所有的正整数n

5．所有的正整数n,使得对于这样的n,总能找到实数a,b,使得函数f(n)=1/nx^2+ax+b,对于任意整数x,f(x)也是整数

6．已知n,k都是正整数，满足不等式1/7<(n-k)/(n+k)<63/439，如果对于某个n,只有为一的正整数 k 使得不等式成立，试求所有满足条件的正整数n的最大值和最小值

解：

1/7＜(n-k)/(n+k)＜63/439 即

1/7＜(n+k-2k)/(n+k)＜63/439 即

1/7＜1-(2k)/(n+k)＜63/439 即

-6/7＜-2k/(n+k)＜-376/439 即

188/439＜k/(n+k)＜3/7 即

7/3＜(n+k)/k＜439/188 即

7/3＜n/k +1＜439/188 即

4/3＜n/k＜251/188 即

188/251＜k/n＜3/4 (1)

即 188n/251＜k＜3n/4 (2)

因为 k为正整数，且对于给定的n，k只有一个，

所以 3n/4 - 188n/251 ≤ 2，即

n≤2008

当n=2008，代入（2）有1504＜k＜1506，只能取得唯一k=1505

故n的最大值为2008。

又根据（1）式188/251＜k/n＜3/4，即 752/1004＜k/n＜753/1004，显然分子n＞1004

当n取1005时，752.75＜k＜753.75 （为了比较方便，我把分式化为近似小数），有唯一对应的k=753，故n的最小值为1005。.

7．已知正整数a,b,c满足：a

ab+bc+ca=abc 同时除以 abc 1/c + 1/a + 1/b = 1 由于 a > b > c 所以 1/a<1/b<1/c 1/c + 1/a + 1/b < 3/c 1 < 3/c c < 3 c = 1 or 2 因为 c〉1 所以 c = 2 1/2 + 1/a + 1/b = 1 1/a + 1/b = 1/2 1/a < 1/b 2/b > 1/2 2 > 1/2b

4 > b b = 3 or 2 or 1 距题意 b = 3 1/c + 1/a + 1/b = 1 1/2 + 1/3 + 1/a =1 1/a = 1/6 a = 6 所以 a =6 b =3 c

=2

9. 有2006个都不等于119的正整数排成一列，其中任意连续若干项的和都不等于119，试求这

2006个数的和的最小值

解:首先证明命题:对于任意119个正整数b1,b2,…,b119,其中一定存在若干个(至少一个,也可以是全部)的和是119的倍数.

事实上,考虑如下119个正整数b1, b1+b2 …, b1+b2+…+b119, (1)

若(1)中有一个是119的倍数,则结论成立.

若(1)中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118种情况.所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设b1+b2+…+bi和b1+b2+…+bj (1≤i≤j≤119),于是

119| bi+1+b2+…+bj

从而此命题得证.

对于a1，a2，a3 ，… a2006中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为2006=16×119+102,所以

a1+a2+a3+…+a2006≥16×238+102=3910. (2)

取a119=a238=…=a1904= 120,其余的数都为1时,(2)式等号成立.

所以, a1+ a2+ a3+… + a2006的最小值为3910

10．N为正整数，使得1+n+n(n+1)/2+n(n-1)(n-2)/6=2^k，试求所油可能的正整数n和k

1. 已知正整数n大于30，且4n-1整除2002n，试求n

假设整除的结果为K,因为是两个正整数相除，所以结果K>0

2002n/(4n-1)=k

变形一下，n=1/(4-2002/k)

因为n是整数，且n>30

所以1/(4-2002/k)>30

且(4-2002/k)>0

两个不等式结果为

K<60060/119

K>2002/4

因为在这个范围内，没有一个整数K能把2002整除,所以K不存在，N不存在

2. 设a,b都是自然数，使得a^2+ab+1|b^2+ab+1，证明：a=b

设a^2+ab+1=k(b^2+ab+1)

a^2+ab+1=kb^2+abk+k

左右对照第三项可知

k=1

a^2+ab+1=b^2+ab+1

a^2=b^2

因为a，b是正整数

所以a=b

第一项无法对照,因为设的k是常数

第二项也可以对照,也是k=1

4。对于怎样的整数m,乘积1*2*3*…*(m-1)能被m整除？

假设m不是质数, 则存在1和m以外的约数, 设k | m, 1 < k < m.

由k < m, k | 1×2×3×...×(m-1).

而由k | m, m | 1×2×3×...×(m-1)+1, 又有k | 1×2×3×...×(m-1)+1.

相减得k | 1, 这与1 < k矛盾.

因此m为质数.

注: 其实这是m > 1为质数的充要条件, 称为Wilson定理

6．求证：对于任意正整数n,n^3+3n^2+5n+9可以被3整除

参考：

n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)

n,n+1,n+2三个数至少有一个3的倍数

至少也有一个能被2整除

所以它们的积能被6整除

例1：证明：如果n为奇数，那么数2-1，2^2-1,2^3-1…,2^(n-1)中必有一个是n的倍数

思路：抽屉原理，反证法可以解。

这一个数列一共有n个数。

假设不存在n的倍数的数，那么一定存在两个或两个以上的除以n的余数是相同的。（n个数，n就n个余数，不存在n的倍数，必有重叠的余数，这就是抽屉原理）

设有这么两个数2^k-1,2^j-1的余数相同，且k>j,他们的余数为a，则

2^k-1=xn+a，2^j-1=yn+a (x>y)

两个式子相减，可以得到2^k-2^j=（x-y）n

提取一个2^j，原式转化为2^j*（2^(k-j)-1）=(x-y)n.

由于2^j不能被n整除，那么2^(k-j)-1一定能被n整除。