反证法在证明题中的应用-高考数学解题模板

【高考地位】 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.

【方法点评】

类型一 证明“至多”或“至少”问题 使用情景：证明“至多”或“至少”问题． 解题模板：第一步 首先假设命题不成立；

第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；

第三步 最后得出结论.

例1. 若,x y ∈{正整数}，且2x y +>。求证：12x y +<或12y x

+<中至少有一个成立。

【变式演练1】若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2

＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。则实数a 的取值范围为________。

类型二 证明“不可能”问题

使用情景：证明“不可能”问题．

解题模板：第一步 首先假设命题不成立；

第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；

第三步 最后得出结论.

例2.给定实数0a a ≠，，且1a ≠，设函数11()1x y x x ax a

-=

∈≠-R ，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．

【变式演练2】如图，设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点。求证：AC 与平面SOB 不垂直。

类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题

使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题．

解题模板：第一步 首先假设命题不成立；

第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；

第三步 最后得出结论.

例3.求证：方程512x

=的解是唯一的．

【变式演练3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的假设为（）

A ．自然数c b a ,,都是奇数

B ．自然数c b a ,,都是偶数

C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数

D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数

【高考再现】

1. 【2016高考山东文数】观察下列等式：

22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯； 2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553

----+++=⨯⨯； 2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773

----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； 2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993

----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； ……

照此规律，2222π2π3π2π(sin

)(sin )(sin )(sin )21212121

n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________．

2. 【2015高考广东，理8】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）

A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3

3.【2014山东.理4】 用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02

=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）

A.方程02=++b ax x 没有实根

B.方程02=++b ax x 至多有一个实根

C.方程02=++b ax x 至多有两个实根

D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根

4. 【2015高考北京，理20】已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．

（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；

（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．

【反馈练习】

1．【2015-2016学年陕西延川县中学高二下学期期末数学（文）试卷】用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）

A ．有两个内角是钝角

B ．有三个内角是钝角

C ．至少有两个内角是钝角

D ．没有一个内角是钝角

2．【2016-2017学年江西南昌市高三新课标一轮复习一数学试卷】

用反证法证明命题“设3

()3||()f x x x a a R =+-∈为实数，则方程()0f x =至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）

A ．方程()f x 没有实根

B ．方程()0f x =至多有一个实根

C ．方程()0f x =至多有两个实根

D ．方程()0f x =恰好有两个实根

3．【2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25理数学试卷】 在用反证法证明命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()()222a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证时假设正确的是（ ）

A ．假设()()()222a b b c c a ---、、都小于1

B ．假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1

C ．假设()()()222a b b c c a ---、、都不大于1