最新极坐标与参数方程经典练习题-带详细解答
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系解答题1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解答:解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为:,曲线C的参数方程为:(α为参数).(I)写出直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.解答:解:(1)∵直线l的极坐标方程为:,∴ρ(sinθ﹣cosθ)=,∴,∴x﹣y+1=0.(2)根据曲线C的参数方程为:(α为参数).得(x﹣2)2+y2=4,它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线的距离为:d=,∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=.3.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.解答:解:(1)把曲线C1:(t为参数)化为普通方程得:(x+4)2+(y﹣3)2=1,所以此曲线表示的曲线为圆心(﹣4,3),半径1的圆;把C2:(θ为参数)化为普通方程得:+=1,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴为8,短半轴为3的椭圆;(2)把t=代入到曲线C1的参数方程得:P(﹣4,4),把直线C3:(t为参数)化为普通方程得:x﹣2y﹣7=0,设Q的坐标为Q(8cosθ,3sinθ),故M(﹣2+4cosθ,2+sinθ)所以M到直线的距离d==,(其中sinα=,cosα=)从而当cosθ=,sinθ=﹣时,d取得最小值.4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.(Ⅰ)求圆心的极坐标;(Ⅱ)求△PAB面积的最大值.解答:解:(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为,化为ρ2=,把代入可得:圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0,即(x﹣1)2+(y+1)2=2.∴圆心坐标为(1,﹣1),∴圆心极坐标为;(Ⅱ)由直线l的参数方程(t为参数),把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程:,∴圆心到直线l的距离,∴|AB|=2==,点P直线AB距离的最大值为,.5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.解答:解:将化为普通方程为(4分)点到直线的距离(6分)所以椭圆上点到直线距离的最大值为,最小值为.(10分)6.在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos(θ+).(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.解答:解:(1)直线I的参数方程为(t为参数),消去t,可得,3x+4y+1=0;由于ρ=cos(θ+)=(),即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ,则有x2+y2﹣x+y=0,其圆心为(,﹣),半径为r=,圆心到直线的距离d==,故弦长为2=2=;(2)可设圆的参数方程为:(θ为参数),则设M(,),则x+y==sin(),由于θ∈R,则x+y的最大值为1.7.选修4﹣4:参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为,曲线C的极坐标方程为.(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;(Ⅱ)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最小值.解解(1)∵P点的极坐标为,答:∴=3,=.∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入可得,即∴曲线C的直角坐标方程为.(2)曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设,则线段PQ的中点.那么点M到直线l的距离.,∴点M到直线l的最小距离为.8.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解答:解:(I)圆C的参数方程(φ为参数).消去参数可得:(x﹣1)2+y2=1.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化简得:ρ=2cosθ,即为此圆的极坐标方程.(II)如图所示,由直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=.可得普通方程:直线l,射线OM.联立,解得,即Q.联立,解得或.∴P.∴|PQ|==2.9.在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.解答:解:(1)由曲线C1:,可得,两式两边平方相加得:,即曲线C1的普通方程为:.由曲线C2:得:,即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y﹣8=0,即曲线C2的直角坐标方程为:x+y﹣8=0.(2)由(1)知椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为,∴当时,d的最小值为,此时点P的坐标为.10.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.解答:解:(I)∵,∴,∴圆C的直角坐标方程为,即,∴圆心直角坐标为.(5分)(II)∵直线l的普通方程为,圆心C到直线l距离是,∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是(10分)11.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的参数方程为,(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)直线l与直线C2交于A,B两点,若|AB|≥2,求实数a的取值范围.解答:解:(1)根据题意,得曲线C1的直角坐标方程为:x2+y2﹣4y=12,设点P(x′,y′),Q(x,y),根据中点坐标公式,得,代入x2+y2﹣4y=12,得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为:(x﹣3)2+(y﹣1)2=4,(2)直线l的普通方程为:y=ax,根据题意,得,解得实数a的取值范围为:[0,].12.在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos ()=2.(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.解答:解:(I)圆C1,直线C2的直角坐标方程分别为x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0,解得或,∴C1与C2交点的极坐标为(4,).(2,).(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,由参数方程可得y=x﹣+1,∴,解得a=﹣1,b=2.13.在直角坐标系xOy中,l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线;在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ(Ⅰ)写出直线l的参数方程,并将曲线C的方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若曲线C与直线相交于不同的两点M、N,求|PM|+|PN|的取值范围.解答:解:(I)直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4.(II)把直线l的参数方程为(t为参数)代入圆的方程可得:t2+4(sinα+cosα)t+4=0.∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N,∴△=16(sinα+cosα)2﹣16>0,∴sinαcosα>0,又α∈[0,π),∴.又t1+t2=﹣4(sinα+cosα),t1t2=4.∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=,∵,∴,∴.∴|PM|+|PN|的取值范围是.14.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解答:解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴ρ2=2,化为x2+y2=,配方为=3.(II)设P,又C.∴|PC|==≥2,因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).15.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ,曲线C2的极坐标方程为θ=(p∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点.(Ⅰ)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;(Ⅱ)求弦AB的长度.解答:解:(Ⅰ)曲线C2:(p∈R)表示直线y=x,曲线C1:ρ=6cosθ,即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即(x﹣3)2+y2=9(Ⅱ)∵圆心(3,0)到直线的距离,r=3所以弦长AB==.∴弦AB的长度.16.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=,圆C的参数方程为,(θ为参数,r>0)(Ⅰ)求圆心C的极坐标;(Ⅱ)当r为何值时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.解答:解:(1)由ρsin(θ+)=,得ρ(cosθ+sinθ)=1,∴直线l:x+y﹣1=0.由得C:圆心(﹣,﹣).∴圆心C的极坐标(1,).(2)在圆C:的圆心到直线l的距离为:∵圆C上的点到直线l的最大距离为3,∴.r=2﹣∴当r=2﹣时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.17.选修4﹣4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x﹣2)2+y2=4.(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.解答:解:(I)由,x2+y2=ρ2,可知圆,的极坐标方程为ρ=2,圆,即的极坐标方程为ρ=4cosθ,解得:ρ=2,,故圆C1,C2的交点坐标(2,),(2,).(II)解法一:由得圆C1,C2的交点的直角坐标(1,),(1,).故圆C1,C2的公共弦的参数方程为(或圆C1,C2的公共弦的参数方程为)(解法二)将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1,C2的公共弦的参数方程为.。
极坐标与参数方程-习题及答案
金材教育 极坐标与参数方程未命名1.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα (α为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.(1(写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程((2)直线y =x 与C 1交于异于原点的A ,与C 2交于点B ,求线段AB 的长. 【答案】(1)x 2+(y −1)2=1;C 2:x +y =4. (2)|AB |=√2.【解析】分析:(1)利用sin 2α+cos 2α=1,将曲线C 1的参数方程化为普通方程,由{x =ρcosθy =ρsinθ 求出C 2的直角坐标方程;(2)由直线的参数方程的意义,求出线段AB 的长。
详解:(1)C 1:{x =cosαy =1+sinα (α为参数)的普通方程是x 2+(y −1)2=1.∵ρsin (θ+π4)=2√2,整理得√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2,∴C 2的直角坐标方程为x +y =4; 故C 1:x 2+(y −1)2=1;C 2:x +y =4.(2)直线y =x 的极坐标方程为θ=π4,C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ, ∴点A (√2,π4),B (2√2,π4),即ρA =√2,ρB =2√2, 于是|AB |=ρB −ρA =√2.点睛:本题主要考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法等,属于基础题。
考查了推理论证能力,运算求解能力。
2.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)设点,曲线与曲线交于,求的值.【答案】(1);(2)85。
【解析】试题分析:(1)根据曲线的参数方程,两式相加消去参数,即可得到普通方程;由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4,可化为直角坐标方程;(2)将,代入直角坐标方程,整理后,利用=t1t2即可求解.试题解析:(1)两式相加消去参数t可得曲线的普通方程,由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4,整理可得曲线的直角坐标方程.(2)将代人直角坐标方程得利用韦达定理可得,所以|MA||MB|=考点:简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程.3.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为:{x=√55ty=9+2√55t(t为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C 1与C 2交于A ,B 两点,点P 的坐标为(0,9),求1|PA |+1|PB |. 【答案】(1)x 2+(y −4)2=16;2x −y +9=0. (2)4√59. 【解析】分析:(1)消元法解出直线C 1的普通方程,利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C 2的直角坐标方程(2)将直线C 1的参数方程为代入圆C 2的直角坐标方程并化简整理关于t 的一元二次方程。
高考极坐标参数方程含答案(经典39题)(1)_看图王
方程. C1 与 C2 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由.
29.在平面直角坐标系
xoy
中,圆
C
的参数方程为
x
y
4 cos 4 sin
(
为参数),直线
l
(2)求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A 、 B ,并求 | MA | | MB | 的值.
(2, )
6.在极坐标系中,O 为极点,已知圆 C 的圆心为 3 ,半径 r=1,P 在圆 C 上运动。 (I)求圆 C 的极坐标方程;(II)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点 O 为原点, 以极轴为 x 轴正半轴)中,若 Q 为线段 OP 的中点,求点 Q 轨迹的直角坐标方程。
程是
4 cos
,直线 l
的参数方程是
x
3 y1 2
3 2 t.
t
,
(t
为参数)。求极点在直线 l
上的射影点
P
的
极坐标;若 M 、 N 分别为曲线 C 、直线 l 上的动点,求 MN 的最小值。
x 4 cos
8.平面直角坐标系中,将曲线
y
sin
( 为参数)上的每一点纵坐标不变,横坐标变为原来的
为
t
2
,Q
为
C
2
上的动点,求
PQ
中点
M
到直线
C3
:
2x
y
7
0
(t
为参数)距离的最大值。
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◎
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极坐标与参数方程15道典型题 (有答案) (2)精编版
极坐标与参数方程15道典型题1在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为θρsin 4=,22)4cos(=-πθρ.(1)求1C 与2C 的直角坐标方程,并求出1C 与2C 的交点坐标;(2)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1233t b y a t x (t 为参数,R t ∈),求b a ,的值. (1)由极直互化公式得:4)2(:221=-+y x C 04:2=-+y x C ………4分联立方程解得交点坐标为)2,2(),4,0( ………5分(2)由(1)知:)2,0(P ,)3,1(Q 所以直线PQ :02=+-y x , 化参数方程为普通方程:122+-=abx b y , 对比系数得:⎪⎩⎪⎨⎧=-=22112ab b,2,1=-=b a ………10分2.极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,曲线1C 的极坐标方程为32cos 2=θρ,曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12t y mt x ,(t 是参数,m 是常数)(1)求1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程;(2)若2C 与1C 有两个不同的公共点,求m 的取值范围.解:(1)由极直互化公式得3)sin (cos :2221=-θθρC ,所以322=-y x ;---------------2分 消去参数t 得2C 的方程:122--=m x y ----------------------4分(2)由(1)知1C 是双曲线,2C 是直线,把直线方程代入双曲线方程消去y 得:0444)12(4322=+++--m m x m x ,-------------------------7分若直线和双曲线有两个不同的公共点, 则0)444(12)12(1622>++--=∆m m m , 解得:21-<>m m 或-----------10分3.已知椭圆C:22143x y +=,直线:l 3x y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩(t 为参数). (I )写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程;(II )设()1,0A ,若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等,求点P 的坐标.解:(Ⅰ)C :⎩⎨⎧x =2cos θ,y =3sin θ(θ为为参数),l :x -3y +9=0.…4分(Ⅱ)设P (2cos θ,3sin θ),则|AP |=(2cos θ-1)2+(3sin θ)2=2-cos θ,P 到直线l 的距离d =|2cos θ-3sin θ+9|2=2cos θ-3sin θ+92.由|AP |=d 得3sin θ-4cos θ=5,又sin 2θ+cos 2θ=1,得sin θ= 35, cos θ=- 45.故P (- 8 5, 335).…10分4..在极坐标系Ox 中,直线C 1的极坐标方程为ρsin θ=2,M 是C 1上任意一点,点P 在射线OM 上,且满足|OP |·|OM |=4,记点P 的轨迹为C 2. (Ⅰ)求曲线C 2的极坐标方程; (Ⅱ)求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ+ π4)=2的距离的最大值.解:(Ⅰ)设P (ρ,θ),M (ρ1,θ),依题意有ρ1sin θ=2,ρρ1=4.消去ρ1,得曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (5)分(Ⅱ)将C 2,C 3的极坐标方程化为直角坐标方程,得C 2:x 2+(y -1)2=1,C 3:x -y =2.C 2是以点(0,1)为圆心,以1为半径的圆,圆心到直线C 3的距离d =322,故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1+322. (10)5.在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=。
2023年高考数学真题分训练 极坐标系与参数方程(含答案含解析)
专题34 极坐标系与参数方程2⎩2 2考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换 考点 117 极坐标和直角坐标的互化⎧x = t + 1,⎪x = 4cos 2θ, 1.(2023 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C 1 , C 2 的参数方程分别为C 1 : ⎨ (θ为参数),C : ⎪ t ( t 为 ⎩ y = 4sin 2θ⎪ y = t - 1参数).(1) 将C 1 , C 2 的参数方程化为一般方程;⎪ t(2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1 , C 2 的交点为 P ,求圆心在极轴上,且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.(解析)(1)由cos 2 θ+ sin 2 θ= 1得C 1 的一般方程为: x + y = 4 ,⎧x = t + 1 ⎧x 2= t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2由⎨ 1 得: ⎨1 ,两式作差可得2 的一般方程为: x - y = 4 . ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2 ⎪ t ⎪ t 2⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ (2)由 得: 2 ,即 P ⎛ 5 , 3 ⎫. ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ y = 3 ⎩ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 5 ⎫2⎛3 ⎫217设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0),其中 a > 0 ,则 a - ⎪ + 0 - ⎪ = a 2 ,解得:a = ,⎝2 ⎭⎝2 ⎭10∴ 17 ∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫222 2 17 所求圆的半径 r = , 10 所求圆的直角坐标方程为: x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ,即 x + y = x ,5 ∴所求圆的极坐标方程为ρ= 17cos θ.5⎝ ⎭ ⎝ ⎭103⎩⎪x = 2 - t - t 2, 2.(2023 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为⎪ y = 2 - 3t + t 2( t 为参数且t ≠ 1),C与坐标轴交于 A , B 两点.(1) 求 AB ;(2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB 的极坐标方程.(解析)(1)令 x = 0 ,则t 2 + t - 2 = 0 ,解得t = -2 或t =1(舍),则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ,即 A (0,12) . 令 y = 0 ,则t 2 - 3t + 2 = 0 ,解得t = 2 或t =1(舍),则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ,即 B (-4, 0) .∴ AB == 4 .(2)由(1)可知 k AB =12 - 00 - (-4)= 3 ,则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ,即3x - y +12 = 0 .由 x = ρcos θ, y = ρsin θ可得,直线 AB 的极坐标方程为3ρcos θ- ρsin θ+12 = 0 .3.(2023 江苏 22)在极坐标系中,已知点 A (ρ, π) 在直线l : ρcos θ= 2 上,点 B (ρ , π) 在圆C : ρ= 4 sin θ上1 32 6(其中ρ≥ 0 , 0 ≤θ< 2π).(1)求ρ1 , ρ2 的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标.(解析)(1) Q ρ cos π = 2∴ρ = 4; Q ρ = 4 s inπ2 .131 26 ∴ρ2 = (2) Q ρcos θ= 2, ρ= 4 sin θ∴ 4 sin θcos θ= 2,∴sin 2θ= 1 Q θ∈0, 2π)∴θ= π, 5π,4 4当θ= π时ρ= 2 4;当θ= 5π 时ρ= -2 4 < 0 (舍);即所求交点坐标为当π (2 2, ) . 4 4.(2023 全国 II 文理 22)在极坐标系中,O 为极点,点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0)在曲线C : ρ= 4 s in θ上,直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直,垂足为 P . (1)当θ = π时,求ρ 及 l 的极坐标方程;3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程.(解析)(1)因为 M (ρ,θ ) 在C 上,当θ = π 时,ρ = 4 s in π= 2 .0 0 0 3 03由已知得| OP |=| OA | cos π= 2 .322333⎢⎥⎢⎥设Q (ρ,θ) 为l 上除P 的任意一点.在Rt △OPQ 中ρcos⎛θ-π ⎫=| OP |= 2 , 3 ⎪ ⎝ ⎭π ⎛ π ⎫经检验,点P (2, ) 在曲线ρcos θ- ⎪ = 2 上. ⎝ ⎭所以,l 的极坐标方程为ρcos ⎛θ- π ⎫= 2 .3 ⎪ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ,在Rt △OAP 中, | OP |=| OA | cos θ= 4 cos θ,即 ρ= 4 cos θ..因为P 在线段OM 上,且 AP ⊥ OM ,故θ的取值范围是⎡π , π⎤. ⎣ 4 2 ⎦所以,P 点轨迹的极坐标方程为ρ= 4 cos θ,θ∈ ⎡π , π⎤ .⎣4 2 ⎦5.(2023 全国 III 文理 22)如图,在极坐标系 Ox 中, A (2, 0) , B ( 2, π) ,C ( 2, 3π) , D (2, π) ,弧 AB ,4 4 A , A 所在圆的圆心分别是(1, 0) ,π, (1, π) ,曲线 M 是弧 A ,曲线 M 是弧 A ,曲线 M 是BC CD(1, ) 21 AB2 BC3 弧C D .(1) 分别写出 M 1 , M 2 , M 3 的极坐标方程;(2) 曲线 M 由 M 1 , M 2 , M 3 构成,假设点 P 在 M 上,且| OP |= ,求P 的极坐标.(解析)(1)由题设可得,弧 AB , B C ,C D 所在圆的极坐标方程分别为ρ= 2 cos θ,ρ= 2 s in θ,ρ= -2 cos θ,所以 M 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ⎛0 θ π ⎫ , M 的极坐标方程为 1 4⎪ 2⎝⎭ρ= 2 sin θ⎛ π θ3π ⎫ , M 的极坐标方程为ρ= -2 cos θ⎛ 3πθ π ⎫ . 4 4 ⎪ 34 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ,由题设及(1)知3332⎩⎩⎩⎩⎩θ假设0 θπ,则 2 cos θ=,解得θ=π;4 6假设 π θ 3π ,则 2 sin θ= ,解得θ= π 或θ= 2π ; 4 4 3 3 假设 3π θ π ,则-2 cos θ= ,解得θ= 5π .4 ⎛ 综上,P 的极坐标为3, π ⎫ 或⎛3, π ⎫ 或⎛63,2π ⎫ 或⎛3, 5π ⎫ .6⎪ 3⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭考点 118 参数方程与一般方程的互化6.(2023 上海 14)已知直线方程3x + 4 y +1 = 0 的一个参数方程可以是()⎧x = 1+ 3t A . ⎨ y = -1+ 4t ⎧x = 1- 4tB . ⎨y = -1- 3t⎧x = 1- 3tC . ⎨y = -1+ 4t ⎧x = 1+ 4t D . ⎨y = -1- 3t(答案)D(解析)A .参数方程可化简为 4x - 3y - 7 = 0 ,故 A 不正确;B .参数方程可化简为3x - 4 y - 7 = 0 ,故B 不正确;C .参数方程可化简为 4x + 3y -1 = 0 ,故 C 不正确;D .参数方程可化简为3x + 4 y +1 = 0 , 故 D 正确.应选 D .7.(2023 全国Ⅲ)选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中, A O 的参数方程为⎧x = cos θ(θ为参数),过点(0, -2) 且倾斜角为α的直线l 与A O 交于 A , B 两点.(1) 求α的取值范围;(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程.⎨ y = sin ,(解析)(1) A O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1. 当α= π时, l 与A O 交于两点.2当α≠ π时,记 tan α= k ,则l 的方程为 y = kx -.l 与A O 交于两点当且仅当< 1 ,解得 k < -1 或2α∈π ππ 3πk > 1,即( , ) 或α∈ ( , ) .4 2 2 4α π 3π 综上,的取值范围是( , ) . 4 4222222⎨(2) l 的参数方程为⎪x = t cos α, (t 为参数, π < α< 3π) . ⎨⎩ y = - + t sin α 4 4 设 A , B , P 对应的参数分别为 t , t , t ,则t =t A + t B,且t , t 满足t 2 - 2 2t sin α+ 1 = 0 .ABPP2A B于是t A + t B= 2 2 sin α, t P =2 sin α.又点 P 的坐标(x , y ) 满足 ⎪x = t P cos α,y = - + t sin α.⎧ ⎪x =2sin 2α, 2 ⎩P π 3π 所以点 P 的轨迹的参数方程是⎨ ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α (α为参数, < α< ) . 4 4 ⎪ 2 2考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用8.(2023 北京文理)在极坐标系中,直线ρcos θ+ ρsin θ= a (a > 0) 与圆ρ=2 cos θ相切,则 a =.(答案)1+ (解析)利用 x = ρcos θ, y = ρsin θ,可得直线的方程为 x + y - a = 0 ,圆的方程为(x -1)2 + y 2 = 1 ,所以圆心(1, 0) ,半径 r = 1,由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离等于半径,即|1- a |= 1 ,∴ a = 1+ 或1- ,又 a > 0 ,∴ a = 1+ .9.(2023 北京文理)在极坐标系中,点 A 在圆ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 上,点 P 的坐标为(1, 0) ),则| AP | 的最小值为.(答案)1(解析)圆的一般方程为 x 2 + y 2 - 2x - 4y + 4 = 0 ,即(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 .设圆心为C (1, 2) ,所以| AP |min =| PC | -r = 2 -1 = 1 .10.(2023 天津文理)在极坐标系中,直线4ρcos(θ- π) +1 = 0 与圆ρ= 2 s in θ的公共点的个数为.6(答案)2(解析)直线的一般方程为 2 3x + 2 y +1 = 0 ,圆的一般方程为 x 2 + ( y -1)2= 1 ,因为圆心到直 3线的距离 d = < 1 4,所以有两个交点.11.(2023 北京文理)在极坐标系中,直线ρcos θ- | AB |= .3ρsin θ-1 = 0 与圆ρ= 2 cos θ交于 A , B 两点,则(答案)2(解析)将ρcos θ-3ρsin θ-1 = 0 化为直角坐标方程为 x - 3y -1 = 0 ,将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x -1)2+ y 2= 1 ,圆心坐标为(1,0),半径 r=1,又(1,0)在直线 x - 3y -1 = 0 上,所以|AB|=2r=2.222234y x ⎩⎩⎩)⎩12.(2023 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2ρsin(θ- π= 47πA (2 2,) ,则点 Α 到直线l 的距离为 .42 ,点 Α 的极坐标为(答案)(解析)由 2ρsin(θ- 2π ) = 得2ρ´ 4 2 7π(sin θ- cos θ) = ,所以 y - x = 1, 故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ,而点 A (2 2, ) 对应的直角坐标为4 A (2,-2) ,所以点 A (2,-2) 到直线l : x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2. 213.(2023 安徽文理)在极坐标系中,圆ρ= 8sin θ上的点到直线θ=是.π(ρ∈ R ) 距离的最大值 3(答案)6(解析)圆ρ= 8sin θ即ρ2= 8ρsin θ,化为直角坐标方程为 x 2+ ( y - 4)2= 16 ,π直线θ=,则tan θ=,化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ,圆心(0, 4) 到直线3的距离为| -4 |= 2 ,所以圆上的点到直线距离的最大值为 6.14.(2023 全国Ⅰ文理 21)⎧x = cos k t ,在直角坐标系 xOy 中,曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin k t(t 为参数) .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2 的极坐标方程为 4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 .(1) 当 k = 1时, C 1 是什么曲线?(2) 当 k = 4 时,求C 1 与C 2 的公共点的直角坐标.(解析)(1)当 k = 1时,曲线C 的参数方程为⎧x = cos t ,( t 为参数),两式平方相加得 x 2 + y 2 = 1 ,1⎨y = sin t∴曲线C 1 表示以坐标原点为圆心,半径为 1 的圆.⎧x = cos 4 t ,(2)当 k = 4 时,曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin 4t ( t 为参数),∴ x ≥ 0, y ≥ 0 ,曲线C 1 的参数方程化为⎧ x = cos 2 t ⎨ y = sin 2t(t 为参数),两式相加得曲线C 1 方程为 + = 1,得 = 1 - ,平方得 5 22x yx 77⎩2y = x - 2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ,曲线C 2 的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ,曲线C 2 直角坐标方程为4x -16 y + 3 = 0 ,联立C , C 方程⎪ y = x - 2 +1 , ,整理得12 x - 32 + 13 = 0 ,解得 x = 1 或 = 13(舍去),1 2⎨ ⎩4x -16 y + 3 = 02 6 ∴ x = 1 , y = 1 ,∴C ,C 1 1 公共点的直角坐标为( , ) .4 4 1 24 4⎧ 1- t 2 ⎪x =1+ t 215.(2023 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为⎨ ⎪ y = ⎩ 4t 1+ t 2(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 .(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程;(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值.1- t 2⎛ y ⎫2⎛ 1- t 2 ⎫24t 2 (解析)(1)因为-1 < ≤ 1 ,且 x 2 + ⎪ = ⎪ + = 1,所以C 的直角坐标方程为2y 2 1+ t 2⎝ 2 ⎭ ⎝1 + t 2 ⎭ (1+ t 2 )2x += 1(x ≠ -1) .4l 的直角坐标方程为 2x + 3y +11 = 0 .⎧x = cos α, (2)由(1)可设C 的参数方程为 (α为参数, -π <α< π ).⎨y = 2sin α4 cos ⎛α- π ⎫ +113 ⎪ C 上的点到l 的距离为 = ⎝ ⎭.当α= - 2π 时, 4 c os ⎛α- π ⎫+11 取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为 . 3 3 ⎪ ⎝ ⎭16.(2023 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中,曲线C 1 的方程为 y = k |x | + 2 .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2+ 2ρcos θ- 3 = 0 . (1) 求C 2 的直角坐标方程;x x x | 2 c os α+ 2 3 sin α+11|7⎨y = 4 s in θ,⎩(2) 假设C 1 与C 2 有且仅有三个公共点,求C 1 的方程.(解析)(1)由 x = ρcos θ, y = ρsin θ得C 2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y 2 = 4 .(2)由(1)知C 2 是圆心为 A (-1, 0) ,半径为 2 的圆.由题设知,C 1 是过点 B (0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为l 1 ,y 轴左边的射线为l 2 .由于 B 在圆C 2 的外面,故C 1 与C 2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与C 2 只有一个公共点且l 2 与C 2 有两个公共点,或l 2 与C 2 只有一个公共点且l 1 与C 2 有两个公共点.当l 与C 只有一个公共点时, A 到l 所在直线的距离为 2 ,所以| -k + 2 |= 2 ,故 k = - 4 或 k = 0 .1213经检验,当k = 0 时, l 与C 没有公共点;当 k = - 4时, l 与C 只有一个公共点, l 与C 有两个公共点.1231 2 2 2| k + 2 | 当l 与C 只有一个公共点时, A 到l 所在直线的距离为2 ,所以= 2 ,故 k = 0 或 k = 4 .2 2 23经检验,当k = 0 时, l 与C 没有公共点;当 k = 4时, l 与C 没有公共点.1 2 32 2综上,所求C 的方程为 y = - 4| x | +2 .1317.(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ,( θ 为参数),直线l 的参数⎩⎧x = 1+ t cos α 方程为⎨ y = 2 + t sin α ( t 为参数).(1) 求C 和l 的直角坐标方程;(2) 假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ,求l 的斜率.x 2 + y 2 =(解析)(1)曲线C 的直角坐标方程为 1. 4 16当cos α≠ 0 时, l 的直角坐标方程为 y = tan α⋅ x + 2 - tan α; 当cos α= 0 时, l 的直角坐标方程为 x = 1 .(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程(1+ 3cos 2 α)t 2 + 4(2 cos α+ sin α)t - 8 = 0 .①3317⎩⎨ y = 1- ty 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内,所以①有两个解,设为t 1 , t 2 ,则t 1 + t 2 = 0 .4(2 cos α+ sin α)又由①得t 1 + t 2 = -1+ 3cos 2α,故 2 cos α+ sin α= 0 ,于是直线l 的斜率 k = tan α= -2 .18.(2023 江苏)在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin( π-θ) = 2 ,曲线C 的方程为ρ= 4 cos θ,求直线l 被曲6 线C 截得的弦长.(解析)因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4 cos θ,所以曲线C 的圆心为(2, 0) ,直径为 4 的圆.因为直线l 的极坐标方程为ρsin( π -θ) = 2 ,则直线l 过 A (4, 0) ,倾斜角为 π,所以 A 为直线l 与圆C 的一6 6 个交点.设另一个交点为 B ,则∠OAB= π ,连结 OB ,因为 OA 为直径,从而∠OBA= π ,所以 AB = 4 c os π= 2 .6 因此,直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 .2 6⎧x = 3cos θ19.(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为⎨ y = sin θ ,(θ为参数),直线l 的参数方程为⎧x = a + 4t( t 为参数).⎩ (1) 假设 a = -1,求C 与l 的交点坐标;(2) 假设C 上的点到l 距离的最大值为 ,求 a .(解析)(1)曲线C 的一般方程为 x 2 + 29= 1.当a = -1时,直线l 的一般方程为 x + 4 y - 3 = 0 .⎧x + 4 y - 3 = 0⎧x = - 21 ⎪ ⎧x = 3 ⎪25 21 24由⎨ x 2 2解得⎨ y = 0 或⎨ ,从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) , (- 24 , ) . ⎩ 9+ y = 1 ⎩⎪ y = ⎩ 25 25 25171717171733342⎩(2)直线l 的一般方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ,故C 上的点(3cos θ, sin θ) 到l 的距离为| 3cos θ+ 4 sin θ- a - 4 |d =.当a ≥-4 时, d 的最大值为a + 9.由题设得a + 9= ,所以a = 8 ;当a < -4 时, d 的最大值为 -a + 1 .由题设得 -a + 1= ,所以 a = -16 . 综上, a = 8 或 a = -16 .20.(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 .(1) M 为曲线C 1 上的动点,点 P 在线段OM 上,且满足| OM | ⋅ | OP |= 16 ,求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程;π(2) 设点 A 的极坐标为(2, 3) ,点 B 在曲线C 2 上,求∆OAB 面积的最大值. (解析)(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ) (ρ> 0) , M 的极坐标为(ρ1 ,θ) (ρ1 > 0) .由椭圆知| OP |= ρ, | OM |= ρ1 =cos θ.由| OM | ⋅ | OP |= 16 得C 2 的极坐标方程ρ= 4 cos θ(ρ> 0) , 因此C 的直角坐标方程为(x - 2)2 + y 2= 4(x ≠ 0) .(2)设点 B 的极坐标为(ρB ,α) (ρB > 0) .由题设知| OA |= 2 , ρB = 4cos α,于是∆OAB 面积1 π π 3S = 2 | OA | ⋅ρB ⋅sin ∠AOB = 4cos α| sin(α- 3 ) | = 2 | sin(2α- 3 ) - | ≤ 2 + . 2 当α= - π时, S 取得最大值 2 + ,所以∆OAB 面积的最大值为 2 + .1221.(2023 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t( t 为参数),直线l 的参数方⎧x = -2 + m⎪1 ⎨ y = kt 2程为⎨ ⎩ y = m k( m 为参数).设l 1 与l 2 的交点为 P ,当 k 变化时, P 的轨迹为曲线C .(1) 写出C 的一般方程;17175224 5⎨t⎩(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3 :ρ(cosθ+ sinθ) -交点,求M 的极径.= 0 ,M 为l3与C 的(解析)(1)消去参数t 得l 的一般方程l : y =k (x -2),消去参数m 得l 的一般方程l : y =1 (x+2).11⎧y =k (x-2)22k⎪设P(x, y) ,由题设得⎨⎩y=1 (x+2)k,消去k 得x2-y2=4 (y ≠0),所以C 的一般方程为x2-y2=4 (y ≠0).⎪ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),联立⎨得⎩ρ(cosθ+sinθ)-2=0cosθ- sinθ=2 (cosθ+sinθ),故tanθ=-1,从而cos2θ=9,sin2θ=1,代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得3ρ2=5,所以交点M的极径为.10 10⎧x =-8 +t22.(2023 江苏)在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为⎪y = ( t 为参数),曲线C 的参数方⎧x=2s2⎪2程为⎨⎩y=22s( s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.(解析)直线l 的一般方程为x - 2 y + 8 = 0 .因为点P 在曲线C 上,设P(2s2 , 2 2s) ,从而点P 到直线l 的的距离4 5d == ,当s =时,dmin=5.因此当点P 的坐标为(4, 4) 时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值.5⎧x =a cos t23.(2023 全国I 文理)在直角坐标系xOy 中,曲线C1 的参数方程为⎨y = 1+a sin t(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2 :ρ= 4 cosθ.(I)说明C1 是哪种曲线,并将C1 的方程化为极坐标方程;(II)直线C3 的极坐标方程为θ=a0 ,其中a0 满足tan a0 =2 ,假设曲线C1 与C2 的公共点都在C3上,求a.22(s -2)2 +4510 10 ⎫2152⎩1123⎩⎨⎩=⎧x = a cos t (解析)(1) ⎨ y = 1 + a sin t( t 均为参数),∴x 2 + ( y - 1)2= a 2 ①∴ C 为以(0 ,1) 为圆心, a 为半径的圆.方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0 .∵ x 2 + y 2 = ρ2 ,y = ρsin θ,∴ ρ2- 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 ,即为C 的极坐标方程.(2) C :ρ= 4cos θ,两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2= x 2 + y 2 ,ρcos θ= x ,∴ x 2 + y 2 = 4x ,即( x - 2)2+ y 2 = 4 ②C 3 :化为一般方程为 y = 2x ,由题意: C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3 ,①—②得: 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ,即为C ,∴1 - a 2 = 0 ,∴ a = 1 .24.(2023 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 .(I) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;⎧x = t cos α(II)直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin α(t 为参数),l 与 C 交于 A 、B 两点, AB = ,求 l 的斜率.⎧ρ2 = x 2 + y 2 (解析)(Ⅰ)整理圆的方程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ,由⎪ρcos θ= x ⎪ρsin θ= y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2 + 12ρcos θ+ 11 = 0 .(Ⅱ)记直线的斜率为 k ,则直线的方程为 kx - y = 0 ,由垂径定理及点到直线距离公式知:= 36k 2 290 ,整理得 k 2 = 5 ,则 k = ± . 1 + k 4 3 3⎪x =3 cos α25.(2023 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中,曲线C 1 的参数方程为⎨ ⎩ y = sin α(α为参数),以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ π) = 2.24(Ⅰ)写出C 1 的一般方程和C 2 的直角坐标方程;(Ⅱ)设点 P 在C 1 上,点 Q 在C 2 上,求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标.x 2 2(解析)(Ⅰ) C 1 的一般方程为 3+ y = 1, C 2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 .(Ⅱ)由题意,可设点 P 的直角坐标为( 3 cos α, sin α) ,因为C 2 是直线,所以| PQ | 的最小值,即为 P 到C 2| 3 cos α+sin α- 4 |2222⎨⎩⎪=1⎩的距离d (α) 的最小值, d (α) ==π2 | sin(α+ π ) - 2 | .3 3 1当且仅当α= 2k π+(k ∈ Z ) 时, d (α) 取得最小值,最小值为 6,此时 P 的直角坐标为( , ) . 2 2 ⎧x = 1 + 1t , 26.(2023 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎪ ⎪ y = ⎩ 2 3 t , 2(t 为参数) ,椭圆C 的参数⎧x = cos θ,方程为⎨ y = 2sin θ, (θ为参数) ,设直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点,求线段 AB 的长.⎧x = 1+ 1t(解析)椭圆C 的一般方程为 x 2 + y 4 = 1,将直线l 的参数方程⎨ ⎪ y = ⎩2 3 t2 ,代入 x 2 + y 4 = 1,得(1+ 1 t )2 + 3 t )22 = 1,即7t 2 +16t = 0 ,解得t = 0 , t = - 16 ,所以 AB =| t - t | 16 .2 4 1 2 71 2727.(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中,直线C : x = -2 ,圆C :(x -1)2 + ( y - 2)2= 1 ,以坐标原12点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C 1 , C 2 的极坐标方程;(Ⅱ)假设直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ,设C 2 与C 3 的交点为 M , N ,求∆C 2MN 的面积.4(解析)(Ⅰ)因为 x = ρcos θ, y = ρsin θ,∴ C 的极坐标方程为ρcos θ= -2 , C 的极坐标方程为ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 .12(Ⅱ)将θ= π代入ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ,得ρ2- 3 2ρ+ 4 = 0 ,解得ρ = 2, ρ = , 4|MN|= ρ - ρ = ,因为C 的半径为 1,则A C MN 的面积 ⨯ 122 ⨯1⨯sin 45o = 1 . 1 2 22 2 2 ⎧x = t cos α,28.(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中,曲线C 1 : ⎨ y = t sin α, ( t 为参数,t ≠0)其中0 ≤α<π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2 : ρ= 2 sin θ, C 3 : ρ= 2 3 cos θ. (Ⅰ)求C 2 与C 3 交点的直角坐标;(Ⅱ)假设C 1 与C 2 相交于点 A , C 1 与C 3 相交于点 B ,求| AB | 的最大值.222(π3623)( x -1+ y +1= )()⎨(解析)(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 y = 0 ,曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2- 2 3x = 0 .联⎪x 2+ y 2- 2 y = 0,⎧x = 0, ⎧ 3 ⎪x = 2 , 立⎨x 2 + y 2 - 2 3x = 0,解得⎨ y = 0, 或⎨ 3 ⎪ ⎩ ⎪ y = ,⎩ 23所以C 2 与C 1 交点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) .2 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为θ= α(ρ∈ R , ρ≠ 0) ,其中0 ≤α<π. 因此 A 得到极坐标为(2 sin α,α) , B 的极坐标为(2 3 cos α,α) . π5π所以 AB = 2 sin α- 2 3 cos α = 4 s in(α-) ,当α= 时, AB 取得最大值,最大值为 4 . 3 629.(2023 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+ 2 2ρsin(θ- π- 4 = 0 ,求圆 C 的半径.4(解析) 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ,以极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系 xoy .圆C 的极坐标方程为ρ2 + 2⎛ 2 sin θ- 2cos ⎫4 = 0 ,化简,得ρ2 + 2ρsin θ- 2ρcos θ- 4 = 0 . ρ 22 θ⎪⎪ - ⎝ ⎭则圆C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2x + 2 y - 4 = 0 ,即2 2,所以圆C 的半径为 . ⎧x = 3 + 1 t 30.(2023 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为⎪2⎪ y = 3 t ⎩ 2 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙ C 的极坐标方程为ρ= 2 3 sin θ. (Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程;( t 为参数).以原点为极点, x(Ⅱ) P 为直线l 上一动点,当 P 到圆心C 的距离最小时,求 P 的直角坐标.(解析)(Ⅰ) 由ρ= 2 3 sin θ, 得ρ2= 2 3ρsin θ,从而有 x 2+y 2= 2 3y , 所以x 2+ (y -3 )2= 3 .(Ⅱ)设P (3 += ,故当t =0 时,| PC |取最小值,此时 P 点的直角坐标为(3, 0) .21t,3t), 又C(0, 3) ,则| PC |=3222 3 ⎪55⎨y = 2 - 2t⎩⎩31.(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C : x 4 + y 29 = 1,直线l : ⎧x = 2 + t ( t 为参数). ⎩(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的一般方程;(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线,交l 于点 A ,求| PA |的最大值与最小值.⎧x = 2 cos θ.(解析)〔I 〕曲线C 的参数方程为⎨ y = 3sin θ. (θ为参数).直线l 的一般方程为2x + y - 6 = 0. ……5 分(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos θ.3sin θ)到l 的距离为d =4 cos θ+ 3sin θ- 6 .则 PA =d = sin 30︒ 5sin(θ+α) - 6 , 其中α为锐角,且tan α= 4 . 3当sin (θ+α)=-1时,PA 取得最大值,最大值为22 5 .5当sin(θ+α) = 1时,PA 取得最小值,最小值为2 5 .532.(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ,θ∈ ⎡0,π⎤ .(Ⅰ)求 C 的参数方程;⎣⎢ 2 ⎥⎦(Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直,依据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.(解析)(I)C 的一般方程为(x -1)0 ≤ t ≤ x ).2 + y 2⎧x = 1+ cos t , = 1(0 ≤ y ≤ 1) ,可得 C 的参数方程为⎨ y = sin t ,(t 为参数,(Ⅱ)设 D (1+ cos t , sin t ) .由(I)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆. π因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直,所以直线 GD 与 t 的斜率相同, tan t = 3, t =.32 5523⎩⎩⎩1⎩⎩ππ 3故D 的直角坐标为(1+ cos , s in ) ,即( , ) .3 3 2 233.(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为⎧x = 4 + 5 cos t( t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正1 ⎨y = 5 + 5sin t半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2 的极坐标方程为ρ= 2 s inθ.(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( ρ≥0 ,0 ≤θ≤2π).⎧x = 4 + 5 c os t2 2(解析)将⎨y = 5 + 5sin t消去参数t ,化为一般方程(x - 4) + ( y -5) = 25 ,即C1 :x 2 +y2⎧x =ρcosθ-8x -10 y+16 = 0 ,将⎨y =ρsinθ代入x 2 +y2- 8x -10 y + 16 = 0 得,ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ,∴C 的极坐标方程为ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 .⎪x2+y2-8x-10y+16=0(Ⅱ) C 的一般方程为x2 +y2 - 2 y = 0 ,由⎨⎧x =1解得⎨⎧x = 0或⎨,2∴C1 与C2 的交点的极坐标分别为(⎩x2+y2-2y=0π),(2, ) .4 2⎩y =1 ⎩y = 2 34.(2023 全国Ⅱ文理)已知动点P ,Q 都在曲线C与β= 2α( 0 <α< 2π) M 为PQ 的中点.⎧x = 2 c os β:⎨y = 2 s in β(β为参数)上,对应参数分别为β=α(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并推断M 的轨迹是否过坐标原点.(解析)(Ⅰ)由题意有P(2c osα,2sinα),Q(2c os2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α),⎧x = cosα+ cos 2α,M 的轨迹的参数方程为⎨y = sinα+ sin 2α, (0 <α< 2π).(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==0 <α< 2π),当α=π时,d = 0 ,故M 的轨迹过坐标原点.2,π3⎩100⎩135.(2023 全国文理)已知曲线C 的参数方程是⎧x = 2 cos ϕϕ为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴1⎨y = 3sin ϕ(为极轴建立极坐标系,曲线C 2 的极坐标方程是ρ= 2 .正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上,且 A 、 B 、C 、πD 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ) . 3(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标;(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点,求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围.π5π 4π 11π(解析)(1)点 A , B , C , D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) ,3 6 3 6点 A , B , C , D 的直角坐标为(1, 3),(-⎧x 0 = 2cos ϕ3,1), (-1, - 3),( 3, -1) .(2)设 P (x 0 , y 0 ) ;则⎨ y = 3sin (ϕ为参数) , ⎩ 0ϕt = PA 2+ PB 2+ PC 2+ PD 2= 4x 2 + 4 y 2 +16 = 32 + 20 sin 2ϕ∈32, 52.⎧x = 2 c os α 36.(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中,曲线C 1 的参数方程为⎨ y = 2 + 2 s in(α为参数),M 是C 上 α的动点, P 点满足OP = 2OM , P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ= π与C 的异于极点的交点为 A ,与C 的异于极点的交点为 B ,求 AB .31 2(解析)(I)设 P (x , y ) ,则由条件知 M( x , y).由于 M 点在C 上,⎧ x = 2 cos α ⎪ 2 2 2⎧ x = 4 cos α 1⎧ x = 4 cos α 所以⎨ y ,即⎨y = 4 + 4 s in ,从而C 2 的参数方程为⎨y = 4 + 4 s in (α为参数), ⎪ = 2 + 2 s in α ⎩ α ⎩ α⎩ 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为ρ= 4sin θ,曲线C 2 的极坐标方程为ρ= 8sin θ.射线θ= π与C 的交点 A 的极径为ρ = 4sin π,射线θ= π与C 的交点 B 的极径为ρ = 8sin π.3 1 1 3 32 23所以| AB |=| ρ2 - ρ1 |= 2 .。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先,根据极坐标到直角坐标的转换公式:$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式,得到:$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子,得到直角坐标方程为:$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先,我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2,从而得到:r2+y2−4x=0然后,将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$,得到:$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简,得到极坐标方程为:$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式,将$r = \\sin(\\theta)$代入,得到:$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子,得到直角坐标方程为:$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
极坐标与参数方程经典练习题 带详细解答
1.极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.(Ⅰ)求C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求弦长||AB .2.已知直线l 经过点1(,1)2P ,倾斜角α=6π,圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程,并把圆C 的方程化为直角坐标方程;(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ,求点P 到A 、B 两点的距离之积. 3.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==,圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=.(I )求圆心C 的直角坐标;(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值. 4.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合,且两坐标系有相同的长度单位,圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩(α为参数),点Q的极坐标为7)4π。
(1)化圆C 的参数方程为极坐标方程;(2)直线l 过点Q 且与圆C 交于M ,N 两点,求当弦MN 的长度为最小时,直线l 的直角坐标方程。
5.在极坐标系中,点M 坐标是)2,3(π,曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=;以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是1-的直线l 经过点M . (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ,并求||||MB MA ⋅的值.6.(本小题满分10分) 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ,(α为参数) M 是曲线1C 上的动点,点P 满足2=,(1)求点P 的轨迹方程2C ;(2)在以D 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与曲线1C ,2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7.在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭,M ,N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点. (1)写出曲线C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标;(2)求直线OM 的极坐标方程. 8.在直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为:2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C 2是极坐标方程为:cos ρθ=, (1)求曲线C 2的直角坐标方程;(2)若P ,Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点,求PQ 的最小值.9.已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数),点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭,设直线l 与圆C 交于点P 、Q .(1)写出圆C 的直角坐标方程;(2)求AP AQ ⋅的值.10.已知动点P ,Q 都在曲线C :2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩(β为参数)上,对应参数分别为t α=与2t α=(0<α<2π),M 为PQ 的中点。
极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)
专题:极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数),直线l 经过定点(3,5)P ,倾斜角为3π. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=,过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数)与曲线C 交于,M N 两点.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程;(2)求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线:23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l :(cos sin )6ρθθ-=.(1)求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值;(2)与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点,若||2AB =,求1l 的方程.4、在平面直角坐标系xOy 中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程;(2)设P 为曲线1C 上一点,Q 为曲线2C 上一点,求||PQ 的最小值.5.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭,半径为1的圆.(1)求曲线1C 的普通方程,2C 的直角坐标方程;(2)设M 为曲线1C 上的点,N 为曲线2C 上的点,求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数),曲线2C :2220x y y +-=,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,射线():0l θαρ=≥与曲线1C ,2C 分别交于,A B (均异于原点O ).(1)求曲线1C ,2C 的极坐标方程; (2)当02πα<<时,求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 过点(,1)P a ,其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数,a R ∈),以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(2)已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点,且||2||PA PB =,求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=,若射线6πθ=,3πθ=,分别与l 交于,A B两点.(1)求||AB ;(2)设点P 是曲线2219y x +=上的动点,求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+12t ,y =32t ,(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =tcos α,y =tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3+12t ,y =32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ=23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2-2x +y 2=0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标; (2)设P 是椭圆x 23+y 2=1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+12t ,y =32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1+sin 2θ)ρ2=2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2+1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=. (1)若2a =,求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值.7. 在直角坐标系xOy 中,直线1C :y =,曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩(ϕ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程; (2)把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ,3C 与2C 交于A ,B 两点,求||AB .8.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解:(1)∵曲线C的参数方程为(θ为参数),消去参数θ,得曲线C的普通方程:(x﹣1)2+(y﹣2)2=16;∵直线l经过定点P(3,5),倾斜角为,∴直线l的参数方程为:,t为参数.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程,得t2+(2+3)t﹣3=0,设t1、t2是方程的两个根,则t1t2=﹣3,∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3.2.【解答】解:(1)曲线C:ρsin2θ=2cosθ,即ρ2sin2θ=2ρcosθ,∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x;直线l:(t为参数),消去t,可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0;(2)将直线l:代入曲线C的标准方程:y2=2x得:t2﹣4t﹣6=0,∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=(t1﹣t2)2+2t1t2=32.3、【解答】(1)直线l :(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=.曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为(2)设直线1l 的方程为0x y λ-+=, (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】(1)由曲线C 1的参数方程为(θ为参数),消去参数θ得,曲线C 1的普通方程得+=1.由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得,曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…(2)设P (2cos θ,2sin θ),则点P 到曲线C 2的距离为d==,当cos (θ+45°)=1时,d 有最小值0,所以|PQ|的最小值为0.5.【解答】解:(1)消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1,∵曲线C2是圆心为(3,),半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3),∴C2的直角坐标方程为x2+(y﹣3)2=1;(2)设M(2cosφ,sinφ),则|MC2|====,∴﹣1≤sinφ≤1,∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4,由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1,最大值为4+1=5,∴|MN|的取值范围为[1,5]6.【解答】解:(1)∵,∴,由得曲线C1的极坐标方程为,∵x2+y2﹣2y=0,∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ;(2)由(1)得,|OB|2=ρ2=4sin2α,∴∵,∴1<1+sin2α<2,∴,∴|OA|2+|OB|2的取值范围为(2,5).7.【解答】解:(1)曲线C1参数方程为,∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0,由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0,∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0,即曲线C2的直角坐标方程y2=4x.(2)设A、B两点所对应参数分别为t1,t2,联解得要有两个不同的交点,则,即a>0,由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|,|PB|=2|t2|,又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|,即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时,有t1+t2=3t2=,t1t2=2t22=,∴a=>0,符合题意.当t1=﹣2t2时,有t1+t2=﹣t2=,t1t2=﹣2t22=,∴a=>0,符合题意.综上所述,实数a的值为或.8.【解答】解:(1)直线,令,解得,∴,令,解得ρ=4,∴又∵,∴,∴|AB|=2.(2)∵直线,曲线,∴=当且仅当,即时,取“=”,∴,∴△ABP面积的最大值为3.极坐标与参数方程——练习参考答案1.【解答】解:由,由②得,代入①并整理得,.由,得,两式平方相加得.联立,解得或.∴|AB|=.2.【解答】解:(1)曲线C2:ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ,即x2+y2=2y,①C 3:ρ=2cosθ,则ρ2=2ρcosθ,即x2+y2=2x,②由①②得或,即C2与C3交点的直角坐标为(0,0),(,);(2)曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx,则极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤a<π.因此A得到极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin(α)|,当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.3.【解答】解:(1)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴ρ2=2,化为x2+y2=,配方为=3.(2)设P,又C.∴|PC|==≥2,因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).4.【解答】解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的直角坐标方程为y=x,联立方程组,解得或,所以点M,N的极坐标分别为(0,0),(,).(2)由(1)易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点,设P点坐标为(cosθ,sinθ),则P到直线y=x的距离d=,所以S△PMN==≤1,当θ=kπ﹣,k∈Z时,S△PMN取得最大值1.5.【解答】解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0,曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2,化成直角坐标方程为x2+2y2=2,即+y2=1.(2)将直线l的参数方程代入曲线C:x2+2y2=2,得7t2+4t﹣4=0.设A,B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=﹣,t1t2=﹣,∴+=+==.6.【解答】解:(1)当a=2时,ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为:x2+(y﹣1)2=1直线的参数方程(t为参数).转化成直角坐标方程为:4x+3y﹣8=0 (2)圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为:直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍,所以:2|3a﹣16|=5|a|,利用平方法解得:a=32或.7.【解答】解:(1)∵直线,∴直线C1的极坐标方程为,∵曲线C2的参数方程是(θ为参数),∴消去参数θ,得曲线C2的普通方程为.(2)∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3,∴C3的极坐标方程为,化为直角坐标方程为.圆C2的圆心(,2)到直线C3:的距离:.∴.8.【解答】解:(1)在曲线C上任意取一点(x,y),由题意可得点(x,)在圆x2+y2=1上,∴x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1,化为参数方程为(0≤θ<2π,θ为参数).(2)由,可得,,不妨设P1(1,0)、P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(,1),再根据与l垂直的直线的斜率为,故所求的直线的方程为y﹣1=(x﹣),即x﹣2y+ =0.再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0,即ρ=.。
极坐标与参数方程15道典型题-(有答案)-(2)汇编
极坐标与参数方程15道典型题1在直角坐标系xOy 中,以0为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系•圆Ci ,直线C 2的极0T__坐标方程分别为 「二4si nr , r cosC -^2. 2 .4(1)求C i 与C 2的直角坐标方程,并求出C i 与C 2的交点坐标;(2 )设P 为C i 的圆心,Q 为C i 与C 2交点连线的 中点.已知直 线PQ 的参数 方程为厂 3 x =t +a」“3斗(t 为参数,W R ),求a, b 的值.y =—t +i2(i )由极直互化公式得:2 2C i : x (y -2)=4C 2 :x y -4 = 0 ............. 4 分联立方程解得交点坐标为 (0,4), (2,2) ............. 5分 (2 )由(1)知:P(0,2), Q(1,3)所以直线 PQ : x - y • 2=0,K a K化参数方程为普通方程:1,2•极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,曲广x = t + m线C 1的极坐标方程为 P 2 cos2日=3,曲线C 2的参数方程为」 ,(t 是参数,m 是常y = 2t -1数)(1 )求C i 的直角坐标方程和 C 2的普通方程;(2)若C 2与C 1有两个不同的公共点,求 m 的取值范围•解: (1)由极直互化公式得 C 1 :「2(cos 2 v - sin 2旳=3,所以x 2 - y 2 =3 ; ------------------- 2分 消去参数t 得C 2的方程:y =2x - 2m -1 -------------------------- 4 分 更多精品文档对比系数得:1-(2)由(1)知C i 是双曲线,C 2是直线,把直线方程代入双曲线方程消去y 得:2 23x —4(2m -1)x • 4m 4m 4 = 0, -------------------------------- 7 分x = -3 3t$ (t 为参数). y = 2、、3 t(I) 写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程;(II) 设二1,0,若椭圆C 上的点m 满足到点厶的距离与其到直线I 的距离相等,求点 P 的坐 标.…10分4..在极坐标系 Ox 中,直线C 1的极坐标方程为 psin 9= 2, M 是G 上任意一点,点P 在射线OM 上,且满足|OP||OM|= 4,记点P 的轨迹为 C 2.(I)求曲线C 2的极坐标方程; (n)求曲线 C 2上的点到直线 p os (9+= 2的距离的最大值.解:(I)设 P ( p, 9, M(p, 9),依题意有 p sin 9= 2, p 1尸 4.消去p,得曲线C 2的极坐标方程为 p= 2sin 9. (5)分(n)将C 2, C 3的极坐标方程化为直角坐标方程,得C 2: x 2+ (y - 1)2= 1, C 3: X - y = 2.C 2是以点(0, 1)为圆心,以1为半径的圆,圆心到直线 C 3的距离d =¥,若直线和双曲线有两个不同的公共点, 则厶=16(2m -1)2「12(4m 2 4m 4) . 0,解得:m . 1或 m ::: -2 102 2_ x y3•已知椭圆C:1,直线4 3解:(I)(n)设P 到直线 存 2c os 9( 9为为参数),1: x-V 3y + 9= 0.y=Q 3sin 9vP(2cos 9, ©sin 9),则 | AP| (2cos 0— 1)2 + ^3sin 0)2 = 2— cos 9,___ | 2cos 9- 3sin 9+ 9|2cos 9— 3sin 9+ 9l 的距离d = 2 2 '223由 | AP| = d 得 3sin 9- 4cos 9= 5,又 sin 29 + cos 29= 1,得 sin 9=-, 5cos 9=--5故 p (- 8,故曲线C 2上的点到直线 C 3距离的最大值为1 + 32-. 5•在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 r =4.2 sin()。
极坐标与参数方程 练习题及解析
极坐标与参数方程练习题及解析1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换,(0):,(0)x xy yλλϕμμ''=⋅>⎧⎨=⋅>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.点M的极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).一般地,不做特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任何实数.注:极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).若ρ<0,则−ρ>0,规定点(−ρ,θ)与点(ρ,θ)关于极点对称,即(−ρ,θ)与(ρ,π+θ)表示同一点.如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示(即一一对应的关系);同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数ρ、θ对应唯一点P(ρ,θ),但平面内任一个点P的极坐标不唯一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,P(ρ,θ)(极点除外)的全部坐标为(ρ,θ+2kπ)或(−ρ,θ+(2k+1)π),(k∈Z).极点的极径为0,而极角任意取.若对ρ、θ的取值范围加以限制,则除极点外,平面上点的极坐标就唯一了,如限定ρ>0,0≤θ<2π或ρ< 0,−π<θ≤π等.极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应的,即一个点的极坐标是不唯一的.3.极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),从图中可以得出:x =ρcos θ , y =ρsin θ , ρ2=x 2+y 2 , ()tan 0yx xθ=≠. 4.常见曲线的极坐标方程5在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩,并且对于t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点M(x ,y)都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.6.常见曲线的参数方程(1)经过定点()00,P x y ,倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭的直线的参数方程00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).设P 是直线上的任意一点,则t 表示有向线段P 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量.参数的几何意义是有向线段P 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量. (2)圆(x −a)2+(y −b)2=r 2的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数).(3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数);椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的参数方程为cos sin x b y a ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数).(4)抛物线y 2=2px 参数方程22(2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数,1tan t α=).参数t 的几何意义:抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 7.参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x ,y 的取值范围保持一致.参数方程化为普通方程的关键是消参数,并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形, 则一定要通过.根据t 的取值范围导出的取值范围.)(),(t g y t f x ==y x ,一、解答题.1.直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数),直线l 的参数方程为13x ty t =-⎧⎨=+⎩(t 为参数).(1)求直线l 的普通方程,说明C 是哪一种曲线; (2)设M ,N 分别为l 和C 上的动点,求|MN|的最小值.【答案】(1)l:x +y =4,曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆;(2)2√2−√5.【解析】(1)由题得直线l:x +y =4,曲线22:13x C y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即2219x y +=, 所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆.(2)设N(3cos α,sin α),则|MN|就是点N 到直线l 的距离,MN ==(φ的终边在第一象限且tan φ=3),当sin(α+φ)=1时,min ||MN ==. 【点评】参数方程里求直线上的点到曲线上的点的最值,一般先利用曲线的参数方程设点,再利用点到直线的距离求出距离的函数表达式,再利用三角函数的图象和性质求解.2.已知在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点M (0,1),倾斜角为α,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=4sin θ. (1)把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并求直线l 的参数方程; (2)若直线l 被圆C 截得的弦长为√13,求直线l 的倾斜角α. 【答案】(1)C :x 2+y 2−4y =0,cos :1sin x t l y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数);(2)6πα=或56π.【解析】(1)ρ=4sin θ⇒ρ2=4ρsin θ, 所以圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0,① 直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数).②(2)将②代入①⇒t 2−2sin α⋅t −3=0⇒t 1+t 2=2sin α,123t t ⋅=-,l 被C 截得弦长121sin 2d t t α=-====, ∴6πα=或56π. 【点评】本题考查了极坐标方程与普通方程的互换,直线参数方程中,参数的几何意义,属于中档题. 3.在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρ(cos θ+sin θ)−3,若以极点O 为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)求圆C 的一个参数方程;(2)在平面直角坐标系中,P (x ,y)是圆C 上的动点,试求x +2y 的最大值,并求出此时点P 的直角坐标.【答案】(1)2(2x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩是参数);(2)最大值为11,P(3,4).【解析】(1)因为ρ2=4ρ(cos θ+sin θ)−3,所以x 2+y 2−4x −4y +3=0, 即(x −2)2+(y −2)2=5为圆C 的直角坐标方程,所以圆C的一个参数方程为2(2x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).(2)由(1)可知点P 的坐标可设为(2+√5cos φ,2+√5sin φ),则x +2y =2+√5cos φ+4+2√5sin φ=2√5sin φ+√5cos φ+6=5sin(φ+α)+6,其中cos α=,sin α=, 当x +2y 取最大值时,sin(φ+α)=1,2,2k k πϕαπ+=+∈Z ,此时cos cos()sin 2πϕαα=-==,sin sin()cos 2πϕαα=-== 所以x +2y 的最大值为11,此时点P 的直角坐标为(3,4).【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式,同角三角函数的基本关系式、圆的参数方程及其应用、三角函数单调性与值域,属于中档题.4.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过定点P (3,0),倾斜角为02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭,曲线C 的参数方程为1122x t tt y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数);以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(2)已知直线l 交曲线C 于M ,N 两点,且103PM PN ⋅=,求l 的参数方程. 【答案】(1)2222cos 4sin 4ρθρθ-=;(2)322x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).【解析】(1)由1122x t t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,得112x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∵2222221111224t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+--=++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴x 2−(2y )2=4,即x 2−4y 2=4,又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,∴2222cos 4sin 4ρθρθ-=, 即曲线C 的极坐标方程为2222cos 4sin 4ρθρθ-=. (2)设l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数),代入x 2−4y 2=4,整理得()222cos 4sin 6cos 50t t ααα-++=, 设方程的两根分别为t 1,t 2,则12225cos 4sin t t αα=-, 则1222510cos 4sin 3PM PN t t αα⋅===-,解得cos 2α=±, ∵02πα<<,∴4πα=,故l的参数方程为322x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).【点评】在利用参数的几何意义时,一定要将参数方程化为标准方程.5.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1是圆心在(0,2),半径为2的圆,曲线C 2的参数方程为4x ty t π⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩(t 为参数且02t π≤≤),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(2)若曲线C 2与坐标轴交于A 、B 两点,点P 为线段AB 上任意一点,直线OP 与曲线C 1交于点M (异于原点),求OM OP的最大值.【答案】(1)ρ=4sin θ;(2)√2+1.【解析】(1)曲线C 1的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4,即x 2+y 2−4y =0, 所以曲线C 1的极坐标方程为24sin ρρθ=,即ρ=4sin θ.(2)曲线C 2的参数方程为4x ty t π⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩,因为曲线C 2与两坐标轴相交,所以曲线C 2交x 轴于点A (2,0)、交y 轴于点B (0,2), 所以,线段AB 的方程为x +y −2=0(0≤x ≤2), 则线段AB 的极坐标方程为cos sin 2002πρθρθθ⎛⎫+-=≤≤ ⎪⎝⎭, 设点P 、Q 的极坐标分别为P (ρ1,θ)、Q (ρ2,θ),点P 在线段AB 上,可得ρ1cos θ+ρ1sin θ=2,可得12sin cos OP ρθθ==+,点Q 在曲线C 1上,则|OM |=ρ2=4sin θ,2sin cos 4sin 2sin 2sin cos sin 2cos 212OM OP θθθθθθθθ+=⨯=+=-+214πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,02πθ≤≤,可得32444πππθ-≤-≤, 当242ππθ-=时,即当38πθ=时,OM OP取得最大值√2+1.【点评】在已知直角坐标方程求曲线的交点、距离、线段长度等几何问题时,如果不能直接用直角坐标解决,或用直角坐标解决较为麻烦,可将直角坐标方程转化为极坐标方程解决.6.在直角坐标系xOy 中,直线cos :sin x t l y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)与曲线22:2x m C y m ⎧=⎨=⎩(m 为参数)相交于不同的两点A ,B . (1)当4πα=时,求直线l 与曲线C 的普通方程;(2)若|MA ||MB |=2||MA |−|MB ||,其中M (√3,0),求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)l :y =x −√3,C :y 2=2x ;(2)6π或56π.【解析】(1)当4πα=时,直线l 的普通方程为y =x −√3,曲线C 的普通方程为y 2=2x .(2)将直线cos :sin x t l y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,代入y 2=2x ,得 sin 2α⋅t 2−2cos α⋅t −2√3=0,224cos 0Δαα=+>,1222cos sin t t αα+=,12t t =121222cos ||||2||22sin MA MB MA MB t t t t αα=-⇒=+⇒=‖‖,|cos |2α∴=, 所以直线l 的倾斜角为6π或56π.【点评】本题考查参数方程化普通方程,考查直线方程中此时t 的几何意义的应用,是中档题. 7.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设A ,B 为曲线C 上不同两点(均不与O 重合),且满足4AOB π∠=,求OAB △的最大面积.【答案】(1)ρ=4sin θ;(2)2√2+2.【解析】(1)设曲线C 上任意点的极坐标为(ρ,θ),由题意,曲线C 的普通方程为x 2+(y −2)2=4,即x 2+y 2−4y =0, 则24sin ρρθ=,故曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ. (2)设A(ρ1,θ),则2,4B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭,故30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,因为点A ,B 在曲线C 上,则ρ1=4sin θ,24sin()4πρθ=+,故1sin sin()24AOB S OA OB AOB πθθ=∠=+△24(sin sin cos )2sin 22cos 22)24πθθθθθθ=+=-+=-+,30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故38πθ=时,OAB △取到最大面积为2√2+2. 【点评】本题考查参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化,其中普通方程与极坐标方程转化的公式为222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩,考查两线段积的取值范围的求法,涉及三角函数的辅助角公式以及三角函数的值域,考查学生转化与化归的思想以及运算求解的能力,属于中档题.一、解答题.1.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ. (1)求曲线C 1与曲线C 2两交点所在直线的极坐标方程; (2)若直线l 1过点P (1,2)且与直线:2sin 16l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭平行,直线l 1与曲线C 1相交于A ,B 两点, 求11PA PB+的值. 【答案】(1)4πθ=(ρ∈R );(2)3. 【解析】(1)由2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数),消去参数ϕ,得曲线C 1的普通方程为x 2+(y −2)2=4, 由4cos ρθ=,得24cos ρρθ=,得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=4x ,即(x −2)2+y 2=4. 所以两方程相减可得交线为y =x , 所以直线的极坐标方程为4πθ=(ρ∈R ).(2)由:2sin 16l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得√3ρsin θ+ρcos θ=1, ∴直线l 的直角坐标方程x +√3y =1, 直线l 的斜率为33-,所以直线l 1的斜率为33-,倾斜角为56π, 所以直线l 1的参数方程为312122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数), 将直线l 1的参数方程代入曲线C 1,x 2+(y −2)2=4中,得2330t t --=. 设A ,B 两点的参数为t 1,t 2,∴123t t +=,t 1t 2=−3,则t 1,t 2异号.∴()21212121212124111115333t t t t t t t t PA PB t t t t +-+-+=+====. 【点评】将参数方程化为普通方程消参的3种方法: (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消参; (2)利用三角恒等式消去参数;(3)根据参数方程本身的结构特征,灵活选用一些方法从整体上消去参数.一、解答题.1.已知曲线C 1的参数方程为21(23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C 2:ρ=2a cos θ(a >0)关于C 1对称. (1)求C 1的极坐标方程,C 2的直角坐标方程;(2)已知曲线223:143x y C a a+=与两坐标轴正半轴交于A 、B 两点,P 为3C 上任一点,求△ABP 的面积的最大值.【答案】(1)1sin 220:4C πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭;C 2:(x −4)2+y 2=16;(2)4643+. 【解析】(1)121:23x t C y t =+⎧⎨=-⎩,消去t ,得x −y =4.精准预测题又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,代入x −y =4,得cos sin 40ρθρθ--=,∴cos sin 40sin 404πρθρθθ⎛⎫--=⇒-+= ⎪⎝⎭,所以C 1的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭;C 2:ρ=2a cos θ(a >0)化为(x −a )2+y 2=a 2(a >0), 又C 2关于C 1:x −y =4对称,∴(a ,0)∈C 1,∴a =4, ∴C 2:(x −4)2+y 2=16.(2)由(1)知a =4,∴223:11612x y C +=,∴A (4,0),B (0,2√3), ∴|AB |=2√7,易得l AB :√3x +2y −4√3=0,设P (4cos θ,2√3sin θ)到l AB 的距离为d .则1d ==≤当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,d1.∴()max11122ABP S AB d ==⨯=△. 【点评】本题关键在于准确运用x =ρcos θ,y =ρsin θ进行由极坐标方程向直角坐标方程转化,以及利用椭圆的参数方程求点到直线的最值.2.在直角坐标系xOy 中,直线l 过点P(0,2),倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭.以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ−2sin θ=0. (1)求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 交曲线C 于A ,B 两点,M 为AB 中点,且满足|PA|,|PM|,|PB|成等比数列,求直线l 的斜率.【答案】(1)l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数),C 的直角坐标方程为x 2=2y ;(2)斜率为±2.【解析】(1)因为直线l 过点P(0,2),倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭, 所以直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数) .因为ρcos 2θ=2sin θ,所以ρ2cos 2θ=2ρsin θ, 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2=2y . (2)将直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数),代入x 2=2y 可得: cos 2αt 2−2t sin α−4=0, 设A ,B 所对应的参数为t 1,t 2,所以1222sin cos t t αα+=,1224cos t t α-⋅=, 因为|PA|,|PM|,|PB|成等比数列,所以212122t t t t +⎛⎫= ⎪⎝⎭,即242sin cos os 4c ααα=, 解得tan 2α=4,tan α=±2,故直线l 的斜率为±2.【点评】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化;在利用t 的几何意义时,要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里,方可进行求解,考查计算化简的能力,属基础题.3.在直角坐标系xOy 中,已知点M(2,0),曲线C 1的参数方程为cos sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为θ=θ0(ρ>0),点Q 是C 1与C 2的公共点. (1)当03πθ=时,求直线MQ 的极坐标方程;(2)当023πθ=时,记直线MQ 与曲线C 1的另一个公共点为P ,求|MP|⋅|MQ|的值. 【答案】(1)ρcos θ+√3ρsin θ−2=0;(2)3. 【解析】(1)曲线C 1的普通方程是x 2+y 2=1,当03πθ=时,点Q 的坐标为12⎛ ⎝⎭, 直线MQ 的普通方程为x +√3y −2=0,所以直线MQ 的极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ−2=0.(2)当023πθ=时,点Q 的坐标为1,22⎛- ⎝⎭,所以MQ 的斜率为5k =-,所以直线MQ的参数方程为214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数), 代入x 2+y 2=1并化简得230t -+=, 设它的两根为t 1,t 2,则|MP|⋅|MQ|=|t 1t 2|=3.【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化,直线参数方程的几何意义.其中第二问解题的关键在于根据题意写出直线MQ的参数方程为214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),进而利用直线参数方程几何意义求解. 4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数,t ,α∈R ),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=. (1)将C 1,C 2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)设曲线C 1与C 2的交点分别为A ,B ,求△OAB 的面积的最小值.【答案】(1)C 1:x sin α−y cos α−2sin α=0,曲线C 1表示过点()2,0的直线;C 2:y 2=2x ,曲线C 2表示抛物线;(2)4. 【解析】(1)由12cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数),消去t 得C 1:y cos α=(x −2)sin α,即x sin α−y cos α−2sin α=0,曲线C 1表示过点(2,0)的直线. 由C 2:ρsin 2θ−2cos θ=0,得22sin 2cos 0ρθρθ-=.将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 2的方程得y 2=2x ,曲线C 2表示抛物线. (2)由于直线C 1过定点(2,0),由题意可设C 1:x =my +2.联立222x my y x=+⎧⎨=⎩,消去x 得y 2−2my −4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=2m ,y 1y 2=−4,且C 1与x 轴的交点为(2,0), 所以12122OAB S y y =⨯-==△,所以当m =0时,S △OAB 取得最小值4.【点评】本题考查直线的参数方程,极坐标方程与平面直角坐标方程的互化,以及直线与抛物线的位置关系,三角形面积的最值问题,属于中档题.5.数学中有许多寓意美好的曲线,在极坐标系中,曲线C :ρ=sin 3θ(ρ∈R ,[)0,2θπ∈)被称为“三叶玫瑰线”(如图所示).(1)求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标; (2)射线l 1,l 2的极坐标方程分别为θ=θ0,02πθθ=+([)00,2θπ∈,ρ>0),l 1,l 2分别交曲线C 于点M ,N 两点,求2211OMON+的最小值.【答案】(1)1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,51,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭,31,2C π⎛⎫⎪⎝⎭;(2)4. 【解析】(1)将单位圆与三叶玫瑰线联立sin31ρθρ=⎧⎨=⎩,解得sin 3θ=1,所以()322k k πθπ=+∈Z ,()263k k ππθ=+∈Z ,因为[)0,2θπ∈,所以取k =0,1,2,得6πθ=,56π,32π,从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,51,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭,31,2C π⎛⎫⎪⎝⎭. (2)将θ=θ0,02πθθ=+代入C :[)()sin3,0,2ρθρθπ=∈∈R ,点M ,N 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,所以ρ1=sin 3θ0,ρ2=−cos 3θ0, 即220sin 3OMθ=,|ON |2=cos 23θ0,()22002222220000111111sin 3cos 3||||sin 3cos 3sin 3cos 3OM ON θθθθθθ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭22002200sin 3cos 324cos 3sin 3θθθθ=++≥, 当且仅当 tan 23θ0=1时,取得最小值4.【点评】本题考查的知识要点:参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极径的应用,三角函数关系式的转换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.。
最新经典高三极坐标练习题
师道教育高三极坐标练习题一.解答题(共30小题)1.在平面直角坐标系中,已知曲线C的参数方程方程为(α为参数),在极坐标系中,点M的极坐标为(,π).(I)写出曲线C的普通方程并判断点M与曲线C的位置关系;(Ⅱ)设直线l过点M且与曲线C交于A、B两点,若|AB|=2|MB|,求直线l的方程.2.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.3.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|•|PB|=1,求实数m的值.4.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为为参数).(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′,设曲线C′上任一点为M(x,y),求的最小值.5.已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设曲线C与直线l相交于P、Q两点,以PQ为一条边作曲线C的内接矩形,求该矩形的面积.6.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7距离的最小值.7.极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ).(1)求C的直角坐标方程;(2)直线l:为参数)与曲线C交于A,B两点,与y轴交于E,求|EA|+|EB|的值.8.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为(,),直线l的极坐标方程为ρcos(θ﹣)=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)若圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.9.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(Ⅱ)若|PA|•|PB|=|AB|2,求a的值.10.已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.11.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.12.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,](Ⅰ)求C的参数方程;(Ⅱ)设点D在半圆C上,半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,求直线CD的倾斜角及D的坐标.13.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(Ⅰ)写出C的参数方程;(Ⅱ)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.14.(选修4﹣4:坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)15.选修4﹣4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为,且点A在直线l上.(Ⅰ)求a的值及直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)圆C的参数方程为,试判断直线l与圆C的位置关系.16.选修4﹣﹣4;坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.17.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(为参数),曲线C的参数方程为(t为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.18.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),曲线C2的参数方程为(a>b>0,φ为参数)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=时,这两个交点重合.(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;(II)设当α=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=﹣时,l与C1,C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.19.在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为(t为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ.(Ⅰ)求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标;(Ⅱ)设直线C1和圆C2的交点为A,B,求弦AB的长.20.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ+)=a,曲线C2的参数方程为,(θ为参数,0≤θ≤π).(Ⅰ)求C1的直角坐标方程;(Ⅱ)当C1与C2有两个公共点时,求实数a的取值范围.21.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.22.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程;(2)若点P是曲线C上的动点,求P到直线l的距离的最小值,并求出P点的坐标.23.在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线(t为参数)与曲线(θ为参数)相交于不同两点A,B.(1)若,求线段AB中点M的坐标;(2)若|PA|•|PB|=|OP|2,其中,求直线l的斜率.24.在平面直角坐标系xOy中,已知C1:(θ为参数),将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ+sinθ)=4(1)试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程;(2)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离最小,并求此最小值.25.选修4﹣4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(Ⅰ)写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程;(Ⅱ)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M(x,y),求的取值范围.26.已知曲线C1的极坐标方程是,曲线C2的参数方程是是参数).(1)写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程;(2)求t的取值范围,使得C1,C2没有公共点.27.已知平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1方程为ρ=2sinθ;C2的参数方程为(t为参数).(Ⅰ)写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程;(Ⅱ)设点P为曲线C1上的任意一点,求点P 到曲线C2距离的取值范围.28.已知直线l的参数方程:(t为参数),曲线C的参数方程:(α为参数),且直线交曲线C于A,B两点.(Ⅰ)将曲线C的参数方程化为普通方程,并求θ=时,|AB|的长度;(Ⅱ)已知点P:(1,0),求当直线倾斜角θ变化时,|PA|•|PB|的范围.29.在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(ϕ为参数),以O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线与曲线C2交于点.(1)求曲线C1,C2的普通方程;(2)是曲线C1上的两点,求的值.30.己知圆C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ﹣).(Ⅰ)将圆C1的参数方程他为普通方程,将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)圆C1,C2是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.20161105高三极坐标练习题参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.(2016•江西校级二模)在平面直角坐标系中,已知曲线C的参数方程方程为(α为参数),在极坐标系中,点M的极坐标为(,π).(I)写出曲线C的普通方程并判断点M与曲线C的位置关系;(Ⅱ)设直线l过点M且与曲线C交于A、B两点,若|AB|=2|MB|,求直线l的方程.【分析】(I)利用同角三角函数的关系消参数得出曲线C的普通方程,将M点坐标代入曲线C的方程即可判断点M与曲线C的位置关系;(II)由|AB|=2|MB|,可知M为AB的中点,将直线l的参数方程代入曲线的方程则方程有两个互为相反数的实根,根据根与系数的关系求出l的斜率,得出l方程.【解答】解:(I)由(α为参数)消α得:,将化成直角坐标得M(﹣1,1),∵,故点M在曲线C内.(Ⅱ)设直线l的参数方程为(t为参数,α为l的倾斜角).代入得:(3+sin2α)t2+(8sinα﹣6cosα)t﹣5=0.∵|AB|=2|MB|,∴M为AB的中点,即t1+t2=0.∴8sinα﹣6cosα=0,∴tanα=.∴l的方程为:,即3x﹣4y+7=0.2.(2016•鹰潭一模)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标互化的化式,求出曲线C的直角坐标方程;(2)先将直l的参数方程是(t是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数t1,t2的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到α的三角方程,解方程得到α的值,要注意角α范围.【解答】解:(1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,∴(x﹣2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4得:(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,化简得t2﹣2tcosα﹣3=0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则,∴|AB|=|t1﹣t2|==,∵|AB|=,∴=.∴cos.∵α∈[0,π),∴或.∴直线的倾斜角或.3.(2016•洛阳二模)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|•|PB|=1,求实数m的值.【分析】(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,化为ρ2=2ρcosθ,利用可得直角坐标方程.直线L的参数方程是(t为参数),把t=2y代入+m消去参数t即可得出.(2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x化为:+m2﹣2m=0,由△>0,得﹣1<m<3.利用|PA|•|PB|=t1t2,即可得出.【解答】解:(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,化为ρ2=2ρcosθ,可得直角坐标方程:x2+y2=2x.直线L的参数方程是(t为参数),消去参数t可得.(2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x化为:+m2﹣2m=0,由△>0,解得﹣1<m<3.∴t1t2=m2﹣2m.∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|,∴m2﹣2m=±1,解得,1.又满足△>0.∴实数m=1,1.4.(2016•汕头模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为为参数).(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′,设曲线C′上任一点为M(x,y),求的最小值.【分析】(1)利用ρ2=x2+y2,将ρ=1转化成直角坐标方程,然后将直线的参数方程的上式化简成t=2(x﹣1)代入下式消去参数t即可;(2)根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程,然后利用参数方程表示出曲线上任意一点,代入,根据三角函数的辅助角公式求出最小值.【解答】解:(1)直线l的参数方程为为参数).由上式化简成t=2(x﹣1)代入下式得根据ρ2=x2+y2,进行化简得C:x2+y2=1(2分)(2)∵代入C得∴(5分)设椭圆的参数方程为参数)(7分)则(9分)则的最小值为﹣4.(10分)5.(2016•邯郸二模)已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设曲线C与直线l相交于P、Q两点,以PQ为一条边作曲线C的内接矩形,求该矩形的面积.【分析】(1)利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ即可把曲线C的极坐标方程化为普通方程;消去参数t即可得到直线l的方程;(2)利用弦长|PQ|=2和圆的内接矩形,得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形的面积.【解答】解:(1)对于C:由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ,进而x2+y2=4x;对于l:由(t为参数),得,即.(5分)(2)由(1)可知C为圆,且圆心为(2,0),半径为2,则弦心距,弦长,因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积.(10分)6.(2016•太原三模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7距离的最小值.【分析】(Ⅰ)曲线C1:(t为参数),利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程;C2:(θ为参数),利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程.(Ⅱ)当t=时,P(﹣4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M,直线C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7化为x﹣2y=7,利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出.【解答】解:(Ⅰ)曲线C1:(t为参数),化为(x+4)2+(y﹣3)2=1,∴C1为圆心是(﹣4,3),半径是1的圆.C2:(θ为参数),化为.C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(Ⅱ)当t=时,P(﹣4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M,直线C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7化为x﹣2y=7,M到C3的距离d==|5sin(θ+φ)+13|,从而当cossinθ=,sinθ=﹣时,d取得最小值.7.(2016•漳州二模)极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ).(1)求C的直角坐标方程;(2)直线l:为参数)与曲线C交于A,B两点,与y轴交于E,求|EA|+|EB|的值.【分析】(1)将极坐标方程两边同乘ρ,进而根据ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,可求出C 的直角坐标方程;(2)将直线l的参数方程,代入曲线C的直角坐标方程,求出对应的t值,根据参数t的几何意义,求出|EA|+|EB|的值.【解答】解:(1)∵曲线C的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即(x﹣1)2+(y﹣1)2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得t2﹣t﹣1=0,所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)8.(2016•梅州二模)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为(,),直线l的极坐标方程为ρcos(θ﹣)=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)若圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.【分析】(1)利用点在直线上,代入方程求出a,利用极坐标与直角坐标的互化,求出直线的直角坐标方程.(2)化简圆的参数方程与直角坐标方程,求出圆心与半径,利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系.【解答】解:(1)点A的极坐标为(,),直线l的极坐标方程为ρcos(θ﹣)=a,且点A在直线l上.可得:cos(﹣)=a,解得a=.直线l的极坐标方程为ρcos(θ﹣)=,即:ρcosθ+ρsinθ=2,直线l的直角坐标方程为:x+y﹣2=0.(2)圆C的参数方程为(α为参数),可得圆的直角坐标方程为:(x﹣1)2+y2=1.圆心(1,0),半径为:1.因为圆心到直线的距离d==<1,所以直线与圆相交.9.(2016•开封四模)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(Ⅱ)若|PA|•|PB|=|AB|2,求a的值.【分析】(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可;(Ⅱ)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,得关于t的一元二次方程,由根与系数的关系,求出t1、t2的关系式,结合参数的几何意义,求出a的值.【解答】解:(Ⅰ)曲线C的极坐标方程ρsin2θ=acosθ(a>0),可化为ρ2sin2θ=aρcosθ(a>0),即y2=ax(a>0);(2分)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t,化为普通方程是y=x﹣2;(4分)(Ⅱ)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a>0)中,得;设A、B两点对应的参数分别为t1,t2,则;(6分)∵|PA|•|PB|=|AB|2,∴t1•t2=,∴=+4t1•t2=5t1•t2,(9分)即;解得:a=2或a=﹣8(不合题意,应舍去);∴a的值为2.(12分)10.(2015•湖南)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.(1)曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ,根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x,【分析】即得它的直角坐标方程;(2)直线l的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论.【解答】解:(1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1;(2)直线l:(t为参数),普通方程为,(5,)在直线l上,过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=(5﹣1)2+3﹣1=18,由切割线定理,可得|MT|2=|MA|•|MB|=18.11.(2014•新课标I)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.12.(2014•新课标II)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,](Ⅰ)求C的参数方程;(Ⅱ)设点D在半圆C上,半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,求直线CD的倾斜角及D的坐标.【分析】(1)利用即可得出直角坐标方程,利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程.(2)利用半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,则直线CD的斜率与直线l的斜率相等,即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标.【解答】解:(1)由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,],即ρ2=2ρcosθ,可得C 的普通方程为(x﹣1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等,∴tant=,t=.故D的直角坐标为,即(,).13.(2014•辽宁)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(Ⅰ)写出C的参数方程;(Ⅱ)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【分析】(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),再根据点(x,)在圆x2+y2=1上,求出C的方程,化为参数方程.(Ⅱ)解方程组求得P1、P2的坐标,可得线段P1P2的中点坐标.再根据与l垂直的直线的斜率为,用点斜式求得所求的直线的方程,再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程.【解答】解:(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),由题意可得点(x,)在圆x2+y2=1上,∴x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1,化为参数方程为(0≤θ<2π,θ为参数).(Ⅱ)由,可得,,不妨设P1(1,0)、P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(,1),再根据与l垂直的直线的斜率为,故所求的直线的方程为y﹣1=(x﹣),即x﹣2y+=0.再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0,即ρ=.14.(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣4:坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)【分析】(Ⅰ)对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程;再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程;(Ⅱ)先求出曲线C2的极坐标方程;再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标.【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的参数方程式(t为参数),得(x﹣4)2+(y﹣5)2=25即为圆C1的普通方程,即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得.ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即为C1的极坐标方程;(Ⅱ)曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为:x2+y2﹣2y=0,由,解得或.∴C1与C2交点的极坐标分别为(,),(2,).15.(2013•福建)选修4﹣4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为,且点A在直线l上.(Ⅰ)求a的值及直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)圆C的参数方程为,试判断直线l与圆C的位置关系.【分析】(Ⅰ)根据点A在直线l上,将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值,再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)欲判断直线l和圆C的位置关系,只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可,根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较.【解答】解:(Ⅰ)点A在直线l上,得,∴a=,故直线l的方程可化为:ρsinθ+ρcosθ=2,得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0;(Ⅱ)消去参数α,得圆C的普通方程为(x﹣1)2+y2=1圆心C到直线l的距离d=<1,所以直线l和⊙C相交.16.(2013•新课标Ⅱ)选修4﹣﹣4;坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.【分析】(I)根据题意写出P,Q两点的坐标:P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标,从而得出M的轨迹的参数方程;(II)利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d==,再验证当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.【解答】解:(I)根据题意有:P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),∵M为PQ的中点,故M(cosα+cos2α,sin2α+sinα),∴求M的轨迹的参数方程为:(α为参数,0<α<2π).(II)M到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.17.(2013•江苏)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(为参数),曲线C的参数方程为(t为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.【分析】运用代入法,可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程,联立直线方程和抛物线方程,解方程可得它们的交点坐标.【解答】解:直线l的参数方程为(为参数),由x=t+1可得t=x﹣1,代入y=2t,可得直线l的普通方程:2x﹣y﹣2=0.曲线C的参数方程为(t为参数),化为y2=2x,联立,解得,,于是交点为(2,2),.18.(2011•辽宁)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),曲线C2的参数方程为(a>b>0,φ为参数)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=时,这两个交点重合.(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;(II)设当α=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=﹣时,l与C1,C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.【分析】(I)有曲线C1的参数方程为(φ为参数),曲线C2的参数方程为(a>b>0,φ为参数),消去参数的C1是圆,C2是椭圆,并利用.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=时,这两个交点重合,求出a及b.(II)利用C1,C2的普通方程,当α=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=﹣时,l与C1,C2的交点为A2,B2,利用面积公式求出面积.【解答】解:(Ⅰ)C1是圆,C2是椭圆.当α=0时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3当时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1)(0,b),因为这两点重合所以b=1.(Ⅱ)C1,C2的普通方程为x2+y2=1和.当时,射线l与C1交点A1的横坐标为,与C2交点B1的横坐标为.当时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为.19.(2016•离石区二模)在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为(t为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ.(Ⅰ)求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标;(Ⅱ)设直线C1和圆C2的交点为A,B,求弦AB的长.【分析】(Ⅰ)把参数方程化为直角坐标方程,求出圆心的直角坐标,再把它化为极坐标.(Ⅱ)由(Ⅰ)求得(﹣1,)到直线x﹣y+1=0 的距离d,再利用弦长公式求得弦长.【解答】解:(Ⅰ)由C1的参数方程消去参数t得普通方程为x﹣y+1=0,圆C2的直角坐标方程(x+1)2+=4,所以圆心的直角坐标为(﹣1,),所以圆心的一个极坐标为(2,).(Ⅱ)由(Ⅰ)知(﹣1,)到直线x﹣y+1=0 的距离d==,所以AB=2=.20.(2016•焦作一模)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ+)=a,曲线C2的参数方程为,(θ为参数,0≤θ≤π).(Ⅰ)求C1的直角坐标方程;(Ⅱ)当C1与C2有两个公共点时,求实数a的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用极坐标方程的定义即可求得;(Ⅱ)数形结合:作出图象,根据图象即可求出有两交点时a的范围.【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=a,∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0.(Ⅱ)曲线C2的直角坐标方程为(x+1)2+(y+1)2=1(﹣1≤y≤0),为半圆弧,如图所示,曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线,当直线C1过点P时,利用得a=﹣2±,舍去a=﹣2﹣,则a=﹣2+,当直线C1过点A、B两点时,a=﹣1,∴由图可知,当﹣1≤a<﹣2+时,曲线C1与曲线C2有两个公共点.21.(2016•衡水校级一模)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).。
极坐标参数方程15道典型题(有答案)
联立方程解得交点坐标为 ………5分
(2)由(1)知: , 所以直线 : ,
化参数方程为普通方程: ,
对比系数得: , ………10分
2.极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位,以原点 为极点,以 轴正半轴为极轴,曲线 的极坐标方程为 ,曲线 的参数方程为 ,( 是参数, 是常数)
(1)求 的直角坐标方程和 的普通方程;
【解答】解:(I)设P(x,y),则由条件知M( , ).由于M点在C1上,
所以 即
从而C2的参数方程为
(α为参数)
(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.
射线θ= 与C1的交点A的极径为ρ1=4sin ,
射线θ= 与C2的交点B的极径为ρ2=8sin .
所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= .
(Ⅱ)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解:(1)将极坐标方程ρcos =1化为:
ρcosθ+ ρsinθ=1.
则其直角坐标方程为: x+ y=1,M(2,0),N(0, ),其极坐标为M(2,0),N .
(2)由(1)知MN的中点P .
直线OP的直角坐标方程为y= x,化为极方程为:ρsinθ= ·ρcosθ.
(Ⅱ)设P(2cosθ, sinθ),则|AP|= =2-cosθ,
P到直线l的距离d= = .
由|AP|=d得3sinθ-4cosθ=5,又sin2θ+cos2θ=1,得sinθ= , cosθ=- .
故P(- , ).…10分
4..在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|·|OM|=4,记点P的轨迹为C2.
数学选修4-4 极坐标与参数方程练习题及答案
一、选择题 1.把方程1xy=化为以t 参数的参数方程是( )A .1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B .sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C .cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D .tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩2.曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是( )A .21(0,)(,0)52、 B .11(0,)(,0)52、 C .(0,4)(8,0)-、 D .5(0,)(8,0)9、 3.直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为( )A .125 BCD4.若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上,则PF等于( )A .2B .3C .4D .5二、填空题 5.直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。
6.曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ=⋅,则曲线的直角坐标方程为________________。
7.极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
8.在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin θ=3,则点(2,6π)到直线l 的距离为 .9.曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩为参数,t 0,则它的普通方程为__________________。
10.直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________。
11.点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为___________。
12.设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。
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1.极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.(Ⅰ)求C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求弦长||AB .2.已知直线l 经过点1(,1)2P ,倾斜角α=6π,圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程,并把圆C 的方程化为直角坐标方程; (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ,求点P 到A 、B 两点的距离之积. 3.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==,圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=.(I )求圆心C 的直角坐标;(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值. 4.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合,且两坐标系有相同的长度单位,圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩(α为参数),点Q的极坐标为7)4π。
(1)化圆C 的参数方程为极坐标方程;(2)直线l 过点Q 且与圆C 交于M ,N 两点,求当弦MN 的长度为最小时,直线l 的直角坐标方程。
5.在极坐标系中,点M 坐标是)2,3(π,曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=;以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是1-的直线l 经过点M .(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ,并求||||MB MA ⋅的值.6.(本小题满分10分) 选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ,(α为参数) M 是曲线1C 上的动点,点P 满足OM OP 2=,(1)求点P 的轨迹方程2C ;(2)在以D 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与曲线1C ,2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7.在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭,M ,N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点. (1)写出曲线C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标;(2)求直线OM 的极坐标方程.8.在直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为:2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C 2是极坐标方程为:cos ρθ=, (1)求曲线C 2的直角坐标方程;(2)若P ,Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点,求PQ 的最小值.9.已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数),点A的极坐标为24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,设直线l 与圆C 交于点P 、Q .(1)写出圆C 的直角坐标方程;(2)求AP AQ ⋅的值.10.已知动点P ,Q 都在曲线C :2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩(β为参数)上,对应参数分别为t α=与2t α=(0<α<2π),M 为PQ 的中点。
(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点。
11.已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C 上的点按坐标变换1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '.(1)求曲线C '的普通方程;(2)若点A 在曲线C '上,点B (3,0),当点A 在曲线C '上运动时,求AB 中点P 的轨迹方程.12.已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=,直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253(t 为参数).(I )将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与x 轴的交点是,M N 为曲线C 上一动点,求MN 的最大值.13.已知曲线C:ρsin(θ+)=,曲线P:ρ2-4ρcos θ+3=0,(1)求曲线C,P 的直角坐标方程.(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A,B,求|AB|.14.极坐标与参数方程: 已知点P 是曲线2cos ,:(3,x C y θθπθπθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩为参数,2)上一点,O 为原点.若直线OP 的倾斜角为3π,求点P 的直角坐标. 15.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=2cos 3sin 32θαy x ,(其中α为参数,R ∈α),在极坐标系(以坐标原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,曲线2C的极坐标方程为cos()4a πρθ-=.(1)把曲线1C 和2C 的方程化为直角坐标方程;(2)若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为32,求曲线2C 的直角坐标方程. 16.已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为33cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数),以Ox 为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos()06πρθ+=.⑴写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程;⑵求圆C 截直线l 所得的弦长. 17.圆O 1和O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-,. (1)把圆O 1和O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过圆O 1和O 2交点的直线的直角坐标方程.18.已知曲线C 1的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 19.极坐标系的极点是直角坐标系的原点,极轴为x 轴正半轴。
已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 2=,曲线2C 的参数方程为)),0[(sin 3cos 2παααα∈⎩⎨⎧+=+=为字母常数且为参数,其中t t y t x 求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程; 当曲线1C 和曲线2C 没有公共点时,求α的取值范围。
20.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为:=2cos()3πρθ-,曲线C 2的参数方程为:4cos cos 3(0)2sin sin 3x t t y t πααπα⎧=+⎪⎪>⎨⎪=+⎪⎩为参数,,点N 的极坐标为(4)3π,.(Ⅰ)若M 是曲线C 1上的动点,求M 到定点N 的距离的最小值;(Ⅱ)若曲线C 1与曲线C 2有有两个不同交点,求正数t 的取值范围.21.以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐极系,并在两种坐极系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为4πθ=(R ∈ρ),它与曲线⎩⎨⎧+=+=ααsin 22,cos 21y x (α为参数)相交于两点A 和B,求AB 的长. 22.选修4-4:极坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x ,(α为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ.(1)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程;(2)设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到2C 上点的距离的最小值. 23.已知曲线1C 的极坐标方程为82cos 2=θρ,曲线2C 的极坐标方程为6π=θ,曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点. (R ρ∈)(Ⅰ)求A 、B 两点的极坐标; (Ⅱ)曲线1C 与直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231(t 为参数)分别相交于N M ,两点,求线段MN 的长度.24.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为:2,4x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩直线l 与曲线C 分别交于,M N(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值. 25.设直线l 过点P (-3,3),且倾斜角为56π.(1)写出直线l 的参数方程;(2)设此直线与曲线C :24x cos y sin θθ⎧⎨⎩=,= (θ为参数)交于A ,B 两点,求|PA |·|PB |.26.平面直角坐标系中,直线l的参数方程是x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=.(Ⅰ)求直线l 的极坐标方程;(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求||AB .27. 已知直线l的参数方程为12(1x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数), 曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭,直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P . (1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)求11PA PB+的值. 28.已知曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=,曲线2C 的参数方程为4,5325x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t为参数).(1)判断1C 与2C 的位置关系;(2)设M 为1C 上的动点,N 为2C 上的动点,求MN 的最小值.29.已知曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩(t 为参数),当0t =时,曲线1C 上对应的点为P ,以原点O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为ρ=(1)求证:曲线1C 的极坐标方程为3cos 4sin 40ρθρθ--=;(2)设曲线1C 与曲线2C 的公共点为,A B ,求PA PB •的值.30.已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为5212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程;(2)设曲线C 与直线l 相交于P Q 、两点,以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形,求该矩形的面积.31.已知直线l 过点(0,4)P -,且倾斜角为4π,圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. (1)求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和圆C 相交于A 、B ,求||||PA PB ⋅及弦长||AB 的值.32.在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的方程为ρθ=. (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程;(Ⅱ)若点P 的直角坐标为(1,0),圆C 与直线l 交于,A B 两点,求||||PA PB +的值. 33.以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知:直线l 的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数), 曲线C 的极坐标方程为(1+sin 2θ)ρ2=2.(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求2211APBP+34.在直角坐标系xoy 中,以原点o 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+,直线l 的极坐标方程为ρ=.(Ⅰ)写出曲线1C 与直线l 的直角坐标方程;(Ⅱ)设Q 为曲线1C 上一动点,求Q 点到直线l 距离的最小值.35.在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为:2cos (sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数,其中0)2πα<<,椭圆M 的参数方程为2cos (sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数),圆C 的标准方程为()2211x y -+=.(1)写出椭圆M 的普通方程;(2)若直线l 为圆C 的切线,且交椭圆M 于,A B 两点,求弦AB 的长.36.已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数).(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系,并说明理由;(2)若直线l 和曲线C 相交于,A B两点,且AB =l 的斜率.37.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为为参数)t t y t x (,2,22⎩⎨⎧+-=+=,在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C 的方程为θρ2sin 312+=.(1)求曲线1C 、2C 的直角坐标方程;(2)(2)若A 、B 分别为曲线1C 、2C 上的任意点,求AB 的最小值.38.已知在直角坐标系x y O 中,曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系x y O 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(Ⅰ)求曲线C 在极坐标系中的方程;(Ⅱ)求直线l 被曲线C 截得的弦长.39.已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα是参数).(1)写出曲线C 的参数方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14=AB ,求直线l 的倾斜角α的值. 40.在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴为正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x C :(α为参数); 直线4)sin (cos =+θθρ:l . (Ⅰ)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.41.在直角坐标系xoy 中,直线l的参数方程为12 (1x t t y ⎧⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数),曲线C 的参数方程为2cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数).(Ⅰ)将曲线C 的参数方程转化为普通方程;(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,试求线段AB 的长.42.在平面直角坐标系中,以为极点,轴非负半轴为极轴建立坐标系,已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为: (为参数),两曲线相交于两点. 求:(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若求的值.xoy O x C 2sin 4cos ρθθ=l 2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩t ,M N C l (2,4)P --PM PN +43在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系 的点为极点,为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线的极坐标方程为.直线与曲线交于两点,求线段AB 的长.xoyl 12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t xOy O Ox C 2cos()4πρθ=-l C ,A B精品文档参考答案1.(Ⅰ) 28y x =;(Ⅱ)32||3AB =. 【解析】试题分析:本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程;第二问,先将直线方程代入曲线中,整理,利用两根之和、两根之积求弦长.试题解析:(Ⅰ)由2sin 8cos ρθθ=,得22sin 8cos ρθρθ=,即曲线C 的直角坐标方程为28y x =.5分(Ⅱ)将直线l 的方程代入28y x =,并整理得,2316640t t --=,12163t t +=,12643t t =-.所以1232||||3AB t t =-==. 10分考点:1.极坐标方程与普通方程的互化;2.韦达定理. 2.(1)22111()()222x y -+-=;(2)14.【解析】试题分析:(1)由参数方程的概念可以写成l 的参数方程为1cos 261sin6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,化简为12112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数);在)4πρθ=-两边同时乘以ρ,且ρ2=x 2+y 2,ρcosθ=x ,ρsinθ=y ,∴22111()()222x y -+-=.(2)在l取一点,用参数形式表示12112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,再代入22111()()222x y -+-=,得到t 2+12t -14=0,|PA|·|PB|=|t 1t 2|=14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14. 试题解析:(1)直线l 的参数方程为1cos 261sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即122112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)由)4πρθ=-,得ρ=cosθ+sinθ,所以ρ2=ρcosθ+ρsinθ,∵ρ2=x 2+y 2,ρcosθ=x ,ρsinθ=y ,∴22111()()222x y -+-=. (2)把122112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22111()()222x y -+-=. 得t 2+12t -14=0,|PA|·|PB|=|t 1t 2|=14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14. 考点:1.参数方程的应用;2.极坐标方程与直角坐标方程的转化.3.(I)22-;(Ⅱ)【解析】(I)把圆C 的极坐标方程利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==化成普通方程,再求其圆心坐标.(II )设直线上的点的坐标为+,然后根据切线长公式转化为关于t 的函数来研究其最值即可.解:(I )θθρsin 2cos 2-= ,θρθρρsin 2cos 22-=∴, ………(2分)02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆, …………(3分)即1)22()22(22=++-y x ,)22,22(-∴圆心直角坐标为.…………(5分) (II ):直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t , …………(8分) ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………(10分)∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………(10分)4.(1)22cos 2sin 20ρρθρθ-+-=(2)40x y --= 【解析】试题分析:(1) 先化参数方程为普通方程,然后利用平面直角坐标与极坐标互化公式:222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可;(2)先把Q 点坐标化为平面直角坐标,根据圆的相关知识明确:当直线l ⊥CQ 时,MN 的长度最小,然后利用斜率公式求出MN 斜率. 试题解析:(1)圆C 的直角坐标方程为2222(1)(1)42220x y x y x y -++=⇒+-+-=,2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+=== 4分∴圆C 的极坐标方程为22cos 2sin 20ρρθρθ-+-= 5分(2)因为点Q 的极坐标为7)4π,所以点Q 的直角坐标为(2,-2)7分 则点Q 在圆C 内,所以当直线l ⊥CQ 时,MN 的长度最小 又圆心C (1,-1),∴2(1)121CQ k ---==--,直线l 的斜率1k = 9分 ∴直线l 的方程为22y x +=-,即40x y --= 10分考点:(1)参数方程与普通方程;(2)平面直角坐标与极坐标;(3)圆的性质. 5.解:(1)∵点M 的直角坐标是)3,0(,直线l 倾斜角是 135, …………(1分)∴直线l 参数方程是⎩⎨⎧+==135sin 3135cos t y t x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22322, ………(3分) )4sin(22πθρ+=即2(sin cos )ρθθ=+,两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+,曲线C 的直角坐标方程曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ;………………(5分)(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22322代入02222=--+y x y x ,得03232=++t t∵06>=∆,∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ,………(7分) 设03232=++t t 的两个根是21t t 、,321=t t ,∴||||MB MA ⋅3||21==t t . ………………(10分)【解析】略 6.曲线2C 的极坐标方程为θρsin 8=,它们与射线3πθ=交于A 、B 两点的极径分别是343sin8,323sin421====πρπρ,因此,3221=-=ρρAB点评:本题考查坐标系与参数方程的有关内容,求解时既可以化成直角坐标方程求解,也可以直接求解(关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系) 【解析】略7.(1)点M 的极坐标为(2,0),点N 的极坐标为23π2⎫⎪⎪⎝⎭;(2) 0=θ,ρ∈R .【解析】试题分析:(1)先利用三角函数的差角公式展开曲线C 的极坐标方程的左式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x 2+y 2,进行代换即得.(2)先在直角坐标系中算出点M 的直角坐标为(2,0),再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OM 极坐标方程即可.解:(1)由πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭, 得1231,∴曲线C 的直角坐标方程为1=12x y +,即x -2=0.当θ=0时,ρ=2,∴点M 的极坐标为(2,0);当π=2θ时,=ρN 的极坐标为π32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.(2)由(1)得,点M 的直角坐标为(2,0),点N 的直角坐标为0,3⎛⎝⎭, 直线OM 的极坐标方程为0=θ,ρ∈R .考点:1.极坐标和直角坐标的互化;2.曲线的极坐标方程.8.(1) 221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭;(2) min 12PQ =【解析】试题分析:(1)把222cos ,x y ρθρ==+代入曲线C 2是极坐标方程cos ρθ=中,即可得到曲线C 2的直角坐标方程;(2)由已知可知P (ααsin 2,cos 2),)0,21(2C ,由两点间的距离公式求出2PC 的表达式,再根据二次函数的性质,求出2PC 的最小值,然后可得min PQ =2PC min -12. 试题解析: (1)θρcos = , 2分22x y x +=221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. 4分 (2)设P (ααsin 2,cos 2),)0,21(2C2PC === 6分1cos 2α∴=时,2min PC =, 8分min 12PQ =. 10分 考点:1.极坐标方程和直角坐标方程的互化;2.曲线与曲线间的位置关系以及二次函数的性质.9.(1)()2211x y -+=;(2)12. 【解析】试题分析:(1)在极坐标方程2cos ρθ=的两边同时乘以ρ,然后由222x y ρ=+,cos x ρθ=即可得到圆C 的直角坐标方程;(2)将直线l 的标准参数方程代入圆的直角坐标方程,消去x 、y 得到有关t 的参数方程,然后利用韦达定理求出AP AQ ⋅的值.(1)由2cos ρθ=,得22cos ρρθ=222x y ρ=+,cos x ρθ=,222x y x ∴+=即()2211x y -+=,即圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=;(2)由点A的极坐标4π⎫⎪⎪⎝⎭得点A 直角坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭,将12211y 22x t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()2211x y -+=消去x 、y,整理得2102t --=, 设1t 、2t为方程2102t --=的两个根,则1212t t =-, 所以1212AP AQ t t ⋅==. 考点:1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化;2.韦达定理【答案】(Ⅰ)cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩,(α为参数,02απ<<)(Ⅱ)过坐标原点【解析】(Ⅰ)由题意有,(2cos ,2sin )P αα, (2cos 2,2sin 2)Q αα,因此(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++,M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩,(α为参数,02απ<<).(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离为2)d απ==<<,当απ=时,0d =,故M 的轨迹过坐标原点.本题第(Ⅰ)问,由曲线C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P 的坐标,求出答案; 第(Ⅱ)问,由互化公式可得.对第(Ⅰ)问,极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.11.(1)221x y +=;(2)2231()24x y -+=. 【解析】试题分析:本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识,考查学生的转化能力、分析能力、计算能力.第一问,将曲线C 的坐标直接代入1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩中,得到曲线C '的参数方程,再利用参数方程与普通方程的互化公式,将其转化为普通方程;第二问,设出P 、A 点坐标,利用中点坐标公式,得出00,x y ,由于点A 在曲线C '上,所以将得到的00,x y 代入到曲线C '中,得到,x y 的关系,即为AB 中点P 的轨迹方程.试题解析:(1)将3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ 代入1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ,得C '的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩∴曲线C '的普通方程为221x y +=. 5分(2)设(,)P x y ,00(,)A x y ,又(3,0)B ,且AB 中点为P所以有:00232x x y y=-⎧⎨=⎩又点A 在曲线C '上,∴代入C '的普通方程22001x y +=得22(23)(2)1x y -+=∴动点P 的轨迹方程为2231()24x y -+=. 10分 考点:参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式.12.(1)2220x y y +-=;(21.【解析】试题分析:(1)根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==可以将极坐标方程转化为坐标方程,(2)将直线的参数方程转化成直角坐标方程,再根据平时熟悉的几何知识去做题. 试题解析:(1)θρsin 2=两边同时乘以ρ得22sin ρρθ=,则222x y y +=曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为:2220x y y +-=(2)直线l 的参数方程化为直角坐标方程得:4(2)3y x =-- 令0y =得2x =,即(2,0)M ,又曲线C 为圆,圆C 的圆心坐标为(0,1),半径1r =,则5MC =.51MN MC r ∴≤+=+.考点:1.极坐标与直角坐标的转化,2.参数方程与直角坐标方程的转化. 13.(1) x 2+y 2-4x+3=0 (2)【解析】(1)由ρsin(θ+)=,得ρ[sin θ·(-)+cos θ·]=, ∴ρcos θ-ρsin θ-1=0, ∴x-y-1=0,由ρ2-4ρcos θ+3=0, 得x 2+y 2-4x+3=0.(2)曲线P 表示为(x-2)2+y 2=1表示圆心在(2,0),半径r=1的圆, 由于圆心到直线C 的距离为d==, ∴|AB|=2=.14.2515(,55--【解析】试题分析:利用22cos sin 1θθ+=消去参数,得曲线C 的直角坐标方程为221,(0)43x y y +=≤,注意参数对范围的限制. 直线OP方程为y =,联立方程解得,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去),或,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点P的直角坐标为(55-- 解:由题意得,曲线C 的直角坐标方程为221,(0)43x y y +=≤, (2分)直线OP方程为y =,---------------(4分)联立方程解得,,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去),或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点P的直角坐标为( (10分)考点:参数方程15.(1)曲线1C 的直角坐标方程为:9)2()2(22=++-y x ;曲线2C 的直角坐标方程为a y x 2=+;(2)曲线2C 的直角坐标方程为223±=+y x . 【解析】试题分析:(1)对于曲线1C ,把已知参数方程第一式和第二式移向,使等号右边分别仅含αsin 3、αcos 3,平方作和后可得曲线1C 的直角坐标方程;对于曲线2C ,把⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入极坐标方程cos()4a πρθ-=的展开式中即可得到曲线2C 的直角坐标方程.(2)由于圆1C 的半径为3,所以所求曲线2C 与直线0=+y x 平行,且与直线0=+y x 相距23时符合题意.利用两平行直线的距离等于23,即可求出a ,进而得到曲线2C 的直角坐标方程.试题解析:(1)曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=2cos 3sin 32θαy x ,即⎩⎨⎧+=-=2cos 32sin 3y xθα,将两式子平方化简得,曲线1C 的直角坐标方程为:9)2()2(22=++-y x ;曲线2C 的极坐标方程为a =+=-θρθρπθρsin 22cos 22)4cos(,即a y x =+2222, 所以曲线2C 的直角坐标方程为a y x 2=+.(2)由于圆1C 的半径为3,故所求曲线2C 与直线0=+y x 平行,且与直线0=+y x 相距23时符合题意.由2322=a ,解得23±=a .故曲线2C 的直角坐标方程为223±=+y x . 考点:圆的参数方程;直线与圆的位置关系;简单曲线的极坐标方程.16.(1)03=-y x和22((1)9x y +-=;(2)【解析】试题分析:(1)圆的参数方程化为普通方程,消去参数即可,直线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用两者坐标之间的关系互化,此类问题一般较为容易;(2)求直线被圆截得的弦长,一般不求两交点的坐标而是利用特征三角形解决.试题解析:解:⑴消去参数θ,得圆C的普通方程为:22((1)9x y -+-= ;由cos()06πρθ+=,得0sin 21cos 23=-θρθρ, ∴直线l 的直角坐标方程为03=-y x . 5分⑵圆心到直线l 的距离为()11313322=+-⨯=d ,设圆C 截直线l 所得弦长为m ,则2219222=-=-=d r m, 24=∴m . 10分考点:极坐标方程和参数方程.17.(1)2240x y x +-=为圆1O 的直角坐标方程,2240x y y ++=为圆2O 的直角坐标方程. (2)y x =-【解析】(I)根据cos x ρθ=,sin y ρθ=把极坐标方程化成普通方程. (II )两圆方程作差,就可得到公共弦所在直线的方程.解:以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(Ⅰ)cos x ρθ=,sin y ρθ=,由4cos ρθ=得24cos ρρθ=.所以224x y x +=.即2240x y x +-=为圆1O 的直角坐标方程. 同理2240x y y ++=为圆2O 的直角坐标方程.(Ⅱ)由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩,解得1100x y =⎧⎨=⎩,,2222x y =⎧⎨=-⎩. 即圆1O ,圆2O 交于点(00),和(22)-,.过交点的直线的直角坐标方程为y x =-.18.(1)(2)(,),(2,)【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 ,即C 1:.将代入得.所以C 1的极坐标方程为.(2)C 2的普通方程为 .由解得或所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(, ),(2, )19.(1)曲线1C :0222=-+x y x,曲线0tan 23)(tan :2=-+-ααy x C ;),2()6,0[),0[33tan 11tan |3tan |0tan 23)(tan :)2(22πππαπαααααα⋃∈∴∈<∴=>++-=∴=-+- r d y x C【解析】本试题主要是考查了极坐标与参数方程的综合运用。