椭圆中最值问题

椭圆中的最值问题
x y 1.设点P是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)上的动点， a b a+ F是椭圆的一个焦点,则|PF |的最大值为____,c 最小值为______.
2 2
a −c
2
x y 2.设点P是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)上的动点， a b F1,F2是椭圆的两焦点,则∠FPF2取得最大值时点 1
2
2
bc
x y 例5.设矩形ABCD内接于椭圆 2 + 2 = 1 a b
2
2
(a > b > 0)， 则矩形ABCD的最大面积
y
D
o
为_______.
A
x
B
由椭圆及矩形的对称性可知: C 矩形的四个顶点关于
坐标轴和原点对称.
设AC方程为y = kx(k > 0),A( x0 , y0 ),
x y 2 2 ab 2 + 2 =1 2 由 a 得：x0 = 2 2 , b 2 a k +b y = kx 2 2 4ka b 2 ∴ S矩形ABCD = 4 x0 y0 = 4kx0 = 2 2 2 a k +b
2
(0, ±b P的坐标为_______.)
x2 y 2 3.设弦AB过椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)的焦点， 2 a b 2b 则 | AB | 的最大值_____,为最小值为______. 2a
2b 值为________(用含有a, b的式子表示). −1 2 a 2 2c 2 1− 2 1− 2e a
x y 4.设点P是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)上的动点， a b F , F2是椭圆的两焦点则∠FPF2的余弦值的最小 , 1 1
2
2
2
a
Fra Baidu bibliotek
x y 5.椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0)的焦点 a b 三角形 PF1 F2的最大面积为_____.
2
2
bc
x y 6.过椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)中心的直线交 a b 椭圆于A, B两点，F为椭圆的一个焦点，则 ∆ABF面积的最大值为________.
2 2
4a b 4a b = ≤ = 2ab. 2 2 b 2 b 2 a k+ 2 a k⋅ k k b 当且仅当k = 时等号成立. a
2 2
2 2
例6:已知椭圆 2+4y2=4,在椭圆上 已知椭圆x 在椭圆上 已知椭圆 求一点P, 到直线L: 求一点 使P到直线 x-y+4=0 到直线 y 的距离最小, 并求最小值. 的距离最小 并求最小值
由∆ = 0 ⇒ 5 − m 2 = 0 ⇒ m = ± 5. ∴ 与椭圆相切且与直线L最近的直线方程为 y = x + 5.
4 5 5 当m = 5时,解方程组可得P(− ， )， 5 5 4 2 − 10 从而可得最小距离为d = . 2
x y 例7.已知F为椭圆 + = 1的左焦点,B(2, 2)是 25 9 其内一点,M 为椭圆上的动点,则 | MF | + | MB | 10+2 2 10 − 2 2 的最大值为_____,最小值为_____.
费县实验中学
高二数学组
教学目标
理解椭圆中的最值问题； 目标：1.理解椭圆中的最值问题 理解椭圆中的最值问题 2.掌握解决椭圆中的最值问题的方法 掌握解决椭圆中的最值问题的方法. 掌握解决椭圆中的最值问题的方法
重点：椭圆中的最值问题； 重点：椭圆中的最值问题 难点：椭圆中的最值问题。 难点：椭圆中的最值问题
2
2
设椭圆的右焦点为F',则有 |MF|+|MF'|=10.
∴|MF|+|MB|=10+|MB|−|MF'|， F
y
B
x
0
F'
由于||MB|−|MF'|| ≤ |BF'|=2 2，
∴10 − 2 2 ≤ |MF|+|MB| ≤ 10+2 2，
离L最近
思路分析：可先设出与L平
行且与椭圆相切的直线方程. 切线方程与椭圆方程联立,利 用 ∆ = 0求出参数,再解方程 组求切点P的坐标.
P
l
o
x
离L最远
解:设与l平行的切线方程为y = x + m， 将y=x +m代人椭圆方程得:x + 4( x + m) = 4,
2 2
化简得：x 2 + 8mx + 4(m 2 − 1) = 0. 5