交流谐振电路

耗散越少。Q 的这个意义适用于一切谐振系统（机械的、电磁的、光学的等等）。
微波谐振腔和光学谐振腔中的 Q 值都指这个意义。
（2）在谐振时，VR = Vi ，而电感上和电容上的电压达到信号源电压的 Q 倍， 故串联谐振电路又称为电压谐振电路。串联谐振电路的这个特点为我们提供了测 量电抗元件 Q 值的方法，最常见的一种测 Q 值的仪器是 Q 表。
I max
=
Vi R
，相位差 ϕi
=
0 ，整个电路呈阻性，这个现象即
为谐振现象。发生谐振时的频率ν0 即为谐振频率，此时 的角频率ω0 即为谐振角频率。它们之间的关系为：
ω= ω=0
1， LC
ν0=
ω0 2π
=
2π
1 LC
（4）
图 2 RLC 串联谐振电路中 Z、I、ϕi 随ω 的变化曲线
谐振时，通常用品质因数 Q 来反映谐振电路的固有性质，
(t)
(7)
其= 中 i(t)
I0 cosω= t, uc (t)
I0 cos(ωt − π )
ωC
2
则
= Ws
1 2
I02
(
L
cos2
ωt
+ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 ω 2C
sin
2
ωt
)
(8)
所以谐振时
= Ws 12= I02L LI 2
(9)
Q=2π WS
(10)
WR
结论：
（1） Q 值越大，谐振电路储能的效率越高，储存相同能量需要付出的能量
（5）测量 ϕi
ν
曲线。用双踪测量法（或李萨如图形法）测量
RLC
串联电路
的总电流与输入端电压的位相差ϕi 随频率ν 的变化情况，并作ϕi ν 曲线，分析
得到的结果。
2. 观测 RLC 并联谐振电路的特性 （1） 按照图 6 所示连接线路。为了观测回路总电流 i(t) ，在电路中串联一个
电阻 R′ ，其压降为VR′ (t) 。设信号源电压
（3）测量 I pp ~ ν 曲线以及 Q 值
在示波器上先观测Vi 、VR 二波形。改变Vi 的频率ν （3000Hz ∼ 7000Hz），
先定性观察VR 的变化，再定量测量VRpp （另外包括Vipp ）随ν 的变化（平均每隔 200Hz 取一个频率测量点）。谐振频率ν 0 点处的振幅VRppmax 和Vipp ，最好特别关注
(Q 1)
(11)
（4）在 RLC 电路的暂态过程实验中我们得到，当电阻 R 较小时电路处于阻
尼振荡状态，振幅按照 e−t/t (t = 2L / R) 的规律衰减的。振幅衰减的时间常数τ 代
3 / 12
表振幅衰减到初始值1/ e 所需要的时间。这个值可用 Q 来表示。由公式（5）可
得：=τ 2= Q QT ω0 π
测量一下。注意，为了较准确地测出谐振频率ν 0 及幅频曲线，应根据VRpp 的变化
规律来选取频率间隔测量点，在ν 0 附近应多选几个点，测得密些，而在远离ν 0 处 则可测得稀疏些。
再改变频率调回到谐振状态下，将电容、电感上的电压信号接到示波器的 Y 输入端，分别测量谐振时VCpp 和VLpp 的值。另外电阻 R 二端的电压VRpp ，输入端
其中T 是振荡周期，表明 Q 值越大，振幅衰 减得越慢。
可用上述原理粗略地测量 Q 值。用示波器把
RLC 电路的阻尼振荡曲线显示在荧光屏上，Q 值
的大小即可从各次振荡振幅值之比看出。
图 3 RLC 并联谐振电路
2．RLC 并联谐振电路 RLC 并联谐振电路如图 3 所示。这种电路也具有谐振的特性，但与 RLC 串 联电路有较大的差别。电路各参数与角频率 ω 的 关系如下： 电路总阻抗
实验原理
在由电容和电感组成的 LC 电路中，若给电容器充电，就可在电路中产生简 谐形式的自由电振荡。若电路中存在一定的回路电阻 R，则回路电流的振荡为振 幅逐步衰减的阻尼振荡。此时若在电路中接入一交变信号源，不断地给电路补给 能量，使振荡得以持续进行，形成受迫振动，则回路中将出现一种新的现象—— 交流谐振现象。电路的特性也因串联或并联的形式不同，而展现出不同的结果。 本实验就是研究 RLC 串、并联谐振电路的不同特性。
交流谐振电路特性研究
由电感、电容组成的电路，通过交流电时，即可产生简谐形式的自由电振荡。 由于回路中总存在一定的电阻，因此这种振荡会逐步衰减，形成阻尼振荡。若人 为地给电路补充能量，使振荡能持续进行，则可从示波器上观察到回路电流随频 率变化，并由此作出谐振曲线，计算回路的品质因数。
待研究的问题
1. 研究 RLC 串、并联电路的交流谐振现象 2. 测量回路电流的幅频、相频曲线 3. 学习并掌握电路品质因数 Q 的测量方法及其物理意义。
（3） Q 值决定了谐振曲线的尖锐程度，或称之为谐振电路的通频带宽度。
见图 2，当电流 I 从最大值 Imax 下降到
1 2 Imax 时，在谐振曲线上对应有两个频率
ω1 和ω2 ，∆ω = ω1 − ω2 ，即为通频带宽度。显然，∆ω 越小，曲线的峰就越尖锐， 电路的选频性能就越好。
可以证明：
Q = ω0 ∆ω
输出为Vi (t) ，并联部分的压降（也就是输
出电压）为V0 (t) ，将VR′ (t) 和V0 (t) 分别接
到双踪示波器的Y1 、Y2 输入端，注意，两 输入信号仍需共地。电路元件参考值仍可
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图 6 RLC 并联谐振电路
取 L = 0.2H ， C = 0.005µF ， R′ = 5kΩ或10kΩ或15kΩ ，Vipp = 2.0V 。
通频带宽度。并与上述 400Ω结果进行对比。 （5）在 RLC 串联谐振状态下，测量电阻 R、电容 C、电感 L 各自二端的交流电压峰峰
值，以及输入端总电压峰峰值Vipp 。计算并对比六种 Q 值。
（6）测量 RLC 串联电路的相频特性曲线（第二选做内容）
改变信号源频率，在多个不同频率点，使用示波器双踪显示法、或 Lissajous
Vi
(2)
Z
R2 + (ωL − 1 )2
ωC
电流与信号源电压之间的相位差
图 1 RLC 串联谐振电路
1 / 12
ϕi
=
−
arctan
ωL
−1 ωC
R
(3)
在以上三个式子中，信号源角频率 ω
=
2πν
，容抗
ZC
=
1 ωC
，感抗
ZL
=
ωL 。
ϕi < 0 ，表示电流相位落后于信号源电压相位；ϕi > 0 ， 表示电流相位超前。各参数随ω 变化的趋势如图 2 所示。
I I R ω0RC
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实验内容概述（必做内容、第一选做内容、第二选做内容、增选内容）
1. 观测并研究 RLC 串联谐振电路特性（必做内容）
（1）在示波器上观察Vi 、VR 二正弦信号波形。
保持Vipp 不变，改变信号频率 f ，观察VR 的峰峰幅值变化，及其与Vi 之间的位
相差变化。
（2）测量 RLC 串联电路的谐振频率 f0 。
ω 很小时，电路总阻抗 Z →
R2
+
(1 ωC
)2
，ϕi
→
π 2
，
电流的相位超前于信号源电压位相位，整个电路呈容性。
ω 很大时，电路总阻抗 Z →
R2
+
(ω L)2
， ϕi
→
−
π 2
，
电流的相位滞后于信号源电压位相，整个电路呈感性。 当容抗等于感抗时，容抗感抗互相抵消，电路总阻抗 Z = R ，为最小值，而此时回路电流则成为最大值
性。在任一时刻，电阻上的电压VR 都与回路电流 I 成
正比，且两者位相相同，所以可以通过观测 uR 来了
解回路电流 i 的变化情况。
1．观测 RLC 串联谐振电路的特性
图 5 RLC 串联谐振电路
（1）按照图 5 所示连接线路，将交流信号发生
器的输出信号作为 RLC 串联电路的输入信号源（纯正弦），注意保持信号源电压
（2）观察Y1 、Y2 正弦波信号随频率改变的变化，判断是否到达谐振状态。到
误差。 3）在 RLC 串联谐振状态下，分别测量 L、C、R 上电压（以及输入端总电
压）。由
= Q1
ω0 R+
L R= L 、Q2
ω0
(
R
1 +
RL
)= C 、Q3
VV= Li 、Q4
VV= Ci 、Q5
f0 ∆f
、Q6理论 =
R
1 + RL
L C
六种公式分别计算 Q 值，列表并进行比较。
（4）改变电阻 R 的值，取=R 600Ω ，重复复上述（1）（2）（3）步骤。结果 与 400Ω情况进行比较。
1．RLC 串联谐振电路 在常见的 RLC 串联电路中，若接入一个输出电压幅度一定，输出频率ν 连 续可调的正弦交流信号源（图 1），则电路中的许多 参数都将随着信号源频率的变化而变化。 电路总阻抗
Z=
R2 + (ZL − ZC )2 =
R2 + (ωL − 1 )2 ωC
(1)
回路电流
=I V=i
Zmax ≈ Q2R ， Imin ≈ Vi /Q2 R
( 15)
当ϕi =0 时，电路呈纯阻性，电路达到谐振状态，此时并联谐振频率为
ω0′ =
1 − ( R)2 = LC L
ω02
−
(
R )2 L
(16)
比较发现， ω0′
< ω0m
< ω0 。一般情况下，
R2 L2
1 LC
， ω0′
≈ ω0m
≈ ω0
Vi 的峰值不变（例如Vipp = 2.0V ）。将Vi 和VR 接入双踪示波器的两个 Y 轴输入端。 注意，为了保持观测信号的稳定，两个信号应接在同一公共地端（D 点），电路 各元件的参考值为 R = 400Ω，L = 0.2H，C = 0.005µF，RL = 80Ω。
（2）观察 RLC 串联电路的谐振状态，并记录谐振频率 f0 （至少 3 次）
总电压Vipp 值最好重新测量一下。
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对测得的实验数据，作如下分析处理：
1）计算每一个测量点处的电流振幅 I pp （
I pp
=
VRpp R
），作
I pp
ν
关系的散点
图，根据数据点变化规律，作出谐振曲线，由此曲线算出通频带宽度 ∆ν 。
2）由公式（4）计算出ν 0 的理论值，并与测得的ν 0 值进行比较，求出相对
3. 自拟实验步骤，观察和测量 RLC 并联谐振电路的总电流幅频特性曲线以及相频特性 曲线，并与 RLC 串联谐振的特性曲线进行对比，讨论并分析结果的异同点。（增选内容）
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实验仪器和装置
电阻箱、电容器、电感、交流信号发生器以及双踪示波器，以及连接导线和 同轴电缆等。
实验要求
用示波器观测 RLC 电路在谐振状态时的一些特
保持Vipp 不变，改变信号源频率 f ，至VR 峰峰值达到极大值，以及VR 和Vi 之
间的位相相同。这时电路处于谐振状态，记录谐振时信号源频率 f0串 。
（3）（R=400Ω）测量 RLC 串联电路的幅频特性数据点，作 Ipp ~ f 曲线。分析和测量
通频带宽。
（4）（R=600Ω）测量 RLC 串联电路的幅频特性数据点，作 Ipp ~ f 曲线。分析和测量
Z=
R2 +(ωL)2
(12)
(1− ω2LC)2 +(ωCR)2
总回路电流
I = Vi
(13)
Z
电流与信号源电压之间的相位差
ϕi
=
arctan
ωC
R
2
+(ω R
L)2
−
ω
L
(14)
同串联电路一样，若固定 L 、C 、R 以及信号
源电压峰值Vip 不变，而只改变信号源的频率，则
回路中 Z 、I 、ϕi 都将随信号源频率的改变而改变， 变化曲线如图 4 所示。
并联谐振电路的特性也可以用品质因数 Q 来描述，Q 值越大，电路的选频性
能越强。谐振时，总回路电流 I 并不大，但 IC 和 IL 则可以很大，他们的相位差 近似为π ，幅度大小近似相等，所以，并联电路在谐振时有一个很大的环形电流， 其大小与 Q 有关
Q = IC ≈ IL = ω0′L = 1
(17)
（李萨如）图形法，测量
RLC
串联电路总电流
I
的位相（
I
=
VR R
，用VR
的位相表示）与输
入端电压Vi 的位相，它们之间的差。
2. 研究 RLC 并联谐振电路的特性（第一选做内容） （1）观察 RLC 并联谐振电路的谐振现象
（2）测量 RLC 并联电路的谐振频率 f0并
（3）测量 RLC 并联电路的等效谐振阻抗 Z并 ，并与理论值进行比较。
图 4 RLC并联电路中Z、 I、ϕi 随ω 的变化曲线
4 / 12
= 当 ω
ω0m =
1 LC
1+ 2 CR2 L
−
CR2 L
时， Z
达到最大，总回路电流 I
达到极
小值。这特性与串联电路谐振时的情况相反。设 ω0 =
1 和Q = 1
LC
R
L 与串联 C
情况公式一样。当 Q 1 时（即ω0L R ），有
=Q 1= ω= 0L 1 L
(5)
ω0RC R R C
=Q Z=C Z=L V=C VL
(6)
R R VR VR
在交流电的一个周期T 内，电阻元件损耗能量
WR = RI 2T ，其中 I =
1 2
I0
是电流的有效值。
2 / 12
谐振电路中电感电容储存能量为
= Ws
1 2
Li2
(t)
+
1 2
Cuc2