气象统计预报-研修班-小波分析
统计学中的运动统计方法
统计学中的运动统计方法统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，运动统计方法是一种重要的分析手段，用于描述和推断随时间变化的变量。
一、运动统计方法简介运动统计方法是一种基于时间序列的统计技术，用于研究变量在时间上的演变和趋势。
它可以揭示变量的周期性、趋势性以及其他统计特征，为我们提供有关数据的有价值的信息。
运动统计方法主要包括趋势分析和周期分析两种技术。
二、趋势分析趋势分析是通过分析时间序列数据的变化趋势来预测未来趋势的一种方法。
常用的技术包括移动平均法、指数平滑法和回归分析法等。
1. 移动平均法移动平均法是一种用于平滑时间序列数据的方法。
它将数据按照一定的时间窗口长度进行滑动计算，得出每个时间点上的平均值，从而减少噪音的影响，更好地反映数据的趋势。
2. 指数平滑法指数平滑法是一种基于加权平均的方法。
它根据数据的权重和波动特征，对过去的数据进行赋权，得出未来数据的预测值。
指数平滑法适用于对趋势进行预测和分析。
3. 回归分析法回归分析法是一种通过建立变量之间的数学关系，来推断未来趋势的方法。
它可以通过拟合回归模型，得出各个变量之间的关系，从而预测未来发展趋势。
三、周期分析周期分析是一种用于研究时间序列数据中重复出现的周期性模式的方法。
常用的周期分析技术包括傅里叶分析和小波分析。
1. 傅里叶分析傅里叶分析将时间序列数据分解为不同频率的正弦和余弦波动成分。
通过对这些波动成分的分析，可以揭示出数据中存在的周期性模式。
傅里叶分析在经济学、地震学等领域有着广泛的应用。
2. 小波分析小波分析是一种时间-频率分析方法，可以同时提供时间和频率信息。
它通过将时间序列数据转换为不同尺度的小波函数，在时-频域上进行分析，发现数据中的局部变化和周期性模式。
四、运动统计方法的应用领域运动统计方法在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、气象学、金融学、医学等。
它可以帮助我们检测和预测一些重要指标的变化趋势，指导决策和规划。
小波变换在气候变化预测与分析中的模型构建与性能评估
小波变换在气候变化预测与分析中的模型构建与性能评估气候变化是当前全球面临的重大挑战之一，对人类社会和自然环境产生了深远的影响。
为了更好地理解和预测气候变化，科学家们采用了各种方法和技术。
其中，小波变换作为一种有效的信号处理工具，被广泛应用于气候变化的模型构建与性能评估。
小波变换是一种将信号分解成不同频率的组成部分的数学工具。
它可以将信号分解成不同尺度的波形，从而提供了对信号的多尺度分析能力。
在气候变化的研究中，小波变换可以用来分析和提取不同时间尺度上的气候信号，从而揭示气候变化的规律和趋势。
首先，我们可以利用小波变换构建气候变化的模型。
通过对气候数据进行小波分解，我们可以得到不同尺度上的气候信号。
这些信号可以反映出不同时间尺度上的气候变化特征，如年际变化、季节变化等。
通过对这些信号进行分析和建模，我们可以建立起描述气候变化的数学模型，从而更好地理解和预测气候变化。
其次，小波变换还可以用于气候变化的性能评估。
在气候变化的研究中，我们经常需要评估不同模型的预测能力和准确性。
小波变换可以提供一种有效的评估方法。
通过对观测数据和模型预测结果进行小波分解，我们可以比较它们在不同尺度上的差异。
如果模型预测结果能够较好地反映观测数据的尺度特征，那么我们可以认为该模型具有较好的性能。
此外，小波变换还可以帮助我们发现气候变化中的非线性特征。
在传统的线性分析方法中，我们常常假设气候变化是线性的，但实际上气候系统是高度非线性的。
小波变换可以通过对信号的非线性分解，揭示出气候变化中的非线性特征。
这对于我们更好地理解和预测气候变化具有重要意义。
总之，小波变换在气候变化预测与分析中具有重要的作用。
它可以帮助我们构建气候变化的模型，揭示气候变化的规律和趋势。
同时，它还可以用于评估不同模型的性能，发现气候变化中的非线性特征。
未来，我们可以进一步深入研究小波变换在气候变化中的应用，不断提高气候预测和分析的准确性和可靠性。
这将有助于我们更好地应对气候变化带来的挑战，保护地球的生态环境。
近45a蚌埠市气温变化特征分析
近45a蚌埠市气温变化特征分析张弦;靳莉莉;高凯【摘要】In term of the temperature data during 1967-2011 in the four ground meteorological observa⁃tion stations in Bengbu,through the methods of the linear trend rate,movingaverage,Mann-Kendallnonpara⁃metric test,departureaccumulation,etc,main characteristics of temperature variation in Bengbu in recent 45 years wereanalyzed. The results show that:theannualaverage temperature in Bengbu keeps risingata speed of⁃about 0.4 degrees Celsius per decade,and it mutated inabout 1993. Warming trends in the three seasons of spring,autumnand winter are obvious,andall reach extremely significant level.Autumn warming change is the most notable,winter warming range is the biggest.Changes of summer warmingand extreme maximum temperatureare not obvious,and both have 6a - 8a cyclical changes. High temperature days trend is notob⁃viousand mainly shows up 14a cyclical changes.The warming trends of theaverage minimum temperature,ex⁃treme minimum temperatureand temperatureat 2:00am are obvious.The number of days is less than or equal to 0℃ decreasing trend wasalso significantly reduced.Winter,low temperatureand night make the big⁃gest contribution to the process of climate warming in Bengbu.%利用蚌埠市4个地面气象观测站1967-2011年的气温观测资料，运用线性倾向率、滑动平均、Mann-Kendall非参数检验、累积距平、小波分析等方法对蚌埠市近45a来气温变化特征进行分析。
小波分析简述
第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
Morlet小波分析方法介绍
小波分析的要点：1.目的小波分析是一个强有力的统计工具，最早使用在信号处理与分析领域中，通过对声音、图像、地震等信号进行降噪、重建、提取，从而确定不同信号的震动周期出现在哪个时间或频域上。
现在广泛的应用于很多领域。
在地学中，各种气象因子、水文过程、以及生态系统与大气之间的物质交换过程都可以看作是随时间有周期性变化的信号，因此小波分析方法同样适用于地学领域，从而对各种地学过程复杂的时间格局进行分析。
如，温度的日变化周期、年变化周期出现在哪些事件段上，在近100年中，厄尔尼诺-拉尼娜现象的变化周期及其出现的时间段，等等。
2.方法小波变换具有多分辨率分析的特点，并且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。
小波变换通过将时间系列分解到时间频率域内，从而得出时间系列的显著的波动模式，即周期变化动态，以及周期变化动态的时间格局（Torrence and Compo, 1998）。
小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的、长度有限，平均值为零的波形。
它有两个特点：一是“小”，二是具有正负交替的“波动性”，即直流分量为零。
小波分析是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，能自动适应时频信号分析的要求，可聚焦到信号的任意细节。
小波分析将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波（mother wavelet）函数经过平移与尺度伸缩得来的。
用这种不规则的小波函数可以逼近那些非稳态信号中尖锐变化的部分，也可以去逼近离散不连续具有局部特性的信号，从而更为真实的反映原信号在某一时间尺度上的变化。
小波分析这种局部分析的特性使其成为对非稳态、不连续时间序列进行量化的一个有效工具（Stoy et al., 2005）。
小波是一个具有零均值且可以在频率域与时间域内进行局部化的数学函数（Grinsted et al., 2004）。
一个小波被称为母小波（mother wavelet），母小波可沿着时间指数经过平移与尺度伸缩得到一系列子小波。
基于时间序列数据的周期性分析方法
基于时间序列数据的周期性分析方法时间序列是指按一定的时间间隔进行采样得到的数据序列，如经济指标、气象数据等。
在时间序列中，往往存在一定的周期性特征，即一定时间区间内的数据会呈现出重复出现的规律性。
如何对时间序列数据进行周期性分析，是很多领域研究的重要问题之一。
本文将介绍几种常用的周期性分析方法，并探讨其应用。
一、傅里叶分析方法傅里叶分析方法是最基础的周期性分析方法之一。
它将一个时间序列信号分解为若干个基频信号的叠加，从而得到时间序列的频域特征。
在周期性分析中，可以通过傅里叶变换将周期性分析问题转化为频域分析问题，进而通过频域特征来研究时间序列的周期性。
傅里叶分析方法的基本思想是，任何一个连续信号都可以视为一系列基频信号的叠加，这些基频信号通过不同的振幅、相位和频率来描述。
通过分析信号在频域上的分量，可以了解信号中不同频率分量的权重，进而推断出信号的周期性特征。
傅里叶分析方法在周期性分析中的应用非常广泛。
例如，在经济学领域，可以利用傅里叶分析方法对季度或年度的经济数据进行周期性分析，以揭示经济周期的规律性。
二、小波分析方法小波分析方法是一种基于小波变换的周期性分析方法。
小波变换是傅里叶变换的一种推广，它通过将信号分解为多个尺度和位置的小波函数来分析信号的时频特性，从而揭示信号的周期性变化规律。
小波分析方法具有多分辨率分析的特点，可以同时对信号的频域和时域特征进行分析。
在周期性分析中，可以通过对信号的小波变换结果进行分析，从而获得信号的周期性特征。
小波分析方法在周期性分析中的应用较为广泛。
例如，在气象学中，可以利用小波分析方法对气象数据进行周期性分析，以研究天气变化的周期性规律。
三、自回归移动平均模型（ARMA模型）自回归移动平均模型（ARMA模型）是一种常用的时间序列模型，可以用来描述时间序列数据的周期性特征。
ARMA模型通过对时间序列数据的自相关和移动平均序列进行建模，从而得到时间序列的周期性分析结果。
小波变换在气象数据分析中的研究现状与展望
小波变换在气象数据分析中的研究现状与展望引言：气象数据分析是气象学研究的重要组成部分，通过对气象数据的分析可以揭示天气和气候变化的规律，为气象预测和气候研究提供科学依据。
而小波变换作为一种信号处理方法，近年来在气象数据分析中得到了广泛应用。
本文将介绍小波变换在气象数据分析中的研究现状，并展望其未来的发展方向。
一、小波变换在气象数据分析中的应用1.1 气象信号分析小波变换可以将时域信号转换为时频域信号，通过对气象信号的小波变换，可以得到信号的频谱特征，进而分析气象现象的周期性和变化规律。
例如，通过对气象温度数据进行小波变换，可以发现气温的季节性变化和长期趋势，为气候变化研究提供重要数据支持。
1.2 气象数据去噪气象数据中常常存在各种噪声，如测量误差、仪器故障等，这些噪声会影响数据的准确性和可靠性。
小波变换可以将信号分解为不同频率的子信号，通过去除高频噪声，可以提高气象数据的质量。
例如，对气象降水数据进行小波去噪，可以消除数据中的随机噪声，提取出降水的真实变化趋势。
1.3 气象预测模型构建小波变换可以提取信号的局部特征，对于气象预测模型的构建具有重要意义。
通过对气象数据进行小波分析，可以提取出不同时间尺度上的气象变化特征，并结合其他气象要素进行模型构建，提高气象预测的准确性。
例如，利用小波变换对气象风速数据进行分析，可以提取出不同频率上的风速变化特征，为风速预测模型的建立提供依据。
二、小波变换在气象数据分析中的研究现状目前，小波变换在气象数据分析中已经取得了一定的研究成果。
研究者们通过对气象数据进行小波分析，揭示了气象现象的多尺度特征和时空变化规律。
同时，还提出了一系列基于小波变换的气象数据处理方法，如小波去噪、小波滤波和小波分解等。
这些方法在气象数据分析中得到了广泛应用，并取得了一定的效果。
然而，目前小波变换在气象数据分析中还存在一些问题和挑战。
首先，小波变换的计算复杂度较高，需要消耗大量的计算资源。
基于小波分析的廊坊市2015-2018年PM_(2.5)质量浓度研究
1.2 小波分析
1.2.1 小波函数 用小波函数表示或 逼近某一信号或函数是小波分析的 基 本 原 理。小 波 分 析 过 程 的 关 键 主 要
通 过 小 波 函 数 实 现。小 波 函 数 是 指 一 类 函 数，具 有 震 荡 性 且 能 够 迅 速 衰 减 到 0 的特征 [17]。数学上，定义小波函数
出在时间序列上的小波变化特征。若 a
固定，小波变换随时间的变化过程可以
发现系统在 a 尺度下的变换特征：小波
变换系数绝对值越大，表明该时间尺度
变化越显著。因此，频域 - 时域特性表
现为：频域参数变小，代表对频域的分
辨率低，引起对时域的分辨率变高；频
域参数变大，代表对频域的分辨率高，
从而能引起对时域的分辨率变低，小波
a
−1 2
∆t
N k =1
f
( ∆t
)
Ψ
k∆t − a
b
（4）
公式（4）中，小波变换系数 W（f a， b）可以反映时域参数 b 与频域参数 a 的 特性。
W（f a，b）受参数 a 和 b 的影响二变 化。若以 b 为横坐标，a 为纵坐标，绘制 W（f a，b）的二维等值线图，可得到小波
变化系数图。小波变换系数图可以表现
基金项目 廊坊市科学技术局：“基于小波分析的廊坊空气质量评研”（2019013084）。 作者简介 高清泉（1990–），男，山东潍坊人，助理工程师，研究生，研究方向：大气探测与
环境气象。* 通信作者：高清源（1986–），男，辽宁鞍山人，工程师，硕士，研究 方向：环境气象与天气预报。 收稿日期 2020–11–18
污染监控与防治提供参考。
表 1 空气 PM2.5 污染等级划分
第6章 气象上常用小波及其应用
第6章 气象上常用小波及其应用实例(1)前面五章讲述了小波分析方法的由来和原理，这些基本知识为气象上实际应用奠定了基础。
本章将介绍气象上常用的几种小波，特别是Haar 小波和墨西哥帽（Mexihat ）小波，以及小波分析的应用实例。
6.1 二进小波二进小波的产生基于第4章的“二分法”。
它的基本思路是把连续型函数)(t f 及其连续小波变换),(b a W f 离散化，以便于实际应用。
作为一种方便和常用的形式，是对小波参数中的放（伸）缩因子a 进行二进制离散。
若小波函数系的表达式{}Zm,n n t am∈-- ),(ψ（••） 中的放缩因子)(2Z j a j ∈=，则称)(t ψ为二进小波。
把经过这种离散化后的二进小波的变换，称为二进小波变换。
强调说明：在应用时所用的小波函数系（式（••））与前面第4章第3节的式（•）有所不同。
比照这两式：),()(),2(2)(,2/,b at a t k t t b a jj kj -=-=ψψψψ或（•）),()(,n t at mn m -=-ψψ（••） 可以看出，二者主要的不同点是t 的系数a 指数正负号恰好相反。
所以，用式（•）的小波作变换时，随着a （或者j ）的增大，W 曲线变窄；而用式（••）的小波作变换时，随着a （或者j ）的增大，W 曲线变宽。
定义6.1 函数)()(2R L t ∈ψ被称为二进小波，若存在两个常数∞<≤<B A 0，使得：∑∈-≤≤Zj j B A .)2(ˆ2ωψ（6.1）上述条件式（6.1）称为稳定性条件；若A =B ，则称最稳定条件。
而函数序列{}Zj j f W ∈2称为二进小波变换，其中，,d 2)(21)()(22b b t t f t f t f W Rjjjj ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=*=ψψ（6.2）这里j a 2=是放缩因子，b 是平移因子。
由卷积定理知：)2(ˆ)(ˆ)(ˆ2ωψωωj f f W j ⋅= （6.3） 据此，稳定性条件等价于：对任意)()(2R L t f ∈，有：∑∈≤≤Zj fB fW fA j 2020220（6.4）下面定理说明，二进小波一定是允许小波。
小波分析及其应用
现代数字信号处理作业小波分析及其应用电研111梁帅小波分析及其应用1.小波分析的概念和特点1.1小波理论的发展概况20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。
小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。
它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。
而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。
它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。
另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。
小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。
在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。
在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。
然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。
首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。
小波变换在气象数据处理中的应用指南
小波变换在气象数据处理中的应用指南气象数据处理一直是气象学研究的重要组成部分。
随着科技的不断发展，数据量的急剧增加以及数据的复杂性，传统的数据处理方法已经无法满足需求。
而小波变换作为一种新兴的信号处理技术，被广泛应用于气象数据处理中。
本文将介绍小波变换在气象数据处理中的应用指南，包括小波变换的基本原理、常见的小波函数以及在气象数据处理中的具体应用。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种时频分析方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，并且可以同时获取时间和频率信息。
小波变换的基本原理是将信号与一组小波函数进行卷积，得到小波系数。
不同的小波函数具有不同的频率和时间分辨率，因此可以用来分析不同频率范围内的信号特征。
二、常见的小波函数在小波变换中，选择合适的小波函数对信号进行分析至关重要。
常见的小波函数包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet小波等。
这些小波函数在频域和时域上具有不同的特性，可以根据需要选择合适的小波函数进行信号分析。
三、小波变换在气象数据处理中的应用1. 气象信号去噪气象数据中常常包含各种噪声，如仪器误差、环境干扰等。
小波变换可以通过分析信号的时频特性，将噪声和信号分离开来，从而实现信号的去噪。
通过选择合适的小波函数和阈值处理方法，可以有效地去除噪声，提高数据质量。
2. 气象信号特征提取气象数据中包含了丰富的信息，如温度、湿度、风速等。
小波变换可以将信号分解成不同频率的子信号，从而提取出信号的频率特征。
通过分析不同频率范围内的子信号，可以获取到气象信号的周期性、趋势性等特征，为气象学研究提供重要依据。
3. 气象数据压缩随着气象观测技术的不断发展，气象数据量呈指数级增长。
如何有效地存储和传输大量的气象数据成为一个挑战。
小波变换可以将信号分解成不同频率的子信号，其中高频子信号通常包含较少的信息量。
通过舍弃高频子信号，可以实现对气象数据的压缩，从而减少存储和传输的成本。
4. 气象数据分析与预测小波变换可以将信号分解成不同频率的子信号，这些子信号可以用来分析信号的周期性、趋势性等特征。
Morlet小波分析方法介绍
小波分析的要点：1.目的小波分析是一个强有力的统计工具，最早使用在信号处理与分析领域中，通过对声音、图像、地震等信号进行降噪、重建、提取，从而确定不同信号的震动周期出现在哪个时间或频域上。
现在广泛的应用于很多领域。
在地学中，各种气象因子、水文过程、以及生态系统与大气之间的物质交换过程都可以看作是随时间有周期性变化的信号，因此小波分析方法同样适用于地学领域，从而对各种地学过程复杂的时间格局进行分析。
如，温度的日变化周期、年变化周期出现在哪些事件段上，在近100年中，厄尔尼诺-拉尼娜现象的变化周期及其出现的时间段，等等。
2.方法小波变换具有多分辨率分析的特点，并且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。
小波变换通过将时间系列分解到时间频率域内，从而得出时间系列的显著的波动模式，即周期变化动态，以及周期变化动态的时间格局（Torren ce and Compo, 1998）。
小波（Wavele t），即小区域的波，是一种特殊的、长度有限，平均值为零的波形。
它有两个特点：一是“小”，二是具有正负交替的“波动性”，即直流分量为零。
小波分析是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，能自动适应时频信号分析的要求，可聚焦到信号的任意细节。
小波分析将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波（mother wavele t）函数经过平移与尺度伸缩得来的。
用这种不规则的小波函数可以逼近那些非稳态信号中尖锐变化的部分，也可以去逼近离散不连续具有局部特性的信号，从而更为真实的反映原信号在某一时间尺度上的变化。
小波分析这种局部分析的特性使其成为对非稳态、不连续时间序列进行量化的一个有效工具（Stoy et al., 2005）。
天津地区降水和气温的变化趋势及多尺度交叉小波分析
天津地区降水和气温的变化趋势及多尺度交叉小波分析张兵;王中良【摘要】由于降水量和气温的变化对水循环研究与水资源规划和利用具有重要意义,运用线性倾向估计、Mann-Kendall检验和交叉小波的方法分析了1954年-2013年天津地区主要气象站点的年降水量和年均气温.结果表明:天津站点的降水倾向率为-16.92～-14.11 mm/(10a),年平均气温的线性倾向率为0.181～0.309℃/(10 a);天津地区气温在1954年-1982年波动变化,1982年发生突变呈上升趋势,且在1991年后上升显著;天津地区降水量和气温的周期性具有相似性,降水量和气温在1960年-1970年呈负相关关系,其共振周期高能量区主要分布在1965年前后的2a;天津地区的降水量和气温在多时间尺度上主要呈非线性关系,降水量减少而气温升高,总体呈现干旱化趋势.【期刊名称】《天津师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(036)001【总页数】8页(P32-39)【关键词】年降水量;平均气温;突变检验;交叉小波;天津地区【作者】张兵;王中良【作者单位】天津师范大学天津市水资源与水环境重点实验室,天津300387;天津师范大学天津市水资源与水环境重点实验室,天津300387【正文语种】中文【中图分类】P458天津位于渤海西岸，地处海河流域的九河下梢，具有重要的战略地位.然而，天津却是一座资源型和水质型缺水城市［1］，2013年天津水资源总量为14.64×108m3，地表水供水总量为16.23×108m3，人均水资源量仅101 m3［2］，远低于世界人均占有量1 000 m3的缺水警戒线，属于重度缺水地区.在气候变化和人类活动的大背景下，流域的降水量［3］、极端降水事件［4］和潜在蒸散发［5］等水循环要素的变化对水循环过程和水资源管理产生影响［6］.降水和气温是气候的重要因素，研究降水和气温的变化规律是研究水循环过程变化的基础，对水资源的合理规划和利用具有重要意义［7-9］.目前，已有学者运用线性回归、突变分析和小波分析的方法研究了天津所在区域降水量和气温的变化规律.袁再健等［7］研究表明海河流域年降水量呈下降趋势，气温呈上升趋势；降水年际变化较为明显，而气温年际变化并不明显.牛存稳等［10］利用小波分析表明，降水量在20世纪50年代中期到20世纪70年代中期存在2～3 a的年际变化，15 a左右的年际变化发生在70年代中期和90年代中后期.王永财等研究表明海河流域的年平均气温在1988年发生突变，降水量在1997年发生突变［11］.张健等［12］认为京津冀降水量呈下降趋势，气候倾向率为15 mm/（10 a），夏季降水量在1996年初减少是一突变现象，其他季节降水量无突变现象.这些研究确定了降水和气温的突变趋势，探讨了降水的周期振荡，但在时间域和频率域中，有关降水和气温间多时间尺度的相关关系研究较少.交叉小波变换可以发挥小波变换在时间域和频率域中均可以表征气候信号局部化特征的性能，对要素间相关关系的分析更具优越性［13-14］，已应用于水文要素和区域气象要素多时间尺度特征的研究［15］.本研究以天津地区为研究对象，分析降水和气温长时间序列的变化特征，运用连续小波和交叉小波变换分析气温和降水间的关系，探讨降水和气温的多时间尺度相关关系及其所包含的周期性特征，为深入研究天津地区的气候变化和水文循环过程以及水资源管理和生态环境改善提供理论基础.天津市东临渤海，北依燕山，南北长189 km，东西宽117 km，城市面积为11 917.3 km2.天津地区属暖温带半湿润大陆性季风气候，年平均气温为12℃左右，年降水量约为500～700 mm，年蒸发量为1 029 mm，年日照时数为2 610～3 090 h［16］.天津地貌总体为西北高、东南低，海拔由北向南逐渐下降；有山地、丘陵和平原3种地形，平原面积约占93%，如图1所示.天津地区土壤分布由西北向东南依次为潮土、盐化潮土、沼泽土、盐化湿潮土和滨海盐土，海河的五大支流（北运河、永定河、大清河、子牙河和南运河）在此处汇合入海.天津境内河网密布，水库湖泊众多，湿地类型丰富，有滨海湿地、河流湿地和城市湿地.近年来，受人类活动和自然因素变化影响，天津市湿地面积和景观格局发生巨大变化［16-17］.在自然因素中，年平均气温和降水量对湿地的影响显著［16］.2.1 资料来源在中国地面气象观测站网中，有4个台站位于天津地区，分别是天津、塘沽、渤海A平台和宝坻，如图1所示，其中天津和塘沽台站的观测时间序列最长，而渤海A平台和宝坻的观测时间较短.各观测点的相关数据如表1所示，其中年降水量和平均气温数据来源于中国气象数据网，数据经过初步质量检测.2.2 趋势分析和突变检验降水量和气温的趋势分析采用线性倾向估计方法.用yi表示样本量为n的某一变量，用ti表示yi所对应的时间，建立一元线性回归方程yi=ati+b （i=1，2，…，n）（1）式（1）中：回归系数a表示变量y的趋势倾向，a＞0说明y随时间t的增加呈上升趋势，a＜0则表示y随时间呈下降趋势，通常称a为倾向值；b为回归常数.降水量和气温时间序列的突变点检验采用Mann-Kendall（M-K）检验法.Mann-Kendall检验法是目前应用较普遍的一种非参数检验方法，对于时间序列x（n），先构建秩序列Sk，Sk是i时刻数值大于j时刻数值个数的累计数，再计算序列的均值E（Sk）、方差Var（Sk）和统计量UFk，其中UF1＝0［18-19］.按时间序列x逆序重复上述过程，使UBk=-UFk（k=n，n-1，…，1），UB1＝0.绘制UFk和UBk曲线图，若UFk或UFk值大于0，表明序列呈上升趋势，小于0则呈下降趋势.当两者曲线超过临界直线时，表明上升或下降趋势显著；超过临界线的范围确定为出现突变的时间区域.如UFk和UBk2条曲线在临界线之间出现交叉点，则交点对应的时刻是突变开始的时间［19］.2.3 小波变换目前，小波分析可用于多时间尺度的变化特征研究中，连续小波分析（continuouswavelettransform，CWT）和交叉小波变换（cross wavelet transform，XWT）的分析方法和程序主要参考已有研究成果［14-15，20］.连续小波分析（CWT）采用复Morlet小波：式（5）中：ω0为频次；η为时间.当ω0=6时，认为小波的尺度参数几乎等于傅里叶周期［14］.时间序列（xn，n= 1，…，N）的连续小波变换的卷积和小波标准化可定义为小波影响锥（cone of influence，COI）表示小波谱区域以及相应的边缘效应，小波谱值在COI的边缘会下降e-2［14］.背景功率谱采用红噪声检验，红噪声检验过程采用一阶自回归方程.背景红噪声功率谱为式（7）中：α为红噪声功率谱中自回归方程的相关系数；k为傅里叶频率系数.交叉小波分析是结合交叉谱分析与小波变换2种方法，在时频域中分析2个信号相关性的分析方法［21］.2个时间序列xn和yn的交叉小波谱（XWT）定义为WXY＝WXWY*，其中*为复共扼，对应交叉小波谱为|WXY|.时间序列xn和yn的背景功率谱和定义为式（8）中：Z（υp）为概率p的置信水平，显著性检验的标准谱选择2个χ2分布积的平方根分布，复Morlet小波（自由度ν=2）的95%置信度下的置信水平Z（295%）= 3.999［14］.小波相干（wavelet coherence，WTC）是反映2个小波变换在时频域相干程度的量，定义为式（9）中：S为平滑算子.小波凝聚谱反映2个小波变换在时频域中的相干程度.交叉小波相位角反映两序列在不同时域的滞后性特征，根据相位角正负向可以分析时频域内两序列间的相关性［14-15，21］.3.1 降水的变化趋势基于天津地区气象站点年降水量的观测数据，得到降水量的变化趋势，结果如图2所示.由图2（a）可知，天津站点近60年的平均年降水量为542.9 mm，标准差为148.3 mm，年降水量最多为975 mm（1977年），降水量最少为268.9 mm （1968年）.塘沽站点（图2（b））的平均年降水量为577.9 mm，标准差为180.9mm，年降水量最多为1080.7mm（1964年），降水量最少为277.3 mm （1968年）.短时间序列的渤海A平台和宝坻站点的平均年降水量分别为364.2 mm和591.2 mm.通过线性倾向估计分析可知，天津地区年降水量呈减少趋势，但均未达到显著水平.天津站点的降水倾向率为-16.92 m/（10 a）（n=60，r=-0.20），塘沽为-14.11mm/（10a）（n=60，r=-0.14），即降水量每10年减少14.11～16.92 mm.这与塘沽站降水量减少率为每10年15.86 mm的已有研究成果［22］基本相同.根据天津地区年降水量，运用Mann-Kendall方法，绘制正序时间序列（UF）和逆序时间序列（UB）曲线，并进行突变分析，结果如图3所示.由图3可知，天津地区降水量波动变化，有逐年减少的趋势.在天津站点年降水量的统计曲线中UF＜0，表明降水量呈减少趋势.在1957年—1960年和1963年，天津站点降水减少的趋势达到0.05的显著水平，而其他年份的减少趋势均不显著.20世纪60年代至80年代，塘沽站点的降水量波动变化，多呈现增加趋势，如1954年—1955年和1964年—1980年，降水量的UF＞0，表明降水有增加趋势.然而，在1990年后，降水量的UF＜0，表明降水量一直呈减少趋势，但趋势性均没有达到0.05的显著水平.分析UF和UB统计曲线在临界线间的交点可知，天津地区降水量波动明显，出现多次突变.天津站点降水量在1965年—1970年的波动较大，在1980年和1990年左右也出现多次变化.1990年后，天津站点降水量呈减少趋势，没有发生突变现象.塘沽站点降水量在1960年发生突变，随后呈现先减少后增加的变化趋势，并在1978年、1981年和2010年分别出现突变现象，降水量波动明显.3.2 气温的变化趋势与降水量减少的趋势相反，天津地区年平均气温呈现明显增加的趋势，各站点的统计结果如图4所示.天津站点的平均气温为12.6℃，标准差为0.6℃，年平均气温最高为13.6℃（1989年和2007年），最低为11℃（1956年和1969年）.塘沽站点的平均气温为12.6℃，标准差为0.7℃，年平均气温最高为13.9℃（2007年），最低为10.6℃（1969年）.渤海A平台和宝坻站点的平均年气温分别为12.9℃和11.6℃.基于长时间序列的天津和塘沽站点的年平均气温数据，通过线性倾向估计可知，天津地区年平均气温呈升高趋势，趋势性达到极显著水平.天津站点年平均气温的线性倾向率为0.181℃/（10 a）（n= 60，r=0.53）；塘沽站点的线性倾向率为0.309℃/（10 a）（n=60，r=0.72），均达到极显著水平.这与天津滨海新区每10 a平均气温上升0.29℃的已有研究成果［22］基本一致.天津地区年平均气温M-K检验的统计曲线如图5所示.天津站点1954年—1958年的UF＜0，表明气温下降，气候变冷；1958年—1968年的UF＞0，表明气温升高，气候增暖；1968年—1982年，气温下降；1982年后，气温升高；1991年后气温升高的趋势达到0.05的显著水平，表明气候显著增暖.在塘沽站点，气温的变化趋势与天津站点基本相同，年平均气温也在1991年后显著增加.通过突变分析可知，天津地区年平均气温的变化趋势与降水量变化趋势不同，年平均气温的UF和UB统计曲线交点唯一，表明仅有1个突变时间.天津站点和塘沽站点年平均气温在1954年—1982年波动变化，而在1982年后，呈现气温升高趋势，并在1991年后显著增加.天津站点气温突变的发生时间早于塘沽站点，年平均气温突变时间为1986年，而塘沽站点的突变时间是1988年，表明天津地区的年平均气温在20世纪80年代末发生突变，气候变为增暖趋势.3.3 降水和气温的小波分析采用Morlet小波函数分别对天津地区的年降水量和平均气温进行小波变换，得到1954年—2013年天津站点和塘沽站点的年降水量和年均气温的连续小波谱，结果如图6所示.图6中红色和蓝色分别表示能量密度的峰值和谷值，反映出主导波动组分时频变换的局部性和动态性特征，颜色深浅表示能量密度的相对变化.黑色粗实线为95%置信区间边界，通过了红噪声检验；黑色细实线为小波影响锥边界，为受连续小波变换数据边缘效应影响较大的区域［14，20］.运用连续小波分析天津地区年降水量和年均气温的周期性.由图6（a）可知，天津站点的年降水量存在3个周期，1965年—1970年存在1～2 a的周期，1970年—1978年的周期为4 a左右，1980年—1990年则存在10 a左右的周期.由图6（b）可知，塘沽站点的年降水量有2个周期，1960年—1970年存在1～2 a的周期，1980年代末有3 a左右的周期.天津站点的年均气温也有3个周期，1975年—1978年的周期为1～2 a左右，1980年—1990年存在6～8 a左右的周期，1995年—2000年的周期为4 a左右（图6（c））.塘沽站点的年均气温存在2个周期，其中1975年—1980年存在1～2 a的周期，而1985年左右的周期特征不明显（图6（d））.在同一站点，降水量与气温的周期性具有相似性，年降水量的周期比年均气温的周期在时间上提前约10 a左右.通过对连续小波变换后的系数进行交叉小波变换和小波相关变换，对天津站点和塘沽站点降水量和气温相互间的小波凝聚谱进行分析，并运用标准谱进行显著性检验，从多时间尺度的角度探讨两者在时频域中的相关性［15］，结果如图7所示.图7中箭头方向反映降水量和气温的相位关系，其中由左向右的箭头（→）表示两者变化同相位，呈正相关关系；由右指向左的箭头（←）表示反相位，呈负相关关系；而垂直向下（↓）和垂直向上（↑）分别表示降水量的小波变换提前和落后气温1/4个周期［20］，呈非线性相关［23］.由图7可知，天津地区降水量和气温的相关关系存在周期性波动.1960年—1970年，天津站点和塘沽站点的降水量和气温均存在负相关关系，降水量和气温的共振周期高能量区主要分布在1965年前后2 a. 1990年—2000年，天津站点降水量和气温存在非线性关系，降水量和气温的共振周期高能区主要分布在1995年前后的5 a和9 a.1980年—1990年，塘沽站点的降水量和气温存在非线性关系，其共振周期高能量区主要在1987年前后2 a.综上所述，天津地区的降水量和气温在多时间尺度上主要呈非线性关系.（1）以天津地区1954年—2013年的降水量和气温为研究对象，线性倾向估计表明天津地区降水量呈减少趋势，气温呈升高趋势.天津站点的降水倾向率为-16.92 m/（10a），年平均气温的线性倾向率为0.181℃/ （10 a）；塘沽站点的降水倾向率为-14.11 mm/（10 a），年平均气温为0.309℃/（10 a）.（2）Mann-Kendall检验表明天津地区降水量波动变化，气温在20世纪80年代末发生突变，气候呈变暖趋势.天津站点降水量在1990年后呈减少趋势；塘沽站点在1960年发生突变，降水量出现先减少后增加的变化趋势.天津地区气温在1954年—1982年波动变化，在1982年后呈增加趋势，且在1991年后显著增加. （3）根据连续小波和交叉小波分析，天津地区降水量和气温的周期性具有相似性，年降水量的周期比年均气温的周期在时间上提前约10 a.降水量和气温在1960年—1970年呈负相关关系，其共振周期高能量区主要分布在1965年前后的2 a，但天津地区的降水量和气温在多时间尺度上主要为非线性关系.（4）天津地区降水量减少而气温升高，总体呈现干旱化趋势.降水量和气温是主要的气象因素，但也受到其他气象因素和环境因素的影响，降水量和气温变化与各种气象因子间的综合关系尚待进一步研究.【相关文献】［1］田萌，李万庆.天津地区水资源问题战略研究［J］.环境保护，2008 （6）：67-69. 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基于小波分析的华北地区近61年降水变化特征
基于小波分析的华北地区近61年降水变化特征近年来，气候变化成为全球热议的话题之一。
气候变化对全球各地区的降水变化产生了深远的影响，特别是对华北地区的降水变化。
了解华北地区近61年的降水变化特征对于预防和应对气候变化具有重要意义。
本文将基于小波分析的方法，对华北地区近61年降水变化特征进行研究和分析。
我们需要了解小波分析的基本原理。
小波分析是一种非参数的信号处理技术，可以将信号分解成不同频率的成分。
小波分析在处理非平稳信号和突变信号方面具有很大的优势，因此在研究降水变化特征时具有较高的适用性。
通过小波分析可以将时间序列信号进行时频分解，得到不同尺度下的频率成分，从而揭示出信号的局部特征和变化规律。
接下来，我们将对华北地区近61年的降水数据进行小波分析。
我们收集了华北地区近61年的降水数据，包括每年的降水量和时间序列。
然后，将这些数据进行小波分析，得到不同尺度下的降水变化情况。
通过小波分析，我们可以得到不同时间尺度下的降水变化特征，包括长期趋势、周期性变化和突变情况等。
在进行小波分析之后，我们发现华北地区近61年的降水变化具有以下特征：华北地区的年降水量整体呈现出逐渐减少的趋势。
尤其是近几十年来，降水量减少的趋势更为明显。
这一趋势可能与气候变化和人类活动有一定的关系。
气候变化导致了华北地区降水量的不稳定和减少，而人类活动则加剧了这一趋势。
华北地区的降水变化具有一定的周期性。
在小波分析的结果中，我们发现了一些明显的周期性成分，包括年内季节性变化和年际多年变化。
这些周期性变化对于了解华北地区降水的变化规律和预测未来的降水趋势具有重要意义。
华北地区的降水变化还存在一些突变情况。
在小波分析的结果中，我们发现了一些突变点，这些突变点可能对于了解华北地区降水变化的原因和机制具有重要意义。
通过对这些突变点的分析，我们可以揭示出华北地区降水变化的关键因素和影响因素。
基于小波分析的方法可以揭示出华北地区近61年降水变化的特征。
气象统计预报-小波分析
• “若你记录1小时长的信息而在最后5分钟出错， 这一错误就会毁了整个傅里叶变换。相位的错误 是灾难性的，如果在相位上哪怕犯了一个错误， 你最后就会发现你所干的事与最初的信号无关了 。” —— Y. Meyer
• 实际上，人们需要了解某些局部时段上所对应的 主要频率特性是什么，也需要了解某些频率的信 息出现在哪些时段上，也就是需要了解时-频局部 化要求
• 对低频部分（较大a）而言，时域宽度较大，因而总的能量也 可能较大
• WF(a,b)/a2近似可以理解为功率密度
小波功率谱检验
• 如何进行连续功率谱检验？
– 红白噪声
• 小波功率谱是否显著，用红噪声或白噪声 标准谱进行检验
– 当r(1)>0.1，则用红噪声谱检验 – 当r(1)≤0.1，则用白噪声谱检验
② G(w)在w=0处的值必须为零，即G(0)=0
g(t)不是小波的个例
小波的时域特征
• “小波”不是指其波动的幅度很小，而是 指其持续时间很短
• 当t→±∞时，要求g(t)速降至零
• 小波是持续时间很短的衰减振荡，在时域 内是局部的
小波的频域特征
• 当w→±∞时,要求G(w)速降至零 • G(w)具有带通滤波器的频率特性 • 小波在频域内也是局部的
a 1
a
1 2
a
1 4
• b为平移参数，可以取任意实数
一些著名的母小波
• 1、哈尔(Harr)小波：
1,
gt 1,
0,
0t 1 2
1 t 1 2 otherwise
1
(t)
01
1
2
小波分析整理
0 (t ) 1 / 4 e i t e t
0
2
/2
（2）
式中 t 为时间，ω0 是无量纲频率。当 ω0=6，小波尺度 s 与傅里叶周期（period）基本相等（λ, λ = 1.03s） （Torrence and Webster, 1999） ，所以尺度项与周期项可以相互替代。由此可见， Morlet 小波在时间与频率的局部化之间有着很好的平衡 （Grinsted et al., 2004） 。 此外， Morlet 小波中还包含着更多的振动信息， 小波功率可以将正、 负峰值包含在一个宽峰之中 （Torrence and Compo, 1998） 。 （2）小波功率谱 为使计算更为快捷，公式（1）的卷积在傅里叶域内执行（Torrence and Compo, 1998; Grinsted et al., 2004） 。 Wn ( s ) 定义为小波功率谱(wavelet power spectrum)，该功率谱表达 了时间系列在给定小波尺度和时间域内的波动量级（Lafrenière and Sharp, 2003） 。由于我们 采用的 Morlet 母小波为复值小波，因此 W x ( s ) 也为复数，其复值部分可以解释为局部相位 （Torrence and Compo, 1998） 。将小波功率谱在某一周期上进行时间平均，我们可以得到小 波全谱（global wavelet spectrum） ，
2004） 。 对一个时间系列进行小波转换时，母小波的选择显得尤为重要，Farge（1992）曾经讨 论过母小波选择时需要考虑的因素，例如正交与非正交、负值与实值、母小波的宽度与图形 等等。 正交小波函数一般用于离散小波变换， 非正交小波函数即可用于离散小波变换也可用 于连续小波变换（Torrence and Compo, 1998） 。通常在对时间系列进行分析时，希望能够得 到平滑连续的小波振幅，因此非正交小波函数较为合适。此外，要得到时间系列振幅和相位 两方面的信息，就要选择复值小波，因为复值小波具有虚部，可以对相位进行很好的表达 （Torrence and Compo, 1998） 。Morlet 小波不但具有非正交性而且还是由 Gaussian 调节的指 数复值小波。
昌都地区近52年雷暴气候统计分析
作者： 李白萍 仓决 潘贵元
作者机构： 昌都地区气象局,西藏昌都854000
出版物刊名： 西藏科技
页码： 61-63页
主题词： 雷暴 统计分析 小波分析
摘要：本文利用昌都地区7个气象站点常规地面气象观测记录，通过数理统计和小波分析，研究了昌都地区雷暴的时空分布特征、年际变化、月变化、周期变化等。
结果表明：昌都地区雷暴日数较多，年际变化大，年雷暴日数从上世纪80年代起呈递减趋势。
雷暴的季节变化呈抛物线型，即夏季为雷暴高发期，春秋次之，冬季发生的概率小。
从小波分析结果看，昌都雷暴日在1981年以前存在2年左右的震荡周期，1984年以后存在5年左右的震荡周期。
丁青站的年雷暴日数存在11年震荡周期和4年左右的小周期。
08-11-22-morlet小波与气象数据的周期性分析-易华
T0
4 a0 c c2 2
判断函数的局部周期
• 将信号进行小波变换，得到小波变换系数 模的平方 W a, b 。 • 若在 a , b 处， 模的平方有极大值，我们 就认为信号 x t 在 a , b 处有相应的局部周 期。 4 a T • 局部周期为 。 c c 2
morlet小波与气象数据的周期性分析工作汇报武汉大学数学与统计学院指导教师樊启斌教授汇报提纲一morlet小波二小波变换尺度和周期的关系三由小波变换能量密度函数分析信号的局部周期四气象数据周期分析方法小结morlet小波给出其中c和是常数
morlet小波与气象数据的周期 性分析工作汇报
武汉大学数学与统计学院 指导教师 易华
Morlet小波尺度和周期的关系
•
ict t e e 令Morlet小波 t2 2
，对函数 x t 进行
连续小波变换得到：
Wx a, b
2 x
* x t a ,b t dt
• 定义 W a, b 为小波变换能量密度函数，则 使得能量密度函数达到最大值的尺度a就和 已知函数的周期对应。
c c2 2 a T 4
2 k
故
• 使得能量密度函数取极大值的尺度a就是原 信号中周期T(设原信号有周期)对应的尺度。 • 反过来，若能量密度函数 W a, b 在点 a0 , b0 处取极大值，我们就可以认为函数x t 在该 点 a0 , b0 有和尺度 a0 相应的局部周期
樊启斌教授
汇报提纲
（一）Morlet小波 （二） 小波变换尺度和周期的关系
（三）由小波变换能量密度函数分析信 号的局部周期 （四）气象数据周期分析方法小结
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傅里叶变换的不足
连续功率谱分析结果
只出现了显著周期10
• 傅里叶变换可以把复杂的时间信号转换到频率域 中，然后用频谱特性去分析和表示时域信号的特 性
• 然而傅里叶变换是“全局性”的，不能反映局部 区域上的特征 • 虽然从傅里叶变换能清楚地看到一个信息包含的 每一个频率的多少，但很难看出不同信号的发射 时间和发射的延续时间
• “若你记录1小时长的信息而在最后5分钟出错， 这一错误就会毁了整个傅里叶变换。相位的错误 是灾难性的，如果在相位上哪怕犯了一个错误， 你最后就会发现你所干的事与最初的信号无关了 。” —— Y. Meyer
• 实际上，人们需要了解某些局部时段上所对应的 主要频率特性是什么，也需要了解某些频率的信 息出现在哪些时段上，也就是需要了解时-频局部 化要求
– 增大s
• 在时域上扩大窗口=在频域上缩小窗口
– 减小s
• 能否在时域和频域上同时缩小（或扩大） 窗口？
t g s G s s
• 减小s
– – – – sw减小 突出低频 需要长时间序列 较大时间窗
• 增大s
– – – – t/s减小 较小时间窗 仅有短时间序列 得到高频
其中Δt为取样间隔，n为样本量
• 第二步：做两重循环，一个是关于时间参数b的循环，另 一个是关于频率参数a的循环
二进方法
n 1 jt b WFx a, b t x jt g * a a j 1
• 条件 – a按2的整数次幂变化，即 – b与a成正比，即 • 计算式为
• Torrence(1998)定义e折时间为两端受影响的区域 • 对于Morlet小波和墨西哥帽小波而言，小波的e折时间是 20.5a
• 对每一个尺度参数a，当平移参数b落入距信号序列两端e 折时间范围内时，结果应该放弃
小波分析中的误区
• 该时间序列的周期为10年和20年 • 该时间序列在前40年以10年周期的波动为主，在后40年则 以20年周期的波动为主
g t dt 0 G 2 d
的小波即为基本小波或者母小波
• 将母小波伸缩和平移之后得到的函数族
1 g a ,b t a
称为分析小波
t b g a
a R ,b R
• a为伸缩参数或尺度参数，取正实数
• 核函数及其傅里叶变换
t 0 i0t i g e s Gs 0 e 0 0 s
t 0 i0t i g e s Gs 0 e 0 0 s
• 在时域上缩小窗口=在频域上扩大窗口
– 当a>1时，沿时间轴方向拉伸 – 当a<1时，沿时间轴方向压缩 – 因子1/a1/2是为保持伸缩之后能量不变
a 1
a 1 a 1
2 4
• b为平移参数，可以取任意实数
一些著名的母小波
• 1、哈尔(Harr)小波：
1, g t 1, 0, 1 0t 2 1 t 1 2 otherwise
如何利用小波分析来进行科学研 究？
例一
大气低频振荡的周期是多少？ 10-90天
收集资料和资料预处理
选择诊断方法
Morlet小波
科学综合和诊断
例二
• 收集资料和资料预处理
• 选择诊断方法
k 2 n
a 2 k b 2 k n
WFx k 2 t x jt g * 2k jt n
j 1
绘图
• 以b为横轴、以a为数轴绘制小波能量谱图
– WF(a,b)/a2
• 为何不直接绘制小波功率谱WF(a,b)图？
– 在功率谱分析中，不同频率的波动所占时域宽度相同 – 在小波分析中，不同尺度a所占时域宽度不同
测不准原理
小波
• 具有以下两个性质的窗口函数g称为小波
g t dt 0 G 2 d
① g(t)必须时正时负的波动，否则g(t)的积分 不会为零 ② G(w)在w=0处的值必须为零，即G(0)=0
g(t)不是小波的个例
如何解决？
• 傅里叶变换缺陷的来源
– 傅里叶变换的核函数(正弦、余弦函数)在时域 是无限的
• 如何改进核函数，使其能够集中反映时域 上某一局部的信息？
– 将正弦、余弦函数乘以一个时域内衰减很快的 函数
窗口傅里叶变换
• 定义
~ it F , xt g t e dt
• 对低频部分（较大a）而言，时域宽度较大，因而总的能量也 可能较大 • WF(a,b)/a2近似可以理解为功率密度
小波功率谱检验
• 如何进行连续功率谱检验？
– 红白噪声
• 小波功率谱是否显著，用红噪声或白噪声 标准谱进行检验
– 当r(1)>0.1，则用红噪声谱检验 – 当r(1)≤0.1，则用白噪声谱检验
d 2
G 2 d 2cg0 Nhomakorabea
• 因而逆变换公式为
1 xt cg
0
1 a 2 WFx a, bga,b t dbda
1 WFx a, b a
t b xt g a dt
• 小波变换是用信号x(t)和小波ga,b(t)表示出来
G
2
d
– a是频率参数 – b是时间参数
• 当基小波g(t)是实的，小波系数WF(a,b)也是实的 • 此时小波变换公式为
1 WFx a, b a t b xt g a dt
• 在这种情况下，有
cg
G
2
原因
• 傅里叶变换对
1 xt F eit d 2 F xt e it dt
9.13 9.15
• 频域过程F(w)的任一频率组成部分的值：由时域 过程f(t)在(-∞,∞)上决定的 • 时域过程f(t)在任一时刻的状态：由F(w)在整个 频域(-∞,∞)的量决定
• 窗口函数g(t)
– 实函数 – 能量主要集中在原点附近 • 提取了在t=τ附近的时域信息
核函数
g t e it g t 0 e i0t
G 0 ei 0 0 • 核函数的傅里叶变换为
• 因而有
~ F 0 , 0 xt g t 0 e i0t dt
• 小波变换能否用x(t)和ga,b(t)的傅里叶变换表示 出来？
WFx a, b a 2
F G* a eib d
不同频率的波动组合
不同尺度、不同位置的小波组合
a b
小波能量谱
• 能量守恒
1 x t dt cg
2
WFx a, b
• 通过离散化方法求解小波功率谱WFx(a,b)
– 一般方法（连续小波变换） – 二进方法（离散小波变换）
一般方法
1 WFx a, b a t b xt g a dt
*
• 第一步：针对某一频率参数a和时间参数b
n 1 jt b WFx a, b t x jt g * a a j 1
1 2
F G 0 ei 0 0 d
• 提取了在w=w0附近的频域信息
窗口的调整
• 平移
g t g t
t g t • 拉伸 g s
• 平移和拉伸
t g t g s
• 第一步：计算理论功率谱
1 2 2 P Pa 0.05 s x 2
• 满足自由度为2的X2分布，其中
1 r 1 Pa 2 1 r 1 2r 1cos2a n
2
• 对于白噪声谱Pa=1
• 第二步：如果WFx(a,b)>Pa，则小波功率谱是显著的
黑色实线和黑色虚线 分别表示什么？
1
(t )
1 2
0
1
1
• 2、Daubechies小波
• 是否要求小波具有对称性？
2、Coiflets小波
3、Symlets小波
4、Morlet小波
5、Mexican Hat小波
6、Meyer小波
g t 1 t
2
1 e 2
t2 2
气象上常用
小波变换
• 定义
1 t b WF x a, b xt g * dt a a 1 xt 1 a 2 WFx a, b g a,b t dadb cg cg
小波的时域特征
• “小波”不是指其波动的幅度很小，而是 指其持续时间很短 • 当t→±∞时，要求g(t)速降至零 • 小波是持续时间很短的衰减振荡，在时域 内是局部的
小波的频域特征
• 当w→±∞时,要求G(w)速降至零
• G(w)具有带通滤波器的频率特性 • 小波在频域内也是局部的
母小波
• 满足
头部影响
• 因为实际的信号序列总是有限长度的，当平移参数b逐渐 接近信号序列的两头时，WF(a,b)的估计误差逐渐增加 • 为了使b接近序列的两端时还能计算WF(a,b)，一般在序列 的头和尾外侧补上足够多的零，或者在头尾的外侧用头尾 内侧的值对称的延伸
• 但是延伸的毕竟不是真实的信号，在两端WF(a,b)逐渐变 的不可信
2
da db 2 a
• 小波能量谱定义为：
E a, b
1 2 WFx a, b cg a 2
•