初中数学教学简报【第8期】逐步深化

逐步深化对函数概念的认识

函数是刻划客观世界运动和变化的数学模型，与我们的实际生活联系广泛、息息相关，但函数概念是经过高度抽象得到的，这就造成了学生理解函数概念的困难。从常量到变量对于初中学生是认识的一次飞跃，表面听懂函数概念的文字表述和真正理解函数概念是两回事，因此需要循着函数发展的历史轨迹，让学生部分经历函数概念的抽象过程、体验其中生动活泼的数学思想和数学特有的理性思维。一些专家提到：学生对函数概念的理解，不可能“一步到位”，需要有一个过程，也就是要“逐步到位”。我们认为，为此需要深入明确每一阶段要达成怎样的目标，这一阶段学生的学习心理，以及需要采取怎样相应的教学策略。 函数在初中定义如下（人教社义务教育课程标准试验教科书数学八年级上册第7页）：“在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于的x 每一个确定的值，都有唯一确定的y 值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。”

现在问：这样表述的定义能被多少初次接触函数概念的学生所接受？他们内心又是怎么理解函数概念的？

对于大多数学生来说，他们对函数其实最初的朴素认识是“如果有两个变量，其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量就是另外一个变量的函数。”学过正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数之后，多数学生又会把函数概念理解为“如果变量y 能用含有x 的解析式表达，那么y 就是x 的函数，函数本质上就是含有x 的解析式”。 所以我们在教学中面临的问题是无视学生的心里感受硬把课本上的定义强加给他们，还是从学生的现实出发，因势利导，使他们能逐步地心悦诚服地接受课本给出的函数定义。

1、变量与函数概念的引入

抽象的数学概念总需要从具体的事例出发，从若干具体事例抽出事物共同的本质属性。因此选择怎样的具体事例，并提出怎样的问题让学生思考才能突显事物的本质属性显得非常重要。对于函数概念的形成也是这样，要考虑如何启发学生从具体的事例感悟函数概念的核心思想是“变化与对应”，在学生与函数初次见面时呈现恰当的事例并提出恰当的思考问题。

人教社八年级教科书第11章的第一节是这样引入变量的（课本第4页）

先思考下面几个问题：

（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s 千米，行驶时间为t 小时，先填写

（2）每场电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？ 设一场电影售出票x 张，票房收入为y 元，怎样用含x 的式子表示y ？

（3）在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如果弹簧原长10cm ，每1kg 重物使弹簧伸长0.5cm ，怎样用含重物m 的式子表示受力后的弹簧长度l ( 单位：cm)？

（4）要画一个面积为102cm 的圆，，圆的半径应该取多少？圆面积为202

cm 的圆呢？怎样用含圆面积S 的式子表示圆的半径r ？

(5) 如图,用10米长的绳子围成长方形,试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样变

化.记录不同长方形的长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们之间的变化规律,设长方形的长为x米,面积为S平方米,怎样用含x的式子表示S ?（注：黑体字是本文作者加的）

这些问题反映了不同事物的变化过程,其中有些量的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.有些量的数值是始终不变的,我们称它们为常量.（第5页）

在随后的第7页，课本通过分析这5个问题得到：“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是x自变量，y是的函数。”

让我们分析这5个例子。课本一连5个小题都让学生用含有一个变量的字母的式子表示另外一个变量，无形中把函数概念与函数的解析表达式紧紧地捆绑到了一起，其实，在引入变量与函数概念时，或许没有必要费那么大的周折。我们要考虑如何简洁明快地从学生身边的实例引入变量与函数的概念，并激起学生学习函数的动机。

例1、从杯中的美酒与水库的容积谈起

我们生活在变化的世界中。把酒倒入酒杯，随着酒杯内酒水液面的增高，酒杯内的酒就越来越满，酒水液面高度与酒杯内的酒量都在变化，它们之间存在密切的联系，不是你变你的我边我的；在汛期，水库里聚集的来水迅速增加，这可以从水库水位的高度的变化清楚地观察出来，水位高度与水库容纳的水量也存在密切的联系，从水位高度可以推断此时水库容纳的水量。这两个实际问题虽然不同，但他们有共同点：酒水液面的高度与水库水面的高度在变化，酒杯内酒水的多少和水库容纳的水量也在变化，它们在变化过程中可以取不同的数值，在数学中把它们称之为变量；而前者一经确定，后者就随之确定，我们把后者称为前者的函数。如此引入通俗易懂，没用一个数学符号，也没经过多少运算和填表，这样的开场白不至于让学生觉得函数高深莫测吧。

我们可以不必关注酒杯内酒量与酒水液面高度间的函数关系，但在汛期，水库的调度却必须关注水库水位的高度变化，水库的库容与水库水位高度的函数关系有助于决策，何时开闸放水，事关重大！可见，研究变量与函数是有实际价值的。生活中不乏找到变量与函数与我们切身利益密切相关的例子。

例如为了推动节约用水，国家制定了阶梯水费定价，这里用水量和水费都是变量，水费是用水量的函数；出门乘公交车，乘坐的站数和应付的车费都是变量，车费是乘坐站数的函数；储蓄存款，存款年限与到期收益都是变量，到期收益是存款年限的函数；……，如此等等，变量与函数就在我们身边。

如此看来，学生认为“如果有两个变量，其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，

那么这个变量就是另外一个变量的函数。”这样理解函数并没有错，只是不够严谨罢了。下面需要启发学生继续思考的是：什么叫变量？什么叫一个变量随着另一个变量的变化而变化？这些问题从数学的角度如何交代清楚。这就自然引出下面的认知：“变量”之所以体现变化，在于可以取不同的数值；“一个变量随着另一个变量的变化而变化”在于“对于x每一个确定的值，都有唯一确定的y值与其对应”，于是函数在数学上就可以理解为“在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于的x每一个确定的值，都有唯一确定的y值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。”

2、函数的表示

函数概念总需要用某种方式表达出来。犹如给人起名字，或拍张照片。看到这个名字或照片，就能想起这个人来。随着技术的进步，更好的办法是给这人拍一段录像，观看视频或能更清晰了解此人更多的信息。

对于函数的表示也是一样，对应法则通常可以用解析式或图像表示，但如果能给函数拍一段“录像”，让学生直观地看到“变化与对应”不是更好吗！于是，动态课件自然派上了用场，动态课件实现的效果是静态的解析式和图象无法比拟的。

例2 长方形的面积（课本例5）

下面是配合人教社教材设计的一个课件的界面，可以用鼠标选择图中的B点拖动，随之图中的长方形也在发生变化

用鼠标选择“显示”按钮，屏幕将动态显示长方形的边长与面积随B点的运动发生变化的数据。

把屏幕左面那些方框的对勾打开，屏幕将呈现表达面积与边长的函数关系的解析式与函数图象，选择屏幕上的“动画”按钮，屏幕将同时呈现长方形的变化，相应数据的变化与图象上动点运动所留的轨迹（如下图）