三年级思维 容斥原理
容斥原理公式及运用完整版
容斥原理公式及运用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】??一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：【示例2】??某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。
三年级容斥原理
三年级容斥原理小朋友们，咱们今天来聊聊一个有点神奇的数学知识——三年级容斥原理！你们知道吗？这容斥原理就像是一个神奇的魔法钥匙，能帮咱们解开好多数学谜题呢！比如说，咱们班有喜欢画画的小朋友，有喜欢唱歌的小朋友，还有既喜欢画画又喜欢唱歌的小朋友。
那怎么才能知道到底有多少小朋友有自己的爱好呢？这就要靠容斥原理啦！想象一下，咱们把喜欢画画的小朋友看作是一群小猫咪，把喜欢唱歌的小朋友看作是一群小兔子。
那既喜欢画画又喜欢唱歌的小朋友，不就是既是小猫咪又是小兔子的神奇存在嘛！咱们来举个具体的例子。
假设班里有 20 个小朋友喜欢画画，15 个小朋友喜欢唱歌，其中 8 个小朋友既喜欢画画又喜欢唱歌。
那到底总共有多少小朋友有爱好呢？咱们先把喜欢画画的 20 个小朋友和喜欢唱歌的 15 个小朋友加起来，是不是得到 35 个呀？可是这里面，那些既喜欢画画又喜欢唱歌的 8 个小朋友被重复计算啦！所以咱们得减去这 8 个，这样才能得到真正的总数。
算一算，就是 35 - 8 = 27 个小朋友。
再比如说，有一堆水果，有苹果、香蕉、橙子。
有的水果只属于一种类别，有的水果既可以是苹果又可以是橙子，这是不是就有点像容斥原理啦？小朋友们，容斥原理是不是还挺有趣的？它就像是一个能把混乱的东西整理得清清楚楚的小助手。
学会了它，咱们就能在数学的世界里更加游刃有余啦！所以呀，小朋友们可别觉得它难，只要多想想这些有趣的例子，多做做练习，容斥原理就能被咱们轻松拿下！这就像咱们学会了骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但多练习就能骑得又快又稳啦！加油吧，小朋友们，相信你们一定能掌握这个神奇的知识！总之，三年级的容斥原理虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多思考多练习，就一定能把它变成咱们数学学习中的好帮手！。
容斥原理三个公式小学
容斥原理三个公式小学
三集合容斥问题公式：
（1）A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-三者都不满足的个数
解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC 面积之和减去两两重叠的部分，但是中间三者重叠的部分减去了三次，相当于被挖空了，所以还得加上它。
（2）A+B+C-只满足两个条件的个数-2倍满足三个条件的个数=总数-三者都不满足的个数
解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC 面积之和减去重叠两层的面积，再减去重叠三层的面积的两倍。
重叠2层，只用减去1层，重叠3层，得减掉2层。
（3）只满足一个条件的个数+只满足两个条件的个数+满足三个条件的个数=总数-三者都不满足的个数。
解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于只有一层的面积+重叠两层的面积+重叠三层的面积。
(尖子生培优)集合问题(容斥原理)-三年级数学思维拓展
（尖子生培优）集合问题（容斥原理）三年级数学思维拓展集合问题，也是思维拓展中比较常见的题型之一，又称为容斥原理问题。
1．某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？2．一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项．已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？3．某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？能力巩固提升4．三（1）班在喜欢吃的水果中，每人至少选了一种．喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃西瓜的有25人，两种都喜欢的有9人，三（1）班一共有几人？5．学校举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其他年级共展出多少幅画？6．志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？7．三（4）班同学在本学期的期中考试中，有36人数学获得优秀，有29人语文获得优秀，有28人语文和数学都获得了优秀，同时有9人语文数学都没有获得优秀，三（4）班总共有多少学生？8．对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人。
两项都会的有10人，两项都不会的有9人。
这个班一共有多少人？9．五（2）班有48人，在学校举行的社团活动中，参加舞蹈社的有29人，参加美术社的有25人，两个社团都没参加的有3人，既参加舞蹈社又参加美术社的有多少人？10．四（1）班有26位同学参加了“小记者”兴趣小组，有25位同学参加了“小主持人”兴趣小组，有6位同学既参加了“小记者”兴趣小组，又参加了“小主持人”兴趣小组，其余的5位同学参加了其他兴趣小组．四（1）班共有多少人？11．写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？12．某一个班共有学生50人，参加文艺活动的有28人，参加体育活动的有30人，并且全班每人至少参加一项活动（仅限文艺活动或体育活动），请问：这个班这两项活动都参加的有多少人？13．在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成10等分、12等分、15等分．如果沿每条刻度线把木棍锯断，请问：木棍总共被锯成多少段？14．把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条。
三年级上册数学奥数课件-容斥原理 人教版(共22张PPT)
部分＝总体-另一部分+重复的部分
拓展3、参加舞蹈演出的有32人，参加歌唱演出的 有27人，两种都参加的有11人，两种都未参加的有 31人，一共有多少人？
舞蹈 32人
歌唱 27人
11人
都未参 加31人
？人
参加：32+27-11=48（人） 全部：48+31=79（人） 答：一共79人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人， 参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有 参加的有25人，那么同时参加语文、数学 两科竞赛的有多少人？
练习三
1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法 语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多 少人？
2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人， 会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。 问这两种棋都会下的有多少人？
包含与排除
当两个计数部分有重复时，为 了不重复计数，应从它们的和 中减去重复部分，这一原理， 我们称为包含排除原理，也称 容斥原理。
脑筋急转弯：
有2个爸爸、2个儿子在家看电视， 但是家里只有3个人，这是怎么回事呢？
2个爸爸
2个儿子
既是爸爸又是儿子
2 + 2-1=3（人） 总体＝各部分之和—重复的部分
例1、三年级一班有23人喜欢音乐，25人 喜欢美术，音乐和美术有喜欢的有8人， 全班喜欢音乐美术的共有多少人？
23+25-8=40（人） 答：全班喜欢音乐美术的有40人。
拓展1、一共有79人参加节目，参加小品类节目的 有46人，参加曲艺类节目的有39人，并且每人至少 参加一种节目，问两项节目都参加的有多少人？
共79人
小品类 46人
小学数学三年级难点问题——容斥原理
小学数学三年级难点问题——容斥原理容斥原理是小学数学的难点之一，对于三年级的同学来说，这个知识点比较新，会有一些不适应，今天我们就用一道例题来介绍一下容斥原理及其计算方法。
文氏图三（2）班共有60人，其中，喜欢足球的23人，喜欢跑步的30人，既喜欢足球又喜欢跑步的有6人，问既不喜欢足球，也不喜欢跑步的有几人？首先，我们把喜欢足球的23人列出来。
喜欢踢球的23人再将喜欢跑步的30人列出来。
喜欢踢球的23人和喜欢跑步的30人注意，有6个同学既喜欢踢球又喜欢跑步，我们用红色标记出来。
6个人既喜欢踢球又喜欢跑步这样的话，我们可以看得出来，喜欢踢球，喜欢跑步的同学就是上图中所有的圆点，其中包括蓝色圆点、棕色圆点和红色圆点，它们一共有23+30-6=47个，也就是有47人喜欢踢球或者喜欢跑步，那么既不喜欢踢球，又不喜欢跑步的同学就是总数减去这47人，即60-47=13人，他们是不是在教室里当学霸呢？实际上，容斥原理问题我们可以用画图的方法很快的计算出来，具体地说，就是画一个文氏图，对于此题，我们先画一个椭圆，表示喜欢踢球的人，如下图所示。
用一个椭圆表示喜欢踢球的人（抽象画法）然后再画一个与刚才的椭圆有重叠的椭圆，表示喜欢跑步的同学。
喜欢踢球和喜欢跑步的同学两个椭圆重叠的部分就是既喜欢踢球又喜欢跑步的同学。
题目问的是既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人数，从图中可以看出，蓝色部分就是要求的既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人。
显然，我们通过图形可以看出，蓝色部分等于整个长方形减去两个椭圆遮住的部分，而两个椭圆遮住的部分等于黄色区域+绿色区域-重叠区域，这样看是不是一目了然啊。
因此，列出算式就是60-（23+30-6）=13人。
奥数班三年级第5讲 容斥原理
【课堂精练】
4. 两张长 4厘米，宽 2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在 桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？
4 厘 米
2厘 米 图3
长方形面积： 4 × 2 = 8平方厘米 正方形面积： 2× 2 = 4平方厘米
覆盖面积： 8 ＋ 8 - 4= 12平方厘米
15
【课堂精练】
5. 一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都 不会的有4人。两样都会的有多少人？
第5讲 容斥原理
三年级奥数班
【知识点拨】
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部 分不被重复计算，通常我们采用以下计数方法。这种方法的基 本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对 象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出 去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为 容斥原理。
9
【典型例题】
例6：某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红 旗的共有 34人，手中有黄旗的共有 26人，手中有蓝旗的共有18 人．其 中手中有红、黄、蓝三种小旗的有 6人．而手中只有红、黄两种小旗的 有9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人，手中只有红、蓝两种小旗 的有 3人，那么这个班共有多少人？
【典型例题】
【典型例题】
例1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并
且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少
人？
数学得满分 语文得满分 语文得满分
维恩图
15人 4人 12人
12人
15 ＋ 12 – 4 = 23人
4
【典型例题】 一、容斥原理1： A 人 AB人 B人 总人数 = A ＋ B – AB
小学奥数之容斥原理知识点
小学奥数之容斥原理知识点容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
第8讲容斥原理
第8讲容斥原理容斥原理是概率论和组合数学中的重要概念之一，它是一种用于计算多个事件的概率的推理方法。
容斥原理的核心思想是通过减去不重叠的事件的概率来计算多个事件的概率，从而得到它们的交集的概率。
容斥原理的一般形式可以表示为：P(A_1∪A_2∪A_3...)=S(A_1)+S(A_2)+S(A_3)-S(A_1∩A_2)-S(A_1∩A_3)-S(A_2∩A_3)+S(A_1∩A_2∩A_3)+...其中，P表示概率，A_i表示事件，S(A_i)表示事件A_i的概率，∪表示事件的并集，∩表示事件的交集。
容斥原理的核心思想是通过减去重叠部分的概率来计算多个事件的概率。
在上述公式中，第一项表示单独发生每个事件的概率，第二项表示两个事件同时发生的概率，第三项表示三个事件同时发生的概率，以此类推。
最后，通过交替相加和相减，得到多个事件的交集的概率。
容斥原理可以用来解决各种计数问题，如排列组合问题、集合的计数问题等。
它在概率论、组合数学、数论等领域里都有广泛的应用。
下面通过一个例子来理解容斥原理的具体应用。
例题：已知集合A中有n个元素，集合B中有m个元素，求集合A和集合B的并集中元素个数的期望值。
解答：首先，我们计算集合A中的元素在并集中出现的概率。
由于A中的每个元素在并集中的出现概率都相同，所以我们只需要计算一个元素出现的概率即可。
假设元素i出现在并集中的概率为p_i，那么由于每个元素的出现概率都相同，所以p_1+p_2+...+p_n=1而当一个元素出现在并集中时，它同时也是集合A和集合B中的元素，所以我们可以用容斥原理来计算元素i出现在并集中的概率。
通过容斥原理，我们可以得到集合A和集合B的并集中元素i出现的概率为：p_i=P(A_i)+P(B_i)-P(A_i∩B_i)其中P(A_i)表示元素i出现在集合A中的概率，P(B_i)表示元素i出现在集合B中的概率，P(A_i∩B_i)表示元素i同时出现在集合A和集合B中的概率。
三年级 初步认识容斥原理
初步认识简单容斥原理问题一、学习目标1、初步理解容斥原理的具体含义。
2、能运用容斥原理解决一些简单的实际问题。
二、内容提要与方法点拨1. 在数学学习中，我们常常碰到一些有关重叠的问题，如小朋友排成一行，从左边数小红排在第8个，从右边数排在第5个，求这一行共有多少人？如果简单地用8＋5求出有13人，这样就重复把小红计算进去了。
2 在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
三、例题选讲例1、有两块同样长的木板，长68厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块木板（如图），重叠部分是20厘米，求钉成后的这一块木板长多少厘米？例2、庆祝国庆，同学们排成方形的彩旗队，无论从前数、从后数，还是从左数从右数，小静都在第6个，参加彩旗的同学共有多少个？例3、一次大扫除，全班42人中，扫地的有21人，擦窗户的有23人，每人至少参加一项劳动，那么既扫地又擦窗户的有几人？例4、三（2）班都参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组。
参加音乐组的有34人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有8人，三（2）班共有学生多少人？例5、苗圃小学有500名学生参加作文和数学竞赛，参加数学竞赛的有365人，参加作文竞赛的有356人，其中两科都参加的有380人，那么两科都没参加的有多少人？四、巩固练习1、学校组织看电影，明明的座位从左数和从右数都是第15个，这一行座位有多少个？2、三（1）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运会，红红的位置从前是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。
三（1）班共有学生多少人？3、把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条，这段更长的纸条长40厘米，中间重叠部分是10厘米，原来两段纸条各长多少厘米？4、两块木板各长85厘米，像下面这样钉成一块长140厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？5、三（2）班做完语文作业的有36人，做完数学作业的有41人，两种作业都完成的有38人，两种作业都没完成的有1人。
容斥原理公式及运用
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B ∩C。
三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
容斥原理公式及运用
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】??一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：【示例2】??某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B ∩C。
三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
第1讲 集合(容斥原理)-2022-2023学年三年级数学思维拓展讲义(通用版)
第1讲集合（容斥原理）-2022-2023学年三年级数学思维拓展讲义（通用版）教学目标：1. 了解集合的概念及基本计数法则。
2. 掌握集合的交、并、补操作。
3. 学习集合容斥原理，能灵活运用于实际问题当中。
教学重点：1. 集合的基本概念及计数法则。
2. 集合的交、并、补操作。
3. 集合容斥原理的理解和运用。
教学难点：1. 集合容斥原理的理解和应用。
2. 合理设置实例，能够引导学生探索问题的解答过程。
教学方法：探究教学法、讲授法、练习法、归纳法。
教学过程：一、导入环节（5分钟）1. 老师出示三个不同颜色的苹果，问学生们这三个苹果有什么共同点？2. 引导学生们想到共同点是颜色，听完学生的答案后，说明这三个苹果都可以归为一个集合，即“颜色为苹果”的集合。
二、讲授集合概念及计数法则（10分钟）1. 什么是集合？说明：集合是将具有共同性质的事物放在一起，形成一个整体的概念，用大括号{}表示。
如{1,2,3,4,5}表示由1~5组成的整数集合。
2. 如何表示集合中的元素？说明：集合中的元素可以用逗号隔开，也可以用“……”表示集合中具有一定规律的元素。
如自然数集合可以用{1,2,3,……}表示。
3. 什么是幂集？说明：幂集是指一个集合中所有子集的集合。
如{1,2}的幂集为{{},{1},{2},{1,2}}。
幂集的个数为原集合元素个数的2的次方。
三、讲授集合的交、并、补操作（10分钟）1. 什么是交集？说明：交集是指两个集合中都有的元素所组成的集合。
如{1,2,3}和{2,3,4}的交集为{2,3}。
2. 什么是并集？说明：并集是指两个集合中所有元素所组成的集合。
如{1,2,3}和{2,3,4}的并集为{1,2,3,4}。
3. 什么是补集？说明：补集是指在一个全集中，不属于某个集合的元素所组成的集合，补集常表示为A的补集为A'。
如全集为{1,2,3}，A={2,3}，则A'={1}。
四、讲授集合容斥原理（10分钟）1. 什么是集合容斥原理？说明：集合容斥原理是处理集合问题的重要思想之一。
小学思维数学讲义：容斥原理之数论问题-带详解
容斥原理之数论问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个；B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43例题精讲【例3】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n）与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例4】在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】西城实验【解析】1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例5】求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
小学数学容斥原理知识点
小学数学容斥原理知识点在小学数学中，容斥原理是一种非常重要的解题方法，可以帮助我们解决一些复杂的计数问题。
容斥原理通过排除重复计数来解决问题，让我们一起来了解一下容斥原理的具体内容。
容斥原理的基本思想是，对于所给的问题，我们可以从整体的角度来思考，然后通过减去重复计数的部分来得到最终的结果。
下面我们通过一个具体的例子来理解容斥原理。
假设有一个小学学生组成的班级，其中有20个学生，分别擅长数学、英语和音乐。
我们想要知道至少擅长其中一门学科的学生人数。
首先，我们可以分别统计擅长数学、英语和音乐的学生人数，分别记为M、E和M1；然后，我们可以统计同时擅长数学和英语、数学和音乐以及英语和音乐的学生人数，分别记为ME、MM和EM；最后，我们可以统计同时擅长数学、英语和音乐的学生人数，记为MEM。
根据容斥原理，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数为：M + E + M1 - (ME + MM + EM) + MEM在这个例子中，我们通过容斥原理将问题分解成了几个部分，并减去了重复计数的学生人数。
通过这样的计算，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数，而不需要逐个统计每个学生的情况。
容斥原理不仅可以用于解决学生人数的问题，还可以用于解决更复杂的计数问题。
下面我们通过更多的例子来进一步了解容斥原理的应用。
例子一：小明手中有4个红色球、3个蓝色球和2个绿色球，他从中随机取出3个球，问至少有两个球是红色的概率是多少？我们可以使用容斥原理来解决这个问题。
首先，我们可以计算至少取到一个红色球的概率（记为P(至少一个红色球)）；然后，我们可以计算至少取到两个红色球的概率（记为P(至少两个红色球)）；最后，我们可以计算至少取到三个红色球的概率（记为P(至少三个红色球)）。
根据容斥原理，我们可以得到至少有两个球是红色的概率为：P(至少一个红色球) - P(至少两个红色球) + P(至少三个红色球)我们可以具体计算每个部分的概率，然后代入公式进行计算。
容斥原理问题
五、拓展与反思
解决容斥原理问题时，需要分析好题意， 条理要清晰。学会画韦恩图，借助图形， 能够更好的理解题意 。
六、参考文献
[1]赵静，但琦：数学建模与数学实验（第3版） P170-172
高等教育出版社
容斥原理问题是人教版三年级数学下册数学广角里内容使学生会借助直观图利用集合的思想方法解决简单的实际问题培养学生用不同的方法解决问题的意识
容斥原理问题的模型
一、问题背景
容斥原理问题是人教版三、年级数学下册数学广 角里内容，使学生会借助直观图，利用集合的思 想方法解决简单的实际问题，培养学生用不同的 方法解决问题的意识。让学生经历集合图的产生 过程，理解集合图的意义，体会集合图的好处， 学会利用集合的思想方法来思考问题。利用生活 事例让学生感受到数学与生活的密切联系，进一 步树立学数学用数学的意识。这里运用数学建模 的思想，对容斥原理问题进行拓展延伸，并用数 学建模解决容斥原理问题。
1.图书馆有100本书。 2.这100本书中有甲的签名33本。 3.这100本书中有乙的签名44本。 4.这100本书中有丙的签名55本。 5.同时有甲、乙签名的图书为29本。 6.同时有甲、丙签名的图书为25本。 7.同时有乙、丙签名的图书为36本。
四、问题解决ห้องสมุดไป่ตู้
解 令这100本书中有甲签名的书属于集合A1，有乙签名的数属于集合A2，有丙签名的属于 集合A3，则有 |A1|=33,|A2|=44,|A3|=55 |A1∩A2|=29 |A1∩A3|=25 |A2∩A3|=36 本题只用算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100做差即可。 |A1∪A2∪A3|=|A1|+|A2|+|A3|-（|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|）+| A1∩A2∩A3| 当| A1∩A2∩A3|最大时，|A1∪A2∪A3|也有最大值。也就是说当三人都借过的书最多 时，甲、乙、丙至少有一人借过的书最多。 而| A1∩A2∩A3|最大不超过|A1|,|A2|,|A3|，|A1∩A2|，|A1∩A3|，|A2∩A3|6个数 中的最小值，所以| A1∩A2∩A3|最大为25. 此时|A1∪A2∪A3|=33+44+55-（29+25+36）+25=67，即甲、乙、丙中至少有一人借过 的书最多为67，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过。
第二十讲 容斥原理
第二十讲容斥原理（2）[知识提要]前面讲述过简单的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。
对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。
应用于计数集合划分有重叠，无法简单应用加法原理的情况下。
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
如果被计数的事物有A、B两类，那么，具体公式为:A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，具体公式为:A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A 类又是B类而且是C类的元素个数。
有了以上的容斥原理,一些看起来头绪很多的问题就可以比较方便地得到解决。
[经典例题][例1]五（1）班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？[分析]我们可以画一个图帮助思考，画两个相交的圆圈:其中一个表示体育代表队，另一个表示文艺代表队，那么两圆的内部共有42人，而体育代表队的圆中有30人，文艺代表队的图中有25人，但：30+25=55>42，这是因为两队都参加的人被计算了两次，因此55-42=13，即是两队都参加的人数。
[解答]解：（30+25）-42=13（人）答：两队都参加的有13人。
[评注]可能有很多同学还是刚刚接触容斥原理，所以我们用图形来形象地描绘整个问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 1、在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏 。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究 出一种新的计数方法，这种方法的基本思想 是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容 中的所有对象的数目先计算出来，然后再把 计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算 的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法 称为容斥原理。
2、A类B类元素个数总和 = 属于类元素个数 + 属于B类元
素个数 — 既是A类又是B类元素个数
3、解决容斥原理，一般采用文氏图。
文氏图指用于显示元素集合重叠区域的图示
【例3】四（2）班有56只小老虎，参加语 文竞赛的有28只小老虎，参加数学竞赛的 有27只小老虎，如果两科都没参加的有25 只小老虎，那么参加语文、数学两科竞赛 的有多少人？
【练习】一个俱乐部有103人，其中会下 中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52 人，这两种棋都不会下的有12人。问这个 俱乐部里两种棋都会下的有多少人？
容斥原理
【例1】森林里有58只小老虎，每只老虎 都至少喜欢游泳和爬树中的一项，已知喜 欢游泳的有38只小老虎，喜欢爬树的有24 只小老虎，那么既喜欢游泳又喜欢爬树的 小老虎有多少只？
【练习1】某班有48人，班主任问：“做 完语文作业的请举手？”有42人举手。又 问：“做完数学作业的请举手？”有37人 举手。“有没有哪个同学一门作业也没完 成呀？”结果无人举手。问：这个班语文 、数学作业都做完的人数是多少？
【例4】阳光喔举办学生书法展览。学校 的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品 ，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是 六年级的，五、六年级参展的书法作品共 有10幅，其他年级参展的书法作品共有多 少幅？
• 【练习4】南明小学举行小学田径运动会，其 中24名运动员不是六年级的，28名运动员不 是五年级的，已知五、六年级运动员共有32 名，五、六年级和中低年级运动员各有多少 名？
【例2】三（2）班在一次订报活动中，每 只小老虎至少订一种报纸。有15只小老虎 订了《小学生画报》，32只小老虎定了《 故事导报》，既订了《小学生画报》又订 了《故事导报》的有9只小老虎，问三（2 ）有多少只小老虎？
【练习2】一次期末考试，某班所有同学 语、数成绩至少有一门得满分。已知有25 人数学得满分，有22人语文得满分，并且 有4人语、数都是满分，那么这个班有多 少人？