高考数学专题30条件概率与全概率公式解析版

专题30 条件概率与全概率公式一、单选题
1．（2020·河南南阳高二二模（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为9
30
，下雨的概率
为11
30
，既吹东风又下雨的概率为
8
30
.则在下雨条件下吹东风的概率为（）
A．2
5
B．
8
9
C．
8
11
D．
9
11
【答案】C
【解析】
分析：
在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率÷下雨的概率详解：
在下雨条件下吹东风的概率为8
8
30=
1111
30
，选C
2．（2020·安徽省六安中学高二期中（理））根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为4
5
，
连续2天有客人入住的概率为3
5
,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（）
A．1
3
B．
1
2
C．
3
5
D．
3
4
【答案】D 【解析】
设第二天也有客人入住的概率为P，根据题意有43
=
55
P⋅，解得3
4
P=，故选D.
3．（2020·河南开封高三二模（理））已知正方形ABCD，其内切圆I与各边分别切于点E，F，G、H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则()
P B A=（）
A．2
π
B．
2
1
π
-C．
1
2
D．
π1
42
-
【答案】B 【解析】
由题意，设正方形ABCD 的边长为2a ，则圆I 的半径为r a =，面积为2a π； 正方形EFGH 2a ，面积为22a ；
∴所求的概率为222
22
(|)1a a P B A a πππ
-==-． 故选：B ．
4．（2020·河南高二期末（理））把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则()
P B A =（ ） A ．
1
2
B ．
14
C ．
16
D ．
18
【答案】A 【解析】
“第一次出现正面”：2
(1)P A =, “两次出现正面”: 111
()=224P AB =⨯,
则()1
()1
4|==1()2
2
P AB P B A P A =
故选A
5．（2020·陕西临渭高二期末（文））已知()1P B|A 2=，()3
5
P A =，()P AB 等于（ ） A ．
5
6
B ．
910
C ．3
10
D ．110
【答案】C 【解析】
根据条件概率的定义和计算公式：()
()0(|),()
P AB P A P B A P A >=
当时，把公式进行变形，就得到()0()(|)()P A P AB P B A P A >=当时，，故选C.
6．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二期末（理））从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A ．38
B ．
1340
C ．
1345
D ．
34
【答案】B 【解析】 由题意5()9
P A = 事件A
B 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2
种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件
1313
()9872
P A B =
=
⨯ 由条件概率的定义：()13
(|)()40
P A B P B A P A ==
故选：B
7．（2020·西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”，
B =“至少出现一个6点”，则概率()|P A B 等于（ ）
A ．
10
11
B ．
511
C ．
518
D ．
536
【答案】A 【解析】
由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30
至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴
=
1011
8．（2020·广东东莞高二期末）一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件A 为“第一次取出白球”，事件B 为“第二次取出黑球”，则概率()P B A =（ ） A ．
5
6
B ．
35
C ．
12
D ．
25
【答案】B 【解析】
设事件A 为“第一次取出白球”，事件B 为“第二次取出黑球”，
()()31333
=
=，==
626510
P A P AB ⨯， 第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：
()
()3
()5
P AB P B A P A =
=.
故选：B.
二、多选题
9．（2020·大名中学高二月考）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()P A P B P C == B ．()()()P BC P AC P AB == C ．1
()8P ABC = D ．1()()()8
P A P B P C ⋅⋅=
【答案】ABD 【解析】
由已知22221()44442P A =
⨯+⨯=，21()()42
P B P C ===， 由已知有1
()()()4P AB P A P B ==，1()4P AC =，1()4
P BC =，
所以()()()P A P B P C ==，则A 正确；
()()()P BC P AC P AB ==，则B 正确；
事件A 、B 、C 不相互独立，故1
()8
P ABC =
错误，即C 错误 1
()()()8
P A P B P C ⋅⋅=，则D 正确；
综上可知正确的为ABD. 故选:ABD ．
10.（2020·江苏海安高级中学高二期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，
白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．2()5
P B =
B ．15()11
P B A =
C ．事件B 与事件1A 相互独立
D ．1A 、2A 、3A 两两互斥
【答案】BD 【解析】
因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确；
因为()()()123523,,101010
p A p A p A =
==， 所以11155()5
1011()5()1110
P BA P B A P A ⨯
=
==，故B 正确； 同理3223232434()()4
410111011(),()23()11()111010
P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯
=
=====， 所以1235524349()()()()10111011101122
P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故AC 错误； 故选：BD
11．（2020·江苏海安高级中学高一期中）以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ） A ．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为
1
3
B ．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为
115
C ．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是536
D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12
【答案】BCD 【解析】
A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反的概率21
42
P =
=，故A 不正确；
B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13，共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含()3,11，则概率为261115
P C =
=，故B 正确； C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，共5种，所以点数之和为6的概率5
36
P =
，故C 正确； D.由题意可知取出的产品全是正品的概率23241
2
C P C ==，故
D 正确.
12．（2020·山东昌乐二中高二月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取
3球，恰有一个白球的概率是
35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为80
243
；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为2
5
；
④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为26
27
. 则其中正确命题的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④
【答案】ABD 【解析】
一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是21
423
63
5
C C p C ==故正确； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为21
63
p =
=，则恰好有两次白球的概率为42
26218033243p C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，故正确； ③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
11
4311
453
5
C C C C =，故错误； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为42
63
p =
=：则至少有一次取到红球的概率为3
03
126
1327
p C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故正确.
故选：ABD. 三、填空题
13．（2020·全国高三课时练习（理））一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________. 【答案】
3
5
【解析】
()()2
3
5(|)253
P AB P B A P A ===
故答案为：3
5
14．（2020·邢台市第二中学高二期末）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________． 【答案】14
【解析】
设事件A ：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B ：“学生丙第一个出场”， 对事件A ，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一 个给甲，再将余下的4个人全排列有14
44C A ⋅种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4
个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有24
44A A ⋅种，故总的有()1424
4444n A C A A A =⋅+⋅.
对事件AB ，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有
1444C A ⋅种
故()()
()14
441424
444414
n AB C A P B A n A C A A A ⋅===⋅+⋅. 故答案为：
14
15．（2020·湖南天心长郡中学高三其他（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正
确的是___________． ①()25P B =
；②()1511
P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 【答案】②④ 【解析】
因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故④正确；
因为()()()123523
,,101010
P A P A P A =
==， 所以11155()5
1011()5()1110
P BA P B A P A ⨯
=
==，故②正确； 同理3223232434()()4
410111011(),()23()11()111010
P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯
=
=====， 所以1235524349()()()()10111011101122
P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=， 故①③错误. 故答案为：②④
16．（2018·全国高二课时练习）某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为2
15
，既刮四级以上的风又下雨的概率为
1
10
，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A ＝_______， ()P A B ＝__________
【答案】34
3
8
【解析】 由已知()415P A =
，()215P B =，()110
P AB =， ∴ ()()
()3
|8P AB P B A P A =
=，()()()3|4
P AB P A B P B == 故答案为
34，38
求条件概率一般有两种方法：
一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝
n AB n A （）
（）
，其中n(AB)表示
事件AB 包含的基本事件个数，n(A)表示事件A 包含的基本事件个数． 二是直接根据定义计算，P(B|A)＝p AB p A （）
（）
，特别要注意P(AB)的求法．
四、解答题
17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高二月考（理））有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求：（1）第一次抽到次品的概率； （2）第一次和第二次都抽到次品的概率；
（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率. 【答案】（1）14
；（2）119；（3）419.
【解析】
（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有20中可能，所以概率为两者相除．
（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×
4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×
19种可能，再令两者相除即可． （3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为
4
19
18．（2020·阜新市第二高级中学高二月考）甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少 【答案】（1）0.67（2）0.60 【解析】
（1）设A = “甲地为雨天”， B = “乙地为雨天”，则根据题意有
()0.20P A =，()0.18P B =，()0.12P AB =.
所以乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是()()0.12
|0.67()0.18P AB P A B P B =
=≈. （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是()()0.12
|0.60()0.20
P AB P B A P A =
==.
19．（2020·山东平邑高二期中）已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个. （1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 【答案】（1）19（2）3
5
【解析】
（1）两次都取得白球的概率221
669
P =
⨯=； （2）记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球， 则452()653P A ⨯=
=⨯， 432
()655
P AB ⨯==⨯， 利用条件概率的计算公式，可得()233
(|)()525
P AB P B A P A =
=⨯=.
20．（2019·攀枝花市第十五中学校高二期中（理））先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为,a b . （1）设向量(,)m a b =，(2,1)n =-，求1m n ⋅=的概率；
（2）求在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2的概率. 【答案】（1）112
；（2）1
2
【解析】
先后抛掷一枚骰子两次，
“将出现的点数分别记为,a b ”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)， (1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个. （1）记“向量(,)m a b =，(2,1)n =-，且1m n ⋅=”为事件A ， 由1m n ⋅=得：21a b -=，
从而事件B 包含(1,1),(2,3),(3,5)共3个基本事件， 故31
()3612
P A =
=. （2）设“点数,a b 之和不大于5”为事件B ，
包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件；
设“,a b 中至少有一个为2”为事件C ，
包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，
故“在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2” 的概率：
()51()102
n BC P n B ===. 21．（2020·延安市第一中学高二月考（文））10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求：
（1）甲中奖的概率.
（2）乙中奖的概率.
（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.
【答案】（1）
310；（2）310；（3）13 【解析】
（1）设“甲中奖”为事件A ，则()310
P A = （2）设“乙中奖”为事件B ，则()()()()
P B P AB AB P AB P AB =+=+ 又()32110915P AB =⨯=，()73710930
P AB =⨯= 所以()()()179315303010
P B P AB P AB =+=+== （3）因为()710P A =，()730
P AB = 所以()()()
7130|7310P AB P B A P A
=== 22．（2020·河南南阳高二期中（文））某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.
【答案】（1）13；（2）15
；（3）12．
【解析】
（1）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，
从6名成员中挑选2名成员，有
AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，
Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A
事件M所包含的基本事件数为AB，AC，AD，Aa，Ab
共有5种，故()
51 153
P M==．
（2）记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，不妨设女生乙为b，
则()1 15
P MN=，又由（1）知()1
3
P M=，
故()
() ()
1
5 P MN
P N M
P M
==．
（３）记“挑选的2人一男一女”为事件S，则()8 15
P S=，“女生乙被选中”为事件N，()415
P SN=，
故()
() ()
1
2 P SN
P N S
P S
==．。