[课件]线性系统解耦PPT
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线性系统解耦
对于多输入多输出系统，实现解耦的前提条件是输入变量的个数和输出变量 的个数相同。解耦控制设计的目的是消除输入输出的关联耦合作用，实现每 一个输出仅受相应的一个输入的控制，每一个输入也仅能控制一个相应的输 出。
在此将介绍两种经典解耦方法： 频域法
串联补偿解耦法
时域法
状态反馈解耦法
2018/12/19
2
,B ,C 是一个 m 维输入 m 维输出的系统， 设系统 A
x Ax Bu y Cx
若其传递函数矩阵转化为对角形有理分式矩阵
（1）
g11(s) g12(s) g (s) g (s) 22 G(s) 21 gm1(s)
g1m(s) gmm(s)
将上式代入式（4）得
1
G () s G() sG () s c
G ( s )( ΦI s ) H Φ ( s )
1 p 1
1 p
（5）
这就是串联补偿器的传递函数矩阵。 对于单位反馈矩阵， 即 H I 。
此时，解耦系统的闭环传递函数矩阵为
2018/12/19
Φ () s I G () s () s G
由式（3）得
（4）
IG ( s ) H Φ ( s ) G ( s )
Φ ( s ) G ( s ) H ΦG ( s ) ( s )
2018/12/19
Φ ( s ) GIH ( s ) Φ ( s )
5
G ( s ) ΦI ( s ) H Φ ( s )
x Ax Bu y Cx
的传递函数矩阵为
G () s CI s A B
1
2018/12/19 11
G 1(s) G Baidu Nhomakorabeas) 2 G l ( s )
为非对角线矩阵。 其中
x
y
n
维状态向量
u
2018/12/19
l
维输入向量 维输出向量
2018/12/19
9
[评注] 串联补偿器的传递函数矩阵 G c ( s ) 还可以由补偿 原理来确定。 为此，首先设在串联补偿器的作用下， 多输入-多输出系统已经得以解耦， 并且具有要求的闭
环传递函数矩阵Φ ( s ) 。
2018/12/19
10
状态反馈解耦
设完全能控的多输入-多输出线性定常系统
s ) 2 2(
g ( s ) g ( ss ) ( ) g ( s ) g ( ss ) ( ) 0
c 2 2 p 1 2 2 c 1 2 p 1 1 2
g ( s ) g ( ss ) ( ) g ( s ) g ( ss ) ( ) 0 c 1 1 p 2 1 1 c 2 1 p 2 2 1
1
6
此时得到单位反馈串联补偿器的传递函数矩阵为
G ( s ) G ( s )( Φ s ) IΦ ( s ) c
1 p
1
（6）
单位反馈解耦系统的开环传递函数矩阵为
G () s Φ () s I Φ () s
1
由于解耦系统的闭环传递函数矩阵 Φ ( s ) 为对角矩阵
+
+
r2
2018/12/19
-
G c22 ( s )
2
u
G p22 ( s )
2
y
2
8
g (s )g (s ) c 1 1 p 1 1 1 g (s )g (s ) c 1 1 p 1 1
(s ) 1 1
g s )g s ) c 2 2( p 2 2( 1 g s )g s ) c 2 2( p 2 2(
R (s)
-
ε(s)
G c(s)
U (s)
G p (s)
Y (s)
H
2018/12/19 4
由上图可以求得解耦系统的闭环传递函数矩阵为
Φ ( s ) I G ( s ) H ( s ) G
1
（3 ）
其中 G ( s )
前向通道传递函数矩阵
G () s G () sG () s p c
0 g11(s) 0 0 g (s) 22 （2） G(s) 0 0 0 g ( s ) m m
2018/12/19
则称该系统是解耦的。
3
串联动态补偿解耦
设耦合系统的传递函数矩阵为 G p ( s ) ， 要设计一个
传递函数矩阵为G c ( s ) 的串联补偿器， 使得通过反馈矩 阵 H 实现如图所示的闭环系统为解耦系统。
12
l
选取控制规律
u F x H r
使得如图所示的状态反馈系统
r
H
+
u
B
+
x
A
x
C
y
F
2018/12/19 13
x (A B Fx ) B H r y C x
为解耦系统，并要求其传递函数矩阵具有如下形式：
Φ ( s ) C s I A B F H B
l l 矩阵
2018/12/19
E1 E 2 E E l
16
为非奇异。 其中
1 s d1 1 0 0 0 1 s d 2 1 0 0 0 1 dl 1 s
1
（7）
2018/12/19
14
其中l
n 矩阵F 为状态反馈矩阵，
l l 矩阵H 为输入变换矩阵（非奇异矩阵），
d i 1 ,2 , ,l)是非负整数， 其值由式 i(
0 11(s) 0 ( s ) 22 Φ (s) 2018/12/19 0
0 0 0 mm(s)
7
r1
-
1
G c11 ( s )
u
+
1
y1
G p11 ( s )
+
G p21 ( s )
G c21 ( s )
G c12 ( s )
G p12 ( s )
di min [ G i ( s ) 各元素分母与分子多项式的次数差 ] 1
( i 1 ,2 , ,l)
确定。
2018/12/19 15
[定理]
采用式
u F x H r
所示的控制律， 实现多输入-多输出线性定常系统
x Ax Bu y Cx
状态反馈解耦的充分必要条件是：
对于多输入多输出系统，实现解耦的前提条件是输入变量的个数和输出变量 的个数相同。解耦控制设计的目的是消除输入输出的关联耦合作用，实现每 一个输出仅受相应的一个输入的控制，每一个输入也仅能控制一个相应的输 出。
在此将介绍两种经典解耦方法： 频域法
串联补偿解耦法
时域法
状态反馈解耦法
2018/12/19
2
,B ,C 是一个 m 维输入 m 维输出的系统， 设系统 A
x Ax Bu y Cx
若其传递函数矩阵转化为对角形有理分式矩阵
（1）
g11(s) g12(s) g (s) g (s) 22 G(s) 21 gm1(s)
g1m(s) gmm(s)
将上式代入式（4）得
1
G () s G() sG () s c
G ( s )( ΦI s ) H Φ ( s )
1 p 1
1 p
（5）
这就是串联补偿器的传递函数矩阵。 对于单位反馈矩阵， 即 H I 。
此时，解耦系统的闭环传递函数矩阵为
2018/12/19
Φ () s I G () s () s G
由式（3）得
（4）
IG ( s ) H Φ ( s ) G ( s )
Φ ( s ) G ( s ) H ΦG ( s ) ( s )
2018/12/19
Φ ( s ) GIH ( s ) Φ ( s )
5
G ( s ) ΦI ( s ) H Φ ( s )
x Ax Bu y Cx
的传递函数矩阵为
G () s CI s A B
1
2018/12/19 11
G 1(s) G Baidu Nhomakorabeas) 2 G l ( s )
为非对角线矩阵。 其中
x
y
n
维状态向量
u
2018/12/19
l
维输入向量 维输出向量
2018/12/19
9
[评注] 串联补偿器的传递函数矩阵 G c ( s ) 还可以由补偿 原理来确定。 为此，首先设在串联补偿器的作用下， 多输入-多输出系统已经得以解耦， 并且具有要求的闭
环传递函数矩阵Φ ( s ) 。
2018/12/19
10
状态反馈解耦
设完全能控的多输入-多输出线性定常系统
s ) 2 2(
g ( s ) g ( ss ) ( ) g ( s ) g ( ss ) ( ) 0
c 2 2 p 1 2 2 c 1 2 p 1 1 2
g ( s ) g ( ss ) ( ) g ( s ) g ( ss ) ( ) 0 c 1 1 p 2 1 1 c 2 1 p 2 2 1
1
6
此时得到单位反馈串联补偿器的传递函数矩阵为
G ( s ) G ( s )( Φ s ) IΦ ( s ) c
1 p
1
（6）
单位反馈解耦系统的开环传递函数矩阵为
G () s Φ () s I Φ () s
1
由于解耦系统的闭环传递函数矩阵 Φ ( s ) 为对角矩阵
+
+
r2
2018/12/19
-
G c22 ( s )
2
u
G p22 ( s )
2
y
2
8
g (s )g (s ) c 1 1 p 1 1 1 g (s )g (s ) c 1 1 p 1 1
(s ) 1 1
g s )g s ) c 2 2( p 2 2( 1 g s )g s ) c 2 2( p 2 2(
R (s)
-
ε(s)
G c(s)
U (s)
G p (s)
Y (s)
H
2018/12/19 4
由上图可以求得解耦系统的闭环传递函数矩阵为
Φ ( s ) I G ( s ) H ( s ) G
1
（3 ）
其中 G ( s )
前向通道传递函数矩阵
G () s G () sG () s p c
0 g11(s) 0 0 g (s) 22 （2） G(s) 0 0 0 g ( s ) m m
2018/12/19
则称该系统是解耦的。
3
串联动态补偿解耦
设耦合系统的传递函数矩阵为 G p ( s ) ， 要设计一个
传递函数矩阵为G c ( s ) 的串联补偿器， 使得通过反馈矩 阵 H 实现如图所示的闭环系统为解耦系统。
12
l
选取控制规律
u F x H r
使得如图所示的状态反馈系统
r
H
+
u
B
+
x
A
x
C
y
F
2018/12/19 13
x (A B Fx ) B H r y C x
为解耦系统，并要求其传递函数矩阵具有如下形式：
Φ ( s ) C s I A B F H B
l l 矩阵
2018/12/19
E1 E 2 E E l
16
为非奇异。 其中
1 s d1 1 0 0 0 1 s d 2 1 0 0 0 1 dl 1 s
1
（7）
2018/12/19
14
其中l
n 矩阵F 为状态反馈矩阵，
l l 矩阵H 为输入变换矩阵（非奇异矩阵），
d i 1 ,2 , ,l)是非负整数， 其值由式 i(
0 11(s) 0 ( s ) 22 Φ (s) 2018/12/19 0
0 0 0 mm(s)
7
r1
-
1
G c11 ( s )
u
+
1
y1
G p11 ( s )
+
G p21 ( s )
G c21 ( s )
G c12 ( s )
G p12 ( s )
di min [ G i ( s ) 各元素分母与分子多项式的次数差 ] 1
( i 1 ,2 , ,l)
确定。
2018/12/19 15
[定理]
采用式
u F x H r
所示的控制律， 实现多输入-多输出线性定常系统
x Ax Bu y Cx
状态反馈解耦的充分必要条件是：