四川省2014年全国初中数学竞赛(初二组)决赛试卷及参考答案

2014年全国初中数学联合竞赛（初二组）决赛
试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试
各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
一、选择题(本题满分42分，每小题7分)
1、C
2、D
3、B
4、B
5、A
6、C
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1、9-
2、15
3、15
4、3 三、（本大题满分20分）
如图，已知凸四边形ABCD 中，180ABC ADC ∠+∠=，AC 平分BAD ∠，过C 作AB 的垂
线交AB 于E ． 求证：)(2
1AD AB AE +=． 证明：如图，作B 、E 关于AC 的对称点E ’、B ’，连接EB ’，……………………5分
因为AC 为BAD ∠的平分线，
故,E B ''在AD 的延长线上，且''E CB CBE ∆≅∆，……（10分）
故'180'CB D ABC ADC CDB ∠=∠=-∠=∠
所以CD CB ='，（15分）
又'CE ⊥'DB ，故'''DE E B BE ==， 所以11()()22AE AE AE AE AB AD ''==+=+（20分） 四、（本大题满分25分）
已知三个一次函数1y x =+、x y -=1和b x y +=2
1， （1）若这三个函数图像能够围成三角形，求实数b 的取值范围；
（2）若这三个函数图像所围成的三角形面积为43
时，求实数b 的值． 解：（1）设直线l 1:1y x =+与l 2:x y -=1交于点(0,1)P ，（5分）
只有当直线3l ：b x y +=2
1过(0,1)P 时，三直线不能构成三角形，此时1b =， 故当1b ≠时，三直线围成三角形． （10分）
（2）联立⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=b x y x y 211解得112221x b y b =-⎧⎨=-⎩； B'E'E
C B A
D
即直线13,l l 的交点(22,21)A b b -- 联立⎪⎩⎪⎨⎧+=-=b x y x y 211解得2222332133x b y b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
， 即直线23,l l 的交点2221(,)3333
B b b -
++ （15分） 则三直线围成的三角形为ABP ∆，其面积121|||1|2
ABP S x x b ∆=-⋅- 212244|()(22)||1|(1)23333b b b b =-+--⋅-=-= （20分） 故2(1)1b -=，则11b -=或者11b -=-, 解得0,b =或者2b =． 所以，所求的实数0,b =或者2b =． （25分）
五、（本题满分25分）
设不全相等的非零实数,,a b c 满足
2221222bc ac ab a bc b ac c ab
++=+++，求a b c ++的值. 解 由
2221222bc ac ab a bc b ac c ab
++=+++得222
1111222111a b c bc ac ab
++=+++.…………………………5分 设22a x bc =，22b y ac =，22c z ab =，则8xyz =，且1111111
x y z ++=+++，…………10分 通分即得(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y z x z x y x y z ++++++++=+++，
展开后整理得2xyz x y z =+++，所以6x y z ++=. …………… ……15分 即222
2226a b c bc ac ab
++=，所以3333a b c abc ++=，分解因式得 222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=.……………………………………20分
又,,a b c 不全相等，所以222()()()0a b b c c a -+-+-≠，故0a b c ++=.……25分。