自主招生考试数学试卷

浙江省杭州市自主招生考试数学试卷

一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）

1．（4分）（2006•潍坊）计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（）

A．2 B．C．D．1

2．（4分）（2006•潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）

A．B．C．1﹣D．1﹣

3．（4分）（2004•宁波）已a，b为实数，ab=1，M=，N=，则M，N的

大小关系是（）

A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定

4．（4分）（2005•淮安）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准

时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）

A．20分钟B．22分钟C．24分钟D．26分钟

5．（4分）（2012•大田县校级自主招生）二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=﹣2x2的图象（）

A．向左移动1个单位，向上移动3个单位

B．向右移动1个单位，向上移动3个单位

C．向左移动1个单位，向下移动3个单位

D．向右移动1个单位，向下移动3个单位

6．（4分）（2011•浙江校级自主招生）下列名人中：①比尔盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）

A．①④⑦ B．②④⑧ C．②⑥⑧ D．②⑤⑥

7．（4分）（2012•麻城市校级自主招生）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）

欲购买的

原价（元）优惠方式

商品

一件衣服420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物

券

一双鞋280 每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购

物券

一套化妆品300 付款时可以使用购物券，但不返购物券

A．500元B．600元C．700元D．800元

8．（4分）（2012•麻城市校级自主招生）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深H的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（）

A．B．C．D．

二、填空题：（每题6分，共30分）

9．（6分）（2013•福建校级自主招生）若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a=．

10．（6分）（2011•浙江校级自主招生）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为cm2．

11．（6分）（2014•南充自主招生）对正实数a，b作定义，若4*x=44，则x的值是．

12．（6分）（2011•萧山区校级自主招生）已知方程x2+（a﹣3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是．

13．（6分）（2011•萧山区校级自主招生）如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、

4、3、2、1、2、3、4、

5、4、3、2、1…的规律报数，那么第2007名学生所报的数是．

三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．14．（8分）（2011•萧山区校级自主招生）田忌赛马

齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，

但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下：

（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；

（2）田忌能赢得比赛的概率是．

15．（10分）（2011•浙江校级自主招生）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．

（1）请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合；

（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子．

16．（10分）（2011•萧山区校级自主招生）如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，

求证：∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．

17．（10分）（2011•萧山区校级自主招生）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线y=x2上的一个动点．

（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1的相切；

（2）设直线PM与抛物线y=x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．

四、附加题：（本题满分为3分，但即使记入总分也不能使本次考试超出100分）18．（2011•城关区校级自主招生）有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了．根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法．

2011年浙江省杭州市萧山中学自主招生考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）

1．（4分）（2006•潍坊）计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（）

A．2 B．C．D．1

【解答】解：原式=+﹣=．

故选：C．

2．（4分）（2006•潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）

A．B．C．1﹣D．1﹣

【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，

在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，

∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），

∴∠DAE=∠B′AE，

∵旋转角为30°，

∴∠DAB′=60°，

∴∠DAE=×60°=30°，

∴DE=1×=，

∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．

故选：C．