自动控制理论第二章共138页
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
建立系统微分方程的一般步骤或方法：
1．分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量 （必要时还要考虑扰动量），并根据需要引入中间变量。
2．根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，忽略次要因 素，并考虑相邻元件的彼此影响，列写微分方程。
常用定律：电路系统的基尔霍夫定律、力学的牛顿定律和热力学定 律等
扰动输入----负载转矩mc 输出量: 电动机转速n
(2) 列写原始方程
电枢回路电 Lad压 dait方 Raia 程 ea ua (27)
式中电枢反 ea 电 Cen势
(28)
Ce —反电势常数。
电 磁 力 矩 方 程m (t)C m ia(t) (29)
C m— 转 矩 常 数 。
电机轴上的程 转J矩 d dn t平 m衡 mc (2方 1)0 J—转 动 惯 量 。
上式称为线性常系数二阶微分方程。
令: T1 T 2d d 2u 20 tT 2d d0u tu0(t)ui(t)
若利用 c q ,则微分方程为 u
L
d2q dt
R
dq dt
1 C
q
ui
机械系统
机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物 理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的 位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移） 两种。
研究一个自动控制系统，除定性了解组成系统各元件或 环节的功能，以及它们之间的相互关系、工作原理以外， 还必须定量分析系统的动、静态（稳态）过程，才能从 本质上把握住系统的基本性能。描述系统性能的数学表 达式，称为系统的数学模型（Mathematical Model）。 描述系统动态及稳（静）态性能的数学表达式分别称为 动态及稳（静）态模型。
【例2-1】 求RLC电路的微分方程
解:(1)确定输入: ui(t) 输出: u0(t)
(2) 列原始方程
LR
LddtiR(it)u0(t)ui(t)
ui (t) i(t) C u0(t)
i(t) Cdu0 代入上式 dt
(3)消去中间变量 i(t )并标准化
LC dd2u 2t0RC dd0utu0ui
经典控制理论中常用的数学模型有时域（Time Domain） 模型—微分方程；复频域（Complex Frequency Domain） 模 型 — 传 递 函 数 、 动 静 态 框 图 ； 频 域 （ Frequency Domain）模型—频率特性、Bode图等。这些数学模型 一般都是可以相互转换的。它们是经典控制理论中常用 的时域分析方法、频域分析方法等研究系统的数学工具。
【例2-2】 求弹簧 – 质量 – 阻尼器组成的机械位移系统 的微分方程。
解: (1) 确定输入: F ； 输出: x
(2)列原始方F程F弹 SF=F m阻 a mdd22tx
dx F弹 Kx F阻 f dt
dx d2x F(t) Kx f m
dt dt2
(3)标准化 mdd22 xtfd dx tkx F(t)
2．1 系统的微分方程的编写
一、微分方程的建立
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数。很多常见的元件
或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中 含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称 为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最 高导数项的阶数，又称为系统的阶数。
意义:利用电路或其他简单系统研究复杂系统
机电系统
【例2-3】他励直流电动机电枢控制的微分方程
图示为一他励直流电动机电枢
控制。图中，n为电动机转速，
mc为折算到电动机轴上的总负 载力矩（N·m），ua为电枢电 压（V）。设激磁电流恒定， 并忽略电枢反应。
解: (1) 确定输入输出量: 输入量: 给定输入----电枢电压ua
比较例2-1和例2-2可见，虽然它们为两种不同 的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相 同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系 统称为相似系统
Ldd2tqRddqt C 1qui d2x dx
m f kx F(t) d2t dt
在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相 似量。L-m;R-f;1/C-k;ui-F等
通过时域分析方法，可以得到控制系统的时域响应曲线， 它直观地反映了系统的动态过程，同时，它建立起来的 系统慨念、指标体系等易于人们理解和使用。
但是，一个控制系统的微分方程往往是高阶的微分方程 式，求解这类方程式较困难。同时，通过时域解很难找 出微分方程式系数（它们取决组成系统的元件的参数） 对方程解的影响的一般规律。因而，使得控制系统的分 析和校正较为困难。所以，人们往往通过建立频域和时 域之间的联系来达到，通过频域法间接地达到分析和校 正控制系统的目的。
3．消去中间变量，得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的 微分方程，即元件的数学模型。
4. 将微分方程写成标准形式 输入量及其导数项按降价排列写在方程右边 输出量及其导数项按降价排列写在方程左边 必要时将各导数项系数整理成具有一定物理意义的系数 (时间常
数和传递系数) 等
举例
电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放 大器等元件组成的电路，又称电气网络。像电阻、电感、 电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，像运算放 大器这种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无源器 件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含有 源器件或电源，就称为有源网络。
系统的数学模型可以用解析法或实验法建立。 解析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较 清楚的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件 所依据的物理、化学等规律出发建立系统的数学模型。 如果不了解系统的运动规律，则应使用实验法建立数学 模型，即：在系统或元件的输入端加入一定形式的输入 信号，再根据测量的输出响应建立其数学模型。 用解析法建立系统的数学模型时，应合理地简化其数学 模型。模型过于简单，会使分析结果误差太大；模型过 于复杂，则会导致分析计算上的困难。一般应在精度许 可的前提下，尽量简化其数学模型。 本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
1．分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量 （必要时还要考虑扰动量），并根据需要引入中间变量。
2．根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，忽略次要因 素，并考虑相邻元件的彼此影响，列写微分方程。
常用定律：电路系统的基尔霍夫定律、力学的牛顿定律和热力学定 律等
扰动输入----负载转矩mc 输出量: 电动机转速n
(2) 列写原始方程
电枢回路电 Lad压 dait方 Raia 程 ea ua (27)
式中电枢反 ea 电 Cen势
(28)
Ce —反电势常数。
电 磁 力 矩 方 程m (t)C m ia(t) (29)
C m— 转 矩 常 数 。
电机轴上的程 转J矩 d dn t平 m衡 mc (2方 1)0 J—转 动 惯 量 。
上式称为线性常系数二阶微分方程。
令: T1 T 2d d 2u 20 tT 2d d0u tu0(t)ui(t)
若利用 c q ,则微分方程为 u
L
d2q dt
R
dq dt
1 C
q
ui
机械系统
机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物 理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的 位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移） 两种。
研究一个自动控制系统，除定性了解组成系统各元件或 环节的功能，以及它们之间的相互关系、工作原理以外， 还必须定量分析系统的动、静态（稳态）过程，才能从 本质上把握住系统的基本性能。描述系统性能的数学表 达式，称为系统的数学模型（Mathematical Model）。 描述系统动态及稳（静）态性能的数学表达式分别称为 动态及稳（静）态模型。
【例2-1】 求RLC电路的微分方程
解:(1)确定输入: ui(t) 输出: u0(t)
(2) 列原始方程
LR
LddtiR(it)u0(t)ui(t)
ui (t) i(t) C u0(t)
i(t) Cdu0 代入上式 dt
(3)消去中间变量 i(t )并标准化
LC dd2u 2t0RC dd0utu0ui
经典控制理论中常用的数学模型有时域（Time Domain） 模型—微分方程；复频域（Complex Frequency Domain） 模 型 — 传 递 函 数 、 动 静 态 框 图 ； 频 域 （ Frequency Domain）模型—频率特性、Bode图等。这些数学模型 一般都是可以相互转换的。它们是经典控制理论中常用 的时域分析方法、频域分析方法等研究系统的数学工具。
【例2-2】 求弹簧 – 质量 – 阻尼器组成的机械位移系统 的微分方程。
解: (1) 确定输入: F ； 输出: x
(2)列原始方F程F弹 SF=F m阻 a mdd22tx
dx F弹 Kx F阻 f dt
dx d2x F(t) Kx f m
dt dt2
(3)标准化 mdd22 xtfd dx tkx F(t)
2．1 系统的微分方程的编写
一、微分方程的建立
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数。很多常见的元件
或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中 含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称 为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最 高导数项的阶数，又称为系统的阶数。
意义:利用电路或其他简单系统研究复杂系统
机电系统
【例2-3】他励直流电动机电枢控制的微分方程
图示为一他励直流电动机电枢
控制。图中，n为电动机转速，
mc为折算到电动机轴上的总负 载力矩（N·m），ua为电枢电 压（V）。设激磁电流恒定， 并忽略电枢反应。
解: (1) 确定输入输出量: 输入量: 给定输入----电枢电压ua
比较例2-1和例2-2可见，虽然它们为两种不同 的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相 同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系 统称为相似系统
Ldd2tqRddqt C 1qui d2x dx
m f kx F(t) d2t dt
在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相 似量。L-m;R-f;1/C-k;ui-F等
通过时域分析方法，可以得到控制系统的时域响应曲线， 它直观地反映了系统的动态过程，同时，它建立起来的 系统慨念、指标体系等易于人们理解和使用。
但是，一个控制系统的微分方程往往是高阶的微分方程 式，求解这类方程式较困难。同时，通过时域解很难找 出微分方程式系数（它们取决组成系统的元件的参数） 对方程解的影响的一般规律。因而，使得控制系统的分 析和校正较为困难。所以，人们往往通过建立频域和时 域之间的联系来达到，通过频域法间接地达到分析和校 正控制系统的目的。
3．消去中间变量，得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的 微分方程，即元件的数学模型。
4. 将微分方程写成标准形式 输入量及其导数项按降价排列写在方程右边 输出量及其导数项按降价排列写在方程左边 必要时将各导数项系数整理成具有一定物理意义的系数 (时间常
数和传递系数) 等
举例
电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放 大器等元件组成的电路，又称电气网络。像电阻、电感、 电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，像运算放 大器这种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无源器 件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含有 源器件或电源，就称为有源网络。
系统的数学模型可以用解析法或实验法建立。 解析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较 清楚的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件 所依据的物理、化学等规律出发建立系统的数学模型。 如果不了解系统的运动规律，则应使用实验法建立数学 模型，即：在系统或元件的输入端加入一定形式的输入 信号，再根据测量的输出响应建立其数学模型。 用解析法建立系统的数学模型时，应合理地简化其数学 模型。模型过于简单，会使分析结果误差太大；模型过 于复杂，则会导致分析计算上的困难。一般应在精度许 可的前提下，尽量简化其数学模型。 本章只讨论解析法建立系统的数学模型。