初中数学教学简报【第8期】逐步深化

逐步深化对函数概念的认识
函数是刻划客观世界运动和变化的数学模型，与我们的实际生活联系广泛、息息相关，但函数概念是经过高度抽象得到的，这就造成了学生理解函数概念的困难。

从常量到变量对于初中学生是认识的一次飞跃，表面听懂函数概念的文字表述和真正理解函数概念是两回事，因此需要循着函数发展的历史轨迹，让学生部分经历函数概念的抽象过程、体验其中生动活泼的数学思想和数学特有的理性思维。

一些专家提到：学生对函数概念的理解，不可能“一步到位”，需要有一个过程，也就是要“逐步到位”。

我们认为，为此需要深入明确每一阶段要达成怎样的目标，这一阶段学生的学习心理，以及需要采取怎样相应的教学策略。

函数在初中定义如下（人教社义务教育课程标准试验教科书数学八年级上册第7页）：“在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于的x 每一个确定的值，都有唯一确定的y 值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。

”
现在问：这样表述的定义能被多少初次接触函数概念的学生所接受？他们内心又是怎么理解函数概念的？
对于大多数学生来说，他们对函数其实最初的朴素认识是“如果有两个变量，其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量就是另外一个变量的函数。

”学过正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数之后，多数学生又会把函数概念理解为“如果变量y 能用含有x 的解析式表达，那么y 就是x 的函数，函数本质上就是含有x 的解析式”。

所以我们在教学中面临的问题是无视学生的心里感受硬把课本上的定义强加给他们，还是从学生的现实出发，因势利导，使他们能逐步地心悦诚服地接受课本给出的函数定义。

1、变量与函数概念的引入
抽象的数学概念总需要从具体的事例出发，从若干具体事例抽出事物共同的本质属性。

因此选择怎样的具体事例，并提出怎样的问题让学生思考才能突显事物的本质属性显得非常重要。

对于函数概念的形成也是这样，要考虑如何启发学生从具体的事例感悟函数概念的核心思想是“变化与对应”，在学生与函数初次见面时呈现恰当的事例并提出恰当的思考问题。

人教社八年级教科书第11章的第一节是这样引入变量的（课本第4页）
先思考下面几个问题：
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s 千米，行驶时间为t 小时，先填写
（2）每场电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？ 设一场电影售出票x 张，票房收入为y 元，怎样用含x 的式子表示y ？
（3）在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。

如果弹簧原长10cm ，每1kg 重物使弹簧伸长0.5cm ，怎样用含重物m 的式子表示受力后的弹簧长度l ( 单位：cm)？
（4）要画一个面积为102cm 的圆，，圆的半径应该取多少？圆面积为202
cm 的圆呢？怎样用含圆面积S 的式子表示圆的半径r ？
(5) 如图,用10米长的绳子围成长方形,试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样变
化.记录不同长方形的长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们之间的变化规律,设长方形的长为x米,面积为S平方米,怎样用含x的式子表示S ?（注：黑体字是本文作者加的）
这些问题反映了不同事物的变化过程,其中有些量的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.有些量的数值是始终不变的,我们称它们为常量.（第5页）
在随后的第7页，课本通过分析这5个问题得到：“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是x自变量，y是的函数。

”
让我们分析这5个例子。

课本一连5个小题都让学生用含有一个变量的字母的式子表示另外一个变量，无形中把函数概念与函数的解析表达式紧紧地捆绑到了一起，其实，在引入变量与函数概念时，或许没有必要费那么大的周折。

我们要考虑如何简洁明快地从学生身边的实例引入变量与函数的概念，并激起学生学习函数的动机。

例1、从杯中的美酒与水库的容积谈起
我们生活在变化的世界中。

把酒倒入酒杯，随着酒杯内酒水液面的增高，酒杯内的酒就越来越满，酒水液面高度与酒杯内的酒量都在变化，它们之间存在密切的联系，不是你变你的我边我的；在汛期，水库里聚集的来水迅速增加，这可以从水库水位的高度的变化清楚地观察出来，水位高度与水库容纳的水量也存在密切的联系，从水位高度可以推断此时水库容纳的水量。

这两个实际问题虽然不同，但他们有共同点：酒水液面的高度与水库水面的高度在变化，酒杯内酒水的多少和水库容纳的水量也在变化，它们在变化过程中可以取不同的数值，在数学中把它们称之为变量；而前者一经确定，后者就随之确定，我们把后者称为前者的函数。

如此引入通俗易懂，没用一个数学符号，也没经过多少运算和填表，这样的开场白不至于让学生觉得函数高深莫测吧。

我们可以不必关注酒杯内酒量与酒水液面高度间的函数关系，但在汛期，水库的调度却必须关注水库水位的高度变化，水库的库容与水库水位高度的函数关系有助于决策，何时开闸放水，事关重大！可见，研究变量与函数是有实际价值的。

生活中不乏找到变量与函数与我们切身利益密切相关的例子。

例如为了推动节约用水，国家制定了阶梯水费定价，这里用水量和水费都是变量，水费是用水量的函数；出门乘公交车，乘坐的站数和应付的车费都是变量，车费是乘坐站数的函数；储蓄存款，存款年限与到期收益都是变量，到期收益是存款年限的函数；……，如此等等，变量与函数就在我们身边。

如此看来，学生认为“如果有两个变量，其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，
那么这个变量就是另外一个变量的函数。

”这样理解函数并没有错，只是不够严谨罢了。

下面需要启发学生继续思考的是：什么叫变量？什么叫一个变量随着另一个变量的变化而变化？这些问题从数学的角度如何交代清楚。

这就自然引出下面的认知：“变量”之所以体现变化，在于可以取不同的数值；“一个变量随着另一个变量的变化而变化”在于“对于x每一个确定的值，都有唯一确定的y值与其对应”，于是函数在数学上就可以理解为“在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于的x每一个确定的值，都有唯一确定的y值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

”
2、函数的表示
函数概念总需要用某种方式表达出来。

犹如给人起名字，或拍张照片。

看到这个名字或照片，就能想起这个人来。

随着技术的进步，更好的办法是给这人拍一段录像，观看视频或能更清晰了解此人更多的信息。

对于函数的表示也是一样，对应法则通常可以用解析式或图像表示，但如果能给函数拍一段“录像”，让学生直观地看到“变化与对应”不是更好吗！于是，动态课件自然派上了用场，动态课件实现的效果是静态的解析式和图象无法比拟的。

例2 长方形的面积（课本例5）
下面是配合人教社教材设计的一个课件的界面，可以用鼠标选择图中的B点拖动，随之图中的长方形也在发生变化
用鼠标选择“显示”按钮，屏幕将动态显示长方形的边长与面积随B点的运动发生变化的数据。

把屏幕左面那些方框的对勾打开，屏幕将呈现表达面积与边长的函数关系的解析式与函数图象，选择屏幕上的“动画”按钮，屏幕将同时呈现长方形的变化，相应数据的变化与图象上动点运动所留的轨迹（如下图）
在让学生观看课件演示的过程中，我们可以不失时机地提出恰当的问题启发学生思考（此课件的第一页是汽车的行驶，配合课本第1个例题）
例3 凸多边形的对角线
我们知道，多边形的边数变化时，对角线的条数也随之发生变化，对角线的条数是顶点数目的函数。

当边数少时可以数数对角线的条数，考察他们之间的对应关系，当边数较大时数起来就困难了！下面的四个图是反映动态变化的几个截图。

可以用鼠标选择变量尺的滑钮改变多边形的边数，也可以选择“动画”按钮，观察多边形的变化。

经验表明，学生会对眼前的图景感到十分好奇，这是一个引起学生兴奋的时机，此时寻求反映这一函数关系的解析表达式自然会成为学生的心里需求！有了这个解析式可以从顶点数目直接计算出的教学的条数，函数用解析式表达的优势不言而喻。

所以一般说来，只要有可能，我们总要寻找表达函数关系的解析式。

2、函数概念的逐步深化
解析法是表示函数的主要方法，一旦找到函数的解析式，求函数值、画图像、探究函数的性质等问题都比较容易解决了。

什么是函数的解析式呢？所谓函数的解析式就是把表示自
变量的字母和常数用一系列运算符号链接起来的式子，如m=n(n−3)。

但是否“函数本质上
2
就是含有x的解析式”呢？看下面的例子
例4 地板函数
在超级画板的方便面程序区键入cbds(floor(x))和blc(x)；用鼠标选择变量尺的滑钮改变x 的值，你将会看到这个函数的一系列函数值（如图），由这些数值就不难理解底板函数的定义了！
原来floor(x)表示不超过x的最大整数，叫做地板函数，或称为一个数的整数部分。

例如floor(34.465)=34。

其实对这个函数我们并不陌生，在填写表格年龄一栏时人们都用到这个函数。

你不会填写自己的年龄是34.465岁而填写34岁吧，34就是不超过34.465 的最大整数。

（当然对于幼儿另当别论，一个小孩出生一个月，我们不能说他0岁，而要说他刚满月。

）
地板函数的对应法则可以用一句话（不超过x的最大整数，或一个数的整数部分）清晰地表达出来，这里没有用解析式。

类似地x-floor(x)表示x的小数部分，abs(x)表示绝对值
函数，abs(x)
表示符号函数，这些函数的对应法则都不用解析式给出。

可见，能用解析式表x
示的函数知识函数海洋中的一部分。

把函数概念等同于解析式的认识是错误的。

还是回归到“在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于的x每一个确定的值，都有唯一确定的y值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

”的表述上，这种表述比用解析式更能反映函数的本质。

但如果深究一步，问题有出来了。

这个函数定义中用到了“变量”，那什么是变量呢？多边形内角和和边数都是变量，内角和是边数的函数，而多边形的外角和是个常数（总是3600），多边形的外角和是不是边数的函数？如果连“变量”和“变化过程”都说不清楚，函数的初中定义能说严谨吗，因此，人们的认识还需要继续深化。

在高中函数是这样定义的（见人教社普通高中课程标准实验教科书A版必修1册17-18页）：设A、B是非空的数集.如果按照某种确定的对应关系f,使得对于集合A中的任意
一个数x ,在集合B 中都有唯一的确定的数)(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合到集合B 的一个函数，记作
)(x f y =，A x ∈.
其中,x 做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然值域是集合的子集。

这个定义更形式化了，不再纠缠什么是变量，什么是变化过程，只用到了最基本的原始概念“集合”和“对应”，函数干脆可以看做“从一个数集到另一个数集的映射”。

用集合映射的观点解读函数，更加抽象更加严谨，但随之却可以帮助我们解释更多的问题，如对应法则相同的函数是否一定是同一函数？分段函数是一个函数还是几个函数？怎么理解)(x f ？怎么理解))((x f f ？……。

高中的函数教学又面临初高中教学衔接的问题。

这里对此就不展开谈了。

初中教学，我们当然不必揠苗助长，非要把函数的高中定义强加给学生。

但对于我们教师来说从整体上把握函数的概念是必要的。

普通高中数学课程标准中写道：“形式化是数学的基本特征之一。

在数学教学中，学习形式化表达是一项基本要求，但不能只限于形式化表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。

”“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。

数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生的自主探究活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态化为学生易于接受的教育形态。

”
人们对于函数概念的认识不是一蹴而就的，从概念的提出到概念的不断深化经历了一个漫长的过程。

所以要求学生一次完成对函数概念的认识是不现实的。

我们当然不可能让学生重复历史上函数概念发展的漫长过程，但部分经历数学概念的抽象思维过程却是必要的。

怎么把数学的学术形态化为学生容易接受的教育形态，这就要靠我们的教学机智和教学艺术了，也许其中现代信息技术能帮我们一些忙。

附言：1、作为附录，本次简报为大家提供了一个阅读材料“函数小史”；
2、本文例题中使用的课件一并在网上发给大家，可以在超级画板的免费版打开使用。