概率论习题三答案
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习题三
解：甲台机器一天的平均次品数00.410.320.230.11;EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 乙台机器一天的平均次品数00.4310.520.2300.9EY =⨯+⨯+⨯+⨯=，
,EX EY > 而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。
2某种电子元件的寿命X （单位：h ）的概率密度为：
2,0;
()00,0.
x xe x f x x ααα-⎧>=>⎨<⎩其中为常数.求这种电子元件的平均寿命。
解：2
2
20
()x
x EX xf x dx x xe
dx x e dx αααα
+∞
+∞
+∞
---∞
=
==⎰⎰⎰
利用两次分部积分，可得2
EX α
=
。
3设随机变量X 的概率密度为
,01;
()0.75,.0,.
kx x f x EX k αα⎧<<==⎨⎩已知求及的值其它
解：因为()f x 是密度函数，所以
()1,f x +∞
-∞
=⎰
即
11
100
111;11
x k
kx dx k αα
αα+=⇒=⇒=++⎰ 又2
1
1
00.75,0.75075;2
2
x k
EX xkx dx k
αα
αα+=∴=⇒=
=++⎰ 两式联立可解得3, 2.k α==
求2
,(21),.EX E X EX -+ 解：1111
(1)0121;6662
EX =-⨯
+⨯+⨯+⨯=
(21)(2)11;E X EX -+=-+=-
2222211117
(1)012.66623
EX =-⨯+⨯+⨯+⨯=
5一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时从这批零件中任取一个。如果取出的废
品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望，方差与标准差。
222222
90181129
1230.29;440440440440
90181129()123()0.30440440440440
0.55.
EX DX EX EX X σ∴=⨯
+⨯+⨯==-=⨯
+⨯+⨯-=
6设随机变量X 的分布函数为0,1;()arcsin ,11;1, 1.x F x a b x x x <-⎧⎪
=+-≤≤⎨⎪>⎩
试确定常数,a b ，并求EX
与DX 。
111;()(
)1,
0,.111,arcsin1arcsin(1);x f x f x dx b b π+∞-∞
--≤≤==⎩
∴=∴--=⇒=⎰⎰解：又其它
00
(0)
arcsin 0;1(0)(0)(),21.
2
F a b a F P X f x dx a -∞
-=+==≤===∴=⎰⎰
又
1
1
(),EX xf x dx +∞
-∞
-==⎰
⎰ 是奇函数，积分区间是对称区间，所
以0;EX =
22221
2
1()1
.2
DX EX E X EX x f x dx
x +∞
-∞
-=-====⎰⎰
7设随机变量X 服从自由度为k 的2χ分布，其概率密度为
1/22
/21,0;()2()
20,.
k
x k x e x k f x --⎧>⎪⎪
=Γ⎨⎪
⎪⎩其它其中k 为正整数，求X 的数学期望和方差。 解：Γ函数：10
(),(1)(),0,x x e dx αααααα+∞
--Γ=
Γ+=Γ>⎰
1
/2/2
2
20
0/2/2
11
2()
2()
2
2
k k
x x k k EX x
x
e
dx x e
dx k k +∞
+∞
---==
ΓΓ⎰
⎰
令22
x
t x t =
=则，所以 20/212
20/212
2
1
2
0/2
12
/21
(2)(2)2()
2
122()
22
2()2
2
2(
)2;22
2()
2
k t
k k k t k k k t k k k EX t e d t k
t e dt k t
e dt
k k k
k k
+∞
-+∞+-+++∞
--+=
Γ=Γ=Γ+=
Γ=⋅=Γ⎰⎰⎰
1
2
/222
/21()2()
2
k
x k DX x
x e
dx EX k
+∞
--=-Γ⎰
令22
x
t x t =
=则，所以