠MAC MNC ∠=∠A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③6. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为A B 1BC =90ABC ∠=︒A 圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（）AC PPD.1-2-1-27. 如图，在四边形中，，E 为对角线的中点，连接ABCD 90ABC ADC∠=∠=︒AC ，若，则的度数为（）BE ED BD ，，58BAD ∠=︒BED ∠A. B. C. D. 118︒108︒120︒116︒10. 为落实“五育并举”，某校利用课后延时服务时间进行趣味运动，甲同学从跑道处匀速A跑往处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设B B A 甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如x y y x 图所示，则图中的值是（）A. B. 18 C. D. 20503553二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 计算______．3=10. 点在第二象限，且到轴，轴的距离分别为2、3，则点的坐标是_____．P x y P 11. 已知y 与x 成正比例，且当时，，则y 与x 的函数表达式是______.1x ==2y -12. 如图，已知，，点、、、在同一直线上，要使AC FE =BC DE =A D B F ，还需添加一个条件，这个条件可以是________（填一个即可）．ABC FDE △≌△13. 如图，公路互相垂直，公路的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AC BC ，AB ，则M 、C 两点间的距离为______km ．512AC km BC km ==，14. 如图，中，的垂直平分线分别交于点ABC 5020B C AB ∠=︒∠=︒，，AB BC ，D ，E ，的垂直平分线分别交于点F ，G ，连接，则____AC AC BC ，AE EAG ∠=15. 如图，和中，，且点B ，D ，E 在ABC ADE V ,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠同一条直线上，若，则______°．40BEC ∠=︒ADE ∠=16. 当时，一次函数（为常数）图像在轴上方，则的取22x -≤≤()322y a x a =-++a x a 值范围________．17. 如图，一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，C 是上的一点，334y x =+OA 若将沿折叠，点A 恰好落在y 轴上的点处，则点C 的坐标是______.ABC BC A'18. 如图，已知中，，，，点是边上一动点，Rt ABC △90ACB ∠=︒30A ∠=︒2AB =D AC 则的最小值为______．12+BDAD 三、解答题（本大题共9小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本题共2小题，每题5分，共10分）解答下列问题：（1；)02023-（2）3(1)27x +=-20. （10分）如图相交于点．,,,AB ADCB CD AC BD ==E（1）求证；ABC ADC ≅△△（2）求证．BE DE =21. （10分）如图，在平面直角坐标系中，点、关于直线l 对称，点C ()1,2A -()4,2B -的坐标是，点C 关于直线l 的对称点为点．()2,1-C '（1）的面积等于______；点的坐标为______；ABC C '（2）在直线l 上找一点P ，使得最短，则的最小值等于______．PB PC +'PB PC +'22. （10分）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地BC DE 面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，AF AC A E 1.5m BC =0.5m BE =求滑道的长度．AC23.（10分）如图，已知直线：与直线平行，与轴交于点，与轴交1l 2y kx =-y x =x A y 于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．B 2l y ()0,4C xD 1l ()3,E m（1）求直线对应的函数表达式；2l（2）求四边形的面积．AOCE 24.（10分）如图，中，，垂足为D ，，，．ABC AD BC ⊥1BD ＝2＝AD 4CD ＝（1）求证：；90BAC ∠=︒（2）点P 为上一点，连接，若为等腰三角形，求的长．BC AP ABP BP 25.（10分）小明从A 地匀速前往B 地，同时小亮从B 地匀速前往A 地，两人离B 地的路程与行驶时间之间的函数图像如图所示．()m y ()min x（1）A 地与B 地的距离为，小明的速度是；m m /min（2）求出点P 的坐标，并解释其实际意义；（3）设两人之间的距离，在图②中，画出s 与x 的函数图像（请标出必要的数据）；()m s （4）当两人之间的距离小于时，则x 的取值范围是．3000m 26.（12分）如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平()10,0A ()0,8B B x 行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接，．P OP AP（1）若将沿翻折后，点的对应点恰好落在轴上，则的面积BOP △OP B B 'x BOP △______；BOP S =△（2）若平分，求点的坐标；OP APB ∠P （3）已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求C 85y x =APC △AP 点的坐标．C 27. （14分）【情境建模】（1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着逆向思考：如图1，点D 在的边上，平分ABC BC AD ，且，则．请你帮助小明完成证明；BAC ∠AD BC ⊥AB AC =【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：①如图2，在中，是角平分线，过点B 作的垂线交、于点E 、F ，ABC AD AD AD AC ．求证：；2ABF C ∠=∠()12BE AC AB =-②如图3，在四边形中，，，平分，ABCD AC =AB BC -=BD ABC ∠，当的面积最大时，请直接写出此时的长．AD BD ⊥ACD AD【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中ABC ，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、90ACB ∠=︒60AC =80BC =OA OB OM 、，其中入口M 、N 分别在、上，步道、分别平分和ON MN AC BC OA OB BAC ∠，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地ABC ∠OM OA ⊥ON OB ⊥CMN 上公益广告等设施，试求至少需要围挡多少米？（步道宽度忽略不计）答案一、选择题1.C2.B2.B2.B2.B3.C4.C5.D6.A7.D8.A二、填空题9. 【正确答案】10. 【正确答案】11. 【正确答案】5()3,2-2y x=-12. 【正确答案】(或) 13. 【正确答案】6.5AD FB =AB FB =C E ∠=∠14. 【正确答案】15.【正确答案】7016.【正确答案】40︒2675a <<17.【正确答案】18. 3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题19.【正确答案】（1）1；（2）4x =-20.【正确答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质可知角相等，再根据全等三角形的判定可知，进而ABE ADE ≌得出线段相等．【小问1详解】解：在和中，ABC ADC ∴，AB AD AC AC BC CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴，()ABC ADC SSS ≌【小问2详解】解：∵，ABC ADC ≌∴，BAC CAD ∠=∠∴在和中，ABE ADE ∴，AB AD BAC CAD AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，()ABE ADE SAS ≌∴，BE DE =21.【正确答案】（1），（2）92()7,1【分析】（1）根据网格得出中的长度、边的高的长度，即可求出面积；先根ABC AB AB据点、求出直线l ，再根据轴对称的性质求点的坐标；()1,2A -()4,2B -C '（2）根据轴对称的性质可知，因此的最小值等于PB PC PA PC AC '''+=+≤PB PC +'，根据两点坐标计算即可．AC '【小问1详解】解：，，，()1,2A -()4,2B -()2,1C -，边的高为，∴413AB =-=AB ()123--=的面积等于；∴ABC 193322⨯⨯=点、关于直线l 对称，()1,2A -()4,2B -直线l 为，∴14522x +==点C 关于直线l 的对称点为点，，C '()2,1C -点的纵坐标为1，横坐标为，∴C '()52272⨯--=点的坐标为，∴C '()7,1故，；92()7,1【小问2详解】解：点、关于直线l 对称，点P 在直线l 上，()1,2A -()4,2B -，∴PA PB =，∴PB PC PA PC AC '''+=+≤，， ()1,2A -()7,1C '∴AC '==的最小值等于．∴PBPC +'故．22.【正确答案】2.5m【分析】设AC =xm ，则AE =AC =xm ，AB =AE -BE =（x -0.5）m ，在Rt △ABC 中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．【详解】解：设AC =xm ，则AE =AC =xm ，AB =AE -BE =（x -0.5）m ，由题意得：∠ABC =90°，在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2，即（x -0.5）2+1.52=x 2，解得x =2.5，∴AC =2.5m ．23. 【正确答案】（1）y =-x +4 （2）7【分析】（1）由直线l 1：y =kx -2与直线y =x 平行，得到直线l 1为y =x -2，进而求得E 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 2对应的函数表达式；（2）根据两直线的解析式求得A 、D 的坐标，然后根据S 四边形ABCE =S △COD -S △AED 求解即可．【小问1详解】解：∵直线l 1：y =kx -2与直线y =x 平行，∴k =1，∴直线l 1为y =x -2，∵点E （3，m ）在直线l 1上，∴m =3-2=1，∴E （3，1），设直线l 2的解析式为y =ax +b ，把C （0，4），E （3，1）代入得，431b a b =⎧⎨+=⎩解得：，14a b =-⎧⎨=⎩∴直线l 2的解析式为y =-x +4；【小问2详解】在直线l 1：y =x -2中，令y =0，则x -2=0，解得x =2，∴A （2，0），在直线l 2：y =-x +4中，令y =0，则-x +4=0，解得x =4，∴D （4，0），∴S △COD =×4×4=8，S △AED =（4-2）×1=1，1212∴S 四边形ABCE =S △COD -S △AED =8-1=7．故四边形AOCE 的面积是7．24.【正确答案】（1）见解析（22或2.5【分析】（1）在中利用勾股定理可求，同理在中利用勾股定理可Rt △ABD 2AB Rt ACD △求，而，易求，从而可知是直角三2AC 5BC CD BD =+=22225AC AB BC +==ABC 角形．（2）分三种情况：①当时；②当时；③当时；分别求出BP AB =BP AP =AP AB =的长即可．BP 【小问1详解】证明：是直角三角形，理由如下：ABC ，21AD BC AD BD ⊥ ，=，=，2225AB AD BD ∴=+=又，42AD BC CDAD ⊥ ，=，=，22220AC CD AD ∴=+=，5BC CD BD =+= ，225BC ∴=，22225AC AB BC ∴+==，是直角三角形．90BAC ∴∠=︒ABC解：分三种情况：①当时，BP AB =，AD BC ⊥，AB ∴=BP AB ∴=②当时，P 是的中点，BP AP =BC ；1 2.52BP AB ∴==③当时，；AP AB =22BP BD ==综上所述：2或2.5．BP 25.【正确答案】（1）3600，120（2）点P 的坐标为（20，1200）；实际意义为出发20分钟时，两人在离B 地1200米处相遇（3）见解析（4）＜x ＜50103【分析】（1）由图象可直接得出A 地与B 地的距离，根据图象小明从A 地到B 地的时间为，用距离除以时间即可得速度；30min （2）列出两有的函数解析式，联立组成方程组求解即可得出点P 坐标；由题意知点P 表示两人相遇时的时间与距离；（3）根据或或列出解析式，再画出图象即可，020x ≤<2030x ≤≤3060x <≤（4）先画图象，再根据图象求解即可．【小问1详解】解：由图可得：A 地与B 地的距离为，3600m 小明的速度为：．()3600=120m/min 30故3600，120；解：，，()3600=60m/min 60V =小亮()3600=120m/min 30V =小明∴ 小亮的函数关系式为，小明的函数关系式为60y x =3600120y x=-∴，解得．，603600-120y x y x =⎧⎨=⎩201200x y =⎧⎨=⎩∴ 点P 的坐标为，()20,1200点P 的坐标实际意义为：出发20分钟时，两人在离B 地1200米处相遇．【小问3详解】解：当时，，020x ≤<3600601203600180s x x x =--=-当时，，2030x ≤≤6012036001803600s x x x =+-=-当时，，3060x <≤60s x =∴s 与x 的函数关系式为：，()()()360018002018036002030603060x x s x x x x ⎧-≤<⎪=-≤≤⎨⎪<≤⎩图像如图②所示，【小问4详解】解：当时，则，解得：，3000s =36001803000x -=103x =，解得：，603000x =50x =如图，由图象可得：当两人之间的距离小于3000m 时，则x 的取值范围是．10503x <<故．10503x <<26.【正确答案】（1）32 （2）（3）点的坐标为或()4,8P C ()10,16162,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据翻折性质得在轴上，得出，得是等腰直角三角OB x 45BOP ∠=︒OBP 形，即可求解面积；（2）过点作轴于点，由平行线性质和角平分线性质得出，从P PD x ⊥D AOP OPA ∠=∠而得出，再根据勾股定理求解即可；10OA AP ==（3）设，，要使是以为直角边的等腰直角三角形，有两种8,5C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),8P n APC △AP 情况：①当且时，②当且时，分别求解即可．AP PC ⊥AP PC =AP AC ⊥AP AC =【小问1详解】将沿翻折后，点的对应点恰好落在轴上，BOP △OP B B 'x ∴在轴上，OB x ∴，45BOP ∠=︒∵轴，l x ∥∴，OB BP ⊥∴是等腰直角三角形，OBP 又∵，(0,8)B ∴，8OB BP ==∴，188322BOP S =⨯⨯=△故32；【小问2详解】如图，过点作轴于点，P PD x ⊥D 则有，8PD OB ==∵轴，l x ∥∴，OPB AOP =∠∠∵平分，OP APB ∠∴，OPB OPA ∠=∠∴，AOP OPA ∠=∠又∵，(10,0)A ∴，10OA AP ==由勾股定理得，6AD ==∴，1064OD =-=∴；()4,8P【小问3详解】∵点是直线上一点，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，C 85y x =P ∴设，，8,5C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),8P n 要使是以为直角边的等腰直角三角形，有两种情况：APC △AP ①当且时，AP PC ⊥AP PC =如图，过点作直线轴于点，过点作直线于点，P PE x ⊥E C CF PE ⊥F 易证得，Rt Rt CFP PEA △≌△∴，即，PF AE =88105m n -=-，即，CF PE =8m n -=联立，解得或（不合题意，舍去），881058m n m n ⎧-=-⎪⎨⎪-=⎩102m n =⎧⎨=⎩501315413m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴；()10,16C ②当且时，AP AC ⊥AP AC =如图，过点作于，过点作直线轴于点，A AM l ⊥M C CN x ⊥N易证得，Rt Rt AMP ANC △≌△∴，即，AM AN =810m =-，即，MP NC =8105n m -=联立，解得或（不合题意，舍去），8108105m n m ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩2565m n =⎧⎪⎨=⎪⎩181945m n =⎧⎪⎨=⎪⎩∴；162,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上，点的坐标为或．C ()10,16162,5⎛⎫ ⎪⎝⎭27.【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②；（3）至少需要围挡40米．32【分析】（1）根据角平分线和垂直的性质，证明，即可证明()ASA ADB ADC ≌；AB AC =（2）①由（1）可得，，，进而得到，AB AF =12BE FE BF ==AC AB CF -=，再利用三角形外角的性质得到，从而推出，即可ABF AFB ∠=∠C CBF ∠=∠BF CF =证明结论；②延长和相交于点E ，由（1）可知，，得到，AD BC ADB ADE ≌AB BE =，进而得到，当AD DE =CE =12ACD CDE ACE S S S == 时，最大，即最大，利用勾股定理求出，即可得到的长；A C C E ⊥ACE S ACD S 3AE =AD （3）延长交于点D ，延长交于点E ，由（1）可知，MO AB NO AB ，，得到，，进而证明AOM AOD △△≌BON BOE △△≌OM OD =ON OE =，得到，再利用勾股定理得到，设，()SAS MON DOE ≌MN DE =100AB =AM x =，则，，，，从而得到BN y =60CM x =-80CN y =-AD x =BE y =，即可求出的周长，得到答案．100DE x y =+-CMN 【详解】（1）解：平分，AD BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，AD BC ⊥ ，90ADB ADC ∴∠=∠=︒在和中，ADB ADC △,,,BAD CAD AD AD ADB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ADBADC ∴ ≌；AB AC ∴=（2）①证明：在中，是角平分线，，ABC AD AE BF ⊥由“情境建模”的结论得，AEF AEB △△≌，，AB AF ∴=12BE FE BF ==，，AC AB AC AF CF ∴-=-=ABF AFB ∠=∠，2ABF C ∠=∠ ，2AFB C ∴∠=∠，AFB C CBF ∠=∠+∠ ，C CBF ∴∠=∠，BF CF ∴=；()111222BE BF CF AC AB ∴===-②延长和相交于点E ，AD BC 平分，，BD Q ABC ∠AD BD ⊥由“情境建模”的结论得：，ADB ADE ≌，，AB BE ∴=AD DE =AB BC -=，BE BC CE ∴-==为中点，D AE ，12ACD CDE ACE S S S ∴== 当最大时，最大，即时，最大，∴ACE S ACD S A C CE ⊥ACD S ，，CE =AC =，3AE ∴==；1322AD AE ∴==（3）延长交于点D ，延长交于点E ，MO AB NO AB 、分别平分和，，，OA OB BAC ∠ABC ∠OM OA ⊥ON OB ⊥由“情境建模”的结论得：，，AOM AOD △△≌BON BOE △△≌，，OM OD ∴=ON OE =在和中，MON △DOE ,,,OM OD MON DOE ON OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS MON DOE ∴ ≌，MN DE ∴=，，，90C ∠=︒ 60AC =80BC =，100AB ∴==设，，AM x =BN y =，，60CM x ∴=-80CN y =-，，AOM AOD ≌BON BOE △△≌，，AD AM x ∴==BE BN y ==，100DE AD BE AB x y ∴=+-=+-，100MN DE x y ∴==+-的周长，CMN ∴ ()()()608010040CM CN MN x y x y =++=-+-++-=答：至少需要围挡40米．。

广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题含答案解析

广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题一、单选题(共24 分)1已知集合A={x|1≤x≤3}B={x|y=ln(2−x)}则A∩B=（）A[1,2)B(1,2)C(1,3)D(1,3]【答案】A【分析】先求集合B中的x的取值范围再根据交集运算求解即可【详解】∵B={x|y=ln(2−x)}∴B={x|x<2}则A∩B=[1,2)故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算属于基础题2复数z满足iz=2+i其中i为虚数单位则|z|=（）A1B√3C2D√5【答案】D【分析】由复数的运算与模的概念求解．【详解】由题意得z=2+ii=1−2i|z|=√1+4=√5故选：D3已知向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)．若a⃗∥b⃗⃗则m=（）A6B−6C−32D2 3【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解【详解】由向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)且a⃗∥b⃗⃗则−3×2−m=0解得m=−6．故选：B4已知a=ln12,b=(12)−3,c=tan15°1−tan215°则abc的大小关系是（）A a>b>cB c>b>aC b>c>aD a>c>b 【答案】C【分析】分别化简a,b,c即可明显比较出三者大小关系【详解】因为a=ln12=−ln2<0b=(12)−3=8c=tan15°1−tan215°=12tan30°=√36<1所以b>c>a故选：C5在一次篮球比赛中某支球队共进行了8场比赛得分分别为：2930382537404232那么这组数据的第75百分位数为（）A375B38C39D40【答案】C【分析】由百分位数的概念求解．【详解】数据按从小到大排序为25,29,30,32,37,38,40,52而8×75%=6故第75百分位数为38+402=39故选：C6金针菇采摘后会很快失去新鲜度甚至腐烂所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度ℎ与其采摘后时间t（天）满足的函数解析式为ℎ=mln(t+a)(a>0)．若采摘后1天金针菇失去的新鲜度为40%采摘后3天金针菇失去的新鲜度为80%．那么若不及时处理采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知√2≈1.414结果取一位小数）（）A40天B43天C47天D51天【答案】C【分析】由已知条件两式相除求出a设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1再与已知一式相除可求得t．【详解】由已知{mln(1+a)=0.4mln(3+a)=0.8相除得ln(3+a)ln(1+a)=2ln(3+a)=2ln(1+a)(1+a)2=3+a因为a>0故解得a=1设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1又mln(1+1)=0.4所以ln(t+1)ln2=10.42ln(t+1)=5ln2=ln32(t+1)2=32t+1=√32=4√2=4×1.414=5.656t=4.656≈4.7．故选：C．7已知F1F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点点P在椭圆上且在第一象限过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线垂足为AO为坐标原点若|OA|=√3b则该椭圆的离心率为（）A2√23B√63C√33D√23【答案】B【分析】由椭圆的定义与几何性质得边长关系再由离心率的概念求解．【详解】设F1P与F2A交于点Q由题意PA⊥F2APA平分∠F2PQ则|PQ|=|PF2|A是F2Q中点|QF1|=|PF1|+|PQ|=2a 而O是F1F2中点故OA是△F1F2Q的中位线|QF1|=2|OA|则2a=2√3ba=√3bc2=a2−b2=23a2e=ca=√63故选：B8已知函数f (x )=e |x|−12g (x )={12x +1,x ≤0(x −1)lnx,x >0若关于x 的方程g(f (x ))−m =0有四个不同的解则实数m 的取值集合为（） A (0,ln22) B (ln22,1) C {ln22} D (0,1)【答案】A 【分析】设t =f(x)根据f(x)的解析式可得f(x)的单调性、奇偶性即可作出f(x)的图象即可求得t 的最小值利用导数判断g(x)的单调性结合t 的范围作出g(t)的图象数形结合可得 m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意即可得答案【详解】设t =f(x)则g(t)−m =0有四个不同的解因为f(−x)=e |−x|−12=e |x|−12=f(x)所以t =f(x)为偶函数且当x >0时f(x)=e x −12为增函数所以当x ≤0时t =f(x)为减函数所以t min =f(0)=e 0−12=12即t ≥12当x >0时g(x)=(x −1)lnx则g ′(x)=lnx +1x(x −1)=lnx −1x+1令g ′(x)=0解得x =1所以当x ∈(0,1)时g ′(x)<0g(x)为减函数当x ∈(1,+∞)时g ′(x)>0g(x)为增函数又g (12)=−12ln 12=ln22作出x >0时g(x)的图象如图所示：所以当m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点且设为t 1,t 2作出t =f(x)图象如下图所示：此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意综上实数m 的取值范围为(0,ln22)故选：A 【点睛】解题的关键是根据解析式利用函数的性质作出图象将方程求根问题转化为图象求交点个数问题考查分析理解数形结合的能力属中档题二、多选题(共 9 分)9已知数列{a n }的前n 项和为S n =11n −n 2则下列说法正确的是（） A {a n }是递增数列B a 2=8C数列{S n}的最大项为S5和S6D满足S n>0的最大的正整数n为10【答案】BCD【分析】由a n与S n关系求通项判断AB由二次函数性质判断CD．【详解】由S n=11n−n2得当n=1时a1=10当n≥2时a n=S n−S n−1=11n−n2−11(n−1)+(n−1)2=−2n+12n=1时也满足故a n=−2n+12a2=8A错误B正确故当n=5或n=6时S n最大故C正确由二次函数y=11x−x2的对称轴为112满足S n>0得0<n<11最大的正整数n为10故D正确故选：BCD10某班级到一工厂参加社会实践劳动加工出如图所示的圆台O1O2在轴截面ABCD中AB=AD= BC=2cm且CD=2AB则（）A该圆台的高为1cm B该圆台轴截面面积为3√3cm2cm3C该圆台的侧面积为6πcm2D该圆台的体积为7√3π3【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项【详解】如图作BE⊥CD交CD于E易得CE=CD−AB2=1则BE=√22−12=√3则圆台的高为√3cm A错误；圆台的轴截面面积为12×(2+4)×√3=3√3cm2B正确；圆台的侧面积为S侧=π(1+2)×2=6π故C正确；圆台的体积为13×√3×(π+4π+√π⋅4π)=7√3π3cm3D正确故选：BCD11某校高二年级在一次研学活动中从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观要求所有景点全部参观且不重复记“第k站参观甲地的景点”为事件A k k=12…7则（）A P(A6)=37B P(A2∣A1)=13C P(A1+A2)=27D P(A2A3)=1249【答案】AB【分析】根据古典概型的概率公式可判断A,C选项继而根据条件概率的计算公式可判断B选项结合对立事件判断D选项【详解】由题意可得P(A6)=C31A66A77=37,A正确；P(A1)=C31A66A77=37,P(A2A1)=A32A55A77=17,P(A2∣A1)=P(A2A1)P(A1)=1737=13故B正确；由于P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1∩A2)=37+37−17=57C错误；P(A2A3)=C31C41A55A77=1242=27,所以D错误故选：AB三、单选题(共3 分)12已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[−π3,π6]上单调f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)则ω的可能取值为（）A127B95C67D35【答案】ABD【分析】由三角函数的性质判断周期后求解．【详解】f(x)在[−π3,π6]上单调则T2≥π6−(−π3),T≥π而f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)有以下情况①4π3−π6=7π6=kT,k∈Z而T≥π则k=1T=7π6ω=2πT=127②4π3−(−π3)=5π3=kT+T2,k∈Z而T≥π则k=1T=10π9ω=2πT=95或k=0T=10π3ω=2πT=35综上ω的可能取值为1279 5 3 5故选：ABD四、填空题(共12 分)13在(x+2x )5的展开式中x3的系数是___________【答案】10【分析】由二项式定理求解．【详解】(x+2x )5的展开通项为T r+1=C5r x5−r(2x)r=C5r⋅2r x5−2r当r=1时x3的系数为10故答案为：1014已知抛物线C:y2=4x的焦点为F准线为l与x轴平行的直线与l和C分别交于AB两点若|AF|= |BF|则|AB|=______【答案】4【分析】抛物线的定义结合题意得到△ABF 为等边三角形设准线l 与x 轴交于点H |AB |=2|FH |即可得出答案【详解】由抛物线的定义可知|AF |=|BF |=|AB |△ABF 为等边三角形设准线l 与x 轴交于点H 则|FH |=2|AB |=2|FH |=4 故答案为：415已知点A (2,−1,3)若B (1,0,0)C (1,2,2)两点在直线l 上则点A 到直线l 的距离为______ 【答案】3 【分析】先求与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量u ⃗⃗然后由公式d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2可得【详解】依题意AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,−3)而BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,2) 故与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量为u ⃗⃗=√2√2)则所求距离d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2=√11−2=3 故答案为:316已知正四面体ABCD 的棱长为2P 为AC 的中点E 为AB 中点M 是DP 的动点N 是平面ECD 内的动点则|AM|+|MN|的最小值是_____________【答案】√33+36【分析】取CE中点O先由OP⊥面CDE得N在线段DO上再把△PDO沿PD翻折到平面APD上得到|AM|+ |MN|的最小值即A到OD的距离再借助三角函数的知识求出最小值即可【详解】取CE中点O连接DO,OP由正四面体可知DE⊥AB,CE⊥AB又DE∩CE=E∴AB⊥面CDE又OP∥AB∴OP⊥面CDE当|AM|+|MN|最小时MN⊥面CDE故N在线段DO上由OP⊥面CDE可得OP⊥OD又OP=12AE=14AB=12DP=√22−12=√3OD=√3−14=√112将△PDO沿PD翻折到平面APD上如图所示：易知∠ADP=30∘sin∠ODP=OPDP =2√3cos∠ODP=ODDP=√112√3,则sin∠ODA=sin(∠ODP+30∘)=sin∠ODPcos30∘+cos∠ODPsin30∘=3+√3312故|AM|+|MN|的最小值即A到OD的距离即AD⋅sin∠ADO=2×3+√3312=3+√336故答案为：√33+36五、问答题(共6 分)已知{a n}为等差数列{b n}是公比为正数的等比数列a1=b1=2a2=2b1−1b3=2a2+217 求数列{a n}和{b n}的通项公式；18 设数列{c n}满足c n=1a n log2b n记{c n}的前n项和为S n求S2023【答案】17 a n=n+1,b n=2n18 20232024【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项公式列方程组求解（2）由裂项相消法求解．【17题详解】设{a n}的公差为d{b n}的公比为q(q>0)由题得{2+d=2×2−12q2=2(2+d)+2解得{d=1q=2则a n=n+1,b n=2n【18题详解】c n=1a n log2b n=1n(n+1)=1n−1n+1S2023=1−12+12−13+⋯+12023−12024=20232024六、解答题(共18 分)如图已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中所有棱长均为2底面ABCD是正方形侧面ADD1A1是矩形点P为D1C1的中点且PD=PC19 求证：DD 1⊥平面ABCD ；20 求平面CPB 与平面DPB 的夹角的余弦值【答案】19 证明详见解析 20√55【分析】（1）通过证明DD 1⊥AD,DD 1⊥CD 来证得DD 1⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系利用向量法求得平面CPB 与平面DPB 夹角的余弦值【19题详解】设Q 是CD 的中点连接PQ 由于P 是C 1D 1的中点所以DD 1//PQ 由于PD =PC 所以PQ ⊥CD 所以DD 1⊥CD 由于四边形ADD 1A 1是矩形所以DD 1⊥AD 由于CD ∩AD =D,CD,AD ⊂平面ABCD 所以DD 1⊥平面ABCD 【20题详解】由于四边形ABCD 是正方形结合（1）的结论可知AD,CD,DD 1两两相互垂直以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系D (0,0,0),P (0,1,2),B (2,2,0),C (0,2,0)DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2,0),CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,2)设平面DPB 的法向量为m ⃗⃗⃗=(x,y,z )则{m ⃗⃗⃗⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y +2z =0m ⃗⃗⃗⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x +2y =0 故可设m ⃗⃗⃗=(2,−2,1)设平面CPB 的法向量为n ⃗⃗=(a,b,c ) 则{n ⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a =0n ⃗⃗⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−b +2c =0故可设n ⃗⃗=(0,2,1) 设平面CPB 与平面DPB 的夹角为θ 则cosθ=|m⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗||=3×√5=√55已知函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 21 求a,b ；22 若过点(1,m )存在三条直线与曲线y =f (x )相切求买数m 的取值范围【答案】21 a =2,b =−3 22 (−14,0) 【分析】（1）根据题意可得f ′(1)=0,f (1)=0即可得解；（2）切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)根据导数的几何意义可得切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)从而可得m =−4x 03+9x 02−6x 0+1再根据过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根利用导数求出函数y =−4x 3+9x 2−6x +1的单调区间及极值即可得解【21题详解】由题意知f ′(x )=3ax 2+2bx因为函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 所以f ′(1)=3a +2b =0,f (1)=a +b +1=0解得a =2,b =−3 经检验符合题意所以a =2,b =−3；【22题详解】由（1）可知函数f (x )=2x 3−3x 2+1所以f ′(x )=6x 2−6x设切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)所以切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)因为切线过点(1,m ) 所以m −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(1−x 0)即m =−4x 03+9x 02−6x 0+1令ℎ(x )=−4x 3+9x 2−6x +1则ℎ′(x )=−12x 2+18x −6=−6(2x −1)(x −1) 令ℎ′(x )=0解得x =12或x =1当x 变化时ℎ′(x ),ℎ(x )的变化情况如下表所示因此当x =12时ℎ(x )有极小值ℎ(12)=−14 当x =1时ℎ(x )有极大值ℎ(1)=0过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根则−14<m <0 所以实数m 的取值范围是(−14,0) 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导根据导数的方法求出函数的单调区间与极值根据函数的基本性质作出图象然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题突出导数的工具作用体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由f (x )=0分离变量得出a =g (x )将问题等价转化为直线y =a 与函数y =g (x )的图象的交点问题23ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 已知asin A+C 2=bsinA ．（1）求B ；（2）若ΔABC 为锐角三角形且c =1求ΔABC 面积的取值范围．【答案】(1) B =π3;(2)(√38,√32) 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式得到关于B 的三角方程最后根据A,B,C 均为三角形内角解得B =π3 (2)根据三角形面积公式S △ABC =12ac ⋅sinB 又根据正弦定理和c =1得到S △ABC 关于C 的函数由于△ABC 是锐角三角形所以利用三个内角都小于π2来计算C 的定义域最后求解S △ABC (C)的值域【详解】 (1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得A+C 2=π2−B2此时asinA+C 2=bsinA 就变为asin (π2− B2)=bsinA ．由诱导公式得sin (π2−B2)=cos B2所以acos B2=bsinA ．在△ABC 中由正弦定理知a =2RsinA,b =2RsinB 此时就有sinAcos B2=sinAsinB 即cos B2=sinB再由二倍角的正弦公式得cos B2=2sin B2cos B2解得B =π3． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cosB 的值可得∠B 的值】由解法1得sinA+C 2=sinB 两边平方得sin 2A+C 2=sin 2B 即1−cos(A+C)2=sin 2B ．又A +B +C =180°即cos(A +C)=−cosB 所以1+cosB =2sin 2B 进一步整理得2cos 2B +cosB −1=0 解得cosB =12因此B =π3．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得A,B,C 的比例关系】根据题意asinA+C 2=bsinA 由正弦定理得sinAsinA+C 2=sinBsinA因为0<A <π故sinA >0 消去sinA 得sin A+C 2=sinB ． 0< B <π0<A+C 2<π因为故A+C 2=B 或者A+C 2+B =π而根据题意A +B +C =π故A+C 2+B =π不成立所以A+C 2=B又因为A +B +C =π代入得3B =π所以B =π3 (2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围然后由面积函数求面积的取值范围】因为△ABC 是锐角三角形又B =π3所以π6<A <π2,π6<C <π2 则S △ABC =12acsinB= 12c 2⋅ac⋅sinB =√34⋅sinA sinC=√34⋅sin(2π3−C)sinC= √34⋅sin2π3cosC−cos 2π3sinC sinC=38tanC+√38．因为C ∈(π6,π2)所以tanC ∈(√33,+∞)则1tanC ∈(0,√3) 从而S △ABC ∈(√38,√32)故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a ．因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3 所以{cosA =b 2+1−a 22b >0,cosC =b 2+a 2−12ab >0,即{b 2+1−a 2>0，b 2+a 2−1>0. 又由余弦定理得b 2=a 2+1−a 所以{2−a >0,2a 2−a >0, 即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法三]【数形结合利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图在△ABC 中过点A 作AC 1⊥BC 垂足为C 1作AC 2⊥AB 与BC 交于点C 2．由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a 因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3所以点C 位于在线段C 1C 2上且不含端点从而c ⋅cosB <a <ccosB 即cos π3<a <1cosπ3即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系从而确定角的大小(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用24已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合且双曲线的离心率为√5(1)求双曲线的方程；(2)若有两个半径相同的圆C1,C2它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线C的两条渐近线上过双曲线右焦点且斜率为−1的直线l与圆C1,C2都相切求两圆圆心连线的斜率的范围．【答案】（1）5x2−54y2=1；（2）(−2,2)【分析】（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．再利用离心率计算公式e=ca=√5及a2+ b2=c2即可解得ab；（2）利用点斜式得直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．进而可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切利用点到直线的距离公式可得√2=√2经过化简可得n与t的关系再利用斜率计算公式即可得出k=2t+2nt−n把n与t的关系代入即可得出k的取值方法．【详解】解：（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．又e=ca=√5a2+b2=c2解得a2=15b2=45．∴双曲线的方程为5x2−54y2=1．（2）直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．由已知可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切所以√2=√2得直线l与t+2t−1=n−2n−1或t+2t−1=−n+2n+1即n=−3t或n=3t−2设两圆C1C2圆心连线斜率为k则k=2t+2nt−n 当n=−3t时k=2t−6t4t=−1；当n=3t−2时k=2t+2nt−n =4t−2−t+1∵t>0n<0∴0<t<23故可得−2<k<2综上：两圆C1C2圆心连线斜率的范围为(−2,2)．七、应用题(共6 分)某企业对生产设备进行优化升级升级后的设备控制系统由2k−1(k∈N∗)个相同的元件组成每个元件正常工作的概率均为p（0<p<1）各元件之间相互独立当控制系统有不少于k个元件正常工作时设备正常运行否则设备停止运行记设备正常运行的概率为p k（例如：p2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）25 若p=23当k=2时求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望并求p2；26 已知设备升级前单位时间的产量为a件每件产品的利润为4元设备升级后在正常运行状态下单位时间的产量是原来的2倍且出现了高端产品每件产品成为高端产品的概率为14每件高端产品的利润是8元记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）（i）请用p k表示E（Y）；（ii）设备升级后若将该设备的控制系统增加2个相同的元件请分析是否能够提高E（Y）【答案】25 分布列见解析数学期望为2P2=202726 （i）E(Y)=10ap k；（ii）当12<p<1时E(Y)提高；当0<p≤12时E(Y)没有提高【分析】（1）结合二项分布的知识求得分布列、数学期望从而求得p2（2）（i）求得Y的分布列从而求得E(Y)（ii）通过差比较法对p进行分类讨论来分析能否提高E(Y)【25题详解】因为k=2所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0,1,2,3因为每个元件的工作相互独立且正常工作的概率均为p =23所以X ∼B (3,23) 所以P (X =0)=C 30⋅(23)0⋅(13)3=127P (X =1)=C 31⋅(23)1⋅(13)2=29P (X =2)=C 32⋅(23)2⋅(13)1=49P (X =3)=C 33⋅(23)3⋅(13)0=827所以控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列为：控制系统中正常工作的元件个数X 的数学期望为E (X )=3×23=2p 2=P (X =2)+P (X =3)=49+827=2027【26题详解】（i ）设备升级后在正常运行状态下单位时间内的利润为a2×8+3a 2×4=10a所以Y 的分布列为：所以E (Y )=10a ×p k +0×(1−p k )=10ap k（ii ）若控制系统增加2个元件则至少要有k +1个元件正常工作设备才能正常工作设原系统中正常工作的元件个数为ξ第一类：原系统中至少有k +1个元件正常工作其概率为P (ξ≥k +1)=p k −C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k−1；第二类：原系统中恰好有k 个元件正常工作新增2个元件中至少有1个正常工作其概率为P (ξ=k )=C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1⋅[1−(1−p )2]=C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )；第三类：原系统中恰好有k −1个元件正常工作新增2个元件全部正常工作其概率为P (ξ=k −1)=C 2k−1k−1⋅p k−1⋅(1−p )k ⋅p 2=C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k所以p k+1=p k −C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1+C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )+C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k=p k +C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以p k+1−p k =C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以当12<p <1时p k+1−p k >0p k 单调递增即增加2个相同元件设备正常工作的概率变大；当0<p ≤12时p k+1−p k ≤0即增加2个相同元件设备正常工作的概率没有变大因为E (Y )=10ap k所以当12<p <1时E (Y )提高；当0<p ≤12时E (Y )没有提高。

广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷含答案解析

江门市2024年高考模拟考试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某市高三年级男生的身高X (单位：cm)近似服从正态分布()2175,5N .现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm 的概率是（）参考数据：()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈A.0.6827B.0.34135C.0.3173D.0.158652.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或153.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-4.已知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭=（）A.45-B.45C.35-D.355.设1F ，2F 为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，点A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于M 、N 两点，且点M 、N 分别在第一、三象限，若2π3MAN ∠=，则双曲线的离心率为（）A.153B.C.213D.6.已知()()()()()()451121101211111222x x x a a x a x a x ++++++=+++++++ ，则02410a a a a ++++ 的值是（）A.680B.680- C.1360D.1360-7.已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm)，方差为26，若增加一名身高172(单位：cm)的女生，则这10名女生身高的方差为（）A.32.4B.32.8C.31.4D.31.88.物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A.7B.8C.9D.10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.2z z z ⋅=，z C ∈B.2024i 1=-C.若1z =，z C ∈，则2z -的最小值为1D.若43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，则8p =10.已知函数()2ππsin 2sin 20)33f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则2ω=B.当1ω=，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x的值域为2⎡⎤⎣⎦C.当1ω=时，()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.若()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则58ω≤<11.已知曲线:148x x y y E +=，则下列结论正确的是（）A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为[]22-,C.曲线E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第二象限D.()00,Mxy 是曲线E 00y +的取值范围为(]0,4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=__________.13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有_____________个面；若被截正方体的棱长是60cm ，那么该几何体的表面积是___________cm 2.14.函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ，y ，恒有ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.请写出满足上述条件的函数()f x 的一个解析式__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接矩形，PA 是圆柱的母线.（1）证明：在侧棱PD 上存在点E ，使//PB 平面AEC ；（2）在（1）的条件下，设二面角D AE C --为60︒，1AP =，AD =，求三棱锥E ACD -的体积.16.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为()0l αα<<，收到0的概率为1α-：发送1时，收到0的概率为()01ββ<<，收到1.的概率为1β-.假设发送信号0和1是等可能的.（1）已知接收的信号为1，且01005.,.αβ==，求发送的信号是0的概率；（2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.17.己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是33，过点()2,0M 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 被椭圆E截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在与点M 不同的定点N ，使得NA MA NBMB=恒成立?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.18.已知关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，分别为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<.（1）求m 的取值范围；（2）设13x t x =-，证明：3x 随着t 的增大而减小.19.将2024表示成5个正整数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 之和，得到方程413522024x x x x x +++=+①，称五元有序数组()12345,,,,x x x x x 为方程①的解，对于上述的五元有序数组()12345,,,,x x x x x ，当1,5i j ≤≤时，若)m )ax((N i j x x t t -=∈，则称()12345,,,,x x x x x 是t -密集的一组解.（1）方程①是否存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；（2）方程①的解中共有多少组是1-密集的?（3）记521i i S x ==∑，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由.江门市2024年高考模拟考试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某市高三年级男生的身高X (单位：cm)近似服从正态分布()2175,5N .现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm 的概率是（）参考数据：()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈A.0.6827 B.0.34135C.0.3173D.0.15865【答案】D 【解析】【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.【详解】由题意，175,5μσ==，且()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈，所以()()10.68271700.158652P X P X μσ-≤=≤-≈=.故选：D2.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或15【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理求得角C ，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知ABC 中，30,2B b == ，c =故sin sin b c B C =，即sin 22sin302sin 22c B C b === ，由于c b >，故30C B >= ，则45C = 或135 ，故A 的大小为1803045105--= 或1803013515--= ，故选：D3.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列下标和性质计算可得.【详解】在{}n a 是等比数列，2354a a a =，2264a a a =，又3548a a a =，所以48a =，又2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，所以226464m a a a ===.故选：C4.已知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义可求得sin α的值，再利用诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则||1OP ==，故4sin 5α=，则4cos sin 25παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，故选：A5.设1F ，2F 为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，点A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于M 、N 两点，且点M 、N 分别在第一、三象限，若2π3MAN ∠=，则双曲线的离心率为（）A.153B.C.213D.【答案】C 【解析】【分析】先求出点M ，N 的坐标，再利用余弦定理求出,a c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】由题意得圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为b y x a=．设点M 的坐标为()00,x y ，则点N 的坐标为()00,x y --，由222b y xax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222c a b =+，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∴(),M a b ，(),N a b --．又(),0A a -，∴AM =AN ==在MAN △中，2π3MAN∠=，由余弦定理得2222π||||2cos3MN AM AN AM AN =+-即22222π4()cos 3c a a b b b =+++-，化简得2273a c =，∴3e =．故选：C ．6.已知()()()()()()451121101211111222x x x a a x a x a x ++++++=+++++++ ，则02410a a a a ++++ 的值是（）A.680B.680- C.1360D.1360-【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法，分别令=1x -和3x =-，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案.【详解】令=1x -，则012110a a a a =++++ ，即012110a a a a ++++= 令3x =-，则()()()4110123115222a a a a a -+-++-=-+-+- ，即48012311(2)[1(2)]13601(2)a a a a a ----+-+-==--- ，两式相加可得0241013606802a a a a ++++=-=- ，故选：B7.已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm)，方差为26，若增加一名身高172(单位：cm)的女生，则这10名女生身高的方差为（）A.32.4 B.32.8C.31.4D.31.8【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的计算公式计算得解.【详解】令9名女生的身高为(N ,9)i a i i *∈≤，依题意，919162i ii a===⨯∑，921(162)926i i i a ==-=⨯∑，因此增加一名女生后身高的平均值为9111(172)(9162172)1631010i i i a ==+=⨯+=∑，所以这10名女生身高的方差为992221111[(163)(172163)]{[(162)1]81}1010i i i i i i a a ====-+-=--+∑∑92111{[(162)2(162)9]81}(926981)32.41010i i i i a a ===---++=⨯++=∑.故选：A8.物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A.7 B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.【详解】1010118000128181()()(1)(80)lglg lg lg 180n kk k P n P k P k P k k k=++=++++=+++=+∑ ，而42lg814lg 3log 81lg 42lg 22lg 3lg 9lg 5lg 51log 511lg 2lg 2====+++，故9k =．故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.2z z z ⋅=，z C ∈B.2024i 1=-C.若1z =，z C ∈，则2z -的最小值为1D.若43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，则8p =【答案】ACD 【解析】【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A ；根据虚数单位的性质可判断B ；设i,(,R)z x y x y =+∈，根据复数的模的计算公式，可得221x y +=，以及2z -=，结合x 的范围可判断C ；将43i -+代入方程，结合复数的相等，求出p ，即可判断D.【详解】对于A ，z C ∈，设复数i,(,R)z a b a b =+∈，则i,(R)z a b a,b =-∈，||z =，故222i)(i ()z a b a b a b z z +-+⋅===，A 正确；对于B ，由于24i 1,i 1=-=，故20244506i (i )1==，B 错误；对于C ，z C ∈，设i,(,R)z x y x y =+∈，由于1z =，则2211,x y =∴+=，故2z -===由221x y +=，得11x -≤≤，则451x -+≥，故当1x =时，2z -的最小值为1，C 正确；对于D ，43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，故2)43i 43()(),R (0i p q p q +-++=∈-+，即04(3i 724)p p q -+-+=，故7408,324025p q p p q -+==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩，D 正确，故选：ACD10.已知函数()2ππsin 2sin 20)33f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则2ω=B.当1ω=，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦C.当1ω=时，()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.若()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则58ω≤<【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合各选项的条件及正弦函数的性质计算可得.【详解】因为()2ππsin 2sin 233f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin 23333x x x x x ωωωωω=++-sin 22x x ωω=+1π2sin 2cos 22sin 2223x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ：若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，即π22T =，所以πT =，则2ππ2T ω==，解得1ω=，故A 错误；对于B ：当1ω=时()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 2,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦，故B 正确；对于C ：将()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2ππππ2sin 22sin 22sin 22cos 2633266y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故C 正确；对于D ：由π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππππ2,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，所以ππ2π3π33ω≤+<，解得58ω≤<，故D 正确.故选：BCD 11.已知曲线:148x x y y E +=，则下列结论正确的是（）A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为[]22-,C.曲线E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第二象限D.()00,Mxy 是曲线E 00y +的取值范围为(]0,4【答案】AD【解析】【分析】首先对x 、y 分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A 、B ，由双曲线的渐近线与 1.4y x =-的关系判断C 00y +，即点()00,M x y 到直线0y +=0y c ++=与曲线()2210,048x y x y +=≥≥相切时c 的值，再00y +的最大值，即可判断D.【详解】因为曲线:148x x y y E +=，当0x ≥，0y ≥时22148x y +=，则曲线E 为椭圆22148x y +=的一部分；当0x >，0y <时22148x y -=，则曲线E 为双曲线22148x y-=的一部分，且双曲线的渐近线为y =；当0x <，0y >时22184y x -=，则曲线E 为双曲线22184y x-=的一部分，且双曲线的渐近线为y =；可得曲线的图形如下所示：由图可知y 随着x 增大而减小，故A 正确；曲线E 的横坐标取值范围为R ，故B 错误；因为 1.4->E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第四象限，故C 错误；00y +=，即点()00,Mxy 0y+=倍，0y c ++=与曲线()2210,048x y x y +=≥≥相切时，由221480x y y c ⎧+=⎪++=，消去y 整理得22480x c ++-=，则()()221680c ∆=--=，解得4c =（舍去）或4c=-，y +=40y +-=的距离d ==，00max4y +==，00y +的取值范围为(]0,4，故D 正确；故选：AD【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出曲线E 的图形，D 选项的关键是转化为点到直线的距离.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】首先求出a b λ+的坐标，再依题意可得()0a b b λ+⋅= ，即可得到方程，解得即可.【详解】因为()1,0a = ，()1,1b = ，所以()1,a b λλλ+=+，又a b λ+ 与b 垂直，所以()10a b b λλλ+⋅=++= ，解得12λ=-.故答案为：12-13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有_____________个面；若被截正方体的棱长是60cm ，那么该几何体的表面积是___________cm 2.【答案】①.14②.1080036003+【解析】【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是60cm ，那么石凳的表面积是(()21822sin 60623021080036003cm2S =⨯⨯︒+⨯⨯+.故答案为：14，1080036003+14.函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ，y ，恒有ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.请写出满足上述条件的函数()f x 的一个解析式__________.【答案】()sin f x x =（答案不唯一）【解析】【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可，不妨令()sin f x x =，根据两角和的正弦公式及诱导公式证明即可.【详解】依题意不妨令()sin f x x =，则()()sin sin cos cos sin f x y x y x y x y +=+=+，又ππππ()()sin sin sin sin 2222f x f y f x f y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin x y x y =+，所以ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()sin f x x =符合题意.同理可证明()sin 5f x x =，()sin 9f x x =，L ，也符合题意.故答案为：()sin f x x =（答案不唯一）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接矩形，PA 是圆柱的母线.（1）证明：在侧棱PD 上存在点E ，使//PB 平面AEC ；（2）在（1）的条件下，设二面角D AE C --为60︒，1AP =，AD =，求三棱锥E ACD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）38【解析】【分析】（1）取PD 的中点E ，连接BD 交AC 于O ，连接EO ，即可证明//EO PB ，从而得证；（2）设()0AB t t =>，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出t ，再根据锥体的体积公式计算可得.【小问1详解】取PD 的中点E ，连接BD 交AC 于O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，所以//EO PB ，又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ，【小问2详解】设()0AB t t =>，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()C t ，()D ，310,,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()AC t =，()0AD = ，310,,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又平面ADE 的法向量可以为()1,0,0n =r，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z = ，则031022m AC tx m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取)m t =- ，因为二面角D AE C --为60︒，所以1cos 602m n m n ⋅︒==⋅，解得32t =（负值舍去），所以32AB CD ==，所以113332224ACD S AD CD =⋅==，又点E 到平面ACD 的距离1122d PA ==，所以11331333428E ACD ACD V S d -==⨯⨯=.16.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为()0l αα<<，收到0的概率为1α-：发送1时，收到0的概率为()01ββ<<，收到1.的概率为1β-.假设发送信号0和1是等可能的.（1）已知接收的信号为1，且01005.,.αβ==，求发送的信号是0的概率；（2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.【答案】（1）221（2）102β<<【解析】【分析】（1）由题意确定发送的信号为0、1的概率以及接收信号为0、1的概率，根据全概率公式可求出已知接收的信号为1的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（2）分别求出采用三次传输方案译码为1的概率和采用单次传输方案译码为1的概率，由题意列出不等式，解不等式，即可求得答案.【小问1详解】设A ：发送的信号为1，B ：接收到的信号为1，则A ：发送的信号为0，B ：接收到的信号为0，则()()()()1,|0.95,|0.12P A P A P B A P B A ====，故()()()()P B P AB AB P AB P AB ==+ ()()()()||P A P B A P A P B A =+0.50.950.50.10.525=⨯=⨯+，故()()()()()()|0.50.12|0.52521P ABP A P B A P A B P B P B ⨯====；【小问2详解】采用三次传输方案译码为1的概率为()()()()2323113C 11311P ββββββ=-+-=-+-，采用单次传输方案译码为1的概率为21P β=-，由题意得()()()232123111(1)(2)(1)(12)0P P ββββββββββ-=-+---=--+=-->而01β<<，故1120,2ββ->∴<，故102β<<.17.己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是3，过点()2,0M 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为433.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在与点M 不同的定点N ，使得NA MA NBMB=恒成立?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22164x y +=（2）存在定点()3,0N ，使得NA MA NBMB=恒成立【解析】【分析】（1）由离心率及过点232,3⎛ ⎝⎭列方程组求解,a b .（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出()3,0N ，设点B 关于x 轴的对称点B '，证得,,N A B '三点共线得到NA MA NBMB=成立.【小问1详解】依题意可得点2,3⎛ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以2222244133a b c e a a b c⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222642a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为22164x y +=.【小问2详解】当l 垂直于x 轴时，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，如果存在点N 满足条件，则有||||1||||NA MA NB MB ==，即NA NB =，所以点N 在x 轴上，设()0,0N x ，当l 与x 轴重合时，设直线l 与椭圆相交于A ，B两点，不妨设()A，)B，则由||||1||||NA MA NB MB ==，即=，解得02x =或03x =，所以若存在不同于点M 的定点N 满足条件，则点N 的坐标为()3,0；下面证明：对任意的直线l ，均有||||1||||NA MA NB MB ==，当l 不平行于x 轴且不垂直于x 轴时，设直线l 方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()222164y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222321212120k x k x k +-+-=，因为直线l 恒过椭圆内定点()2,0M ，故0∆>恒成立，所以21221232k x x k +=+，2122123212x k x k -=+，所以()()()12121212121266112333339x x x x x x x x x x x x +-+-+===------++，易知点B 关于x 轴的对称点B '的坐标为()22,x y -，又()111112333NA k x y k k k x x x -===+---，()21222232333NB k x y k k x k x x k x k '--=+-==--=----，所以NANB k k '=，则,,N A B '三点共线，所以12NA NA y MANB NB y MB ='==；综上：存在与点M 不同的定点()3,0N ，使NA MA NBMB=恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.18.已知关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，分别为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<.（1）求m 的取值范围；（2）设13x t x =-，证明：3x 随着t 的增大而减小.【答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再利用导数分别求出函数在各段的单调性，即可画出函数图象，从而求出m 的取值范围；（2）由（1）可知12310x x x <-<<<，且()00,1x ∃∈，使得()01ef x =，则()300,x x ∈，再由()3113e e x x x x m -=⋅=，得到1313ln x x x x -=-，令13x t x =-，则01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，从而得到3ln 1tx t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，再令()ln 1th t t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，利用导数说明函数的单调性即可.【小问1详解】令()e ,0e 0,0e ,0x xx x x f x x x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，当0x >时()()1e 0xf x x '=+>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当0x <时()()e 01xf x x '=->+，所以10x -<<时()0f x '<，1x <-时()0f x ¢>，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，又()11ef -=，当0x <时()0f x >，且x →-∞时()0f x →，当x →+∞时()f x →+∞，则()f x的图象如下所示：因为关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，即()y f x =与y m =有三个交点，由图可知10e m <<，即实数m 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知12310x x x <-<<<，又()00f =，()11e ef =>，且()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()00,1x ∃∈，使得()01e f x =，所以()300,x x ∈，由()3113e e x x x x m -=⋅=，所以3113e x x x x -=-，即1313ln x x x x -=-，令13x t x =-，则01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以3ln 1t x t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()ln 1t h t t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()()21ln 1t t th t t t +-'=+，令()1ln g t t t t =+-，011t x >>，所以()ln 0g t t '=-<，即()g t 在01,x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()00000001ln 11111ln x x g t g x x x x x ⎛⎫++<=+-= ⎪⎝⎭，又001e e x x =，即00ln 1x x +=-，所以00001ln 10x x g x x ⎛⎫++== ⎪⎝⎭，即()0g t <，所以()0h t '<，所以()h t 在01,x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即3x 随着t 的增大而减小.【点睛】关键点点睛：第一问关键是由导数说明函数的单调性，从而得到函数的图象，第二问关键是得到3ln 1t x t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.19.将2024表示成5个正整数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 之和，得到方程413522024x x x x x +++=+①，称五元有序数组()12345,,,,x x x x x 为方程①的解，对于上述的五元有序数组()12345,,,,x x x x x ，当1,5i j ≤≤时，若)m )ax((N i j x x t t -=∈，则称()12345,,,,x x x x x 是t -密集的一组解.（1）方程①是否存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；（2）方程①的解中共有多少组是1-密集的?（3）记521i i S x==∑，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析（2）5（3）存在，最小值为819316.【解析】【分析】（1）若1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数，则{}i x 构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到320245x =，推出矛盾即可得解；（2）依题意1t =时，即当1,5i j ≤≤时，1m x()a i j x x -=，则{}max 405i x =，{}min 404j x =，即可求出1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中有4个405，1个404，从而得解；（3）由方差公式得到2255S x σ=+（2σ为方差），从而得到当方差2σ取最小值时S 取最小值，从而推出()12345,,,,x x x x x 是1-密集，即可求出S 的最小值.【小问1详解】若1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数，根据等差数列的定义可得{}i x 构成等差数列，所以41532352024x x x x x x ++==++，解得320245x =，与3N *x ∈矛盾，所以不存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数；【小问2详解】因为()351422024404.8551x x x x x x +++==+=，依题意1t =时，即当1,5i j ≤≤时，1m x()a i j x x -=，所以{}max 405i x =，{}min 404j x =，设有y 个405，则有5y -个404，由()40540452024y y +-=，解得4y =，所以1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中有4个405，1个404，所以方程①的解共有5组.【小问3详解】因为平均数()351422024404.8551x x x x x x +++==+=，又方差()522115i i x x σ==-∑，即()5522221155i i i i x x x x σ===-=-∑∑，所以2255S x σ=+，因为x 为常数，所以当方差2σ取最小值时S 取最小值，又当0=t 时12345x x x x x ====，即152024x =，方程无正整数解，故舍去；当1t =时，即()12345,,,,x x x x x 是1-密集时，S 取得最小值，且22min 4405404819316S =⨯+=.【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用.。

2024届浙江省嘉兴二模数学试题+答案

2024年高三教学测试数学试题卷考生注意：1.答题前，请务必将自已的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（2024.4）.1.已知集合{0},{24}M x x N x x <−<<∣∣，则()R M N ∩= （） A.{2}x x >−∣ B.{20}x x −<<∣ C.{4}x x <∣ D.{04}x x <∣ 2.已知函数()()cos (0)f x x ωϕω=+>是奇函数，则ϕ的值可以是（） A.0 B.π4 C.π2D.π 3.设z ∈C ，则“0z z +=”是“z 是纯虚数”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若正数,x y 满足2220x xy −+=，则x y +的最小值是（）C. D.2 5.如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（）6.已知圆()()222:(5)(2)(0),6,0,0,8C x y r r A B −++=>−，若圆C 上存在点P 使得PA PB ⊥，则r 的取值范围为（）A.(]0,5B.[]5,15C.[]10,15D.[)15,∞+7.6位学生在游乐场游玩,,A B C 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（） A.180种 B.210种 C.240种 D.360种8.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1xf x x f x =′−，且()10f >，则（） A.()()1122f f f<<B.()()1212f f f <<C.()()1212f f f <<D.()()1212f f f<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1,3,5,7,9，其中位数为a ，平均数为x ，极差为b ，方差为2s .现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为a ′x ′，极差为b ′，方差为'2s ，则下列说法中正确的是（） A.若删去3，则a a <′ B.若删去9，则x x <′ C.无论删去哪个数，均有b b ′ D.若x x =′，则2'2s s <10.已知角α的顶点与原点重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()(),0,A a b ab a b ≠≠，定义：()a bTi a bα+=−.对于函数()()f x Ti x =，则（） A.函数()f x 的图象关于点π,04对称 B.函数()f x 在区间ππ,42上单调递增C.将函数()f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到一个偶函数的图象 D.方程()12f x =在区间[]0,π上有两个不同的实数解 11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线2Ω:2(0)y px p =>的准线为,l O 为坐标原点，在x 轴上方有两束平行于x 轴的入射光线1l 和2l ，分别经Ω上的点()11,A x y 和点()22,B x y 反射后，再经Ω上相应的点C 和点D 反射，最后沿直线3l 和4l 射出，且1l 与2l 之间的距离等于3l 与4l 之间的距离.则下列说法中正确的是（）A.若直线3l 与准线l 相交于点P ，则,,A O P 三点共线B.若直线3l 与准线l 相交于点P ，则PF 平分APC ∠C.212y y p =D.若直线1l 的方程为2y p =，则7cos 25AFB ∠=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量(),,,,1,a b c a b c −− 是非零向量，且c 与,a b 的夹角相等，则c的坐标可以为__________.（只需写出一个符合要求的答案）13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，若1521,8b b b =−=，()()121nnn Sn n T −=+，则n a =__________.14.在四面体ABCD 中，2,90BC ABC BCD ∠∠=== ，且AB 与CD 所成的角为60 .若四面体ABCD 的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos 3cos23A A −=. （1）求cos A 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，23b c =，求sin C 的值. 16.（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面,ABCD PA ∥QD ，222,60BC AB PA ABC ∠==== .（1）证明：平面PCD ⊥平面PAC ；（2）若PQ =，求平面PCQ 与平面DCQ 夹角的余弦值. 17.（15分）春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感的人其检测结果有95%呈阳性（感染），而没有患流感的人其检测结果有99%呈阴性（未感染）. （1）估计该市流感感染率是多少？（2）根据所给数据，判断是否有99.9%的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；（3）已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，()2P K k >0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k2.7063.8416.6357.87910.82818.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的虚轴长为4，浙近线方程为2y x =±.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于点,A B ，点M 是线段AB 的中点，过点F 且与l 垂直的直线l ′交直线OM 于点P ，点Q 满足PQ PA PB =+，求四边形PAQB 面积的最小值.19.（17分）已知集合12120,i m a m i i A a a a a = =<<<∈∑N ∣ ，定义：当m t =时，把集合A 中所有的数从小到大排列成数列{}()n b t ，数列{}()n b t 的前n 项和为()n S t .例如：2t =时，010*********(2)223,(2)225,(2)226,(2)229,b b b b =+==+==+==+= ，41234(2)(2)(2)(2)(2)23S b b b b =+++=.（1）写出56(2),(2)b b ，并求10(2)S ；（2）判断88是否为数列{}(3)n b 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；（3）若2024是数列{}()n b t 中的某一项()00n b t ，求00,t n 及()00n S t 的值.2024年高三教学测试数学参考答案（2024.4）一､单选题（40分）1-8DCBA DBCD第8题：由()()()1xf x x f x =′−变形得()()()f x xf x x f x ′−=，从而有()()()()2f x xf x x f x f x ′−=，()()'x x f x f x =，所以()e x x k f x =⋅，所以()e x x f x k =⋅，则()()22e 1e e e e x x x x x k x k kx f x k k −−⋅==′，又()10f >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+单调递减，所以()112f f<，()()21f f <，又()322212e 422e 2e f f k k − −=−=，又33e 2.719.716>≈>，所以32e 4>，所以()()1212f f f<< ，故选D.二､多选题（18分）9.ACD 10.AB 11.ACD第11题：对于选项A ，因为直线AC 经过焦点，设直线:2pAC xty =+，与抛物线22y px =联立得222131320,2,y pty p y y pt y y p −−=+==−，由题意得231312,,,,22OPy y p P y A y k p p −=−， 3213222AO y p pk p y p y ===−−，所以OP AO k k =，即A O P ､､三点共线，A 正确；对于选项B ，因为,APFCPF CFP CPF ∠∠∠∠==，所以APF CFP ∠∠=，所以AP ∥CF ，与AP 和CF 相交于A 点矛盾，B 错误；对于选项1C,l 与2l 距离等于3l 与4l 距离，则2221212341212y y p p y y y y p y y y y −−=−=−+=⋅，所以212,C y y p =正确；对于选项D ，()332,2,,,,0,,2,,822282p p p p p p A p p B F FA p FB ==−，22337252,2821616p p p p p FA FB p FA FB ⋅=⋅−+⋅=⋅=，7cos 25FA FB AFB FA FB ∠⋅==⋅ ，D 正确.故选ACD三､填空题（15分）12.(),,0cx x x ≠均可 13.2n 14.3第14题：依题意，可将四面体ABCD 补形为如图所示的直三棱柱ABE FCD −，因为AB 与CD 所成的角为60 ，所以60DCF ∠= 或120 ，设,CD x CF y ==，外接球半径记为R ，外接球的球心如图点O.1112sin60332ABCD CDF V BC S xy xy=⋅⋅=××== ，得24xy =，在Rt 2OCO 中，222222221112sin 3DF R OC OO CO DF DCF ∠ ==+=+=+，所以当60DCF ∠= 时，外接球的半径会更小. 在CDF 中，由余弦定理得222DF x y xy =+−，所以()2221111933R x y xy xy =++−≥+=，所以min 3R =.四､解答题（77分）15.（13分）解析：（1）()22cos 32cos 13A A −−=，即23cos cos 0A A −=，解得1cos 3A =或cos 0A =；（2）解法一：由正弦定理得()23,2sin 3sin ,2sin 3sin b c B C A C C ==+=， 2sin cos 2sin cos 3sin A C C A C +=，因为1cos 3A =，所以sin A =；2sin 3sin 3C C C +=，解得tan C =，所以sin C =.解法二：由余弦定理得1cos 3A =，因为23b c =，所以22222291424,3393c c a c a c a c +−===，又1cos 3A =，所以sin A =，所以2sin sin 3C A ==16.（15分）解析：（1）解法一：2,60BC AB ABC ∠== ，,AB AC CD AC ∴⊥∴⊥，PA ⊥ 底面,ABCD PA CD ∴⊥，CD ∴⊥平面,PAC CD ⊂ 平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAC .解法二：2,60,BC AB ABC AB AC ∠==∴⊥ . 如图建立空间直角坐标系，()()0,0,1,0,0,0P A ，()(),C D −，则()0,0,1PA=−，()()1,1,0,0PC CD −=−设()1,,n x y z =是平面PAC 的法向量，则1100000z n PA y z z n PC = ⋅= ⇒⇒== −=⋅=，取()11,0,0n = ，设()2,,n a b c =是平面PCD 的法向量，则220000a n CD c n PC = ⋅= ⇒ −=⋅=，取(2n = ，所以120n n ⋅=，所以平面PCD ⊥平面PAC .（2）解法一：在直角梯形ADQP 中，解得3QD =，过,C P 作,CE PE 分别平行于,AP AC ，连结QE ，作PF QC ⊥交QC 于F 点，连结EF ，,,AC CD AC QD AC ⊥⊥∴⊥ 平面CDQE ，PE ∥,AC PE ∴⊥平面CDQE ， ,PF QC EF QC ⊥∴⊥ ，PFE ∠∴为平面PCQ 与平面DCQ 的夹角，PE =，在PCQ中解得PF =，sin cos PEPFE PFE PF ∠∠∴=（2）解法二：在直角梯形ADQP 中，解得3QD =，如图建立空间直角坐标系，()()0,0,1,P C ，()(),Q D −−，平面DCQ的法向量为()1n AC ==，()()1,0,3,0,CQ CP =−，设平面PCQ 的法向量为()2222,,n x y z =，(22200CQ n n CP n ⋅=⇒ ⋅=，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅即平面PCQ 与平面DCQ.17.（15分）解析：（1）估计流感的感染率220800.31000P +==. （2）列联表：疫苗情况流感情况合计患有流感不患有流感打疫苗220 580 800 不打疫苗80 120 200 合计 300700 1000 根据列联表，计算()()()()222()1000(22012058080)11.9800200300700n ad bc K a b c d a c b d −×−×==≈++++×××. 因为11.910.828>，所以有99.9%的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关.（3）设事件A 为“一次检测结果呈阳性”，事件B 为“被检测者确实患有流感”，由题意得()()()()0.3,0.7,0.95,0.01P B P B P A B P A B ====∣∣，()()()0.30.950.285P AB P B P A B =⋅=×=∣，由全概率公式得()()()()()0.30.950.70.010.292P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=×+×=∣∣，()()()0.28597.6%0.292P AB P B A P A ==≈∣，所以此人真的患有流感的概率是97.6%. 18.（17分）解析：（1）易知双曲线的标准方程为2214y x −=. （2）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y AB x my =+，联立方程2244x my x y =+ −=得()()()2222241160,Δ3206441641m y m m m −++==−−=+，且120002y y y x my +==+ 由,,O M P 三点共线得004P Py y m x x ==①，由PF AB ⊥得1PF AB k k ⋅=−11m =−②，由①②解得P . 由PQ PA PB =+ 可知，四边形PAQB 是平行四边形，所以2PAQBPAB P l S S d AB −==⋅ ，P l d −=，()2228141m PQ y m +=−==−，所以322PAQB S =，令22141,4t t m m+=−=，则PAQB S =，令()32(5)t f t t +=，则()()222343(5)103(5)2(5)t t t t t t f t t t′+−+⋅−⋅+==，所以()f t 在()0,10上单调递减，()10,∞+上单调递增，所以()min 135()104f t f ==，所以()min PABQ S10t =，即m =时取等号.19.（17分）解析：（1）因为2m =，此时{}121212220,,a a A a a a a =+≤<∈N ∣， 313256(2)2210,(2)2212b b =+==+=，()0123410(2)422222124S ∴=++++=.（2）当3m =时，{}3121231232220,,,a a a A a a a a a a =++≤<<∈N ∣， 64388222,88=++∴ 是数列{}(3)n b 中的项，比它小的项分别有31231231236222,05,,,,a a a a a a a a a N C ++≤<<≤∈个，有126212124222,03,,,a a a a a a C ++≤<≤∈N 个，有1461113222,02,,a a a C ++≤≤∈N 个，所以比88小的项共有32164329C C C ++=个，故88是数列{}(3)n b 的第30项. （3）1098765320242222222,2024=++++++∴ 是数列{}(7)n b 中的项，故07t =，则当7m =时，{}7121271272220,,,,a a a A a a a a a a =+++≤<<<∈N ∣，方法一：比它小的项分别有以下7种情况： ①712127127222,09,,,,,10a a a a a a a a a +++≤<<<≤∈N 个数字任取7个得710C 个，②612101261262222,08,,,,a a a a a a a a a ++++≤<<<≤∈N ，得69C 个， ③51291012512522222,07,,,,a a a a a a a a a +++++≤<<<≤∈N ，得58C 个， ④1248910124124222222,06,,,,a a a a a a a a a ++++++≤<<<≤∈N ，得47C 个， ⑤31278910123123222222,05,,,a a a a a a a a a ++++++≤<<≤∈N ，得36C 个， ⑥1267891012122222222,04,,a a a a a a ++++++≤<≤∈N ，得25C 个， ⑦15678910112222222,02,a a a ++++++≤≤∈N ，得13C 个，所以比2024小的项共有765432110987653C C C C C C C ++++++个，其中76543213333331098765310987653C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++333333441098765553C C C C C C C C =+++++++−4112C =− 328=故2024是数列{}(7)n b 的第329项，即0329n =.方法二：{}712127127222010,,,,a a a A a a a a a a +++≤<<<≤∈N ∣共有元素711C 个，最大的是109876542222222++++++，其次为1098765322222222024++++++=，所以2024是数列{}(7)n b 的第7111329C −=项，即0329n =. 在总共711330C =项中，含有02的项共有610C 个，同理12102,2,2 都各有610C 个，所以()6011033010(7)2222102047429870S C =⋅+++=×= ，则()00329330330(7)(7)(7)4298702032427838n S t S S b ==−=−=.。

2023-2024学年山东省潍坊市高三二模数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则下列Venn 2023-2024学年山东省潍坊市高三二模数学试题✽图中阴影部分可以表示集合的是( )A. B.C. D.2.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则( )A. B.C.D.3.已知函数，则( )A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数4.在中，D 在BC 上且，点E 是AD 的中点，记，，则( )A.B.C.D.5.已知事件A 、B 满足，，则( )A.B.C. 事件A ，B 相互独立D. 事件A ，B 互斥6.某公司为实现利润目标制定奖励制度，其中规定利润超过10万元且少于1000万元时，员工奖金总额单位：万元随利润单位：万元的增加而增加，且奖金总额不超过5万元，则y 关于x 的函数可以为参考数据：，( )A.B.C.D.7.如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱内部全空，其中模型上、下层的底面周长均为，高为现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于则该模型的侧面积至少为( )A. B.C. D.8.已知双曲线的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为( )A. B. 2 C. D. 3二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则( )A. B. C. D.10.已知实数，则( )A. B.C. D.11.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则( )A.B. 函数为偶函数C.D. 曲线在处的切线斜率为12.已知四棱锥，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，点M在平面ABCD上，且，则( )A. 存在，使得直线PB与AM所成角为B. 不存在，使得平面平面PBMC. 当一定时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面ABCD围成的几何体的外接球的表面积为D. 若，以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥各面的交线长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省江门市2024年数学(高考)统编版质量检测(备考卷)模拟试卷

广东省江门市2024年数学（高考）统编版质量检测(备考卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题i是虚数单位，复数A．1＋i B．5＋5i C．-5-5i D．-1－i第(2)题一个口袋中装有大小形状相同的3个红球和2个白球，从中不放回抽取3个球，已知口袋中剩下的2个球颜色相同的条件下，抽取的3个球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．第(3)题已知正项数列满足，．则下列正确的是（）A．B．数列是递减数列C．数列是递增数列D．第(4)题已知向量若则与的夹角为（）A．B．C．D．第(5)题若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A．B．C．D．第(6)题对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，则的最小值为（）A．-1B．C．D．第(7)题已知，函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题已知不相等的两个正实数x，y满足，则下列不等式中不可能成立的是（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题在正方体中，点分别是和的中点，则（）A．B．与所成角为C．平面D．与平面所成角为第(2)题已知动直线过抛物线的焦点，与C交于A，B两点，分别在A，B两点作抛物线C的切线，设两条切线交于点．线段的中点为．则（）A．B．C．线段的中点在抛物线上D．面积的最小值为4第(3)题设抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的直线与交于两点.记分别为的面积，则（）A ．B ．C ．D ．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知行列式，则行列式_______第(2)题某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方案数为___________．第(3)题在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，则______．四、解答题（本题包含5小题，共77分。

2024届江苏省百校大联考高三上学期二模数学试题及答案

江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数−z的模长为( )A.2B.3C.D2.52.已知集合M={x|1x-1<-1},N={x|ln x<1},则M∪N=( )A.(0,1]B.(1,e)C.(0,e)D.(-∞,e)3.已知平面向量a=(-2,1),c=(2,t),“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,A(3,0),B(12,-1),则f(x)的解析式是( )A.f(x)=sin(x+π6)B.f(x)=sin(x-π6)C.f(x)=sin(2x+π3)D.f(x)=sin(2x-π6)5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“C x8>C y8”,则P(A)=( )A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y=ax+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为( )A.2ln 2B.ln 2C.12Dln 2.1+ln 27.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )A.线段AB长度的最小值为2B.△A1FB1的形状为锐角三角形C.A,O,B1三点共线D.M的坐标不可能为(3,-2)8.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n+a n=1,记b m为数列{a n}中能使a n≥2m+1(m∈N*)成立的最小项,则数列{b m}的前2023项和为( A.2023×B2024.22024-1C.6-327D.112-328二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是( )A.f(0)=0B.f(x)的一个周期为2C.f(2023)=D1.f(5)=f(4)+f(3)10.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,如图,已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于R,S两点,则下列命题正确的是( )A.存在直线l,使得AP∥ORB.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-22(x-a),RS=2SB,则双曲线C的离心率为311.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的是( )A.BD⊥APB.四棱锥P-ABB1A1C.若M为BC的中点,则A1B=2AM-AC1D.PA·PC的最小值为-1412.已知函数f(x)=a(e x+a)-x,则下列结论正确的有( )A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=ln a处取得D.当a>0时,不等式f(x)>2ln a+32恒成立非选择题部分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是 ▲ .14.已知{a n }是递增的等比数列,且满足a 3=1,a 1+a 3+a 5=919,则a 4+a 6+a 8= ▲ .15.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r 1,r 2,且r 1r 2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 ▲ .16.设a>0,已知函数f (x )=e x -a ln (ax+b )-b ,若f (x )≥0恒成立,则ab 的最大值为 ▲ . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1―cos A sin A=sin2B 1+cos2B .(1)证明:cos B=a2b .(2)求ab 的取值范围.18.(12分)受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.19.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=3,2S n =3a n -3.(1)证明数列{a n }为等比数列;(2)设数列{a n }的前n 项积为T n ,若1log )232)(21(13+∙>+--∑=n a T a S k n n k k kk λ对任意n ∈N *恒成立,求整数λ的最大值.20.(12分)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,右焦点为F ,已知A 1F =3FA 2.(1)求椭圆的离心率.(2)已知椭圆右焦点F 的坐标为(1,0),P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线A 2P 交y 轴于点Q.若△A 1PQ 的面积与△A 2FP 的面积相等,求直线A 2P 的斜率.21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD.(1)证明:PD⊥平面ABCD.(2)若PD=AD,M是PD的中点,N在线段PC上,求平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x ln x-1ax2(a>0).2(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),证明:x1x2>1.a江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.D 【解析】法一:因为z (1+i )=1-3i ,所以z=1-3i 1+i =(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i ,所以|―z |=|z|=5,故选D .法二:两边取模|z (1+i )|=|1-3i |,得|z|·|1+i |=|1-3i |,所以|―z |=|z|=5,故选D .2.C 【解析】解不等式1x -1<-1,即xx -1<0,所以0<x<1,即M=(0,1),由ln x<1,得0<x<e ,所以N=(0,e ),所以M ∪N=(0,e ),故选C .3.C 【解析】a=(-2,1),c=(2,t ).若a ∥c ,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时a 与c 互为相反向量;若a ·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量a 与c 的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a 与c 的夹角为锐角”的充要条件,故选C .4.C 【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω=2.将(7π12,-1)代入解析式,得sin (7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+2k π,k ∈Z ,又|φ|<π2,即φ=π3,所以f (x )=sin (2x+π3).故选C .5.C 【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P (A )=1336,故选C .6.B 【解析】设切点为(x 0,ln x 0),y'=1x ,则a =1x 0,ax 0+b =ln x 0,得b=ln x 0-1,∴2a+b=2x 0+ln x 0-1.设f (x )=2x +ln x-1(x>0),f'(x )=-2x 2+1x =x -2x 2,当x ∈(0,2)时,f'(x )<0,当x ∈(2,+∞)时,f'(x )>0,∴f (x )min =f (2)=ln 2,∴2a+b 的最小值为ln 2.7.C 【解析】因为抛物线C 过点P (1,-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ,线段AB 长度的最小值为通径2p=4,所以A 错误;由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,k OA=y1x1=4y1=-y2,因为B1(-1,y2),所以kOB1=-y2=k OA,A,O,B1三点共线,所以C正确;设AB的中点为M(x0,y0),则y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以D错误.故选C.8.D　【解析】当n=1时,a1=12,由S n+1+a n+1=1,得2a n+1-a n=0,∴a n=12n,显然{a n}递减,要使得a n最小,即要使得n最大,令12n ≥12m+1,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,则n≤2,b m=a2=14;若4≤m≤7,则n≤3,b m=a3=18;若8≤m≤15,则n≤4,b m=a4=116;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,b m=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T2047=11×12=112,∴T2023=112-24211=112-328,故选D.9.ABD　【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BD　【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k越来越接近渐近线的斜率时,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;D选项,联立直线l与渐近线y=ba x,解得S(a22b+a,ab2b+a),联立直线l与渐近线y=-ba x,解得R(a2-2b+a,ab2b-a),由题可知,RS=2SB,所以y S-y R=2(y B-y S),即3y S=y R+2y B,3ab 2b+a =ab2b-a,解得b=2a,所以e=3,故D正确.故选BD.11.BCD　【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;对于C ,AC 1=AB +AD +AA 1,AM =AB +1AD ,2AM -AC 1=AB -AA 1=A 1B ,故C 正确;对于D ,设PC =λD 1C ,PA ·PC =(PC +CB +BA )·PC=(λD 1C -AD -AB )·λD 1C =(λA 1B -AD -AB )·λA 1B =(λAB -λAA 1-AD -AB )·(λAB -λAA 1)=λ(λ-1)|AB |2-λ2AA 1·AB -λAD ·AB -λ(λ-1)AB ·AA 1+λ2|AA 1|2+λAD ·AA 1=λ(λ-1)|AB |2-(2λ2-λ)AA 1·AB -λAD ·AB +λ2|AA 1|2+λAD ·AA 1=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA ·PC 的最小值为-14,故D 正确.故选BCD .12.BD 【解析】对于A ,因为a=1,所以方程f (x )=0即e x +1-x=0,又e x ≥x+1>x-1,所以e x +1-x>0恒成立,所以方程f (x )=0不存在实数根,所以A 错误.对于B ,因为f (x )=a (e x +a )-x ,定义域为R ,所以f'(x )=a e x -1,当a ≤0时,由于e x >0,则a e x ≤0,故f'(x )=a e x -1<0恒成立,所以f (x )在R 上单调递减,所以B 正确.对于C ,由上知,当a>0时,令f'(x )=a e x -1=0,解得x=-ln a.当x<-ln a 时,f'(x )<0,则f (x )在(-∞,-ln a )上单调递减;当x>-ln a 时,f'(x )>0,则f (x )在(-ln a ,+∞)上单调递增.当a>0时,f (x )在(-∞,-ln a )上单调递减,在(-ln a ,+∞)上单调递增.所以函数f (x )有最小值,即最小值在x=-ln a 处取得,所以C 错误.对于D ,由上知f (x )min =f (-ln a )=a (e -ln a +a )+ln a=1+a 2+ln a ,要证f (x )>2ln a+32,即证1+a 2+ln a>2ln a+32,即证a 2-12-ln a>0恒成立,令g (a )=a 2-12-ln a (a>0),则g '(a )=2a-1a =2a2-1a.令g'(a )<0,则0<a<22;令g '(a )>0,则a>22.所以g (a )在(0,22)上单调递减,在(22,+∞)上单调递增,所以g (a )min =g (22)=(22)2-12-ln 22=ln 2>0,则g (a )>0恒成立,所以当a>0时,f (x )>2ln a+32恒成立,D 正确.综上,故选BD .13.(-∞,1]　【解析】因为x ∈[0,2],所以由ax 2-2x+a ≤0,得a ≤2xx 2+1,因为关于x 的不等式ax 2-2x+a ≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a 小于或等于2xx 2+1的最大值,当x=0时,2x x 2+1=0,当x ≠0时,2xx 2+1=2x +1x≤1,当且仅当x=1时,等号成立,所以2xx 2+1的最大值为1,故a ≤1,即实数a 的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].14.273　【解析】设公比为q ,a 1+a 3+a 5=a 3q 2+a 3+a 3q 2=919,解得q 2=9或19,因为{a n }递增,所以q=3,则a 4+a 6+a 8=(a 1+a 3+a 5)q 3=919×33=273.故答案为273.15.12π　【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O 1,O 2,则圆台内切球的球心O 一定在O 1O 2的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,∴OM ⊥AB ,∴OM=OO 1=OO 2=R (R 为球O 的半径),∴△AOO 1与△AOM 全等,∴AM=r 1,同理BM=r 2,∴AB=r 1+r 2,∴O 1O 22=(r 1+r 2)2-(r 1-r 2)2=4r 1r 2=12,∴O 1O 2=23,∴圆台的内切球半径R=3,∴内切球的表面积为4πR 2=12π.故答案为12π.16.e2　【解析】f (x )≥0⇔ax+e x ≥a ln (ax+b )+(ax+b ),设g (x )=a ln x+x ,易知g (x )在(0,+∞)上递增,且g (e x )=a ln e x +e x =ax+e x ,故f (x )≥0⇔g (x )≥g (ax+b )⇔e x ≥ax+b.法一:设y=e x 在点P (x 0,e x 0)处的切线斜率为a ,e x0=a ,即x 0=ln a ,切线l :y=ax+a (1-ln a ),由e x ≥ax+b 恒成立,可得b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),设h (a )=a 2(1-ln a ),a>0,h'(a )=2a (12-ln a ),当a ∈(0,e 12)时,h'(a )>0,当a ∈(e 12,+∞)时,h'(a )<0,∴h (a )max =h (e 12)=e2,∴ab 的最大值为e 2.故答案为e2.法二:设h (x )=e x -ax-b ,h'(x )=e x -a ,当x ∈(-∞,ln a )时,h'(x )<0,当x ∈(ln a ,+∞)时,h'(x )>0,∴h (x )min =h (ln a )=a (1-ln a )-b ≥0,即有b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),下同法一.17.【解析】(1)证法一:因为1-cos Asin A =sin2B 1+cos2B =2sin B cos B 2cos 2B=sin B cos B , 所以(1-cos A )·cos B=sin A ·sin B ,..............................................................................................................2分所以cos B=cos A cos B+sin A sin B ,即cos (A-B )=cos B ,而-π2<A-B<π2,0<B<π2,所以A-B=B ,即A=2B ,..........................................................................................4分所以sin A=sin 2B=2sin B cos B.由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=a2b ..................................................................................................5分证法二:由1-cos A sin A =2sin 2A 22sin A 2cos A 2=sin A 2cos A 2=sin2B 1+cos2B ,所以sin A 2cos A 2=sin2B 1+cos2B,即sin A 2·(1+cos 2B )=cos A2·sin 2B ,所以sin A2=sin 2B ·cos A2-cos 2B ·sin A2=sin (2B-A2),又0<A<π2,0<B<π2且A+B>π2,所以A2=2B-A2或A2+(2B-A2)=2B=π,所以A=2B 或B=π2(与锐角△ABC 不合,舍去).综上知,A=2B.所以sin A=sin 2B=2sin B cos B ,由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=a2b .(2)由上知A=2B ,则C=π-A-B=π-3B ,在锐角△ABC 中,π6<B<π4,.......................................................7分由正弦定理,得a b =sin A sin B =sin2B sin B =2sin B cos Bsin B=2cos B ∈(2,3),...............................................................9分所以ab 的取值范围是(2,3).....................................................................................................................10分18.【解析】(1)记事件D :选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E :此人来自甲市,记事件F :此人来自乙市,记事件G :此人来自丙市..................................................................................................1分Ω=E ∪F ∪G ,且E ,F ,G 彼此互斥,由题意可得P (E )=420=0.2,P (F )=620=0.3,P (G )=1020=0.5,P (D|E )=0.08,P (D|F )=0.06,P (D|G )=0.04,..................................................................................................3分由全概率公式可得P (D )=P (E )·P (D|E )+P (F )·P (D|F )+P (G )·P (D|G )=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054,.................5分所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054..........................................6分(2)由条件概率公式可得P (E|D )=P (DE )P (D )=P (E )·P (D |E )P (D )=0.2×0.080.054=827.................................................11分所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.........................................................12分19.【解析】(1)因为2S n -3a n +3=0,①当n ≥2时,2S n-1-3a n-1+3=0,②..................................................................................................................2分①-②得 a n =3a n-1(n ≥2),即a na n -1=3(n ≥2),所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列..................................................................................4分(2)由(1)知a n =3n ,所以S n =3(1-3n)1-3=3n +1-32,T n =a 1a 2a 3…a n=3×32×33×…×3n =31+2+3+…+n =3n (n +1)2,...........................................................................6分所以n k =1(1-2k )(S k -2a k+32)log 3T k=n k =1(1-2k )(3k +1-32-2·3k +32)log 33k (k +1)2=nk =1(2k -1)3k k (k +1)=nk =1(3k +1k +1-3k k )=3n +1n +1-3>λ·3nn +1对任意n ∈N *恒成立,..................................................8分故λ<3-n +13n -1恒成立,....................................................................................................................................9分令f (n )=3-n +13n -1,则f (n+1)-f (n )=3-n +23n -(3-n +13n -1)=2n +13n >0,...............................................................11分所以数列{f (n )}单调递增,所以f (n )min =f (1)=1,所以λ<1,故整数λ的最大值为0.........................12分20.【解析】(1)由题可知,|A 1A 2|=2a ,由A 1F =3FA 2,所以|A 1F |=3|FA 2|,所以|A 1F |=34|A 1A 2|=32a ,即a+c=32a ,所以椭圆的离心率e=c a =12....................................................................................................3分(2)法一:由题意知,c=1,a=2,所以椭圆方程为x 24+y 23=1,直线A 2P 的斜率存在,设直线A 2P 的斜率为k ,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,设A 1到直线A 2P 的距离为h 1,F 到直线A 2P 的距离为h 2,则h 1=|-4k |k2+1,h 2=|-k |k 2+1,............................................................................................................................5分又S △A1PQ =12h 1·|PQ|,S △A 2FP =12h 2·|A 2P|,S △A 1PQ=S △A2FP,所以|PQ ||A2P|=ℎ2ℎ1=14,............................................................................................................................................8分由图可得A 2P =4A Q ,A 2(2,0),Q (0,-2k ),所以P (25,-85k ),............................................................10分又P 在椭圆上,代入椭圆方程解得k 2=98,因为k<0,所以k=-324...................................................12分法二:由题意知,直线A 2P 的斜率存在,设直线A 2P 的斜率为k ,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,-y -2k =0,y 23=1,消去y 得到方程(3+4k 2)x 2-16k 2x+16k 2-12=0,所以x A 2·x P =16k 2-123+4k 2,所以x P =8k 2-63+4k 2,......................................................................................................5分代入直线方程得P (8k 2-63+4k 2,-12k 3+4k2),Q (0,-2k ),..........................................................................................7分S △A2FP =12|A 2F|·y P =yP2,S △A1PQ=S △QA1A2-S △PA1A2=12·4·(-2k )-12·4·y P ,又因为S △A 1PQ=S △A 2FP,所以52y P =-4k ,....................................................................................................10分所以52·-12k3+4k2=-4k ,解得k 2=98,因为k<0,所以k=-324.........................................................................12分21.【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴AD ⊥CD.∵平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD ∩平面ABCD=CD ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面PCD ,∵PD ⊂平面PCD ,∴AD ⊥PD ,......................................................................................................................2分同理CD ⊥PD.∵AD ∩CD=D ,AD ⊂平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥平面ABCD........................................................................................................................................4分(2)由(1)知AD ⊥PD ,CD ⊥PD ,AD ⊥CD ,∴DA ,DC ,DP 两两垂直,如图,以D 为原点,DA ,DC ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系.设PD=AD=2,则D (0,0,0),P (0,0,2),B (2,2,0),C (0,2,0),M (0,0,1).∵PD ⊥平面ABCD ,∴平面ABCD 的一个法向量为m=(0,0,1),.............................................................................................5分CN =λCP (0≤λ≤1),∴BM =(-2,-2,1),CP =(0,-2,2),∴BN =BC +CN =BC +λCP =(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),设平面BMN 的法向量为n=(x ,y ,z ),则BM ·n =-2x -2y +z =0,BN ·n =-2x -2λy +2λz =0,取x=λ,则y=1-2λ,z=2-2λ,∴平面BMN 的一个法向量为n=(λ,1-2λ,2-2λ)....................................................................................7分设平面BMN 与平面ABCD 的夹角为θ,则cos θ=|cos <n ,m>|=|n ·m|n ||m ||=|2-2λ|λ2+(1-2λ)2+(2-2λ)2=|2-2λ|9λ2-12λ+5,...........................................8分设t=1-λ,则0≤t ≤1.①当t=0时,cos θ=0..................................................................................................................................9分②当t ≠0时,cos θ=2|t |9t2-6t +2=2t29t 2-6t +2=212(1t )2-6×1t+9=212[(1t -32)2+92],当t=23时,cos θ=223,∴0<cos θ≤223.......................................................................................................11分综上,0≤cos θ≤223.∴平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围为[0,223]..............12分22.【解析】(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ln x-ax+1,.........................................................................1分由题意,f'(x )≤0恒成立,即a ≥ln x +1x恒成立,..........................................................................................2分设h (x )=ln x +1x ,h'(x )=-ln x x 2,当x ∈(0,1)时,h'(x )>0,h (x )递增,当x ∈(1,+∞)时,h'(x )<0,h (x )递减,......................................................3分∴h (x )max =h (1)=1,∴a ≥1.................................................................................................................................4分(2)证法一:∵函数f (x )有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g (x )=f'(x )=ln x-ax+1,则x 1,x 2是g (x )的两个零点,∵g'(x )=1x -a ,当x ∈(0,1a )时,g'(x )>0,当x ∈(1a ,+∞)时,g'(x )<0,∴g (x )在(0,1a )上递增,在(1a ,+∞)上递减,∴0<x 1<1a <x 2,又∵g (1)=1-a>0,∴0<x 1<1<1a <x 2,.............................................................................................................................................6分要证x 1x 2>1a ,只需证x 2>1ax 1(>1a ),只需证g (x 2)<g (1ax 1),即证g (1ax 1)=-ln (ax 1)-1x 1+1>0,即证ln (ax 1)+1x 1-1<0,(*)..........................................................................8分由g (x 1)=ln x 1-ax 1+1=0,设ax 1=t ∈(0,1),则ln x 1=t-1,x 1=e t-1,则(*)⇔ln t+e 1-t -1<0,.........................10分设G (t )=ln t+e 1-t -1(0<t<1),G'(t )=1t -1e t -1=e t -1-t t e t -1,由(1)知ln x ≤x-1,∴e x-1≥x ,∴e t-1-t ≥0,即G'(t )≥0,G (t )在(0,1)上递增,G (t )<G (1)=0,故(*)成立,即x 1x 2>1a .......................................................................................12分证法二:先证明引理:当0<t<1时,ln t<2(t -1)t +1,当t>1时,ln t>2(t -1)t +1.设G (t )=ln t-2(t -1)t +1(t>0),G'(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2≥0,∴G (t )在(0,+∞)上递增,又G (1)=0,当0<t<1时,G (t )<G (1)=0,当t>1时,G (t )>G (1)=0,∴引理得证.............................................................................5分∵函数f (x )有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g (x )=f'(x )=ln x-ax+1,则x 1,x 2是g (x )的两个零点,∵g'(x )=1x -a ,当x ∈(0,1a )时,g'(x )>0,当x ∈(1a ,+∞)时,g'(x )<0,∴g (x )在(0,1a )上递增,在(1a ,+∞)上递减,∴0<x 1<1a <x 2,即0<ax 1<1<ax 2................................................6分要证x 1x 2>1a ,只需证ln x 1+ln x 2>-ln a ,即证a (x 2+x 1)>2-ln a ,(*).........................................................7分由引理可得ax 2+ln a-1=ln (ax 2)>2(ax 2-1)ax 2+1,化简可得a 2x 22+a (ln a-2)x 2+ln a+1>0,① (9)分同理ax 1+ln a-1=ln (ax 1)<2(ax 1-1)ax 1+1,即有a 2x 21+a (ln a-2)x 1+ln a+1<0.② (10)分由①-②可得,a 2(x 2+x 1)(x 2-x 1)+a (ln a-2)(x 2-x 1)>0,即a 2(x 2+x 1)+a (ln a-2)>0,即a (x 2+x 1)>2-ln a ,故(*)得证,从而x 1x 2>1a .........................................................................................................................................12分。

广东省惠州市2024-2025学年高三上学期第二次调研考试数学含解析

惠州市2025届高三第二次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．2024.10注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分l已知集合A={�2�x<5}，集合B={xl x2-4x<O}，则A^B=( ）A.(o,s)B.[2,4) c.(4,5) o.(-00,O)u[2,+oo)2已知复数z满足z2+l = 0,则lz+ll=( )A.3B.2C.l D．五3已知等差数列{a,,}前9项的和为27，如＝8，则a.oo= ()A.100B.99C.98 0.974在正方体ABCD-'4iB1Cp1中，棱BC,A戊的中点分别为E,F，则直线E F与平面ABBA所成角的正弦值为（）石 B. 森2石 D. 痀5已知向凳a,b满足：a=(✓3,1)，叫＝石，（兹－b ）·6=3，则向豐6在向榄五上的投影向榄为（）A胃气）B[竿i)C［告）叶亨订6已知函数f(x)=log2厅－2ax),aeR,则“a:s;O"是“函数f(x)在(1，七吩上单调递增＂的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知“水滴＂的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”)所围成的几何体如图所示，将“水滴＂的轴截面看成由线段AB,AC 和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C 所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切已知“水滴＂的“竖直高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指的是平行千水4平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为－，则sin乙BAC=<A3416 24A.-B .- C.—D .—55252538在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多千文科生，女生多千男生，则关千本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（）A理科男生多千文科女生B文科女生多千文科男生C理科女生多干文科男生D理科女生多于理科男生二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关千每天出现的次品的件数的一组样本数据：3,4, 3, 1,5, 3, 2,5, 1, 3则关千这组数据的结论正确的是（）A极经是4B众数小千平均数c ．方差是2D数据的第80百分位数为4.510函数f (x) =A sin (cvx+ <p)(A> O,a> > 0树<§）的部分图象如图所示，现将f(x )的图象向左平移巴6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(2亡7兀X12兀A.<p =－一6B.(i)=2c ．函数）1= xf (x ＋王）是奇函数12 D.g (x )=2c os （2x -¾)II 如图，心形曲线L:x 2+(y -|入扩＝1与Y 轴交于A ,B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（）ypXBA点［孚叩11(-1,1.）均在L 上B.IO月的最大值和最小值之和为3C 点P 的纵坐标的最大值为J5D.I PAl+IPB 怍2石三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在（x+1)5的二项展开式中，各项的系数和为13椭圆于fi =l (a >b>O )的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是R 、F2，若I A F.I ,I F.Fzl,IF.纠成等比数列，则此椭圆的离心率e=.14若关千X的方程ln(ax4)＝[二了有实根，则a江护的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分13分）已知函数f(x)=�X 2一x-2ln x(l)求曲线y=f(x)在点(l,f(1)）处的切线方程：(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的晟小值16（木题满分15分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA J_底面ABCD,AB II CD,AD=CD=l.乙BAD=120'，乙ACB=90°.D C(l)求证：BC上平面PAC:(2)若PA＝石，求平面PCD与平面PCA夹角的余弦值l7 （本题满分15分）已知双曲线C:x2-y2=l及直线l:y＝虹－1(])若l与C有两个不同的交点，求实数K的取值范围：(2)若l与C交千A,B两点，O是坐标原点，且t:.OAB的面积为J5，求实数K的值18（本题满分17分）记t:,.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c且tanA,tanB, t anC均为整数(I)求tanA,tanB, t anC的值，(2)设AC的中点为D,求乙CDB的余弦值19（本题满分17分）若数列{a,,}(1 s n s k, n E N*, k EN*）满足a,，叶0,1}，则称数列{a,,｝为K项0-1数列，由所有k项0-1数列组成集合M ks4)时，a,,=0,求数列{(-l)飞，｝的所有(])若伈｝是12项0-1数列，当且仅当n=3p(p E N*,p项的和；(2)从梊合M人．中仔意取出两个数列｛动，｛丸｝，记X=区|a,－b/|i=I＠求随机变量X的分布列，并证明：E(X)＞一：k2＠若用某软件产生k(k2'.:2)项0-1数列，记事件A =“第一次产生数字1"'B=“第二次产生数字l"'且0<P(A ) <1,0<P (B) <l若P(BIA)<P(B区），比较P(Al B)与P(AI B )的大小惠州市2025届高三第二次调研考试试题高三数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号2345 678答案BDc BAADcl 【解析】因为B ={xl O < x <4}，所以A nB={xl 2�x<4}故选：B 2【解析】因为z 2+l=O,即z 2= -1,所以z ＝土，所以卜＋11=11士11=f言75了＝J5故选：D.的公妇为d，由已知得：｛9a, +36d =273【解析】设等劳数列{a ,,}，解得a,= -1, cl = 1,a, +9d =8所以a 100=a , + 99d = -1 + 99 = 98故选：C.4【解析】连接FB ，在正方体ABCD -f\B ,C 1D 1中，BC..l 平面A BB A ，棱BC 的中点为E,则BE..l 平面A BB I A ，而BFc 平面A BB A ，故BE..l BF,则乙EFB 即为迎线EF 与平面A BB I A 所成角，设正方体棱长为2,则BE=l,BF=.JB I F 2+B阻＝j了I ＝心，BE1✓6则EF =✓BF 2+BE 2＝拆，故sin乙E FB =－－＝－－＝一－故选：BEF拆6A lni ,DI L ,“K ,＇,'…,'} ，夕,j A5【解析】由例＝石，（2ii-b)·b =3,得2li·b -lbi 2=2li·b -2=3,即a 6=－525由已知得la:1=2,所以向摄6在向量a上的投影向量为彗向＝＼卢＝｀石，l)＝厂产，i)故选：A .as l6【解析】若函数f(x)在（l，切）上单调递增，则｛，解得a5-，Il-2a之02所以“a�O"是＂函数f(x)在(1.冲~)上单调递增”的充分不必要条件．故选：A7【解析】设优弧BC 所在圆的圆心为O,半径为R,连接OA ,OB ,OC 易知“水滴＂的＂竖直商度”为OA +R, OA +R 45 “水平宽度”为2R,由题意知＝一，解得OA=－R 因为AB 与圆弧相切千点B ,2R 3 3OB R 3 所以B 在Rt 心ABO 中，sin乙BAO =—=—=－冗OA 5 :::...R5，又乙BAO e l 0，一，（』4所以COS乙BAO=.Jl-sm 汔BAO ＝一，由对称性知，5乙BAO ＝乙CA O,则乙BAC=2乙BAO,3 4 24所以sin 乙BAC=2sin 乙BAOcos 乙BA0=2x-=-x-=—故选：D.5 5 258【解析】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有X 2人：文科女生有）'1人，文科男生有）5人；根据题意可知：X 1 + X 2 > Y i + Y 2'X i +Y i > X 2 + Y 2'根据同向不等式可加的性质有：X 1 + X 2 + X 1 + Y 1 > Y 1 + Y 2 + X 2 + Y 2'即X 1> Y 2，所以理科女生多千文科男生，C正确其他选项没有足够证据论证故选：C .二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号I 9 I 10 I 11全部正确选项I A D I ABO I ACD9【解析】数据从小到大排列为：1,1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5对千A,该组数据的极差为5-1=4,故A正确：对于B,众数为3,平均数为lx2+2+3x4+4+5x210=3,两者相等，故B错误；对干C,方差为而伈－3)2x2+(2-3)2xl+(3-3)2x4+(4-3)2xl+(S-3)2x2] = 1.8,故C错误，对千D,10x80%=8,这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5,故D正确故选：AD.10【解析】由图像可知：f(x)ma x = 2, A= 2:又f(0)=2s叩＝－l,故sinrp＝一L，又lrp|＜巴，所以rp＝－巴，所以A项正确，2 2 6已知f（气＝2sin（五0－勹＝0,由五点作图法可知：卫坛－巴＝亢，解得：OJ=2'所以B项正l2 12 6 l2 6确；故f(x) =2sin（三）则xj.（咕）＝2xsin2x设h(x)=xf.（咕）＝2xsin2x则h(-x)= 2(-x)sin(-2x) =2.xsin2x= h(x)，所以函数y=.-1;小号）是偶函数，故C项错误g(x)=f(x十艺）＝2s i n[2(x+：)－去］＝2s i n(2x＋艺）＝2c o s[�-(2x＋艺）］=2cos甘－2x)=2cos（三），所以D项正确故选：ABD.五II【解析】A选项，经验算，点(—,0和(-1,1)的坐标满足曲线L的方程x2 +(y-lxl)2 =L所以` o)和(-l,l）均在L上故2A项：确B 选项，I OP l ＝心三了，因为曲线L:x江(y-I 入扩＝l 关千Y 轴对称，当x 以0时，x 2 +(y-x)2 =l,设x=cos0, y-x= s in0,0e[－豆］，2 2.l+co s20 所以IOPl 2=.,\,:2+y 2=cos 20+(cos0+sin0)2 =l+�+sin20 23 1 3森l =-＋sin20+－cos20=－＋—sin (20 + rp ),其中tanrp ＝一，2 22 22 所以OP l min =[工石－�,10P 1m ax =[工石＋12 2 2 2 2 2，所以10月的最大值和最小值之和为石，故B项错误；C 选项，因为曲线L:x 2+(y -l x 忙＝1关千Y 轴对称，当x习0时，x 2+(y-x)2 =I ,则(y-x)2 =1-.,\,，2，所以y =x 土』7了因求，占P 的纵坐标的最大值，故取y =x+.[i':了，2又y 2=(x ＋石二了）＝1+2x../I 二了＝1+2[x.了7平1+.,\,;2+(l －入＂2)=2（当且仅当x 2＝上时等号2成立），所以y�.,fi ，故C项正确；x -D 选项，IPA I +I P B� 2✓3等价千点P 在椭圆上－＋—＝1内（包含椭圆），由B 项可知，即满足：322(cos0+sin0)2 +3cos 20 � 6,即2(l+sin20)+3(1+cos20)�6，整理得：23 4sin20 + 3cos20 � 5,即5sin(20+/3）�5'其中其中tan/3＝－，即sin(20+/3）�l 恒成立，则故D4项正确故选：A BD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.32五5314.e i12.【解析】当x =l 时，二项式展升式各项的系数和为25=32故答案为：3213【解析】由题意知I Mi l =a-c,I F;Fz l =2c,IF;科＝c+a,且三者成等比数列，则IFiFi l 2= IAF;I .I F;BIl石石即4c 2= (c-a )(c +a )= c 2 -a 2,所以e 2=－，所以e =—故答案为：—－55514【解析】设方程ln （釭＋勹＝k的实根为X。

江苏省南通市如皋市、崇川区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

2024年初中毕业、升学模拟考试试卷数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 在，，，四个数中，比大的数是（）A. B. C. D.【答案】D解：，，，，而，，即比大的数是；故选：D．2. 据报道，2024年4月26日05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻距离地表约米的中国空间站——“天宫”．数用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B解：，故选：B．3. 下列几何体中，三视图都是圆的是（）A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 正方体【答案】C解：由题意知，圆柱的三视图为圆和长方形，故A不符合要求；圆锥的三视图为带圆心的圆和三角形，故B不符合要求；球的三视图均为圆，故C符合要求；正方体的三视图均为正方形，故D不符合要求；故选：C．4. 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A解：A．，正确，故此选项符合题意；B．与不是同类项，无法合并，故此选项不符合题意；C．，故此选项不符合题意；D．∵，，∴，故此选项不符合题意；故选：A．5. 下列调查中，适宜全面调查的是（）A. 了解某班学生的视力情况B. 调查某批次汽车的抗撞击能力C. 调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间D. 某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数【答案】A解：．了解某班学生的视力情况，适合使用全面调查，因此选项符合题意；．调查某批次汽车的抗撞击能力，不可以使用全面调查，适用抽样调查，因此选项不符合题意；．调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间，适用抽样调查，因此选项不符合题意；．某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次，适用抽样调查，因此选项不符合题意；故选：A．6. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C解：由题意知，，，∵，∴，∴，故选：C．7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是（）A. B. C. D.【答案】B解：∵，，∴，∴，即，∴，故选：B．8. 已知，，将线段平移得到线段，其中，点A的对应点为点C，若，，则的值为（）A. B. 1 C. D. 5【答案】D解：与C对应，B与D对应，平移是向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，，；故选：D．9. 如图，在菱形中，，点P是上一点（不与端点重合），点A关于直线的对称点为E，连接，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D解：连接，如图：由点A关于直线的对称点为E，得：，为等腰三角形，故，由菱形可得，，，，在四边形中，由内角和为得，，由，得，，，，即，故选：D．10. 定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（）A. B. 6 C. D. 3【答案】A首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可．∵，是一对“互助数”∴去分母得，∵∴∴∵∴∴∴整理得，∴或∴或∴解得或但当时，，，不符合题意，所以或，∴p的值可以为．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11. 分解因式：3ax2+6axy+3ay2＝_____．【答案】3a（x+y）2．解：3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2．故答案为3a（x+y）2．12. 若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为________．【答案】18π解：依题意知母线长=6，底面半径r=3，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×3×6=18π．故答案为：18π．13. 计算：________．【答案】0解：==0故答案为：0．14. 若a，b为连续整数，且，则____________．【答案】11解：，，，，，故答案为：11．15. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，画直线交于点，连接，则的度数为____________．【答案】解：∵分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．16. 中国古代数学家杨辉的田亩比数乘除减法中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步”？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设长为步，则依题意列方程为______．【答案】根据矩形的长为x，宽为，利用矩形面积公式列方程即可．∵矩形长为x，宽比长少12，∴宽为，∵矩形面积为864，∴，故答案：．17. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上，点为边的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则与的关系为____________．【答案】解：∵中，，∴点和点纵坐标相同，∵点在反比例函数上，点在反比例函数上，设，则，∴，∴，∵点为边的中点，∴点坐标为，即，∵点在反比例函数上，∴，化简得，故答案为：．18. 如图，在四边形中，，，．作，垂足为点M，连接，若，则的最小值为____________．【答案】解：如图，过D作的平行线，过A作的平行线，两平行线交于点E，即，四边形是平行四边形；，四边形是矩形，，，；连接，则当点M与的交点重合时，最小，从而最小，且最小值为线段的长；过C作，交延长线于点F，则，四边形是矩形，，，；在中，由勾股定理得，最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）解不等式组：（2）化简求值：，其中．【答案】（1）；（2），解：（1）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为；（2）解：原式，当时，原式．20. 如图，点A，F，C，D一条直线上，，，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）∵，，∴，．∵，∴．∴；【小问2】∵，∴．∴．即．∵，，∴．∴．∴．21. 移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付．（1）甲选择“微信”支付的概率为____________；（2）求三人选择同一种支付方式的概率．【答案】（1）（2）【小问1】解：∵某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，∴甲选择“微信”支付的概率为；【小问2】分别设“微信”和“支付宝”为A和B画树状图如下：∴一共有8种等可能得结果，其中三人选择同一种支付方式的结果有2种∴三人选择同一种支付方式的概率为．22. 某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图：b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高于85；c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数：甲组乙组丙组平均分88m90中位数n9292根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：____________，____________；（2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是____________组（填“甲”或“乙”）；（3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由·【答案】（1）90，86（2）乙（3）推荐丙小组，理由见解析【小问1】乙组平均数，甲组得分按从小到大排列为82，83，86，94，95，故中位数，故答案为：90，86；【小问2】甲组方差为，乙组方差为，∴乙组方差更小，∴对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是乙组，故答案为：乙．【小问3】推荐丙小组；理由：乙、丙两组的平均分高于甲组，所以可以在乙组或丙组中选一组，而乙组与丙组的平均分与中位数及最高分都相同，但丙组的最低分更高，所以推荐丙组去．23. 如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B，，垂足为E，交于点D，连接．（1）求证：；（2）若，，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）【小问1】解：∵与相切，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴，∴，∴；【小问2】解：如图，连接，过点O作．∵，∴．∵，∴为等边三角形．∴，．∵．∴．∴．∵与相切，∴．∵，，∴四边形为矩形．∴，．∴，，．∴，∴阴影部分面积为．24. 为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表：型号甲乙效率（单位：千克/时）m每台价格（单位：万元）46已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等．（1）求m的值；（2）若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？【答案】（1）90（2）当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元【小问1】由题意列方程，得．解得．检验：当时，．所以原分式方程的解为．答：m的值为90；【小问2】设总费用为w万元，购买甲型号的机器人x台，则乙型号的机器人为台，则．∵，∴．∵，∴w随x的增大而减小．∴当时，w取得最小值，最小值为48万元．∴当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元．25. 在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片，其中，，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动．【操作猜想】（1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想：甲小组的操作与猜想操作：如图，在，上分别取一点N，M，将沿直线翻折，得到．猜想：当时，．请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由；【深入探究】（2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当时，点E恰好落在矩形的对角线上．请求出图中线段的长度；【拓广延伸】（3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当时，过点E作交射线于点F，若，则的长是多少？请解答这个问题．【答案】（1）正确，理由见解析；（2）；（3）或解：（1）甲小组的猜想正确．理由：∵四边形为矩形，∴，∴，∵折叠，∴，又∵，∴，∴；（2）在中，，，∴，∵折叠，∴，，由（1）可知，∴，，∴，∴，∴，同理，；（3）当点E在下方时，如图1，延长交于点H，同（2）可证．∴，∵，∴．∴．∴，由（1）可得，∴．∵，∴．设，则，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；②当点E在下方时，设交于点H，如图2．同①可得，．∴．∴，∴，∴，∴；综上或．26. 在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C．（1）用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B____________，N____________；（2）如图，当时，连接，．求证：平分；（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请确定k的取值范围．【答案】（1），（2）见解析（3）或【小问1】根据直线与y轴交于点B，令，得∴点，根据题意，得，解得，∴交点坐标分别为，∵点M在x轴上．∴点，故答案为：，．【小问2】∵抛物线，∴，解得，∴抛物线与x轴的交点为，∴，∵，∴，根据(1)，得，，∵点B关于点A的对称点为C，，∴，设直线的解析式为，∴．∴，∵，∴，∴，故直线的解析式为，∴不论k为何值，直线过定点，∴点在直线上．∴平分；【小问3】设图象上的任意一点，图象上的任意一点，根据题意，得，，解得，∴即图象的解析式为，当时，图象的解析式为经过点B时，图象，图象与线段有唯一交点，∴满足解析式，∴，解得(舍去)，经过点M时，图象，图象与线段有唯一交点，∴满足解析式，∴，解得(舍去)∴；当时，当时，图象，图象与线段没有交点，当时，图象，图象与线段有M，B两个交点，不符合题意；∴当时，图象与线段有两个交点，不符合题意；∴时，图象与线段有一个交点，∴，故，∴，综上所述，符合题意的范围是或．。

2024年广东省惠州市惠城区中考数学二模试卷(含解析)

2024年广东省惠州市惠城区中考数学二模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.−2的相反数是( )A. −2B. ±2C. 2D. 0.22.如图，AB//CD，∠DCE=80°，则∠BEF=( )A. 100°B. 90°C. 80°D. 70°3.2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星点火发射，其中长征二号F遥十八运载火箭低地球轨道的运载能力为8800千克.数据8800用科学记数法表示为( )A. 880×10B. 88×102C. 8.8×103D. 0.88×1044.已知∠1与∠2互余，∠1=42°，则∠2的度数为( )A. 38°B. 48°C. 58°D. 138°5.下列计算正确的是( )A. (−2a)3=−63B. a5÷a2=a3C. (3a+2)(3a−2)=9a−4D. (a+b)2=a2+b26.《九章算术》《海岛算经》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要成就.某学校拟从这4部数学著作中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《海岛算经》的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 167.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O.如果添加一个条件，使得▱ABCD是矩形，那么这个条件可以是( )A. AB=ADB. AO=BOC. AC⊥BDD. AO=CO8.如图，A，B，C三点在⊙O上，若∠AOC=100°，则∠ABC的度数是( )A. 80°B. 100°C. 120°D. 130°9.佛山是国内首个被授予“中国龙舟龙狮运动名城”称号的城市，“争先奋进，赛龙夺锦”的龙舟文化内核近年来成了佛山文化品牌形象和城市精神内涵的重要元素.已知2023年2月佛山某区龙舟赛的总赛程为20km，在同一场比赛中龙舟A队的平均速度是B队的1.2倍，最终A队冲刺终点的时间比B队提前20分钟，若设B队的平均速度是x km/ℎ，则可列方程为( )A. 201.2x −20x=13B. 20x−201.2x=20 C. 201.2x−20x=20 D. 20x−201.2x=1310.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，连接BE，作∠BEF=120°，交CD边于点F，若AEEC =12，则DFFC的值为( )A. 233B. 103C. 43D. 54二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

南通名校2022-2023初三上学期期末指导提升题训练+答案

初三期末指导（提升题训练）
★圆的综合题
（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F 是AB延长线上的一点，且CF＝EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF＝4，BF＝2，求AG的长．
（2022•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．
【操作探究】
在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，
在Rt△CDE中，，
所以tan∠BAC＝tan∠DCE．
所以∠BAC＝∠DCE．
因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，
所以∠ACP+∠BAC＝90°，
所以∠APC＝90°，
即AB⊥CD．
【拓展应用】
（1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝，写出作法，并给出证明；
（2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2＝AP•AB，写出作法，不用证明．。

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专题一解决集合与常用逻辑用语问题【典题导引】例1. 设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数2,(0,)1y x m x =∈+的值域为B . （1）当2m =时，求A B I ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.例2. 设函数()ln f x ax x =，且曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为20x y b --=(其中e 是自然对数的底数)．（1）求实数a 、b 的值；（2）设集合321393{|,[3,)}x x x A y y bx --+==∈-+∞，{}()0B x f x m =-≥．①求集合A ；②若A B ⊆，求实数m 的取值范围．例3．已知1a ≥，函数9()441f x x x =+++（[]0,1x ∈），32()3216g x x a x a =--+（[]0,1x ∈）．（1）求()f x 和()g x 的值域；（2）若[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得21()()g x f x =成立，试求a 的取值范围．变题：是否存在实数a ，使得[]12,0,1x x ∃∈，21()()g x f x =成立？例4. 设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24(2)3n n S T --=．（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．专题二解决函数的图象与性质问题【典题导引】例1. 已知函数()f x 为R 上的偶函数．（1）若0x ≥时，2()1()f x x ax a R =-+∈． ①求0x <时，()f x 的解析式；②若函数()f x 有4个零点，求实数a 的取值范围；（2）设m R ∈，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，试比较(1)f m -与(3)f m -的大小．例2. 已知二次函数2()1f x ax bx =++和函数21()2bx g x a x b-=+．（1）若()f x 为偶函数，试判断()g x 的奇偶性；（2）若方程()g x x =有两个不等的实根，求证：函数()f x 在(1,1)-上是单调函数．例3.（2015⋅上海）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若(1,3)a ∈，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.例4. 设0a >，函数()af x x x=+，当[]13x ,∈时，()f x 的值域为A ，且[,]()A n m n m ⊆<.（1）①若1a =,求m n -的最小值；②若16m =，8n =，求a 的值；（2）若1m n -≤，且[,]A n m =，求a 的取值范围.专题三解决基本初等函数问题【典题导引】例1.已知函数()2log (1)a f x x x =-+ (0a >且1a ≠)．（1）当a 变化时，函数()y f x =的图象恒过定点，试求定点的坐标；（2）若()f x 在区间[]0,2上的最大值为2，求a 的值．例2. 设m R ∈，函数12()423x x f x m m +=-⋅+-，x R ∈．（1）当[0,2]x ∈时，求函数()y f x =的最大值；（2）若x R ∃∈，使得()()0f x f x -+=，求实数m 的取值范围．例3. 设函数2()2(,)f x x x a x R a R =+-∈∈.（1）若()f x 为偶函数，求实数a 的值；（2）设2a >，求函数()f x 的最小值.变式：求函数2()2([0,1],)f x x x a x a R =+-∈∈的最小值．例4. 已知函数()log a f x b x =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(8,2)和(1,1)-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()3(2)()g x f x f x =+-的最小值；（3）若对任意[1,2]x ∈，不等式(2)2(2)f x f x m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．专题四解决利用导数研究函数问题（1）【典题导引】例1．设函数()ln f x x ax =-，其中a 为实数．（1）若a =1，求证：()1f x -≤恒成立；（2）若曲线(),(1 )y f x x =∈+∞，上任意两点的连线的斜率都小于4，求实数a 的最小值．例2. 设函数2()ln 2x f x a x =-，()(1)g x a x =-．（1）当1,12a x =>时，求证：()()f x g x >；（2）若[1,]x e ∃∈，使得不等式()()f x g x a +≤成立，求实数a 的取值范围．例3．(2013⋅山东)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈．（1）设0a ≥，求()f x 的单调区间；（2）设0a >，且对任意0x >，()(1)f x f ≥．试比较ln a 与2b -的大小．例4. 已知()ln 1x f x e x =--其中e 是自然对数的底数．（1）求证：函数()f x 存在极小值；（2）若1[,)2x ∃∈+∞，使得不等式ln 0x e m x x x --≤成立，求实数m 的取值范围．专题五解决利用导数研究函数问题（2）【典题导引】例1. 设函数2()ln 2x f x a x =-，()(1)g x a x =-，a R ∈且1a ≠．（1）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上是单调性相同的单调函数，求实数a 的取值范围；（2）求证：a e >时，函数()f x 存在两个零点．例2. 已知函数()ln f x x =，()x g x e =，其中e 是自然对数的底数．（1）求证：()()2g x f x ->；（2）若关于x 的不等式()g x<有解，求实数m 的取值范围.例3. 已知函数2()ln f x ax b x =-在点(1,(1))f 处的切线为1y =．（1）求实数,a b 的值；（2）是否存在实数m ，当(0,1]x ∈时，函数2()()(1)g x f x x m x =-+-的最小值为0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．例4. 设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 存在两个极值点1x ，2x 12()x x <． ①求实数a 的取值范围；②若21221()()221f x f x e a x x e ≤----(其中e 是自然对数的底数)，求证：2x e ≥．专题六解决三角恒等变换的有关问题【典题导引】例1. 已知()sin (0)f x x x ωωω=+>.（1）当2ω=时，若函数()(0)2y f x πθθ=+<<是偶函数，求θ的值；（2）当12ω=时，若6()5f α=，且233ππα-<<，求sin()3πα-的值．例2. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin b a C =．（1）求11tan tan A C+的值；（2）若tan 3A =，求tan B 的值．例3. 已知,(0,)αβπ∈,且tan 2,cos αβ==．（1）求cos2α的值；（2）求2αβ-的值．例4. 已知(0,)2πα∈，且15tan 22tan 2αα+=．（1）求tan α的值；（2）求cos(2)4πα-的值；（3）若7sin(2)sin 5αββ+=，求tan()αβ+的值．专题七解决三角函数的图象与性质问题【典题导引】例1．（2015⋅湖北）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><在某一个x ωϕ+ 02π π 32π 2π x [来源学+科+网]3π 56π sin()A x ωϕ+ 0 5 5- 0（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5(,0)12π，求θ的最小值.例2.（2015⋅南通三模）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若3()2f α=，求sin(2)6πα+的值．xyO 2 -2 （例2图）3π- 32π例3．已知函数()22sin()sin 2f x x x x π=--．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域．例4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是偶函数，且图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求ω和ϕ的值．专题八解决解三角形和正余弦定理应用问题【典题导引】例1．如图，已知ABC ∆中，AB =，3AD =，5CD =，45ABC ∠=o ，且(0,)2ADB π∠∈．（1）求ADB ∠的大小；（2）求AC 的长．例2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222a c b ac +=-．（1）求B 的大小；（2）若64A ππ≤≤，求ca的取值范围；（3）若c A ∠的平分线AD b ．AB C例3.（2016⋅四川）在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B ．例4．在ABC ∆tan tan tan A B A B ⋅--=（1）求C ∠的大小；（2）若ABC ∆的面积3=∆ABC S ，求ABC ∆周长的最小值；（3）设角,,A B C 的对边依次为,,a b c ，若2c =，且ABC ∆是锐角三角形，求22a b +的取值范围．专题九解决平面向量及应用问题【典题导引】例1. 如图，在ABC ∆中，2CD DB =u u u r u u u r ．（1）若(,)AD xAC yBC x y R =+∈u u u r u u u r u u u r，求x ，y 的值；（2）若AC =3BC =，30ACB ∠=o，求AD BC ⋅u u u r u u u r 的值．例2．设向量(cos ,sin )a αα=r ，(sin ,cos )b ββ=r ，(cos ,sin )c ββ=-r ．（1）求b c +r r的值；（2）若()k k Z αβπ+=∈，求证：//a c r r；（3）若(3)a b c ⊥+r r r，求tan()αβ+的值．B例3．如图，点C是半径为1，圆心角为32π的圆弧AB上的点．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求OC OD+u u u r u u u r的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求CE CD⋅u u u r u u u r的取值范围．例4. 在ABC∆中，已知(sin sin sin)(sin sin sin)3sin sinA B C B C A B C+++-=．（1）求角A的大小；（2）设O为ABC∆的外心（三角形各边中垂线的交点），当13BC=，ABC∆的面积为33时，求AO BC⋅uuu r uu u r的值；（3）设AD为ABC∆的中线，当23BC=时，求AD长的最大值．（例3图）专题十解决不等式的有关问题【典题导引】例1．设函数2()6f x ax bx =++(0)a ≠．（1）若不等式()2f x x <的解集为(,2)(3,)-∞-+∞U ，求a 、b 的值；（2）若0a >，0b >，且(2)8f =，求12a b+的最小值．例2．（1）在平面直角坐标系xOy 中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异三点，若存在正实数,λμ，使得OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则22(3)λμ+-的取值范围是．（2）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b ≤≤-≥+-，，则ba的取值范围是．例3.（2016⋅江苏改编）已知函数()12()2x x f x =+．（1）求不等式()174f x >的解集；（2）若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值．例4.已知1()31x f x =-，2()39(0)x f x a a =⋅->，x R ∈，且112212(),()(),()(),()().f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩（1）当1a =时，求不等式12()()f x f x ≤的解集；（2）当29a ?时,设2()()f x f x =所对应的自变量取值区间的长度为l (闭区间[,]m n的长度定义为n m -)，试求l 的最大值；（3）是否存在这样的a ，使得当[2,)x ∈+∞时，2()()f x f x =?若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．专题十一解决等差数列与等比数列问题【典题导引】例1．（2016⋅天津）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为(0)d d ≠，对任意的*n N ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项.（1）设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：数列{}n c 是等差数列；（2）设 ()22*11,1,n kn k k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑例2．设数列{}n a 满足121a a ==，212n n n a a a λ+++=+，N n *∈，λ为常数．（1）若135,,a a a 成等比数列，且0λ≠，求λ的值；（2）设1n n n b a a +=-，N n *∈，求证：数列{}n b 为等差数列；（3）设22n n a a n c +-=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．例3．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足11a =，141n n n S a a +=+*()n N ∈．（1）求15a 的值；（2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若12m a -，m a ，18m k a ++成等比数列，其中*m N ∈，*k N ∈，求m 的值．例 4.（2015⋅南通一模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若*112()2n nan N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和21(3)()4n S n n n =+∈*N ，证明：{}n a 是“紧密数列”；（2）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列．若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q的取值范围．专题十二解决数列综合应用问题【典题导引】例1. 已知数列{}n a 是等比数列．（1）设22a =，516a =．①若22212212()n n a a a t a a a +++=+++L L ，*n N ∈，求实数t 的值； ②若在11a 与41a 之间插入k 个数12,,,k b b b L ，使得12145111,,,,,,k b b b a a a L 成等差数列，求k 的值；（2）若数列{}n c 是公差不为0的等差数列，11a c =，22a c =，3m a c =,其中m 是某个正整数，且3m ≥，求证：数列{}n a 中的每一项都是数列{}n c 中的项．例2. 已知数列{}n a 满足1()a a a R =∈，*123()n n n a a n N +=-∈，*12()5n n n b a n N =-⨯∈．（1）当25a ≠时，求证：数列{}nb 是等比数列；（2）当2a =时，求数列{}n a 前n 项和n S ；（3）若*1,n n n N a a +∀∈>，求实数a 的值．例3.（2015⋅四校联考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111(1)12n n n n S S n a a +++=+--，*n N ∈.（1）若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设26a =，求证：数列{}n a 是等差数列.例4.（2014⋅江苏）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．专题十三解决直线与圆及其应用问题【典题导引】例1. 已知圆C :222430x y x y ++-+=.（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM PO =，求使得PM 取得最小值时点P 的坐标.例2. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程；（2）若过点9(,4)2A 的直线l 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的13，求直线l 的方程．例3. 已知圆C 经过点(1,1)A -，(1,1)B -，且与直线20x y +-=相切．（1）求圆C 的方程；（2）过点A 作倾斜角互补的两条相异直线，与圆C 分别交于点P 、Q ，求证：直线PQ的斜率为定值；（3）设点00(,)D x y 在直线20x y +-=上，若圆C 上存在点M 、N 满足DM MN =u u u u r u u u u r，求0x 的取值范围．例4.（2016⋅江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=u u r u u r u u u r，求实数t 的取值范围．专题十四解决圆锥曲线与方程问题【典题导引】例1．平面直角坐标系xOy 中，设双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>，抛物线()22:20C x py p =>．（1）若双曲线1C 的一条渐近线方程为23y x =，求双曲线1C 的方程；（2）若双曲线1C 的渐近线与抛物线2C 交于点,,O A B ，且OAB ∆的垂心为2C 的焦点，求双曲线1C 的离心率．例2．如图，,,A B C 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC BC ⊥，2BC AC =．（1）求椭圆M 的离心率；（2）若直线40x y -+=被ABC ∆的外接圆所截得弦长为例3.（2015⋅南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，且12BF F ∆是边长为2 的等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，C 两点，记2ABF ∆、2BCF ∆的面积分别为1S 、2S ．若122S S =，求直线l例4．（2015⋅重庆）如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ，且过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥.（1）若12PF =+22PF =-（2）若1PQ PF λ=，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率的取值范围.（例3图）（例1图）专题十五解决解析几何中的综合问题【典题导引】例1．（2014⋅江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>> 的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）若点C 的坐标为41()33，，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．例2．（2015⋅江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．lOPCBx y FA （例2图）例3．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点(1,0)F，过F 作两条互相垂直的弦,AB CD ，设,AB CD 的中点分别为,M N .（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN例4．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:162x y C +=，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点，直线AO 交椭圆C 于另一点P ．（1）若直线l 的斜率为4，求直线PB 的斜率；（2）若A ，E ，求PAB ∆的面积；（3）是否存在定点E ，使得2211EA EB +为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.专题十六解决立体几何中的有关问题【典题导引】例1．(2016⋅江苏)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为AB ，BC 的中点，点F在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥．（1）求证：直线//DE 平面11A C F ；（2）求证：平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．例2. 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：//AB EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．C E A BD F （例2图） 1A A 1B B C1C D E F例3. 如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC中点．（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM AD ⊥．例4. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，PA PD =，F 为AD 的中点，PD BF ⊥．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若菱形ABCD 的边长为6，5PA =，求四面体PBCD 的体积；（3）若点E 在线段BC 上，且13EC BC =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？并证明你的结论．（例4图）P A B C D EFP A B C D M N专题十七应用题（1）【典题导引】例1．如图，某地有一条东西走向的公路1l ，现经过公路1l 上的A 处铺设一条南北走向的公路2l ．施工中发现A 处正北2百米的B 处有一古迹，为了保护古迹，决定以B 为圆心，2百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路1l 、2l ，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q 分别在公路1l 、2l 上，且要求PQ 与圆B 相切（切点为T ）．（1）设BQ x =百米，试利用QTB ∆∽QAP ∆，将新建公路PQ 的长表示为x 的函数；（2）试确定点Q 的位置，使新建公路PQ 的长最短．1东例2．如图，B 、C 是海岸线l 上相距50km 的两个海边小城，圆O 是半径为10km 的某海岛小城的环岛路，A 为圆O 上的物资中转站，其中23AOC π∠=，25km OC =，且//l OA ．为使中转站A 的物资运往B 城，计划从A 地沿环岛路至某地P ，再沿水路PQ 至海岸线l 上Q ，最后沿海岸线QB 至B 城修建运输线，其中//PQ OC ,Q 在线段BC 上．（1）设POC θ∠=，求运输线总长度y 关于θ的函数；（2）求运输线总长度的最小值．g g ••••A BO P •Q C （例2图）例3．如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB上．测得tan 3MON ∠=-，6km OA =，Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km ，．（1）求水上旅游线AB 的长；（2）海中P (6PQ km =，且)PQ OM ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为r =．若与此同时，一瘦游轮以/小时的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波及游轮的航行？（例3图）M例4．某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足()y mf x=，其中2log(4),04, ()6,4,2x xf xxx+<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效．．净化．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳．．净化．．.（1）如果投放的药剂质量为4m=,试问自来水达到有效．．净化．．一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳．．净化．．，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.专题十八应用题（2）【典题导引】例1．已知海岛B 在海岛A 的北偏东45o 的方向上，两岛相距10海里．小船P 从海岛B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船Q 从海岛A 出发，沿北偏西15o 方向以4海里/小时的速度移动．（1）求小船航行过程中，两船相距的最近距离；（2）求小船P 处于小船Q 的正东方向时，小船航行的时间．例2. 如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中6AD =，C 是AB 的中点，3BCD π∠=，设BAD θ∠=，且(,)93ππθ∈．（1）若4πθ=，求AB 的长；（2）求BD 长的最小值．••B 岛北P Q例3．如图，街道PQ 长6km ，且与公路OM 垂直，一端P 到公路OM 、ON 的距离分别为8km ，，tan 3MON ∠=-，D 为PQ 的中点，街道DP 段有多处重要文物．现从公路OM 上距离O 为6km 的A 地修建一条直线公路AQB ，将三条公路围成的区域 AOB 建成一个工业园区．（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． ①求点P 的坐标； ②求公路AB 的长；（2）为保护街道DP 段的重要文物，规划设立一个圆形保护区，保护区的边界为圆心C在线段DP 上，并与AB 相切的圆，且D 和P 到该圆上任意一点的距离均不少于．当DC 多长时，圆形保护区的面积最大？例4. 水渠是地面上人工开凿的水道，用于引江河之水灌溉农田．某果园现有的旧水渠的横断面是一段抛物线弧AOB ，顶点O 为水渠最底端（如图1），渠宽为4m ，渠深为2m ．现计划对现有的旧水渠进行改造．（1）为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为如图2所示的等腰梯形ABCD 的新水渠（C 、D 在抛物线弧AOB 上，//AB CD ），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少（即等腰梯形ABCD 的面积最大）；（2）考虑到果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖成横断面为如图3所示的抛物线弧AOB 的外切等腰梯形1111A B C D 的新水渠（点A 、B 在线段11A B 上），要使所挖土的土方量最少（即等腰梯形ABCD 的面积最小），请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．（例4图1）例5. 某软件公司新开发一款游戏软件，该软件按游戏的难易程度共设置若干关的闯关游戏，为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干游戏币，设第n 关奖励n a 个游戏币，且满足1,42111=≤≤+a a a a n n n ，该软件公司提供了两种奖励方案：①从第二关开始每闯过一关奖励的游戏币数是前一关的q 倍；②从第二关开始每闯过一关多奖励d 游戏币 (R d ∈).游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案.（1）若选择第①种方案，设第1关到第n 关奖励的总游戏币为n S ，即12...n n S a a a =+++，且1142n n n S S S +≤≤，求q 的取值范围；（2）若选择第②种方案，且设置第1关到第k 关奖励的总游戏币数为100(即*21,...N k a a a k ∈+++)时获特别奖励，为了增加获特别奖的难度，如何设置d的取值，使得k 最大，并求k 的最大值.专题十九解决概率统计与算法问题【典题导引】例1.（2015⋅安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]L . （1）求频率分布图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.例2. 如图所示的算法中，令tan ,sin ,cos a b c θθθ===，若在集合3{,0,,}4442ππππθθθ-<<≠中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ．（1）求θ值所在的范围；（2）求函数2()22cos f x x x θ=+-有2个零点的概率．(例2图) (例1图)例3. 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．（1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；（2）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．例4. （2015 南通二模）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．①写出所有等可能的基本事件；②求参赛学生中恰有1名女生的概率．专题二十数学填空题解题突破【典题导引】（一）直接求解法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法．它是解填空题的常用基本方法．使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法．例1.（1）(2015⋅江苏)设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为．（2）已知2()y f x x =+是奇函数，且(1)1f =，若()()2g x f x =+，则(1)g -= ．（3）已知向量(cos ,sin )a θθ=r，b =r ，则||a b -r r的最大值与最小值之和为．（4）已知函数2()ln 2f x mx x x =+-在定义域内不是单调函数，则实数m 的取值范围是．（二）特殊化法当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．一般性存在于特殊性之中，只要是求一般性的问题，绝大多数可以用特殊化法来解决．例2. （1）已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩为奇函数，则函数3()a g x bx x =+上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为．（2）在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +的值为__________．（3）设a R ∈，若0x >时，均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则a = ．（4）如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP = ，则AP AC ⋅u u u v u u u v=.（5）观察下列等式： ①2cos22cos 1αα=-；②42cos48cos 8cos 1ααα=-+；A DP③642cos632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-；④8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+；⑤108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-．可以推测，m n p -+= ．（6）已知二次函数2()f x ax bx c =++有零点1x 与2x ，设2009100912p x x =+，2010101012q x x =+，2011101112r x x =+，则常数ar bq cp ++的值为．（7）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是．（三）数形结合法借助图形的直观性，通过数与形的关系，迅速作出判断的方法称为数形结合法．文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形．例3.（1）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，3()h x x x =+的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 由小到大的顺序是________．（2）满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为．（3）若方程lg()2lg(1)kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是________．（四）构造模型法例4.（1）已知函数2cos 3sin 4()()cos 2x x e e x x f x x R x --+++=∈+ 的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．（2）在四面体ABCD 中，AB CD =5AC BD ==，AD BC ==，则该四面体的体积V = ．（3）已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且 (1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为．（4）（2015⋅泰州一模）已知实数a b c 、、满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为．专题二十一运用分类讨论的思想方法解题【典题导引】例1.（由数学概念、运算引起的分类讨论）函数21sin(),10,(),0,x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩若(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值的集合为______．训练1．（1）若函数2(3)()log (4)a f x ax -=+在[1,1]-上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．（2）若集合2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的值的集合是________．（3）已知R m ∈，求函数2()(43)2f x m x x m =--+在区间[0,1]上的最大值．例2.（问题中的条件是分类给出的引起的分类讨论）设12,,,n a a a L 是各项均不为零的(4)n n ≥项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列．（1）当4n =时，求1ad的数值；（2）求n 的所有可能值．例3．（由图形或图象引起的分类讨论）将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为21cm S ，22cm S ，其中12S S ≤．记折痕长为cm l ．（1）若4l =，求1S 的最大值；（2）若12:1:2S S =，求l 的取值范围．例4．（问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论）(2016⋅新课标Ⅰ)已知函数有()()()221x f x x e a x =-+-两个零点. （1）求a 的取值范围；（2）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.专题二十二运用数形结合的思想方法解题【典题导引】例1.（数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题）（1）函数()f x =的值域为．（2）若实数x 、y 满足条件221x y -=，则212yu x x=+的取值范围是_______. （3）22(cos cos 3)(sin sin 2)y θαθα=-++--的最大值为．（4）若实数a 、b 、c 、d 满足22ln 341a a c b d--==，则()()22u a c b d =-+-的最小值为．（5）（2015⋅泰州一模）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若B C ∠=∠且2227a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为．例2.（数形结合解决隐含轨迹问题）（1）已知()())()2,0,2,2,02OB OC CA αααπ===≤<u u u r u u u r u u u r，则OA u u u r 与OB u u ur 的夹角的取值范围为．（2）已知(2cos )(2cos )(1,0)A B C ααββ-、、是平面上三个不同的点，若存在实数λ，使得CA BC λ=u u u r u u u r，则λ的取值范围是．（3）设D 是等腰ABC ∆腰AC 的中点，若2BD =，则ABC ∆面积的最大值为．例3．已知函数2()21f x x ex m =-++-，2()(0)e g x x x x=+>，其中e 是自然对数的底数．（1）若函数()()h x g x m =-有零点，求实数m 的取值范围；（2）若关于x 的方程()()0g x f x -=有两个相异实根，求实数m 的取值范围．例4.（2010⋅江苏改编）设()f x 是定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为()f x '．如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()0h x >，使得2()()(1)f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定12,(1,)x x ∈+∞，12x x <，设m 为实数， 12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1α>，1β>，若()()()()12||g g g x g x αβ<－－，求m 的取值范围．专题二十三运用函数与方程的思想方法解题【典题导引】例1.如图，已知椭圆2222:1(1)1x yG aa a+=>-，22:(1)1M x y++=e，P为椭圆G上一点，过P作Me的两条切线PE、PF，E、F分别为切点．（1）求t PM=u u u u r的取值范围；（2）把PE PF⋅u u u r u u u r表示成t的函数()f t，并求出()f t的最大值、最小值．例2. 已知函数()ln(1)f x x x=+-，()lng x x x=．（1）求函数()f x的最大值；（2）设0a b<<，证明：0()()2()()ln22a bg a g b g b a+<+-<-．（例1图）。

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