广东省实验中学2020届高三年级第二次阶段考试(理数)

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广东省实验中学2020届高三年级第二次阶段考试(理综)

广东省实验中学2020届高三年级第二次阶段考试理科综合本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分300分，考试时间：150分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于细胞能源物质的叙述正确的是A．动物细胞中，糖原是唯一能够储存能量的物质B．等质量脂肪氧化分解释放的能量比糖少C．运动时肌肉细胞中ATP的消耗速率远高于其合成速率D．ATP的高能磷酸键全部断裂后的产物是磷酸和腺嘌呤核糖核苷酸2．下列有关核糖体的叙述正确的是A．病毒蛋白质外壳是由宿主细胞的核糖体合成的B．细菌核糖体的形成与核仁密切相关C．人体的抗体由T细胞中的核糖体合成D．果蝇核糖体内的翻译过程在转录未完成时已开始3．下列关于物质出入细胞的叙述，错误的是A．神经递质从突触前膜中以胞吐方式排出B．甘油出入细胞的速率与细胞内外的浓度差和载体的数量无关C．葡萄糖进入红细胞需要载体蛋白的帮助，但不消耗能量，属于协助扩散D．用呼吸抑制剂处理细胞后葡萄糖进入小肠上皮细胞的速率会明显减慢4．下列有关酶的叙述正确的是A．一种酶只能催化一种（类）化学反应体现了酶的高效性B．酶的空间结构不受环境温度影响C．高温处理过后的蛋白酶与双缩脲试剂反应仍能生成紫色络合物D．ATP水解一般与吸能反应相关联，该过程需要酶提供活化能5．下列有关豌豆的叙述，正确的是( )A．萌发初期，种子的有机物总重量增加B．及时排涝，能防止根细胞受酒精毒害C．进入夜间，叶肉细胞内ATP合成停止D．叶片黄化，叶绿体对红光的吸收增多6．夏季晴朗的一天，甲、乙两株同种植物在相同条件下CO2吸收速率的变化如图所示。

下列说法正确的是A．甲植株在A点开始进行光合作用B．乙植株在E点有机物积累量最多C．曲线BC段和DE段下降的原因相同D．两曲线BD段不同的原因可能是甲植株气孔无法关闭7．化学无处不在，下列与化学有关的说法不正确的是A．侯氏制减法的工艺过程应用了物质溶解度的差异B．可用蘸浓盐酸的棉棒检验输送氨气的管道是否漏气C．用高锰酸钾溶液、酒精、双氧水杀菌消毒原理相同D．黑火药由硫磺、硝石、木炭三种物质按一定比例混合制成8．下列离子在指定环境中一定可以大量共存的是A．(NH4)2Fe(SO4)2的溶液中：Fe3+、C1－、B r－、K+B．加入铝粉产生H2的溶液中：NO3－、Mg2+、C1－、Ba2+C．0.lmol/L的NaHCO3溶液中：SO42－、AlO2－、NH4+、B r－D．滴加盐酸可以产生沉淀的溶液中：Ca2+、Na+、NO3－、K+9．设N A为阿伏加德罗常数的数值。

2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)

2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A. B.C.D.【答案】【解析】已知集合，，则（）．C ∵集合．集合，∴．故选．2.A.B.C.D.【答案】【解析】已知复数（为虚数单位，），若，则的取值范围为（）．A ，∴，又∵，则，∴ ．故选．3.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】【解析】算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为（）．D不妨设夏至到寒露依次为，，，∴数列为为等差数列，由题可知，，∴，∵，则，∴，故立秋的晷长为尺．故选．4.A.B.C.D.【答案】【解析】在中，已知，，且边上的高为，则（）．B 在中，面积，∴，由余弦定理可知，，∴，由正弦定理，得．故选．5.A.B.C.D.一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（）．【答案】【解析】D作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为，由，得，∵，∴，即，得，∴该圆锥的体积为．故选．6.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（）．B根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为，故选．7.A.B.C.D.【答案】【解析】已知双曲线的右焦点为，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，．若，则该双曲线的离心率为（）．D 由得，又∵在四边形中，，且，则四边形为正方形，∴，即，∴双曲线渐近线方程为，∴，即，∴，∴离心率．故选．8.A.B.C. D.【答案】【解析】已知四边形中，，，，，在的延长线上，且，则（）．A ABDCE在中，由余弦定理可知，，∴，由可知，，∴，在中，由正弦定理可知，，得，∴．故选．9.A.B.C.D.【答案】【解析】的展开式中，的系数为（）．C把的展开式看成个因式的乘积形式，从中任意选个因式，这个因式取，再取个因式，这个因式都取，剩余个因式取，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：．10.A.B.C.D.【答案】【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，关于的说法有：①函数的图象关于点对称；②函数的图象的一条对称轴是；③函数在上的最小值为；④函数在上单调递增．则以上说法正确的个数是（）．C 把函数的图象向右平移个单位长度，可得的函数图象，由横坐标缩短到原来的可得．①中，∵，，则不是的对称中心，故①错误；②中，当时，，故是的对称轴，故②正确；③中，当时，，，∴，则在内的最小值为，故③正确；④∵函数的周期，又因为正弦函数不会在一个周期内为单调增函数，故④错误；故选．11.A. B. C. D.如图，在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，连接．若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则（）．【答案】【解析】B 在矩形中，已知，是的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面时体积最大，此时三棱锥的高等于：，取的中点，过作下底面的垂线，此时三棱锥的外接球球心在上，∵三棱锥外接球的体积为，所以球半径，如图：，①，②即：，③，④联立③④可得．故选．12.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数，若函数有唯一零点，则的取值范围为（）．D 因为．令，则，所以当时，，即在上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除，故选．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】【解析】若，满足约束条件，则的最大值是．由不等式组可画出可行域如图，目标函数可化为，经平移可知直线过点时，在轴截距最大，由，得：，即，∴．故答案为：．14.【答案】【解析】已知，则．∵，∴，即，∴．故答案为：．15.【答案】【解析】从正方体的个面的对角线中，任取条组成对，则所成角是的有对．根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共条直线，则包含在内的符合题意的对角线有对；又由正方体个面，每个面有条对角线，共有条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有对，故答案为：．16.【答案】【解析】如图，直线过抛物线的焦点且交抛物线于，两点，直线与圆交于，两点，若，设直线的斜率为，则= ．∵，同理可得，∴．设，联立可得，∴，．∴，即，解．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.（1）（2）（1）【答案】已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式．若是等比数列，且，求数列的前项和．．（2）（1）（2）【解析】．由，得，∴，∵，∴，∴是以为公差的等差数列．又∵，∴．设的公比为，则，∴由（）知，又，∴∴，①，②①②得：∴．．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．频率组距质量指标值质量指标值频数（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】合计请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：，其中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取件产品，其中优质品数为件，求的分布列及数学期望．，．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计有的把握认为产品质量高与新设备有关．的分布列为．（1）（2）（3）【解析】估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计由列联表可得，，∴有的把握认为产品质量高与新设备有关．的所有可能取值为，，，．∵由知新设备所生产的优质品率为，∴，，，．∴的分布列为∴的数学期望为．19.（1）（2）（1）【答案】如图，四棱锥中，四边形是菱形，，．是上一点，且．设．证明：平面．若，，求二面角的余弦值．证明见解析．（2）（1）（2）【解析】．∵四边形是菱形，∴是的中点，，∵，，∴平面，∵平面，∴，∵，是的中点，∴，∵平面，平面，，∴平面．由知平面，．∴，，两两互相垂直，∴以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，，设四边形的边长为，，∵四边形是菱形，，∴和都是等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设二面角的平面角为，结合图象可知，，∴二面角的余弦值为．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知椭圆：的焦点为，，是椭圆上一点．若椭圆的离心率为，且，的面积为．求椭圆的方程．已知是坐标原点，向量，过点的直线与椭圆交于，两点．若点满足，，求的最小值．．．依据题意得，所以，所以，（2）因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：，联立，解得，，所以椭圆的方程为：．由题意可知直线的斜率显然存在，故设直线的方程为：，联立，消去并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数（），其中为自然对数的底数．若函数的极小值为，求的值．若，证明：当时，成立．．证明见解析．函数的定义域为，，当时，对于恒成立，∴在上单调递减，∴在上无极值．当时，令，得．∴当时，，当时，．∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，，∴取得极小值，即．令（），则．∵，∴，∴在上单调递增．又∵，∴．∵，∴，∴，令（），∴．令（），∴，令，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，取得极小值．又∵，，∴存在使得．∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又∵，∴，∴当时，，即．令（），则对于恒成立．∴在上单调递增．∴，即当时，，∴当时，．∴当时，．∴当时，成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】在直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求直线的直角坐标方程．已知是曲线上的一动点，过点作直线交直线于点，且直线与直线的夹角为，若的最大值为，求的值．．．由，（2）得，∴，∵，．∴直线的直角坐标方程为，即．依题意可知曲线的参数方程为：（为参数），设，则点到直线的距离为：，，∵，∴当时，，依题意得，∴的最大值为，即，∵，∴解得．选修4-5：不等式选讲23.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知函数．解不等式：．若，，均为正数，且，证明：．．证明见解析．，当时，，即，解得：；（2）当时，，满足题意；当时，，即，解得：．综上，不等式的解集为．由知，∴，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴．。

2020年广东省二模理科数学试题及答案

，
估计旧设备所生产的产品的优质品率为补充完整的列联表如下所示，
非优质品
新设备产品
30
旧设备产品
45
合计
75
优质品 70 55 125
．
合计 100 100 200
，
有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．由知，新设备所生产的优质品率为，而 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
，
，
，
．
的分布列为：
本题考查排列、组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
16.答案：
第 6 页，共 13 页
解析：解：由题意圆
的圆心为抛物线的焦点 F，
再由题意可得直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为：
，
，
设
，
，联立直线与抛物线的方程：
，
整理可得
，
，所以
，
由抛物线的性质可得：弦长
，
由题意可得为
正确命题的个数为 2．故选：C．
通过平移变换与伸缩变换求得函数的解析式．由
判断错误；由
求得最
小值判断正确；由 x 的范围求得函数值域判断调判断错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查
11.答案：B
正确；由 x 的范围可知函数在上不单型函数的图象与性质，是中档题．
解析：解：在矩形 ABCD 中，已知
故
，
．
由知，
，且
，
则
，
所以：
，
，
得：
，
，
所以
，．
解析：直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．利用乘公比错位相减法的应用求出结果．

广东省梅州市平远县实验中学2025届高三上学期第二次段考(8月)数学试卷

广东省梅州市平远县实验中学2025届高三上学期第二次段考（8月）数学试卷一、单选题1．已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z∣，则A B = （）A ．{}1,2,3B ．{}1,2-C ．{}2,3D ．{}0,1,2,3,42．在复平面内，复数()()3i 1i z =+-对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 4．sin15cos30sin 75︒︒︒的值等于（）A ．4B C ．18D ．145．已知α，β是平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是（）A ．若//m α，n αβ= ，则//m nB ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥6．已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上､3，则该球的表面积为（）A ．40πB ．20πC ．16πD ．37．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且仅有4个零点，直线π6x =为函数()y f x =图象的一条对称轴，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．12-C ．12D 8．在ABC V 中，0P 是边AB 上一定点，满足023P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则ABC V 为（）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形二、多选题9．已知二项式101x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（）A ．展开式中82x y -的系数为45B ．展开式中二项式系数最大的项是第5项C ．展开式中各项系数之和为1D ．展开式中系数最大的项是第5项或第7项10．已知函数π()2sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．4π()3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．π()6f x f x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭C ．()f x 在2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．函数3()2y f x =+在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有2个零点11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是111,AA A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（）A ．过B ，E ，F 三点的平面截正方体所得截面图形是梯形B ．存在点P ，使得1C P ⊥平面BEFC ．若点P 到直线BB 1与到直线AD 的距离相等，则点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．若直线D 1P 与平面BEF 无公共点，则点P三、填空题12．在ABC V 中，1cos ,7,87A AB BC =-==，则ABC V 的面积是．13．有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为.（用数字作答）14．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =，M 为棱11B C 的中点，当正四棱台的体积最大时，平面MBD 截该正四棱台的截面面积是.四、解答题15．已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2A m x n x x A ==>，函数()f x m n =⋅ 的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.16．已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为6397,6,15n S S a S ==.(1)求{}n a 的通项公式；(2)令212n an b =+，记n T 为数列的前n 项和，若2024n T ≥，求n 的最小值.17．三角形三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c1cos sin BA-=.(1)求角B 的大小；(2)若ABC VD 为BC 边的中点，当中线AD 的长最短时，求AC 边的长.18．如图，在圆柱12O O 中，,AD AB 分别为圆柱的母线和下底面的直径，C 为底面圆周上一点.(1)若M 为BC 的中点，求证：1//O M 平面ACD ；(2)若1,AC BC ==12O O 的体积为π，求二面角1B O C A --的正弦值.19．已知函数()()ln ,1,f x mx x x ∞=-∈+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()112em x f x x x -+≥-恒成立，求实数m 的取值范围.。

广东省实验中学2020届高三上学期第三次阶段考试数学(理)试题 Word版含答案

- 1 - 广东实验中学2020届高三级第三次阶段考试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分分，考试用时分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{},06|2<--=x x x A 集合{}1log |2<=x x B ，则=B A （） A ．)3,2(- B ．)3,(-∞ C ．)2,2(- D ．)2,0(2．己知i 是虚数单位，复数z 满足i zz =-1，则z 的模是( ) A ．1B ．21C ．22D ．2 3．若,2ln =a 215=b ，xdx c cos 2120⎰=π，则c b a ,,的大小关系( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b << 4．若12cos sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+-x x π，则=x 2cos （） A ．98- B ．97- C ．97 D ．1-5．)2,(--∞∈m 是方程165222=--+-m m y m x 表示的图形为双曲线的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．点p 是ABC ∆所在平面上一点，若AC AB AP 5352+=,则ABP ∆与ACP ∆的面积之比是( )A ．53B ．25C ．23D ．32。

2020届广东省广州市高三二模数学(理)试题(解析版)

设＝0的根为m，即有a＝2me2m， .
当0＜x＜m时，＜0，f（x）单调递减；当x＞m时，＞0，f（x）单调递增，
可得x＝m处f（x）取得极小值，且为最小值e2m﹣alnm，
由题意可得e2m﹣alnm a，即 alnm a，
化为m+2mlnm≤1，设g（m）＝m+2mlnm，＝1+2（1+lnm），
所以面NEMF∥平面BCC1B1，而EF 面MN，
所以EF∥平面BCC1B1，
所以要使EF∥平面BCC1B1，则动点F的轨迹为线段FN．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.
7．函数的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：如图,
在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为 ,
可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG .
设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,
则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,
在△PAE与△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.
则A∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1].
故选：B.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，考查函数定义域的求法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．已知复数，若是纯虚数，则b＝（）
A．﹣2B． C． D．1
【答案】A
【解析】根据复数的除法法则把化成复数的一般形式，然后由实部为零，虚部不等于零计算即可．

华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考(理数)

（Ⅰ）求在未来的 4 天中，有 2 天的日销售量低于 100 枝且另外 2 天不低于 150 枝的概率；
（Ⅱ）用表示在未来的 4 天日销售量不低于 100 枝的天
数，求随机变量的分布列和数学期望.
19. （本小题满分 12 分）
如图， AB 是圆 O的直径，点 C 是圆 O 上异于 A ，B的点，直线 PC 平面 ABC ，E，F分别是PA， PC 的中点.
a sin2x
b cos2x （ a ， b 为常数， a
0 ， x R ）在
处取得最大值，
x
12
则函数
y fx
是（***）
3
A. 奇函数且它的图象关于点 , 0 对称
B. 偶函数且它的图象关于点 , 0 对称
2
C. 奇函数且它的图象关于 x
对称
7. 已知函数 f x 的图象连续且在 2,
2
D. 偶函数且它的图象关于 x
BF (0, t,2),BD ( 4 t ,0,0)
2
.
…………6 分
设平面 DBF 的法向量为 m
(x, y,z) ，
ty 2z 0
m BF 0
则由
得
2
，取
得
．
y
m BD 0
tx
4
0
2
m
(0,2,t)
易知平面 BCD 的法向量 n (0,0,1)， …………8 分设二面角 E l C 的大小为，易知为锐角．
EF l //
．
……………3 分
而 l 平面 PAC,EF 平面 PAC ，
l//平面 PAC
．
……………………4 分
……12 分

2020年广东省高考数学二模试卷(理科)

2020年广东省高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜6}，集合B={x|x2＜4}，则A∩（∁R B）=（）A. {x|-1＜x＜2}B. {x|-1＜x≤2}C. {x|2≤x＜6}D. {x|2＜x＜6}2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数=（）A. B. C. D.3.在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（）A. 0.2B. 0.25C. 40D. 504.设向量与向量垂直，且=（2，k），=（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（）A.B.C.D.6.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.7.设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若B=C≠A，且b=2a cos A，则A=（）A. B. C. D.8.的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A. 30B. 80C. -50D. 1309.函数的部分图象不可能为（）A. B.C. D.10.若函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A. [0，+∞）B.C.D.11.已知高为H的正三棱锥P-ABC的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，若二面角P-AB-C的正切值为4，则=（）A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的方程f（f（x））=m有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围为（）A. [2，3）B. （2，3）C. [2ln2，4）D. （2ln2，4）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．14.若tan（α-2β）=4，tanβ=2，则=______．15.已知函数f（x）=3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为______16.已知直线x=2a与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为数列{a n}的前n项和，且依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求二面角A-PE-C的余弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点．（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（μ，σ2）则P（μ-σ＜T≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜T≤σ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜T≤μ+3σ）=0.9973．21.已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ=-1的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．23.设函数f（x）=|x+1|+|2-x|-k．（1）当k=4时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式对x∈R恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则∁R B={x|x≥2或x≤-2}，则A∩（∁R B）={x|2≤x＜6}，故选：C．求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】D【解析】解：∵==，∴．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，解得m=150，∴中间一组的频数为=50．故选：D．设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，由此能求出中间一组的频数．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵；∴；∴k=-3；∴；∴；∴（-16，-2）与共线．故选：B．根据即可得出，从而得出k=-3，从而可求出，从而可找出与共线的向量．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】A【解析】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，S=3×+=，r=，几何体的体积为：=．故选：A．首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：由题意可得：，解得a=4，b=3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．故选：A．利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．7.【答案】B【解析】解：在△ABC中，∵b=2acosA，∴由正弦定理可得：sinB=2sinAcosA=sin2A，∴B=2A，或B=π-2A，∵B=C≠A，∴当B=2A时，由于A+B+C=5A=π，可得：A=；当B=π-2A时，由于A+B+C=B+2A，可得：B=C=A（舍去）．综上，A=．故选：B．由正弦定理化简已知等式可得：sinB=sin2A，可求B=2A，或B=π-2A，根据三角形的内角和定理即可得解A的值．本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：令x=1得各项系数和为（2-n）（1-2）5=3，即n-2=3，得n=5，多项式为（2x2-5）（x-）5，二项式（x-）5的通项公式为T k+1=C5k x5-k（-）k=（-2）k C5k x5-2k，若第一个因式是2x2，则第二个因式为x，即当k=2时，因式为4C52x=40x，此时2x2×40x=80x3，若第一个因式是-5，则第二个因式为x3，即当k=1时，因式为-2C51x3=-10x3，此时-5×（-10）x3=50x3，则展开式中x3项的为80x3+50x3=130x3，即x3的系数为130故选：D．令x=1得各项系数为3，求出n的值，结合展开式项的系数进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，令x=1求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：A．由图象知函数的周期T=2π，则=2π得ω=1，此时f（x）=2sin（x-）=-2cosx为偶函数，对应图象为A，故A图象可能B．由图象知函数的周期T=-（-）==，即=，得ω=±3，当ω=3时，此时f（x）=2sin（3x-），f（）=2sin（3×-）=2sin≠-2，即B 图象不可能，当ω=-3时，此时f（x）=2sin（-3x+），f（）=2sin（-3×+）=-2sin≠-2，即B图象不可能，C．由图象知函数的周期T=4π，则=4π得ω=±，当ω=时，此时f（x）=2sin（x-π）=-2sin x，f（π）=-2sin=-1，即此时C图象不可能，当ω=-时，此时f（x）=2sin（-x-π）=2sin x，f（π）=2sin=-1，即此时C图象可能，D．由图象知函数的周期=-=，即t=π，则=π得ω=2，此时f（x）=2sin（2x-），f（）=2sin（2×-）=2sin=2，即D图象可能，综上不可能的图象是B，故选：B．根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出ω以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键．注意本题的ω有可能是复数．10.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）=3x2-ke x≤0在（0，+∞）上恒成立，∴k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，x＞0，则，当0＜x＜2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减故当x=2时，g（x）取得最大值g（2）=，则k，故选：C．令f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得k在（0，+∞）上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出k的范围．本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：设P在底面ABC的射影为E，D为AB的中点，连结PD，设正三角形ABC的边长为a，则CD=，∴ED=，EC=a，由二面角P-AB-C的正切值为4，得=4，解得a=．∴EC==，OP+OC=R，OE=H-R，∴OC2=OE2+CE2，∴R2=（H-R）2+（）2，解得=．故选：A．设棱锥底面边长为a，由已知把a用含有H的代数式表示，再由球的性质利用勾股定理求得．本题考查正三棱柱的高与其外接球半径的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：函数，的图象如下：当m≥1时，f（t）=m，有两个解t1，t2，其中t1≤0，t2≥2，f（x）=t1有一个解，f（x）=t2有两个解，不符合题意．当m＜0时，f（t）=m，有一个解t，且t∈（0，1）f（x）=t有一个解，不符合题意．当0≤m＜1时，f（t）=m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，g′（t）=2t lnt-1＞0，故g（t）在（1，2）单调递增，∴g（t）∈[2，3）．故选：A．画出函数，的图象，可求得当0≤m＜1时，f（t）=m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．13.【答案】【解析】解：设z=，则k得几何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平面区域如图：则由图象可知OA的斜率最大，由，解得A（3，4），则OA得斜率k=，则的最大值为．故答案为：．设z=，作出不等式组对应得平面区域，利用z得几何意义即可得到结论．本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由tanβ=2，得tan2β==，又tan（α-2β）=4，∴tanα=tan[（α-2β）+2β]==．∴=．故答案为：．由已知求得tan2β，再由tanα=tan[（α-2β）+2β]求出tanα，代入得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切与二倍角的正切，是中档题．15.【答案】2【解析】解：设m=3x，因为t≤x≤t+1，所以3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，故答案为：2．由二次型函数值域的求法得：设m=3x，则3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，得解本题考查了二次型函数值域的求法，属中档题．16.【答案】【解析】解：双曲线C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），且，可得sin∠PF2F1==，即有直线PF2的斜率为tan∠PF2F1=，由直线x=2a与双曲线C：的一条渐近线y=x交于点P，可得P（2a，2b），可得=，即有4b2=15（4a2-4ac+c2）=4（c2-a2），化为11c2-60ac+64a2=0，由e=可得11e2-60e+64=0，解得e=或e=4，由2a-c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e=4舍去．故答案为：．设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得P的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）依次成等比数列，可得（）2=S n=（n+2）（a1-2）n，当n=1时，a1=S1=3（a1-2），解得a1=3，当n≥2时，a n=S n-S n-1=n（n+2）-（n-1）（n+1）=2n+1，上式对n=1也成立，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；（2）==（-），可得前n项和T n=（-+-+…+-）=（-）=．【解析】（1）运用等比数列的中项性质，令n=1，可得首项，再由数列的递推式：当n≥2时，a n=S n-S n-1，计算可得所求通项公式；（2）求得==（-），再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等比数列中项性质和数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．18.【答案】证明：（1）连结DE，BD，∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，E为AB的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，又DE∩PD=D，∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PE，∵AB∥CD，∴PE⊥CD．解：（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则P（-1，0，2），A（0，-，0），E（，0），C（0，，0），=（-1，，2），=（，0），=（1，），=（，0），设平面APE的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PCE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（3，1，2），设二面角A-PE-C的平面角为θ，由图知θ为钝角，∴cosθ=-=-=-．∴二面角A-PE-C的余弦值为-．【解析】（1）连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PE-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解（1）证明：将y=kx+3代入x2=6y，得x2-6kx-18=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=-18，从而d1d2=|x1|•|x2|=|x1x2|=18为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，．从而k1+k2=+==．当b=-3时，有k1+k2=0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-3）符合题意．【解析】（1）先将y=kx+3代入x2=6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成立；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，由∠OPM=∠OPN，得当k变化时，k1+k2=0恒成立，进而可求出结果本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．20.【答案】解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20=64，即10：04（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10=4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X01234P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．（3）由（1）得μ=64，σ2=（30-64）2×0.1+（50-64）2×0.3+（50-64）2×0.4+（70-64）2×0.4+（90-64）2×0.2=324，所以σ=18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，由T～N（64，182），得，P（64-18≤T≤64+2×18）=+=0.8186，所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆．【解析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的取值，计算出每个X对应的概率，列分布列，求期望即可．（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到μ，σ2再根据其对称性处理即可．本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵函数．∴x＞0，．若a≤-，∵x＞1，∴ln x＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞-，令g′（x）=0，得x=，当1＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成立，∴x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=x lnx-ax+a+a-2，则h′（x）=ln x+1-a，令h′（x）=0，得x=e a-1，当x∈（0，e a-1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a-1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最小值为h（e a-1）=（a-1）e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1，令t（a）=a+e-2-e a-1，则t′（a）=1-e a-1，令t′（a）=0，得a=1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈（1，+∞）时，t′（a）＜0，t（a）在（1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）=e-2-，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）=a+e-2-e a-1≥0=t（2），∴a的取值范围是[0，2]．【解析】（1）x＞0，．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出xlnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=xlnx-ax+a+a-2，则h′（x）=lnx+1-a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围．本题考查函数单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．22.【答案】解：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，则|PM|=3+sinα，又直线ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1，所以|PN|=2+cosα+1=3+cosα，所以|PM|+|PN|=6+sin（α+），故当α=时，|PM|+|PN|取得最大值为6+．【解析】（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，用三角函数的性质求得最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）k=4时，函数f（x）=|x+1|+|2-x|-4，不等式f（x）＜0化为|x+1|+|2-x|＜4，当x＜-1时，不等式化为-x-1+2-x＜4，解得-＜x＜-1，当-1≤x≤2时，不等式化为x+1+2-x=3＜4恒成立，则-1≤x≤2，当x＞2时，不等式化为x+1+x-2＜4，解得2＜x＜，综上所述，不等式f（x）＜0的解集为（-，）；（2）因为f（x）=|x+1|+|2-x|-k≥|x+1+2-x|-k=3-k，所以f（x）的最小值为3-k；又不等式对x∈R恒成立，所以3-k≥，所以，解得k≤1，所以k的取值范围是（-∞，1]．【解析】（1）k=4时，利用分类讨论思想求出不等式f（x）＜0的解集，再求它们的并集；（2）利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再把不等式化为3-k≥，求出不等式的解集即可．本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。

广东省广州、深圳市学调联盟2020届高三第二次调研考试数学(理)试题(含答案)

2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试理科数学2020.4注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.2.用2B 铅笔将考生号及试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}24A x x =<，{}2B x x x =<-，则A B =U （）A.{}22x x -<<B.{}2x x <C.{}1x x >-D.{}2x x >-2.设复数z 的共轭复数是z ，且1z =，又复数z 对应的点为Z ，()1,0A -与()0,1B 为定点，则函数()()()1f z z z i =+-取最大值时在复平面上以Z ，A ，B 三点为顶点的图形是（）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形3.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图像过两点A ⎛ ⎝⎭，,04B π⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则()f x =（）A.()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()3sin 54f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()sin 74f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()3sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4.在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且3BAC π∠=，2ACB π∠≠，1BC =，P 为BC 中点.过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影的最大值是（）A.13B.12C.3D.235.若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名.现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（）A.16B.25C.35D.236.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行，2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为1M ，月球质量为2M ，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：()()121223M M M R r r R R r +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中()345323331ααααα++≈+，则r 的近似值为（）7.已知函数()2f x +（x ∈R ）为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()2020xf x =，则()2020f =（）A.2020B.12020C .11010D.08.在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，已知点P 是正方形AA D D ''内部（不含边界）的一个动点，若直线AP 与平面AA B B ''所成角的正弦值和异面直线AP 与DC '所成角的余弦值相等，则线段DP 长度的最小值是（）A.2B.3C.3D.439.已知F 是椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（）B.1210.如图，斜ABC △满足tan tan 4A B +=+1AB =，{}max ,AB BC AC <，其中{}max ,a b 表示a ，b 中较大的数（a b =时定义{}max ,a b a b ==）.线段AC 的中垂线上有一点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，满足AB BE CE +=，则点D 到ABC △外接圆上一点的距离最大值为（）A. 4B. 3C.2D.111.若设sin a xdx π=⎰，则6⎛⎝的展开式中的常数项是（）A.160-B.160C.20-D.2012.已知m ，n ，s ，t 为正实数，4m n +=，9m n s t +=，其中m ，n 是常数，且s t +的最小值是89，满足条件的点(),m n 是双曲线22128x y -=一弦的中点，则此弦所在的直线l 的方程为（） A.4100x y +-=B.220x y --=C.4100x y +-=D.460x y --=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()2f x x ax b =++（0a <，0b >）有两个不同的零点1x ，2x ，2-和1x ，2x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数()f x 的解析式为______.14.方程1sin 2sin 33tan 2x x x=+在区间[]0,2π上的解为______. 15.已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1C ：15922=+y x 的左、右顶点分别为1A ，2A . 直线l ：()()2121m y m x y -+-=+（ m R ∈）交椭圆于P ，Q 两点，直线1A P 和直线2A Q 相交于椭圆外一点R ，则点R 的轨迹方程为______.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥，AD BC ∥，112AB BC AD ===，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF AD ⊥于点F ，将DEF △沿EF 折起到PEF △的位置，并使PF AF ⊥，则五棱锥P ABCEF -的体积的取值范围为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，且111b a ==，34b a =，12334b b b a a ++=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅰ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∥平面AMHN .（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值.19.如果某企业每月生猪的死亡率不超过百分之一，则该企业考核为优秀.现获得某企业2019年1月到8月的相关数据如下表所示：（1）求出月利润；y （十万元）关于月养殖量x （千只）的线性回归方程（精确到0.01）；（2）若2019年9月份该企业月养殖量为1.4万只，请你预估该月月利润是多少万元；（3）从该企业2019年1月到8月这8个月中任意选取3个月，用X 表示3个月中该企业考核获得优秀的个数，求X 的分布列和数学期望.参考数据：81178i i x x ===∑，81168i i y y ===∑，821460i i x ==∑，81379.5i i i x y ==∑附：线性回归方程$$y bxa =+$中，()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y x x y nx yb x xx nx====---==--∑∑∑∑$，$ay bx =-$ 20.已知直线1x y +=过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅰ）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值 21.己知函数()2ln f x ax bx x =+-.（1）当2a =-时，函数()f x 在()0,+∞上是减函数，求b 的取值范围；（2）若方程()0f x =的两个根分别为1x ，2x （12x x <），求证：1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4ρθ=，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=+，以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线l '：y kx =（0x ≥，01k <<）与曲线C 交于O ，M 两点.（1）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程.（2）若射线l '与直线l 交于点N ，求OM ON的取值范围.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知3a ≥，函数(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中{},min ,,p p q p q q p q≤⎧=⎨>⎩. （1）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（2）（i ）求()F x 的最小值()m a . （ii ）求在区间上的最大值.2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试理科数学参考答案、解析与评分说明2020.4二、填空题13.()254f x x x =-+14.6π或56π15.4x =16.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，且111b a ==，34b a =，12334b b b a a ++=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅰ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，依题意得2213125a q q q d⎧+=⎪⎨++=+⎪⎩ 解得1d =，2q =，所以()11n a n n =+-=，11122n n n b --=⨯=（Ⅰ）由（Ⅰ）知12n n n n c a b n -==⋅，则01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅L ①()12121222122n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅L ②①-②得：0121121212122n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅L()()112212112n n n n n ⋅-=-⋅=-⋅--所以()121nn T n =-⋅+.18.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∥平面AMHN .（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值.（1）连结AC 、BD 且AC BD O =I ，连结PO . 因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥，因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥，因为，AC PO O =I 且AC 、PO ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥，因为，BD ∥平面AMHN ，且平面AMHN I 平面PBD MN =，所以，BD MN ∥，所以，MN PC ⊥.（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒，所以12AO PA =，2PO PA =，因为，PA =，所以，6BO PA =. 以OA u u u r ，OD u u u r，OP uuu r分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系记2PA =，所以，()0,0,0O ，()1,0,0A，0,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0C -，0,3D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(P，1,0,22H ⎛- ⎝⎭所以，BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，32AH ⎛=- ⎝⎭u u u r，AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r记平面AMHN 的法向量为(),,n x y z =r ，所以00n BD n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即03302y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令2x =，解得0y =，z =，所以，(n =r，记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，sin cos ,n AD n AD n ADθ⋅===r u u u rr u u u r r u u ur . 所以，AD 与平面AMHN所成角的正弦值为4. 19.如果某企业每月生猪的死亡率不超过百分之一，则该企业考核为优秀.现获得某企业2019年1月到8月的相关数据如下表所示：（1）求出月利润；y （十万元）关于月养殖量x （千只）的线性回归方程（精确到0.01）；（2）若2019年9月份该企业月养殖量为1.4万只，请你预估该月月利润是多少万元；（3）从该企业2019年1月到8月这8个月中任意选取3个月，用X 表示3个月中该企业考核获得优秀的个数，求X 的分布列和数学期望.参考数据：81178i i x x ===∑，81168i i y y ===∑，821460i i x ==∑，81379.5i i i x y ==∑附：线性回归方程$$y bxa =+$中，()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y x x y nx yb x xx nx ====---==--∑∑∑∑$，$ay bx =-$ （1）根据参考数据可得81822218379.587643.50.6446087688i ii i i x y x ybx x==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑$所以$43.567 1.5268ay bx =-=-⨯≈$ 故月利润y 关于月养殖量x 的线性问归方程为$0.64 1.52y x =+ （2）若2019年9月份，该企业月养殖量为1.4万只，则此时14x =把14x =代入$0.64 1.52y x =+，$0.6414 1.5210.48y =⨯+= 所以预估该月月利润是104.8万元.（3）由题中数据可知，1月，2月，3月，4月这4个月该企业考核都为优秀，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3()0344381014C C P X C ===，()124438317C C P X C ===，()214438327C C P X C === ()34381314C P X C ===故X 的分布列为：()1331301231477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 20.已知直线1x y +=过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅰ）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值 20.答案：（1）直线1x y +=与x 轴交于点()1,0，所以椭圆右焦点的坐标为()1,0，故1c =.设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243x x +=，1223y y +=，21211y y x x -=--，又2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，所以22222121220x x y y a b --+=，即()()()()2121212122x x x x y y y y ab-+-++=，得222a b =又222a b c =+，1c =，所以22a =，21b =，因此椭圆的方程为2212x y +=. （2）联立方程，得22121x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.不妨令()0,1A ，41,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭，易知直线l 的斜率存在，设直线l ：y kx =，代入2212x y +=，得()22212k x +=，则x =或，设()33,C x y ，()44,D x y，则34x x =-=.则34C x D -==，()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y kx =的距离分别是1d =，2d =，由于直线l 与线段AB （不含端点）相交，所以()4101033k k ⎛⎫⨯-+<⎪⎝⎭，即14k >-，所以()124441k k d d +++==四边形ACBD 的面积()12121112223S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+= 令1k t +=，则34t >，2221243k t t +=-+，333S ===，当123t=，即12k =时，max S ==，符合题意，因此四边形ACBD. 21.己知函数()2ln f x ax bx x =+-.（1）当2a =-时，函数()f x 在()0,+∞上是减函数，求b 的取值范围；（2）若方程()0f x =的两个根分别为1x ，2x （12x x <），求证：1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭.21.答案：（1）()f x Q 在()0,+∞上递减，()140f x b x'∴=-+-≤对()0,x ∈+∞恒成立. 即14b x x≤+对()0,x ∈+∞恒成立，所以只需min 14b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.0x >Q ，144x x∴+≥，当且仅当12x =时取“=”，4b ∴≤.（2）由已知，得()()2111122222ln 0ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩， Ⅰ21112222ln ln x ax bx x ax bx ⎧=+⎨=+⎩两式相减，得()()()()()112121212122lnx a x x x x b x x x x a x x b x =+-+-=-++⎡⎤⎣⎦. 由()12f x ax b x'=+-知()12121222x x f a x x b x x +⎛⎫'=++- ⎪+⎝⎭ ()11221111122121221212222121211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设()120,1x t x =∈()()()()222114011t g t t t t t -'∴=-=>++.∴()g t 在()0,1上递增，()()10g t g ∴<=.120x x -<Q ，12111221222111ln 1x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥∴-=⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦()0g t >. 即1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4ρθ=，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=+，以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线l '：y kx =（0x ≥，01k <<）与曲线C 交于O ，M 两点.（1）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程.（2）若射线l '与直线l 交于点N ，求OM ON的取值范围.（1）曲线C ：22cos 2sin ρρθρθ=+，故22220x y x y +--=，故()()22112x y -+-=，故曲线C的参数方程为12cos 1x y ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.（2）设()1,M ρα，()2,N ρα，则12cos 2sin ραα=+，24cos ρα=. 所以()()2122cos 2sin cos sin cos cos 11sin 2cos 24244OM ON αααραααααρ++====++12444πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知3a ≥，函数(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中{},min ,,p p q p q q p q ≤⎧=⎨>⎩. （1）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（2）（i ）求()F x 的最小值()m a . （ii ）求在区间上的最大值. （i ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--，所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a .（2）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ii ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=.所以()348,342,4a a M a a -≤<⎧=⎨≥⎩.。

2020届广东省实验中学高三下学期线上考试数学(理)试题及答案

绝密★启用前2020届广东省实验中学高三下学期线上考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合[]{}{21,1,1,||,A y y x x B x y ==-∈-==则A B =（）A ．0,1B ．[]1,1-C ．0,1D ．∅ 答案：A求函数[]21,1,1y x x =-∈-的值域化简集合A 的表示，再求出函数y =的定义域化简集合B 的表示，最后根据集合交集的定义结合数轴进行求解即可.解：因为[]{}{2|[0,11,1,]|[,,1),2A y y x x B x y ===-∈--===+∞所以A B =[]0,1.故选：A 点评：本题考查了集合的交集运算，考查了求函数的定义域和值域，考查了数学运算能力. 2．若复数z 满足()()3451i z i -=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（） A ．1 B ．15-C ．15D ．1-答案：C由已知等式化简变形得出()5134i z i-=-，利用复数的除法法则将复数化为一般形式，即可得出复数z的虚部. 解：根据已知得()()()()()515134771343434555i i i i z i i i i --++====+--+，因此，复数z 的虚部为15. 故选：C. 点评：本题考查复数虚部的求解，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题. 3．已知，则A ．B ．C ．D ．答案：B 运用中间量比较，运用中间量比较解：则．故选B ．点评：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4．求下列函数的零点，可以采用二分法的是（） A ．4()f x x = B ．()tan 2()22f x x x ππ=+-<<C ．()cos 1f x x =-D ．()23xf x =-答案：B 解：略5．已知角α顶点为原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()3,1P 在终边上，则()cos 6πα-=（）A ．12B ．12-C 3D ．3 答案：B根据任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，代入两角和差余弦公式可求得结果. 解：()3,1P -在终边上，11sin 231α∴==+，33cos 231α=-=-+， 33111cos cos cos sin sin 66622222πππααα⎛⎫∴-=+=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：B . 点评：本题考查利用两角和差余弦公式求解三角函数值的问题，涉及到任意角三角函数的定义，属于基础题.6．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A ．32B ．40C ．3210D ．4010答案：C将三视图还原，即可求组合体体积解：将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为2211132π24π24π2323⨯⨯+⨯⨯⨯=，利用张衡的结论可得2π53210π10V 168，，=∴== 故选C点评：本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题7．已知抛物线2y =的准线与双曲线22221x y a b-=的两条渐近线分别交于,A B 两点若双曲线的离心率是3，那么AB =（） A ．2 B ．43CD．3答案：A求出抛物线的准线方程，根据双曲线离心率公式，结合双曲线,,a b c 的关系，可以求出,a b 之间的关系，这样可以求出渐近线方程，通过代入法，结合双曲线的对称性进行求解即可. 解：抛物线2y =的准线x =22223c c a ba ==+，3b a ∴=，因此双曲线的渐近线方程为：3y x =±，双曲线的一条渐近线方程与抛物线准线方程联立得：x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得1,y =根据双曲线的对称性可知：2AB = 故选：A 点评：本题考查了抛物线的准线方程，考查了双曲线离心率的计算，考查了双曲线渐近线方程的应用，考查了数学运算能力.8．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是()①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个 A ．0 B ．1C ．2D ．3答案：D根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数. 解：由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选：D. 点评：回归直线方程中的ˆb的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.9．给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻边的颜色相同，则不同的染色方法有（） A ．18种 B ．24种C ．30种D ．32种答案：C通解：利用分类讨论思想，根据分类加法计数原理进行求解即可；优解：通过分析可知.每种色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次，这样利用分步乘法计数原理进行求解即可.解：通解如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步.染边1时有3种染法，染边2时有2种染法.()1当边3与边1同色时，边3有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法，此时染法总数为3212112⨯⨯⨯⨯=(种).()2当边3与边1不同色时，边3有1种染法，①当边4与边1同色时，边4有1种染法，边5有2种染法；②当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法，则此时共有染法()321121118⨯⨯⨯⨯+⨯=(种). 由分类加法计数原理可得，不同的染法种数为30.优解通过分析可知.每种色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次. 染五条边总体分两步.第一步选一色染1次有1135C C 种染法，第二步另两色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有1135230C C =种染法，故选：C10．已知0>ω，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是() A ．15[,]24B ．17[,]24C ．39[,]44 D ．37[,]24答案：D 解：函数y ＝cosx 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，其中k ∈Z.依题意，则有－π＋2k π≤＋＜ωx ＋2k π(ω＞0)得4k －≤ω≤2k －，由－≤0且4k －＞0得k ＝1，因此ω的取值范围是，故选D.11．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，由点集{P|OP ＝λOA ＋μOB ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( ) A ．22 B ．23C ．42D ．43答案：D由2OA OB OA OB ==⋅=知：21cos ,,,2223OA OB OA OB OA OB OA OBπ⋅===∴=⨯⨯. 不妨设()()()2,0,1,3,,OA OB OP x y ===，则：23x y λμμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得3123x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩由|λ|＋|μ|≤1得3223x y y -+≤. 作出可行域，如图所示．则所求面积1243432S =⨯⨯⨯=.本题选择D 选项.12．设在R 上可导的函数()f x 满足()()()3100, ,3f f x f x x =--=并且在(,0)-∞上有()21,2f x x '<实数a 满足()()321631836,3f a f a a a a --≥-+-+则实数a 的取值范围是（） A ．(,3]-∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞ 答案：A 根据()212f x x '<这种形式，构造函数()()316g x f x x =-，利用导数判断函数()g x 的单调性，再判断函数()g x 奇偶性，最后利用()g x 的单调性和奇偶性进行求解即可. 解：设()()316g x f x x =-，则()()()21''00,2g x f x x x =-<<故()()316g x f x x =-在区间(,0)-∞上单调递减.()()()()3311066g x g x f x x f x x ⎡⎤-=---+=⎢⎥⎣⎦-，故()g x 为偶函数，在区间(0,)+∞上单调递增.()()()()3216631836,(03)g a g a f a f a a a a --=----+-+≥故原不等式等价于()()6g a g a -≥，即6,a a -≥平方解得3,a ≤ 故选：A 点评：本题考查了通过构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性求解不等式解集问题，考查了导数的应用，考查了函数奇偶性的判断，考查了数学运算能力. 二、填空题13．命题“1x ∀>，都有212x +>”的否定是______. 答案：1x ∃>，有212x +≤根据全称命题的否定是特称命题写出原命题的否定. 解：全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“1x ∃>，有212x +≤”. 点评：本小题主要考查写出全称命题的否定，属于基础题.14．设,x y 满足约束条件：0,01,3x y x y x y ≥≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩则10z x y =-的取值范围是________________.答案：[]19,3-在平面直角坐标系内画出约束条件所表示的平面区域，平移直线111010y x z =-，在所确定的平面区域内，找到当该直线在纵轴上的截距最小和最大时所经过的点，求出坐标，代入进行求解即可. 解：不等式所表示的区城如图，由10z x y =-,得111010y x z =- 平移直线110y x =由图象可知当直线经过点()3,0D 时，直线111010y x z =-的截距最小，此时z 最大为103z x y =-=；当直线经过B 点时，直线截距最大，此时z 最小，由13x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩即()1,2,B此时1012019,z x y =-=-=-193z ∴-≤≤即z 的取值范围是[]19,3- 点评：本题考查了线性目标函数的最值问题，考查了数学运算能力和数形结合思想. 15．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，外接圆半径为1，且满足tan 2tan A c bB b-=，则ABC 面积的最大值为_________．答案：4由1r =，利用正弦定理可得：2sin 2sin c r C C ==，2sin 2sin b r B B ==，∵sin tan cos AA A=，sin tan cos B B B=，∴tan sin cos 4sin 2sin 2sin sin tan cos sin 2sin sin A A B C B C B B A B B B--===，∴sin cos cos 2sin sin 2sin cos sin cos A B A C B C A B A=-=-（），即sin cos cos sin sin sin 2sin cos A B A B A B C C A +=+==（），∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =，即3A π=，∴2221cos 22b c a A bc +-==，∴222222222sin 323bc b c a b c r A b c bc =+-=+-=+-≥-（），∴3bc ≤（当且仅当b c =时，取等号），∴ABC 面积为11sin 322S bc A =≤⨯=ABC16．将正三棱锥P ABC -置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P ABC Q --，如图.下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有________________.①PQ ⊥平面ABC ；②若,,,P A B C 在同一球面上，则Q 也在该球面上； ③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则2AB PA =；④若6,AB =则PQ 的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心答案：①④根据球的几何特征和性质，结合已知逐一判断即可. 解：由“倒影三棱锥”的几何特征可知PQ ⊥平面,ABC ①正确；当,,,P A B C 在同一球面上时，若ABC 的外接圆不是球的最大圆，则点Q 不在该球面上，②错误；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥P ABC -的外接球的半径与等边三角形ABC 外接圆的半径相等，设其为R ，则3,2AB R PA R ==，则6,AB =③错误；由③的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为ABC 的中心，即PQ 的中点，④正确. 故正确的说法有①④. 点评：本题考查了数学阅读能力，考查了多面体外接球的问题，考查了空间想象能力. 三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足()()()()()*1223n n 1a a a a a a 2n n 1n N+++++⋯++=+∈．()1求数列{}n a 的通项公式；()2数列{}n b 中，1b 1=，2b 2=，从数列{}n a 中取出第n b 项记为n c ，若{}n c 是等比数列，求{}n b 的前n 项和n T ．答案：（1）n a 2n 1=-；（2）n 312n4-+．()1对n 赋值为1,2，可得：12a a 4+=，1223a a a a 12+++=，设等差数列的公差为d ，由通项公式解方程组可得首项和公差，即可得到所求通项公式；()2分别求得1c ，2c ，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式可求得()n 1n 1b 132-=+，再利用分组求和方法即可计算所求和．解：()1差数列{}n a 满足()()()()()*1223n n 1a a a a a a 2n n 1n N +++++⋯++=+∈，可得12a a 4+=，1223a a a a 12+++=，设等差数列的公差为d ，可得12a d 4+=，14a 4d 12+=，解得1a 1=，d 2=，则()n a 12n 12n 1=+-=-；()2由题意可得11b1c a a 1===，22b 2c a a 3===，可得数列{}n c 的公比为3，n 1n c 3-=，由n n b n c a 2b 1==-，可得()n 1n 1b 132-=+，{}n b 的前n 项和()n 1n 11T 133n 22-=++⋯++n n 1131312nn 21324--+=⋅+=-．点评：本题考查了等差数列和等比数列的定义和通项公式、分组求和公式的运用，考查了赋值法及方程思想，还考查化简运算能力，属于中档题．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 答案：（1）证明见详解；（2310（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值. 解：证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥， ∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z =，得(0,3,1)n =-，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =，设二面角F AB P --的平面角为θ，则||310cos 10||||10m n m n θ⋅===⋅，∴二面角F AB P --的余弦值为310. 点评：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 19．如图，已知、，、分别为的外心，重心，.（1）求点的轨迹的方程；（2）是否存在过的直线交曲线于，两点且满足，若存在求出的方程，若不存在请说明理由.答案：（1）；（2）不存在.（1）设点，利用重心的坐标公式得出点的坐标为，可得出点，由可得出点的轨迹的方程；（2）由题意得出直线的斜率存在，并设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，并列出韦达定理，由，可得出代入韦达定理求出的值，即可得出直线的方程，此时，直线过点或，从而说明直线不存在.解：（1）设点，则点，由于，则点.由，可得出，化简得. 因此，轨迹的方程为；（2）当与轴重合时不符合条件. 假设存在直线，设点、.将直线的方程与曲线的方程联立，消去得，由韦达定理得，. ，，，，得，即，，另一方面，得，解得.则直线过点或，因此，直线不存在.点评：本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了椭圆中的向量问题，在求解时可充分利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 20．已知函数()()ln xf x xe a x x =-+.（1）若函数()f x 恒有两个零点，求a 的取值范围；（2）若对任意0x >，恒有不等式()1f x ≥成立. ①求实数a 的值；②证明：()22ln 2sin xx e x x x >++.答案：（1）(),a e ∈+∞；（2）1a =，②见解析. 试题分析：（1）由题意可知，()()1xa f x x e x ⎛⎫=+-⎝'⎪⎭.当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当0a >时，()0f x '=有唯一解0x x =，此时00xe x a =，则()()00000min ln x f x f x x e a x ax ==--.注意到00x e x a=，因此()()min ln 0,f x a a a a e =-<⇒∈+∞.（2）①对a 进行分类讨论，其中当0a <时，()f x 单调递增，()f x 的值域为R ，不符合题意；当0a =时，则1211122f e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，也不符合题意.当0a >时，由（1）可知，()min ln f x a a a =-，故只需ln 1a a a -≥.然后利用换元法，令1t a=，让其转化为()ln 1h t t t =-+，然后再利用函数的单调性即可求出结果；②由①可知22ln x x e x x x x -≥+，因而只需证明：0x ∀>，恒有22ln 2sin x x x x +>+.注意到前面已经证明：1ln x x -≥，因此只需证明：222sin x x x -+>.当1x >时，恒有22sin 22x x x ≤<-+，且等号不能同时成立；当01x <≤时，设()222sin g x x x x =-+-，利用导数可知(]0,1x ∈时，()g x '是单调递增函数，且()10g '=，因而(]0,1x ∈时恒有()0g x '<；当(]0,1x ∈时，()g x 单调递减，从而()()10g x g ≥>，即可证明结果.试题解析：（1）()ln ,0xf x xe a x ax x =-->，则()()()1111xx a f x x e a x e x x ⎛⎫⎛⎫=+-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'.当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当0a >时，()0f x '=有唯一解0x x =，此时00xe x a =，则()()00000min ln xf x f x x e a x ax ==--.注意到00xe x a =，因此()()00min ln ln 0,x f x a a aeax a a a a e -=--=-<⇒∈+∞.（2）①当0a <时，()f x 单调递增，()f x 的值域为R ，不符合题意；当0a =时，则1211122f e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，也不符合题意.当0a >时，由（1）可知，()min ln f x a a a =-，故只需ln 1a a a -≥.令1t a=，上式即转化为ln 1t t ≥-，设()ln 1h t t t =-+，则()1th t t'-=，因此()h t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()max 10h x h ==，所以ln 1t t ≤-. 因此，ln 11t t t =-⇒=，从而有111t a a==⇒=. 故满足条件的实数为1a =.②由①可知22ln x x e x x x x -≥+，因而只需证明：0x ∀>，恒有22ln 2sin x x x x +>+. 注意到前面已经证明：1ln x x -≥，因此只需证明：222sin x x x -+>. 当1x >时，恒有22sin 22x x x ≤<-+，且等号不能同时成立；当01x <≤时，设()222sin g x x x x =-+-，则()212cos g x x x =--'，当(]0,1x ∈时，()g x '是单调递增函数，且()112cos112cos03g π=-<-='，因而(]0,1x ∈时恒有()0g x '<；从而(]0,1x ∈时，()g x 单调递减，从而()()122sin10g x g ≥=->，即222sin x x x -+>.故()22ln 2sin xx e x x x >++.点睛：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数()f x ，利用()f x m >恒成立min ()f x m ⇔>；()f x m <恒成立max ()f x m ⇔<，即可求出参数范围.21．本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别123,,p p p 123,,p p p ，假设123,,p p p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为123,,q q q ，其中123,,q q q 是123,,p p p 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；（3）假定1231p p p >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．答案：（1）不变化；（2）121223q q q q --+；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时,均值（数字期望）达到最小解：（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()112123111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+．若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()113132111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+，发现任务能完成的概率是一样.同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化. （2）由题意得X 可能取值为1,2,3∴()()()()()()112121;21;311P X q P X q q P X q q ====-==--， ∴其分布列为:X123P1q()121q q -()()()11212121212131123EX q q q q q q q q q ∴=⨯+⨯-+⨯--=--+．（3）()()()12122123211E X q q q q q q =--+=--+,1231p p p >>> ∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小, 则只能先派甲、乙中的一人.∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则1121223EX p p p p =--+；若先派乙,再派甲,最后派丙,则2122123EX p p p p =--+，()()12121212212123230EX EX p p p p p p p p p p ∴-=--+---+=-<，∴先派甲,再派乙,最后派丙时,均值（数字期望）达到最小．22．在平面直角坐标系x y O 中，A 点的直角坐标为)sin 21,cos 23(αα++（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的极坐标方程为2cos()6m πρθ+=．m （为实数）．（1）试求出动点A 的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A 点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线l 的距离为1,求实数m 的取值范围．答案：（1）22((1)4x y -+-=；（2）)4,0(∈m .试题分析：（1）由2cos 12sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）消去参数得动点A 的普通方程；（2）由（1）知，动点A 的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.直线l 的极坐标方程化为普方程，要使圆上有四个点到l 的距离为1，则必须满足|2|12m -<,解得)4,0(∈m .试题解析：（1）由2cos 12sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）消去参数得：22((1)4x y -+-=故动点A 的普通方程为22((1)4x y -+-=；（2）由（1）知，动点A 的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.由2cos()6m πρθ+=cos sin 0m θρθ--=,∴l 0y m --=.要使圆上有四个点到l 的距离为1，则必须满足|2|12m -<,解得)4,0(∈m . 【考点】1、极坐标方程；2、参数方程.【方法点睛】（1）先由2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）消去参数得故动点A 的普通方程.然后由直线l 的极坐标方程得直线l 的直角坐标方程.由平面几何知识可知要使圆上有四个点到l 的距离为1，则必须满足|2|12m -<，从而得到关于m 的不等式，解得)4,0(∈m .把直线l 的参数方程化为普通方程，把曲线C 的参数方程化为直角坐标方程能够简化解题过程. 23．设函数()23f x x x x m =-+---，1,4()x R f x m∀∈-≥恒成立. （1）求实数m 的取值范围；（2）求证：(1)(2)log (2)log (3)m m m m -++>+ 答案：（1）()0,∞+；（2）详见解析.（1）由1,4()x R f x m ∀∈-≥恒成立，转化为1234m x x x m+≥-+-++恒成立，令()234g x x x x =-+-++，求得函数的最大值，得到m 的不等式，即可求解.（2）转化为证明()()()()12log 2log 3m m m m +++>+，利用基本不等式，即可作出证明. 解：（1）由题意知1,4()x R f x m ∀∈-≥恒成立，即1423x x x m m-≥-+---恒成立，即1234m x x x m+≥-+-++恒成立. 令()234g x x x x =-+-++33,2,1,23,5, 3.x x x x x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩可得函数()g x 在(],3-∞上是增函数，在()3,+∞上是减函数，所以()()max 32g x g ==，则()max 12m g x m+≥=，即120m m +-≥，整理得()221210m m m m m--+=≥，解得0m >，综上实数m 的取值范围是()0,∞+.（2）由0m >，知3211m m m +>+>+>，即()()lg 3lg 2m m +>+()lg 1lg10m >+>=，所以要证()()()()12log 2log 3m m m m +++>+，只需证()()()()lg 2lg 3lg 1lg 2m m m m ++>++，即证()()()2lg 1lg 3lg 2m m m +⋅+<+，又()()()()2lg 1lg 3lg 1lg 32m m m m +++⎡⎤+⋅+<⎢⎥⎣⎦()()2lg 134m m ++⎡⎤⎣⎦=<()()222lg 44lg 24m m m ⎡⎤++⎣⎦=+， ()()()()12log 2log 3m m m m ++∴+>+成立.点评：本题主要考查了含绝对值不等式的恒成立问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，以及合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.。

广东省广州市广东实验中学2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试语文试题

广东实验中学2023届高三第二次阶段考试语文本试卷共8页，23 小题，满分150分，考试用时150分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

一、现代文阅读(35 分)(一) 现代文阅读Ⅰ(本题共 5 小题，17 分)阅读下面的文字，完成 1~5题。

材料一：家书是一种感染力极强的鲜活文本，西方人称之为“最温柔的艺术”。

铺一张白纸、修一方尺牍，是我国古代文人表露心绪的常用形式；展一方徽宣、写一帧信札，是我国传统士子寄寓乡愁的有效渠道。

鱼传尺素、鸿雁传书、目断鳞鸿，这样的文化传统代代相因，融入百姓生活，升华为中国乡土文化的重要维度——家书文化，沉积为融亲情、乡情、友情于一体的独特民族文化现象。

在我国传统社会，家书是传递情愫和信息的基本途径。

无论人在何处，修一封家书、报一句平安，就可化解千里之外亲人的担忧挂牵，令其安心。

特别是在战乱频仍的年代，家书的价值尤显珍贵。

当今社会，现代信息技术广泛应用，特别是移动互联网覆盖全球，人们只需轻点手机屏幕，便可诉说心曲、互道衷肠。

这样一来，传统家书日渐式微，家书文化面临衰败消亡的严峻考验。

诚然，互联网实用又快捷，打破了家人亲友间的空间阻隔，缩短了时间长度，但毕竟不是所有的亲情友情都可通过键盘敲打出来。

一些社会家认为，互联网日益广泛的使用，降低了家人亲友交往的质量和品位，应警觉和预防网络对优秀传统文化因素的稀释和削减。

优秀文化具有永恒的魅力。

当今时代，人们既需要现代网络的迅疾和轻灵，需要高雅文化的温润和熏陶。

2020年广东高三二模理科数学试卷-学生用卷

2020年广东高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东高三二模理科第1题5分已知集合A={x|(x−√7)(x+3)<0}，B={x|−2<x<2√2}，则A∩B=（）．A. {x|−3<x<2√2}B. {x|−3<x<√7}C. {x|−2<x<√7}D. {x|−2<x<2√2}2、【来源】 2020年广东高三二模理科第2题5分已知复数z=i(a−i)（i为虚数单位，a∈R），若1<a<2，则|z|的取值范围为（）．A. (√2,√5)B. (√2,2)C. (2,√5)D. (1,2)3、【来源】 2020年广东高三二模理科第3题5分2020~2021学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高三上学期月考文科第6题5分2019~2020学年6月辽宁沈阳沈北新区东北育才双语学校高一下学期周测B卷第8题5分2020~2021学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高三上学期月考理科第6题5分2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三四模理科第4题5分《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）．A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺4、【来源】 2020年广东高三二模理科第4题5分在△ABC中，已知∠A=45°，AB=6√2，且AB边上的高为2√2，则sin⁡C=（）．A. √1010B. 3√1010C. √105D. 2√1055、【来源】 2020年广东高三二模理科第5题5分一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为（）．A. 2√3ππB. 2√33πC. 4√33πD. 8√336、【来源】 2020年广东高三二模理科第6题5分已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，f(−3)=0，则不等式f(x−1)>0的解集为（）．A. (−3,3)B. (−∞,−2)∪(1,4)C. (−∞,−4)∪(−1,2)D. (−∞,−3)∪(0,3)7、【来源】 2020年广东高三二模理科第7题5分2020年广东高三二模文科第8题5分已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若FA →⋅FB →=0，则该双曲线的离心率为（）．A. √5B. 2C. √3D. √28、【来源】 2020年广东高三二模理科第8题5分已知四边形ABCD 中，AD//BC ，∠A =30°，AB =2√3，AD =5，E 在CB 的延长线上，且AE =BE ，则AE →⋅DB →=（）．A. 1B. 2C. 12D. √39、【来源】 2020年广东高三二模理科第9题5分(x +y +2)6的展开式中，xy 3的系数为（）．A. 120B. 480C. 240D. 32010、【来源】 2020年广东高三二模理科第10题5分2020年广东高三二模文科第10题5分把函数f(x)=2sin⁡x 的图象向右平移π3个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，关于g(x)的说法有：①函数g(x)的图象关于点(π3,0)对称；②函数g(x)的图象的一条对称轴是x =−π12；③函数g(x)在[π3,π2]上的最小值为√3；④函数g(x)在[0,π]上单调递增．则以上说法正确的个数是（）．A. 4B. 3C. 2D. 111、【来源】 2020年广东高三二模理科第11题5分如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1−CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1−CDE外接球的体积为8√23π，则a=（）．A. 2B. √2C. 2√2D. 412、【来源】 2020年广东高三二模理科第12题5分已知函数f(x)=12ax2+cos⁡x−1(a∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a的取值范围为（）．A. (−∞,0)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,0)∪[1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东高三二模理科第13题5分若x，y满足约束条件{x+y−3⩽0x−y−3⩽0x+1⩾0，则z=y−2x的最大值是．14、【来源】 2020年广东高三二模理科第14题5分已知cos⁡(α+π12)=35，则sin⁡(2α+2π3)=．15、【来源】 2020年广东高三二模理科第15题5分从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是60°的有对．16、【来源】 2020年广东高三二模理科第16题5分如图，直线l过抛物线y2=4x的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆(x−1)2+y2=1交于C，D两点，若2∣AC∣=∣BD∣，设直线l的斜率为k，则k2=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东高三二模理科第17题12分已知数列{a n}和{b n}满足a n⋅b n+1−a n+1⋅b n−2a n⋅a n+1=0，且a1=1，b1=1，．设c n=b n an(1) 求数列{c n}的通项公式．(2) 若{a n}是等比数列，且a2=3，求数列{b n}的前n项和S n．18、【来源】 2020年广东高三二模理科第18题12分为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30]内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图如图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．(1) 请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．(2) 优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”．附：K2=n(ad−bc)2，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d．(3) 用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X的分布列及数学期望．19、【来源】 2020年广东高三二模理科第19题12分如图，四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA =PC ，BD ⊥PA ．E 是BC 上一点，且EC =3BE ．设AC ∩BD =O ．(1) 证明：PO ⊥平面ABCD ．(2) 若∠BAD =60°，PA ⊥PE ，求二面角A −PE −C 的余弦值．20、【来源】 2020年广东高三二模理科第20题12分2020年四川成都高新区成都石室天府中学高三零模文科第20题已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心率为√22，且PF 1⊥F 1F 2，△PF 1F 2的面积为√22．(1) 求椭圆C 的方程．(2) 已知O 是坐标原点，向量m →=(1,1)，过点(2,0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．若点Q (x,y )满足OQ →⋅m →=1，OM →+ON →=λOQ →，求λ的最小值．21、【来源】 2020年广东高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=ae x −ex −a （a <e ），其中e 为自然对数的底数．(1) 若函数f(x)的极小值为−1，求a 的值．(2) 若a =1，证明：当x ⩾0时，f(x)+2x −xln⁡(x +1)⩾0成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年广东高三二模理科第22题10分2020年广东高三二模文科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x 212+y24=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρcos⁡(θ−π4)=a(a>0)．(1) 求直线l的直角坐标方程．(2) 已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线l1交直线l于点A，且直线l1与直线l的夹角为45°，若|PA|的最大值为6，求a的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东高三二模理科第23题10分2020年广东高三二模文科第23题10分已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1) 解不等式：f(x)⩽6．(2) 若a，b，c均为正数，且a+b+c=f(x)min，证明：(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2⩾493．1 、【答案】 C;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】6;;14 、【答案】−72515 、【答案】48;16 、【答案】12√2+16;17 、【答案】 (1) c n=2n−1．;(2) S n=(n−1)×3n+1．;18 、【答案】 (1) 70%，55%．;(2)有95%的把握认为产品质量高与新设备有关．;(3) X的分布列为E(X)=2.1．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) −√15．5;+y2=1．20 、【答案】 (1) x22;(2) 2−√6．;21 、【答案】 (1) 1．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) x+y−a=0．;(2) 2．;23 、【答案】 (1) {x|−4⩽x⩽2}．;(2) 证明见解析．;。

2020广州高三二模数学试题及答案(理科)

试卷类型： A2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科） 2020．4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()n P k =C ()1n kk k np p --()0,1,2,,k n =L .两数立方差公式: ()()3322a b a b a ab b -=-++.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，若复数()()11a a -++i 为实数，则实数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．不确定2. 已知全集U =A B U中有m 个元素，()()U U A B U 痧中有n 个元素．若A B I 非空，则AB I 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．m n -D ． n m - 3. 已知向量a ()sin ,cos x x =,向量b (=,则+a b 的最大值为 A. 1 C.3 D.9 4. 若,m n 是互不相同的空间直线, α是平面, 则下列命题中正确的是 A. 若//,m n n α⊂,则//m α B. 若//,//m n n α,则//m α C. 若//,m n n α⊥,则m α⊥ D. 若m ⊥5. 在如图1所示的算法流程图, 若()()2,x f x g x ==则()2h 的值为(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” A.9 B. 8 C. 6 D. 46. 已知点(),P x y 的坐标满足10,30,2.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩O 为坐标原点, 则PO 的最小值为A.2 B. 2图1 7. 已知函数()sin f x x x =, 若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()()12f x f x <, 则下列不等式中正确的是A. 12x x >B. 12x x <C. 120x x +<D. 2212x x <8. 一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车25米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻t 的速度为()v t t =米/秒, 那么, 此人A. 可在7秒内追上汽车B. 可在9秒内追上汽车C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为14米D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．若函数()()()cos cos 02f x x x π⎛⎫=ω-ωω> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则ω的值为 .10. 已知椭圆C的离心率2e =, 且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重合, 则椭圆C 的方程为 .11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 . 12.图2是一个有n 层()2n ≥的六边形点阵.算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,…第n 层每边有n 个点, 则这个点阵的点数共有个.13.已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3图3则该展开式中2x 的系数为 . 图2（二）选做题（14~ 15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为1,42.x t y t =+⎧⎨=-⎩(参数t ∈R),圆C 的参数方程为2cos 2,2sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩(参数[]0,2θπ∈),则直线l 被圆C 所截得的弦长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆O 的两条弦AD 和BC 相交于点P , ,OD BC P ⊥为AD 的中点, 6BC =, 则弦AD 的长度为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16. （本小题满分12分）已知1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.(1) 求tan α的值; (2) 求()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++的值.17. （本小题满分12分）如图4, 在直角梯形ABCD 中, 90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ︒︒∠=∠=∠===, 把△DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上, 连接PB .(1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小; (2)求二面角P AC B --的大小的余弦值.D BCAEPBCA图4 图518.（本小题满分14分）一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足()()15104s t t =+≤≤, 每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击, 命中的概率为45, 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射击后 0.5秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计.(1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟的概率;(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率;(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个飞碟的概率.19. （本小题满分14分）已知抛物线C :22x py =()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标；(2) 证明：A 、B 、F 三点共线；(3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数()32f x x x ax b =-++(a,b ∈R)的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为,αβ()αβ<, 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的. (1) 求a 的值和b 的取值范围;(2) 若[]12,,x x αβ∈, 证明:()()121f x f x -≤.21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =,且对任意n ∈N *都有1n n a b +=, 121n n n na ba a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}nb 的通项公式; (2) 证明:()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L .2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．1 10.22182x y+= 11. 乙 12. 2331n n-+ 13.18014．515.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1）解法1：∵tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴tan tan 421tan tan 4+=-παπα. …2分 ∴1tan 21tan αα+=-.解得1tan 3α=. (4)分解法2：∵tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦tan tan441tan tan44ππαππα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭…2分 21121-=+⨯13=. …4分（2）解:()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+-=+- …6分cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβ-=+()()sin cos βαβα-=- …8分()tan βα=-DB CAtan tan 1tan tan -=+βαβα…10分112311123-=+⨯17=. …12分17. （本小题满分12分）(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 方法一:(1) 解:在图4中,∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒︒∠=∠=∠==∴tan 30BC AB ︒===, 121sin 302BC AC ︒===, 60DAC ︒∠=. ∵AD CD =,∴△DAC 为等边三角形.∴2AD CD AC ===. …2分在图5中,∵点E 为点P 在平面ABC 上的正投影,∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .∵90CBA ︒∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.∵,PE AB E PE =⊂I 平面PAB , AB ⊂平面PAB ,图 5FEPBCA∴BC ⊥平面PAB .∴CPB ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角. …4分在Rt △CBP 中, 1,2BC PC DC ===, ∴1sin 2BC CPB PC ∠==. ∵090CPB ︒︒<∠<, ∴30CPB ︒∠=.∴直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒. …6分 (2) 解:取AC 的中点F , 连接PF ,EF .∵ =PA PC , ∴ ⊥PF AC .∵PE ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC , ∴PE AC ⊥.∵,=⊂I PF PE P PF 平面PEF , PE ⊂平面PEF , ∴AC ⊥平面PEF . ∵⊂EF 平面PEF , ∴⊥EF AC . ∴PFE ∠为二面角P AC B --的平面角. …8分在Rt △EFA 中,11302︒==∠=AF AC ,FAE , ∴=EF AF tan 30︒⋅3=3==AE . 在Rt △PFA 中,==PF 在Rt △PEF中，1cos 3∠===EF PFE PF .DB CA图5CA∴二面角P AC B --的大小的余弦值为13. …12分方法二: 解:在图4中,∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒︒∠=∠=∠==∴tan 30BC AB ︒===, 121sin 302BC AC ︒===, 60DAC ︒∠=. ∵AD CD =,∴△DAC 为等边三角形.∴2AD CD AC ===. …2分在图5中,∵点E 为点P 在平面ABC 上的射影,∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .∵90CBA ︒∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.∵,PE AB E PE =⊂I 平面PAB , AB ⊂平面PAB ,∴BC ⊥平面PAB 连接EC ,在Rt △PEA 和Rt △PEC 中,2,PA PC PE PE ===, ∴Rt △PEA ≅Rt △PEC . ∴EA EC =.∴30ECA EAC ︒∠=∠=.∴60CEB ︒∠=. 在Rt △CBE中，tan 603BC EB ︒===.∴3AE AB EB =-=. 在Rt △PEA中，PE ==. …6分以点E 为原点,EB 所在直线为x 轴,与BC 平行的直线为y 轴,EP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -,则()0,0,0E,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B ⎫⎪⎪⎝⎭,C ⎫⎪⎪⎝⎭, 0,0,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∴()0,1,0BC =u u u r,0,0,3EP ⎛= ⎝⎭u u u r,)AC =u u u r,,1,33PC ⎛=- ⎝⎭u u u r . (1)∵cos ,BC PC BC PC BC PC ==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r 12,∴,30BC PC ︒=u u u r u u u r.∴ 直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒. …9分(2) 设平面PAC 的法向量为n (),,x y z =,由0,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g n AC n PC得0,0y x y z +=+-=.令1x =,得y =2=-z . ∴n 1,2⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面PAC 的一个法向量.∵EP ⎛= ⎝⎭u u u r 为平面ABC 的一个法向量,∴cos ,=u u u r n EP u u u rg u u u r n EP n EP13=-.∵二面角P AC B --的平面角为锐角, ∴二面角P AC B --的平面角的余弦值为13. …12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1)解:依题意设(kp k s=为常数),由于()()15104s t t =+≤≤,∴()()04151kp t t =≤≤+. …2分当0.5t =时, 145p =, 则()45150.51k =⨯+,解得18k =.∴()()()1860415151p t t t ==≤≤++. …4分当1t =时, 263525p ==⨯. ∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为35. …6分 (2)解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件A ，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事件B ，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件：A AB +. …7分∵()()43,55P A P B ==，∴()()()()P A AB P A P A P B +=+44323155525⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭. ∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为2325. …10分 (3)解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为ξ, 则23325B ,ξ⎛⎫⎪⎝⎭:.∴至少命中两个飞碟的概率为()()23P P P ξξ==+= …12分=C ()2231p p -+ C 333p23232233252525⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1534115625. …14分 19. （本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ， ∵ 1l 、2l 分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线， ∴直线1l 的斜率1'11x x x k y p===，直线2l 的斜率2'22x x x k y p===.∵ 12l l ⊥, ∴121k k =-, 得212x x p =-.① …2分 ∵A 、B 是抛物线C 上的点,∴ 221212,.22x x y y p p== ∴ 直线1l 的方程为()21112x x y x x p p -=-,直线2l 的方程为()22222x x y x x p p-=-. 由()()21112222,2,2x x y x x p p x x y x x p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得12,2.2x x x p y +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴点D 的纵坐标为2p-. …4分 (2) 证法1：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭.∴ 直线AF 的斜率为21221111122202AFx p p y x p p k x x px ---===-，直线BF 的斜率为22222222222202BFx p p y x p p k x x px ---===-. ∵2222121222AF BFx p x p k k px px ---=-…6分 ()()22222112122x x p x x p px x ---=()()2121212122x x x x p x x px x -+-=()()221212122p x x p x x px x --+-=0=. ∴AF BF k k =. ∴A 、B 、F 三点共线. …8分证法2：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭.∴2221111,,222x p x p AF x x p p ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，2222222,,222x p x p BF x x p p ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r . ∵ 221222112112222222122222p x p x x x x x pp x p x x x x x p ----===----, …6分∴ //AF BF u u u r u u u r .∴A 、B 线证法3：设线段AB 的中点为E , 则抛物线C 的准线为:2pl y =-. 作11,AA l BB l ⊥⊥, 垂足分别为11,A B∵ 由(1)知点D 的坐标为12,22x xp +⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴DE l ⊥.∴DE 是直角梯形11AA B B 的中位线. ∴()1112DE AA BB =+. …6分根据抛物线的定义得:11,AA AF BB BF ==, ∴()()111122DE AA BB AF BF =+=+. ∵AD DB ⊥,E 为线段AB 的中点,∴12DE AB =. ∴()1122AB AF BF =+,即AB AF BF =+. ∴A 、B 、F 三点共线. …8分 (3)解: 不存在. 证明如下：假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M ，依题意得,MA AD MB BD ⊥⊥，且MA MB =，由12l l ⊥，得AD BD ⊥. ∴ 四边形MADB 是正方形. ∴AD BD =. …10分∵点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴12-=-p,得2p =. 把点D 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入直线1l , 得211131422x x x ⎛⎫--=⨯- ⎪⎝⎭解得14x =或11x =-,∴点A 的坐标为()4,4或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理可求得点B 的坐标为()4,4或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.由于A 、B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,()4,4B .∴AD ==, BD ==. (13)分∴AD BD ≠, 这与AD BD =矛盾. ∴经过A 、B两点且与1l 、2l 都相切的圆不存在. …14分 20. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:∵()32f x x x ax b =-++, ∴()'232f x x x a =-+.∵()32f x x x ax b =-++的一个极值点为1x =, ∴()'2131210f a =⨯-⨯+=.∴ 1a =-. …2分∴()()()'2321311f x x x x x =--=+-,当13x <-时, ()'0f x >;当113x -<<时, ()'0f x <;当1x >时, ()'0f x >;∴函数()f x 在1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递增, 在1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,在[)1,+∞上单调递增.∵方程20ax x b ++=的两个实根为,αβ, 即20x x b --=的两根为,αβ()αβ<,∴αβ==. ∴1,b αβαβ+==-,αβ-=…4分∵ 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的,∴区间[],αβ只能是区间1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,[)1,+∞之一的子区间.由于1,αβ+=αβ<,故[]1,,13αβ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦.若0α<,则1αβ+<,与1αβ+=矛盾. ∴[][],0,1αβ⊆. ∴方程20x x b --=的两根,αβ都在区间[]0,1上. …6分令()2g x x x b =--, ()g x 的对称轴为[]10,12x =∈,则()()00,10,140.g b g b b =-≥⎧⎪=-≥⎨⎪∆=+>⎩解得104b -<≤.∴实数b 的取值范围为1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦. …8分说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.∵1111,2222αβ-+=≤=≥且函数()f x 在区间[],αβ上是单调的, ∴ []1,,13αβ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦.由1,31,140.b αβ⎧≥-⎪⎪≤⎨⎪∆=+>⎪⎩即11,231,140.b ⎧-≥-⎪≤⎪+>⎪⎪⎪⎩…6分解得104b -<≤.∴实数b 的取值范围为1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦. …8分 (2)证明:由(1)可知函数()f x 在区间[],αβ上单调递减, ∴函数()f x 在区间[],αβ上的最大值为()f α, 最小值为()f β. ∵[]12,,x x αβ∈,∴()()()()12f x f x f f αβ-≤-()()3232b b αααβββ=--+---+ ()()()3322αβαβαβ=-----()()()21αβαβαβαβ⎡⎤=-+--+-⎣⎦()1b =-()1b =-. …10分令t =则()2114b t =-()1b -()3154t t =-. 设()()3154h t t t =-, 则()()'21534h t t =-.∵104b -<≤,∴01t <≤.∴()()'21534h t t =-0>. ∴函数()()3154h t t t =-在(]0,1上单调递增. …12分∴()()11h t h ≤=.∴ ()()121f x f x -≤. …14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解:∵对任意n ∈N *都有1n n a b +=,121n n n na ba a +=-, ∴12211111n n n n n n na b a a a a a +-===--+. ∴1111n na a +=+,即1111n n a a +-=. …2分∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公差为1的等差数列.∵11a b =, 且111a b +=, ∴11a b =12=. ∴()1211nn n a =+-=+. …4分 ∴ 11n a n =+, 11n n nb a n =-=+. …6分(2)证明: ∵11n a n =+, 1n nb n =+, ∴1n n a b n =.∴所证不等式()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L , 即()1111111ln 11234123n n n++++<+<+++++L L . ① 先证右边不等式: ()111ln 1123n n +<++++L .令()()ln 1f x x x =+-, 则()'1111xf x x x=-=-++. 当0x >时, ()'0f x <,所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递减. ∴当0x >时,()()00f x f <=, 即()ln 1x x +<. …8分分别取1111,,,,23x n=L .得()111111ln 11ln 1ln 1ln 112323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L .即()111111ln 1111112323n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g g gL g L .也即341111ln 212323n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯<++++ ⎪⎝⎭L L . 即()111ln 1123n n+<++++L . …10分② 再证左边不等式: ()1111ln 12341n n ++++<++L . 令()()ln 11x f x x x =+-+, 则()()()'2211111x f x x x x =-=+++. 当0x >时, ()'0f x >,所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增. ∴当0x >时,()()00f x f >=, 即()ln 11xx x +>+. …12分分别取1111,,,,23x n =L .得()111111ln 11ln 1ln 1ln 123231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++>+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L .即()111ln 1111123n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g g gL g 111231n >++++L . 也即341111ln 223231n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯>+++ ⎪+⎝⎭L L . 即()111ln 1231n n +>++++L . ∴()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L . …14分。