初三数学-有圆的经典例题

有关圆的经典例题

1. 在半径为 1的⊙ O 中，弦 AB 、AC 的长分别为 3和 2，求∠ BAC 的度

数。

2. 如图：△ ABC 的顶点 A 、B 在⊙ O 上，⊙ O 的半径为 R ，⊙O 与AC 交于 D ，

如果点 D 既是 AB 的中点，又是 AC 边的中点，

（ 1）求证：△ ABC 是直角三角形；

（2）求 AD 的值

BC

4. 如图，四边形 ABCD 内接于半径为 2的⊙ O ，已知

AB BC 1

长。 5.

如图， AB 、 AC 分别是⊙ O 的直径和弦， D 为劣

3. 如图，在⊙ O 中， AB=2CD ，那么（ ）

A. AB 2CD

B. AB 2CD D. AB 与2CD 的大小关系不确定

C. AB 2CD

AD 1， 求 CD 的

弧

于H，交⊙O 于点E，交AC 于点F，P为ED 的延长线上一点。

1)当△ PCF 满足什么条件时，PC与⊙O 相切，为什么？

(2)当点D在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD2DE· DF ，为什么？

1

6. 如图，四边形ABCD 是矩形(AB 1BC)，以BC为直径作半圆O，过点

2

D 作半圆的切线交AB 于E，切点为F，若AE：BE=2 ：1，求tan∠ AD

E 的值。

分析：要求tan∠ADE ，在Rt△AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。

ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE：AD 。

解：∵四边形ABCD 为矩形，∴ BC⊥AB，BC⊥ DC

∴AB 、DC切⊙ O于点 B 和点C，

∵DE 切⊙O于F，∴ DF=DC ，EF=EB，即DE=DC+EB ，

又∵AE：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ，

DE=DC+EB=4x ，

在Rt△ AED 中，AE=2x ，DE=4x，

∴ AD 2 3x

AE 2x 3

则tan ∠ ADE

AD 2 3x 3

点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

例7. 已知⊙ O1 与⊙ O2相交于A、B 两点，且点O2在⊙ O1上，

(1)如下图，AD 是⊙ O2的直径，连结DB 并延长交⊙ O1于C，求证CO2⊥ AD ；

（2）如下图，如果AD是⊙ O2的一条弦，连结DB 并延长交⊙ O1于C，那么CO2所在直线是否与AD 垂直？证明你的结论。

分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠ CO2D=90°，即需证∠ D+∠C=90°，考虑到AD 是⊙O2 的直径，连结公共弦AB，则∠ A=∠C，∠ DBA=90 °，问题就可以得证。

（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC ，直观上看，AC 等于CD，到底AC 与CD 是否相等呢？考虑到O2 在⊙ O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得∠ 1=∠2，且有△

AO2C≌△DO2C，故CA=CD ，可得结论CO2⊥ AD 。

解：（1）证明，连结AB，AD 为直径，则∠ ABD=90 °

∴∠ D+ ∠BAD=90 °

又∵∠ BAD= ∠C，∴∠ D+∠ C=90°

∴∠ CO2D=90 °，∴ CO 2⊥ AD

（2）CO2所在直线与AD 垂直，证明：连结O2A、O2B、O2D、AC 在△ AO 2C 与△DO2C中

∵O2 A O2B，∴ AO2 BO2，∴∠ 1 ∠2

∵∠ O2BD= ∠ O2AC ，又∠ O2BD= ∠O2DB ，∴∠ O2AC= ∠ O2DB

∵ O2C=O 2C，∴△ AO 2C≌△ DO2C，∴ CA=CD ，

∴△ CAD 为等腰三角形，

∵CO2为顶角平分线，∴ CO2⊥AD 。

例8. 如下图，已知正三角形ABC 的边长为a，分别为A、B、C 为圆心，a

以a为半径的圆相切于点O1、O2、O3，求O1O2 、O2O3、O3O1围成的图形面2

积S。（图中阴影部分）

∴S 阴

3a 2 阴4

为 a ，求图中三个扇形 （阴影部分 ） 的面积之和

分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，

因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为

原题可在上一题基础上进一步变形：⊙ A 1、⊙ A 2、⊙ A 3⋯⊙ A n 相外离，它们的半径都是 1，顺次连结 n 个圆心得到的 n 边形 A 1A 2A 3⋯ A n ，求 n 个扇形的面积之和 解题思路同上。

解： (n 2) 2

一、填空题（ 10× 4=40 分）

1. 已知：一个圆的弦切角是 50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 ___________ 。

2. 圆内接四边形 ABCD 中，如果∠

A ：∠

B ：∠ C=2 ：3： 4，那么∠ D= ______ 度。

3. 若⊙ O 的半径为 3，圆外一点 P 到圆心 O 的距离为 6，则点 P 到⊙O 的切线长为 ________ 。

4. 如图所示 CD 是⊙ O 的直径， AB 是弦，CD ⊥ AB 于M ，则可得出 AM=MB ，AC BC 等多个结论， 请你按现有的图形再写出另外两个结论：

解：

S △ ABC 2 a 2 a 2，3S 扇 3× 6·(2a )2 此题可变式为如下图所示，⊙ A 、⊙ B 、 ⊙C 两两不相交，且它们的半径都

2 a ， 8

分析：