1.3.4利用函数的单调性证明不等式

法二：变形不等式，转换为求两个函数的 最值
例题：求证
已知函数 f (x) ax2 x ln x ，(a 0且为常数） e
求证：方程 f (x) 0 没有实数根.
1、变式构造函数 g(x) h(x)
2、若能证 g(x)max h(x)min 成立； 则 g(x) h(x) 成立.
（4）ln x x ex , x 0
解: 设f (x) ln x x f (x) 1 1 令 f (x) 0 ,解得x=1. x 当x变化时, f (x), f (x) 的变化情况如下表:
x f (x) f (x)
(0,1) +
↗
1 0
极大值
(1, )
-
↘
由上表得 f (x)max f (1) 1 0 f (x) f (x)max 0 即ln x x.
例题（课本第32页习题1.3 B 组第1题）
1.利用函数的单调性，证明下列不等式:
（1）sin
x
x,
x
(0,
)
求证g(x)
一般步骤：
h(x)
xD
（2） x x2 0, x (0,1) 1、构造函数 f (x) g(x) h(x)
（3） ex x 1, x 0 （4） ln x x ex , x 0
f′(x)＝1－cosx > 0 ∴f(x)＝x－sinx是增函数 ∴f(x)> f(0)＝0 ∴f(x)>0 即 x－sinx>0 即x>sinx．
方法：移项作差，构造函数，然后用导数证明 该函数的单调性；再利自变量越大，函数值 越大（或小），来证明不等式成立.
利用函数的单调性，证明下列不等式:
2、判断f (x)的单调性或求最值 f (x) f (x)max 0 或f (x) f (x)max 0
法一：用不等式两边 3、不等式得证.
“作差”构造辅助函数
法二：变形不等式，转换为求两个函数的 最值
例题：求证
1、变式Baidu Nhomakorabea造函数 g(x) h(x)
2、若能证 g(x)max h(x)min 成立； 则 g(x) h(x) 成立.
1.3.4利用函数的单调性 证明不等式
例题（课本第32页习题1.3 B 组第1题）
1.利用函数的单调性，证明下列不等式: （1）sin x x, x (0, )
（2） x x2 0, x (0,1) （3） ex x 1, x 0 （4） ln x x ex , x 0
证明： 设 f(x)＝x－sinx，则