四边形中的动点问题(带答案)

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四边形之动点问题(习题及答案)

四边形之动点问题（习题）➢例题示范例1：如图，直线y = 3x +6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与直线y =- 3x 交于点C．动点E 从点B 出发，以每秒1 个单位长3度的速度沿BO 方向向终点O 运动，动点F 从原点O 同时出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线OC-CB 向终点B 运动，当其中一点停止时，另一点也随之停止．设点F 运动的时间为t（秒）．（1）求点C 的坐标；（2）当3 ≤t ≤6 时，若△BEF 是等腰三角形，求t 的值．13 ⎪ 【思路分析】 1.研究背景图形由直线表达式 y =3x + 6 ， y = - 3x ，可知两直线垂直，3且 OA = 2 3，OB = 6，∠ABO = 30 o ，得到∠COB = 60o ，OC = 3，BC = 3 ；C ⎛ - 3 3 3 ⎫ 同时，联立直线表达式可知， ⎝ 如图，，． 2 2 ⎭2.分析运动过程，分段，定范围①分析运动过程：动点 E 和 F 运动的起点，终点，速度；状态转折点；时间范围；所求目标．根据状态转折点 C 对运动过程进行分段，确定每段对应的时间范围分别为0 ≤ t < 3 和 3 ≤ t ≤ 6 ．如图，②分段之后可知，当3 ≤ t ≤ 6 时，点 F 在线段 BC 上；分析 △BEF ，B 是定点，E ，F 是动点．若使△BEF 是等腰三角形，需要分三种情况考虑：BE =BF ，BE =EF ，BF =EF ．3 3 2 2 ⎭⎝ 3 ⎫ 3 3 ⎛ ∴ C - ， ⎪3（1）∵直线 y = 3x + 6 与直线 y = -3x 交于点 C 3.分析几何特征、表达、设计方案求解 ①当 BE =BF 时，画出符合题意的图形从动点的运动开始表达，可得 BE =t ， BF = 3 + 3 到 t 值． - t ，根据 BE =BF 即可得此时， t =3 + 3 32②当 BE =EF 时，画出符合题意的图形；从动点的运动开始表达，可得 BE =t ，BF = 3 + 3 - t ，根据 BE =EF 且∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 E 作 EN ⊥BC 于点 N ，在Rt △BEN 中建立等式即可得到 t 值．此时，t =3③当 BF =EF 时，画出符合题意的图形；从动点的运动开始表达，可得 BE =t ， BF = 3 + 3 - t ，根据 BF =EF ，且∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 F 作 FM ⊥ BO 于点 M ，在 Rt △BFM 中建立等式即可得到 t 值．此时， t = 3【过程书写】3 3（2）当3 ≤t ≤6 时，点F 在线段BC 上，若使△BEF 是等腰三角形，分三种情况考虑：①当BE=BF 时，如图，由题意得，BE=t，BF = 3 + 3 3 -t∴t = 3 + 3 3 -t∴t =3 + 323，符合题意②当BE=EF 时，如图，过点E 作EN⊥BC 于点N ∴BN=NF∵BF = 3 + 3 3 -t∴BN =3 + 3∵BE =t3 + 3 3 -t 3 -t2∴ 2 =t32解得，t=3，符合题意③当BF=EF 时，如图，过点F 作FM⊥BE 于点M ∴BM=ME∵BE=t∴ BM =t2∵BF = 3 + 3 3 -tt∴ 23=3 + 3 3 -t2解得，t = 3 3 ，符合题意综上，若△BEF 是等腰三角形，则t 的值为3 + 3 3，3 或3 3 2➢巩固练习1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4，DC=6，BC=7，梯形的高为3 3 ．动点M 从点B 出发，沿BC 以每秒1 个单位长度的速度向终点C 运动，动点N 从点C 出发，沿C—D—A 以每秒2 个单位长度的速度向终点A 运动．M，N 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t >0）．（1）用t 表示△CMN 的面积S；（2）当t 为何值时，四边形ABMN 为矩形？（3）当t 为何值时，四边形CDNM 为平行四边形？2.如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，AD∥BC，AD=4 cm，BC=9 cm，CD=10 cm．动点P 从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿折线AD-DC 向点C 运动；动点Q 从点C 同时出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向点B 运动．当点P 到达点C 时，动点Q 随之停止，设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？（2）当t 为何值时，PQ⊥DC？3. 如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm．点P 从点A 出发，沿AB 以2cm/s 的速度向点B 运动，点Q 从点C 同时出发，沿CA 以1cm/s 的速度向点A 运动．设运动的时间为t 秒（0 <t < 6 ）．（1）直接写出线段AP，AQ 的长（用含t 的代数式表示）：AP= ，AQ= ；（2）如图2，连接PC，把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP'C，则四边形PQP'C 能否成为菱形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？图1图2备用图➢思考小结1.什么是动点问题？由速度已知的点的运动产生的几何问题称为动点问题．2.我们一般怎样处理动点问题？首先，研究背景图形．把函数信息（坐标或解析式）转化为背景图形的信息其次，分析运动过程，分段、定范围．分析运动过程常借助运动状态分析图：①起点、终点、速度——确定时间范围②状态转折点——决定分段③所求目标——明确方向最后，分析几何特征、表达、设计方案求解．分段画图、表达相关线段长，列方程求解，回归范围进行验证．3.线段长的表达，需要注意的两点是什么？①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．【参考答案】⎧- 3t 2 + 7 3 t （0 < t ≤ 3） 1⎪ 2 2 ．（1） S = ⎨⎪- 3 3 t + 21 3（3 < t ≤ 5） ⎪⎩ 2 2 （2） t = 103 （3） t = 133 2．（1） t = 43 （2） t = 2853．（1）2t ，6-t （2）能，相应的 t 值为 4 （3）t =2。

中考数学专题复习《四边形的动点问题》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《四边形的动点问题》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一单选题1．如图菱形ABCD 的周长为8 60ABC ∠=︒ 点P Q 分别是BC BD 上的动点则CQ PQ +的最小值为（）A ．2B 3C ．22D ．12．如图矩形ABCD 中 6AB = 8BC = P 是边BC 上一个动点连接PD 在PD 上取一点E 满足2PC PE PD =⋅ 则BE 长度的最小值为（）A ．6.4B 34C 733-D ．1343．如图在矩形ABCD 中 10cm AB = 点E 在线段AD 上且6cm AE = 动点P 在线段AB 上从点A 出发以2cm/s 的速度向点B 运动同时点Q 在线段BC 上．以cm/s v 的速度由点B 向点C 运动当EAP 与PBQ 全等时 v 的值为（）A ．2B ．4C ．4或65D ．2或1254．如图点D 是ABC 的边AB 的延长线上一点点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）以,BD BF 为邻边作平行四边形BDEF 又,AP BE AP BE =∥（点P E 在直线AB 的同侧）如果14BD AB =那么PBC 的面积与ABC 面积之比为（）A ．14B ．35C ．15D ．345．如图在矩形ABCD 中 6AB = 8BC =．点E 在边AD 上且6ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 P 是线段CE 上的动点连接PM PN 使PM PN =．当PM PN +的值最小时线段PC 的长为（）A ．2B ．C ．4D ．6．如图在四边形ABCD 中 AD BC ∥ 30,60,6,4B C AB AD ∠=︒∠=︒==EF 是BC 上的两动点且4EF = 点E 从点B 出发当点F 移动到点C 时两点停止运动．在四边形AEFD 形状的变化过程中依次出现的特殊四边形是（）A ．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形B ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→正方形→菱形D ．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形7．如图在正方形ABCD 中 E 为对角线AC 上与A C 不重合的一个动点过点E 作EF AB ⊥与点F EG BC ⊥于点G 连接DE FG 若AED a ∠= 则EFG ∠=（）A ．90a -︒B ．180a ︒-C ．45a -︒D ．290a -︒8．已知如图菱形ABCD 的四个顶点均在坐标轴上点()3,0A - ()0,4B ()6,0E ．点P 是菱形ABCD 边上的一个动点连接PE 把PE 绕着点E 顺时针旋转90︒得到FE 连接PF ．若点P 从点C 出发以每秒5个单位长度沿C D A B C →→→→方向运动则第2025秒时点F 的坐标是（）A ．()6,9B ．()10,6-C ．()10,6D ．()2,6二填空题9．如图在菱形ABCD 中 2BD BC == 点E 是BC 的中点点P 是对角线AC 上的动点连接PB PE 则PB PE +的最小值是．10．如图在矩形ABCD 中 6AB = 12AD = E 是线段AD 上一动点以E 为直角顶点在EB 的右侧作等腰三角形EBF 连接DF 设DF t = 当t 为整数时点F 位置有个．11．如图 MEN ∠＝90︒ 矩形ABCD 的顶点B C 分别是MEN ∠两边上的动点已知BC ＝10 CD ＝5 点D E 之间距离的最大值是．12．如图正方形ABCD E 为与点D 不重合的动点以DE 为一边作正方形DEFG ．连CF CG 当DE CF CG ++的值最小时正方形DEFG 的边长为．13．如图正方形ABCD 中 P 为BD 上一动点过点P 作PQ AP ⊥交CD 边于点Q ．点P 从点B 出发沿BD 方向移动若移动的路径长为6 则AQ 的中点M 移动的路径长为．三解答题14．在正方形ABCD 中点E 为边BC 上一个动点（点E 不与点B C 重合）连接AE 点F 在对角线AC 的延长线上连接EF 使得EF AE =．作点F 关于直线BC 的对称点G 连接CG EG ，．(1)依题意补全图形 (2)求证：BAE GEC ∠=∠(3)用等式表示线段AC CE CG ，，之间的数量关系并证明．15．如图矩形ABCD 中 AD AB > 点P 是对角线AC 上的一个动点（不包含A C 两点）过点P 作EF AC ⊥分别交射线AB 射线AD 于点E F ．(1)求证：AEF BCA △∽△ (2)连接BP 若BPAB且F 为AD 中点求APPC的值 (3)若2=AD AB 移动点P 使ABP 与CPD △相似直接写出AFAB的值．16．在梯形ABCD 中已知DC AB ∥ 90DAB ∠=︒ 3DC = 6DA = 9AB = 点E 在射线AB 上过点E 作EF AD ∥ 交射线DC 于点F 设AE x =．(1)当1x =时直线EF 与AC 交于点G 如图1 求GE 的长 (2)当3x >时直线EF 与射线CB 交于点H ．①当39x <<时动点M （与点A D 不重合）在边AD 上运动且AM BE = 联结MH 交AC 于点N 如图2 随着动点M 的运动试问:CH HN 的值有没有变化如果有变化请说明你的理由如果没有变化请你求出:CH HN 的值 ①联结AH 如果HAE CAD ∠=∠ 求x 的值．17．如图1 在ABCD 中 60A ∠=︒ 4=AD 8AB =．(1)请计算ABCD 的面积(2)如图2 将ADC △沿着AC 翻折 D 点的对应点为D 线段CD '交AB 于点M 请计算AM 的长度(3)如图3 在（2）的条件下点P 为线段CM 上一动点过点P 作PN AC ⊥于点NPG AD '⊥交AD '的延长线于点G ．在点P 运动的过程中7PN PG +的长度是否为定值？如果是请计算出这个定值如果不是请说明理由．18．如图1 四边形ABCD 中AD BC ∥90B 4tan 3C = 10CD =．(1)线段AB =(2)如图2 点O 是CD 的中点 E F 分别是AD BC 上的点将DEO 沿着EO 翻折得GEO 将COF 沿着FO 翻折使CO 与GO 重合．①当点E 从点D 运动到点A 时点G 走过的路径长为52π 求AD 的长①在①的条件下若E 与A 重合（如图3）Q 为EF 中点 P 为OE 上一动点将FPQ 沿PQ 翻折得到F PQ ' 若F PQ '与APF 的重合部分面积是APF 面积的14求AP 的长．参考答案：1．B 2．C3．D 4．D 5．D 6．A 7．C 8．D 910．1111．5+51213．14．（1）解：如图所示（2）解：①正方形ABCD ①45BAC ACB ∠=∠=︒ 90B①AE EF = ①EAC EFC ∠=∠①45BAE EAC BAC ∠+∠=∠=︒ ①45FEC EFC ACB ∠+∠=∠=︒ ①BAE FEC ∠=∠①点F 与点G 关于直线BC 的对称 ①HEF GEC ∠=∠ ①BAE GEC ∠=∠ （3）解：AC CG =+ 证明：①正方形ABCD ①AB BC = 45ACB ∠=︒ 90B①AC =①45FCH ACB ∠=∠=︒①点F 与点G 关于直线BC 的对称 ①45GCH FCH ∠=∠=︒ EF EG = ①AE EG =①FH BC ⊥交BC 延长线于H ①90GHC ∠=︒ ①45HGC HCG ∠=∠=︒ ①CH GH = ①2CG CH = ①2CH =在ABE 和EHG 中 BAE GEH B EHGAE EG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS ABE EHG ≌ ①AB EH = ①EH CE CH =+①)2222AC CE CH CE CE CG ⎫=+==+⎪⎪⎭即2AC CE CG +．15．（1）证明：四边形ABCD 是矩形 EF AC ⊥90ABC FAE ∴∠=∠=︒ 90APE ∠=︒ 90AEF EAC ∴∠+∠=︒ 90BCA EAC ∠+∠=︒ AEF BCA ∴∠=∠ AEF BCA ∴∽（2）BP AB =BAP BPA ∴∠=∠90BAP E BPA BPE ∠+∠=︒-∠+∠E BPE ∴∠=∠12AB BP BE AE ∴===设BC 交FE 于点G四边形ABCD 是矩形AD BC ∴∥ AD BC =AFE BGE ∴∽12BG BE AF AE ∴== 12BG AF ∴= 1122AF AD BC ∴== 34CG BC BG AD ∴=-= AD BC ∥AFP CGP ∴∽122334ADAP AF PC GC AD ∴===（3或54．理由如下：四边形ABCD 是矩形AD BC ∴∥ AD BC = AB CD =①当ABP CDP ∽△△时 1AP ABCP DC== ∴P 是AC 的中点AD BC ∥ACB FAP ∴∠=∠ tan tan ACB FAP ∴∠=∠即12PF AB AB AP BC AD === 设PF a = 则2AP a =5AF a ∴= 4AC a =2222(2)5AC AB BC AB AB AB =++455AB a ∴ 554455AF a AB a == ①当ABP CPD ∽时 AP AB CD CP= AP CP AB CD ∴⋅=⋅设AB CD x == AP t =则2AD BC x == 225AC AB BC x +5CP x t ∴=-2(5)t x t x ∴-=解得51x ± 51AB ±∴= 由①知12PF AB AB AP BC AD === 1122PF AP t ∴==5AF ∴=AFAB∴==554AFAB-∴=或554+或54．16．（1）DC AB∥①CFG AEG∽∴FC FGAE EG=EF AD∥∴四边形AEFD是平行四边形DF AE∴=AD EF=1AE x==1DF∴=3CD=2CF∴=又6AD=6EF∴=6FG EG∴=-∴261EGEG-=2EG（2）①:CH HN的值没有变化．过点C作CG AB⊥于点G6CG AD ∴== 3DC AG ==9AB =6GB ∴=CGB ∴是等腰直角三角形222CB CG GB ∴=+62CB ∴=45B ∠=︒ 90HEB ∠=︒45EHB ∴∠=︒B EHB ∴∠=∠HE BE ∴=AM BE =AM HE ∴=AM HE ∥∴四边形AMHE 是平行四边形A MHB ∴∥CNH CAB ∴∽ ∴CH CB HN AB= 9AB = ∴6222CH HN == ①当39x <<时由①得HE BE =9HE x ∴=-在Rt CDA △中 31tan 62CD CAD AD ∠=== 在Rt AEH △中 9tan HE x HAE AE x-∠== CAD HAE ∠=∠∴192x x-= 6x ∴=当9x >时同理可得BE EH =9EH x BE ∴=-= 同理12EH AE = ∴912x x -= 18x ∴=综上所述 x 的值为6或18．17．（1）解：作CE AB ⊥交AB 延长线于点E①四边形ABCD 是平行四边形①AD BC ∥ 60DAB CBE ∠=∠=︒ 4AD BC == 8AB CD ==在Rt CBE △中 122BE BC == =CE①ABCD 的面积为8AB CE ⨯=⨯=（2）解：①四边形ABCD 是平行四边形①AB CD ∥①ACD CAB ∠=∠由折叠的性质得ACD ACM ∠=∠①ACM CAM ∠=∠①MA MC =设MA MC x == 则10ME AB BE AM x =+-=-在Rt CBE △中由勾股定理得()(22210x x =-+解得： 5.6x = 即AM 的长度为5.6（3）解：①10AE AB BE =+= CE =①2247AC AE CE =+①ACM CAM ∠=∠ 90AEC CNP ∠=∠=︒①AEC CNP ∽△△ ①2334727PN CE CP AC ==37PN 由折叠的性质得CAD CAD '∠=∠ ①60CAD CAM ∠+∠=︒①60CAD ACM CD G ''∠+∠=︒=∠过点C 作CF AG ∥交GP 的延长线于点F①PG AD '⊥①PF CF ⊥ 60PCF CD G '∠=∠=︒ ①12CF CP = 223PF CP CF =-= 37PN PF == 7PN PG +的长度是FG 的长度过点C 作CH AG ⊥交AG 的延长线于点H①四边形CFGH 是矩形①FG CH = 由折叠的性质得8C D CD '==又60CD H '∠=︒ ①142D H CD ''== ①2243CH CD D H ''-综上 7PN PG +的长度是定值这个定值为318．（1）解：如图1作DG BC ⊥于G①90DGB ∠=︒①AD BC ∥ 90B ∠=︒①18090A B ∠∠=︒-=︒①四边形ABGD 是矩形①AB DG = ①4tan 3C =①4sin 5C = ①4sin 1085AB DG CD C ==⋅=⨯= 故答案为：8（2）解：①如图2作AH CD ⊥ 交CD 的延长线于点H①AD BC ∥①ADH C ∠=∠ ①4tan 3AH ADH DH =∠= 设4AH a = 3DH a = 则5AD a =①DEO 沿着EO 翻折得GEO①OG OD = DOE GOE ∠∠=①点G 的轨迹是以O 为圆心 5为半径的弧 ①551802n ππ⋅⋅= ①90n =︒①45AOE ∠=︒ ①tan 1AH AOD OH=∠= ①4OH AH a ==由OH DH OD -=得435a a -=①5a =①420OH a == 525AD a ==①①将DEO 沿着EO 翻折得GEO 将COF 沿着FO 翻折使CO 与GO 重合 ①DOE GOE ∠∠= COF GOF ∠∠=①90EOF ∠=︒①45AOD ∠=︒①45COF ∠=︒如图3作FW CD ⊥于W 设QF '交AP 于R ①4tan 3FW C CW == 设4FW x = 3CW x = ①tan 1FW COF OW∠== ①4OW FW x ==由OW CW OC +=得435x x += ①57x =①2047FW OW x ===①OF =由①知： AO ==①2007AF == 当QF '交AP 于R 时取OA 的中点X 连接QX ①Q 是AF 的中点 ①QX OF ∥①12QX OF == 90AXQ AOF ∠∠==︒ 12APQ PQF APF S S S == ①14PQR APF S S = ①12PQR APQ S S =①点R 是AP 的中点由折叠得：PQF PQF '∠=∠ ①2QR AP AQ AR== ①15027RQ AQ ==①RX ==①AR AX RX =-=①2AP AR ==如图4当PF '交AQ 于R 时同理可得：R 是AQ 的中点2PF FQ PR RQ== ①2PF PF PR '==①R 是PF '的中点①四边形APQF'是平行四边形①110027 AP QF QF AF='===综上所述：8032AP=1007．。

动点点问题专题训练参考答案

动点问题专题训练参考答案 1．（1）相等理由是：因为四边形ABCD 、EFGH 是矩形，所以,,EGH EGF ECN ECP CGQ CGM S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===所以,EGH ECP CGM EGF ECN CGQ S S S S S S ∆∆∆∆∆∆--=-- 即：S S '= ………… （2）AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，设AE ＝x ，则EC ＝5－x ，34(5),,55PC x MC x =-=所以12(5)25S PC MC x x ==- ，即21212(05)255S x x x =-+≤≤ 配方得：2125()3252S x =--+，所以当52x =时， S 有最大值3（3）当AE ＝AB ＝3或AE ＝BE ＝52或AE ＝3.6时，ABE ∆是等腰三角形.……（每种情况得1分）2．解：（1）点 M ···························· 1分（2）经过t 秒时，NB t =，2OM t = 则3CN t =-，42AM t =- ∵BCA ∠=MAQ ∠=45∴ 3QN CN t ==- ∴ 1 PQ t =+ ·················· 2分 ∴11(42)(1)22AMQ S AM PQ t t ==-+ △ 22t t =-++ ······························ 3分∴2219224S t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ ····················· 5分∵02t ≤≤∴当12t =时，S 的值最大． ················· 6分（3）存在． ····························· 7分设经过t 秒时，NB =t ，OM=2t 则3CN t =-，42AM t =-∴BCA ∠=MAQ ∠=45······················ 8分①若90AQM ∠= ，则PQ 是等腰Rt △MQA 底边MA 上的高 ∴PQ 是底边MA 的中线 ∴12PQ AP MA == ∴11(42)2t t +=- ∴12t =∴点M 的坐标为（1，0） ······················· 10分②若90QMA ∠= ，此时QM 与QP 重合 ∴QM QP MA ==∴142t t +=- ∴1t =∴点M 的坐标为（2，0） ······················· 12分3．（1）设动点出发t 秒后，点P 到达点A 且点Q 正好到达点C 时，BC BA t ==，则1630,102BPQ S t t ∆=⨯⨯=∴=（秒）则()()10,2BA cm AD cm ==；（2）可得坐标为()()10,30,12,30M N （3）当点P 在BA 上时，()213sin 010210y t t B t t =⨯⨯⨯=≤<；当点P 在DC 上时，()()1101859012182y t t t =⨯⨯-=-+<≤ 图象略4．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C ．……………（1分）此时，QC =35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30． ………………（2分）（2）如图8，若PQ ∥DC ，又AD ∥BC ，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD =QC ，由QC =3t ，BA +AP =5t 得50＋75－5t =3t ，解得t =1258．经检验，当t =1258时，有PQ ∥DC ．………（4分）（3）①当点E 在CD 上运动时，如图9．分别过点A 、D 作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形 ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH = AD =75，于是BF =CH =30．∴DH =AF =40．图9H图8又QC =3t ，从而QE =QC ·tan C =3t ·CHDH =4t ．（注：用相似三角形求解亦可） ∴S =S ⊿QCE =12QE ·QC =6t 2；………………………………………………………（6分）②当点E 在DA 上运动时，如图8．过点D 作DH ⊥BC 于点H ，由①知DH =40，CH =30，又QC =3t ，从而ED =QH =QC －CH =3t －30．∴S = S 梯形QCDE =12(ED ＋QC )DH =120 t －600．…………………………（8分）（4）△PQE 能成为直角三角形． ……………………………………………………（9分）当△PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0＜t ≤25且t ≠1558或t =35． …（12分）（注：（4）问中没有答出t ≠1558或t =35者各扣1分，其余写法酌情给分）下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：①当点P 在BA （包括点A ）上，即0＜t ≤10时，如图9．过点P 作PG ⊥BC 于点G ，则PG =PB ·sin B =4t ，又有QE =4t = PG ，易得四边形PGQE 为矩形，此时△PQE 总能成为直角三角形．②当点P 、E 都在AD （不包括点A 但包括点D ）上，即10＜t ≤25时，如图8．由QK ⊥BC 和AD ∥BC 可知，此时，△PQE 为直角三角形，但点P 、E 不能重合，即 5t －50＋3t －30≠75，解得t ≠1558． ③当点P 在DC 上（不包括点D 但包括点C ），即25＜t ≤35时，如图10．由ED ＞25×3－30=45，可知，点P 在以QE =40为直径的圆的外部，故 ∠EPQ 不会是直角．由∠PEQ ＜∠DEQ ，可知∠PEQ 一定是锐角．对于∠PQE ，∠PQE ≤∠CQE ，只有当点P 与C 重合，即t =35时，如图11，∠PQE =90°，△PQE 为直角三角形．综上所述，当△PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0＜t ≤25且t ≠1558或t =35． 5．解：（1）在矩形OABC 中， 60OA =，80OC =，100OB AC ∴===．……………………1分PT OB ⊥ ，Rt Rt OPT OBC ∴△∽△． PT OP BC OB ∴=，即560100PT t =，3y PT t ∴==．……3分当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=．图10(P )图11所以，t 的取值范围是016t ≤≤． ··················· 4分（2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，A T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）．……………………5分 AP OB ∴⊥，12∠=∠．Rt Rt AOP OCB ∴△∽△，OP AO CB OC ∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(450)，．…………6分设直线AP 的函数解析式为y kx b =+．将点(060)A ，和点(450)P ，代入解析式，得60045.a b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得4360.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴此时直线AP 的函数解析式是4603y x =-+．·············· 8分（3）由（2）知，当4595t ==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点A T P ，，不构成三角形．故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部（如答图3）．过A 点作AE OB ⊥，垂足为点E ，由AO AB OB AE = 可得48AE =．APT AOP ATO OTP S S S S ∴=--△△△△211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+． ············ 10分若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -+=，即292000t t -+=．此时，2(9)412000--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14． ······························ 11分（ii ）当916t <≤时，点T 位于AOP △的外部．（如答图4）此时2654APT ATO OTP AOP S S S S t t =+-=-△△△△． ············· 12分若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -=，即292000t t --=．解这个方程，得192t +=，2902t =<（舍去）．（第28题答图3）（第28题答图2）由于288162525>=，991722t +∴=>=．而此时916t <≤，所以t =所以，当916t <≤时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积也不能达到矩形OABC 面积的14．综上所述，以A PT ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形O A B C 面积的14．--------14分6．解：（1）AB y ∥轴． ························· 1分理由： Rt OAB △中，tan :ABO OA OB ∠==30ABO ∴∠=． ···· 2分设AB 交OP 于点Q ，交x 轴于点S ，矩形的对角线互相平分且相等，则QO QB =，30QOB ∴∠= ，过点M 作MT x ⊥轴于T ，则t a n M O T ∠=，30MOT ∴∠= ，60BOS ∴∠= ，90BSO ∴∠= ，AB y ∴∥轴．······· 3分（2）设l 在运动过程中与射线OM 交于点C ，过点A 且垂直于射线OM 的直线交OM 于点D ，过点B 且垂直于射线OM 的直线交OM 于点E ，则OC t =．2OP t =+ ，)OB t ∴=+，3(2)4OE t =+，1(2)2OA t =+，1(2)4OD t =+．····································· 4分①当10(2)4t t <+≤，即203t <≤时，23S =． ············· 6分 ②当13(2)(2)44t t t +<+≤，即263t <≤时，设直线l 交OB 于F ，交PA 于G ，则OF t =，PG ==，AG PA ∴==，211(2)22322426S t ⎛⎫=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭． ·········· 8分 ③当3(2)4t t >+，即6t >时，2CP = ，114)(2)22S S t t∴=-⨯=+⨯+矩22)t=+=+-………………………………………………10分7．（1）34PM=，（2）2t=，使PNB PAD△∽△，相似比为3:2（3）PM AB CB AB AMP ABC∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC△∽△，PM AMBN AB∴=即()PM a t t a tPMt a a--==，，(1)3t aQMa-=-当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t ta a t t ta a-⎛⎫⎛⎫-+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66ata=+，3t≤，636aa∴+≤，则636a a∴<≤，≤，（4）36a<≤时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN PM=()3ta t ta∴-=-，把66ata=+代入，解之得a=±a=所以，存在a，当a=PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．8．（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB DG········· 1分所以,B GCE G BFE∠=∠∠=∠所以BEF CEG△∽△························· 3分（2）BEF CEG△与△的周长之和为定值．················· 4分理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以FH＝CG，FG＝CH因此，BEF CEG△与△的周长之和等于BC＋CH＋BH由BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，所以BC ＋CH ＋BH ＝24 ·························· 6分理由二：由AB ＝5，AM ＝4，可知在Rt△BEF 与Rt△GCE 中，有：4343,,,5555EF BE BF BE GE EC GC CE ====，所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是125CE 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24． ··········· 6分（3）设BE ＝x ，则43,(10)55EF x GC x ==- 所以21143622[(10)5]2255255y EF DG x x x x ==-+=-- ········· 8分配方得：2655121()2566y x =--+．所以，当556x =时，y 有最大值． ····················· 9分最大值为1216． ······························ 10分9．（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11ky x =，22k y x =．1111122S x y k ∴==，2221122S x y k ==． 12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1111432234ECF S EC CF k k ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△， 11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形11112212243234OEF ECF ECF S S S k S k k k ⎛⎫⎛⎫∴=-=--=--⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△△2112S k k ∴=-+． A M xH GFED CB当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-， 90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠= ，EMN MFB ∴∠=∠．又90ENM MBF ∠=∠=，ENM MBF ∴△∽△．EN EM MB MF ∴=，11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 94MB ∴=． 222MB BF MF += ，222913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得218k =．21432k BF ∴==． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．10．1）证明：在正方形ABCD 中，无论点P 运动到AB 上何处时，都有AD =AB ∠DAQ =∠BAQ AQ =AQ∴△ADQ ≌△ABQ ············ 2分(2)解法一：△ADQ 的面积恰好是正方形ABCD 面积的61时，过点Q 作Q E ⊥AD 于E ,QF ⊥AB 于F ，则QE = QF21QE AD ⨯=ABCD 正方形S 61=38 ∴QE =34····························· 4分由△DEQ ∽△DAP 得 DADEAP QE = 解得2=AP ∴2=AP 时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61········ 6分解法二：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ，QF ⊥x 轴于点F ．21QE AD ⨯=ABCD 正方形S 61=38 ∴QE =34 ∵点Q 在正方形对角线AC 上 ∴Q 点的坐标为44()33，∴ 过点D （0，4），Q ()34,34两点的函数关系式为：42+-=x y 当0=y 时，2=x ∴P 点的坐标为（2，0） ∴2=AP 时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61． ········ 6分（3）若△ADQ 是等腰三角形，则有 QD =QA 或DA =DQ 或AQ =AD ①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知 QD =QA 此时△ADQ 是等腰三角形②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，此时DA =DQ , △ADQ 是等腰三角形 ········ 8分 ③解法一：如图，设点P 在BC 边上运动到x CP =时，有AD =AQ∵ AD ∥BC ∴∠ADQ =∠CPQ 又∵∠AQD =∠CQP ∠ADQ =∠AQD ∴∠CQP =∠CPQ ∴ CQ =CP =x∵AC =24 AQ = AD =4∴424-=-==AQ AC CQ x即当424-=CP 时，△ADQ 是等腰三角形 ·········· 10分11．（1）解法一：如图25-1过A 作AE ⊥CD ，垂足为E .依题意，DE =25249=-. …………………………2分在Rt △ADE 中，AD =522560=⨯=︒cos DE . ………5分解法二：如图25-2过点A 作AE ∥BC交CD 于点E ，则CE =AB =4 . …2分 ∠AED =∠C =60°. 又∵∠D =∠C =60°，∴△AED 是等边三角形 .∴AD =DE =9－4=5 . …………………………………5分（2）解：如图25-1∵CP =x ，h 为PD 边上的高,依题意，△PD Q 的面积S 可表示为： S=21PD ·h ………………………………………6分 =21(9－x )·x ·sin60° =43(9x －x 2) =－43(x －29)2＋16381. (8)分由题意，知0≤x ≤5 . ……………………………………………………… 9分当x =29时（满足0≤x ≤5），S 最大值=16381. …………………………… 10分（3）证法一：如图25-3假设存在满足条件的点M ，则PD 必须等于D Q . ………………………… 11分于是9－x =x ，x =29. 此时，点P 、Q 的位置如图25-3所示，连Q P .△PD Q 恰为等边三角形 .过点Q 作Q M ∥DC ，交BC 于M ，点M 即为所求.连结MP ，以下证明四边形PD Q M 是菱形 .易证△MCP ≌△Q DP ，∴∠D=∠3 . MP =PD图25-1图25-2 图25-3。

四边形之动点问题(习题及答案)

四边形之动点问题（习题）＞例题示范例1：如图，直线y = j5x + 6与X轴、y轴分别交于点A, B,与直线y = 交于点C.动点£从点B出发，以每秒1个单位长3度的速度沿B0方向向终点0运动，动点F从原点0同时出发, 以每秒1个单位长度的速度沿折线OC-CB向终点B运动，当其中一点停止时，另一点也随之停止.设点F运动的时间为/（秒）.①求点C的坐标；⑵当3W/W6时，【思路分析】I 研究背景图形如图1所示.2分析运动过程，分段，定范H 如下图，*0I3s ； 3辰'— ------------- r I I① OWr<3 ② 3 WfW63 分析儿何特征、表达、设计方案求解分段之后可知，当3 W f W 6时，点F 在线段BC 上；分析 B 是定点,E, F 是动点.若使是等腰三角形，需要分三种情况考虑：BE 二BF, BE=EF, BF 二EF.①当BE=BF 时，画出符合题意的图形，如图2；从动点的运动开始表达，可得BEn, BF = 3 + 3*-t, W BE=BF B|J 可得到f 值. 此时，f = 3+那2®a BE=EF 时，画出符合题意:的图形，如图3；从动点的运动开始表达，可得BEn, BF=3 + 3y/3-f,根ffl- BE=EF.且ZOBA=30。

，利用等腰三角形三线合一，过点E 作EN 丄BC 于点N,在RtABEN 中建立等式即可得到f值.此时，f=3BF=EF 时，画出符合题意的图形，如图4；从动点的运动开始表达，可得BEn, BF=3 + 3壬-1,根BF=EF.且 ZOBA=30。

，利用等腰三角形三线合一，过点F 作FM 丄BO 于点M,在RtABFM 中建立等式即可得到t 值.此时，屆3△DEF 等腰 Z?6s AB【过程书写】⑴T直线〉Y + 6与直线〉一+交于点Q•Ml(2)当3WrW6时，点F在线段BC上，若使△BEF是等腰三角形，分三种悄况考虑：①当BE二BF时,如图，由题意得，BEn, 3 +听-/.:f = 3 + - t:・t = 3 + 3小,符合题意2②当BE二EF时，如图，过点E作EN丄BC于点N:・BN二NF7 BF=3 + yJ^-l:.BN=3+M T2V BE = t3 + 3^" - t' 2 h L忑2解得，Z=3,符合题意③当BF=EF时，如图，过点尸作斤〃丄BE于点M:.BM=ME•：EEnA BM=L27 BF = 3 + 3^-t解得,综上, 若△BEF是等腰三角形,＞巩固练习I 如图，在直角梯形ASCD中，AD//BC, ZABC=90。

四边形中的动点问题(带答案)

四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠ EFB ＝2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 _____3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为___________4、如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点 D 从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点 A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t ≤15)．过点 D 作DF⊥ BC于点F，连接DE，EF.(1) 求证：AE＝DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF为直角三角形请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点 A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点 D 时，（1）求证：△ ADE≌△ CDF；：（2）当t 为____ s 时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠ B=60°，点E在射线BC上运动，∠ EAF=60°，点 F 在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点 E 在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB 有怎样的相等关系写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点不与点 A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是菱形．8、如图，△ ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC，设MN 交∠ BCA的平分线于点E，交∠ BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（3）当点O 在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD 作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是___ ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB 的长是__10、如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为_____ ．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P 是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为／s。

四边形之动点问题(框架二)(北师版)(含答案)

四边形之动点问题（框架二）（北师版）一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，∠ABC=60°．动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AC向点C运动（不与点A，C重合），同时动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线CB-BA向点A运动（不与点C，A重合）．设点P的运动时间为t秒，△APQ的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：研究背景图形，△ABC是边长为4的等边三角形．①当0<t≦2时，如图所示，过点Q作QH⊥AC于点H．AP=t，CQ=2t，∴，∴；②当2<t<4时，如图所示，过点Q作QH⊥AC于点H．AP=t，AQ=8-2t，∴，∴．故选A.试题难度：三颗星知识点：动点问题2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为( )秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．A. B.C. D.答案：D解题思路：背景图形：AD=6，BC=16，BE=CE=8，以点P，Q，E，D为顶点的四边形，由于顺序不确定，所以需要分类讨论．①当点Q在点E右侧，即0≤t≤4时，如图所示，此时PD=EQ，∵，∴，解得，满足题意；②当点Q在点E左侧，即4<t≤6时，如图所示，此时PD=QE，∵，∴，解得，满足题意．综上，答案选D.试题难度：三颗星知识点：动点问题3.如图，在平行四边形OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm．动点P 从点O出发，以1cm/s的速度沿折线OA-AB运动；动点Q同时从点O出发，以相同的速度沿折线OC-CB运动．当其中一点到达终点B时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）设△OPQ的面积为S，要求S与t之间的函数关系式，根据表达的不同，t的分段应为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：由题意得，OA=CB=8cm，OC=AB=4cm．运动状态如图所示，∴t的取值范围是（端点处构不成三角形），t的分段应为．故选D.试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由上题对动点运动状态的分析知，①当0<t≦4时，如图所示，过点Q作QM⊥OA于点M．OP=OQ=t，∠AOC=60°，∴．②当4<t≦8时，如图所示，过点Q作QM⊥OA于点M，过点C作CD⊥OA于点D，在Rt△COD中，∠COD=60°，∴，∴，∴；③当8<t<12时，如图所示，<12时，如图所示，过点P作PE⊥x轴于点E，过点P作PF⊥BC于点F，延长BC交y轴于点G. AP=t-8，BP=12-t，BQ=12-t，CQ=t-4，综上得，综上，答案选C.试题难度：三颗星知识点：动点问题。

部编数学八年级下册专题19四边形中的动图问题(解析版)含答案

专题19 四边形中的动图问题（解析版）类型一平行四边形及特殊平行四边形的存在性问题1．如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在X轴正半轴上，∠COA＝60°，OA＝10cm，OC ＝4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求点C，B的坐标（结果用根号表示）（2）从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形；（3）在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．思路引领：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，根据直角三角形的性质算出OE的长，再利用勾股定理即可求出CE的长，从而得到C点坐标；根据平行线间的距离相等可知CE＝BF＝证明Rt△COE≌Rt△BAF，从而得到AF的长，即可得到B点坐标；（2）根据平行四边形的性质可知CP＝OQ，设时间为x秒，表示出OQ、CP的长，可得到方程10﹣3x＝x，解方程即可；（3）如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，根据运动速度，算出运动时间，计算可发现不能成为菱形．解：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，∵∠COA＝60°，∴∠1＝30°，∴OE=12CO＝2cm，在Rt△COE中，CE==∴C点坐标是（2，，∵四边形OABC是平行四边形，∴CO＝AB，CO∥AB，∵CE⊥OA，过B作BF⊥OA，∴CE＝BF＝，∴Rt△COE≌Rt△BAF，∴AF＝EO＝2，∴OF＝OA+AF＝12（cm），∴B点坐标是（12，；（2）设从运动开始，经过x秒，四边形OCPQ是平行四边形，10﹣3x＝x，解得：x＝2.5，故运动开始，经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形；（3）不能成为菱形，如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，∵OA＝10cm，∴AQ＝10﹣4＝6（cm），则Q的运动时间是：6÷3＝2（秒），这时CP＝2×1＝2（cm）∵CP≠4cm，∴四边形OCPQ不能成为菱形．总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，直角梯形的性质，菱形的性质，是一道综合题，关键是需要同学们熟练掌握各种特殊四边形的性质，并能熟练应用．2．（2022春•广信区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．思路引领：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形=16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．总结提升：本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．3．（2021春•睢县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？思路引领：（1）由题意得到AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，在△ADE和△CDF中，∠EAD=∠FCD∠AED=∠CFDAD=CD，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：①当点F在C的左侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AEFC为平行四边形，即t＝2t﹣6，解得t＝6，综上可得：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．总结提升：此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．类型二动点最值问题4．（2021春•灌云县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB =13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．B．C．D．思路引领：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，AP+PB＝A'B即为所求，由面积关系可得AM=23AD＝4，在Rt△ABA'中求出A'B即可．解：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，∴AP+PB＝A'P+PB＝A'B，此时PA+PB的值最小，∵S△PAB =13S矩形ABCD，∴12×AB×AM=13×BA×AD，∴AM=23 AD，∵AD＝6，∴AM＝4，∴AA'＝8，∵AB＝10，在Rt△ABA'中，A'B＝故选：B．总结提升：本题考查轴对称求最短距离，通过面积关系，能确定P点所在直线是解题的关键．5．（自贡中考）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．思路引领：根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可．解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF＝ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME＝AN，作CH⊥AB，∵AC ＝BC ，∴AH =12，由勾股定理可得，CH ∵12×AB ×CH =12×BC ×AN ，可得，AN =∴ME ＝AN =4，∴PE +PF总结提升：此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．6．（2020•锦州模拟）如图，已知平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BC ＝10，∠BCD ＝60°，两顶点B 、D 分别在平面直角坐标系的y 轴、x 轴的正半轴上滑动，连接OA ，则OA 的长的最小值是．思路引领：利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A 点位置，进而求出AO 的长．解：如图所示：过点A 作AE ⊥BD 于点E ，当点A ，O ，E 在一条直线上，此时AO 最短，∵平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BC ＝10，∠BCD ＝60°，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝10，∠BAD ＝∠BCD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AE 过点O ，E 为BD 中点，∵∠BOD ＝90°，BD ＝10，∴EO ＝5，故AO 的最小值为：AO ＝AE ﹣EO ＝AB sin60°―12×BD ＝―5．故答案为：―5．总结提升：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短是解题关键．7．（2022•利州区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．0.5B．2.5C D．1思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，延长HM交CD于点N．则△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH为等边三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，连接BH，EH，则四边形HEPM为矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP=12EC=32，∴CM＝MP+CP＝1+32=52，即CG的最小值为5 2．方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，则△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，当FH⊥AB时，FH最小＝1+32=52．故选：B．总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．8．（2022秋•射阳县月考）如图，△APB中，AB＝4，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE 和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是　．思路引领：先延长EP 交BC 于点F ，得出PF ⊥BC ，再判定四边形PCDE 平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP 的面积＝EP ×CF ＝a ×12b =12ab ，最后根据a 2+b 2＝8，判断12ab 的最大值即可．解：如图，延长EP 交BC 于点F ，∵∠APB ＝90°，∠APE ＝∠BPC ＝60°，∴∠EPC ＝150°，∴∠CPF ＝180°﹣150°＝30°，∴PF 平分∠BPC ，又∵PB ＝PC ，∴PF ⊥BC ，设Rt △ABP 中，AP ＝a ，BP ＝b ，则CF =12CP =12b ，a 2+b 2＝42＝16，∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE ＝AP ，AD ＝AB ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠PAB ，在△EAD 和△PAB 中，AE =AP ∠EAD =∠PAB AD =AB，∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴ED ＝PB ＝CP ，同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），∴EP＝AP＝CD，∴四边形PCDE是平行四边形，∴四边形PCDE的面积＝EP×CF＝a×12b=12ab，又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2＝16，∴12ab≤4，即四边形PCDE面积的最大值为4．故答案为：4．总结提升：本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．9．（2022春•番禺区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值．思路引领：（1）连接CF，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到CF＝EF，CF＝AF，从而求证结论．（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，即可得到MN+NG=12（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，结合已知推断△ABC为等边三角形，即可求解．解：（1）证明：连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF＝EF，∵四边形ABCD为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF ＝AF ，∴AF ＝EF ；（2）连接AC ，∵M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，∴MN =12AF ，NG =12CF ，即MN +NG =12（AF +CF ），当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF +CF 最小，即此时MN +NG 最小，∵菱形ABCD 边长为1，∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，AC ＝AB ＝1，即MN +NG 的最小值为12；总结提升：本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．类型三求运动路径的长10．（2022•虞城县二模）如图，矩形ABCD 中．AB =AD ＝1，点E 为CD 中点，点P 从点D 出发匀速沿D ﹣A ﹣B 运动，连接PE ，点D 关于PE 的对称点为Q ，连接PQ ，EQ ，当点Q 恰好落在矩形ABCD的对角线上时（不包括对角线端点），点P 走过的路径长为 12或1　．思路引领：当点Q 恰好落在矩形ABCD 的对角线上时存在两种情况：①如图1，点P 在AD 上，点Q 在AC 上，连接DQ ，证明AP ＝PD 可得结论；②如图2，点P 在AB 上，连接PD ，根据30°角的三角函数列式可得AP 的长，从而计算结论．解：如图1，点P 在AD 上，点Q 在AC 上，连接DQ ，∵E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ，∵点D 关于PE 的对称点为Q ，∴PE ⊥DQ ，DE ＝EQ ＝EC ，∴∠DQC ＝90°，∴DQ ⊥AC ，∴PE ∥AC ，∴PD ＝AP =12AD =12，即点P 走过的路径长为12；如图2，点P 在AB 上，连接PD ，∵E 为CD 的中点，且CD =∴DE ＝CE ∵∠DFE ＝90°，∴cos ∠EDF ＝cos30°=DF DE，∴DF =34，∵BD 2，∴BF ＝2―34=54，cos ∠ABD ＝cos30°=BF PB ，∴BP 5=∴AP ==∴此时点P 走过的路径长为1综上，点P 走过的路径长为12或1+故答案为：12或1+总结提升：本题主要考查了矩形的性质，对称的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识是解题的关键，并注意运用分类讨论的思想．11．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．（1）当点B '恰好落在边CD 上时，线段BM 的长为 cm ；（2）点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB ′与边CD 交于点E ，求点E 相应运动的路径长度．（3）当点A 与点B '距离最短时，求AM 的长．思路引领：（1）运用矩形性质和翻折性质得出：MB′＝NB′，再利用勾股定理即可求得答案；（2）探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．（3）如图5中，连接AN，当点B′落在AN上时，AB′的值最小，此时MN平分∠ANB．利用面积法求出AM：BM＝2，可得结论．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′cm），∴BM＝NB′=cm）．（2）如图1中，点B'恰好落在边CD上时，BM＝NB′=cm）．如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt △ADE 中，则有x 2＝22+（4﹣x ）2，解得x =52，∴DE ＝4―52=32（cm ），如图3中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝5﹣1﹣2＝2（cm ），如图4中，当点M 运动到点B ′落在CD 时，DB ′（即DE ″）＝5﹣1―（4―（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝2―32+2﹣（432）（cm ）．（3）如图5中，连接AN ，当点B ′落在AN 上时，AB ′的值最小，此时MN 平分∠ANB ．过点M 作MP ⊥AN 于点P ，MQ ⊥BN 于点Q ．在Rt △ADN 中，AN ===∵S △AMN S △MNB =AM BM =12⋅AN⋅MP 12⋅BN⋅MQ =2，∴AM =23AB =103．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．类型四平移、翻折及旋转问题12．（2019春•江北区期中）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝8，F 是AB 的中点．过点F 作FE ⊥AD ，垂足为E ．将△AEF 沿点A 到点B 的方向平移，得到△A ′E ′F ′．设P 、P ′分别是EF 、E ′F ′的中点，当点A ′与点B 重合时，四边形PP ′F ′F 的面积为（）A ．B ．C ．D ．―8思路引领：如图，连接BD ，DF ，DF 交PP ′于H ．首先证明四边形PP ′CD 是平行四边形，再证明DF ⊥PP ′，求出FH 即可解决问题．解：如图，连接BD ，DF ，DF 交PP ′于H ．由题意PP ′＝AA ′＝AB ＝CD ，PP ′∥AA ′∥CD ，∴四边形PP ′CD 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵AF ＝FB ，∴DF ⊥AB ，DF ⊥PP ′，在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝90°，∠A ＝60°，AF ＝4，∴AE ＝2，EF ＝∴PE ＝PF =在Rt △PHF 中，∵∠FPH ＝30°，PF∴HF =12PF∴平行四边形PP ′FF ′的面积8＝故选：B ．总结提升：本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13．（2021•海南模拟）如图，正方形ABCD 的边长为1；将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 的位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是（）A ．14B ．2―C 1D ．12思路引领：依据△BFH 、△CEF 为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积．解：正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，∴EF ＝CE ＝1，∴CF =∴BF =―1，∵∠BFE ＝45°，∴BH ＝BF ―1，∴阴影部分的面积=12×1×1―12×―1）2―1，故选：C ．总结提升：本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是利用△BFH 、△CEF 为等腰直角三角形求解线段的长．14．（2020•湘西州）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为．思路引领：由已知得出AD ＝OA ﹣OD ＝4，由矩形的性质得出∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，由勾股定理得出ED ＝解：∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，；∴矩形CODE的面积为2＝∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为如图，设ME′＝x，则FE′，依题意有x×÷2＝解得x＝±2（负值舍去）．故矩形CODE向右平移的距离为2．故答案为：2．总结提升：考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键（2022•大连模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝．思路引领：过点E作EH⊥AD于H，根据勾股定理可求DH的长度，由折叠的性质得出AG＝GE，在Rt△HGE中，由勾股定理可求出答案．解：过点E作EH⊥AD于H，∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝4，∴∠BAD＝∠HDE＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝2，在Rt△DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH＝1，HE=∵将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，∴AG＝GE，在Rt△HGE中，GE2＝GH2+HE2，∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，∴GE＝2.8．故答案为：2.8．总结提升：本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．。

整理四边形中的动点问题(带答案)

20 年月日A4打印/ 可编辑四边形中的动点问题带答案xA OQP By 动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标；（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

文件编号： 47-67-A7-CA -7A图（3）ABC OEF AB CO D图（1）ABOE FC 图（2）2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t(s)(0<t <2)，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论yM CD3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60° 当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

初二数学《平行四边形中的动点问题》(附练习及答案)

四边形中的动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。

解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。

数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。

这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。

解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______（第9题）（第10题）10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。

四边形中的动点问题

1、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC 边于点F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．2、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．（1）当t=0.5时，求线段QM的长；（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．3、在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处（如图1），绕O点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2）．设BE=x，CF=y．（1）探究：在图2中，线段AE与CF之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；（2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处（如图3），绕O点顺时针方向旋转，其他条件不变．①试写出y与x的函数解析式，以及x的取值范围；②将三角尺绕O点旋转（如图4）的过程中，△OEF 是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由．4、如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积；②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似．。

四边形之动点问题(习题及答案)

四边形之动点问题（习题）➢例题示范例1：如图，直线y = 3x +6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与直线y =- 3x 交于点C．动点E 从点B 出发，以每秒1 个单位长3度的速度沿BO 方向向终点O 运动，动点F 从原点O 同时出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线OC-CB 向终点B 运动，当其中一点停止时，另一点也随之停止．设点F 运动的时间为t（秒）．（1）求点C 的坐标；（2）当3 ≤t ≤6 时，若△BEF 是等腰三角形，求t 的值．13 3 3 【思路分析】 1. 研究背景图形如图 1 所示．2. 分析运动过程，分段，定范围如下图，图 1① 0 ≤ t < 3 ② 3 ≤ t ≤ 63.分析几何特征、表达、设计方案求解分段之后可知，当3 ≤ t ≤ 6 时，点 F 在线段 BC 上；分析△BEF ， B 是定点，E ，F 是动点．若使△BEF 是等腰三角形，需要分三种情况考虑：BE =BF ，BE =EF ，BF =EF ．①当 BE =BF 时，画出符合题意的图形，如图 2；从动点的运动开始表达，可得 BE =t ，BF = 3 + 3 得到 t 值．此时， t = 3 + 3 32- t ，根据 BE =BF 即可 ②当 BE =EF 时，画出符合题意的图形，如图 3；从动点的运动开始表达，可得 BE =t ， BF = 3 + 3 - t ，根据 BE =EF ，且 ∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 E 作 EN ⊥BC 于点 N ，在 Rt △BEN 中建立等式即可得到 t 值．此时，t =3③当 BF =EF 时，画出符合题意的图形，如图 4；从动点的运动开始表达，可得 BE =t ， BF = 3 + 3 - t ，根据 BF =EF ，且 ∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 F 作 FM ⊥BO 于点 M ，在 Rt △BFM 中建立等式即可得到 t 值．此时， t = 33 图 2图 3解得， t = 3 3 ，符合题意综上，若△BEF 是等腰三角形，则 t 的值为3 + 3 3 ，3 或3 322 =3 + 3 3 - t∴ 2 3 解得，t =3，符合题意③当 BF =EF 时，如图，过点 F 作 FM ⊥BE 于点 M ∴BM =ME ∵BE =t ∴ BM = t2 ∵ BF =3 + 3 3 - t t2 3 ∴ 2 = t23 - t∴ BN = 3 + 3 ∵ BE = t 3 + 3 3 - t②当 BE =EF 时，如图，过点 E 作 EN ⊥BC 于点 N ∴BN =NF ∵ BF = 3 + 3 3 - t 3 ，符合题意 2 ∴ t =3 + 3 （2）当3 ≤ t ≤ 6 时，点 F 在线段 BC 上，若使△BEF 是等腰三角形，分三种情况考虑： ①当 BE =BF 时，如图，由题意得，BE =t ， BF = 3 + 3 3 - t ∴ t = 3 + 3 3 - t2 2 ⎭ ⎝3 ⎫ 3 3 ⎛ ∴ C - ， ⎪ 3（1）∵直线 y = 3x + 6 与直线 y = -3x 交于点 C 【过程书写】➢巩固练习1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4，DC=6，BC=7，梯形的高为3 3 ．动点M 从点B 出发，沿BC 以每秒1 个单位长度的速度向终点C 运动，动点N 从点C 出发，沿C—D—A 以每秒2 个单位长度的速度向终点A 运动．M，N 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t >0）．（1）用t 表示△CMN 的面积S；（2）当t 为何值时，四边形ABMN 为矩形？（3）当t 为何值时，四边形CDNM 为平行四边形？2.如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，AD∥BC，AD=4 cm，BC=9 cm，CD=10 cm．动点P 从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿射线AD 运动；同时动点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向点B 运动．当点Q 到达点B 时，动点P 随之停止，设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，以P，Q，C，D 为顶点的四边形是平行四边形？（2）当t 为何值时，PQ⊥DC？3. 如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm．点P 从点A 出发，沿AB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿CA 以1cm/s 的速度向点A 运动．设运动的时间为t 秒（0 <t < 6 ）．（1）直接写出线段AP，AQ 的长（用含t 的代数式表示）：AP= ，AQ= ；（2）如图2，连接PC，把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP'C，则四边形PQP'C 能否成为菱形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．图1图24. 如图1，直线y =- 3x + 2 与直线y =33x 交于点A，与x 轴交于点B，∠AOB 的平分线OC 交AB 于点C．动点P 从点B 出发沿折线BC-CO 以每秒1 个单位长度的速度向终点O 运动；同时动点Q 从点C 出发沿折线CO-y 轴正半轴以相同的速度运动．当点P 到达点O 时，P，Q 同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）AC= ，BC= ；（2）当t 为何值时，PQ∥OB？（3）当P 在OC 上，Q 在y 轴上运动时，如图2，设PQ 与OA 交于点M，当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t 值．图1图2➢思考小结1.什么是动点问题？由速度已知的点的运动产生的几何问题称为动点问题．2.我们一般怎样处理动点问题？首先，研究背景图形．研究背景图形需要研究边、角、特殊图形．其次，分析运动过程，分段、定范围．分析运动过程常借助运动状态分析图：①起点、终点、速度——确定时间范围②状态转折点——确定分段，拐点为常见的状态转折点③所求目标——明确方向最后，分析几何特征、表达、设计方案求解．分段画图、表达相关线段长，根据几何特征列方程求解，回归范围进行验证．3.线段长的表达，需要注意的两点是什么？①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．【参考答案】⎧- 3t 2 + 7 3 t （0 < t ≤ 3） 1⎪ 2 2 ．（1） S = ⎨⎪- 3 3 t + 21 3（3 < t ≤ 5） ⎪⎩ 2 2 （2） t = 103 （3） t = 133 2．（1） t = 4或 43（2） t = 8 3．（1）2t ，6-t（2）能，相应的 t 值为 4 4．（1）AC =1，BC =2（2） t = 1或83（3） t = 8 或 6+2 33 3。

苏教版初二八下期中复习平行四边形动点问题含答案(非常好)

教学主题特殊平行四边形动点问题教学目标重要知识点 1. 2. 3. 易错点教学过程特殊四边形：动点问题题型一：1．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（）A 、17172B 、17174C 、 17178D 、32.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D 为顶点的四边形是平行四边形.3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=045，点P是BC边上一动点，设PB长为x.(1)当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形.(2)点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.4. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,其中AB=12 cm,CD=6cm ,梯形的高为4，点P从开始沿AB 边向点B以每秒3cm的速度移动，点Q从开始沿CD边向点D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。

设运动时间为t秒。

（1）求证：当t为何值时，四边形APQD是平行四边形；（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；5. 已知,矩形ABCD中,4=,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂BC cm=,8AB cm足为O.(1)如图1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；(2)如图2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.A B CD E F图1O图2ABCD E FPQ备用图ABCD E FPQ6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．①当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；②当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？题型二：1.如图,正方形ABCD的边长为4cm,两动点P、Q分别同时从D、A出发,以1cm/秒的速度各自沿着DA、AB边向A、B运动。

初二动点问题(答案)

初二动点问题1.分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4.分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20c m，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N 的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为-1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．5.分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答：解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．6.分析：（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．7.分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O 到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是81=8（秒），∴点P的速度是6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3）当S= 485时，∵485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（85，245）M1（285，245），M2（- 125，245），M3（125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．。

平行四边形中的动点问题含答案

平⾏四边形中的动点问题含答案平⾏四边形中的动点问题⼀、新课导⼊（⼀）学习⽬标学会运⽤数形结合思想，能根据题意结合平⾏四边形的性质、判定列出⽅程，进⾏相关的计算或证明，解决有关平⾏四边形中的动点问题．（⼆）预习导⼊1．在四边形ABCD中，AB∥CD，请添加⼀个条件：_____________，使得四边形ABCD 是平⾏四边形．2．如图，边长为4的正⽅形ABCD中，动点Q以每秒4个单位的速度从点A出发沿正⽅形的边AD-DC-CB⽅向做折线运动，设点Q的运动时间为t秒．当点Q在DC上运动时，DQ=________，QC=________（⽤含t的代数式表⽰）．⼆、典型问题知识点：平⾏四边形中的动点问题例如图，在直⾓坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平⾏四边形，∠COA=60°，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（10，43）．动点P从点O出发，沿射线OA⽅向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC 运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当运动2秒时，求△APQ的⾯积；（2）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平⾏四边形？分析：（1）作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．求出PA，QE即可解决问题；（2）如当点Q在射线BC上，且CQ=PA时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平⾏四边形，由此构建⽅程即可解决问题．三、阶梯训练A组：基础练习1．在矩形ABCD中，AB=6cm，∠ACB=30°，动点P从A出发沿AC向点C以2cm/s的速度运动，运动经过_______秒时，BP 的长度最⼩，最⼩值为_________．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停⽌运动时，点Q也随之停⽌运动，当运动时间t 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平⾏四边形，则t的值为_________．3．如图，菱形ABCD中，对⾓线AC，BD交于点O，E为AD边上的⼀个动点，AC=AD=6，则OE的最⼩值为__________．4．如图，在?ABCD中，AC=8，BD=12，点E，F在对⾓线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F 从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停⽌．运动时间为_______秒时，四边形AECF为矩形．5．在平⾯直⾓坐标系中，矩形ABCD 的边BC ∥x 轴，若A 点的坐标为（-1，22），C 点坐标为（3，-22）．若动点P 沿矩形ABCD 的边从A →D →C 的路径运动，运动速度为每秒2个单位，运动时间为t 秒．（1）当t=1时，S △BCP =________，当t=4时，求S △BCP =________；（2）当△BCP 的⾯积是矩形ABCD ⾯积的14时，求点P 的坐标．6．如图，?ABCD 的对⾓线AC ，BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB=3，BC=5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连接PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）BQ=__________（⽤含t 的代数式表⽰）；（2）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，求t 的值．B组：拓展练习7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，P为对⾓线AC上⼀动点，则△PBE的周长的最⼩值为_________．8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E，F分别是AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若H从F点出发，沿线段FE以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，设运动时间为t s．①当t=______时，四边形BPHE是平⾏四边形；②是否存在t的值，使四边形PCFH是菱形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．平⾏四边形中的动点问题答案⼀、新课导⼊预习导⼊1．AB=CD（答案不唯⼀）．2．4t-4，8-4t．例（1）作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．∵A（6，0），B（10，43），∴OA=6，OF=10，BF=43．∴AF=10-6=4，AB= 2+ 2=8．当t=2时，OP=2，PA=4，AQ=4．∵四边形OABC是平⾏四边形，∴∠BAF=∠COA=60°．∴∠AQE=30°．∴AE=12AQ=2．∴EQ=23．=12PA?QE=43．∴S△PAQ（2）当点Q在射线BC上，且CQ=PA时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平⾏四边形．∴|14-2t|=|t-6|．解得t=203或8．∴t为203或8时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平⾏四边形．1．32，33cm．2．2或3．5．34．2或10．5．（1）82，8；（2）当点P是CD的中点时，△BCP的⾯积是矩形ABCD⾯积的14，则P点坐标为（3，0）．6．（1）5-t；（2）如图，过点O作EF⊥AD交AD，BC于点E，F．Rt△ABC中，∵AB=3，BC=5，∴AC=4．∴AO=CO=2．∵S△ABC＝12AB·AC＝12BC·EF，∴3×4=5×EF，∴EF＝125．∴OE＝65．∵OE是AP的垂直平分线，∴AE=12AP=t，∠AEO=90°，由勾股定理得AE2+OE2=AO2，∴（12t）2+（65）2＝22．∴t=165．∴当t=165时，点O在线段AP的垂直平分线上．7．3+1．8．（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．∵E，F分别为AB，AC的中点，∴DE和DF是△ABC的中位线．∴DE∥AC，DF∥AB．∴四边形AEDF是平⾏四边形．∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，∴AE=AF．∴四边形AEDF是菱形．（2）①1；②不存在t的值，使四边形PCFH是菱形．理由如下：∵EF∥BC，∴FH∥PC．若四边形PCFH为菱形，则FH=PC=CF．当FH=PC时，2t=10-3t．解得t=2．∴FH=PC=4．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12BC=5．∴AC=AD2+CD2=89．∵F是AC的中点，∴CF=12AC=FH=PC≠CF．∴四边形PCFH是平⾏四边形，不是菱形．∴不存在t的值，使四边形PCFH是菱形．。

八年级下册四边形动点问题和答案

八年级数学下册四边形动点问题专题1、如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，F 、G 是垂足，若正方形ABCD 周长为a ，则EF ＋EG等于。

2、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=3、在Rt △ABC 中 ∠C=90° AC=3 BC=4 P 为AB 上任意一点过点P 分别作PE ⊥AC 于E PE ⊥BC 于点F 线段EF 的最小值是4、如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是。

5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为6、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．CA BP FE EDCBAPADEPB C7、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有个．8、已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为。

9、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16.点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为_________．（结果保留根号）10、如图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．，不需证明)①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D.A.E.F为顶点的四边形不存在．11、如图，矩形ABCD中，cm，cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2 cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1 cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？12、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm 的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．13、已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD 相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q 同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．15、如图，已知ΔABC和ΔDEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD=0.3cm,ΔABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ΔABC运动时间为t秒，①当t为何值时,□ADFC是菱形？请说明你的理由；②□ADFC有可能是矩形吗？若可能,求出t的值及此矩形的面积；若不可能,请说明理由.16、在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA 的外角平分线于F。