朱慈勉结构力学第三章 静定结构

FAy
q M0
FBy
FAy
FOy M0
ql A
q
ql /2
B
ql2/4
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ F E 2
ql2/8
ql
l/2
ql
l/2
ql M图
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 qL ql2/8
＋
－ Q图 qL
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
9 Q图（kN）
x 26 4 M图（kN.m） 4 8 28
H
－
7 7 23 8 8
7
30
36.1 8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A 1m RA=17kN 17 ＋
由 QH=QC－qx=0 可得： 4kN/m 16kN.m x ＝ Q /q ＝ 9/4 ＝2.25(m) C ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ G MH＝MC+(CH段Q图的面积） B C D E F ＝26+9×2.25÷2 1m 2m 2m 1m 1m ＝ 36.1（kN.m)
QB
q
↓↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓
NB MB
MB
MA
对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静 定的；不论是等截面杆或 是变截面杆；不论该杆段 内各相邻截面间是连续的 还是定向联结还是铰联结 弯矩叠加法均适用。
YA°
MA M' M°
YB °
MB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
§3-1 概述
按几何构造特点求解 几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如：
有些静定结构的几何构造可区分为基本部分和附属部分 由附属部分向基本部分推进
组成静定结构的构件主要有二力杆和受弯杆。二力杆仅承受 轴向力的作用；受弯杆一般同时承受弯矩、剪力和轴力的作用。
如何求解？从构建联结、制作特征找突破
5m
45° 141kN
125kN.m
5m
FQ1=50 +5×5－141×0.707 =－25kN M1=125 +141×0.707×10－50×5 －5/2×5² =812.5kNm (下拉）
4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系 如图所示受任意载荷的直梁
12/54
• 荷载与内力之间的关系：
Q
qy
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Q+dQ
1 ）
微分关系
dFN q x dx
N
→→→→→
qx
M
dx y
N+dN x M+dM
dFQ q y dx dM FQ dx
qy向下为正
微分关系给出了内力图的形状特征
2） 增量关系
Q Q+ΔQ m
M
Fx Fy
q B l
M(x) FS(x)
FB
解 (1)求约束力
(2)列剪力方程和弯矩方程
ql FA FB 2
FS
+
ql FS x FA qx qx 0 x l 2
ql/2
－
ql x2 0 x l M x x q 2 2 2 l ql M max M 2 8
dx （2）式中略去高阶微量 q x dx 2
注意 在集中力和集中力偶作用处微分关系不成立
10/54
4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dFS ( x) q( x) dx
剪力图上某点的斜率等于分布载荷的数值
dM ( x) FS ( x) 弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值 dx
x
M
ql/2
ql /8
+
2
(3)画出剪力图和弯矩图 剪力图 斜直线 弯矩图二次抛物线
x
5/54
q A x FA
q x FA
B l
M(x) FS(x)
FB
FS
+ －
ql/2
x
M
ql/2
ql2+ /8
x
• 求内力的基本方法：
截面法（截取隔离体；代之相应截面内力；利 用平衡方程求解）
截开、代替、平衡
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
6kN· m 4kN· m
4kN· m
2kN· m
q
l/2 l/2
分析步骤
• 确定控制点 • 分析各段内力图走势 （利用微分关系） • 求控制截面内力 • 绘控制截面间内力 图（弯矩图、剪力 图） • 确定弯矩最大点位 置及最大值
在剪力图无突变(无集中力作用)的某段梁上，有
F S x 2 F S x1 M x 2 M x1
x q x d x
x2
1
q图的面积
在弯矩图无突变(无集中外力偶作用)的某段梁上，有
上述积分关系有时可简化控制截面的内力计算。
11/54
x
x2
1
F S x d x Fs图的面积
• 内力的叠加与分解：
假设：材料满足线弹性、小变形。
例：求截面1、截面2的内力 FN2=50 －141×cos45o
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
5kN/m
1
↓
=－50kN FQ2= －141×sin45°＝－100kN
1 2 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m + M2＝375kN.m （左拉） FN1=141×0.707=100kN
y
F1 F2
建立坐标系
取其中一微段 dx q(x)为连续函数，规定向上为正
dx
x
q(x)
FS
M
x
dx
M+dM
将该微段取出，加以受力分析
FS+dFS
q
9/54
4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dx FS(x) C M(x) q(x) FS(x)+dFS(x) M(x)+dM(x)
先对整体取矩M(Ⅰ,Ⅲ)，再对局部取矩
§3-2 静定梁和静定平面刚架
⑴单跨静定梁： 简支梁 悬臂梁 伸臂梁
一端为滑动支座， 一端为简支的梁
⑵多跨静定梁：
⑵多跨静定梁：
⑶静定刚架：
3-2-1 刚架式杆件的内力以及与荷载的关系
内力正负号规定： ﹡轴力以拉力为正，压力为负； ﹡剪力以使微段隔离体顺时针方向转动为正， 逆时针方向转动为负； ﹡弯矩的正负号不作硬性规定，弯矩图应画在 受拉一侧。
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第3章 静定结构的受力分析
Chapter 3 Statically Determinate Structure

基本要求
掌握结构的支座反力的计算，结构的 剪力和轴力计算的两种方法，内力图 的形状特征和绘制内力图的叠加法。 熟练掌握弯矩图绘制，能迅速绘制弯 矩图。 理解恰当选取脱离体和平衡方程计算 静定结构内力的方法与技巧。会根据 几何组成寻找求解途径。
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓↓
MB
MA MA M' q
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
MB MB
＋
↓ ↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓
M°
MA
M M'
M°
MB
M
FP M
做法：
先在梁端绘弯矩竖标
过竖标顶点连直虚线
MA

Pl 4
MB
以虚线为基础叠加相应 简支梁弯矩图
注意:合成内力图是
内力图形状特征
无何载区段 均布荷载区段
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
集中力作用处 发生突变
集中力偶作用处
Q图
平行轴线
＋
－
＋
P
无变化
－
发生突变 m 两直线平行
M图
斜直线
二次抛物线 凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
备 注
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处，M 达到极值
集中力作用截 面剪力无定义
集中力偶作用面 弯矩无定义
静 定 结 构 总 论
三 铰 拱 计 算
组 合 结 构
静 定 平 面 桁 架 内 力 图
静 定 刚 架 内 力 图
多 跨 静 定 梁 内 力 图
截 面 内 力 计 算
回顾和补充
材料力学内容回顾
杆件内力分析要点： • 内力正负号规定：
FN
FN FN FN FQ

FQ FQ
M

M

FQ

M

M
结构力学与材料力学内力规定的异同
2m 2m
60kN.m
15kN
2m
2m
55
30 20 30 5 m/2 m m/2 M 图 (kN.m) 30
8kN
A
4kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
16kN.m
G F
1m 1m RB=7kN
B
1m RA=17kN 17 ＋ 1m
C
2m
D
2m
E
16
F M
y
0
FS x q x dx FS x d FS x 0 (1)
C
0
dx FS x dx M x 0 (2) 2
M x dM x q x dx
由（1）式可得:
dFS ( x) q( x) dx dM ( x) FS ( x) dx
dFN qx dx dFQ q y dx d 2 M q 由这些微分关系可知： y dM F dx 2 Q dx
例如：
区段叠加法做弯矩图
熟记简支梁弯矩图
FP
q
M
M 2
Pl 4
ql 2 8
M 2
1）简支梁情况
MA
q
几点注意： 弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合，竖 标M °，如同M、M′一样垂 直杆轴AB，而不是垂直虚线。 利用叠加法绘制弯矩图可以 少求一些控制截面的弯矩值， 少求甚至不求支座反力。而且 对以后利用图乘法求位移，也 提供了把复杂图形分解为简单 图形的方法。
• 轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同
• 内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表明 AB杆的A端弯矩 • 结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧
4.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 【例4-2】
图示简支梁受均布载荷q作用， 求 (1)剪力方程和弯矩方程； (2)画剪力图和弯矩图。
A x FA
q x FA
3-2-1 刚架式杆件的内力以及与荷载的关系
应用静力平衡条件， 并略去高阶微量，可 得以下关系式：
dFN qx dx dFQ q y dx d 2 M q 由这些微分关系可知： y dM F dx 2 Q dx
⑴ 在无横向荷载(qy = 0)的区段，杆件剪力保持为常数, 对应的剪 力图形为与杆件轴线平行的直线, 弯矩图形为倾斜的直线，其 斜率就等于杆中的剪力。 ⑵ 在杆件剪力为零处, 弯矩图的切线与杆件轴线平行, 此时弯矩取 得极值; 在无剪力的区段, 杆件的弯矩保持为常数, 对应的弯矩 图为与杆件轴线平行的直线。 ⑶ 在有横向均布荷载的区段, 剪力图为倾斜的直线, 弯矩图为二次 抛物线。 ⑷ 在无轴向荷载(qx = 0)的区段, 杆件的轴力保持为常数; 在有轴向 均布荷载的区段, 轴力图为倾斜直线。
q 、M q Q、 、Q M 、M q 、q Q 、 、 Q M 、 在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 零、平、斜、抛 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
第3章 静定结构
§3-1 概述
按几何构造特点求解 几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如：
Hale Waihona Puke Baidu
又如：
第3章 静定结构
↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN· m
4kN
8kN· m
2kN/m
3m
3m
3m
3m
2m
（1）集中荷载作用下
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m 2kN· m
6kN· m
（2）集中力偶作用下
4kN· m 2kN· m
4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系 若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格 dFS ( x ) q( x) dx M ( x) q( x) FS ( x)
dM ( x ) FS ( x) dx
q0 q0 q0
FS 常数
FS 0 FS 0 FS 0
MB
MB
竖标相加,不是图形 的简单拼合。
2）直杆情况
1、首先求出两杆 端弯矩，连一虚线；
2、然后以该虚线 为基 线，叠加上简支 梁在跨间荷载作用下 的弯矩图。
NA
↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓
q
↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓
A
↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓
B
↓
MA QA
↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓↓ ↓
ΔN=－FX ΔQ=－Fy ΔM=m
N
N+ΔN M+ΔM
增量关系说明了内力图的突变特征
3） 积分关系
FNB FNA q x ( x )dx
AB
FQB FQA q y ( x)dx
AB
M B M A FQdx
AB
由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去该 段qy的合力； 右端弯矩等于左端弯矩加上该 段剪力图的面积。