一高等数学下册测试题一

一高等数学下册测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分） 1） 设有直线 2） 3210

:21030

x y z L x y z +++=⎧⎨

--+=⎩

3） 及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （C ）

4） A 、平行于平面πB 、在平面π上C 、垂直于平面πD 、与平面π斜交

5） 二元函数()()()()()

22

,0,0,0,0,0xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪

+=⎨⎪=⎩

在点()0,0处（C ）

6） A 、连续、偏导数存在B 、连续、偏导数不存在 7） C 、不连续、偏导数存在D 、不连续、偏导数不存在 8） 设()f x 为连续函数，()()1t t

y F t dy f x dx =⎰⎰，则()2F '=（B ） 9） A 、()22f B 、()2f C 、()2f -D 、0 10） 分析：改变积分次序，可得

11） ()()()()()()()11111t

x

t

F t dx f x dy x f x dx F t t f t '==-⇒=-⎰⎰⎰ 12） ()()22F f '=

13） 设∑是平面123

x y z ++=由0,0,0x y z ≥≥≥所确定的三角形区域，曲面积分()326x y z dS ∑

++=⎰⎰（D ）

14） A 、7B 、

21

2

C 、14

D 、21 15） 微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应具有形式（B ） 16） A 、x ae b +B 、x axe b +C 、x ae bx +D 、x axe bx +

二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1） 设平面经过原点及点()6,3,2-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为 2）

2230

x y z +-=。

3） 设arctan

1x y

z xy

-=+

，则(1,

dz =

1124

dx dy -。

4） 设L 为221x y +=正向一周，则2

x

L

e dy =

⎰Ñ(

)

2

2

2

1

200x x y xe dxdy +≤-=⎰⎰

。

5） 设圆柱面223x y +=，与曲面z xy =在点()000,,x y z 点相交，且他们的交角为6

π

，则正数0z

=

4

。

6） 设一阶线性非奇次方程()()y P x y Q x '+=有两个线性无关的解

12,y y ，若12y y αβ+（,αβ为常数）也是该方程的解，则应有

αβ+=1

。

三、（本题7分）设由方程组cos sin u

u

x e v

y e v

⎧=⎪⎨=⎪⎩确定,u v 关于,x y 的函数，求u x ∂∂及v

x

∂∂和v y ∂∂。

解：利用全微分的不变性

()()1cos 2sin v v ⨯+⨯可得cos sin cos sin u u u v v

e du vdx vdy du dx dy e e =+⇒=

+ ()()1sin 2cos v v ⨯-⨯可得sin cos sin cos u u u v v

e dv vdx vdy dv dx dy e e

-=-⇒=-+

所以

cos sin cos ,,u u u u v v v v v

x e x e y e

∂∂∂==-=∂∂∂ 四、已知点()1,1,1A 及点()3,2,1B -，求函数()3ln 32u xy z =-在点A 处

沿AB u u u r

方向的方向导数。

解：{}2122,1,2,,33

3AB AB AB ⎧⎫=-⇒=-⎨⎬⎩⎭u u u r

u u u r u u u r

五、（本题8

分）计算累次积分24112211x x

y

y x dx e dy dx e dy y y

+⎰⎰⎰。 解：改变积分次序 原式()2

2

22

222

222

1111

y

x

x y

y y y

y

y dy e dx e

dy e e dy e e e e y ⎡⎤===-=-+=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎰⎰⎰⎰ 六、（本题8分）计算I zdxdydz Ω

=⎰⎰⎰，其中Ω由柱面221x y +=及平面

0,1z z ==围成的区域。

解：用切片法较好。

原式1

21

0022

z zdz πππ⎡⎤===⎢⎥

⎣⎦⎰ 七、（本题8分）计算()32x y z dS ∑

++⎰⎰，其中∑是抛物面222z x y =+被

平面2z =所截下的有限部分。 解：∑在xoy 面上的投影xy D 为224x y +≤

原式(

)32

2212xy

D x y x y ⎛=++

+ ⎝

⎰⎰ 注：这里利用了对称性简化计算：

八、（本题8分）计算222

224cos cos L x x x x x dx dy y y y y ⎛⎫+- ⎪⎝

⎭⎰，L 是点,22A ππ⎛⎫ ⎪

⎝⎭到点(),2B ππ在上半平面()0y >上任意逐段光滑曲线。

解：因为222

224cos ,cos x x x x P x Q y y y y

=+=-

2322322cos sin P x x x x Q

y y y y y x

∂∂=-+=∂∂在上半平面成立，所以此曲线积分在上半平面内与路径无关。