复数概念(学案)

复数概念和复数的几何意义

编写：王向东 校对：高二数学组 姓名________班级_______

一·学习目标

（1）理解复数的基本概念（2）理解复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示 方法（4）实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解．(5)复数几何意义和 复平面内两点间距离公式的应用 。 二、自主探究、合作学习 1.复数的概念：

⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：

(1)它的平方等于-1，即 _____ =-1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. ⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的 集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．

⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做 复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数． (4)对于复数a+bi(a,b ∈R),

当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数; 当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0; 当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数; 当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;

(5)两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也 即a+bi=c+di ⇔_______________________。由此容易出：a+bi=0⇔_____________ （6）共轭复数：复数z =a+bi 的共轭复数为z =a bi -.特别的，若z R z z ∈⇔= 2 复数的几何意义

复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点 Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________， x 轴叫做_______，y 轴叫做______.实轴上的点都表示实数, 虚轴上的点除了________外都表示纯虚数 问题1：复数z 的几何意义？ 两种几何意义:

a+bi a+bi OZ =(__,__)

Z Z →

=--→=--→一一对应

一一对应

复数复平面内的点_____复数平面向量

问题2：∣z ∣的几何意义？

问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？

四·复数概念部分测试题：

1.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( )

A.A ∪B =C

B. S C A =B

C.A ∩S C B =∅

D.B ∪S C B =C

2.复数(2x 2+5x +2)+(x 2

+ x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )

A.x =－

21 B.x =－2或－2

1

C.x ≠－2

D.x ≠1且x ≠－2 3.已知集合M =｛1，2，(m 2

－3m －1)+(m 2

－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，

则实数m 的值为( )

A.－1

B.－1或4

C.6

D.6或－1

4.若⎪⎭

⎫

⎝⎛∈ππθ45,43，则复数i )cos (sin )sin (cos θθθθ-++在复平面内所对应的点在（ ）

A.第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D.第四象限

5.虚数z=a+bi,且a 、b ∈{0,1,2,3,4},则z 的个数是( ) (A)25 (B) 20 (C)18 (D) 16

6.在命题:“①复数a+b i (a,b ∈R)的实部是a, 虚部是bi ”;“ ②复数a+b i (a,b ∈R)的实部是a, 虚部是b ”；③任何两个复数不能比较大小；④任何两个虚数都不能比较大小中,正确的命题的个数是( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3.

7.（2009江西卷理）若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．1-或1

8、（2008广东卷1）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）

A ．(15)，

B ．(13)，

C

． D

．

9.满足方程x 2

－2x －3+(9y 2

－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.

10.复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______. 11.已知关于x 的方程x 2

-(2i -1)x+3m -i=0有实数根，求m 的值_________

12.已知m ∈R ，复数z =

1

)

2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，

(1) z ∈R ; (2) z 是虚数；(3) z 是纯虚数；(4) z =2

1

+4i .

三、轨迹问题

(一)圆的定义:设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 该圆复数形式的方程是什么? ___________________________________

(二) 椭圆的定义:设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆 的上任意一点，该椭圆复数形式的方程是什么? ______________________________ (三) 双曲线的定义：设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为实轴长的 双曲线的上任意一点,双曲线复数形式的方程是什么? _________________________ 3.讨论

（1）复数集C 和实数集R 之间有什么关系?

（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？ （3）.下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数 的实部与虚部各是什么？

三、归纳总结、提升拓展

例1．实数m 分别取什么值时，复数z ＝m 2+m-2＋(m 2

-1)i

是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

例2．已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．

练习：（2）若22

(232)(56)0x x x x i --+-+=，求x 的值.

曲线的轨迹和最值问题

例3. 复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ ） （A ）双曲线 （B ）双曲线的右支 （C ）线段 （D ）射线 练习1.若复数z 满足条件∣z ∣＝１，求∣z-2i ∣的最值_________

练习2．已知z 1、z 2∈C ，且∣z 1∣＝１，若z 1+z 2=2i ，则∣z 1-z 2∣的最大值是（ ）

（A ）６ （B ）５ （C ）４ （D ）

复数几何意义部分测试题

（1）复数cos

sin

6

3

z i π

π

=-⋅，则2

z ＝（ ）

（Ａ）

23 （Ｂ）4

3

（Ｃ）１ （Ｄ）2 （2）、复平面内若∣ｚ－１＋ｉ∣＋∣ｚ－１－ｉ∣＝2，则点Ｚ的轨迹是（ ）

（Ａ）圆 （Ｂ）椭圆 （Ｃ）射线 （Ｄ）线段

（3）、复平面内，曲线∣ｚ－１＋ｉ∣＝１关于直线ｙ＝ｘ的对称曲线方程为（ ） （Ａ）∣ｚ－１－ｉ∣＝１ （Ｂ）∣z －１－ｉ∣＝１ （Ｃ）∣ｚ＋１＋ｉ∣＝１ （Ｄ）∣z ＋１＋ｉ∣＝１

4、若复数ｚ满足∣ｚ＋３－3ｉ∣＝3，且∣ｚ∣的最大值为ａ，∣ｚ∣的最小值 为ｂ，则ａ＋ｂ的值是（ ） （Ａ）２3 （Ｂ）３3 （Ｃ）４3 （Ｄ）５3

5、已知虚数（ｘ－２）＋ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ）的模为3，则x

y

的最大值是（ ） （Ａ）

23 （Ｂ）3

3

（Ｃ）21 （Ｄ）3

8.复数z 满足条件∣z+i ∣+∣z-i ∣=２，则∣z+i-1∣的最大值是________

最小值是__________.

9复数z 满足条件∣z-2∣+∣z+i ∣=5，则∣z ∣的取值范围是（ ）

(A)⎥⎦

⎤⎢⎣⎡5,552 (B) ⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡2,552 (C)[]

5,1 (D) []2,1 10、（2009上海九校联考）复数(,)z x yi x y R =+∈满足1z x -=，

则复数z 对应的点(,)z x y 的轨迹方程 .

1123,3,,23i i i +-+--