03第二版 第三章 解线性方程组的迭代法

a1n
x(k 1) n
)
x2( k
)
1 a22
( b2
a x(k 1) 21 1
a x(k 1) 23 3
a2n xn(k1) )
xn( k
)
1 ann
( bn
a x(k 1) n1 1
a x(k 1) n2 2
a x(k1) n,n1 n1
)
(3.3)
或
x1(
k
)
x(k 1) 1
1 a11
(b1
a x(k1) 11 1
a x(k1) 12 2
a1n xn(k1) )
x2( k
)
x(k 1) 2
1Байду номын сангаасa22
(b2
a x(k1) 21 1
a x(k1) 22 2
a2n xn(k1) )
xn( k
)
x(k 1) n
1 ann
(bn
a x(k1) n1 1
a x(k1) n2 2
-ann xn(k1) )
)
x(k 1) 3
1( 5
3
x(k 1) 2
5x3(k1) )
对于初始向量 x0 0, 0, 0T，由雅克比迭代法得到下
面的表格（表3-1）.
表 3-1 雅克比迭代法计算结果
k
x(k) 1
x(k) 2
x(k) 3
max
1i3
|
x(k ) i
x(k 1) i
|
k
x(k) 1
x(k) 2
x(k) 3
1.40000 1.24000 0.99200 0.84320 0.67456 0.57338 0.45870 0.38990 0.31192 0.26513 0.21210 0.18029 0.14423 0.12260 0.09808 0.08336 0.06669 0.05669 0.04535 0.03855 0.03084 0.02621 0.02097 0.01782 0.01426
赛德尔迭代法求近似解 x，* 迭代至 xk1 xk 10．4
解: 赛德尔迭代格式为
x1(k ) ( 7
4x2(k1)
)/5
x2( k
)
(3
4x1(k )
x(k 1) 3
)
/
5
x3( k
)
(
3
x(k) 2
)/5
或
x1(
k
)
x(k 1) 1
1( 5
7 5x1(k1)
x2( k
)
分量
x(k) i
时，前面的 i 1 个分量已经算出，因而可以用
新值 x1(k ) ,
,
x(k) i1
来代替旧值 x1(k1) ,
, xi(k11)，提高收敛
速度．于是（3.3）或(3.4)式可改写为
x1( k
)
1 a11
( b1
a x(k 1) 12 2
a x(k 1) 13 3
a1n
x(k 1) n
由于
max
1i3
x(51) i
x(50) i
104
故取
x* x(51) (2.999．9, 1.9998, 1.0000)T
5.1.2 赛德尔(Seidel)迭代法
在迭代过程中，如果迭代收敛，则
x(k) i
应该比 xi(k1) 更
接近于原方程组的解 xi (i 1, 2, , n)．由于在计算第 i 个
x(k) 3
k max
1i3
|
x(k) i
x( k 1) i
|
x(k) 1
x(k) 2
x(k) 3
max
1i3
|
x(k) i
x( k 1) i
|
0 0.000000 0.000000 0.000000 1 1.400000 0.520000 0.704000 2 1.816000 0.993600 0.798720 3 2.194880 1.315648 0.863130 4 2.452518 1.534641 0.906928 5 2.627713 1.683556 0.936711 6 2.746845 1.784818 0.956964 7 2.827855 1.853676 0.970735 8 2.882941 1.900500 0.980100 9 2.920400 1.932340 0.986468 10 2.945872 1.953991 0.990798 11 2.963193 1.968714 0.993743 12 2.974971 1.978726 0.995745
给定初始向量
x(0)
(
x(0) 1
,
x(0) 2
,
,
x(0) n
)T
，则根据
(3.5)式可计算出
x(k) (x1(k) , x2(k) , , xn(k) )T
其中 ， k 0,1,
德尔迭代法．
表示迭代次数．上述计算过程称为赛
例3.2 对于例3.1中的线性方程组，取 x(0) 0, 0, 0，试用
(3.4)
(3.3)式或(3.4)式称为求解线性方程组 Ax b 的雅可比迭代
格式．
若给定初始向量
x(0)
(
x(0) 1
,
x(0) 2
,
,
x(0) n
)T，则根据(3.3)
式可计算出
x(k) (x1(k) , x2(k) , , xn(k) )T
其中，k 0,1, 表示迭代次数．以上计算过程称为雅可比
)
x2( k
)
1 a22
( b2
a21x1(k )
a x(k 1) 23 3
a2n xn(k 1) )
xn( k
)
1 ann
( bn
an1x1(k )
an2 x2(k )
an,n1
x(k) n 1
)
或
x1( k
)
x(k 1) 1
1 a11
(b1
a x(k1) 11 1
a x(k1) 12 2
max
1i3
|
x(k ) i
x(k 1) i
|
0 0.000000 0.000000 0.000000 1 1.400000 -0.600000 0.600000 2 0.920000 0.640000 0.480000 3 1.912000 0.232000 0.728000 4 1.585600 1.075200 0.646400 5 2.260160 0.797760 0.815040 6 2.038208 1.371136 0.759552 7 2.496909 1.182477 0.874227 8 2.345982 1.572372 0.836495 9 2.657898 1.444084 0.914474 10 2.555267 1.709213 0.888817 11 2.767371 1.621977 0.941843 12 2.697582 1.802265 0.924396 13 2.841812 1.742945 0.960453 14 2.794356 1.865540 0.948589 15 2.892432 1.825202 0.973108 16 2.860162 1.908567 0.965041 17 2.926854 1.881138 0.981713 18 2.904910 1.937826 0.976228 19 2.950261 1.919174 0.987565 20 2.935339 1.957721 0.983835 21 2.966177 1.945038 0.991544 22 2.956031 1.971251 0.989008 23 2.977000 1.962626 0.994250 24 2.970101 1.980450 0.992525 25 2.984360 1.974586 0.996090
26 2.979668 1.986706 0.994917 27 2.989365 1.982718 0.997341 28 2.986175 1.990960 0.996544 29 2.992768 1.988248 0.998192 30 2.990599 1.993853 0.997650 31 2.995082 1.992009 0.998771 32 2.993607 1.995820 0.998402 33 2.996656 1.994566 0.999164 34 2.995653 1.997158 0.998913 35 2.997726 1.996305 0.999432 36 2.997044 1.998067 0.999261 37 2.998454 1.997487 0.999613 38 2.997990 1.998686 0.999497 39 2.998949 1.998291 0.999737 40 2.998633 1.999106 0.999658 41 2.999285 1.998838 0.999821 42 2.999070 1.999392 0.999768 43 2.999514 1.999210 0.999878 44 2.999368 1.999587 0.999842 45 2.999669 1.999463 0.999917 46 2.999570 1.999719 0.999892 47 2.999775 1.999635 0.999944 48 2.999708 1.999809 0.999927 49 2.999847 1.999752 0.999962 50 2.999801 1.999870 0.999950 51 2.999896 1.999831 0.999974
的准确解．
Ax b
本章主要介绍雅可比(Jacobi)迭代法、赛德尔(Seidel)迭 代法、松弛迭代法以及最速下降法等内容．
§3.1 雅可比迭代法
3.1.1 雅可比(Jacobi)迭代法
考虑线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
x1
1 a11
(
a12 x2 a13x3 a1n xn b1)
x2
1 a22
(a21x1
a23x3 a2n xn b2 )
xn
1 ann
(an1x1
an2 x2
an,n1xn1
bn )
于是有迭代格式
x1(
k
)
1 a11
( b1
a x(k 1) 12 2
a x(k 1) 13 3
迭代法 .
例3.1 线性方程组
5 4
x1 x1
4 x2 5 x2
7 x3 3
x2 5 x3 3
有精确解 x 3, 2,1T ．取 x0 0, 0, 0T ，试用雅克比迭代
法求近似解 x*，要求迭代至 || x(k1) x(k) || 104.
解: 雅克比迭代格式为
x1(k ) ( 7
4x2(k1)
)/5
x2( k
)
(3 4x1(k1)
x(k 1) 3
)
/
5
x3( k
)
(
3
x(k 1) 2
)/5
或
x1(
k
)
x(k 1) 1
1( 5
7 5x1(k1)
4x2(k 1)
x2( k
)
x(k 1) 2
1 (3 5
4x1(k 1)
5x2(k 1)
) x3(k 1) )
x3( k
ann xn bn
(3.1)
a11 a12
令
A
a21
a22
an1 an2
a1n
x1
b1
a2
n
，
x
x2
，
b
b2
ann
xn
bn
则(3.1)式得矩阵形式为
Ax b 其中系数矩阵 A 可逆．
(3.2)
若 aii 0 (i 1, 2, , n)，则方程组可改写为
0.01212 0.00970 0.00824 0.00659 0.00560 0.00448 0.00381 0.00305 0.00259 0.00207 0.00176 0.00141 0.00120 0.00096 0.00082 0.00065 0.00055 0.00044 0.00038 0.00030 0.00026 0.00021 0.00017 0.00014 0.00012 0.00009
第三章 解线性方程组的迭代法
• 3.1 雅克比迭代法 • 3.2 迭代法的收敛性 • 3.3 最速下降法
解线性方程组的直接解法，是通过有限步运算得到线性
方程组的解．本章介绍另一类方法——迭代法．迭代法的基
本思想是构造一个向量序列 x(k) ( k 0,1, 2, )，使其收敛到 某个极限向量 x，而 x 就是要求的方程组
x(k 1) 2
1 5
(
3
4x1(k
)
x3( k
)
x(k 1) 3
1( 5
3
4x2(k 1)
)
5x2(k 1)
x(k 1) 3
)
x(k) 2
5x3(k1) )
对于初始向量 x(0) 0, 0, 0T，由赛德尔迭代法得下面的
表格（表3-2）：
k
x(k) 1
表 3-2 赛德尔迭代法计算结果
x(k) 2
a1n
x(k 1) n
)
x2( k
)
x(k 1) 2
1 a22
(b2
a21x1(k )
a x(k1) 22 2
a2n
x(k 1) n
)
xn( k
)
x(k 1) n
1 ann
( bn
an1x1(k )
an2 x2(k )
ann
x(k 1) n
)
(3.5) (3.6)
(3.5)或(3.6)式称为解线性方程组的赛德尔迭代格式.