根轨迹图绘制方法对比分析
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
自动控制原理之根轨迹图
* c
5
，
* 令 s j ， 并 将 K * K c 5代 入 辅 助 方 程 可 求 出 c 1 。系统的根轨迹如图4-13所示。
2 1 .5 1 0 .5
p3
Kc 5
*
Байду номын сангаас
0
p2 p1
j
0 – 0 .5 –1 – 1 .5 –2 –3 –2
p4
–1
0
1
2
图4-13 例4-9系统的根轨迹图
a nm 40 1
渐近线与实轴正方向的交角为
2 k 1 a π n m
当k = 0时， 当k = 1时， 当k = 2时， 当k = 3时，
a
π 4 3π 4
45
a
135
a
a
5π 4 7π
4
135
45
⑸由规则五可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。 分离点方程是
4 3
3
⑺ 该系统为4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的 * 交点 c 和对应的开环根轨迹增益的临界值 K c 比较困 * 难。下面采用劳斯判据求出 c 和 K c 的值。 根据系统的特征方程列出劳斯表如下：
s
4
1 4 5
20 4 K 5
*
6K 4
K
*
*
s 2 s
s
1
3
0 0
0
s
0
K
*
令劳斯表中s1 行的首项系数为零，求得 K 2 * 2 由 s 行系数写出辅助方程为 5s K 0
s 4s 6s 4s K 0
4 3 2 *
由规则二知，该系统的根轨迹共有4条分支（n=4），4条根 轨迹连续且对称于实轴。 ⑶由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线 段。
绘制根轨迹的基本方法
ב
第二节 绘制根轨迹的基本方法
τ<T 2）
(1)开环零、极点分布 1 p2= - T z1= τ 1 p1=0
jω
z1
p2 p 0 1
(2) 实轴上根轨迹段 p1~p2 z1~-∞ (3)系统的根轨迹
p1和p2为根轨迹 的起点
τ
-1
-1 T
z1和-∞为根轨迹 的终点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
第二节 绘制根轨迹的基本方法
例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 Kr(s+3) G(s)H(s)=(s+1)(s+2) 4）分离点和会合点 解：1）开环零、极点 pA(s)B'(s)=A'(s)B(s) p2=-2 1=-1 解方程得 z1=-3 jω 根轨迹的分离点 2）实轴上的根轨迹段 A(s)=s2+3s+2 B(s)=s+3 z1 p2 p s1=-1.6 z1~ p1~p2 -1 -3 -2 1 0 A'(s)=2s+3 B'(s)=1 根轨迹的会合点 3）根轨迹的渐近线 整理得 s2n-m= 1 =-4.4 (s2+3s+2)=(2s+3)(s+3) +2 (2k+1) +180o π 5) 根轨迹 θ= s +6s+7=0 = 1 8
实验一_控制系统根轨迹图的绘制及分析
实验一 控制系统根轨迹图的绘制及分析1 实验目的1).掌握根轨迹绘制的方法和基本原理。
2).学会用MATLAB 语言绘制控制系统的根轨迹并作适当的分析。
3).学习MATLAB 基本应用。
2 实验原理控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，而系统过渡过程的基本特性，则与闭环零极点在s 平面的位置有关。
根轨迹法就是在已知控制系统开环传递函数零极点分部的基础上，研究某些参数变化时控制系统闭环传递函数零极点分布影响的一种图解方法。
利用根轨迹法，能够分析系统的瞬态响应特性以及参数变化对瞬态响应特性的影响。
也可以根据对瞬态响应的要求去确定可变参数或调整零极点的位置和个数。
因此，根轨迹法可以用于解决线性系统的分析和综合问题。
2.1 求系统根轨迹rlocus 命令可求得系统的根轨迹 格式：[ r ，k ] = rlocus （num ，den ） [ r ，k ] = rlocus （num ，den ，k ）不带输出变量时则绘出系统的根轨迹图，带输出变量时给出一组r ，k 的对应数据。
若给定了k 的取值范围，则该命令将按要求绘出图形或数组或者输出指定增益k 所对应的r 值。
每条根轨迹都以不同的颜色区别。
例一 某系统开环传递函数为：322()32kG s s s s=++ 要绘制系统的根轨迹，则输入： n = 2；d = [ 1 3 2 0 ]； rlocus （n ，d ）执行后得到下面图形。
-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-11234Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s若要得到指定增益k 值对应的r 值则输入：n = 2；d = [ 1 3 2 0 ]；[ r ，k] = rlocus （n ，d ，5）结果如下：r = -3.3089 0.1545 + 1.7316i 0.1545 - 1.7316ik = 5 2.2 求根轨迹增益rlocfind 命令可求得给定根的根轨迹增益。
第4章根轨迹
即 G(s)H(s)1
7
定义根轨迹方程为
m
K r ( s z i )
i 1
1
n
(s p j)
j 1
因ｓ为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相
角方程。
幅值方程为
m
K r ( s z i )
i1 n
1 或
(s p j)
j 1
m
(s zi)
(2k1)180
1 (4) 分离点和会合点为
A (s)B'(s)A'(s)B (s)
(s2 3 s 2 ) (2 s 3 )s( 3 )
解方程得 s1 1 .6 , s2 4 .4
23
s1为根轨迹的分离点，s2为根轨迹的会合点。
6. 根轨迹的出射角和入射角
出射角:为根轨迹在复数起点处的切线与正实轴的夹角。
22
例4-4 已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s) Kr(s3)
(s1)(s2)
绘制系统的根轨迹图。
解 (1) 开环零、极点为p1=-1，p2=-2，z1=-3。
(2) 实轴上的根轨迹段为p1～p2段和z1～-∞段。 (3) n-m=1，故有一条根轨迹趋于无穷远。 渐近线与实轴的夹角为
4
4.1.1根轨迹
设系统的结构如图所示。其中，Ｋｒ为零、极点形式下 开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为
C(s) R(s)
s2
Kr 2sKr
闭环特征方程式为
s22sKr 0
特征根为
s1.21 1Kr
5
可得出以下几点：
1）０＜Ｋｒ＜１时，系统有 两个不相等的实数根，呈过阻尼 状态。
根轨迹的意义、绘制及分析方法
p4
z1
p1
z3
p3
规则七 根轨迹与虚轴的交点
•根轨迹与虚轴交点处的K1值和ω值可用劳斯判据 确定； •也可令闭环特征方程中的s=j ω,然而分别令其特 征方程的实部和虚部为0而求得。
•系统临界稳定时的闭环极点； •闭环纯虚数极点；
规则八 根之和
• n - m 2时 ， 特 征 方 程 第 二 项 的系 数 与K无 关 ， 无 论K取 何 值 开 环n个 极 点 之 和 总 是 等 于 闭环 特 征 方 程n个 根 之 和 。
j
d1 = -0.423 d2 = -1.578（舍去）
将 d1 = -0.423代 如 特 征 方 程 ：
D(s) s = −0.423 = (s(s + 1)(s + 2) + K1 ) s = −0.423 = 0
可 得 ：K 1 = 0.385
振荡与单调的 分界点
规则六： 根轨迹的起始角与终止角
Imaginary Axis (seconds-1)
Root Locus 5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Real Axis (seconds-1)
根轨迹的基本原理及概略绘制方法
4.2.1绘制根轨迹的基本条件 4.2.2绘制根轨迹的基本法则
4.2.1绘制根轨迹的基本条件
= 1.095, Kg = 8.16
根轨迹图
Root Locus 6
4
Imaginary Axis (seconds-1)
第4章 根轨迹分析法
图4-3闭环系统结构图
图4-1 反馈控制系统方框图 4.1.2 根轨迹方程
图4-2 例4-1的根轨迹
既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，则描述其变化关系的闭环特征方 程就是根轨迹方程。
一般闭环系统结构图如图4-3所示。系统的开环传递函数为Gk=G(s)H(s)，闭环传 递函数为
G (s) H ( s) Φ (s) = 1 + G (s) H ( s)
试概略绘制系统根轨迹。
n − m =2条根轨迹趋于无穷远处。根轨迹绘制步骤如下。
（1）实轴上的根轨迹：根据法则3，实轴上的根轨迹区段为 [− 4, −2]，[−1, 0] （2）渐近线：根据法则4，根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角为
−1 − 4 + 2 3 σa = =− 3 −1 2 ϕ = (2k + 1)π = ± π a 3 −1 2
图411例47的根轨迹表41绘制根轨迹的基本法则序号根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点终止于开环零点根轨迹的分支数对称性和连续性根轨迹的分支数与开环零点数m和开环极点数n中的大者相等根轨迹是连续的并且对称于实轴实轴上的某一区域若其右端开环实数零极点个数之和为奇数则该区域必是180根轨迹
第4章
根轨迹分析法
由式（4-4）确定的根轨迹方程可以分解成相角条件和幅值条件，即
∑
i=1
m
(s-zi) −∑ (s-pj) = (2k + 1)π (k = 0,±1,±2 …)
j =1
n
（4-7）
K
*
∏
m
s − z s − p
j
i=1
i
∏
n
= 1
（4-8）
j=1
实验五 线性系统的根轨迹分析方法
实验报告
实验名称线性系统的根轨迹分析方法课程名称
然后加入开环零点:
图中依次加入的开环零点为: -0.8 -0.6 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.6 0.8 1
上图为未增加零点是的根轨迹图,下图为增加了开环零点的根轨迹图
上图在原系统的基础上加入了开环零点-0.7,下图在增加了开环零点
从之前的实验可以知道,加入开环极点可能会使主导极点发生改变系统造成影响。
所用程序如下:
clc;clear all;
z=[-0.7];p=[-0.2 -0.5 -1];k=[1];sys=zpk(z,p,k);
rlocus(sys);znew=[-1.5 -0.4 0 0.3 ];figure;
新增极点为-0.8 -0.6 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.6 0.8 1
代码如下:
clc;clear all;
zp=[-0.8 -0.6 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.6 0.8 1];
i=1:9
可以得到如下结论:
a)随着增加的开环极点不断往右移动的过程中,系统的根轨迹图总体上也在
往右移动,这会使系统的稳定性变差。
当加入极点在虚轴左边时,系统的根轨迹未进入不稳定区域。
可以认为加入一个极点对系统稳定性影响不大。
b)增加开环极点可能使系统的主导极点改变,从而影响系统的动态性能。
可以发现矫正环节使根轨迹发生变化,达到了要求。
查看工作空间可看出误差:
22
13sin(10+arctan 3)+8.02
,其大于,不满足要求。
4,重复上述过程40.08sin(4arctan ≈+
第页共页。
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
4-2根轨迹的基本规律及绘制
3、只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现 复平面上的分离点。
02:08
例 已知系统的开环传函如下，试求出系统根轨迹的分
离点。
G(s) H(s)
K*
(s1)(s 2)(s 3)
解 本系统无有限开环零点，所以
1 1 1 0 d 1 d 2 d 3
3d 2 12d 11 0 d1 1.42, d2 2.58
(k 0)
3
(k 1)
(k 2)
3
02:08
j
A
a 60°
B
180 °
-4 -3 -2 -1 a 0
300°
-60°
C
根轨迹的渐近线
02:08
02:08
j
180
a
0
n m 1
j
90
a 90 0 nm2
j
180
a
1
1 nm
a1
b1 s
1
s 1
a1
b1 s
nm
s 1
n
1 m
a1
b1 s
s
a1 b1 nm
02:08
1
s 1
a1
b1 s
nm
s
a1 b1 nm
s 1
a1 b1 s
1
nm
nm
02:08
j
[s]
分离点
d1
d2
-4 -3 -2 -1
0
p3
C
p2
A
B
p4
j
[s]
第四章根轨迹法41根轨迹的基本概念42根轨迹的绘制方法
T1...Tn (s 1 )...( s 1 )
T1
Tn
k
(s (s
z1) (s p1) (s
zm ) pn )
z1, z2 zm为系统的m个开环零点;
p 1 , p 2 p n为系统的n个开环极点; Zero
Poles
K为系统的开环增益; k为系统开环跟轨迹增益.
4-2根轨迹的绘制方法
以s=j代入 (s 1 )[ s (1 )26 ]k0
( 1 0 K 52 ) j(3 14 ) 0
= =
0
0
143.74
k 60
因此,与虚轴交点的坐标为±j3.74
(2) 利用劳斯判据
将系统特征方程展开为: s3 5 s2 1s4 (1 0 K )0
劳斯阵列表为:
s 3 1 14
s 2 5 10+K
j
根轨迹的分支数等于开环极点数.
3. 根轨迹的对称性 Symmetry
根轨迹或是在实轴上,或是对称实轴.
4. 实轴上的根轨迹
若试探点S1右边零点极点总数是奇数，
则S1点所在的线段是根轨迹的一部分.
5. 根轨迹的渐近线 Asymptote
渐近线的倾角为:
j
S1
18 (2k 0 1 ) (k0,1 ,2, )
系统的闭环传递函数为: 系统特征方程为: 解方程得闭环特征根为:
C(s) K R(s) s(s1)K
s2sK0
s1
1 2
1 2
1 4K
s2
1 2
1 2
1
4K
K取不同值对应的闭环根 s1,s2
K 0 1/8 1/4 1/2
…… ∞
S1 0 -0.146 -0.5 -0.5+j0.5 … … -0.5+j∞ S2 -1 -0.854 -0.5 -0.5+j0.5 … … -0.5-j∞
根轨迹的绘制法则
第4章 根 轨 迹 法根轨迹的基本概念所谓根轨迹是指控制系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。
一般取开环增益为可变参数，但也可以用系统中的其他参数，如某个环节的时间常数等。
根轨迹的绘制法则gnj jmi iK ps z s s D s N 1)()()()(11-=++=∏∏== 在绘制根轨迹时，通常首先求出g K ＝0和g K ＝∞时的特征根，再根据绘制法则画出0＜g K ＜∞时的根轨迹草图；一. 根轨迹的起点（K g =0）上式说明，当g K ＝ 0时，系统的开环极点就是闭环极点。
绘制根轨迹时，我们通常是从g K ＝ 0时的闭环极点画起，即开环极点是闭环根轨迹曲线的起点。
起点数n 就是根轨迹曲线的条数。
二. 根轨迹的终点（K g =∞）当g K ＝∞时，闭环特征方程式为∏==+=mi i z s s N 1)()(这就是说，系统的开环零点就是g K =∞时的闭环极点，即根轨迹曲线的终点。
其个数为m ，另外的n －m 个根轨迹终点在无穷远。
三. 根轨迹的分支数和对称性根轨迹在s 平面上的分支数（条数）等于开环特征方程的阶数n ，即与开环极点个数相同。
此外，在一般控制系统的特征方程中，各项系数都是实数。
因此，特征根或是实数，或是共扼复数，则根轨迹一定是对称于实轴。
四. 实轴上的根轨迹当开环传递函数有实数极点、零点时，这意味着实轴上有根轨迹的起点和终点。
这时，必须确定实轴上哪一区间有根轨迹，哪一区间没有根轨迹。
五. 根轨迹的分离点和会和点在有根轨迹的实轴上，存在着两个开环极点时，必然有一个分离点a 。
同样，在有根轨迹的实轴上，存在两个开环零点(包括无穷远零点)时，必然有一个会合点b 。
当g K 为g K a (a 点的g K 值)或g K b (b 点的g K 值)时，特征方程都将出现重根。
这是两者的共性。
此外，分离点a 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最大g K 值；会合点b 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最小g K 值。
控制系统的根轨迹法分析
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为 ， 90 根轨迹为圆，如下图所示。
（2）当 2 时，阻尼角
2Hale Waihona Puke 45，表示 45角的直线为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
闭环系统的极点为
s 2 1
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
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求取根轨迹上指定点的开环根轨迹增益， rlocfind 以及在该增益下系统的所有闭环极点
pzmap 绘制 LTI 系统的零极点分布图
sgrid
在连续系统根轨迹图或零极点分布图中， 绘制由等阻尼比线和等自然频率线所构 成的网络
num = [1 ]； den = [1 3 2 0]； rlocus (num，den)%绘制系统的根轨迹 故可绘制根轨迹图，如图 2 所示：
根轨迹法是经典控制理论中对系统进行分析 和综合的基本方法之一，它根据系统的开环零极 点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特 征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行 定性分析和定量计算，由于它的形象直观、使用 方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。
在自动控制理论中传统的用手工绘制根轨迹 图是一个相当繁琐的过程，而且绘制出来的根轨 迹图的精度也不是很高。一般对于一、二阶系统 的根轨迹可以通过分析法得到，而高阶系统的根 轨迹绘制起来十分繁琐费时。为了缩短绘制过程， 人们根据轨迹的相角和幅值条件推证出若干绘制 根轨迹的规则，以便简捷地求出根轨迹的大致图 形。
ϕ = (2k +1)π = (2k +1)π = (± π ,π )
n−m
3−0
3
∑ ∑ σ = pi − z j = 0 −1− 2 + 0 = −1；
n−m
3−0
5) 实轴上根轨迹区间： (0,−1)及(−2,−∞) ； 6)分离点： 1 + 1 + 1 = 0
d +1 d + 2 d
d1 = −0.42及d2 = −1.58 因为 d 2 不在根轨
本文链接：/Periodical_jdjs201205007.aspx
正如上所说，无法很快的绘制出精确图形。 那么如何能快速而准确地绘制出系统的根轨迹图 呢？这里提出运用 MATLAB 软件解决这一问题， MATLAB 的运用，使得根轨迹的绘制不仅方便快 捷，而且也十分精确，并且能很准确地计算出系 统的参数，进而使得根轨迹法在工程实践中得到 了更加广泛的应用。
1 利用绘制规则绘制根轨迹图
迹区间内所以舍去； 7) 虚轴交点：令 s = jω 带入闭环特征方程
式，解之得：
ω = 0,ω = ± 2 相对应的 K 为 0 和 6，故可 绘制根轨迹草图，如图 1 所示。
图 1 系统根轨迹草图
2 应用 MATLAB 绘制根轨迹图
MATLAB 软件控制系统工具箱提供了许多
函数来绘制根轨迹和对控制系统进行分析，见表
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机电技术
2012 年 10 月
根轨迹图绘制方法对比分析
张琦
(陕西理工学院 机械工程学院，陕西 汉中 723000)
摘 要：将自动控制理论中根轨迹法绘制的根轨迹图和利用MATLAB软件绘制的根轨迹图进行对比，并分析系统 的稳定性。
关键词：根轨迹；MATLAB
中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1672-4801(2012)05-022-02
两种方法分析结论一致。但比较两种绘制根 轨迹图方法：第一种方法对于简单系统用很容易 绘制根轨迹草图，计算出系统稳定的临界点，但 对于高阶系统该方法计算量大，且绘制根轨迹图 不精确；而第二种方法利用 MATLAB 软件可以快 速准确地绘制出根轨迹图，利用 rlocfind 函数即 可容易求出系统稳定的临界点。因此在自动控制 系统分析中利用 MATLAB 绘制根轨迹图更方便、 准确，给分析系统提供精确的保障。
根轨迹图绘制方法对比分析
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
张琦 陕西理工学院 机械工程学院,陕西 汉中 723000
机电技术 Mechanical & Electrical Technology 2012(5)
参考文献(3条) 1.胡寿松 自动控制原理 2008 2.尹瑞竹 Matlab软件在自动控制原理教学中的应用 2007(05) 3.严峻 基于MATLAB的自动控制系统分析 2010(36)
第二种方法利用 MATLAB 中 rlocfind 函数也 可求交点处的增益 K：
[k，p]= rlocfind (num，den)%求取根轨迹上一 点的开环增益，以及在该增益下系统的所有闭环 极点；
rlocfind 函数找出根轨迹与虚轴的交点处的 增益 K=6，这说明当 K<6 时，系统稳定，当 K>6 时，系两种绘制根轨迹图方法对比分析
第一种方法中令 s = jω 带入闭环特征方程 式，解之得根轨迹与虚轴交点为 ω = ± 2 且相对
应的 K 为 6，分析图 1 也可以看出当 K<6 时系统 的所有根都在复平面虚轴的左侧，闭环系统稳定， 当 K>6 时将有两条根轨迹移向复平面虚轴的右 侧，系统呈不稳定状态。
1。
同样以单位负反馈开环传递函数
G(s) =
K
为例，利用 MATLAB 软件绘
s(s +1)(s + 2)
制根轨迹。程序如下：
作者简介：张琦(1983－)，女，讲师，研究方向：控制理论与控制工程。
第5期
张琦：根轨迹图绘制方法对比分析
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表 1 根轨迹法常用的 MATLAB 函数
函数名称
功能
rlocus 求系统的根轨迹
4 结束语
利用计算机辅助分析绘制根轨迹方便，快捷 且精确。MATLAB 根轨迹法使得分析自动控制系 统十分方便，不仅可以判断系统闭环是否稳定， 还可以分析系统阶跃响应的各个参数。根轨迹法 在今后的系统分析领域中必定会有更广泛的应 用。
参考文献： [1] 胡寿松.自动控制原理(修订本)[M].北京:机械工业出版社,2008. [2] 尹瑞竹.Matlab软件在自动控制原理教学中的应用[J].科技资讯,2007(5):141-143. [3] 严峻.基于MATLAB的自动控制系统分析[J].中国科技博览,2010(36):40.
在自动控制理论中，根据轨迹的相角和幅值
条件绘制根轨迹图的方法，例如：以单位负反馈
开环传递函数 G(s) =
K
为例，绘制根
s(s +1)(s + 2)
轨迹草图：
1) 三个开环极点(起点)：
P0 = 0, P1 = −1, P2 = −2 ； 2) 无开环零点(终点无穷远)；
3) 有三条根轨迹；
4) 渐近线方位：