矩形专题训练
矩形的性质专题训练
《矩形的性质》专题班级 姓名征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。
1、矩形不一定具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、四个角相等C 、是轴对称图形D 、对角线互相垂直 2、如图，在矩形ABCD 中，相等的线段有 ； 相等的角有 。
（写出2组）3、矩形ABCD 的对角线6AC cm =，则另一条对角线________BD =。
4、已知矩形ABCD ，AC ＝8，则BD ＝ ，OD ＝ 。
5．直角三角形中，两直角边长是3和4，则斜边上的中线长是 ， 6、已知矩形的周长是24cm ，相邻两边之比是1:2，那么这个矩形的边长分别是 。
7、如图，已知矩形ABCD ，AC ＝4，则BD ＝ ， ∠ABC ＝ ；若∠ADB ＝40°，则∠ACB ＝ °∠BDC ＝ °，∠COD ＝°。
8、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ∠=，若再添加一个条件， 就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是 ．（写出一种情况即可）9、在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，求∠A 、∠B 的度数．CCDDB1、已知：如图 ，矩形 ABCD 中，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．2、已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ， ∠AOD=120°，求∠AEO 的度数．3、已知：矩形ABCD 中，BC=2AB ，E 是BC 的中点，求证：EA ⊥ED ．4、如图，矩形ABCD 中，AB=2BC ，且AB=AE ，求证：∠CBE 的度数． 已知：如图，E 为矩形ABCD 内一点，且EB =EC 。
求证：EA =ED .ABCDE5、如图,矩形纸片ABCD ,且AB =6cm ,宽BC =8cm ，将纸片沿EF 折叠， 使点B 与点D 重合，求折痕EF 的长。
中考数学矩形的折叠与剪拼专题训练试题
矩形的折叠与剪拼专题训练1、如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，那么AG 的长为〔 〕A ．1B ．34C ．23D ．22、如图2，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线〔虚线〕剪下，再翻开，得到的菱形的面积为〔 〕A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm3、形纸片ABCD 按如下图的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．那么BC 的长为〔 〕．A 、3B 、2C 、3D 、324、四边形ABCD 是矩 ，AB :AD = 4:3，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，那么DE :AC =A ′GDBCAA BCD图2A ．1:3B ．3:8C ．8:27D ．7:255、图5，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D C 、分别落在11 D C 、的位置．假设65EFB ∠=°，那么1AED ∠等于_______度．6、，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒ 的菱形，剪口与折痕所成的角α 的度数应为A ．15︒或者30︒B ．30︒或者45︒C ．45︒或者60︒D ．30︒或者60︒7、 方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,假设M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，那么A ′N =; 假设M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点〔2n ≥,且n 为整数〕，那么A ′N =〔用含有n 的式子表示〕CA BCDE AEDCFB D 1C 1 图58、，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.〔1〕试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.〔2〕假设AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH 的值，并说明理由.9、个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原那么是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大间隔．．．．〔看守点到本区域内最远处的间隔〕相等．按照这一原那么，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心〔对角线交点〕，看守自己的一块牧场．过了一段时间是，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大间隔相等．请答复：〔1〕牧童B 的划分方案中，牧童 ▲ 〔填A 、B 或者C 〕在有情况时所需走的最大间隔 较远；〔2〕牧童C 的划分方案是否符合他们商量的划分原那么？为什么？〔提示：在计算时可取正方形边长为2〕10、问题解决：如图〔1〕，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C ，D 重合〕，压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN的值．类比归纳在图〔1〕中，假设13CE CD =，那么AM BN 的值等于 ；假设14CE CD =，那么AMBN 的值等于 ；假设1CE CD n =〔n 为整数〕，那么AMBN的值等于 ．〔用含n 的式子表示〕 联络拓广如图〔2〕，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C D ，重合〕，压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，那么AMBN的值等方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 F图〔1〕A BCDEFMN，的式子表示〕于．〔用含m n11、以下材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决以下问题：〔1〕现有5个形状、大小一样的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形〔画出一个符合条件的平行四边形即可〕；〔2〕如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小〔画图并直接写出结果〕.12、将正方形沿图中虚线〔其中x ＜y 〕剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰．能拼成一个．．．．．矩形〔非正方形〕． 〔1〕画出拼成的矩形的简图；〔2〕求xy的值．13、正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成能互相全等的四个三角形外，你还能用三种不同的．．．方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图。
专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)
专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题【例题精讲】两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．证明：（1）如图②，②由题意知，AD=GD，ED=CD，②ADC=②GDE=90°，②②ADC+②CDE=②GDE+②CDE，即②ADE=②GDC，在②AED与②GCD中，AD GDADE GDC ED CD⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，②②AED②②GCD（SAS）；（2）如图②，②α=45°，BC②EH，②②NCE=②NEC=45°，CN=NE，②②CNE=90°，②②DNH=90°，②②D=②H=90°，②四边形MHND是矩形，②CN=NE，②DN=NH，②矩形MHND是正方形．【教师总结】四边形的旋转，可以构造全等三角形，在根据旋转的性质画出相应的图形，再综合其他知识解决.【针对训练】1、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．（1）求的值；（2）四边形EFDB′的面积为；（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．解：（1）∵将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，∴AB＝AB'，∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠B'＝90°，∴四边形ABEB'为正方形，∴△AB'E为等腰直角三角形，∵AB＝6，AD＝8，∴B'D＝AD﹣AB'＝8﹣6＝2，∵将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，∴AB'＝A'B'＝6，∠A'＝∠A＝45°，∴A'D＝DF＝6﹣2＝4，∵CD＝AB＝6，∴CF＝6﹣4＝2，∴．（2）由（1）可知B'D＝2，DF＝4，B'E＝6，∴四边形EFDB′的面积＝×（B'E+DF）×B'D＝＝10．故答案为：10．（3）∵将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，∴DF＝DN＝4，∠NDM＝90°，∵B'D＝2，∠NB'D＝90°，∴∠B'ND＝30°，∴∠B'DN＝60°，∴∠A'DM＝90°﹣∠B'DN＝90°﹣60°＝30°，∵△A′DF在绕点D旋转过程中，点A'到达点M所经过的路径是圆弧A'M，∴的长为．即点A'到达点M所经过的距离为．2、已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：（1）如图2，在正方形ABCD中，点为线段BC关于点B的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F 是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．①补全图；②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解：（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点，故答案为A．（2）①图形如图3所示．②结论：GF⊥x轴．理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，∴∠GEF＝∠PEO，∴△GEF≌△PEO（SAS），∴∠GFE＝∠EOP，∵OE⊥OP，∴∠POE＝90°，∴∠GFE＝90°，∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，∴四边形EFHO是矩形，∴∠FHO＝90°，∴FG⊥x轴．③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，∵E（0，5），∴OE＝5，∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，∴四边形EFHO是正方形，∴OH＝OE＝5，∴y＝•FG•PH＝•x•（5﹣x）＝﹣x2+x．如图4﹣2中，当x＞5时，y＝•FG•PH＝•x•（x﹣5）＝x2﹣x．综上所述，．3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45°∵AC＝CD，BC⊥AC，∴AB＝BD，∴∠BAC＝∠BDC＝45°，∴∠ABD＝90°，∵将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∴DE＝AB＝BD，AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°，∴四边形ABDE是矩形，且AB＝BD，∴四边形ABDE是正方形，∴AB＝AE，AD＝AB，∴AB+AE＝AD，故答案为：；（2）结论仍然成立；如图②过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F，∵BC∥DF，∴∠ADF＝∠ACB＝90°，∠F＝∠ABC＝45°，∴∠F＝∠DAF＝45°，∴AD＝DF，∴AF＝AD，∵∠ADF＝∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，且DE＝DB，AD＝DF，∴△ADE≌△FDB（SAS），∴AE＝BF，∴AB+AE＝AB+BF＝AF＝AD；（3）不成立，当点D在线段AC上时，如图③，过点D作DF∥BC，∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠ADE＝∠BDF，且AD＝DF，DE＝BD∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB﹣BF＝AF，∴AB﹣AE＝AD；当点D在CA的延长线上时，如图④，过点D作DF∥BC，交BA延长线于点F，∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠FDB＝∠EDA，且AD＝DF，DE＝BD∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB+AF＝BF，∴AB+AD＝AE．4、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，DG交EC于O点（1）求证：DO＝OG；（2）若∠ABC＝135°，AC＝2，求DG的长；（3）若∠ABC＝90°，BC＞AB，且＝时，直接写出的值．解：（1）如图1，延长CB交DE于H．∵∠ABC+∠ABH＝180°，∠ABC＝∠ADH，∴∠ADH+∠ABH＝180°，∴∠DAB+∠DHB＝180°，∵∠DAB＝90°，∴∠DHB＝90°，∴∠DHB＝∠HCG＝90°，∴DE∥CG，∴∠EDO＝∠G，∵DE＝BC＝CG，∠DOE＝∠GOC，∴△DOE≌△GOC（AAS），∴EO＝OC．（2）如图2，连接EG，BD，由旋转知，AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝45°，∵∠ABC＝135°，∴∠ABD+∠ABC＝180°，∴点D，B，C在同一条直线上，由（1）知，∠EDG＝∠CGD，∴DE∥CG，∵DE＝CG，∴四边形CDEG是平行四边形，∵将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，∴∠DCG＝90°，∴平行四边形CDEG是矩形，∴DG＝CE，由旋转知，∠CAE＝90°，AE＝AC＝2，∴CE＝AC＝2，∴DG＝2，（3）如图3，延长DA，CG相交于点F，由旋转知，∠BAD＝∠BCG＝90°，∴∠BAF＝∠BCF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC，CF＝AB，∴FD＝FG，在Rt△DFG中，DG＝DF＝（AD+AF）＝（AB+BC），在RtACF中，AF2+CF2＝AC2，∴AB2+BC2＝AC2，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴2AB2﹣5AB•BC+2BC2＝0，∴（2AB﹣BC）（AB﹣2BC）＝0，∴2AB﹣BC＝0或AB﹣2BC＝0，∴＝或＝2（舍弃），故答案为：．5、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：①当∠CAE＝90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．（1）解：如图甲：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴①正确．②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠CAB＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∴∠ACE+∠AFB＝90°．∵∠DFC＝∠AFB，∴∠ACE+∠DFC＝90°，∴∠FDC＝90°．∴BD⊥CE，∴②正确．③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°．∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确．④∵BD⊥CE，∴BE2＝BD2+DE2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．故答案为①②③．（2）①解：a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴＝，∴＝，∴PB＝．b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴＝，∴＝，∴PB＝．综上，PB＝或．②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝2，∴PB＝BD+PD＝3+3．综上所述，PB长的最大值是3+3．b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．综上所述，PB长的最小值是3﹣3．6、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．解：（1）如图1中，连接EC，BD．结论：BD＝CE．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD＝CE．（2）如图2中，由题意：∠CAE＝45°，∵AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AE∥BC．∴△CBE的面积与△ABC的面积相等．∵△ABC的面积为4.5，∴△CBE的面积4.5．（3）如图3中，延长AM到N，使得MN＝AM，连接CN，DM．∵AM＝MN，CM＝MD，∴四边形ADNC是平行四边形，∴AD＝CN＝1，∵AC＝3，∴3﹣1≤AN≤3+1，∴2≤2AM≤4，∴1≤AM≤2，∴AM的最小值为1．故答案为1．7、综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解决问题（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；探索发现（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC，当B、A、E三点共线时，求BD的长；（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：：2的三角形（可添加字母）解：（1）如图①中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；（2）如图②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC．（3）如图③中，作CH⊥AD于H．∵∴AC＝CD＝AB＝2，∵B，A，E共线，∴∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝120°，∵∠EDC＝60°，∴∠EAC+∠EDC＝180°，∴A，E，D，C四点共圆，∴∠CAD＝∠CED＝30°，∠BAD＝90°，∵CA＝CD，CH⊥AD，∴AH＝DH＝AC•cos30°＝，∴AD＝2，∴BD＝＝＝2．（4）如图①中，设DE交BC于T．因为含有30°的直角三角形的三边之比为1：：2，由（1）可知△BDT，△DCT，△ECT都是含有30°的直角三角形，∴△BDT，△DCT，△ECT符合条件．8、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD 的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，∵AB＝2BD，∴AD＝BD＝2，∴BE＝2，∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，∴CE＝＝＝2，∵点F是CE的中点，∴BF＝CE＝；（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，∵点M是AD中点，∴AM＝MD，又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，∴△AMN≌△DME（SAS），∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，∴AN∥DE，∴∠NAH+∠DHA＝180°，∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，∴∠NAC+∠DBH＝90°，∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°，∴∠CBE+∠DBH＝90°，∴∠CBE＝∠NAC，又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，∴△ACN≌△BCE（SAS），∴∠ACN＝∠BCE，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，∴CN⊥CE．9、如图，已知点A（0，8），B（16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连结AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连结PC，BC，设P（t，0）．（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．解：（1）等腰三角形，理由如下：∵AP∥BC，∴∠APC＝∠BCP，∠APO＝∠CBP，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠APO＝∠APC，∴∠PCB＝∠PBC，∴PC＝PB，∴△BCP是等腰三角形；（2）当t＞0时，如图，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，∴∠ACP+∠BCP＝180°，∴点A，点C，点B三点共线，∵点A（0，8），B（16，0），∴OA＝8，OB＝16，∴AB＝＝＝8，∵tan∠ABO＝，∴，∴t＝4﹣4；当t＜0时，如图，同理可求：t＝﹣4﹣4；（3）∵△OAP沿着AP折叠，∴AC＝AO＝8，∠ACP＝∠AOP＝90°，∵BH⊥CP，∴∠ACP＝∠BHC＝90°，∵AH＝BC，CH＝CH，∴Rt△ACH≌Rt△BHC（HL）∴AC＝BH，∴四边形AHBC是平行四边形，如图2，当0≤t≤16时，点H在PC上时，连接AB交CH于G，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝8；如图3，当0≤t≤16时，点H在PC的延长线上时，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝；如图4，当t＜0时，同理可证：四边形ABHC是平行四边形，又∵AH＝BC，∴四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝16﹣8；当t＞16时，如图5，∵四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8，CP＝OP＝t，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（t﹣16）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝16+8．综上所述：当t＝8或或16﹣8或16+8时，存在AH＝BC．10、问题情境：数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解决问题：（1）如图1，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，当△DEC绕点C继续旋转到如图2所示的位置时，连接AE、AD、BD，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由．解：（1）如图1中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；（2）结论正确，理由如下：如图2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC．11、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC，∵tan∠ACB＝＝，∴设AH＝3k（k＞0），CH＝4k，∵AC2＝AH2+CH2，∴9k2+16k2＝25，∴k＝1，∴HC＝4，∴BC＝2CH＝8；（2）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∵将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，∴AE＝AD，又∵AB＝AC，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACD，∴∠ABE＝∠ABC；（3）∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE），∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC），∵∠DAE＝∠BAC，∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ABC＝∠ADE，又∵∠BFE＝∠DFA，∴∠BEF＝∠DAF，∵FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠DAF＝∠ADF＝∠FBE＝∠FEB，∴∠DAF＝∠ABC＝∠ACB，又∵∠ABC＝∠ABD，∴△BAD∽△BCA，∴∴BD＝＝，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣＝．12、（1）如图1，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．填空：①旋转角为°；②线段OD的长是；③∠BDC＝°；（2）如图2，O是△ABC内一点，且∠ABC＝90°，BA＝BC．连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA，OB，OC满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由．解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；故答案为：60；4；150；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°，理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠BDC＝135°．12、在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．（3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长．解：（1）问题发现：如图1中，设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案为：AF＝BE，90°．（2）拓展探究：结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解决问题①如图（3）中，当点D在BC上时，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，∵AC∥DF，∴，∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，故BE的长为2或4．13、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．解：（1）由旋转可得EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，又∵AC＝BC，∴△BCD≌△ACE（SAS）；（2）由（1）可知AE＝BD＝1，∠CAE＝∠B＝45°＝∠CAB，∴∠EAD＝90°，∴，∴．∴；（3）如图，过C作CG⊥AB于G，则AG＝AB，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CG＝AB，即＝，∵点F为AD的中点，∴FA＝AD，∴FG＝AG﹣AF＝AB﹣AD＝（AB﹣AD）＝BD，由（1）可得：BD＝AE，∴FG＝AE，即＝，∴＝，又∵∠CGF＝∠BAE＝90°，∴△CGF∽△BAE，∴∠FCG＝∠ABE，∵∠FCG+∠CFG＝90°，∴∠ABE+∠CFG＝90°，∴CF⊥BE．14、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝4，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至DE∥AC时，请直接写出BD的长．解：（1）①当α＝0°时，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝4，∴AB＝，∴AC＝，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴BD＝CD＝BC＝2，AE＝CE＝AC＝，∴；故答案为：．②如图1，，当α＝180°时，∵将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，∴CD＝2，CE＝，∴AE＝AC+CE＝4，BD＝BC+CD＝6，∴．故答案为：．（2）当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵CE＝，CD＝2，AC＝，BC＝4，∴，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）2或2．①如图3，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，∵DE∥AC，∴∠DCA＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴∠DCF＝60°，∵DC＝2，∴CF＝1，DF＝，∴BF＝1+4＝5，∴＝＝2；②如图4，过点D作DF⊥BC交BC于点F，同理可得，CF＝1，DF＝，∴BF＝3，∴BD＝＝2．故BD的长为2或2．15、（1）问题发现如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，∠BCD的度数是；线段BD，AC之间的数量关系是．（2）类比探究在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？（3）拓展延伸如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC＝90°，请直接写出线段AP的长度．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，∴∠CAD＝α＝2∠BAC＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠BAD＝90°，∠BCD＝120°，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，∴BD2＝AB2+AD2＝（AC）2+AC2＝AC2，即线段BD，AC之间的数量关系是BD＝AC；故答案为：120°，BD＝AC；（2）不成立，理由：在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，∴∠CAD＝α＝2∠BAC＝90°，AC＝AD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∴∠BCD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝AC，在Rt△ACD中，CD＝AC，∴BD2＝BC2+CD2＝（AC）2+（AC）2＝AC2，即线段BD，AC之间的数量关系是BD＝AC；（3）如图3，作PE⊥AC于E，连接PA，∵在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝＝2，∵∠BPC＝90°，PB＝PC，∴PB＝PC＝，∠PBC＝∠PCB＝45°，∵∠BAC＝∠BPC＝90°，∴点B，C，P，A四点共圆，∴∠PAE＝45°，∴△PAE是等腰直角三角形，∴PE＝AE，∴CE＝4﹣AE，∵PE2+CE2＝PC2，。
2021年中考数学《一轮专题训练》—选择题专项：矩形的性质与判定综合(二)
2021年中考数学《一轮专题训练》—选择题专项：矩形的性质与判定综合（二）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD、BC交于点E、F．连接BE，DF，若EF＝AE+FC，则边BC的长为（）A．2B．3C．6D．2．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，则四边形BCFE的面积为（）A．10 B．9 C．D．3．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（）A．①B．②C．③D．④4．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点G，E分别在边AB，CD上，点F，H在对角线AC上．若四边形EFGH是菱形，则AG的长是（）A．5 B．6 C．2D．35．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为（）A．1 B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，6），若将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，则点D的坐标为（）A．（，6）B．（，6）C．（，6）D．（，6）7．矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E 从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变8．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC ＝40°，则∠E的度数是（）A．65o B．60o C．50o D．40°9．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（）A．B．C．D．10．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（）A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD11．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．∠BCD＝90°C．AB＝CD D．AB∥CD 12．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否互相垂直D．测量其中三个角是否是直角13．如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）A．菱形B．平行四边形C．矩形D．不能确定14．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的是（）A．①④B．①②C．①②③D．②③④15．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个16．如图，点D在△ABC边延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，交∠BCA的平分线于点F，交∠BCA的外角平分线于E．当点O在线段AC上移动（不与点A，C重合）时，下列结论不一定成立的是（）A．2∠ACE＝∠BAC+∠B B．EF＝2OCC．∠FCE＝90°D．四边形AFCE是矩形17．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°18．如图，直角三角形ABC中，AC＝2，BC＝4，P为斜边AB上一动点，PE⊥BC，PF ⊥CA，则线段EF长的最小值为（）A．B．2 C．D．19．下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形20．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（）A．B．C．2cm D．1cm参考答案1．解：∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OD，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠FBO＝∠EDO，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE，∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，BF＝DF，∴BE＝DE＝BF＝DF，∴四边形BFDE为菱形，AE＝CF，∴EO＝FO，∠FBO＝∠OBE，∠ABE＝∠OBE＝∠OBF＝30°，∵EF＝AE+FC，∴AE＝EO＝OF＝CF，∵AB＝3，∴AE＝，BE＝，∴CF＝AE＝，BF＝BE＝，∴BC＝BF+CF＝，故选：B．2．解：∵△GEF为等腰直角三角形，∴GE＝GF，∠EGF＝90°，∴∠AGE+∠DGF＝90°，∵∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠AEG＝∠DGF，∴△AEG≌△DGF（AAS），∴AE＝GD，AG＝DF，∵AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，∴DG＝AE＝2，AG＝DF＝AD﹣DG＝3，∴CF＝CD﹣DF＝4﹣3＝1，∴S四边形BCFE＝（2+1）×5＝，故选：D．3．解：如图所示：∵四边形ABCD和四边形③是矩形，∴AB＝CD，FP＝CG，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∴阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积＝BF×CD﹣BF×FP＝BF×（CD﹣CG）＝BF×DG＝BF×BE＝矩形②面积，故选：B．4．解：连接GE交AC于O，如图：∵四边形EFGH是菱形，∴GE⊥AC，OG＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CEO与△AOG中，，∴△CEO≌△AOG（AAS），∴AO＝CO，∵AC＝＝＝4，∴AO＝AC＝2，∵∠CAB＝∠CAB，∠AOG＝∠B＝90°，∴△AOG∽△ABC，∴＝，即＝，∴AG＝5；故选：A．5．解：作BH⊥OA于H，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝OB，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝＝5，∴AO＝OB＝，∵BH•AC＝AB•BC，∴BH＝＝，在Rt△OBH中，OH＝＝＝，∵EA⊥CA，∴BH∥AE，∴△OBH∽△OEA，∴＝，∴＝＝＝．∴＝，故选：C．6．解：∵B（8，6），四边形ABCO是矩形，∴AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCD＝∠OAB＝90°∵将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，∴△OAB≌△OEB，∴∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，∴BE＝OC，在△OCD和△BED中，，∴△OCD≌△BED（AAS），∴CD＝ED，设CD＝ED＝x，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，即CD＝，∴点D的坐标是（，6），故选：B．7．解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示：则∠AGE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB，∵四边形AEDF是平行四边形，∴平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD 的面积，即▱AEDF的面积保持不变；故选：D．8．解：如图，连接BD，∵矩形ABCD中，∠BAC＝40°，OA＝OB，∴∠ABD＝40°，∠DBE＝90°﹣40°＝50°，∵AC＝BD，AC＝BE，∴BD＝BE，∴△BDE中，∠E＝（180°﹣∠DBE）＝（180°﹣50°）＝65°，故选：A．9．解：如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，∴∠ADC＝∠HDF＝90°，CD＝AB＝2cm，∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°，∴△CDM≌△HDN（ASA），∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形，∴四边形DNKM是菱形，∴KM＝MD，∵sinα＝sin∠DMC＝，∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，设MD＝KM＝acm，则CM＝8﹣a（cm），∵MD2＝CD2+MC2，∴a2＝4+（8﹣a）2，∴a＝（cm），∴sinα＝sin∠DMC＝＝＝，故选：B．10．解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ADC，∴得出四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C、∵AO＝CO，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、AO＝OB，AC＝BD可无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；故选：B．11．解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∵∠ABC＝90°，∴AO＝OB＝OD＝OC，即对角线平分且相等，∴四边形ABCD为矩形，正确；B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∵∠BCD＝90°，∴AO＝OB＝OD＝OC，即对角线平分且相等，∴四边形ABCD为矩形，正确；C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，无法得出△ABO≌△DCO，故无法得出四边形ABCD是平行四边形，进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误；D、∵AB||CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°，∵BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠BAO＝∠ODC，∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝90°，∴▱ABCD是矩形，正确；故选：C．12．解：∵三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．13．解：∵EF∥MN，∴∠AEAC+∠MCA＝180°，∵AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分线，∠EAF ＝180°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BAD＝90°，∴∠B＝90°，同理可得，∠D＝90°，∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选：C．14．解：∵MN∥CB，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠ACF∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OC＝OE＝OF，故①正确，∵∠BCD＝180°，∴∠ECF＝90°，若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误，∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5，故③错误，∴OE＝OF，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．故选：A．15．解：∵MN∥CB，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠ACF∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OC＝OE＝OF，故①正确，∵∠BCD＝180°，∴∠ECF＝90°，若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误，∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5，故③错误，∴OE＝OF，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是矩形．故选：C．16．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠BAC+∠B，∵CE平分∠DCA，∴∠ACD＝2∠ACE，∴2∠ACE＝∠BAC+∠B，故A选项正确；∵EF∥BC，CF平分∠BCA，∴∠BCF＝∠CFE，∠BCF＝∠ACF，∴∠ACF＝∠EFC，∴OF＝OC，同理可得OE＝OC，∴EF＝2OC，故B选项正确；∵CF平分∠BCA，CE平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，故C选项正确；∵O不一定是AC的中点，∴四边形AECF不一定是平行四边形，∴四边形AFCE不一定是矩形，故D选项错误，故选：D．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°故选：A．18．解：连接PC，如图所示：∵PE⊥BC，PF⊥CA，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，∵垂线段最短，∴当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝2，BC＝4，∴AB＝2，又∵当CP⊥AB时，×AC×BC＝×AB×CP，∴PC＝＝＝．∴线段EF长的最小值为．故选：C．19．解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．20．解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD，∵CD＝1，∴DE＝1，∵AD∥BC，∠ABC＝45°，∴∠EAD＝∠ABC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE＝1，∴AD＝，∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，故选：B．。
九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析
九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析A组1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，①矩形的对角相等，且都是直角，①矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，①菱形的对角相等，①菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；①矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选D．3．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC 和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直D．相等且互相平分解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；①原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；①原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；①原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．4．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm解：如图：①菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，①OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．5．如图，菱形纸片ABCD，①A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则①DEC等于75度．解：连接BD，①四边形ABCD为菱形，①A=60°，①①ABD为等边三角形，①ADC=120°，①C=60°，①P为AB的中点，①DP为①ADB的平分线，即①ADP=①BDP=30°，①①PDC=90°，①由折叠的性质得到①CDE=①PDE=45°，在①DEC中，①DEC=180°﹣（①CDE+①C）=75°．故答案为：75．6．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是3．解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，①OE①AC，且点O是AC的中点，①OE是AC的垂直平分线，①CE=AE=8﹣x，在Rt①CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，①DE的长是3．故答案为：3．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．8．如图，在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB的中点，AE①CD，CE①AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．证明：（1）①在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB中点，①CD=AB=AD，又①AE①CD，CE①AB①四边形ADCE是平行四边形，①平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt①ABC中，AC===8．①平行四边形ADCE是菱形，①CO=OA，又①BD=DA，①DO是①ABC的中位线，①BC=2DO．又①DE=2DO，①BC=DE=6，①S菱形ADCE===24．B组9．如图：点P是Rt①ABC斜边AB上的一点，PE①AC于E，PF①BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12B．6C．12.5D．25解：如图，连接CP．①①C=90°，AC=3，BC=4，①AB===25，①PE①AC，PF①BC，①C=90°，①四边形CFPE是矩形，①EF=CP，由垂线段最短可得CP①AB时，线段EF的值最小，此时，S①ABC=BC•AC=AB•CP，即×20×15=×25•CP，解得CP=12．故选A．10．如图，在菱形ABCD中，①BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则①CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°解：如图，连接BF，在①BCF和①DCF中，①CD=CB，①DCF=①BCF，CF=CF①①BCF①①DCF①①CBF=①CDF①FE垂直平分AB，①BAF=×80°=40°①①ABF=①BAF=40°①①ABC=180°﹣80°=100°，①CBF=100°﹣40°=60°①①CDF=60°．故选D．11．如图，在菱形ABCD中，①A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP①CD于点P，则①FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在①BGF与①CPF中，，①①BGF①①CPF（ASA），①GF=PF，①F为PG中点．又①由题可知，①BEP=90°，①EF=PG，①PF=PG，①EF=PF，①①FEP=①EPF，①①BEP=①EPC=90°，①①BEP﹣①FEP=①EPC﹣①EPF，即①BEF=①FPC，①四边形ABCD为菱形，①AB=BC，①ABC=180°﹣①A=70°，①E，F分别为AB，BC的中点，①BE=BF，①BEF=①BFE=（180°﹣70°）=55°，①①FPC=55°；故选：A．12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．13．（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，①P AD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则①ADE的度数为15°或45°．【分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答．解：①四边形ABCD是正方形，①AD＝AE，①DAE＝90°，①①BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，①①ADE＝45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，①①AE′M为等边三角形，①①E′AM＝60°，①①DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，①AD＝AE′，①①ADE′＝15°，故答案为：15°或45°．14．如图：在①ABC中，CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，AE①CE于E，AF①CF 于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断①ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．（1）证明：①AE①CE于E，AF①CF于F，①①AEC=①AFC=90°，又①CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，①①BCE=①ACE，①ACF=①DCF，①①ACE+①ACF=（①BCE+①ACE+①ACF+①DCF）=×180°=90°，①三个角为直角的四边形AECF为矩形．（2）结论：MN①BC且MN=BC．证明：①四边形AECF为矩形，①对角线相等且互相平分，①NE=NC，①①NEC=①ACE=①BCE，①MN①BC，又①AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），①N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则M1N是①ABC的中位线，MN①BC，而MN①BC，M1即为点M，所以MN是①ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）①MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC①MA，KC=AM因为MN①BC，所以MBCK是平行四边形，MK=BC，所以MN=BC（3）解：①ABC是直角三角形（①ACB=90°）．理由：①四边形AECF是菱形，①AC①EF，①EF①AC，①AC①CB，①①ACB=90°．即①ABC是直角三角形．15．如图，在①ABC中，①ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE①BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．（1）证明：①①ABC=90°，BD为AC的中线，①BD=AC，①AG①BD，BD=FG，①四边形BGFD是平行四边形，①CF①BD，①CF①AG，又①点D是AC中点，①DF=AC，①BD=DF；（2）证明：①BD=DF，①四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，①在Rt①ACF中，①CFA=90°，①AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，①四边形BDFG的周长=4GF=20．。
专题训练(一)矩形中的折叠问题
专题训练(一) 矩形中的折叠问题(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( )A．12 B．10 C．8 D．62．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为( )A．5个B．4个C．3个D．2个3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________．4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求：(1)FC的长；(2)EF的长．6．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BF的长；(3)求折痕AF长．7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.(1)求矩形ABCD的周长；(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．参考答案1.B2.A3.56°4.5.15.(1)由题意可得AF＝AD＝10 cm，在Rt△ABF中，AB＝8 cm，AF＝10 cm，∴BF＝6 cm.∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．（2）由题意可得EF＝DE，可设EF的长为x，则在R t△EFC中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，即EF的长为5 cm.6.(1)证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100.又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100，∴AD2＋DE2＝AE2.∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）设BF＝x，则EF＝BF＝x，EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm)，FC＝BC－BF＝8－x，在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5.故BF＝5 cm.(3)在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2，∵AB＝10 cm，BF＝5 cm，∴AF＝102＋52＝55(cm)．7．(1)如图，点B的坐标为(3，4)．∵AB ＝BD ＝3，∴△ABD 是等腰直角三角形．∴∠BAD ＝45°.∴∠DAE ＝∠BAD ＝45°.∴E 在y 轴上．AE ＝AB ＝BD ＝3，∴四边形ABDE 是正方形，OE ＝1. ∴点E 的坐标为(0，1)．（2）点E 能恰好落在x 轴上．理由如下：∵四边形OABC 为矩形，∴BC ＝OA ＝4，∠AOC ＝∠DCO ＝90°.由折叠的性质可得：DE ＝BD ＝OA －CD ＝4－1＝3，AE ＝AB ＝OC ＝m. 假设点E 恰好落在x 轴上，在Rt △CDE 中，由勾股定理可得EC ＝DE 2－CD 2＝32－12＝2 2. 则有OE ＝OC －CE ＝m －2 2.在Rt △AOE 中，OA 2＋OE 2＝AE 2.即42＋(m －22)2＝m 2.解得m ＝3 2.8.(1)周长为2×(10＋8)＝36.(2)①∵四边形ABCD 是矩形，由折叠对称性得AF ＝AD ＝10，FE ＝DE.在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝6，∴FC ＝4.在Rt △ECF 中，42＋(8－DE)2＝EF 2，解得DE ＝5.②分三种情形讨论：若AP ＝AF ，∵AB ⊥PF ，∴PB ＝BF ＝6；若PF ＝AF ，则PB ＋6＝10.解得PB ＝4；若AP ＝PF ，在Rt △APB 中，AP 2＝PB 2＋AB 2，设PB ＝x ，则(x ＋6)2－x 2＝82.解得x ＝73. ∴PB ＝73. 综合得PB ＝6或4或73. （3）当点N 与C 重合时，CT 取最大值是8，当点M 与A 重合时，CT 取最小值为4，所以线段CT 长度的最大值与最小值之和为12.。
2021年中考数学 一轮专题训练：矩形及其性质(二)(解析版)
2021年中考数学一轮专题训练：矩形及其性质（二）1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．2．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使得其面积为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的内角∠BCD的大小为（）A．100°B．120°C．135°D．150°3．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，2），则第四个顶点的坐标是（）A．（2，2）B．（2，3）C．（3，﹣1）D．（3，3）4．矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．12 B．10 C．8 D．65．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对边平行6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△DEC的周长为（）A．10 B．11 C．12 D．137．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD 上从点C到点D运动．则当时间t为（）s时，能够使△BPE与△CQP全等．A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或48．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，重足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°9．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE＝2，矩形ABCD的周长为16，且CE＝EF，求AE的长（）A．2 B．3 C．4 D．610．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ平行于AB的次数是（）A．2 B．3 C．4 D．511．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是矩形，不能用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重垂线检查竖门框是否与地面垂直C．测量门框的三个角是否都是直角D．测量两条对角线是否互相平分12．▱ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（）A．AB⊥BC B．AC＝BD C．∠A＝∠B D．BC＝CD 13．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，下列条件中能判定这个平行四边形是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB＝BC C．∠BAC＝∠CAD D．AC⊥BD 14．下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（）A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC 15．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（）A．OD＝OC B．∠DAB＝90°C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD 16．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACD＝∠CDB 17．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（）A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形18．如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE•BE的值为（）A．B．1 C．D．19．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形D．矩形的对角线相等20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．B．C．3 D．4参考答案1．解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故选：C．2．解：如图，作AE⊥BC于点E．∵矩形的面积＝BC•CF＝2S平行四边形ABCD＝2BC•AE，∴CF＝2AE，∴AB＝2AE，∴∠ABE＝30°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠ABE＝150°．故选：D．3．解：如图所示：过（﹣1，﹣1）、（3，2）两点分别作x轴、y轴的平行线，交点为（3，﹣1），即为第四个顶点坐标．故选：C．4．解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，∵DE＝CF＝2，∴S△DEM＝S△MFB＝×2×4＝4，∴S阴＝4+4＝8，故选：C．5．解：矩形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分且相等；平行四边形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分；故选项A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C．6．解：设DE＝x，则AE＝6﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，AO＝OC，∵EF⊥AC，AO＝OC，∴AE＝CE＝6﹣x，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE2+DC2＝EC2，即x2+42＝（6﹣x）2，解得：x＝，即DE＝，CE＝AE＝6﹣＝，∴△DEC的周长为DE+CE+DC＝++4＝10，故选：A．7．解：分两种情况：①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，∵AB＝20cm，AE＝6cm，∴EB＝14cm，∴PC＝14cm，∵BC＝16cm，∴BP＝2cm，∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，∴t＝2÷2＝1（s）；②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，由题意得：2t＝16﹣2t，解集得：t＝4（s），故选：B．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠BAD＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠EAB：∠EAD＝1：3，∴∠EAB＝22.5°，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝67.5°，∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，∴∠AOB＝45°，即∠EOA的度数为45°，故选：D．9．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠CED+∠AEF＝90°，∵∠CED+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE＝DC，由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16，DE＝2，∴2AE＝6，∴AE＝3；故选：B．10．解：当AP＝BQ时，AP∥BQ．∵AP∥BQ，AP＝BQ，∴四边形ABQP为平行四边形，∴QP∥AB．∵点P运动的时间＝12÷1＝12秒，∴点Q运动的路程＝4×12＝48cm．∴点Q可在BC间往返4次．∴在这段时间内PQ与AB有4次平行．故选：C．11．解：∵门框两组对边分别相等，∴门框是个平行四边形，∵对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；故B不符合题意；∵三个角都是直角的四边形是矩形，故C不符合题意；∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D符合题意，故选：D．12．解：A、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．13．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故选项A符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D不符合题意；故选：A．14．解：A、在▱ABCD，若∠A＝∠C，则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；B、在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、在▱ABCD中，AC＝BD，则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、在▱ABCD中，AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，A、OD＝OC时，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠ODA＝∠OAD，∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．16．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、∵∠ACD＝∠CDB，∴OD＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：B．17．解：如图；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB+∠ADC＝180°；∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，∴∠HAD+∠HDA＝90°，即∠EHG＝90°；同理可证得：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°；故四边形EFGH是矩形．故选：D．18．解：过A作AF⊥BC于F，∵∠D＝∠C＝90°，∴四边形AFCD是矩形，∴AF＝CD＝2，CF＝AD，设AD＝AE＝x，BE＝BC＝y，∴AB＝x+y，BF＝y﹣x，∵AB2＝AF2+BF2，∴（x+y）2＝（y﹣x）2+22，∴xy＝1，∴AE•BE＝1，故选：B．19．解：A、矩形的对角线互相平分；正确；B、有一个角是直角的四边形是矩形；错误；C、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确；D、矩形的对角线相等；正确；故选：B．20．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝，∴MN的最小值为；故选：A．。
矩形、菱形、正方形的性质与判定压轴题九种模型全攻略(解析版)
专题06矩形、菱形、正方形的性质与判定压轴题九种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用矩形的性质求角度】 (1)【考点二利用矩形的性质求线段长】 (3)【考点三矩形的性质与判定综合问题】 (6)【考点四利用菱形的性质求角度】 (10)【考点五利用菱形的性质求线段长】 (11)【考点六菱形的性质与判定综合问题】 (14)【考点七利用正方形的性质求角度】 (18)【考点八利用正方形的性质求线段长】 (20)【考点九正方形的性质与判定综合问题】 (23)【过关检测】 (30)【典型例题】【考点一利用矩形的性质求角度】【答案】27.5︒【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．由矩形的性质得出【变式训练】【答案】75︒/75度【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据矩形的性质可得90,BAD ABC OA ∠=∠=︒而得到30OBE ∠=︒，再根据等腰三角形的性质，即可求解．∵30BOF ∠=︒，∴AOF AOB BOF ∠=∠-∠如图所示，当点F 在BC 上时，∵30BOF ∠=︒，∴AOF AOB BOF ∠=∠+∠故答案为：46︒或106︒．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键．【考点二利用矩形的性质求线段长】例题：（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，过点O【答案】3【分析】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，连接BE ，由矩形的性质可得11S OB OE OD OE =⋅=⋅∵四边形ABCD 是矩形，对角线90BAD OB OD ∴∠=︒=，，OE BD ⊥ ，OE ∴垂直平分BD ，BOE S 【变式训练】1．（2024上·江西鹰潭·九年级统考期末）如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，E ，F 分别是OC ，BC 的中点．若5cm EF =，求AC 的长．AC=【答案】20cm【分析】本题考查了矩形的性质，中位线，根据矩形的性质得E、F分别是OC、BC的中点，(1)求EC的长；(2)求CDE∠的度数．【答案】(1)(843)cm-【考点三矩形的性质与判定综合问题】例题：（2023上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BC 的延长线上，且CE BC =，AE AB =，AE ，DC 相交于点O ，连接DE ．(1)求证：四边形ACED 是矩形；(2)若120AOD ∠=︒，4AC =，求AE 的长．【答案】(1)证明详见解析(2)8【变式训练】Y的对角线相交于点O，且1．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，ABCD∠=∠．COD OBC2(1)求证：四边形ABCD是矩形；是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．(1)求证：四边形ADCE 为矩形；(2)若65BD DF ==，，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）证明90ADC DAE AEC ∠=∠=∠=︒，根据矩形的判定即可得到结论；（2）根据矩形的性质和勾股定理即可求出AD 的长．此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，∴,AD BC BAD CAD ⊥∠=∠，∴90ADC ∠=︒，∵AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，∴MAN CAN ∠=∠．∴=90DAE ∠︒，∵CE AN ⊥，∴90AEC ∠=︒．∴90ADC DAE AEC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；（2）解：∵四边形ADCE 为矩形，∴AE CD AC DE ==，，∵BD CD =，∴6AE BD ==，【考点四利用菱形的性质求角度】【答案】70︒/70度【分析】本题考查菱形性质，利用三角形内角和即可求得本题答案．【变式训练】【答案】20︒/20度【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，关键是熟练掌握直角三角形斜边∠中线性质．先根据菱形的性质得到CBD四边形ABCD是菱形，ABC∠=，∴∠=︒，OA OCBCD100∴∠=∠=︒，PA=50ACB ACD∴∠=∠=︒，PAC PCA20【考点五利用菱形的性质求线段长】【答案】513 13【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；根据菱形的性质得出AO=得AE，在Rt ABE△中，勾股定理即可求解．【变式训练】【答案】2.5【分析】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出菱形的边长．【详解】解： 四边形ABCD【答案】6或63或6【分析】由题意知AP =90BP A ∠=︒，由勾股定理得，当16AP =时，16BP=；∵菱形ABCD 中，=60B ∠︒，∴ABC 是等边三角形，∵2162AP AC ==，【考点六菱形的性质与判定综合问题】(1)求证：四边形ABEF是菱形；AB=，求AE的长．(2)若8BF=，5【答案】(1)见解析(2)AE的长为6【变式训练】(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若5AB=，2BD=，求在（2）的条件下，1OD =∵2DM =，∴22OM DM OM =-=(1)求证：四边形AFCE 是菱形．(2)若8AC =，6EF =，求BF 【答案】(1)见解析(2)75BF =【考点七利用正方形的性质求角度】【答案】22.5︒/22【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形=，即可求出据BP OB【详解】解： 四边形90BOC ∴∠=︒，45OBC ∠=︒，BP OB = ，BOP BPO ∴∠=∠，(18045)267.5BOP BPO ∴∠=∠=︒-︒÷=︒，9067.522.5COP ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【变式训练】【答案】70【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．证明ABE CBE △△≌，得到AEB BEC ∠=∠，利用三角形的内角和定理和平角的定义，进行求解即可．掌握正方形的性质，是解题关键．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴45,ABE CBE AB BC ∠=∠=︒=，∵BE BE =，∴ABE CBE △△≌，∴AEB BEC ∠=∠，∵25BCF ∠=︒，∴1804525110AEB BEC ∠=∠=︒-︒-︒=︒，∴180********AEB AED ∠∠=︒--︒==︒︒，故答案为：70．【考点八利用正方形的性质求线段长】【答案】22【分析】本题主要考查正方形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据正方形的性质得到2AB BC ==，再由勾股定理得到答案．【变式训练】【答案】352【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理求得12x =，进而表示出【详解】解：如图所示，连接∵AE 的垂直平分线分别交∴AG EG=设BG x =，则4CG =-∵E 是CD 的中点，则CE ∴(2224GE CG CE =+=∵2AP =，边长为6，即∴4PB =∵点Q 为BC 的中点，∴3CQ BQ ==，，过点P 作PE BC ⊥于E ，，∴6PE AB ==，BE AP =∵3BQ =，2AP =，∴1QE =，∴221637PQ =+=，【考点九正方形的性质与判定综合问题】例题：（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践【问题情境】如图1，正方形ABCD 中，点E 为其内一点，以点E 为直角顶点，以AB 为斜边构造直角三角形ABE ，使得90AEB ∠=︒，将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到△CBE '（点A 的对应点为C ），延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．DA DE =，∴12AQ QE AE ==． 四边形ABCD 是正方形，∴90DAB ∠=︒，DA AB =，∴90BAE DAQ ︒∠+∠=．90ADQ DAQ ∠+∠=︒，∴BAE ADQ ∠=∠，90DQA AEB ︒∠=∠=，∴(AAS)ADQ BAE △≌△，∴AQ BE =，DQ AE =，∴22DQ AE AQ BE ===．将Rt ABE 绕点B 沿顺时针方向旋转【变式训练】1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD 的边长为5，点E 为正方形CD 边上一动点，过点B 作BP AE ⊥于点P ，将APB △绕点A 逆时针旋转90︒得AP D '△，延长BP 交P D '于点F ，连(1)判断四边形的AP FP '的形状，并说明理由；(2)若1DF =，求AP 的长度；(3)在（2）的条件下，求CPB APBS S ∆∆．【答案】(1)四边形AP FP '是正方形(2)3AP =∵90APB CGB ABC ∠=∠=∠=︒，∴ABP CBG BCG CBG ∠+∠=∠+∠=∴ABP BCG ∠=∠，在ABP 和BCG 中，APB BGC ∠=∠⎧⎪(1)如图1，当点E在线段AC上时．①求证：矩形DEFG是正方形；=-；②求证：CG AC CE(2)如图2，当点E在线段AC的延长线上时，正方形ABCD的边长为【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析；(2)34GE=．∵EF DE ⊥，45PEC ∠=︒∴90DEF ∠=︒，∴45PED FEC ∠∠+=︒，∵45QEF FEC ∠+∠=︒，∴QEF PED ∠=∠，∵EP EQ =，90EQF EPD ∠=∠=︒∴()ASA EQF EPD ≌，∴EF ED =，∵四边形DEFG 矩形，EF ED =，∴四边形DEFG 是正方形；②证明：∵四边形DEFG 是正方形，∴DE DG =，90EDG ∠=︒∵90ADE EDC ∠+∠=︒，90CDG EDC ∠+∠=︒，∴ADE CDG ∠=∠，∵AD DC =，DE DG=∴()SAS ADE CDG ≌，∴AE CG =，∵AE AC CE =-，∴CG AC CE =-；（2）同（1）理，四边形DEFG 是正方形，∴,90DE DG EDG =∠=︒，∵90ADE EDC ∠=︒+∠，90CDG EDC ∠=︒+∠∴ADE CDG ∠=∠，∵,AD DC DE DG ==，∴()SAS ADE CDG ≌，）∴AE CG =，45DCG DAC ∠=∠=︒，∴90ACG ∠=︒，【过关检测】一、单选题1．（2024上·广东清远·九年级统考期末）菱形的面积为212cm ，一条对角线长是4cm ，那么菱形的另一条对A．22.5︒【答案】A【分析】本题主要考查的正方形的性质，等腰三角形的性质，根据正方形的性质得出腰三角形的性质得出【详解】解：∵四边形A．322B．32【答案】C【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．首先根据三角形中位线定理得到ACA．5B【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质；连接四边形ABCD是矩形，对角线A．四边形BFDE是平行四边形B．若四边形ABCDC．若四边形ABCD∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC OB OD ==，，∵E 、F 是对角线AC 上的两点（不与点A 、C 重合），AE CF =，∴OE OF =，∵OB OD =，∴四边形BFDE 是平行四边形，故A 不符合题意；当四边形ABCD 是菱形时，BD AC ⊥，∴EF BD ⊥，又∵四边形BFDE 是平行四边形，∴四边形BFDE 是菱形，故B 不符合题意；当四边形ABCD 是正方形时，BD AC ⊥，∴EF BD ⊥，又∵四边形BFDE 是平行四边形，∴四边形BFDE 是菱形，故C 不符合题意；当四边形ABCD 是矩形时，AC BD =，∵E 、F 是对角线AC 上的两点（不与点A 、C 重合），∴EF BD ≠，∴四边形BFDE 不是矩形，故D 符合题意，故选：D ．二、填空题=（答案不唯一）【答案】AC BD【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据矩形的判定定理，即可求解．=，理由：【详解】解：添加AC BD【答案】67.5︒【分析】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键；根据正方形的性质得到线段相等和【答案】20︒/20度【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得OB OD=，CD【答案】51 2 +【分析】在ABC中，AB∵,36AB AC A =∠=︒，∴(11802ABC ACB ==∠∠∴723636BCD ∠=︒-︒=︒，∴1807236BDC ∠=︒-︒-∴BDC B ∠=∠，∵四边形ABCD 为菱形，∴1362BAC BAD ==︒∠∠∴在等腰ABC 中底角为36【答案】1.5或3【分析】本题考查了矩形与翻折问题，∠=︒，画出对应的图形即可求解．EPC90∠=【详解】解：若PEC∠=∠=∠∵AEP B PEC、、三点共线∴A E C==由题意得：BC AD==，则CP设EP BP x∴2C E A C A E =-=∴()22242x x -=+，解得： 1.5x =∴ 1.5BP =若90EPC∠=︒，如图所示：则四边形ABPE 是矩形，由翻折可知：BP EP =，∴四边形ABPE 是正方形∴3BP AB ==综上所述： 1.5BP =或3BP =故答案为：1.5或3．三、解答题11．（2023上·新疆喀什·九年级校联考期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，AE BC ⊥交CB 延长线于E ，CF AE ∥交AD 延长线于点F ．(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)连接OE ，若5AD =，3BE =，求线段OE 的长．【答案】(1)见解析∵四边形ABCD 为菱形，∴5AB BC AD ＝＝＝，又∵四边形AECF 为矩形，OA OC OE =＝，(1)求证：OE OF=；CF=，求OC(2)若12CE=，5(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形【答案】(1)证明见解析【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定，直角三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据已知得出题关键．13．（2023上·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考阶段练习）如图在(1)求证：四边形ADCF 是平行四边形(2)若6,10AB BC ==．①当AC =______时，四边形ADCF ②若四边形ADCF 是菱形，则DG勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．14．（2023上·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边上的一点，点E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连接BF ．(1)求证：BD CD =；(2)当ABC 满足什么条件时四边形AFBD 为矩形?证明你的结论；(3)若ABC 为直角三角形，且90BAC ∠=︒时，判断四边形AFBD 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)当AB AC =时，四边形AFBD 为矩形，见解析(3)四边形AFBD 为菱形，见解析【分析】（1）证明AEF DEC △≌△可得AF DC =，再根据条件AF BD =可利用等量代换可得BD CD =；（2）首先判定四边形AFBD 为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD BC ⊥，进而可得四边形AFBD 为矩形；（3）利用直角三角形斜边中线的性质求得AD BD =，进而可得四边形AFBD 为菱形．【详解】（1）证明：∵AF BC ∥，AFE ECD ∴∠=∠．E 是AD 的中点，DE AE ∴=，在AEF △与DEC 中，AFE ECD AEF DEC AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)AEF DEC ∴△≌△，AF DC ∴=，AF BD = ，(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)若5AE =，8AD =，求EF 的长；(3)ABC 满足什么条件时，四边形【答案】(1)见解析(2)6EF =四边形平行四边形(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)若2,2==，求CG的长度；AB CE(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30︒时，直接写出【答案】(1)见解析（2）解：如图2中，在Rt ∵2,AB =∴222AC AB ==，2CE = ，AE CE ∴=，（3）解：①当DE 与AD 的夹角为则903060CDE ∠=︒-︒=︒，在四边形CDEF 中，由四边形内角和定理得：②当DE 与DC 的夹角为30︒90HCF DEF ∠=∠=︒ ，CHF ∠30EFC CDE ∴∠=∠=︒，综上所述，120EFC ∠=︒或30【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。
矩形专题训练(经典、全面)
矩形专题训练(经典、全面)介绍本文档旨在提供一个矩形专题训练的全面练集合，其中包含一系列经典的矩形相关题目。
这些练将帮助读者加深对矩形的理解、掌握与矩形相关的算法，以及培养解决各种与矩形相关问题的能力。
练内容题目一：计算矩形的面积给定一个矩形的长和宽，编写一个函数来计算其面积。
函数的输入为两个非负整数，表示矩形的长和宽，输出为该矩形的面积。
题目二：判断矩形是否为正方形给定一个矩形的长和宽，编写一个函数来判断该矩形是否为正方形。
函数的输入为两个非负整数，表示矩形的长和宽，输出为一个布尔值，表示该矩形是否为正方形。
题目三：计算矩形的周长给定一个矩形的长和宽，编写一个函数来计算其周长。
函数的输入为两个非负整数，表示矩形的长和宽，输出为该矩形的周长。
题目四：计算两个矩形的重叠面积给定两个矩形的左下角和右上角坐标，编写一个函数来计算它们的重叠面积。
函数的输入为四个整数，依次表示第一个矩形的左下角坐标和右上角坐标，输出为一个非负整数，表示两个矩形的重叠面积。
题目五：判断两个矩形是否相交给定两个矩形的左下角和右上角坐标，编写一个函数来判断它们是否相交。
函数的输入为四个整数，依次表示第一个矩形的左下角坐标和右上角坐标，输出为一个布尔值，表示两个矩形是否相交。
题目六：判断点是否在矩形内部给定一个矩形的左下角和右上角坐标，以及一个点的坐标，编写一个函数来判断该点是否在矩形内部。
函数的输入为六个整数，依次表示矩形的左下角坐标、右上角坐标和点的坐标，输出为一个布尔值，表示该点是否在矩形内部。
题目七：寻找包含所有点的最小矩形给定一组点的坐标，编写一个函数来寻找一个矩形，使得该矩形包含所有给定的点，并且该矩形的面积最小。
函数的输入为一组点的坐标，输出为一个四元组，依次表示最小矩形的左下角和右上角坐标。
总结本文档提供了一系列经典的矩形相关练习题，从计算矩形的面积、周长到判断矩形是否为正方形、判断两个矩形是否相交等等。
通过完成这些练习，读者可以提高对矩形的理解，并培养解决各种与矩形相关问题的能力。
第6讲 矩形的性质与判定专题训练
第6讲 矩形的性质与判定专题训练基础回顾 一．矩形初步1.如图，矩形ABCD ，沿对角线BD 向上翻折，使点C 落在点F 处，连AF . (1) 求证：AF ∥BD ； (2) 若AB ＝6，BC ＝8，求AF 的长.2.如图，矩形ABCD 中，AC ＝2AB ，AE 平分∠DAB ，求∠OEA .3. 如图，矩形ABCD 中，EF ⊥CE ，EF ＝CE ，DE ＝4，矩形的周长为32，求CF 的长.4. 如图，矩形ABCD 中，点P 在BC 边上，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，AB ＝6，BC ＝8，运用上题结论，求PE ＋PF 的值.5. 如图，矩形ABCD ，∠AOD ＝120°，OD ＝2，求AB 、AD .6. 如图，矩形ABCD ，CE ⊥BD ，DE ＝31BE ＝2，求BC 和CD 的长.7. 如图，矩形ABCD中，AE平分∠DAB，∠EAC＝15°，求∠BOE.8. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿AC折叠到△ACE，AE交BC于F，求S△ACF.二．矩形的判定9.顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形EFGH，要使四边形EFGH是矩形，需添加的条件是____________，并画图给予证明.10.如图，AB＝BC，AD⊥BC于D，点P为AB上的动点，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为E，F. （1）求证：PE＋PF＝AD；(2) 若P点在AB的延长线上，问PE、PF、AD有怎样的关系，画图证明；11.如图，E、F、G、H分别为AB、AD、CD、PC的中点，（1）问四边形EFGH的形状；（2）若AC⊥BD，则（1）中四边形的形状如何？12.如图，BE 平分△ABC 的外角，BF 平分∠ABC ，AE ⊥BE 于E 点，AF ⊥BF 于F 点， （1）求证：四边形AEBF 是矩形； （2）求证：EF ∥BC .三．矩形的性质与判定13.如图，矩形ABCG 中，点D 是AG 的中点，DE ⊥CD 交AB 于E ，BE ＝BC ，连CE 交BD 于F ，求证：（1）BD ＝CD ；(2)∠BDC ＝45°；（3）DE ＝DF ；(4)21=∆∆DEF ADE S S .14. 如图，矩形ABCG 中，点D 为AG 上一点，且BD ＝BC ，ED 平分∠ADB ，交AB 于E ，BN ∥DE ，交CE 于N .（1）求证：CD ⊥DE ； (2) 求证：EN ＝CN ； (3) 求证：∠AED ＝∠BEC .15. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，AB ＝6，AD ＝8. (1) 求BD 的长； （2）求AE 的长.16. 如图，四边形ABEC中，∠BAC＝∠E＝90°，AD⊥BE于点D,(1) 若BD＝3，求AD－CE的值；(2) 若S四ABEC＝16，在（1）中，求AB的长.17. 如图，矩形ABCD中，E在BC上，AB＝3，AD＝5，CE＝1，DF⊥AE于F，求DF的长.问题探究18.已知等腰三角形ABC和DBE的底角共顶点，AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE，以线段AD和AC 为邻边作□ACFD，连接CE.(1)如图1，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC＝∠BDE＝60°，则∠ECF＝_______;(2) 如图2，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC＝∠BDE＝90°，则∠ECF＝_______;请你完成（1），（2）两个命题，并从中任选一个进行证明.19.已知等腰△ABC 和等腰△ADE ，CA ＝CB ，AD ＝AE ，∠ACB ＝∠DAE ＝α，以AB 和AD 为邻边作□ABFD ，连接CE 、CF .(1)如图1，当α＝90°，且C 、A 、D 依次在同一条直线上，求∠CFD ＝_______，CFEF＝_______ (2)如图2，当α＜90°，且C 、A 、D 不在同一条直线上，求∠CFE ，并证明.20. 如图，AB ∥CD ，∠D ＝90°，AB ＝AC ，AE ＝AD ，且∠CAE ＝90°，连BE 交AC 于F 点. (1) 求证：BF ＝EF ；(2) 如图2，若点N 为BC 的中点，求BDFN. (3) 如图3，若点M 为AE 的中点，BM 交AC 于点P ，求BPMP.。
九年级中考临考专题训练：矩形、菱形(含答案)
2021中考临考专题训练：矩形、菱形一、选择题1. 下列说法，正确的个数有 ()①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个2. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A.2B.2C.4D.23. （2020·四川甘孜州）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E 为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()5. （2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶16. （2020·广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）C DFE OBA图5 A ．485 B ．325 C ．245 D ．1257. （2020·泰安）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论：① DN ﹦BM ；②EM ∥FN ；③AE ﹦FC ；④当AO ﹦AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个AB CDEFOMN 8. （2020·达州）如图，∠BOD =45°，BO=DO ，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F .下列4个判断：①OE 平分∠BOD ；②OF=BD ；③DF=AF ；④若点G 是线段OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB=30°，AB=4，则OC= .10. 如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点.若DCA B F EOMN=4，则AC的长为.11. 如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A=，则这个菱形的面积= cm2.12. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．13. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．14. （2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．15. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E＝________度.16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG . 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题17. 如图，将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别交于点E ，F . (1)求证:△BCF ≌△BA 1D ;(2)当∠C=α时，判断四边形A 1BCE 的形状，并说明理由.18. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平;再一次折叠，使点D 落到MN 上的点F 处，折痕AP 交MN 于E ;延长PF 交AB 于G .求证: (1)△AFG ≌△AFP ; (2)△APG 为等边三角形.19. 如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD=2BC ，∠ABD=90°，E 为AD 的中点，连接BE. (1)求证:四边形BCDE 为菱形;(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长.20. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.21. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．22. 如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．23. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE＝n.(1)求证：AE＝GE；(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．24. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝55，点P是射线BC上一点，连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：△ABE≌△CBE；(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．2021中考临考专题训练：矩形、菱形-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ．∵菱形ABCD 的周长为32，∴AB ＝8．∵AC ⊥BD ，E 为AB 的中点，∴OE ＝AB ＝4．故选B ．4. 【答案】C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的．5. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识．由菱形的周长为16可得其边长为4，而高为2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为4，一直角边为2，求该直角三角形的锐角．由sin α=2142，可得锐角α=30°，所以该菱形的两邻角为150°和30°，两邻角之比5∶1，因此本题选B ． 6. 【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平分的性质可得，OA=OD=5. △ABD 的面积为24，OA 为△ABD 的中线，由中线等分面积可得，△AOD 的面积为12.再由等面积法即可得OE+EF 的值．过程如下：∵AOE EOD AOD S S S ∴111222OA OE OD EF 即11551222OE EF ，∴OE+EF=245，因此本题选C ．7. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，所以∠DAN=∠BCM.因为BF ⊥AC ，DE ∥BF ，所以DE ⊥AC ，即∠AND=∠CMB=90°，所以△ADN ≌△CBM ，所以DN=BM ，∠AND=∠CBM ，则△ADE ≌△CBF ，所以AE=CF 、DE=BF ，所以NE=MF ，即①②③都是正确的，由AE=CF 、AB=CD ，所以BE=DF ，所以四边形AEBF 是平行四边形. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AO=DO ，因为当AO ﹦AD 时，AO=DO=AO ，所以△ADO 是等边三角形，所以∠AND=∠BDE=30°，所以∠BDE=∠ABD=30°，所以DE=BE ，所以四边形DEBF 是菱形，则④也是正确的，因此本题选D ． 8. 【答案】A【解析】由矩形的性质可知：BE=DE=BD ，∠OAD=∠BAD=90°，在△ODE 和△OBE 中，BO=DO ，BE=DE ，OE=OE ，所以△ODE ≌△OBE ，∠OED=∠OEB=90°，∠OBD=∠ODB=67.5°，∠BOE=∠DOE=22.5°，故①正确；在R t △AOD 中，∠BOD=45°，∴OA=AD ，在R t △ABD 中，∠BAD=90°，∠OBD=67.5°，所以∠BDA=22.5°，在△BDA 和△FOA 中，∠BDA=∠FOA ，OA=AD ，∠OAD=∠BAD=90°，所以△BDA ≌△FOA ，所以OF=BD ，故②正确；如答图，过点F 作FQ ⊥OD 于点Q ，由角平分线的性质得AF=FQ ，由题可知∠ADO=45°，所以△FDQ 是等腰直角三角形即DF=AF ，故③正确；如答图，AG=OG=OF ，所以OG=DE ，由题意可得△OAG ≌△DAE ，所以∠OAG=∠DAE ，AG=AE ，又由∠OAG ＋∠GAF=90°可得∠GAE=90°，所以△GAE 是等腰直角三角形，故④正确．二、填空题9. 【答案】4 [解析]由题意可知，四边形ABCD 为矩形，则AC=BD ，OC=AC.已知∠ADB=30°，故在Rt △ABD 中，BD=2AB=8，∴AC=BD=8，OC=AC=4.10. 【答案】1611. 【答案】60[解析]菱形的面积可以用边长×高，即AB ×DE 计算，在Rt △ADE中，∵AD=10，sin A=，∴DE=6，∴菱形的面积为60 cm 2.12. 【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3.13. 【答案】16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.14. 【答案】5【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD ，AB ＝8，BC ＝10，∴AB '＝8，AD ＝10，B 'C '＝10．在R t △ADB '中，由勾股定理，得DB '＝6．∴DC '＝4． 设DE ＝x ，则CE ＝C 'E ＝8－x ．在R t △C 'DE 中，由勾股定理，得DE 2＝EC '2＋DC '2GQD C AB F E O即x 2＝(8－x )2＋42．∴x ＝5．即线段DE 的长为5cm ．461088-x x 108C'B'D A BCE15. 【答案】15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图16. 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴EDFD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵△ABC 是等腰三角形，B 是顶点， ∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置， ∴A 1B=AB=BC ，∠A 1=∠A=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1.在△BCF 与△BA 1D 中，∴△BCF≌△BA1D.(2)四边形A1BCE是菱形.理由如下:∵将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转α到△A1BC1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=α，∵∠AED=∠C=α，∴A1E∥BC.∵∠AED=∠A1=α，∴A1B∥CE.∴四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形.18. 【答案】证明:(1)∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕MN，∴MN∥AB，M，N分别为AD，BC中点，由平行线的性质可知PF=GF.由折叠的性质得∠PF A=∠GF A=90°，∴△AFG≌△AFP(SAS).(2)∵△AFG≌△AFP，∴AP=AG，∠2=∠3.又∵∠2=∠1，∴∠1=∠2=∠3.又∵∠1+∠2+∠3=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∠P AG=2∠2=60°，∴△APG 为等边三角形.19. 【答案】解:(1)证明:∵E为AD的中点，AD=2BC，∴BC=ED，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=ED，∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴BA=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∠ADC=2∠ADB=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中，AD=2，CD=1，∴AC=.20. 【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD，∴AE∥DC，∴∠EBO=∠DCO，∠BEO=∠CDO，∵点O是边BC的中点，∴BO=CO，∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴EO=DO，∴四边形BECD是平行四边形.(2)100[解析]若四边形BECD为矩形，则BC=DE，BD⊥AE，又AD=BC，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.21. 【答案】(1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，(1分)∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎨⎧AD ＝ AE∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC，∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(3分)(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，(5分)又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，(6分)又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.(8分)22. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.(1分) ∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ，∴四边形PFCH 是矩形，(2分)∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ，(3分)∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(4分)(2)证明：(1)由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形，∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .(8分)【解法提示】同(1)证法一样可得，△ACD ≌△CAB ，△APE ≌△PAG ，△PHC ≌△CFP ，∴S △ACD －S △AEP －S △PCH ＝S △CAB －S △PGA －S △CFP ，∴S 四边形PEDH ＝S 四边形PFBG .23. 【答案】(1)证明：由折叠性质得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EF A ，∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EF A ＋∠EFG ＝90°，∴∠FGA ＝∠EFG ，∴EG ＝EF ，∴AE ＝GE ；(2)解：如解图①，当点F 落在AC 上时，设AE ＝a ，则AD ＝na ，解图①由对称性得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC ，又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ， ∴AB DA ＝AE DC ，∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2，∵AB ＞0，∴AB ＝na ，∴AD AB ＝na na＝n ； (3)解：若AD ＝4AB ，则AB ＝n 4a ， 如解图②，当点F 落在线段BC 上时，EF ＝AE ＝AB ＝a .解图②此时n 4a ＝a ，∴n ＝4，∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得AD AB ＝n ，即4AB AB ＝n ，∴n ＝16；②如解图③，若∠CGF ＝90°，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°，解图③∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE .∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DGC ，∴AB DG ＝AE DC ，∵DG ＝AD －AE －EG ＝na －2a ＝(n －2)a ，∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即(n 4a )2＝(n －2)a ·a ，解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．综上所述，当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．24. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE (SAS)；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45， ∵12AC ·BD ＝BC ·AH ，即12×25×45＝5AH ，∴AH ＝4，∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP， ∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ，即AP PE ＝5＋22＝72，∴AP ＝72PE ，又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ，∴EF AH ＝PE AP ，∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127；(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ，∴AD BP ＝DE BE ，∴5BP＝535，∴BP＝15.。
2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题06 矩形的判定和性质
2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题测试专题06 矩形的判定和性质姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•平山县期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．42．（2022春•朝天区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.43．（2022春•八公山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.84．（2022春•桂平市期末）如图，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为（）A．2.4 B．1.4 C．1.3 D．1.25．（2022春•新邵县期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（）A．菱形B．矩形C．菱形或矩形D．无法判断6．（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC ＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8 B．9 C．10 D．127．（2022•巨野县模拟）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB 于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO 的最小值是（）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.58．（2021春•梁山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P 不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．AM＜6 B．AM＜12 C．AM＜12 D．AM＜69．（2021春•罗平县期中）下列说法正确的有几个（）①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④矩形的四个角是直角；⑤对角线互相垂直的四边形是菱形；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形；⑦四条边相等的四边形是菱形．A．6个B．5个C．4个D．7个10．（2021春•林州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（）A．B．C．D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2019春•岱岳区期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快s后，四边ABPQ成为矩形．12．（2015春•滨湖区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣A以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝时，四边形APQD也为矩形．13．（2022春•本溪期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．14．（2022春•临汾期末）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝°．15．（2021秋•三水区期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为．16．（2022春•白河县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M为线段BD上一动点，MP⊥CD 于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为．17．（2022春•昭化区期末）如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN．若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，MN的最小值是．18．（2022春•南平期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝4，AD＝3，EF＝3，则线段GH长度的最小值是．19．（2022春•淅川县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．20．（2019秋•雁塔区校级期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（2022春•留坝县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝6，DF＝10，求BF的长．22．（2022春•曲阳县期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，求证四边形MNQP是菱形．23．（2022春•杨浦区校级期中）已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．求证：DE＝BN．24．（2022春•洪泽区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．（1）若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是；（直接填序号，不用说理）（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．25．（2022春•碑林区校级期末）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，将△ABC沿对角线翻折，得到△AB′C，B′C与AD边交于点E，连接B′D，（1）当△CDE为等边三角形时，证明：四边形ACDB′为矩形：（2）在（1）的条件下，当AB＝3时，求S△AEC．26．（2022春•扶沟县期末）如图，▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）填空：若AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，则①当AE＝时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝时，四边形CEDF是菱形．27．（2020春•定远县期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．28．（2022春•三台县期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？答案与解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•平山县期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．4解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．2．（2022春•朝天区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4解：连接AP，如图：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，当AP⊥BC时，AP最短，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：D．3．（2022春•八公山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：D．4．（2022春•桂平市期末）如图，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为（）A．2.4 B．1.4 C．1.3 D．1.2解：连接P A，如图所示：∵AC＝3、AB＝4、BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∵PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，∴∠PGA＝∠PHA＝90°，∴四边形AGPH为矩形，∴AP与GH互相平分且相等，∵M是GH的中点，∴M是AP的中点，当AP⊥BC时，AP最小，此时，△ABC的面积BC×AP＝AC×AB，则AP＝＝＝2.4，∴PM＝AP＝1.2，即PM的最小值为1.2，故选：D．5．（2022春•新邵县期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（）A．菱形B．矩形C．菱形或矩形D．无法判断解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：B．6．（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC ＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8 B．9 C．10 D．12解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故选：C．7．（2022•巨野县模拟）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB 于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO 的最小值是（）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．8．（2021春•梁山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P 不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．AM＜6 B．AM＜12 C．AM＜12 D．AM＜6解：如图，连接P A，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝＝13，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠PEA＝∠PF A＝∠EAF＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵M为EF中点，∴AM＝EF＝P A，当P A⊥CB时，P A＝＝＝，∴AM的最小值为，∵P A＜AC，∴P A＜12，∴AM＜6，∴≤AM＜6，故选：D．9．（2021春•罗平县期中）下列说法正确的有几个（）①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④矩形的四个角是直角；⑤对角线互相垂直的四边形是菱形；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形；⑦四条边相等的四边形是菱形．A．6个B．5个C．4个D．7个解：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故①正确；②对角线互相平分的四边形是平行四边形，故②正确；③对角线相等的平行四边形是矩形，故③正确；④矩形的四个角是直角，故④正确；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故⑤错误；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故⑥正确；⑦四条边相等的四边形是菱形，故⑦正确；正确的说法有6个，故选：A．10．（2021春•林州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（）A．B．C．D．解：连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DF A＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值为，∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GF＝EF＝；故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2019春•岱岳区期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快5s后，四边ABPQ成为矩形．解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20cm，设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，∵四边形ABPQ是矩形∴AQ＝BP∴3x＝20﹣x∴x＝5故答案为：512．（2015春•滨湖区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣A以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2s时，四边形APQD也为矩形．解：根据题意得：CQ＝2t，AP＝4t，则DQ＝12﹣2t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，CD∥AB，∴当AP＝DQ时，四边形APQD是矩形，即4t＝12﹣2t，解得：t＝2，∴当t＝2s时，四边形APQD是矩形；故答案为：2s．13．（2022春•本溪期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是6或4．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，∴∠BAC＝30°，∴AB＝8，AC＝4，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形PECD是矩形，∴CQ＝PQ，当∠APQ＝90°时，则AB⊥CP，∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CP，∴4×4＝8CP，∴CP＝2，∴AP＝＝＝6，当∠AQP＝90°时，则AQ⊥CP，又∵CQ＝QP，∴AC＝AP＝4，综上所述：AP的长为6或4，故答案为：6或4．14．（2022春•临汾期末）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝30°．解：由题意得，CD′＝CD，∵四边形OD'DC为菱形，∴DD′＝CD，∴CD′＝DD′＝CD，∴△CDD′是等边三角形，∴∠DCD′＝60°，∴∠D′CO＝60°，∵四边形A'BCD'是个矩形，∴∠BCD′＝90°，∴∠A'CB＝30°，故答案为：30．15．（2021秋•三水区期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为10．解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故答案为：10．16．（2022春•白河县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M为线段BD上一动点，MP⊥CD 于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为．解：如图，连接CM，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝3，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，即×3×CM＝×1×2，∴CM＝，∴PQ的最小值为，故答案为：．17．（2022春•昭化区期末）如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN．若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，MN的最小值是 4.8．解：如图，连接BP，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠PMB＝∠PNB＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故答案为：4.8．18．（2022春•南平期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝4，AD＝3，EF＝3，则线段GH长度的最小值是．解：连接AC、AP、CP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，∴AC＝＝＝5，∵P是线段EF的中点，∴AP＝EF＝，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝5﹣＝，∴GH的最小值是，故答案为：．19．（2022春•淅川县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．解：连接OP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∵AB＝4，∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．20．（2019秋•雁塔区校级期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是．解：作A'F⊥BC于F，如图所示：则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，∴A'F＝AB＝1，∴∠D'＝∠A'BF＝30°，∴BF＝A'F＝，∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四边形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，∴D'E＝BF＝，∴△ECD'的面积＝D'E×CE＝××1＝；故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（2022春•留坝县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝6，DF＝10，求BF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵FC＝AE，∴DC﹣FC＝AB﹣AE，即DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵DC∥AB，∴∠DF A＝∠BAF，∴∠DF A＝∠DAF，∴AD＝DF＝10，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝8，由（1）得：四边形DEBF是矩形，∴BF＝DE＝8．22．（2022春•曲阳县期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，求证四边形MNQP是菱形．证明：（1）∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE，∴∠FEH＝∠BEF，∠EFH＝∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∴∠FEH+∠EFH＝（∠BEF+∠DFE）＝×180°＝90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°，同理可得：∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠GEF＝∠AEF，∠FEH＝∠BEF，∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠AEB＝180°，即∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠FEG+∠FEH＝（∠AEF+∠BEF）＝×180°＝90°，即∠GEH＝90°，∴四边形EGFH是矩形；（2）∵MN∥EF∥PQ，MP∥NQ，∴四边形MNQP为平行四边形．如图，延长EH交CD于点O，∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE，∴∠FOE＝∠FEO，∴EF＝FD，∵FH⊥EO，∴HE＝HO，∵∠EHP＝∠OHQ，∠EPH＝∠OQH，∴△EHP≌△OHQ（AAS），∴HP＝HQ，同理可得GM＝GN，∵MN＝PQ，∴MG＝HP，∴四边形MGHP为平行四边形，∴GH＝MP，∵MN∥EF，ME∥NF，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN＝EF，∵四边形EGFH是矩形，∴GH＝EF，∴MN＝MP，∴平行四边形MNQP为菱形．23．（2022春•杨浦区校级期中）已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．求证：DE＝BN．证明：∵BE、BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，∴∠DBE＝×180°＝90°，∵AD⊥BD于D，AE⊥BE于E，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，则∠DBE＝∠ADB＝∠AEB＝90°，在△ABE和△NBE中，，∴△ABE≌△NBE（ASA），∴AB＝BN，∵四边形ADBE是矩形，∴DE＝AB，∴DE＝BN．24．（2022春•洪泽区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．（1）若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是①；（直接填序号，不用说理）（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．解：（1）连接HG交AC于点O，在矩形ABCD中，有AD∥CD，AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACB，∠AGH＝∠CHG，∵G、H分别是AD、BC的中点，∴AG＝AD，CH＝BC，∴AG＝CH，∴△AOG≌△COH（ASA），∴OG＝OH，OA＝OC，由题意得：AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形EGFH是平行四边形，故①是正确得；随着t的增加，∠EGF由大变小，不一定是直角，故②不一定正确；∵G平分AD，O平分AC，∴OG∥CD，∴OG不是AC的垂直平分线，∴EG与GF不一定相等，故③不一定正确；故答案为：①．（2）（2）如图1，连接GH，由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，①如图1，当四边形EGFH是矩形时，∴EF＝GH＝6，∵AE＝CF＝t，∴EF＝10﹣2t＝6，∴t＝2；②如图2，当四边形EGFH是矩形时，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，∴t＝8；综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8；25．（2022春•碑林区校级期末）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，将△ABC沿对角线翻折，得到△AB′C，B′C与AD边交于点E，连接B′D，（1）当△CDE为等边三角形时，证明：四边形ACDB′为矩形：（2）在（1）的条件下，当AB＝3时，求S△AEC．（1）证明：∵△CDE是等边三角形，∴DE＝DC＝EC，∠ADC＝∠CED＝60°，根据折叠的性质可知：∠BCA＝∠B′CA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠BCA，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC，∴∠DAC＝∠ECA＝30°，∴∠ACD＝90°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AC⊥AB，由折叠可知：∠B′AC＝∠BAC＝90°，∴B，A，B′三点在同一条直线上，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，由折叠可知：AB＝AB′，∴AB′∥CD，AB'＝CD，∴四边形ACDB′为平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDB′为矩形；（2）解：在Rt△ACB′中，∠CAB′＝90°，∵∠ACB′＝30°，AB′＝AB＝3，∴AC＝AB′＝3，∴S△AEC＝S△ACB′＝AC•AB′＝×3×3＝．26．（2022春•扶沟县期末）如图，▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）填空：若AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，则①当AE＝时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FCG＝∠EDG，∠CFG＝∠DEG，又CG＝DG．∴△FCG≌△EDG，∴FG＝EG．∴四边形CEDF是平行四边形．（2）①如图四边形CEDF是矩形时，在Rt△CDF中，CD＝AB＝3，∠DCF＝60°，∠CFD＝90°，∴CF＝CD＝．∵ED＝CF＝，∴AE＝AD﹣DE＝②如图四边形CEDF是菱形时，易知△CDF，△CDE都是等边三角形，∴DE＝CD＝AB＝3，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣3＝2．故答案为，2．27．（2020春•定远县期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．（1）证明：如图1中，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．∵AN＝BN＝2，∴AB＝CD＝4，∵AE∥DC，∴∠E＝∠MCD，在△AEM和△DCM中，，∴△AME≌△DMC，∴AE＝CD＝4，∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．②如图3中，延长CM、BA交于点E．由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，∴EM＝CM＝3，EN＝CN＝4，设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，∴42﹣x2＝62﹣（x+4）2，∴x＝，∴BC＝＝＝．28．（2022春•三台县期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？解：（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，则有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，答：t＝4s时，四边形EFCD为矩形．（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝4﹣2t，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝2t﹣4，解得t＝4，综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．。
2021年中考数学 一轮专题训练：矩形及其性质(一)(解析版)
2021年中考数学一轮专题训练：矩形及其性质（一）1．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝100°，则∠OAB的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（）A．4 B．4C．3 D．53．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝OB＝5．则AC＝（）A．10 B．5 C．5D．84．菱形具有而矩形没有的性质是（）A．对角线互相平分B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相垂直5．如图，在矩形ABCD中，AO＝5，CD＝6，则AD＝（）A．5 B．6 C．7 D．86．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣2，﹣1）（﹣2，2）和（4，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A．（﹣2，2）B．（4，2）C．（4，4）D．（4，3）7．如图，矩形DEFG的顶点E，F分别在菱形ABCD的边AD和对角线AC上，连接EG，BF；若EG＝3，则BF的长为（）A．B．C．3 D．48．已知矩形ABCD，AB＝2BC，在CD上取点E，使AE＝AB，那么∠EBC等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．两组对角分别相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直10．如图，在矩形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点．BC ＝12，DQ＝5，在点P从B移动到C（点Q不动）的过程中，则下列结论正确的是（）A．线段EF的长逐渐增大，最大值是13B．线段EF的长逐渐减小，最小值是6.5C．线段EF的长始终是6.5D．线段EF的长先增大再减小，且6.5≤EF≤1311．矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（）A．12 B．10 C．7.5 D．512．下列说法错误的是（）A．四个角都相等的四边形是矩形B．三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半C．两条对角线相等的四边形是矩形D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形13．如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥ADC．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO14．下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线相等的四边形是矩形C．平行四边形的对角线互相平分D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形15．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠B＝∠C＝90°C．AB＝CD，∠B＝∠C＝90°D．AB＝CD，AC＝BD16．如图，已知点O为△ABC的AC边上的中点，连接BO并延长到D，使得OD＝OB，要使四边形ABCD为矩形，△ABC中需添加的条件是（）A．AB＝BC B．∠ABC＝90°C．∠BAC＝45°D．∠BCA＝45°17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下面条件能判断平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AO＝CO D．AB＝AD18．在四边形ABCD中AB、CD相交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形B．AO＝CO，BO＝DO且AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形C．AO＝OB＝OC＝OD，则四边形ABCD是矩形D．∠A＝∠B＝∠C＝∠D且AB＝BC，则则四边形ABCD是正方形19．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，点P是线段BC上的一个动点，过点P分别作AB、AC的垂线交AB、AC于点M、N，连接MN，则MN的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．120．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC＝15，AC＝20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．25参考答案1．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2OA，BD＝2BO，AC＝BD，∴OB＝OA，∵∠AOB＝100°，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣100°）＝40°故选：D．2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝3，故选：C．3．解：∵矩形ABCD中，AB＝OB＝5，∴BD＝2OB＝2×5＝10，∴AC＝BD＝10，故选：A．4．解：∵菱形具有的性质：对角线互相垂直，对角线互相平分；矩形具有的性质：对角线相等，四个角都是直角，对角线互相平分；∴菱形具有而矩形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选：D．5．解：∵四边形ABCD是矩形，AO＝5，∴∠ADC＝90°，AC＝2AO＝10，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8，。
【易错专训】02_矩形的性质与判定(原卷版)-2021-2022学年九上期末
【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年九年级数学上册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错02矩形的性质与判定【易错1例题】矩形的性质1．（2020·全国）矩形具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．一条对角线平分一组对角D．面积等于两条对角线乘积的一半【易错2例题】矩形的判定2．（2021·江苏南通市·九年级二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AB＝DC D．AB⊥DC【专题训练】一、选择题1．（2021·湖南八年级期中）已知矩形ABCD的周长为32，AB＝6，则BC等于（）A．10B．12C．24D．282．（2021·江苏八年级期末）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对边相等B．邻边垂直C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．（2021·江苏八年级期中）E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC 、BD 相交于点O ，根据以下条件，不能证明四边形EFGH 是矩形的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AB BC =，OB OD = C ．AB BC =，OA OC = D ．AB BC =，CD AD =4．（2021·重庆八年级期末）如图，将一个矩形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合．折痕为EF ．若AB ＝8，BC ＝16，则BE 的长是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．65．（专题16一次函数的实际应用-2020-2021学年八年级数学下学期期末专项复习（湘教版））如图①，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿着N P Q M →→→方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（ ）．A ．当2x =时，5y =B ．矩形MNPQ 的周长是18C ．当6x =时，10y =D ．当8y =时，10x =二、填空题 6．（2021·黑龙江九年级其他模拟）如图，在⊥ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC 和AC 边的中点，请添加一个条件_________，使四边形BEFD 为矩形．（填一个即可）7．（2021·河北石家庄外国语学校八年级期末）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且OA =OB =OC =OD ，则它是______形．若⊥AOB =60°，则AB ：AC =_______．8．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，3CB =，6CA =，M 为斜边AB 上的一个动点，过点M 作MD AC ⊥于点D ，ME BC ⊥于点E ．则线段DE 的最小值是______．9．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，在矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 的边BC 上任一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ．若AB ＝5，BC ＝12，PE +PF ＝__．10．（2021·扬州市梅岭中学八年级期中）矩形ABCD 中,AB ＝3,BC ＝4,点E 是BC 边上一点,连接AE ,把⊥B 沿AE 折叠,使点B 落在点B ′处,当⊥CEB ′为直角三角形时,BE 的长为____________．三、解答题11．（2021·青海西宁市·八年级期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，BE ⊥AC ，AE ⊥BD ，连接EO ．（1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明理由；（2）若CD ＝6，求OE 的长．12．（2021·重庆八年级期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF AB ⊥，OG EF //．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若10AD =，4EF =，求BD 的长．13．（2021·江苏八年级月考）如图，已知在⊥OAB 中AO ＝BO ，分别延长AO ，BO 到点C 、D ，使得OC ＝AO ，OD ＝BO ，连接AD ，DC ，CB ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）以AO ，BO 为一组邻边作平行四边形AOBE ，连接CE ．若CE ⊥AE ，求⊥AOB 的度数．14．（2021·北京八年级期末）如图，在直角⊥ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ， BC 的中点．（1）求证：四边形ADFE 为矩形；（2）若30C ∠=︒，2AF =，求出矩形ADFE 的周长．15．（2021·江苏八年级月考）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AE BC ⊥于点E ，延长BC 到点F ，使CF BE =，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接OE ，若10,4AD EC ==，求OE 的长度．16．（2021·江苏八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接EF 、FG 、GH 、EH ．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）再加上条件后，能使得四边形EFGH是矩形．请从①四边形ABCD是菱形，②四边形ABCD 是矩形这两个条件中选择1个条件填空（写序号），重新画图并写出证明过程．。
2020年中考数学一轮专题复习课时练-第23课时矩形、菱形、正方形专题训练
2020年中考数学一轮专题复习课时练第五单元四边形第23课时矩形、菱形、正方形练习1 矩形点对点·课时内考点巩固35分钟1.(2019株洲)对于任意的矩形，下列说法一定正确的是()A. 对角线垂直且相等B. 四边都互相垂直C. 四个角都相等D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形2.(2019眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是()A. 1B. 74 C. 2 D.125第2题图3.如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB＝1，AD＝2，则S△BCE 为()A. 1B. 255 C.23D.45第3题图4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上．若AM平分∠DMB，则DM的长为()A.33 B.14 C. 3－32 D. 2－ 3第4题图5.如图，四边形ABCD为矩形，点O为对角线的交点，∠BOC＝120°，AE⊥BO交BO于点E，AB＝4，则BE的长等于()A. 4B. 3C. 2D. 1第5题图6.(2019陕西黑马卷)如图，在矩形ABCD中，点M是BC边上一点，连接AM，DM.过点D作DE⊥AM，垂足为点E.若AM＝AD，AE＝2EM，AB＝5，则BM的长为()A. 15B.25C. 5D. 2 5第6题图7.(2019西安交大附中模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝7，E、F、M分别为AB、BC、CD边上的点，连接EF、FM、ME，且AE＝3，DM＝2.若∠EFM＝90°，BF＞FC，则BF＝()A. 3B. 4C. 5D. 6第7题图8.(2019龙东地区)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB∶BC＝3∶2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝()A. 29B.14C.26D.310第8题图9.(2018遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F，连接PB、PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为()A. 10B. 12C. 16D. 18第9题图10.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为()A. 125B. 2 C.52D. 1第10题图11. (2019徐州)如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点，若MN ＝4，则AC 的长为________．第11题图12.(全国视野创新题推荐·2019百色)四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD 按箭头方向变形成平行四边形A ′B ′C ′D ′，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A ′＝________°.第12题图13. 如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上一点，AF 的延长线交DC 的延长线于点G ，DE ⊥AG ，垂足为点E ，且DE ＝DC .求证：BF ＝AE .第13题图14.(2019宁夏)如图，已知矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，AB 上的点，EF ⊥EC ，且AE ＝CD . (1)求证：AF ＝DE ；(2)若DE ＝25AD ，求tan ∠AFE .第14题图点对线·板块内考点衔接20分钟1.(2019临沂)如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA .添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )第1题图A. OM ＝12ACB. MB ＝MOC. BD ⊥ACD. ∠AMB ＝∠CND2.(2019泰安)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是()A. 2B. 4C. 2D. 2 2第2题图3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上．若四边形EFGH为平行四边形，且EF∥AC，则▱EFGH的周长为____________．第3题图4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD中点，P为AB边上一动点(含端点)，F为CP的中点，则△CEF周长的最小值为________．第4题图4．(2019龙东地区)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝12S△PCD，则PC＋PD的最小值为________．第5题图6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O.(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝60°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．第6题图练习2 菱形点对点·课时内考点巩固45分钟1.(2019大庆)下列说法中不正确．．．的是()A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线垂直的平行四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 菱形的邻边相等2.(2019宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A. AC⊥BDB. AB＝ADC. AC＝BDD. ∠ABD＝∠CBD第2题图3.(2019河北)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°第3题图4.(2019呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A. 22B. 25C. 42D. 2105.(2019娄底)顺次连接菱形四边中点得到的四边形是()A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形6.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，点E是线段BC边上的一个点，点F、G分别是AE、CE的中点，则FG＝()A. 32B. 3 C. 22D. 2 3第6题图7.(2019永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为()A. 40B. 24C. 20D. 15第7题图8.如图，菱形ABCD的边长为6，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F.若AE＝5，则四边形AECF的周长为()A. 16B. 17C. 32D. 34第8题图9.(2019陕西定心卷)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AE⊥BC于点E，交对角线BD于点F.若AE＝4，则DF的长为()A. 352 B.552 C.52D.32第9题图10.(2019陕西黑白卷)如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为点E，连接BD，过点E作EF⊥BD，分别交CD、BD于点F、G.若BC＝10，BE＝8，则EF的长为()A. 85B.855 C.165D.1655第10题图11.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是()A. 3B. 2C. 3D. 2第11题图12.(2019十堰)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为________．第12题图13.(2019广西北部湾经济区)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________．第13题图14.(2019衢州)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.第14题图15.(2019岳阳)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF.求证：∠1＝∠2.第15题图16.(2019青海)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)证明四边形ADCF是菱形．第16题图点对线·板块内考点衔接15分钟1.(全国视野创新题推荐·2019江西)如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有()A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种第1题图2.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()A. 25B. 3C. 5D. 6第2题图3.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则AMMD等于()A. 38B.23C.35D.45第3题图4.如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且EH∥BD，BE＝2AE.若四边形EFGH是矩形，则EF的长为()A. 1B. 43C.163D. 2第4题图5．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1.(2019绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为()第1题图A. (2，3)B. (3，2)C. (3，3)D. (3，3)练习3 正方形点对点·课时内考点巩固6分钟1.(2019遵义)我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是()A. AC，BD相等且互相平分B. AC，BD垂直且互相平分C. AC，BD相等且互相垂直D. AC，BD垂直且平分对角2.(2019毕节)如图，点E在正方形ABCD边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为()A. 3B. 3C. 5D. 5第2题图3.(2019扬州)如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝________．第3题图点对线·板块内考点衔接15分钟1.(人教八下P67第1(3)题改编)如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为()A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°第1题图2.把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为()A. 16B.13C.15D.14第2题图3.(2019陕师大附中模拟)如图，在边长为2的正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，连接AF交BC于点G，则BG的长为()A. 22－2B. 22－1C. 2D. 1第3题图4.(2019菏泽)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF 的周长是________．第4题图5.(2019黄冈)如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.第5题图6.(2019凉山州)如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A 作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OE＝OF.第6题图参考答案第23课时矩形、菱形、正方形练习1 矩 形点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】矩形的性质有：邻边垂直；四个内角都是直角；是轴对称图形，也是中心对称图形；对角线互相平分且相等．故选C .2. B 【解析】如解图，连接EC ，∵OA ＝OC ，且EF ⊥AC ，∴EC ＝AE ，设DE ＝x ，则EC ＝AE ＝8－x ，根据勾股定理可得(8－x )2＝x 2＋62，解得x ＝74.第2题解图3. D 【解析】由题意得△BCD 的面积占矩形BDFE 的一半，S △BCD ＝1，∴S △BCE ＋S △CDF ＝1，又∵CD ∶BC ＝AB ∶AD ＝1∶2，∴S △BCE ∶S △CDF ＝4∶1，故可得S △BCE ＝45.4. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2，AB ∥CD ，BC ＝AD ＝1，∠C ＝90°，∴∠BAM ＝∠AMD ，∵AM 平分∠DMB ，∴∠AMD ＝∠AMB ，∴∠BAM ＝∠AMB ，∴BM ＝AB ＝2，∴CM ＝MB 2－BC 2＝3， ∴DM ＝CD －CM ＝2－ 3.5. C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝12AC ，OB ＝12BD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∵∠BOC ＝120°，∴∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OB ＝AB ＝4，∵AE ⊥BO ，∴BE ＝12OB ＝2.6. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝5，∴∠ADM ＝∠DMC ，∵AD ＝AM ，∴∠ADM ＝∠AMD ，∴∠AMD ＝∠DMC ，∵DE ⊥AM ，∴∠DEM ＝∠C ＝90°，∴△DEM ≌△DCM (AAS )，∴DE ＝DC ＝5，EM ＝CM ，∵AE ＝2EM ，∴AE ＝23AM ＝23AD ，∴AE AD ＝23，设AE＝2x ，则AD ＝3x ，在Rt △AED 中，由勾股定理得(2x )2＋52＝(3x )2，解得x ＝5，∴AE ＝25，∵AM ＝AD ＝BC ，EM ＝CM ，∴BM ＝AE ＝2 5.7. B 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ＝6，∵AE ＝3，DM ＝2，∴BE ＝3，CM ＝4，∵EF ⊥FM ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝∠BFE ＋∠MFC ＝90°，∴∠BEF ＝∠CFM ，∴△BEF ∽△CFM ，∴BF CM ＝BE CF ，即BF 4＝37－BF， 解得BF ＝4或BF ＝3(舍去)，∴BF ＝4.8. A 【解析】如解图，连接EO ，延长交AD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OC ，又∵BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OCEB 是菱形，∴BC ⊥EF ，∵BC ⊥DC ，∴EF ∥CD ，∠EDC ＝∠FED ，在△EFD 中，tan ∠FED ＝DF EF ＝12BC 32AB ＝29，∴tan ∠EDC ＝29.第8题解图9. C 【解析】如解图，过点P 作PM ⊥AD 于点M ，反向延长线交BC 于点N ，∵DF ＝AE ＝2，PF ＝8，∴S 矩形MPFD ＝DF ·PF ＝2×8＝16，S △PDF ＝8，∵S PDF S △PFC ＝DF FC ＝MPFC ，S △BEP ＝S △BNP ，S △BPN S △PNC ＝BN NC ，S △PNC ＝S △PFC ，∴S △BEP S △PFC ＝BN NC ＝EP NC ，∴四边形AEPM 与四边形PNCF 相似，∴PM PN ＝EP PF ，即DF FC ＝BNNC ，∴S △PFD S △PFC ＝S △BEP S △PFC，∴S △BEP＝S △PDF ，∴S △BEP ＝8，∴S 阴影＝16.第9题解图10. A 【解析】由题易得AC ＝BD ＝32＋42＝5，设AP ＝x ，则PD ＝4－x .∵∠EAP ＝∠DAC ，∠AEP ＝∠ADC ，∴△AEP ∽△ADC ，∴AP AC ＝PE CD ，故x 5＝PE 3①.同理可得△DFP ∽△DAB ，∴DP DB ＝PFBA ，故4－x 5＝PF 3②.①＋②得45＝PE ＋PF 3，∴PE ＋PF ＝125.11. 16 【解析】在△OBC 中，根据三角形中位线等于它所对的边的一半得到OB ＝2MN ＝8，又根据矩形的性质：对角线相等且互相平分得到AC ＝BD ＝2OB ＝16.12. 30 【解析】如解图，过点B ′作B ′E 垂直于A ′D ′于点E .设矩形ABCD 的边AD 长为a ，AB 长为b ，B ′E 长为c ，则S 矩形ABCD ＝ab ，S ▱A ′B ′C ′D ′＝ac .∵S ▱A ′B ′C ′D ′＝12S 矩形ABCD ，∴ac ＝12ab ，∴c ＝12b ，∴sin A ′＝cb ＝12，∴∠A ′＝30°.第12题解图13.证明：在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ∥AD ，∠B ＝90°，DE ＝CD , ∴AB ＝DE ，∠BF A ＝∠EAD . ∵DE ⊥AG ， ∴∠AED ＝90°. ∴∠AED ＝∠B . 在△ABF 与△DEA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BF A ＝∠EAD ∠B ＝∠AED AB ＝DE， ∴△ABF ≌△DEA (AAS )． ∴BF ＝AE .14. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝90°. ∵EF ⊥CE ， ∴∠FEC ＝90°.∴∠AFE ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠DEC ＝90°. ∴∠AFE ＝∠DEC ， 在△AEF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ∠AFE ＝∠DEC AE ＝CD， ∴△AEF ≌△DCE (AAS )． ∴AF ＝DE ； (2)解：∵DE ＝25AD ，∴AE ＝32DE .∵AF ＝DE ，∴tan ∠AFE ＝AE AF ＝32DE DE ＝32.点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，OA ＝OC ，∵BM ＝DN ，∴OM ＝ON ，∴四边形AMCN 是平行四边形．当OM ＝12AC 时，MN ＝AC ，∴四边形AMCN 是矩形，故选A .2. D 【解析】如解图，取DE 的中点M ，CD 的中点N ，连接MN ，则点P 一定在△CDE 的中位线MN 上，∴当BP ⊥MN 时，即点P 与CD 的中点N 重合时，PB 最小，此时点F 与点C 重合．∵AB ＝CD ＝4，P 为CD 的中点，∴PC ＝2.∵BC ＝AD ＝2，∠BCD ＝90°，∴PB ＝2 2.第2题解图3. 20 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ，∠ABC ＝90°，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∵四边形EFGH 为平行四边形，且EF ∥AC ，∴EF ∥AC ∥GH ，EF ＝HG ，∴△BEF ∽△BAC ，△DHG ∽△DAC ，∴BE AB ＝EF AC ①，HG AC ＝DH DA ，∴BE AB ＝DH AD ，∴EH ∥BD ，∴EH ∥BD ∥FG ，∴AE AB ＝EH BD ，∴AE AB ＝EHAC ②，∴①＋②得BE ＋AE AB ＝EF ＋EH AC，∵BE ＋AE ＝AB ，∴EF ＋EH ＝AC ＝10，∴▱EFGH 的周长为20.第3题解图4.2＋1 【解析】如解图，连接PD ，∵E 为CD 中点，F 为CP 中点，∴EF ＝12PD ，∴C △CEF ＝CE ＋CF ＋EF ＝CE ＋12(CP ＋PD )＝12 (CD ＋PC ＋PD )＝12C △CDP ，∴当△CDP 的周长最小时，△CEF 的周长最小；即PC ＋PD 的值最小时，△CEF 的周长最小．作点D 关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于点P ，∵AD ＝AD ′＝BC ，AD ′∥BC ，∴四边形AD ′BC 是平行四边形，∴AP ＝PB ＝1，PD ′＝PC ，∴CP ＝PD ＝2，∴C △CEF ＝12C △CDP ＝2＋1.第4题解图5. 45 【解析】∵S △P AB ＝12S △PCD ，AB ＝CD ，∴点P 在直线AD 的三等分的直线上，又∵AB ＝4，BC＝6，此题可以转化为在正方形A ′B ′CD 中求PC ＋PD 的最小值．如解图，点F 是点D 关于点A ′的对称点，∴PF ＝PD ，当PF 和PC 在一条直线上时，PC ＋PD 的值最小，FC ＝42＋82＝45，故PC ＋PD 的最小值是4 5.第5题解图6. (1)证明：∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴BD ＝AE ，BD ∥AE . ∵D 为BC 的中点， ∴CD ＝BD ，∴CD ＝AE .∴四边形AECD 是平行四边形． 又∵AB ＝AC ， ∴∠ADC ＝90°， ∴四边形ADCE 是矩形； (2)解：∵四边形ADCE 是矩形， ∴AO ＝EO . ∵∠AOE ＝60°， ∴△AOE 为等边三角形． ∴AO ＝AE ＝2. ∴AC ＝2OA ＝4.故矩形ADCE 对角线的长为4.练习2 菱 形点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】A .四边相等的四边形是菱形，这是菱形的一个判定定理，此选项正确；B .对角线互相垂直的平行四边形是菱形，这是菱形的一个判定定理，此选项正确；C .菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，此选项错误；D .菱形的四边都相等，邻边也一定相等，此选项正确．故选C .2. C 【解析】∵四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，当AB ＝AD 或AC ⊥BD 时，均可判定四边形ABCD 是菱形；当AC ＝BD 时，可判定四边形ABCD 是矩形，当∠ABD ＝∠CBD 时，由AD ∥BC 得：∠CBD ＝∠ADB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．3. D 【解析】根据菱形的性质可知∠DAB ＝180°－∠D ＝30°，∴∠1＝12∠DAB ＝15°.4. C 【解析】∵菱形的对角线相互垂直且平分，∴另一条对角线长为2×32－12＝4 2.5. C 【解析】顺次连接任意四边形的四边中点，得到四边形一定是平行四边形，如果原四边形的对角线相等，则可得中点四边形的邻边相等，即是菱形；如果原四边形的对角线互相垂直，则可得中点四边形的邻边垂直，即是矩形．菱形的对角线互相垂直，所以它的中点四边形是矩形．6. A 【解析】如解图，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝AB ＝3，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝3，∵点F 、G 分别是AE 、CE 的中点，∴FG 是△ACE 的中位线，∴FG ＝12AC ＝32.第6题解图7. B 【解析】∵AB ＝AD ，OB ＝OD ，∴AO ⊥BD ，∠ADO ＝∠ABO ，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∠ADO ＝∠CDO ，又∵OD ⊥AC ，∴AD ＝CD .∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．∴AC ＝2AO ＝2AB 2－OB 2＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ×BD ＝24.8. D 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝6，AD ∥BC ，∴AF ∥CE ，∵AE ⊥AC ，AC ⊥CF ，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴CF ＝AE ＝5，AF ＝CE ，∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∵AE ⊥AC ，∴∠EAC ＝90°，∴∠BAC ＋∠BAE ＝90°，∠BCA ＋∠E ＝90°，∴∠BAE ＝∠E ，∴BE ＝AB ＝6，∴CE ＝6＋6＝12，∴平行四边形AECF 的周长为2(AE ＋CE )＝2×(5＋12)＝34.9. B 【解析】∵AE ⊥BC ，AB ＝5，AE ＝4，∴在Rt △ABE 中，BE ＝AB 2－AE 2＝3.∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BE ，∴∠DAF ＝∠BEF ＝90°，∵∠AFD ＝∠EFB ，∴△DAF ∽△BEF ，∴DA BE ＝AF EF ，即53＝AF 4－AF ，解得AF ＝52，∴在Rt △DAF 中，DF ＝AD 2＋AF 2＝552.10. D 【解析】如解图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB ＝BC ＝AD ＝10，∵BE ⊥AD ，BE ＝8，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AE ＝AB 2－BE 2＝6.∴DE ＝4.∴tan ∠ADB ＝BE DE ＝84＝2，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴tan ∠ABD ＝2，∴AOOB ＝2，在Rt △ABO 中，由勾股定理得：OB 2＋(2OB )2＝102，解得OB ＝25，∴AC ＝2AO ＝4OB ＝85，∵EF ⊥BD ，AC ⊥BD ，∴EF ∥AC ，∴DE DA ＝EF AC ＝25，∴EF ＝25AC ＝1655.第10题解图11. A 【解析】∵菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∴△BCM ∽△BGF ，∴CM GF ＝BCBG ，即CM 3＝22＋3，解得CM ＝65，∴DM ＝2－65＝45，∵∠A ＝120°，∴∠ABC ＝180°－120°＝60°，∴菱形ABCD 边CD 上的高为2sin60°＝2×32＝3，菱形ECGF 边CE 上的高为3sin60°＝3×32＝332，∴S 阴影＝S △BDM ＋S △DFM ＝12×45×3＋12×45×332＝ 3.12. 24 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，BO ＝DO ，∵点E 是BC 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2OE ＝2×3＝6，∴菱形ABCD 的周长为4×6＝24.13.245 【解析】∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×AC ×8＝24，∴AC ＝6，∴OC ＝12AC ＝3，∴BC ＝42＋32＝5.∵BC ·AH ＝24，∴AH ＝245.14.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D . ∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF (SAS)． ∴AE ＝AF .15.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝CD .∵DF ＝DE ，∠D ＝∠D ， ∴△ADF ≌△CDE (SAS)．∴∠1＝∠2.16.证明：(1)∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE . ∵AF ∥BC ，∴∠EAF ＝∠EDB ，∠AFE ＝∠DBE . 在△AEF 和△DEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAF ＝∠EDB ∠AFE ＝∠DBF ，AE ＝DE∴△AEF ≌△DEB (AAS )；(2)∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点， ∴AD ＝BD ＝DC . 由(1)知，△AEF ≌△DEB . ∴AF ＝DB . ∴AF ＝DC . 又∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵AD ＝DC ，∴平行四边形ADCF 是菱形．点对线·板块内考点衔接1. D 【解析】根据题目所给图形可知，原图中已经有2个菱形了，再添2根小棒只要使拼接后的图形再增加一个菱形即可．符合条件的拼接方法有6种，如解图所示．第1题解图2. C 【解析】如解图，连接EF ，交AC 于点O ，∵四边形EGFH 是菱形，∴EF 与GH 互相垂直平分．又∵CF ∥AE ，∴△AOE ≌△COF ，∴AO ＝CO .在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝82＋42＝45，∴AO ＝12AC＝2 5.∵∠OAE ＝∠BAC ，∠AOE ＝∠ABC ＝90°.∴Rt △AOE ∽Rt △ABC ，∴AO AB ＝AE AC ，即258＝AE45，解得AE ＝5.第2题解图3. C 【解析】∵四边形MBND 是菱形，∴MD ＝MB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°.设AB ＝x ，AM ＝y ，(x 、y 均为正数)则MB ＝2x －y .在Rt △ABM 中，AB 2＋AM 2＝BM 2，即x 2＋y 2＝(2x －y )2, 解得x ＝43y ，∴MD ＝MB ＝2x －y ＝53y , ∴AM MD ＝y 53y ＝35.4. C 【解析】如解图，设EF 交BD 于点I ，AC 交BD 于点J ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .∵EH ∥BD ，四边形EFGH 是矩形，∴EF ∥AC ，则EI ∥AJ .∴△BEI ∽△BAJ .∵2AE ＝BE ，∴BEBA ＝BI BJ ＝EI AJ ＝23.∵AJ ＝12AC ＝4，∴EI AJ ＝EI 4＝23，解得EI ＝83. 易得EI ＝FI ，∴EF ＝2EI ＝2×83＝163.第4题解图5.3 【解析】如解图，连接DE 、BD ，DE 与AC 的交点即为点P .由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD ＝PB ，∴PE ＋PB ＝PE ＋PD ＝DE ，即DE 就是PE ＋PB 的最小值，∵∠BAD ＝60°，AD ＝AB ，∴△ABD 是等边三角形，∵AE ＝BE ，∴DE ⊥AB ，在Rt △ADE 中，DE ＝AD 2－AE 2＝ 3.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，∵四边形OABC 为菱形，∠AOC ＝60°，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝30°，△AOC 为等边三角形，AC ⊥OB ，∴∠F AE ＝60°，∵A (4，0)，∴OA ＝4，∴AE ＝12AO ＝12×4＝2，∴AF ＝12AE ＝1，∴EF ＝AE 2－AF 2＝22－12＝3，∴OF ＝AO －AF ＝4－1＝3，∴E (3，3)．第1题解图练习3 正方形点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】根据题意可得中点四边形一定是平行四边形，若AC 与BD 相等则中点四边形是菱形，若AC 与BD 互相垂直，则中点四边形是矩形，∴当AC 与BD 相等且互相垂直时，中点四边形是正方形．2. B 【解析】∵EC ＝2，EB ＝1，∠B ＝90°，利用勾股定理可得BC ＝3，则正方形ABCD 的面积为(3)2＝3.3.132 【解析】 如解图，连接FC ，则MN ＝12CF ，在Rt △CFG 中，FG ＝5，CG ＝5＋7＝12，∴CF ＝52＋122＝13，∴MN ＝132.第3题解图点对线·板块内考点衔接1. C 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，又∵△ADE 是等边三角形，∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°，∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°，∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC ＝45°，∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.2. A 【解析】如解图，设BC ＝x ，则CE ＝1－x ，易证△ABC ∽△FEC ，∴AB FE ＝BC EC ＝12＝x1－x ，解得x＝13， ∴阴影部分面积为：S △ABC ＝12×13×1＝16.第2题解图3. A 【解析】如解图，连接EG .∵正方形ABCD 的边长为2，∴对角线AC ＝22，∠ACG ＝45°，∵四边形AEFC 为菱形，∴AE ＝AC ＝22，AF 平分∠CAE ，∴△ACG ≌△AEG (SAS)，∴∠BEG ＝∠ACG ＝45°，∴△BEG 是等腰直角三角形，∴BG ＝BE ＝AE －AB ＝22－2.第3题解图4. 85 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴CD ＝AD ，∠DAE ＝∠DCF ＝45°，BD ⊥AC . ∵AE ＝CF , ∴△DAE ≌△DCF (SAS), ∴DE ＝DF ，同理可证：DE ＝BE ，BE ＝BF ，∴四边形BEDF 是菱形，∵AC ＝8，AO ＝OD ，AE ＝2，∴OE ＝2，OD ＝4，∴DE ＝OD 2＋OE 2＝42＋22＝25.∴四边形BEDF 的周长为4DE ＝8 5.第4题解图5.证明：∵BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，∴∠DGA ＝AFB ＝90°，∠ABF ＋∠F AB ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AB ＋∠DAG ＝90°.AB ＝AD .∴∠DAG ＝∠ABF ，∠DGA ＝∠AFB .在△DAG 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAG ＝∠ABF ∠DGA ＝∠AFB AB ＝AD，∴△DAG ≌△ABF (AAS )．∴AF ＝DG , BF ＝AG .∴FG ＝AG －AF ＝BF －DG .∴BF －DG ＝FG .6.证明：在正方形ABCD 中，∵AC ⊥BD ，AM ⊥BE ，∴∠AOF ＝∠BOE ＝∠AME ＝90°.∴∠F AO ＋∠AEB ＝∠EBO ＋∠AEB ＝90°.∴∠F AO ＝∠EBO .∵AC ＝BD ，OA ＝12AC ，OB ＝12BD ， ∴OA ＝OB .∴△AOF ≌△BOE (ASA)． ∴OE ＝OF .。
中考数学复习---矩形中的折叠变换专题训练(含答案)
中考数学复习---矩形中的折叠变换专题训练1.如图，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕交BC、AD分别于点E、F．若AB=4，BC=8，则菱形AECF的面积为______，OE的长为_______。
2.如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则AEEB等于_______3.如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB=3，BC=4，则折痕EF的长为________4.已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于O，连结AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，则边AB的长为_____．5.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．连接DE，交AF与O点，则线段EG、GF、AF之间的数量关系是__________。
6.如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕的长为AE________．7.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为______8.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE 折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________．9.如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为________．10.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C 的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=________；（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则CE的长为_______；（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，则CE的长为_______．11.如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2，对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，折痕为MN，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在MN上的点G处，折痕BE与MN相交于点H；再次展平，连接BG，EG，延长EG交BC于点F．有如下结论：①EG=FG；②∠ABG=60°；③AE=1；④△BEF是等边三角形。
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矩形专题训练
文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
矩形专题培优训练1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）．
A．AB∥CD，AB=CD，AC=BD B．∠A=∠B=∠D=90° C．AB=BC，AD=CD，且∠C=90° D．AB=CD，AD=BC，∠A=90°
2．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）
A ．36°B
．
18°C
．
27°D
．
9°
3．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）
A ．B
．
C
．
D
．
8
4．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠AEF=（）
A ．60°B
．
70°C
．
75°D
．
80°
5．如图，矩形纸片ABCD的边AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，则折叠后DE的长与折痕EF的长分别为（）
A ．4，B
．
5，C
．
4，2D
．
5，2
6．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）
A ．
4个 B ．
3个 C ．
2个 D ．
1个 7．在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE⊥AC 于E ，PF⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为（ ）
A ．
B ．
2 C ．
D ．
1 二．填空题8．如图，l∥m，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则∠α= _________ 度．
9．如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 _________ S 2；（填“＞”或“＜”或“=”）
10．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P 为AB 边上任一点，过P 分别作PE⊥AC 于E ，PF⊥BC 于F ，则线段EF 的最小值是 _________ ． 11．如图在△ABC 中，BC=8，AC=6，AB=10，它们的中点分别是点D 、E 、F ，则CF 的长为 _________ ．
12．如图，四边形ABCD 中，对角线AC⊥BD，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH 的面积是 _________ ． 13．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为 _________ ．
三．解答题（共16小题） 14．已知：如图，在
ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △ACE ，且∠BED 为直角．•
求证：•四边形ABCD 是矩形．
B
A
C
E D
O
16. 已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
15．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，
PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE=DF．
16.如图，以△ABC的三边为边，在BC•的同侧分别作3•个等边三角形，•即△ABD、△BCE、△ACF．请回答问题并说明理由：
（1）四边形ADEF是什么四边形
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形
17．如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D 以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q 分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形
18．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论．
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为s．
（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗说明理由；
（2）点 E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．
20．如图所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，且BF=BC，E为AF中点，
CF=CA．求证：BE⊥DE．。