03第二版 第三章 解线性方程组的迭代法
计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法
“回代”解得
xn
bn ann
xk
1 akk
[bk
n
akj x j ]
j k 1
其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1
xi
b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i
2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )： 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)
计算方法3_线性方程组迭代解法
计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。
该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。
线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。
本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。
雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。
雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。
雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。
超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
第3章3-06迭代法和收敛性
解 方程组化为等价的方程组 0.2 x2 + 0.1x3 + 0.3 x1 = + 0.1x3 + 1.5 x2 = 0.2 x1 x = 0.2 x + 0.4 x + 2 1 2 3 构造高斯 赛德尔迭代公式 高斯构造高斯-赛德尔迭代公式 ( ( x1( k +1) = 0.2 x2k ) + 0.1x3k ) + 0.3 ( k +1) ( x2 = 0.2 x1( k +1) + 0.1x3k ) + 1.5, k = 0,1, 2,L ( k +1) ( x3 = 0.2 x1( k +1) + 0.4 x2k +1) + 2
雅可比迭代公式
i −1 n 1 ( k +1) (k ) (k ) xi = (bi − ∑ aij x j − ∑ aij x j ) , (i = 1,2,L, n) aii j =1 j =i +1
分量形式
( k +1) 1 ( ( ( x1 = (b1 − a12 x2k ) − a13 x3k ) − L − a1n xnk ) ) a11 ( k +1) 1 ( ( x2 = (b2 − a21 x1( k ) − a23 x3k ) − L − a2 n xnk ) ) a22 LLLL ( k +1) 1 ( ( ) xn = (bn − an1 x1( k ) − an 2 x2k ) − L − ann −1 xnk 1 ) − ann
高斯-赛德尔 高斯 赛德尔(Seidel)迭代公式 赛德尔 迭代公式
i −1 n 1 ( k +1) ( k +1) (k ) xi = (bi − ∑aij x j − ∑aij x j ), aii j =1 j =i +1
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
解线性方程组的迭代法
解线性方程组的迭代法Haha送给需要的学弟学妹摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。
系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，是著名的病态问题。
因而决定求解Hx b =此线性方程组来验证上述问题。
详细过程是通过用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法求解Hx b =线性方程组。
关键词：病态方程组、Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法、SOR 迭代法目录：一、问题背景介绍二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理1、Gauss 消去法求解原理2、Jacobi 迭代法求解原理3、G-S 迭代法求解原理4、SOR 迭代法求解原理5、Jacobi 和G-S 两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程（一）Hilbert 矩阵维数n=6时1、Gauss 消去法求解2、Jacobi 迭代法求解3、G-S 迭代法求解4、SOR 迭代法求解（二）Hilbert 矩阵维数n=20、50和100时1、G-S 迭代法求解图形2、SOR 迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果1、Gauss 消去法误差分析2、G-S 迭代法误差分析3、SOR 迭代法误差分析G-S 迭代法与SOR 迭代法的误差比较 七、心得体会正文：一、问题背景介绍。
理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？二、建立正确的数学模型。
考虑方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(), , ,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（为方便计算，笔者取x 的各个分量等于1），再计算出右端,b Hx =这样Hx b =的解就明确了，再用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法分别求解,Hx b =将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。
第三章 解线性方程组的迭代法
(3 .4 )
, k 1, 2 , 3 ,
式(3.4)称为Gauss-Seidel迭代法,简称为G-S迭代法.
G-S迭代法也可记为
xi
( k 1)
1 a ii
( b i a ij x
j 1
i 1
( k 1)
j
a ij x
j i 1
n
(k )
j
)
, i 1, 2 , n , k 0 ,1, 2 ,
则有
A=D-L-U
于是线性方程组 Ax=b 可写成 (D-L-U)x=b 等价于 Dx=(L+U)x+b 或 x=D-1(L+U)x+D-1b
由此建立J迭代法迭代公式
x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 或写成
x(k+1)=Bx(k)+g 其中
1 B D (L U ) 0 a 21 a 22 a n1 a nn a 12 a 11 0 an2 a nn a1n a 11 a2n a 22 0
可见 ,J迭代法的迭代矩阵为
B 0 a 21 a 22 a n1 a nn
bn a nn )
T
a 12 a 11 0 a n2 a nn
a 1n a 11 a 2n a 22 0
若记
从而得迭代公式
a 13 ( k ) a 1n ( k ) a 12 ( k ) b1 ( k 1) x x2 x3 xn 1 a 11 a 11 a 11 a 11 a 23 ( k ) a 2n (k ) a 21 ( k ) b2 ( k 1) x1 x3 xn x 2 a 22 a 22 a 22 a 22 a n1 ( k ) a n2 (k ) a nn 1 ( k ) bn ( k 1) x1 x2 x n 1 x n a nn a nn a nn a nn
解线性方程组的迭代法
0.9906
0.0355
5 1.01159 0.9953
1.01159 0.01159
6 1.000251 1.005795 1.000251 0.005795
7 0.9982364 1.0001255 0.9982364 0.0017636
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
从而得迭代公式
x1
a12 a11
x2
a13 a11
x3
b1 a11
x2
a21 a22
x1
a23 a22
x3
b2 a22
x3
a31 a33
M 00.8 00..75
但(M)=0.8<1,所以迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g 是收敛的.
由(3.5)式可见,‖M‖越小收敛越快,且当‖x (k) -x(k-1) ‖很小时,‖x(k) –x*‖就很小,实际中用‖x (k) x(k-1) ‖<作为
迭代终止的条件。 例如，对例1中的Jacobi迭代计算结果
+‖x(k+1) –x*‖‖M‖‖x(k) –x(k-1)‖+‖M‖‖x(k) –x*‖ 从而得‖x(k) –x*‖‖M‖‖x (k) -x(k-1) ‖/（1- ‖M‖）
(3.5) (3.6)
估计式(3.5)得证。利用(3.5)式和
‖x(k+1) 得到
-x(k)
‖‖M‖‖x
(k)
-x(k-1)
‖
解线性方程组 的迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法，又称坐标下降法，是一种用于解线性方程组的迭代求解方法，常用于线性规划以及单纯形法等技术。
早在上世纪50年代，此方法就在解决
线性规划问题中得到了广泛应用，到目前为止，这种技术仍然广泛使用。
线性方程组迭代法是一种基于不断迭代调整变量，使目标函数达到最优结果的
迭代求解法。
其基本步骤是：
(1) 初始化目标函数变量：首先，初始化线性方程组的目标函数的变量；
(2) 评估梯度：选择合适的算法计算目标函数的梯度；
(3) 根据该梯度更新变量：更新目标函数变量的值，使得在此次更新之后的值
更加有利于满足线性方程组的要求；
(4) 重复上述步骤，直到目标函数足够接近最优值为止；
线性方程组迭代法能够快速地求解出线性规划问题的最优解，因此，它在计算
机上经常被用来优化问题，进而提高系统运行效率。
随着网络技术的发展，线性方程组迭代法在互联网领域得到了广泛应用，这在大大缩短了计算机程序的运行时间，提高了互联网的效率。
同时，线性方程组迭代法也有助于提高系统的性能，改善用户的体验，提升企业的品牌形象。
数值分析实验报告--实验6--解线性方程组的迭代法
1 / 8数值分析实验六：解线性方程组的迭代法2016113 张威震1 病态线性方程组的求解1.1 问题描述理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？实验内容：考虑方程组Hx=b 的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(),,,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b 的办法给出确定的问题。
实验要求：（1）选择问题的维数为6，分别用Gauss 消去法、列主元Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？（2）逐步增大问题的维数（至少到100），仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？（3）讨论病态问题求解的算法1.2 算法设计首先编写各种求解方法的函数，Gauss 消去法和列主元高斯消去法使用实验5中编写的函数myGauss.m 即可，Jacobi 迭代法函数文件为myJacobi.m ，GS 迭代法函数文件为myGS.m ，SOR 方法的函数文件为mySOR.m 。
1.3 实验结果1.3.1 不同迭代法球求解方程组的结果比较选择H 为6*6方阵，方程组的精确解为x* = (1, 1, 1, 1, 1, 1)T ，然后用矩阵乘法计算得到b ，再使用Gauss 顺序消去法、Gauss 列主元消去法、Jacobi 迭代法、G-S 迭代法和SOR 方法分别计算得到数值解x1、x2、x3、x4，并计算出各数值解与精确解之间的无穷范数。
Matlab 脚本文件为Experiment6_1.m 。
迭代法的初始解x 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0)T ，收敛准则为||x(k+1)-x(k)||∞<eps=1e-6，SOR方法的松弛因子选择为w=1.3，计算结果如表1。
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
3线性方程组的迭代解法
三、逐次超松弛法(SOR方法)
逐次超松弛法(Successive Over Relaxation Method)可 看成是Gauss-Seidel方法的加速，Seidel迭代法是SOR方法的 特例。将Seidel方法的迭代公式
改写为
x(k1) i
1 aii
(bi
i 1
a x(k 1) ij j
k
0
1
2
3
4
5
6
x1
0
2.5000 2.9773 3.0098 2.9998 2.9999 3.0000
x2
0
2.0909 2.0289 1.9968 1.9997 2.0001 2.0000
x3
0
1.2273 1.0041 0.9959 1.0002 1.0001 1.0000
可见Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛要快一些。
x（k 1) BJ x(k ) f J
0
其中
a21
a22
BJ D1(L U )
an1 ann
a12 a11 0
an2 ann
a13 a11
a23 a22
7
a1n1 a11
a2n1 a22
ann1 ann
a1n
a11
a2 n
a22 , fJ D1b
0
二、 Gauss-Seidel 迭代法
x(k ) i
xi(k )
x(k ) i
1 aii
bi
i 1
a x(k 1) ij j
j 1
n
aij
x(jk
)
j i
为加快收敛，在增量 xi(k ) 前加一个因子
第3章 解线性方程组的迭代法 习题
第3章 解线性方程组的迭代法一、填空题1. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=75.025.0065.0A ，则=∞→k k A lim . 2. Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 时，对应的迭代矩阵为 ，该迭代矩阵的谱半径)(A ρ为 .3. Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎩⎨⎧=+-=+24.011.62121x x x x 时，对应的迭代矩阵为 ，此迭代矩阵的谱半径)(A ρ为 .二、单选题1. Jacobi 迭代法解方程组b Ax =的必要条件是（ ）.A ．A 的各阶顺序主子式不为零B ． 1)(<A ρC ．A 的对角线元素不为零D ． 1≤A2. 解方程组b Ax =的简单迭代格式g Mx x k k +=+)()1(收敛的充要条件是（ ）.A ．1)(<A ρB ．1)(<M ρC ．1)(>A ρD ．1)(>M ρ三、 判断题1. 解线性方程组时，Gauss-Seidel 迭代法比用Jacobi 迭代法效果好. ( )2. 向量序列和矩阵序列的收敛可归结为对应分量或对应元素序列的收敛性. ( )四、问答题1. Guass-Seidel 迭代法在Jacobi 迭代法的基础上进行了某种程度的加速，故若Jacobi 迭代收敛，则Guass-Seidel 迭代也必然收敛.五、计算题1. 用Jacobi 迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--4258321072210321321321x x x x x x x x x ，求迭代两次所得解.2. 用Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--4258321072210321321321x x x x x x x x x ，求迭代两次所得解.3. 用Jacobi 迭代法判断系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212112121211的线性方程组的收敛性.。
数值计算方法第三章 线性方程组迭代法
0,1,2,
取x1(0) 0, x2(0) 0,计算结果如下：
k0
x (k) 1
0
x (k) 2
0
1
2
3
4
0.66667 0.50000 0.61111 0.58333
0.50000 0.16667 0.25000 0.19445
5
6
7
8
9
0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.6005
从而得迭代式 x(k1) (D L)1Ux (k) (D L)1 b, (k 0,1,2, )
上式中矩阵 M (D L)1U 为Gauss-Seidel迭代矩阵。
输入：A,b, n,
置初值： k 0; xi 0(i 1,L , n)
k k 1;e 0
3xx1 12xx22
2 1
精确到3位有效数字。
解 Gauss Siedel迭代格式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
(2 x2(k) ) / 3 (1 x1(k1) ) / 2
,
k
0,1,
2,L
取x1(0)
0,
x (0) 2
0, 计算结果如下：
0
101
0
1
10
2
1 0 0 101 1 1 5
0 0.1 0.2 0.1 0 0.2
0.2 0.2 0
取初值x (0) (0,0,0)T 代入迭代式
x(1) Bx (0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.17,10.70,11.50)T ，如此下去， x(9) Bx (1) g (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 )T
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a1n
x(k 1) n
)
x2( k
)
1 a22
( b2
a x(k 1) 21 1
a x(k 1) 23 3
a2n xn(k1) )
xn( k
)
1 ann
( bn
a x(k 1) n1 1
a x(k 1) n2 2
a x(k1) n,n1 n1
)
(3.3)
或
x1(
k
)
x(k 1) 1
1 a11
(b1
a x(k1) 11 1
a x(k1) 12 2
a1n xn(k1) )
x2( k
)
x(k 1) 2
1Байду номын сангаасa22
(b2
a x(k1) 21 1
a x(k1) 22 2
a2n xn(k1) )
xn( k
)
x(k 1) n
1 ann
(bn
a x(k1) n1 1
a x(k1) n2 2
-ann xn(k1) )
)
x(k 1) 3
1( 5
3
x(k 1) 2
5x3(k1) )
对于初始向量 x0 0, 0, 0T，由雅克比迭代法得到下
面的表格（表3-1）.
表 3-1 雅克比迭代法计算结果
k
x(k) 1
x(k) 2
x(k) 3
max
1i3
|
x(k ) i
x(k 1) i
|
k
x(k) 1
x(k) 2
x(k) 3
1.40000 1.24000 0.99200 0.84320 0.67456 0.57338 0.45870 0.38990 0.31192 0.26513 0.21210 0.18029 0.14423 0.12260 0.09808 0.08336 0.06669 0.05669 0.04535 0.03855 0.03084 0.02621 0.02097 0.01782 0.01426
赛德尔迭代法求近似解 x，* 迭代至 xk1 xk 10．4
解: 赛德尔迭代格式为
x1(k ) ( 7
4x2(k1)
)/5
x2( k
)
(3
4x1(k )
x(k 1) 3
)
/
5
x3( k
)
(
3
x(k) 2
)/5
或
x1(
k
)
x(k 1) 1
1( 5
7 5x1(k1)
x2( k
)
分量
x(k) i
时，前面的 i 1 个分量已经算出，因而可以用
新值 x1(k ) ,
,
x(k) i1
来代替旧值 x1(k1) ,
, xi(k11)，提高收敛
速度．于是（3.3）或(3.4)式可改写为
x1( k
)
1 a11
( b1
a x(k 1) 12 2
a x(k 1) 13 3
a1n
x(k 1) n
由于
max
1i3
x(51) i
x(50) i
104
故取
x* x(51) (2.999．9, 1.9998, 1.0000)T
5.1.2 赛德尔(Seidel)迭代法
在迭代过程中，如果迭代收敛，则
x(k) i
应该比 xi(k1) 更
接近于原方程组的解 xi (i 1, 2, , n)．由于在计算第 i 个
x(k) 3
k max
1i3
|
x(k) i
x( k 1) i
|
x(k) 1
x(k) 2
x(k) 3
max
1i3
|
x(k) i
x( k 1) i
|
0 0.000000 0.000000 0.000000 1 1.400000 0.520000 0.704000 2 1.816000 0.993600 0.798720 3 2.194880 1.315648 0.863130 4 2.452518 1.534641 0.906928 5 2.627713 1.683556 0.936711 6 2.746845 1.784818 0.956964 7 2.827855 1.853676 0.970735 8 2.882941 1.900500 0.980100 9 2.920400 1.932340 0.986468 10 2.945872 1.953991 0.990798 11 2.963193 1.968714 0.993743 12 2.974971 1.978726 0.995745
给定初始向量
x(0)
(
x(0) 1
,
x(0) 2
,
,
x(0) n
)T
，则根据
(3.5)式可计算出
x(k) (x1(k) , x2(k) , , xn(k) )T
其中 ， k 0,1,
德尔迭代法．
表示迭代次数．上述计算过程称为赛
例3.2 对于例3.1中的线性方程组，取 x(0) 0, 0, 0，试用
(3.4)
(3.3)式或(3.4)式称为求解线性方程组 Ax b 的雅可比迭代
格式．
若给定初始向量
x(0)
(
x(0) 1
,
x(0) 2
,
,
x(0) n
)T，则根据(3.3)
式可计算出
x(k) (x1(k) , x2(k) , , xn(k) )T
其中，k 0,1, 表示迭代次数．以上计算过程称为雅可比
)
x2( k
)
1 a22
( b2
a21x1(k )
a x(k 1) 23 3
a2n xn(k 1) )
xn( k
)
1 ann
( bn
an1x1(k )
an2 x2(k )
an,n1
x(k) n 1
)
或
x1( k
)
x(k 1) 1
1 a11
(b1
a x(k1) 11 1
a x(k1) 12 2
max
1i3
|
x(k ) i
x(k 1) i
|
0 0.000000 0.000000 0.000000 1 1.400000 -0.600000 0.600000 2 0.920000 0.640000 0.480000 3 1.912000 0.232000 0.728000 4 1.585600 1.075200 0.646400 5 2.260160 0.797760 0.815040 6 2.038208 1.371136 0.759552 7 2.496909 1.182477 0.874227 8 2.345982 1.572372 0.836495 9 2.657898 1.444084 0.914474 10 2.555267 1.709213 0.888817 11 2.767371 1.621977 0.941843 12 2.697582 1.802265 0.924396 13 2.841812 1.742945 0.960453 14 2.794356 1.865540 0.948589 15 2.892432 1.825202 0.973108 16 2.860162 1.908567 0.965041 17 2.926854 1.881138 0.981713 18 2.904910 1.937826 0.976228 19 2.950261 1.919174 0.987565 20 2.935339 1.957721 0.983835 21 2.966177 1.945038 0.991544 22 2.956031 1.971251 0.989008 23 2.977000 1.962626 0.994250 24 2.970101 1.980450 0.992525 25 2.984360 1.974586 0.996090
26 2.979668 1.986706 0.994917 27 2.989365 1.982718 0.997341 28 2.986175 1.990960 0.996544 29 2.992768 1.988248 0.998192 30 2.990599 1.993853 0.997650 31 2.995082 1.992009 0.998771 32 2.993607 1.995820 0.998402 33 2.996656 1.994566 0.999164 34 2.995653 1.997158 0.998913 35 2.997726 1.996305 0.999432 36 2.997044 1.998067 0.999261 37 2.998454 1.997487 0.999613 38 2.997990 1.998686 0.999497 39 2.998949 1.998291 0.999737 40 2.998633 1.999106 0.999658 41 2.999285 1.998838 0.999821 42 2.999070 1.999392 0.999768 43 2.999514 1.999210 0.999878 44 2.999368 1.999587 0.999842 45 2.999669 1.999463 0.999917 46 2.999570 1.999719 0.999892 47 2.999775 1.999635 0.999944 48 2.999708 1.999809 0.999927 49 2.999847 1.999752 0.999962 50 2.999801 1.999870 0.999950 51 2.999896 1.999831 0.999974