自主招生考试数学试卷
2024初升高自主招生数学试卷(四)及参考答案
2024初升高自主招生数学模拟试卷（四）一、选择题1．将4046减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…依此类推，直至最后减去余下的则最后余下的数为()A.4B.3C.2D.12．若正实数a，b，c满足不等式组则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b3．若实数a，b满足等式2a-b=2a2-2则a b=()A. C. D.44．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=33，点D是平面内一动点，且上ADB=30°，连CD，则CD长的最大值是()A.8B.9C.10D.115．已知三个实数x1，x2，x3它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7，则这样的三元数组(x1，x2，x3)共有组()A.3B.4C.5D.66．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sin B=45，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰△ADE，使∠ADE=∠B，连CE，则CEBC ()A.65 B.56 C.58 D.5127．四边形ABCD 中，AC ，BD 是其两对角线，△ABC 是等边三角形，AD =6，BD =10，CD =8，则∠ADC =()A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空题8．已知19个连续整数的和为380，则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__.9．已知x =54-，则(2x +1)(x +1)(2x +3)(x +2)=.10．在实数范围内因式分解：a 2-2b 2+3c 2-ab +bc +4ca =.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A (4，0)，B (4，)，连OB ，AB ，若线段OB ，AB 分别交双曲线(0k y k x =>，0)x >于点D ，E （异于点B ），若DE 丄OB ，则k 的值为.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于.13．在菱形ABCD 中，∠A =60°，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，将△AEF 沿着EF 对折，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G ，若DG =4，BG =6，则△AEF 的面积等于.14．对于任意不为0的实数a ，b ，c 定义一种新运算“#”：①a #a =1；②a #(b #c )=(a #b )c ，则关于x 的方程(x 2)#2=x +4的根为.三、解答题15．回答下列问题：（1）解方程：x =(x 2+4x 一3)2+4x 2+16x 一15；（2）求所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2-(2a -1)x +4a -3=0的两根均为整数.16．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（异于C，D），连BE，以BE为对角线作正方形BGEF，EF与BD交于点H，连AF.（1）求证：A，F，C三点共线；（2）若CE：DE=1：2，求DHBH的值.17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=ax2+bx+c(a>0)经过点(0，-3)和(4，-11)，且在x轴上截得的线段长为（1）求抛物线C1的解析式；（2）已知点A在抛物线C1上，且在其对称轴右侧，点B在抛物线C1的对称轴上，若△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；（3）将抛物线C1向左平行移动3个单位得到抛物线C2，直线y=kx(k≠0)与C2交于E，F两点，直线2y xk=-与C2交于G，H两点，若M，N分别为线段EF和线段GH的中点，连接MN.求证：直线MN过定点.18．如图，等边△ABC内有一动点D，△CDE是等边三角形（点B，E在直线AC两侧），直线BD与直线AE交于点F.（1）判断∠AFC的大小是否为定值？若是定值，求出其大小；若不是定值，请说明理由.（2）若AB=5，CD=3，求线段AF长的最小值.参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。
高校自招数学试题及答案
高校自招数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1答案：B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
A. 7B. 4C. 1D. 2答案：A3. 若a > b > 0，下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案：D4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。
A. 19C. 17D. 16答案：A5. 圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π，求余弦函数cos(x)的周期。
B. 2πC. 4πD. 8π答案：B9. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。
设a和b是直角边，c是斜边，下列哪个表达式是正确的？A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案：A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，求第5项的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据二项式定理，展开式(a + b)^3的通项公式是________。
答案：T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数，那么f(-x)等于________。
2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷
2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷1．202420252024202363030301030×+=−×____________．2x +=的正数解为____________．3．等腰ABC △的底边AC 长为30，腰上的高为24，则ABC △的腰长为____________．4．已知实数m ，n 满足2202410m m ++=，224200n n ++=且1mn ≠，则601n mn=+____________． 5．若x 为全体实数，则函数223y x x =−+与2243y x x =−+的交点有____________个． 6．若0abc ≠，1a b c b c c a a b++=+++，则222a b c b c c a a b ++=+++____________． 7．K 为ABC △内一点，过点K 作三边的垂线KM ，KN ，KP ，若3AM =，5BM =，4BN =，2CN =，4CP =，则2AP =____________．8．记a ，b ，c 的最小值为{}min ,,a b c ，若{}()min 41,2,24fx x x x =++−+的最大值为M ，则6M =____________．9．已知正方形OBAC ，以OB 为半径作圆，过A 的直线交O 于M ，Q ，交BC 与P ，R 为PQ 中点，若18AP =，7PR =，则BC =____________．10．若a ，b ，c ，d ，e 为两两不同的整数，则22222()()()()()a b b c c d d e e f −+−+−+−+−的最小值为____________．11．PA ，PB 分别为1O 和2O 的切线，连接AB 交1O 于C 交2O 于D ，且AC BD =，已知1O 和2O 的半径分别为20和24，则2180PA PB = ____________．12．已知a ，b ，c 正整数，且只要1111a b c ++<，则111m a b c ++≤，设m 的最小值为r s （r s 为最简分数），则r s +=____________． 13．对于任意实数x ，y ，定义运算符号*，且*x y 有唯一解，满足()()()***a b c a c b c +=+，0*()(0*)(0*)a b a b +=+，则20*24=____________． 14．已知正整数A ，B ，C 且A C >，满足222879897ABC BCA CAB ++=，则ABC =____________．15．等腰三角形边长均为整数，其的面积在数值上是周长的12倍，则所有可能的等腰三角形的腰长之和为____________．2024深圳中学自招答案一、填空题．1．【解析】原式20242025220242023630306303018090054301030301020×+×++===−×−．2．x +=，x =， ∴218232x x x =−， ∵0x >，∴223218x −=，解得：5x =，∴该方程的正数解为5x =．3．【解析】①若ABC △为锐角三角形，如图所示：设ABC △的腰长为x ，在ACD △中，18AD =，在BCD △中，222(18)24x x −+=，解得：25x =，∴ABC △的腰长为25；②若ABC △为钝角三角形，如图所示：在BCD △中，222(18)24x x −+=，解得：25x =（舍）， 综上所述：ABC △的腰长为25．4．【解析】由224200n n ++=得21120()2410n n+⋅+=，∵1m n ≠，∴m ，1n可以视为方程2202410x x ++=的两个实数根， ∴165m n +=−，∴60605011n mn m n ==++． 5．【解析】问题等价于方程2223243x x x x −+=−+的解的个数问题； ∴2240x x x +−=， 当0x ≥时，220x x −=，∴0x =或2x =；当0x <时，260x x −=，∴0x =或6x =（舍）； 综上所述：函数223y x x =−+与2243y x x =−+的交点有2个． 6．【解析】222()()a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b++++=+++++++++++， ∴222a b c a b c a b c b c a c a b++=++++++++， ∴2220a b c b c a c a b++=+++． 7．【解析】22222222()()KA KB KM AM KM BM AM BM −=−+=−， 同理可得：2222KB KC BN CN −=−，2222KC KA CP AP −=−，三式相加得：222222AM BN CP BM CN AP ++=++，∴222222.34452AP ++=++，解得212AP =．8．【解析】由题意作出以下图形：考虑24y x =−+与2y x =+的交点即可；联立242y x y x =−+ =+ ，解得2383x y = = ，∴83M =，∴616M =． 9．【解析】连接OP ，设AM x =，ACOC a ==， ∴18PM x =−，32QM x =−，由正方形的对称性：18OP AP ==，由圆幂定理：2AC AM AQ =⋅，22PM PQ OC OP ⋅=−，∴232a x =，2214(18)18x a −=−，∴214(18)3218x x −=−，解得：28823x =，∴BC ==．10．【解析】记1a b x −=，2b c x −=，3c d x −=，4d e x −=，5e a x −=，则1x 、2x 、3x 、4x 、5x 均为整数且不等于0，同时满足123450x x x x x ++++=，∴1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中存在偶数个奇数，若存在2个1，2个1−，1个2，则对于1x 、2x 、3x 、4x 、5x 构成的数环而言必有一个1与1−相邻，这是不符合要求的，否则存在两数相等；所以至少存在两个数的绝对值为1，3个数的绝对值为2，∴222221234514x x x x x ++++≥，对于(,,,,)(1,3,5,4,2)a b c d e =而言可以取到14，故其最小值为14．11．【解析】过1O 、2O 、P 分别作AB 的垂线，垂足依次为E 、F 、G ， ∴1190PAG O AE AO E ∠=°−∠=∠，2290PBG O BF BO F ∠=°−∠=∠，1122AE AG BD BF ===， ∴1APG O AE △∽△，2BPG O BF △∽△，∴1PA AO PG AE =，2PB BO PG BF =， ∴1122205246AO PA AO AE BO PB AO BF====，∴225180()180()1256PA PB =×=．12．【解析】不妨设a b c ≤≤，则2a ≥，当3a ≥时，1111111133412a b c ++≤++=； 当2a =时，11111112a b c b c ++=++<，∴1112b c +<，∴3b ≥， 当4b ≥时，1111111924520a b c ++≤++=， 当3b =时，1111114123742a b c ++≤++=， 即当(,,)(2,3,7)a b c =时，4142m =，83r s +=． 13．【解析】由(*)(*)(*)a b c a c b c +=+得*(*)(*)a b a c b c c =+−， ∴*(*)(*)*b a b c a c c a b =+−=，取0c =，则*(*0)(*0)(0*)(0*)0*()a b a b a b a b =+=+=+，对于0*()(0*)(0*)a b a b +=+，取0a b ==，得0*00=， 同时0*0(0*)(0*)0c c c =+−=，∴0*2c c =， ∴20*240*(2024)0*4422=+==．14．【解析】首先22228798971000ABC BCA CAB ++=<，∴A 、B 、C 均为一位数，且不为0，即从1到9，其次考虑末尾特点，222A B C ++的末尾为7，而完全平方数的末尾为014569，不考虑0，剩下14569，想要使得末尾为7，可以有1157++=或44917++=或56617++=或99927++=，由于A B C >>，故99927++=舍去（末尾为9的只有3、7两个），若满足1157++=，则对应的数为9、5、1，显然222951519195879897++>，舍去； 若满足56617++=，则对应的数为6、5、4，显然222654546465942057879897++=>，舍去； 若满足44917++=，则对应的数为8、3、2或8、7、2，计算222832328283879897++=符合题意；计算222872728287879897++>，舍去； 综上所述：832ABC =．15．【解析】设该等腰ABC △的腰为a ，底为b ．由题意：112(2)2b a b ×+，∴48(2)b a b +，∴b 2322304(2)ab b a b −=+， ∴33223042304246082(48)(48)b b b b a b b b ++=−+−，∴3230446082(48)(48)(48)(48)b b b a b b b b b +==++−+−， 记4608(48)(48)b k b b =+−，k 为正整数，∴222248480kb b k −×−=，∴2∆==×为完全平方数，m =（m 为正整数），∴22248m k −=，即2()()48m k m k +−=， 由于2824823=×，有(81)(21)27++=个因子，应该存在(271)2114−÷+=组，考虑到()m k +与()m k −应该同奇偶，故存在14311−=组，列举如下： ∴(,)(1152,2)m k m k +−=或(576,4)或(384,6)或(288,8)或(192,12)或(144,16)或(128,18)或(96,24)或(72,32)或(64,36)或(48,48)，∴(,)(577,575)m k =或)290,286(或)195,189(或)148,140(或(102,90)或(80,64)或(73,55)或(60,36)或(52,20)或(50,14)或(48,0)， 根据求根公式，224824848(48)2m m b k k ×+×+=， 代入检验可得：当(,)(102,90)m k =或(80,64)或(60,36)或(52,20)或(50,14)， 依次解得：80b =或96或144或240或336， ∵2a b k =+，∴2b k a +=，解得85a =或80或90或130或175， 综上所述：所有可能的等腰三角形的腰长之和为858090130175560++++=．。
2023年温州中学自主招生数学试题含答案
2023年温州中学自主招生数学试题2０23．4一试一、选择题:本大题共8题，每题4分,共３2分．在每题给出旳旳四个选项中,只有一项是符合题目规定旳．1.已知b a >，则下列结论对旳旳是 ( ) Ａ． 22b a > B. 33a b > C.b a 11< D. 1>ba２.用黑白两种颜色旳正六边形地面砖拼成若干个图案,规律如下图所示,则第２010个图案中，白色地面砖旳块数是A ．80４２ﻩB ．803８ﻩﻩC ．4０24 ﻩﻩＤ．6033３.有关x 旳整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中,若a b +是偶数,c 是奇数,则（ )Ａ.方程没有整数根 B ．方程有两个相等旳整数根 C ．方程有两个不相等旳整数根 D ．不能鉴定方程整数根旳状况 4．如图所示,一种33⨯旳方格中，每一行，每一列,及每一对角线上旳三个数之和都相等,则x 旳值是( )Ａ.6 B.7 Ｃ.8 D.95.若10010321⨯+⨯+=a a a x ，10010654⨯+⨯+=a a a y 且736=+y x ,其中正整数7９ x6i a 满足71≤≤i a ,)6,5,4,3,2,1(=i ,则在坐标平面上),(y x 表达不一样旳点旳个数为（ )ﻩﻩＡ.60ﻩ B.９0ﻩ Ｃ．11０ﻩ Ｄ.1206．气象台预报：“本市明天降水概率是８０%”,但据经验,气象台预报旳精确率仅为８0%，则在此经验下，本市明天降水旳概率为( )A.８4％ Ｂ.８0% C.６8% D.６4％ 7.设nnM 1723⨯+=，其中n 为正整数，则下列结论对旳旳是（ ) A ．有且仅有一种n ,使得M 为完全平方数 Ｂ.存在多于一种旳有限个n ,使得M 为完全平方数 C.存在无数个n ,使得M 为完全平方数 D.不存在n ，使得M 为完全平方数８.已知点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上移动，4AB =，则认为AB 直径旳圆．周．所扫过旳区域面积为( ） Ａ.π4 Ｂ． π8 C. 42+π D ． 46+π 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分. 9．若有关x 旳方程51122m x x ++=--无解,则______m =10.在Ｒt △ABC 中，C 为直角顶点，过点C 作ＡB 旳垂线，垂足为Ｄ,若A Ｃ、B Ｃ为方程0262=+-x x 旳两根，则AD ·BD 旳值等于１1．我们规定[]x 表达不超过x 旳最大整数，如:[ 2.1]3-=-，[3]3-=-，[2.2]2=。
2024年浙江省温州市重点高中自主招生数学试卷+答案解析
2024年浙江省温州市重点高中自主招生数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对正整数n，记n!…，则1!!!…!的末尾数为()A.0B.1C.3D.52.在分别标有号码2、3、4、…10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是()A. B. C. D.3.已知关于x的方程恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为()A.1B.2C.3D.44.函数与的图象可能是()A. B.C. D.5.十进制数278，记作，其实，二进制数有一个为整数进制数，把它的三个数字顺序颠倒得到的k进制数是原数的3倍，则()A.10B.9C.8D.76.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形PKRF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为2，则的面积为()A.4B.2C.3D.7.两个等腰直角、如图放置，，，，DE与AC交于点H，连接BH，若，下列结论错误的是()A.≌B.为等边三角形C.D.8.如图，在圆内接四边形ABCD中，，，为圆心，，，，，则此四边形的面积为用含a、b、c、d表示四边形ABCD的面积A.B.C.D.二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.已知a是64的立方根，是a的平方根，则的算术平方根为______.10.关于x的函数符合以下条件：函数在处无意义；当x取非零实数时都有如当时，有，可以求得则的函数表达式是______.11.如图，在“镖形”ABCD中，，，，则点D到AB的距离为______.12.已知正整数a，b，c满足，，则abc的最大值为______.13.AB为半圆O的直径，C为半圆弧的一个三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，则______.14.矩形ABCD的边长，，E为AB的中点，F在线段BC上，F在线段BC上，且BF：：2，AF分别与DE，DB交于点M，N，则______.15.实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，则所有满足条件的数组为______.16.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元.则他至少卖出了______支圆珠笔.三、解答题：本题共4小题，共56分。
2023年广东省深圳中学自主招生数学试卷+答案解析
一、填空题：本题共15小题，共702023-2024学年广东省深圳中学自主招生数学试卷分。
1.计算：______.2.计算：______.3.已知，且，设，其中m 和n 是两个互质的正整数，则______.4.已知实数x ，y 满足，则______.5.如图，已知中，，D 是AB 的中点，，则______.6.若反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和，则______.7.定义新运算：，例如：已知实数x 满足，则x 的最大值是______.8.如图，已知直线RS ，ST ，TR 都与相切，且，，，，的直径为，其中a 和b 都是有理数，则______.9.在平面直角坐标系中，由抛物线与x 轴所围出的区域内有______个整点横纵坐标都是整数的点边界上的点不计10.满足的全部实数x 的乘积等于______.11.如图所示为地板所铺瓷砖的一小部分.所有的瓷砖都是正方形，最小的正方形瓷砖是，次小的则是若以线段XY 为边长作正方形，则该正方形的面积为______12.已知三个非零实数x、y、z满足，则的值等于______.13.如图，在矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N使的值最小，则这个最小值等于______.14.若正整数a、b、m满足且，则m的所有值之和等于______.15.一个的矩形ABCD，点P、Q、R、S分别为在AB、BC、CD、DA边上的点，如图所示.已知AP、PB、BQ、QC、CR、RD、DS、SA的长度都是正整数单位长，且PQRS为矩形，则矩形PQRS的面积的最大值是______.答案和解析1.【答案】308【解析】解：原式故答案为：分子、分母同时乘上和，再计算即可求解．本题考查了分母有理化，灵活运用二次根式的性质、掌握分母有理化的方法是解答本题的关键．2.【答案】972【解析】解：原式故答案为：根据特殊角的三角函数值、积的乘方法则计算即可．本题考查了实数的运算和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是关键．3.【答案】196【解析】解：解方程组，得，则，和n是两个互质的正整数，，，，故答案为：解方程组用含z的代数式表示出x、y，代入计算求出，根据质数的概念分别求出m、n，计算即可．本题考查的是质数和合数的概念、三元一次方程组的解法，正确由z表示出x、y是解题的关键．4.【答案】【解析】解：设，，原方程组可化为，由①可得：③，把③代入②可得：，解得：，把代入③得：，，，，，经检验，都是原方程的解．故答案为：根据换元法求出与的值，然后求出x和y的值，最后代入代数式求值．本题主要考查了分式方程的知识、换元法的知识、代数式求值的知识、二元一次方程的知识，难度不大，认真计算即可．5.【答案】40【解析】解：过B点作交AC的延长线于点E，，，，，为等腰直角三角形，AC：：DB，，，为AB的中点，，在中，，，，解得，故答案为：过B点作交AC的延长线于点E，可证明为等腰直角三角形，，再利用勾股定理可得，结合平行线分线段成比例定理可得，根据勾股定理可求解，进而可求解本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识的综合运用，利用更改的求解是解题的关键．6.【答案】625【解析】解：将点和分别代入，得：，再将点和分别代入，得：，，，，故答案为：首先将点A，B代入反比例函数的解析式得，再将点A，b代入一次函数的解析式得，，据此可得，然后再将代入求值的代数式即可得出代数式的值．此题主要考查了的反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是理解函数图象上的点都满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．7.【答案】4【解析】解：，，，，，，的最大值是故答案为：由新定义列出算式解方程即可．本题考查了解一元二次方程，新定义，解题的关键是由新定义列出算式．8.【答案】330【解析】解：如图，设直线RS，ST，TR都与相切于点A、点B、点C，则，，在中，，，，，连接OA、OB，则，，，，四边形OASB是正方形，，设，则，，，即，，，直径为，的直径为，即，，，故答案为：根据切线的性质，切线长定理以及正方形的性质进行计算即可．本题考查切线的性质，正方形的性质，掌握切线长定理以及正方形的性质是正确解答的前提9.【答案】14【解析】解：抛物线，令，即，解得从图中可以看出，抛物线与x轴所围出的区域内的整点有，，，，，，，，，，，，，故答案为：根据抛物线求出与x轴的交点，再利用图象找到整点即可．本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．10.【答案】594【解析】解：当时，原式化简为：，，算式不成立；当时，原式化简为：，，；当时，原式化简为：，，；当时，原式化简为：，，；当时，原式化简为：，，算式不成立，故答案为：分情况计利用方程解出x的值，再将x的值相乘即可．本题考查了方程的解答，绝对值的性质的应用是解题关键．11.【答案】400【解析】解：如图：图中的四边形均为正方形，且最小正方形的边长为1cm，次小正方形的边长为3cm，，则，，，，，，，在中，，，由勾股定理得：，以线段XY为边长作正方形，则该正方形的面积为故答案为：依题意得，则，，进而得，，，由此得，，然后在中由勾股定理得，据此可得出答案．此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解答此题的关键是准确识图，根据正方形的性质求出相关线段的长．12.【答案】600【解析】解：，，，，，，，故答案为：先化简得到，代入得到结论即可．本题考查了分式的化简求值，实数的运算，正确地求得是解题的关键．13.【答案】16【解析】解：如图，作点B关于直线AC的对称点，交AC与E，连接，过作于G，交AC于F，由对称性可知，，，的最小值为的长；在中，，，由勾股定理，得，点B与点关于AC对称，，，，，，，又，∽，，，的最小值是故答案为：作点B关于直线AC的对称点，交AC与E，连接，过作于G于点F，再由对称性可知，因此求出的长即可．本题考查轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，面积法，根据题意作出辅助线是解题的关键．14.【答案】27【解析】解：①，②，①②，得，因式分解，得，，b均为正整数，且或，，或，，，或，或，或，的所有值之和等于第11页，共11页故答案为：根据已知条件①，②得到，因式分解得到，由于a ，b 均为正整数，于是得到或，求得，或，根据求得或，即可求得m 的所有值之和等于本题考查了因式分解的应用，正确的理解题意得到是解题的关键．15.【答案】150【解析】解：根据题意：设，，，，由∽，则，，又因为a ，b 是正整数，故，24，33，40，45，48，49，得，15，则或9，即有，，，，，，150，150，102，即：故答案为：如图，根据矩形的性质，可知∽，得到a ，b 的关系式，再由题意a ，b 是正整数，得到的的整数解，从而求出矩形PQRS 的面积，取最大值．本题主要考查了矩形的基本性质，相似三角形的判定和性质，求二元方程组的整数解及三角形的面积等知识的运用，是一个综合性较强的题目，在图形中找出相似三角形是解题的关键．。
2024年省示范高中自主招生素质检测数学试题及参考答案
学校姓名考场座位号2024年自主招生素质检测数学试题注意事项:1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟㊂2.全卷包括 试题卷 (4页)和 答题卡 (2页)两部分㊂3.答题一律要求用0.5m m 黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷,作图题使用2B 铅笔作答,考试不使用计算器㊂4.考试结束后,请将 试题卷 和 答题卡 一并交回㊂一㊁选择题:共10小题,每小题5分,共50分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂1.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,现拿走一个小立方体,得到几何体的主视图与左视图均没有变化,则拿走的小立方体是A .①B .②C .③D .④2.黄山景色绝美,景观奇特. 五一 假期,黄山风景区进山游客近13万人,黄山景区门票旺季190元/人,以此计算, 五一 假期黄山景区进山门票总收入用科学计数法表示为A .0.247ˑ107B .2.47ˑ107C .2.47ˑ108D .247ˑ1053.下列因式分解正确的是A .2x 2+y 2+4x y =(2x +y )2B .x 3-2x y +x y 2=x (x -y )2C .x 2-(3y -1)2=(x -1+3y )(x +1-3y )D .a x 2-a y 2+1=a (x +y )(x -y )+14.已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y =a x 2-3x +3上两点,当a -x 1-x 2=2时,y 1=y 2,则该抛物线与坐标轴的交点个数为A .3个或0个B .3个或1个C .2个或0个D .2个5.若关于x 的不等式组x +2a <03x +a <15的解集中的任意x 的值,都能使不等式x -4<0成立,则实数a 的取值范围为A .a <-3B .a <-2C .a ȡ-2D .a ȡ36.如图,已知әA B C 中,A D 为øB A C 的平分线,A B =8,B C =6,A C =10,则D C 的值为A .10B .2C .5D .17.如图,B (-2,0),C (4,0),且B E 所在的直线与A C 垂直,øA C B -øB A O =45ʎ,连接O D ,若射线O D 上有一点M ,横坐标为6,则әB O M 的面积为A .3B .6C .23D .728.定义:用M a ,b ,c 表示这三个数的中位数,用M i n {a ,b ,c }表示这三个数的最小数.例如:M {-1,12,0}=0,M i n {-1,12,0}=-1.如果M {4,x 2,2x -1}=M i n {4,x 2,2x -1},则x 的值为A .2或-2B .1或12C .2或12D .1或529.如图,әA B C 中,A B =B C ,øB =120ʎ,E 为平面内一点,若A E =3,C E =2,则B E 的值可能为A .2.5B .3C .0.3D .0.510.如图,直线A B :y =13x +b 与反比例函数y =kx相交于点A (3,5),与y 轴交于点B ,将射线A B 绕点A 逆时针旋转45ʎ,交反比例函数图象于点C ,则点A ㊁B ㊁C 构成的三角形面积为A .12B .1110C .232D .554二㊁填空题:共4小题,每小题5分,共20分㊂11.某市为改善市容,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均绿地面积的增长率为.12.若x 9+x 8+ +x 2+x +1=0,则x 的值为.13.定义:对于函数y =l g x (x >0),y 随x 的增大而增大,且l g 10=1,l g xy=l g x -l g y ,l g x y =l g x +l g y .若1a +5b =5,则l g a +l g b 的最大值为.14.已知二次函数y =2x 2+b x +c 图象的对称轴为直线x =34,且过点(3,10),若其与直线y =3交于A ㊁B 两点,与直线y =x +5交于P ㊁Q 两点,则P Q 2A B值为.三㊁解答题:共5题,共80分㊂解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤㊂15.(12分)(1)若13a +25b =1,23a +35b =3,求a 2-b 2+8b -172025;(2)先化简再求值:m +2m -m -1m -2ːm -4m 2-4m +4,其中m =2s i n 30ʎ㊃t a n 45ʎ-32t a n 30ʎ.16.(12分)请按以下要求完成尺规作图.(1)如图1,菱形A B C D 中,点P 在对角线B D 上,请作出一对以B D 所在直线为对称轴的全等三角形,使交B A 于点M ,交B C 于点N ,әP B M ɸәP B N .你有几种解法?请在下图中完成;(保留必要作图痕迹,不写作法)(2)如图2,点P 是菱形A B C D 内部一点,请作出一条过点P 的直线,交射线B A ㊁射线B C 于点M ㊁N ,且B M =B N ,聪明的你肯定有多种不同作法?请在下图中完成两种作法,并选择其中一种证明:B M =B N .(保留必要作图痕迹,不写作法)17.(15分)如图,直角三角形A B C中,以直角边A B为直径作圆交A C于点D,过点D作D MʅA B于点M,E为D M的中点,连接A E并延长交B C于点F,B F=E F.(1)求证:C F=B F;(2)求t a nøD E F;(3)若D F=2,求圆的面积.18.(19分)已知四边形A B C D,A B=4,点P在射线B C上运动,连接A P.(1)若四边形A B C D为正方形,点M在A P上,且øA D M=øA P D.请判断A M㊁A P㊁A C之间数量关系,并说明理由;(2)若四边形A B C D为菱形呢?øB=60ʎ,其他条件与(1)同,则(1)中的结论还成立吗?并说明理由;(3)若四边形A B C D为正方形,将线段A P绕点P顺时针旋转90ʎ于P Q,此时D Q的最小值为多少?A Q+D Q的最小值呢?并说明理由.19.(22分)已知抛物线y=a x2+b x+c的顶点坐标为A(1,4),与x轴交点分别为点B㊁C(点B在点C 左侧),与y轴交点为D,一次函数y=k x+4(k>0)与x轴所形成的夹角的正切值为4,方程k x+4=a x2+b x+c有两个相等的实数根.(1)求该抛物线的解析式;(2)点M是该抛物线上一动点,则在抛物线对称轴上是否存在点N,使得以A㊁B㊁M㊁N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的点N坐标及该平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;(3)若将该抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到抛物线y',点D关于x轴的对称点为D',若过点D'的直线与y'交于P㊁Q两点(点P在点Q左侧),点Q关于y轴的对称点为Q',若әP Q O与әP Q Q'面积相等,求直线P Q的解析式.2024年自主招生素质检测数学参考答案选择题:共10小题,每小题5分,满分50分㊂题号12345678910答案CBCBCABDAD填空题:共4小题,每小题5分,满分20分㊂11.20% 12.-1 13.1 14.2654.ʌ解析ɔ x 1+x 2=a -2,抛物线的对称轴x =--32a,ʑ32a =a -22⇒a 2-2a -3=0⇒(a +1)(a -3)=0⇒a 1=-1,a 2=3,ʑ①当a 1=-1时,y =-x 2-3x +3,Δ=9+12>0,与坐标轴的交点个数为3个;②当a 2=3时,y =3x 2-3x +3,Δ=9-4ˑ3ˑ3<0,与坐标轴的交点个数为1个.5.ʌ解析ɔ x <-2a ,x <15-a 3,①-2a >15-a 3,解得a <-3,ʑx <15-a 3,ȵx <4,ʑ15-a 3ɤ4,解得a ȡ3(舍去);②-2a ɤ15-a 3,解得a ȡ-3,ʑx <-2a ,ȵx <4,ʑ-2a ɤ4,解得a ȡ-2.6.ʌ解析ɔ 由角平分线定理S әA B D S әA C D =A B ㊃h A C ㊃h =45=B D D C ,ʑ45=6-D C D C ,解得D C =103.7.ʌ解析ɔ øB E O =øB A E +øA B E ,øA C B =øB A O +45ʎ,R t әB O E ʐR t әB D C ,ʑøB E O =øA C B ,ʑøA B D =45ʎ,则әA B D 为等腰直角三角形,A D =B D ,ʑR t әA E D ɸR t әB C D ,ʑA E =B C ,S әA E D =S әB C D ,ʑh 1=h 2,ʑ点D 在øA O C 的角平分线上,M (6,6),S әB O M =2ˑ62=6.8.ʌ解析ɔ 由图像知x 2=2x -1,解得x =1;或2x -1=4,解得x =52.9.ʌ解析ɔ 设B E =x ,将әA B E 绕B 点顺时针旋转120ʎ到әC B E ',C E '=A E =3,øE B E '=120ʎ,B E =B E '=x ,易得E E '=3x ,在әC E E '中,C E '-C E <E E '<C E '+C E ,即3-2<3x <2+3,解得33<x <533.10.ʌ解析ɔ 由题知,直线y =13x +b 与反比例函数y =k x相交于点A(3,5),则13ˑ3+b =5,解得b =4,k =15,法一:直线A C 与y 轴交于点M ,从M 点作直线A B 的垂线,垂足为N ,A M =(m -5)2+32,MN =(4-m )s i n θ=(4-m )310,A M =2MN ,ʑ(m -5)2+9=95(m -4)2⇒5(m -5)2+45=9(m -4)2,2m 2-11m -13=0⇒(2m -13)(m +1)=0,ʑm =132(舍)或m =-1,直线A C 的方程为y =2x -1.2x -1=15x ⇒2x 2-x -15=0⇒(2x +5)(x -3)=0,解得x 1=-52,x 2=3,ʑ点C (-52,-6),S әA B C =5ˑ(3+52)2=554.法二:易知l A B :y =13x +4,设l A C :y =k 2x +b ,由倒角公式得t a n 45ʎ=k 2-k 11+k 1k 2=k 2-131+13k 2=1,k 2-13=13k 2+1,两边平方得k 2=2或k 2=-12(舍),又l A C 过点A ,ʑl A C :y =2x -1(与y 轴交点为M ),与y =15x 联立得x C =-52,ʑS әA B C =12BM |x A -x C |=554.12.ʌ答案ɔ -1ʌ解析ɔ 若x =0,等式不成立,则x ʂ0,等式两边同乘x ,ʑx 10+x 9+x 8+ +x 2+x =0⇒x 10-1=0⇒x 10=1,解得x =ʃ1.当x =1时,等式不成立;当x =-1时,等式成立.13.ʌ解析ɔ l g a +l g b =l ga b ,即求a b 的最大值,12a +54b ȡ212a ㊃54b =258a b ,258a b ɤ5⇒a b ɤ10.14.ʌ解析ɔ 由题知,-b 4=34,解得b =-3,抛物线过点(3,10),代入数据解得c =1,抛物线y =2x 2-3x +1,当y =3时,2x 2-3x +1=3,解得x 1=-12,x 2=2,A B =52,当y =x +5时,2x 2-3x +1=x +5⇒x 2-2x -2=0⇒x 3+x 4=2,x 3x 4=-2,(x 3-x 4)2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4=12,P Q =(1+k 2)(x 3-x 4)2=26,P Q 2A B =265.15.(12分)ʌ解析ɔ (1)13a +25b =1, ①23a +35b =3, ②①+②得a +b =4,(2分) a 2-b 2+8b -17=(a +b )(a -b )+8b -17=4a -4b +8b -17=4a +4b -17=-1,(4分)a 2-b 2+8b -17 2025=-1.(6分)(2)原式=m +2m -m -1m -2㊃(m -2)2m -4=m 2-4-(m 2-m )m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -4m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -2m,(8分)m =2ˑ12-32ˑ33=12,(10分) ʑ原式=12-212=-3.(12分) 16.(12分)ʌ解析ɔ (1)提示:作P M ㊁P N 分别垂直于A B ㊁A C ,如图1;(2分)过P 点作MN 垂直于B D ,如图2;(4分)P 作E F ʊB C A B 于点E C D 于点F E M =E P M P 交B C 于点N作法二:先作B M '=B N ',交A B 于点M ',交B C 于点N ',连接M 'N ',将直线M 'N '平移过点P ,交A B 于点M ,交B C 于点N ,即MN 为所求直线,如图4;(8分)选择作法一证明:ȵE M =E P ,ʑøE M P =øE P M ,ȵE F ʊB C ,ʑøE P M =øB NM ,ʑøE M P =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)选择作法二证明:ȵB M '=B N ',ʑøB M 'N '=øB N 'M ',M 'N 'ʊMN ,ʑøB MN =øB M 'N ',øB NM =øB N 'M ',ʑøB MN =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)(作法不限,合理即可)17.ʌ解析ɔ (1)ȵD M ʊB C ,ʑәA D E ʐәA C F ,әA E M ʐәA F B ,ʑA E A F =D E C F ,A E A F =E M B F,(2分) ȵD E =E M ,ʑC F =B F ;(4分)(2)取A B 的中点O ,即为圆心,连接O F ,设圆O 的半径为r ,延长A B 交D F 延长线于G ,由(1)知,F 为R t әB C D 中斜边B C 的中点,ʑD F =B F =E F ,ʑøF D E =øD E F =øA E M ,ȵøG +øG D M =øE A M +øA E M =90ʎ,则øG =øE A M ,ʑA F =F G ,在әA F G 中,F B ʅA G ,则A B =B G =2r ,A O =r ,O G =3r ,(6分)ȵO F ʊA C ,ʑO G A O =F G D F=3,即F G =3D F ,(8分) ȵD F =B F ,ʑF G =3B F ,ʑc o s øB F G =B F F G =13,ʑt a n øD E F =t a n øE D F =t a n øB F G =B G B F=22;(10分)(3)ȵD F =B F ,ʑB F =2,由(2)知,t a n øB F G =B G B F=22,ʑB G =42,(12分)ȵB G =2r ,ʑr =22.(13分)S 圆O =πr 2=8π.(15分)18.ʌ解析ɔ (1)A C 2=2A M ㊃A P .(2分)理由如下:如图1,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D ,ʑA D 2=A M ㊃A P ,在正方形A B C D 中,A D =22A C,ʑ(22A C )2=A M ㊃A P ,ʑA C 2=2A M ㊃A P .(6分)(2)(1)中的结论不成立.(7分) 理由如下:如图2,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D,ʑA D 2=A M ㊃A P ,ȵ在菱形A B C D 中,øB =60ʎ,则B C =A B =A C =A D ,ʑA C 2=A M ㊃A P .(11分)(3)如图3,过点Q 分别作Q E ʅB C 的延长线于点E ,Q F ʅC D 于点F ,ʑQ F =C E ,设B P =m ,A P =Q P ʑR t әA B P ɸR t әP E Q ,则B P =Q E =m ,A B =P E =4,ȵC E +P C =B P +P C =4,ʑC E =B P =m ,在R t әD F Q 中,Q F =C E =m ,D F =C D -C F =4-m ,(15分) D Q 2=D F 2+Q F 2=(4-m )2+m 2=2m 2-8m +16=2(m -2)2+8,当m =2时,D Q 取得最小值,D Q m i n =22,(17分) 分析易知Q 在C D '上运动,作D 关于C D '的对称点C ',连接Q C ',则(A Q +D Q )m i n =(A Q +Q C ')m i n =A C '=42+82=45.(19分) 19.ʌ解析ɔ (1)由题可知k =4,ʑy =4x +4(2分) 2的顶点坐标为A y =a x -12即4x +4=a (x -1)2+4⇒a x 2-(2a +4)x +a =0有两个相等的实数根,ʑΔ=(2a +4)2-4a 2=0,解得a =-1,ʑ抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3;(5分)(2)设M 点坐标为(m ,-m 2+2m +3),N 点坐标为(1,n ),A (1,4),令-x 2+2x +3=0,解得x 1=-1,x 2=3,所以B (-1,0),C (3,0),(7分)若A B 为对角线,1-12=m +12,解得m =-1(舍去);若A M 为对角线,m +12=1-12,解得m =-1(舍去);若A N 为对角线,1+12=m -12,解得m =3;(9分) 4+n 2=0-m 2+2m +32,解得n =-4,此时M (3,0),N (1,-4),(10分)S ▱A B M N =4ˑ82=16;(12分) (3)由题可知,抛物线y '=-x 2,点D (0,3)关于x 轴的对称点D '(0,-3),直线P Q 过点D ',设直线P Q 的解析式为y P Q =k x -3,若k >0,如图1,S әP Q O =S әP Q Q ',则Q 'O ʊP Q ,则әQ 'H O ɸәQ H D ',所以O H =12O D '=32,H (0,-32),所以Q (62,-32),Q '(-62,-32),直线P Q 的解析式为y P Q =62x -3;(16分)若k <0,如图2,过点Q '作直线l ʊP Q ,取l 与y 轴交点M ,作O L ʅP Q 于点L ,MH ʅP Q 于点H ,所以O L ʊHM ,S әP Q O =S әP Q O ',所以O L =HM ,所以四边形O L MH 为平行四边形,则对角线互相平分,所以M (0,-6),同理,әD 'K Q ɸәM K Q ',所以D 'K =K M =12D 'M =32,所以K (0,-92),(20分) 因为点Q 的纵坐标为-92,所以Q (322,-92),直线P Q 的解析式为y P Q =-22x -3.(21分)综上,直线P Q 的解析式为y P Q =6x -3或y P Q =-2x -3.分)。
自主招生试题初中数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(2) = 1，则f(x)的解析式为（）A. f(x) = 2x - 1B. f(x) = 2x + 1C. f(x) = 2x - 3D. f(x) = 2x + 32. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 90°，若AB = 6，则BC的长度为（）A. 6B. 6√2C. 3√2D. 33. 已知一元二次方程x² - 5x + 6 = 0的两根分别为x₁和x₂，则x₁ + x₂的值为（）A. 5B. 6C. 2D. 34. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于y轴的对称点为（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)5. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a² > b²B. a² < b²C. a > b²D. a < b²二、填空题（每题5分，共25分）1. 若a² + b² = 25，则a² - b²的值为______。
2. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为______。
3. 已知函数f(x) = 3x² - 2x + 1，则f(2)的值为______。
4. 在平面直角坐标系中，点P(3, 4)关于原点的对称点为______。
5. 若a + b = 5，a - b = 1，则a的值为______。
三、解答题（每题15分，共45分）1. 解下列方程：x² - 4x + 3 = 0。
2. 在△ABC中，AB = 5，AC = 8，∠A = 30°，求BC的长度。
3. 已知函数f(x) = 2x² - 3x + 1，求f(x)的对称轴方程。
省级重点高中自主招生数学真题8套(含答案)
省重点高中自主招生数学真题8套（含答案）第1套一、选择题（每小题5分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。
）1、已知实数a 、b 、c 满足0254=-+-+++a b c b a ，那么bc ab +的值为（ ） A 、0B 、16C 、－16D 、－32 2、设βα、是方程02322=--x x 的两个实数根，则βααβ+的值是（ ）A 、－1B 、1C 、32-D 、32 3、a 、b 、c 均不为0，若0<=-=-=-abc cxz b z y a y x ，则),(bc ab p 不可能在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4、在ABC ∆中，C B ∠=∠2，下列结论成立的是（ ） A 、AB AC 2= B 、AB AC 2< C 、AB AC 2> D 、AC 与AB 2大小关系不确定5、已知关于x 的不等式7<a x 的解也是不等式12572->-aa x 的解，则a 的取值范围 是（ ）A 、910-≥aB 、910->a C 、0910<≤-a D 、0910<<-a 6、如图，□ DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□ DEFG 的面积为（ ） A 、32B 、2C 、3D 、4 第6题图二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知质数x 、y 、z 满足5719=-yz x ，则z y x ++= 。
2、已知点A （1，3），B （4，－1），在x 轴上找一点P ，使得AP －BP 最大，那么P 点的坐标是 。
3、已知AB 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交直线AB 于点D ，则当△ACD 为等腰三解形时，∠ACD 的度数为 。
自主招生试卷数学初三
1. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根为x1和x2，则x1 + x2的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 52. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = √(-x)B. y = 1/xC. y = x^2D. y = log2x3. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) + f(2-x) = 0，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在等差数列{an}中，a1 = 2，公差d = 3，则第10项an的值为（）A. 27B. 30C. 33D. 366. 若函数y = kx + b（k ≠ 0）的图像经过点A（1，-2），B（3，4），则k和b的值分别为（）A. k = 1，b = -1B. k = 1，b = 2C. k = 2，b = -1D. k = 2，b = 27. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，则数列{an}的前n项和S_n 为（）A. n^3 - 3n^2 + 2nB. n^3 - 3n^2 + 2C. n^3 - 3n^2 + 3nD. n^3 - 3n^2 + 4n8. 在等比数列{bn}中，b1 = 2，公比q = 3，则第5项b5的值为（）A. 162B. 48C. 18D. 69. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，则该函数的图像的对称轴为（）A. x = 2B. y = 2C. x = 1D. y = 110. 在△ABC中，AB = 5，AC = 7，BC = 8，则△ABC的面积S为（）A. 10B. 15C. 20D. 251. 若函数y = kx + b（k ≠ 0）的图像经过点A（1，2），B（3，-1），则k = __，b = __。
2025年重点高中自主招生考试数学模拟试卷试题(含答案)
2025重点高中自主招生数学针对性模拟试卷（本试卷满分150分，时间2小时）一、选择题（每小题6分，共60分）1.若“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P ，则（）A.P=0B.0<P<1C.P=1P>12.下列命题中，真命题的个数是（）①一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.方程()1112=--x x 的根共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.设{}d c b a ,,,max 表示d c b a ,,,中最大的数，则⎭⎫⎩⎨⎧-210,2,260tan 2,45cos 2max 0π=（）A.045cos 2 B.260tan 20- C.2π D.2105.若关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x 的两根分别为1x 、2x ，且321=+x x ，则m =（）A.-1或21 B.-1或1C.21-或21 D.21-或16.如图，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 延长线上，BF=5CF,且四边形CDEF 是平行四边形，△BDE 与△ADE 的面积之和为7，则△ABC 面积为（）A.28 B.29 C.30 D.327.用数字0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位数共有（）A.64个 B.72个 C.96个 D.不同于以上答案8.已知y x ,是整数，则满足方程03432=---y x xy 的数对),(y x 共有（）A.4对B.6对C.8对D.12对9.如图，在△ABC 中，AC=BC=4，D 是BC 的中点，过A,C,D 三点的圆O 与AB 边相切于点A,则圆O 的半径为（）A.2B.5C.214D.714410.若关于x 的方程x k x =-23有三个不同解321,,x x x ，设,321x x x m ++=则m 的取值范围为（）A.2<m B.23->m C.20<<m D.223<<-m 二、填空题（每小题6分共36分）11.已知△ABC 中，BC=1，AC=2，AB=3,则△ABC 的内切圆半径为.12.若y x 、满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2454545yx xy y x xy ，则=+y x .13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22--=x x y 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 左边），点E 在对称轴MN 上，点F 在以点C（-1,-4）为圆心，21为半径的圆上，则AE+EF 的最小值为.14.已知直线)0(1>+=k kx y 与双曲线xy 2=交于A、B 两点，设A、B 两点的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，则=-+-)1()1(1221y x y x .15.若21≤---a x x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是.16.已知互不相等的正整数20321,,,,a a a a 满足202420321=+++a a a a ，设d 是20321,,,,a a a a 的最大公约数，则d 的最大值为.三、解答题（共54分）17.(12分）已知实数215-=a .（1）求a a +2的值；（2）求3223111aa a a a a +++++的值.18.(12分）已知一次函数)0(1)2(<+-=k x k y 的图象与y x 、轴分别交于点A、B.（1）若2-=k ，试在第一象限内直接写出点),(y x M 的坐标，使得A、B、M 三点构成一个等腰直角三角形；（2）设O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最小值.19.(14分）如图，已知0120=∠AOB ,PT 切圆O 于T,A、B、P 三点共线，∠APT 的平分线依次交AT、BT 于C、D，连接BC、AD.(1)求证：△CDT 为等边三角形；(2)若AC=8，BD=2，求PC 的长.20.(16分）已知函数a x a x y -+-+=3)4(2.(1)若此函数的图象与x 轴交于点)0,()0,(21x B x A 、，且2021≤<≤x x ，求a 的取值范围；(2)若20≤≤x ，求y 的最大值；(3)记a x a x x f -+-+=3)4()(2，若对于任意的40<<a ，都能找到200≤≤x ，使t x f ≥)(0，求t 的取值范围参考答案：一、选择题：1-5CBBDC6-10ACBDD 二、填空题：11、2321-+12、913、2914、-415、31≤≤-a 16、817.（1）∵215-=a ，512=+∴a ，5)12(2=+∴a .4442=+∴a a ，12=+∴a a .(3)a a -=12，12)1()1(23-=--=-=-=∴a a a a a a a a .∴原式==++++-3321112aa a a a 122222112333-+=+=++a a a a a a a .当215-=a 时，原式=353)25(2152521511522152+=++-=-+-=--+-⨯.18.(1)当2-=k 时，52+-=x y ，满足题意的M 点有3个，分别为415,415(),215,5(),25,215(321M M M .(2)易求得)21,0(),0,12(k B kA --.k kk k OB OA S OAB 2212)2112(2121--=--=⋅=∴∆，0<k ，021>-∴k ，02>-k .有均值不等式得4)2(2122=-⋅-+≥∆k kS OAB ，当且仅当k k 221-=-，即21-=k 时，等号成立.∴△ABC 的面积的最小值为4.19.(1)证明：0120=∠AOB ，06021=∠=∠∴AOB ATB .∵PT 切⊙O 于T，∴∠BTP=∠TAP.∵PC 平分∠APT，∴∠APC=∠CPT.∵∠TCD=∠TAP+∠APC，∠CDT=∠BTP+∠CPT.∴∠TCD=∠CDT=00060260180=-.∴△CDT 为等边三角形.(3)解：设CT=DT=x ，∵∠TCD=∠CDT=∠BDP，∠BPD=∠CPT，∴△PCT∽△PDB.∴BDCTPD PC =①,∵∠DTP=∠PAC，∠APC=DPT,∴△ACP∽△TDP.∴PD PC TD AC =，∴TD AC BD CT =.∴xx 82=.∴4=x （负值舍去）.∴CD=DT=CT=4.由①得244=-PC PC ,解得PC=8.20.解：（1）∵0)2()3(4)4(22>-=---=∆a a a ，2≠∴a .①当a x x -==3,121时，则231≤-<a ，∴21<≤a ；②当1,321=-=x a x 时，则130<-≤a .32≤<∴a .综上所述，a 的取值范围为31≤≤a 且2≠a .(2)对称轴为直线24a x -=.分三种情况讨论：①当024<-a，即4>a 时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.②当2240≤-≤a，即40≤≤a 时，此时y 最大值在0=x 或2=x 处取得.（ⅰ）当242024a a --≥--时，则20≤≤a .此时，当0=x 时，a y -=3为最大值；（ⅱ）当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.③当224>-a，即0<a 时，当0=x 时，a y -=3为最大值.综上所述，当2<a 时，y 的最大值为a -3；当2>a 时，y 的最大值为1-a .(3)对称轴为直线24a x -=.∵40<<a ,∴2240<-<a.∴函数a x a x x f -+-+=3)4()(21在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-24,0a 上是减函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,24a 上是增函数.∴对任意的)4,0(∈a ，存在]2,0[0∈x 使得t x f ≥|)(|0可化为对任意的)4,0(∈a ，t f ≥|)0(|或t f ≥|)2(|或t af ≥-)24(有一个成立即可.即t a f f f ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧-max 24(||,)2(||,)0(|即可.①当242024a a --≥--时，则20≤≤a ，|)2(||)0(|f f ≥.∴a a a a f f t -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤3|2)2(||,3||24(||,)0(|max2max ，∴1)3(min =-≤a t .②当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，|)0(||)2(|f f >.1|4)2(||,1||24(),2(|max2-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤∴a a a a f f t .∴1)1(min =-≤a t .综上所述，t 的取值范围为1≤t .。
高校自招数学试题及答案
高校自招数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像经过点(1, 2)和(2,3)，则下列哪个选项是正确的？A. a + b + c = 2B. 4a + 2b + c = 3C. a + 2b + c = 3D. 4a + b + c = 5答案：C2. 已知数列{an}是等差数列，且a1 + a2 + a3 = 12，a2 + a3 + a4 = 18，则a1 + a5的值是多少？A. 18B. 20C. 24D. 26答案：B3. 若复数z满足|z - 1| = |z + i|，则z对应的点在复平面上位于哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B4. 已知函数f(x) = ln(x) + 1/x，若f(x)在区间(0, +∞)上单调递增，则实数k的取值范围是？A. k > 0B. k ≥ 1C. k ≤ -1D. k ≤ 0答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 若一个圆的直径为10，则该圆的面积为_______。
答案：25π6. 已知向量a = (3, -1)，b = (2, 4)，则向量a与向量b的数量积为_______。
答案：57. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 2]上单调递增，则实数k的取值范围是_______。
答案：k ≤ -18. 已知等比数列{an}的前三项分别为1，2，4，则该数列的通项公式为an = _______。
答案：2^(n-1)三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的单调区间，并说明理由。
答案：函数f(x)的单调递增区间为[2, +∞)，单调递减区间为(-∞, 2)。
理由是f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4，令f'(x) > 0得x > 2，令f'(x) < 0得x < 2。
北大自主招生数学试题
北大自主招生数学试题一、下列哪个数列不是等差数列？A. 1, 3, 5, 7, ...B. 2, 4, 8, 16, ...C. 10, 8, 6, 4, ...D. -1, 0, 1, 2, ...（答案：B）二、若复数z满足(1+i)z=2i，则z等于？A. 1-iB. 1+iC. -1+i（答案）D. -1-i三、设函数f(x) = x3 - 3x2 + 2，则f(x)的极小值点为？A. x = 0B. x = 1C. x = 2（答案）D. x = 3四、在三角形ABC中，若sinA:sinB = 3:4:5，则cosC的值为？A. 1/5B. -1/5（答案）C. 3/5D. 4/5五、已知向量a = (1, 2)，b = (2, 1)，则向量a与b的夹角θ的余弦值为？A. √5/5B. 2√5/5（答案）C. 1/√5D. -1/√5六、设集合A = {x | x2 - 5x + 6 = 0}，B = {x | x2 - ax + a - 2 = 0}，若B是A的子集，则a的取值范围是？A. a = 2或a = 3或a = 5B. a = 3或a = 5（答案）C. a = 2或a = 5D. a = 2或a = 3七、已知圆C的方程为x2 + y2 - 2x - 5 = 0，直线l的方程为2x - y - 1 = 0，则圆心C到直线l的距离为？A. √5B. 2√5/5C. √5/5（答案）D. 3√5/5八、若实数x, y满足约束条件x + y ≤ 2, x - y ≤ 1, x ≥ 0，则z = 2x + y的最大值为？A. 2B. 3C. 4D. 5（答案）九、设函数f(x) = ex - e(-x)，则不等式f(x + 2) < f(1 - x)的解集为？A. (-∞, 3/2)B. (-3/2, +∞)（答案）C. (-∞, -1/2)D. (1/2, +∞)十、已知矩阵A = [1 2; 3 4]，向量β = [5; 6]，若向量α满足Aα = β，则α为？A. [-1; 2]B. [2; -1]（答案）C. [1; 1]D. [-2; 1]。
2024初升高自主招生数学试卷(一)及参考答案
—1—2024初升高自主招生数学模拟试卷（一）1.方程43||||x x x x -=实数根的个数为（）A .1B .2C .3D .42.如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，已知AB =AD =2，AC =4，且BD ：DC =2：3，则△ABC 是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形3.已知G 是面积为24的△ABC 的重心，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，则△DEG 的面积为（）A .1B .2C .3D .44.如图，在Rt △ABC 中，AB =35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC ，则△ABC 的周长为（）A .35B .40C .81D .845.已知2()6f x x ax a =+-，()y f x =的图象与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且1212383(1)()1)(16)(16)a a x x a x a x -=-++----，则a 的值是（）A .1B .2C .0或12D .126.如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =a ，CD =b .若∠ADC =∠BFE ，且四边形ABFE 的面积与四边形CDEF 的面积相等，则EF 的长等于（）A .2a b+B .abC .2ab a b +D .222a b +—2—7.在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 平分∠ACB 交AB 于点E .若BE +CD =BC ，则∠A 的度数为（）A .30°B .45°C .60°D .90°8.设23a =，26b =，212c =.现给出实数a 、b 、c 三者之间所满足的四个关系式：①2a c b +=；②23a b c +=-；③23b c a +=+；④21b ac -=.其中，正确关系式的个数是（）A .1B .2C .3D .49.已知m 、n 是有理数，方程20x mx n ++=2，则m +n =.10.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE =3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE +PC 的值最小，则PB =.11.已知x y ≠，22()()3x y z y z x +=+=.则2()z x y xyz +-=.12.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD =∠BCD =60°，∠CBD =55°，∠ADB =50°.则∠AOB 的度数为.13.两个质数p 、q 满足235517p q +=，则p q +=.14.如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =2BC ，M 、N 分别为边BC 、CD 的中点，AM 与BN 交于点E .若阴影部分的面积为a ，那么矩形ABCD 的面积为.第12题图第14题图15.设k 为常数，关于x 的方程2223923222k k x x k x x k --+=---有四个不同的实数根，求k 的取值范围.—3—16.已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，并且满足1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，求x 的值.17.已知抛物线2y x =与动直线(21)y t x c =--有公共点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且2221223x x t t +=+-.(1)求t 的取值范围；(2)求c 的最小值，并求出c 取最小值时t 的取值.—4—18.如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，点E 在半径OA 上，点F 在半径OB 延长线上，且OE=BF ，直线CE 、CF 与⊙O 分别交于点G 、H ，直线AG 、AH 分别与直线CD 交于点N 、M .求证：1DM DN MC NC-=.参考答案。
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浙江省杭州市自主招生考试数学试卷一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）1．（4分）（2006•潍坊）计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（）A．2 B．C．D．12．（4分）（2006•潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣3．（4分）（2004•宁波）已a，b为实数，ab=1，M=，N=，则M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定4．（4分）（2005•淮安）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A．20分钟B．22分钟C．24分钟D．26分钟5．（4分）（2012•大田县校级自主招生）二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=﹣2x2的图象（）A．向左移动1个单位，向上移动3个单位B．向右移动1个单位，向上移动3个单位C．向左移动1个单位，向下移动3个单位D．向右移动1个单位，向下移动3个单位6．（4分）（2011•浙江校级自主招生）下列名人中：①比尔盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）A．①④⑦ B．②④⑧ C．②⑥⑧ D．②⑤⑥7．（4分）（2012•麻城市校级自主招生）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）欲购买的原价（元）优惠方式商品一件衣服420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券一双鞋280 每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券一套化妆品300 付款时可以使用购物券，但不返购物券A．500元B．600元C．700元D．800元8．（4分）（2012•麻城市校级自主招生）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深H的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（）A．B．C．D．二、填空题：（每题6分，共30分）9．（6分）（2013•福建校级自主招生）若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a=．10．（6分）（2011•浙江校级自主招生）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为cm2．11．（6分）（2014•南充自主招生）对正实数a，b作定义，若4*x=44，则x的值是．12．（6分）（2011•萧山区校级自主招生）已知方程x2+（a﹣3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是．13．（6分）（2011•萧山区校级自主招生）如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1…的规律报数，那么第2007名学生所报的数是．三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．14．（8分）（2011•萧山区校级自主招生）田忌赛马齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下：（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；（2）田忌能赢得比赛的概率是．15．（10分）（2011•浙江校级自主招生）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．（1）请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合；（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子．16．（10分）（2011•萧山区校级自主招生）如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，求证：∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．17．（10分）（2011•萧山区校级自主招生）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线y=x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．四、附加题：（本题满分为3分，但即使记入总分也不能使本次考试超出100分）18．（2011•城关区校级自主招生）有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了．根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法．2011年浙江省杭州市萧山中学自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）1．（4分）（2006•潍坊）计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（）A．2 B．C．D．1【解答】解：原式=+﹣=．故选：C．2．（4分）（2006•潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．3．（4分）（2004•宁波）已a，b为实数，ab=1，M=，N=，则M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定【解答】解：M==，∵ab=1，∴==1．N==，∵ab=1，∴==1，∴M=N．故选B．4．（4分）（2005•淮安）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A．20分钟B．22分钟C．24分钟D．26分钟【解答】解：他改乘出租车赶往考场的速度是÷2=，所以到考场的时间是10+÷=16分钟，∵10分钟走了总路程的，∴步行的速度=÷10=，∴步行到达考场的时间是1÷=40，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了40﹣16=24分钟．故选C．5．（4分）（2012•大田县校级自主招生）二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=﹣2x2的图象（）A．向左移动1个单位，向上移动3个单位B．向右移动1个单位，向上移动3个单位C．向左移动1个单位，向下移动3个单位D．向右移动1个单位，向下移动3个单位【解答】解：二次函数y=﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），∴向左移动1个单位，向下移动3个单位．故选C．6．（4分）（2011•浙江校级自主招生）下列名人中：①比尔盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）A．①④⑦ B．②④⑧ C．②⑥⑧ D．②⑤⑥【解答】解：②高斯⑤陈景润⑥陈省身是数学家．故选D．7．（4分）（2012•麻城市校级自主招生）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）欲购买的原价（元）优惠方式商品一件衣服420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券一双鞋280 每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券一套化妆品300 付款时可以使用购物券，但不返购物券A．500元B．600元C．700元D．800元【解答】解：∵买化妆品不返购物券，∴先购买衣服和鞋，利用所得购物券再买化妆品．付现金220元就可买一件衣服，因为付现金220元可得购物券200元，所以200+220=420元正好可购买一件衣服；付现金280元可买一双鞋，同时返购物券200元；再付现金100元加上买鞋时返的购物券200就可购买一套化妆品．张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为：220+280+100=600元．故选B．8．（4分）（2012•麻城市校级自主招生）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深H的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（）A．B．C．D．【解答】解：因为高度不是均匀上升的，应排除D；图象中没有出现对称情况，应排除C；随着V的不断增加，H的改变越来越快，图象应是越来越窄．故选B．二、填空题：（每题6分，共30分）9．（6分）（2013•福建校级自主招生）若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a=1．【解答】解：原方程化为整式方程得：1﹣x﹣3=a，整理得x=﹣2﹣a，因为无解，所以x+3=0，即x=﹣3，所以a=﹣2+3=1．10．（6分）（2011•浙江校级自主招生）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为14cm2．【解答】解：设两边的夹角为A，则三角形面积=×4×7•sinA=14sinA，当A=90时，面积的最大值=14．11．（6分）（2014•南充自主招生）对正实数a，b作定义，若4*x=44，则x的值是36．【解答】解：∵，∴原方程变形为：﹣4+x=44，整理得，x+2﹣48=0，设=a，则a2+2a﹣48=0，解得a=6或﹣8，∵≥0，∴a=6，∴x=36．故答案为：36．12．（6分）（2011•萧山区校级自主招生）已知方程x2+（a﹣3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是﹣1＜a≤﹣2+3．【解答】解：设f（x）=x2+（a﹣3）x+3，问题等价于f（x）有一个零点在（1，2）内根据二次方程根的分布，这等价于f（1）•f（2）＜0或f（1）•f（2）＞0，即[1+（a﹣3）+3]•[4+（a﹣3）2+3]＜0或[1+（a﹣3）+3]•[4+（a﹣3）2+3]＞0，也即（a+1）•（2a+1）＜0或（a+1）•（2a+1）＞0，解得﹣1＜a＜﹣或a＜﹣1或＞﹣，当△≥0时，即b2﹣4ac≥0，∴（a﹣3）2﹣12≥0，∴a≥2+3或a≤﹣2+3，则a的范围是：﹣1＜a≤﹣2+3．故答案为：﹣1＜a≤﹣2+3．13．（6分）（2011•萧山区校级自主招生）如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1…的规律报数，那么第2007名学生所报的数是3．【解答】解：观察发现，以（1、2、3、4、5、4、3、2）为一个循环组，依次进行循环，2007÷8=250…7，∴第2007名学生所报的数是第251组的第7个数，是3．故答案为：3．三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．14．（8分）（2011•萧山区校级自主招生）田忌赛马齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下：（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；（2）田忌能赢得比赛的概率是．【解答】解：（1）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下田忌的马上中下上中下上中下上中下齐王的马上下中中上下下上中下中上（2）根据对对阵形式的分析可以知道：田忌赢得比赛的概率为．15．（10分）（2011•浙江校级自主招生）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．（1）请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合；（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子．【解答】解：（1）集合{1，2}不是好的集合，这是因为8﹣1=7，而7不是{1，2}中的数，所以{1，2}不是好的集合；{1，4，7}是好的集合，这是因为8﹣1=7，7是{1，4，7}中的数，8﹣4=4，4也是{1，4，7}中的数，8﹣7=1，1又是{1，4，7}中的数．所以{1，4，7}是好的集合；（2）答案不唯一．集合{4}、{3，4，5}、{2，6}、{1，2，4，6，7}、{0，8}等都是好的集合．16．（10分）（2011•萧山区校级自主招生）如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，求证：∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．【解答】证明：∵2CD=3AB，∴，∵E，F为CD三等分点，D为AB中点，∴AD=DF；∴∠AFD=45°，∴由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=2DF2∵2DF2=EF（EF+CE）=FE•FC；∴AF2=FE•FC，∴=，∵∠AFE=∠CFA，∴△AEF∽△CFA，∴∠CAF=∠AEF；即∠ACD+∠AED=∠AFD=45°；∴∠ACD+∠AED+∠AFD=90°，∴∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．17．（10分）（2011•萧山区校级自主招生）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线y=x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．【解答】解：（1）设点P的坐标为（x0，x20），则PM==x20+1；又因为点P到直线y=﹣1的距离为，x20﹣（﹣1）=x20+1所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1相切．（2）如图，分别过点P，Q作直线y=﹣1的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．因为PH，MN，QR都垂直于直线y=﹣1，所以，PH∥MN∥QR，于是=，所以，因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM．四、附加题：（本题满分为3分，但即使记入总分也不能使本次考试超出100分）18．（2011•城关区校级自主招生）有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了．根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法．【解答】解：答案不唯一，如：数学是思维的体操，可以培养自己的逻辑思维能力、发散思维能力等．参与本试卷答题和审题的老师有：CJX；zhehe；星期八；hnaylzhyk；蓝月梦；hbxglhl；lanchong；HJJ；HLing；天马行空；lanyan；lf2-9；张其铎；wdxwwzy；kuaile；zcx；MMCH；zhjh；心若在（排名不分先后）菁优网2016年4月26日。