反证法在证明题中的应用-高考数学解题模板
反证法在数学解题中的应用
反证法在数学解题中的应用我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。
一、反证法的逻辑基础证明命题“A B”时如果用这种方法：假设A∧B为真，在A且B的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与A矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而B成立(即A B成立)，这种方法就是反证法。
二、反证法的解题步骤第一步审题，弄清命题的前提和结论；第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础；第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾；第四步肯定原命题的正确性。
三、什么情况下考虑应用反证法1待证命题的结论是唯一存在性命题例1设方程x=p sin x+a有实根(0＜p＜1，a是实数)，求证实根唯一。
证明：假设方程存在两个不同实根x1，x2，则有x1=p sin x1+a，x2=p sin x2+ax1－x2=p sin x1－sin x2=2p cos x1+x22sin x1－x22由于cos x1+x22│≤1，从而有│x1－x2│≤2p│sin x1－x22│又sin x1－x22≤x1－x22，故x1－x2≤p x1－x2，但x1≠x2，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。
所以方程若有实根，则根唯一。
2采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。
例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。
分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。
证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。
所以AC和BD是异面直线。
3待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。
反证法在数学证明中的应用
它 的公 式 是 ： 不 是 Ａ．在 同 一 论 证 过 程 线相等 ， Ａ 那么这个三角形是等腰三角形．
中， 对同一对 象 的两 个互相 矛盾（ 立） 对 的 判断其 中至少有一个 是伪 的 ， 它的符号表
示 为 Ｐ＾Ｐ ．
反 证 法 证 明 问题 的 一般 步 骤是 和 结论 ． 第 二 步 ， 定 结 论 ， 出 反 设 ＿ 定 结 否 作 １ 限
连 结 Ｅ Ｃ 则 Ｇ、 Ｇ， Ｆ ＝ Ｅ Ｃ ，且 四边 ＧＢ ＝Ｆ 形 Ｂ Ｇ 是 平 行 四 ＥＦ 三角形 ，
３ １． 一 ３ ５ ＋ ： ２ ＋Ｌ ４． Ｂ
是： 或者是 Ａ或者是 ， 排除了第三种情况 则 ＡＣ Ａ Ｃ 曰＜ Ｂ ． 的可能 ，在数学论证 中常常根据排中律进
行 推理 ． 同一 论证 过 程 中 ， 同 一 对 象 的 在 对 两个 互 相 矛 盾 的判 断 ， 能 同 为伪 ， 中必 不 其
・
．
・ Ｅ Ｃ 是 ＡＡ Ｃ ／ＡＣ Ｂ 、Ｆ Ｂ 、 Ｂ的平分线， ＿
反 证 法 是 一 种 间接 证 明 方 法 ， 肯 定 即
论不成 立 ， 结论 的反 面一定 成立 ． 则 如果 种 反设 ；如果结论的反面不止 一种 情况 ，
Ｃ
命 题 的题 设 而 否 定 其 结 论 ， 后 从 被 否 定 结论 的反 面只有一种情况 ， 然 则只须作 出一
二、 反证法 的逻辑原理
法 来证 明的 ， 如“ 例 过直线 外一 点只有该
本文就反证 法的定义 、逻辑原理 、 证 明模式和步骤作 出较 为深刻 的说 明 ， 并通 过对 一些典 型例题 的证 明来 说明反 证法
反证法应用举例
反证法应用举例李新良反证法是数学学习中常用的一种方法，而且有很多命题只能用它去证明。
反证法在立体几何中用得最多，课本中有很多定理如直线和平面的平行判定定理、平面和平面的平行判定定理等都是采用反证法来证明的。
一. 证明两条直线是异面直线例1. 求证：分别和两条异面直线AB 和CD 同时相交的直线AC 、BD 是异面直线。
证明：如图1所示，假设AC 和BD 不是异面直线，则AC 和BD 在同一平面内。
设这个平面为α，由AC BD ⊂⊂αα，，知A 、B 、C 、D ∈α，故AB CD ⊂⊂αα，。
这与AB 和CD 是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC 和BD 是异面直线。
图1二. 证明有关“唯一性”的命题例2. 已知a 与b 是异面直线，求证：过a 且平行于b 的平面只有一个。
证明：如图2所示，假设过直线a 且平行于直线b 的平面有两个，分别为α和β。
在直线a 上取点A ，过b 和A 确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A 的直线c 、d 。
由b//α，知b//c 。
同理b//d ，故c//d 。
这与c 、d 相交于点A 矛盾，故假设不成立。
原结论成立。
图2三. 证明直线在平面内例3. 已知直线a ⊂平面α，点A ∈平面α，直线AB//a ，求证：A B ⊂α。
证明：如图3所示，假设 AB 不在平面α内。
因为A ∈α，所以AB A α=。
由于a ⊂α，从而由异面直线判定定理知AB 与a 是异面直线，这与AB//a 矛盾。
因此假设不成立，故A B ⊂α。
图3四. 证明直线与平面的位置关系例4. 求证：两条平行线中一条直线与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交。
已知：a b a A //，平面， α=如图4所示。
求证：直线b 和平面α必相交。
图4证明：假设b 和平面α不相交，即b b ⊂αα或//（1）若b ⊂α，因为a b a //，⊄α，所以a//α，这与a A α=相矛盾。
（2）如图5所示，如果b//α，因为a//b ，所以a 和b 确定一个平面β，显然平面α与平面β相交。
高中数学反证法方法与例题
变式 1 设 a3 b3 2 ，求证 a b 2.
证明 假设 a b 2 ，则有 a 2 b ，从而 a3 8 12b 6b2 b3 , a3 b3 6b2 12b 8 6(b 1)2 2.
因为 6(b 1)2 2 2 ，所以 a3 b3 2 ，
即
2
a b
b c
b a
c b
k
恒成立，故
2
a b
b c
b a
c b
|min
k
，
又 2 a b b c 2 2 a b b c 4 ，所以 k 4，即最大的正整数 k 为 4.
bc ab
bc ab
谢谢大家！
又∵0 < a, b, c < 1∴ 0 (1 a)a
(1 a) a 2
2Hale Waihona Puke 1 4同理： (1 b)b
1
,
(1 c)c 1 ，以上三式相乘：
4
4
(1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 1 64
与①矛盾，∴原式 成立．
变式 3 设数列{an}是公比为 q 的等比数列，Sn是它的前 n 项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
q2 pr 0 ∵p，q，r∈N，∴
2q p r 0 ∴ ( p r )2 pr ，(p－r)2＝0，∴p＝r，与 p≠r 矛盾．
2
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
2.反证法的证明步骤：
①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立； ②推出矛盾：由结论反面成立出发， 通过一系列正确的推理，导出矛盾； ③否定假设：由正确的推导导出了矛盾， 说明假设不成立； ④肯定结论：原命题正确．
高考数学复习点拨 反证法要点解密
反证法——要点解密反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。
一般用于直接证明条件较少，关系不明确，问题形式较抽象，而其反面较具体、较容易发现入手点等，正所谓“正难则反”，这也是转化思想的体现。
1． 反证法证题的基本步骤（1）反设：假设原命题的结论不成立，即其反面成立；（2）归谬：以命题的条件和所作的假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）否定假设得出欲证结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
注：这里所说的矛盾常常有以下四种情形：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与已知的定义、定理、公理矛盾；自相矛盾。
2． 反证法解决的常见题型： （1）否定性问题： （2）存在性问题； （3）唯一性问题： （4）分类性问题。
例1 若,x y ∈{正整数}，且2x y +>。
求证：12xy+<或12y x +<中至少有一个成立。
分析：注意到“至少”字样，可考虑用反证法证明。
证明：假设12xy+≥与12y x +≥同时成立， 又0,0x y >>，∴12,12.x y y x +≥⎧⎨+≥⎩将以上两式相加得2x y +≤，这与已知条件2x y +>矛盾，因此假设不成立。
故12xy+<或12y x +<中至少有一个成立。
导评：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若p 则q 为真”，该证“若p 则q ⌝为假”，因此，反证法的核心是从q ⌝出发导出矛盾。
例2 设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠中的a 、b 、c 均为整数，且()0f 、()1f 均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根。
分析：若直接证明否定性命题比较困难，故运用反证法处理。
证明：假设方程()0f x =有一个整数根k ，则20ak bk c ++=。
① ∵()0f c =，()1f a b c =++均为奇数，∴ a b +必为偶数，当k 为偶数时，令()2k n n Z =∈，则()224222ak bk n a nb n na b +=+=+必为偶数，与①式矛盾；当k 为奇数时，令()21k n n Z =+∈，则()()2212a k b k n n a a b +=+++为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与①式矛盾。
浅谈“反证法”在高中数学的应用
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
反证法在数学解题中的应用
反证法在数学解题中的应用
反证法是一种有效的数学证明方法，通常用于证明一个命题的否定。
其基本思想是通过假设命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
以下是反证法在数学解题中的一些应用：
1.证明一个命题的否定。
反证法常用于证明一个命题的否定，即假设原命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
例如，在证明“一个三角形中至少有一个角大于等于90度”这个命题时，可以通过反设每个角都小于90度，然后推导出矛盾来证明原命题。
2.唯一性证明。
反证法也可以用于证明某个命题的唯一性，即假设存在多个满足条件的对象，然后推导出矛盾，从而证明原命题的唯一性。
例如，在证明“一个多项式方程只有一组解”这个命题时，可以通过假设存在多组解，然后推导出矛盾来证明原命题。
3.反例构造。
在数学中，有些命题需要通过构造反例来证明其不成立。
反证法可以用于构造反例，即假设原命题成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题不成立。
例如，在证明“对于任意正整数n，都存在一个正整数m，使得m^2=n^2+1”这个命题时，可以通过反设不存在这样的m，然后推导出矛盾来证明原命题不成立。
需要注意的是，反证法不是万能的，它不适用于所有的数学问题。
在使用反证法时，需要注意逻辑的严谨性和细节的准确性。
人教A版高中数学高二版选修2-2 2.2反证法可用来解决哪些问题
反证法可用来解决哪些问题一、证明几何量之间的关系例1. 如图，设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点。
求证：AC 与平面SOB 不垂直。
分析:结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。
证明:假设AC ⊥平面SOB ，∵ 直线SO 在平面SOB 内， ∴ AC ⊥SO ，∵ SO ⊥底面圆O ， ∴ SO ⊥AB ，∴ SO ⊥平面SAB ， ∴平面SAB ∥底面圆O ，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC 与平面SOB 不垂直。
否定性的问题常用反证法。
例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。
上面所举的例子，用直接证法证明比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。
二、证明“唯一性”问题例2：试证明：在平面上所有通过点)0,2(的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x 、y 均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。
证明：先证存在性。
因为直线0=y ，显然通过点)0,2(，且直线0=y 至少通过两个有理点，例如它通过)0,0(和)0,1(。
这说明满足条件的直线有一条。
再证唯一性。
假设除了直线0=y 外还存在一条直线b kx y +=（0≠k 或0≠b ）通过点)0,2(，且该直线通过有理点A ),(11y x 与B ),(22y x ，其中1x 、1y 、2x 、2y 均为有理数。
因为直线b kx y +=通过点)0,2(，所以k b 2-=，于是)2(-=x k y ，且0≠k 。
又直线通过A ),(11y x 与B ),(22y x 两点，所以)2(11-=x k y ， ①)2(-=x k y ②①－②，得)(2121x x k y y -=- ③因为A 、B 是两个不同的点，且0≠k ，所以21x x ≠，21y y ≠， 由③，得2121x x y y k --=，且k 是不等于零的有理数;由①，得ky x 112-=. 此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。
高中数学反证法解题技巧
高中数学反证法解题技巧高中数学中，反证法是一种重要的解题方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在解题过程中，灵活运用反证法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将从几个具体的题目入手，介绍高中数学中常见的反证法解题技巧，并给出详细的解题思路和步骤。
一、证明两直线平行的反证法题目：已知直线l1和直线l2，证明若l1与l2的斜率相等，则l1与l2平行。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设l1与l2不平行，即l1与l2有交点A。
由于l1与l2的斜率相等，所以l1与l2的斜率分别为k。
设直线l1的方程为y = kx + b1，直线l2的方程为y = kx + b2。
由于直线l1与l2有交点A，所以A点的坐标(x0, y0)同时满足l1和l2的方程。
代入l1的方程可得y0 = kx0 + b1，代入l2的方程可得y0 = kx0 + b2。
由此可得b1= b2，即l1与l2的截距相等。
然而，根据直线的性质，不平行的两条直线的截距必不相等。
因此，假设不成立，即l1与l2平行。
二、证明存在无理数题目：证明存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设所有平方根都是有理数，即对于任意实数x，若x的平方是有理数，则x是有理数。
设x是一个无理数，即x不是有理数。
根据假设，x的平方是有理数。
那么根据平方根的性质，x的平方根也应该是有理数。
然而，这与x是无理数的前提相矛盾。
因此，假设不成立，存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。
三、证明存在无穷多个素数题目：证明存在无穷多个素数。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设存在有限个素数p1,p2, ..., pn，它们是所有素数的完全列表。
考虑数M = p1 * p2 * ... * pn + 1，显然M大于p1, p2, ..., pn。
根据素数的定义，M要么是素数，要么可以分解为素数的乘积。
高考数学解题方法-反证法-含答案
高考数学解题方法-反证法-含答案反证法一、填空题1. 用反证法证明命题"三角形的内角中至少有一个钝角"时反设是．2. 用反证法证明“如果，那么”，假设的内容是．3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于”时，与命题结论相矛盾的假设为．4. 用反证法证明命题“如果，，那么”，证明的第一个步骤是．5. 用反证法证明命题时，其结论为“直线在平面内”，那么假设的内容是．6. 用反证法证明命题“若正整数，，满足，则，，中至少有一个是偶数”时，反设应为．7. 用反证法证明命题："若整数系数一元二次方程：有有理根，那么中至少有一个是偶数"时，第一步应假设．8. 用反证法证明"一个三角形至少有两个锐角"，则反设是．9. 否定＂自然数，，中恰有一个偶数＂时，正确的反设是．10. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，则不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设，，中的两个角是直角，不妨设．正确顺序的序号排列为．11. 用反证法证明"若，则 "时，第一步反设应为．12. 命题“关于的方程的解是唯一的”的结论的否定是．13. 用反证法证明命题：“如果，，可被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设的内容应为．14. 用反证法证明命题"若实数满足，则中至少有一个是非负数"时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是．15. 用反证法证明“若，则或”时’应假设．16. “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是．17. 用反证法证明命题："如果，是奇数，那么方程没有整数根"时，应该提出的假设是．18. 用反证法证明命题“若，是实数，且，则”时，应作的假设是．19. 和两条异面直线，都相交的两条直线，的位置关系是．20. 已知函数，，．对任意都有，且是增函数，则．二、解答题21. 已知，，．求证：，中至少有一个不小于．22. 设函数中，均为整数，且均为奇数．求证：无整数根．。
在证明题中如何使用反证法？
证明：（用反证法证明）
设在素不少于两个的群<G, >中存在零元 。对 a G, 由零元的定义有 a* = 。
<G, >是群， 关于*消去律成立。 a=e。即G中只有一个元素，这与|G| 2矛盾。故在元素不少于两个的群中不存在零元。
例3 在一个群<G,*>中，若A和B 都是G的子群。若A B=G，则A=G或B=G。
C H1 H2 … Hn P P
其中H1是某个已知条件，Hi(2≤i≤m)或者是某个已知条件，或者是由已知条件和前面的中间结论按照定理或公理推导出来的中间结论， C是命题结论的否定。
ห้องสมุดไป่ตู้
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程虽然没有固定的模式，但必须从结论的否定出发。反证法的逻辑基础是形式逻辑的排中律，命题结论C和它的否定 C中一个且只有一个为真，从而如果 C为假，那么C必为真。这里的P P是一个永假式，导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与结论的否定矛盾；自相矛盾。
例4 设T=<V,E>是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在两片树叶。
问题解析：命题结论“T中至少存在两片树叶”的否定是“T中至多只有一片树叶”。我们希望能推出一个与树的性质矛盾的结论。树叶就是度中树中度为1的顶点，其余的顶点度数就大于等于2，且树的边数等于顶点数减1。欧拉握手定理把顶点的度数和边数联系起来。按照这样的思路我们想法得出两个相互矛盾的结论。这样我们就完成了用反证法证明的整个推理过程。
例2 证明在元素不少于两个的群中不存在零元。
问题解析：命题结论中含有“不存在”，故它的否定是“存在”。命题结论的反设是：在元素不少于两个的群中存在零元。现在要由零元的性质推出矛盾。在反证法的实施过程中，推出两个相互矛盾的中间结论是非常重要的。一般都是推出与某个已知条件的矛盾。但已知条件可能不止一个，这时一般选择比较特殊的条件，像本题中的“元素不少于两个”。然后就像直接证法一样进行思考，直到得到两个相互矛盾的结论（在本题中，就是“元素只有一个”和“元素不少于两个”）。这样我们就完成了用反证法证明的整个推理过程。
人教版数学备课资料例谈反证法在解题中的应用.
例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.一、证明“至多”或“至少”问题例１ 已知函数()f x 对其定义域内的任意两个实数a b ，，当a b <时，都有()()f a f b <．求证：至多有一个实数x 使得()0f x =．证明：假设存在两个不等实数12x x ，，使得12()()0f x f x ==．()*不妨设12x x <，由条件可知12()()f x f x <，与()*式矛盾．故至多有一个实数x 使得()0f x =．二、证明“不可能”问题例2 给定实数0a a ≠，，且1a ≠，设函数11()1x y x x ax a-=∈≠-R ，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．证明：假设函数图象上存在两点12M M ，，使得直线12M M 平行于x 轴．设111222()()M x y M x y ，，，且12x x ≠．由120M M k =，得212121212121111110(1)(1)x x y y ax ax a x x x x ax ax -------===----， 解得1a =．与已知1a ≠矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴.例3 双曲线1xy =的两支为12C C ，，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上．求证：P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上．证明：假设正三角形的三顶点P Q R ，，位于双曲线同一支如1C 上，其坐标分别为112233()()()x y x y x y ，，，，，，不妨设1230x x x <<<，则一定有1230y y y >>>．于是222PQ QR PR ++222222122313122313[()()()][()()()]x x x x x x y y y y y y =-+---+-+---212321232()()2()()0x x x x y y y y --+--<．因此，222PQ QR PR +<．这说明PQR △是钝角三角形，与PQR △为正三角形矛盾．故P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上．三、证明“存在性”或“唯一性”问题例4 已知函数2()f x ax bx c =++的图象过点(10)-，．问是否存在常数a b c ，，，使不等式21()(1)2x f x x +≤≤对一切实数x 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．解：假设存在符合条件的a b c ，，． ()f x ∵的图象过(10)-，， (1)0f -=∴，即0a b c -+=．又21()(1)2x f x x +∵≤≤对一切实数都成立， 令1x =，则211(11)12a b c +++=≤≤． 1a b c ++=∴，12b =∴，12a c +=． 211()22f x ax a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭∴． 由2()1()(1)2f x x f x x ⎧⎪⎨+⎪⎩，，≥≤得221102211022ax x a a x x a ⎧⎛⎫-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，①．②≥≤ 据题意，对于任意实数x ，①与②都成立．对于①，若0a =，则1x ≤，不合题意；若0a >，欲使①的解集为R ，则需00a >⎧⎨⎩∆，，≤即0114042a a a >⎧⎪⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩，．≤解得14a =． 对于14a =，再考虑②，把14a =代入②，得2210x x -+≥，其解集为R ． 所以，存在满足条件的abc ，，，其中1142a cb ===，．。
反证法的妙用
反证法的妙用房县二中何荣反证法是数学中一种重要的证明方法，也是一种间接的证明方法。
当一些命题不易从正面直接证明时，反证法便成了我们常采用的方法。
那么反证法适用于哪些范围呢？下面我们不妨来探讨探讨。
一、证明结论为否定形式的命题结论中以“不是”、“不存在”、“没有”或“不能”等形式出现的命题，直接证明一般难以入手，而用反证法确能成功证明。
例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。
求证：AC 与平面SOB不垂直。
【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。
SCA OB【注】否定性的问题常用反证法。
例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。
二、证明“至多”“至少”型命题适用于某些存在性命题和限定式命题的证明例2. 若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0， x2＋(a－1)x＋a2＝0, x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。
试求实数a的取值范围。
【分析】三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。
先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。
【解】设三个方程均无实根，则有：()()()解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆02440410344162322221a a a a a a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-023112123a a a a 或 即：123-<<-a 所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根。
【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。
本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R ），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a 的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。
高中数学 第三章 推理与证明 3.4 反证法在解题中的应
反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的方法。
运用反证法，不仅能培养学生的数学思维能力,而且能提高学生的分析与解题能力，本文结合典型例题介绍适宜用反证法证明的三类问题。
一、当命题的结论涉及“至多有一个”“至少一个”时可考虑用反证法基本思想所谓“至多有一个”就是指的“只有一个”或“没有”，它的相反的情形应是“有两个”或“更多”；所谓“至少有一个”就是“有一个”或“更多”，它的相反的情形应是“没有”，这时候适合采用反证法思想。
例1已知三个关于的方程：，，中至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围．解：设三个关于的方程均无实数根，则解①，得；解②，得，或；解③，得．取①，②，③的交集，即不等式组的解集为．则使三个方程中至少有一个方程有实根的实数的取值范围应为C U M，即．点评：本题虽然不是一道证明题,但解题的基本思想和反证法有相似之处.二、正面繁琐或困难时宜用反证法如果从正面来求解困难或得不到解答，则从对立面来考虑，假设结论不成立，通过正确推理引出矛盾，最后肯定原来结论．例2设()f x 与()g x 是定义在实数集R 上的函数，证明：存在,[0,1]x y ∈时，1()()4xy f x g y --≥． 证明：若对任意的,[0,1]x y ∈，都有1()()4xy f x g y --< 令0,0x y ==，则1(0)(0)4f g +<，令1,0x y ==，则1(1)(0)4f g +< 令0,1x y ==，则1(0)(1)4f g +<，当1x y ==，则11(1)(1)4f g --< ①而1(1)(1)1[(1)(0)][(0)(0)][(0)(1)]f g f g f g f g --=-+-+-+ 1[(1)(0)][(0)(0)][(0)(1)]f g f g f g ≥-+-+-+ 1[(1)(0)][(0)(0)][(0)(1)]f g f g f g ≥-+-+-+ 111114444>---= ② ②式与①式矛盾．所以存在,[0,1]x y ∈时，1()()4xy f x g y --≥． 点评：如果遇到从正面入手不易解决的情况，这时采用“正难则反”的策略，则可使问题迅速获解．证明题就是用反证法.三、唯一性命题可考虑用反证法若命题的结论是表示“唯一存在的”，宜采用反证法例3（06年高考广东卷20题）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ（Ⅰ）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ；(Ⅱ)设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的; (Ⅲ)设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式||1||121x x LL x x k k lk --≤-++。
高考数学复习点拨 反证法的应用情境
反证法的应用情境反证法不是直接证明命题结论正确，而是通过证明结论反面不正确，来说明结论的正确性．因而如果“结论的反面”比结论本身更具体、更明确、更简单，则适宜用反证法．主要有以下几种类型：一、正面繁琐或困难时宜用反证法例1 设函数()f x 的定义域是[01]，，(0)(1)f f =，且对任意的12[01]x x ∈，，，12x x ≠，均有2121()()2f x f x x x -<-，求证：对任意的12[01]x x ∈，，，12x x ≠，均有21()()1f x f x -<． 分析：若用直接法，需分类讨论，于是可考虑使用反证法．证明：（反证法）假设12[01]x x ∈，，，12x x ≠，使得21()()1f x f x -≥．不妨设12x x >，则21211()()[()(0)][(0)()]f x f x f x f f f x -=-+-≤21()(0)(0)()f x f f f x -+-≤212112202122222()x x x x x x <-+-=+-=--． 所以12102x x <-<，故由条件可得21211()()2212f x f x x x -<-<⨯=． 这与假设矛盾，故原命题成立．点评：当命题“结论反面”比“结论”更明确具体时，可采用反证法．本题的结论的反面只有一种情况，故推翻此种情况就达到证明目的，本题运用了212121()()[()(0)][(0)()]()(0)(0)()f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+--+-≤．二、当命题的结论涉及“至少”“至多”“无限”时，可考虑用反证法例2 设有八个密封的乒乓球盒子，每个盒子里最多可以放六个球,试证明至少有两个盒子里放的乒乓球的个数相等.证明：假设八个乒乓球盒子里的乒乓球的个数都不相等,那么每个盒子里放的乒乓球的个数只能是零个、一个、二个、三个、四个、五个、六个、七个.这说明至少有一个盒子里放的乒乓球的个数有七个,这就与题设条件"每个盒子里最多可以放六个乒乓球"相矛盾.故至少有两个盒子里放的乒乓球的个数相等.三、唯一性命题可考虑用反证法例3 求证：方程512x =的解是唯一的．证明：由对数的定义易得，15log 12x =是这个方程的一个解．假设这个方程的解不是唯一的，它还有解212()x x x x =≠，则2512x =．1512x =∵，则21515x x =，即2151x x -=．①由假设，得210x x -≠，从而：当210x x ->时，有2151x x ->；②当210x x -<时，有2151x x -<．③显然，②，③与①都矛盾，这说明假设不成立．所以原方程的解是唯一的.点评：有关存在性与唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法．“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”，“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”．有时问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，也可考虑应用反证法.。
“反证法”证明题中的应用
“反证法”证明题中的应用【摘要】在数学问题的证明中,反证法是一种重要的证明方法,用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定-推理-反驳-肯定”.【关键词】反证法存在性否定性唯一性证明矛盾在数学问题证明中,反证法是一种重要的证明方法,反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命题.要证命题“若A则B”正确,途径之一是证与其等价的逆否命题正确.即从否定B出发,作出一系列正确、严密、合乎逻辑的推理,最后推出与A矛盾的结论,即原命题得证.用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定-推理-反驳-肯定”四个步骤.下面通过不同的例题来说明反证法应用.1.存在性命题例1：证明任何大于1的整数一定有素因子.分析：用反证法,首先要找出问题的否定形式,即否命题.本题结论的反面是：至少存在一个大于1的整数没有素因子,我们设法导出矛盾.证明：假设有一个大于1的整数A没有素因子,则A本身一定不是素数,又A>1,故A为合数,则它一定有一个异于1和A的真因子B,故而A>B>1,且B也不是素数（否则B为A的素因子）,同理B又有一个素因子C,满足A>B>C>1,且C亦不为素数,由此我们得到A>B>C>D>等>1,也就是说,在A和1之间有无穷多个正整数,这当然是不可能的,故而假设不成立,原命题获证.例2：证明：A,B,C,D,E五数之和等于5,则其中必有一个不小于1.分析：这个问题看上去很简单,但是要直接证明却不容易.那么应用反证法,就可以轻松获证.证明：假设A,B,C,D,E都小于1,那么A+B+C+D+E<1×5=5所以5个数都小于1不成立,故必有一个数不小于1.即原命题是正确的.2.否定性命题例3：设平面上有六个圆,每个圆的圆心都在其余各圆的外部.试证明：平面上任一点都不会同时在这六个圆的内部.分析：直接证明某点在哪些圆的内部,在哪些圆的外部,无法办到,故用反证法.证明：假设平面内有一点M同时在这六个圆的内部.为了方便,我们把绕M的六个圆心从某个开始按顺时针方向分别记为A、B、C、D、E、F,连结MA、MB、MC、MD、ME、MF（如图1）.考虑△AMB,M在⊙A内,B在⊙A外,所以有AB>AM,同理,AB>BM,即在△AMB,AB大于其他两边.由“大边对大角”知,∠AMB>∠ABM,同理,∠AMB>∠BAM.所以。
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【高考地位】 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。
它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.
【方法点评】
类型一 证明“至多”或“至少”问题 使用情景：证明“至多”或“至少”问题． 解题模板：第一步 首先假设命题不成立；
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例1. 若,x y ∈{正整数}，且2x y +>。
求证：12x y +<或12y x
+<中至少有一个成立。
【变式演练1】若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2
＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。
则实数a 的取值范围为________。
类型二 证明“不可能”问题
使用情景：证明“不可能”问题．
解题模板：第一步 首先假设命题不成立；
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例2.给定实数0a a ≠，，且1a ≠，设函数11()1x y x x ax a
-=
∈≠-R ，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．
【变式演练2】如图，设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点。
求证：AC 与平面SOB 不垂直。
类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题
使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题．
解题模板：第一步 首先假设命题不成立；
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例3.求证：方程512x
=的解是唯一的．
【变式演练3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的假设为（）
A ．自然数c b a ,,都是奇数
B ．自然数c b a ,,都是偶数
C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数
D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数
【高考再现】
1. 【2016高考山东文数】观察下列等式：
22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯； 2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553
----+++=⨯⨯； 2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773
----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； 2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993
----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； ……
照此规律，2222π2π3π2π(sin
)(sin )(sin )(sin )21212121
n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________．
2. 【2015高考广东，理8】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）
A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3
3.【2014山东.理4】 用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02
=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A.方程02=++b ax x 没有实根
B.方程02=++b ax x 至多有一个实根
C.方程02=++b ax x 至多有两个实根
D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根
4. 【2015高考北京，理20】已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．
（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；
（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．
【反馈练习】
1．【2015-2016学年陕西延川县中学高二下学期期末数学（文）试卷】用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）
A ．有两个内角是钝角
B ．有三个内角是钝角
C ．至少有两个内角是钝角
D ．没有一个内角是钝角
2．【2016-2017学年江西南昌市高三新课标一轮复习一数学试卷】
用反证法证明命题“设3
()3||()f x x x a a R =+-∈为实数，则方程()0f x =至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A ．方程()f x 没有实根
B ．方程()0f x =至多有一个实根
C ．方程()0f x =至多有两个实根
D ．方程()0f x =恰好有两个实根
3．【2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25理数学试卷】 在用反证法证明命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()()222a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证时假设正确的是（ ）
A ．假设()()()222a b b c c a ---、、都小于1
B ．假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1
C ．假设()()()222a b b c c a ---、、都不大于1
D ．以上都不对
4．【2015-2016学年山东枣庄三中高二6月调查数学（理）试卷】
用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
A. 假设三内角都不大于60度
B. 假设三内角都大于60度
C. 假设三内角至多有一个大于60度
D. 假设三内角至多有两个大于60度
5．【2015-2016学年福建晋江平山中学高二下学期期中数学（文）试卷】
用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为
A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a ，b ，c 都是奇数
D ．a ，b ，c 都是偶数
6．【2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25理数学试卷】
已知二次函数()()20f x ax bx c a =++>的图象与x 轴有两个不同的交点，若()0f c =，且0x c <<时，()0f x >．
（1）证明：
1a
是()0f x =的一个根； （2）试比较1a 与c 的大小； （3）证明：21b -<<-．
7．【2015-2016学年山东曲阜师大附中高二下学期期中数学（理）试卷】
（167225>（2）110,0,2,.b a a b a b a b
++>>+>已知且求证：和中至少有一个小于2
8．【2015-2016学年江苏连云港东海县房山高级中学高二下期中文数学试卷】用反证法证明命题“三角形的3个内角中至少有2个锐角”时，假设的内容是。