两辆铁路平板车的装货问题的讨论
两辆铁路平板车的装货问题1.0
数学建模论文题目：两辆铁路平板车的装货问题小组成员：李航纪俊吉刘骏萍两辆铁路平板车的装货问题摘要：本题是一个装货问题，即在有限的空间内装最多的货物，使空间浪费率最小。
包装箱的宽度和高度是一样的，厚度是不同的。
每个装箱策略都会产生不同的浪费。
本文讨论的就是怎么样装箱，使浪费最小。
本文首先建立一个整数规划模型，考虑问题所给的约束条件，使得包装箱装到两辆铁路平板车，并且使得浪费的空间最小。
求解时运用LINGO软件和建立在线性规划求解的单纯基础上的分支界限法求的最优解。
在求得本问题的最优目标后，进一步运用C语言，求得了本问题的所有最优解，一共有30种。
并进一步分析，在实际装货过程中可能遇到的问题，比如在相同的空间利用率的情况下，装货的总重量问题，在30组解中进一步优化，求得最终的结果。
关键字：整数优化 LING最优解装货问题一、问题重述：有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上。
包装箱的高和宽是一样的，但厚度（t,以厘米计）及重量（g，以千克计）是不同的。
下表给出来了每种包装箱的厚度，重量以及数量。
每辆平板车有10.2m长的地方可以用来装包装箱（像面包片那样），载重为40t。
由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7厚度（cm） 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0重量（kg） 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数（件） 8 7 9 6 6 4 8二、问题分析：七种包装箱的重量和W= 89t，而两辆平板车只能载2*40=80t，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。
由题意，只考虑面包重叠那样的装法，把问题简化为：两辆车上装箱总厚度之和尽可能大，解决这一问题，以寻找最合适的方案：所浪费的空间最小，也就是说，是要让使用的空间最大。
案例+平板车的装载问题
1, 若对的 i个项目投资, xi 0, 若对的 i个项目不投资.
因此投资总额为
I 5 x1 2 x2 6 x3 4 x4 6 x5 8 x6 ,
因而预见的年收入为
P 0.5 x1 0.4 x2 0.6 x3 0.5 x4 0.9 x5 x6 ,
48.7 x11 52x12 61.3 x13 72x14 48.7 x15 52x16 64x17 1020 (11)
48.7 x21 52x22 61.3 x23 72x24 48.7 x25 52x26 64x27 1020 (12)
厚度约束
x11 x21 8
( 3) ( 4) ( 5) ( 6) (7) ( 8)
重量约束
2 x11 3 x12 x13 0.5 x14 4 x15 2 x16 x17 40 (9) 2 x21 3 x22 x23 0.5 x24 4 x25 2 x26 x27 40 (10)
此问题的数学模型为:
maxS [0.487 xi 1 0.520 xi 2 0.613 xi 3 0.720 xi 4
i 1 2
0.487 xi 5 0.520 xi 6 0.640 xi 7 ] ( 2) (13), s., t . (1).
这是整数线性规划模型
编程算出所有的最优解(前四种箱数约束事实上 可以用等式,第五,六种各三个,第七种为零). 我们今后会看到,即使我们利用计算机处理一 些问题,进行必要的数学处理和具体问题的分析 对我们解决问题往往很有帮助.特别是参加数学 建模竞赛时更是如此.
探索题：如果你多运行几次,观察结果有什么 不同?
大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题
大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题题目：两辆铁路平板车的装货问题摘要：在现代物流运输中，铁路平板车被广泛应用于货物运输。
在铁路货运过程中，如何高效地装货是一个重要的问题。
本文通过数学建模的方法，研究了两辆铁路平板车的装货问题。
根据问题的具体要求和约束条件，我们建立了一个优化模型，旨在最大化装货效率和减少装货时间。
我们采用整数规划模型，并使用数值实例进行了求解和验证。
关键词：铁路平板车；装货问题；数学建模；优化模型1. 引言近年来，物流运输行业日益发展，货物运输效率成为一个关键问题。
铁路平板车是一种常用的货物运输工具，它具有运能大、运输距离长、安全可靠等优点。
然而，如何高效地装货是一个需要解决的问题。
2. 问题描述假设有两辆铁路平板车，它们需要装载一批货物。
货物的重量和体积不同，平板车的装载能力也有限制。
问题要求确定如何合理地将货物装载到平板车上，使得装货效率最大化，并且尽量减少装货时间。
3. 模型建立我们首先将问题进行数学抽象，定义相关的变量和参数。
然后根据问题的具体要求和约束条件，建立一个优化模型。
在模型中，我们考虑了货物的重量、体积以及平板车的装载能力等因素，并在保证装货的合理性的前提下，最大化装货效率。
4. 模型求解为了求解优化模型，我们采用整数规划的方法，并使用数学软件进行求解。
通过数值实例的求解和验证，我们得出了合理的装货方案，并评估了装货效率和装货时间等指标。
5. 结论与展望本文研究了两辆铁路平板车的装货问题，通过数学建模的方法，建立了一个优化模型，并采用整数规划进行求解。
通过数值实例的验证，我们证明了模型的合理性和有效性。
然而，由于时间和资源的限制，本文的研究还有一定的局限性。
未来的研究可以进一步考虑更多的因素和约束条件，以提高装货效率和减少装货时间。
两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题11统计摘要本文针对包装箱的运输问题，建立了关于使得平板车空间浪费最小的一般数学模型与方法。
即使得空间浪费最小的最优解，属于优化类模型。
利用线性规划原理对问题进行分析求解，建立数学模型。
首先，将7种包装箱的厚度和重量分别设成相应的未知数，方便在题中的代入求解。
由此再进一步的研究。
对于问题，假设出各辆铁路平板车所载的7种包装箱的数目。
并考虑到铁路平板车，对所载包装箱的高度、重量等要求，利用所设未知数和已知的条件限制建立约束条件。
再对铁路平板车得空间浪费最少建立目标函数。
由此，可建立线性规划数学模型，对本文问题进行求解。
利用LINGO编程进行求得最优解,即得到最优设计方案：第一辆平板车载C1种类型的包装箱0件，C2种类型的包装箱5件，C3类型的包装箱2件，C4种类型的包装箱5件，C5种类型的包装箱2件，C6种类型的包装箱1件，C7种类型的包装箱2件；另一辆平板车载C1种类型的包装箱6件，C2种类型的包装箱2件，C3种类型的包装箱6件，C4种类型的包装箱0件，C5种类型的包装箱0件，C6种类型的包装箱0件，C7种类型的包装箱4件；这样的装载能使得两辆平板车的使用高度达到20.4米，空间利用率达到100%。
关键词：最小浪费空间、长度、重量、数量。
一、问题重述有 7 种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（ω，以kg 计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2m 长的地方可用来装包装箱302.7cm问:应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小？试建立此问题的数学模型。
二、模型假设1、包装箱的底面积恰好与平面车的平面积恰好相等。
2、包装箱之间不存在间隙，即包装箱所铺成的总高度没有影响。
3、将每个包装箱装入平板车都具有可行性。
4、各个货物装在车上的概率相同，相互之间的排放不存在关联性；5、在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度及重量的误差性，均为题中所给的准确数值；6、装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度，排除因局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；三、符号定义说明i a : 表示第i 类包装箱的厚度 i b ：表示第i 类包装箱的重量 i c ：表示第i 类包装箱i x ：表示在其中一辆车上装第i 类包装箱x 件 i y ：表示在另一辆车上装第i 类包装箱y 件 （i=1,2,3,4,5,6,7）四、问题分析七种包装箱的重量和W= =89t ，而两辆平板车只能载240=80t ，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。
两辆铁路平板车的装货问题(论文)1
两辆铁路平板车的装货问题摘要：铁路运输部门常常会遇到平板车的装货问题。
包装箱的宽度和高度是一样的，厚度是不同的。
每种装箱策略都会产生不同的浪费。
本文所要讨论的就是怎样装箱，使得浪费最小。
本题是个整数规划问题，其特点是约束条件比较多，而且涉及到两辆平板车的问题，必须综合考虑。
共有七种规格的包装箱要装上两辆平板车，包装箱的总数、后三种包装箱的总厚度、平板车的容量及载重量都有一定的限制。
我们根据平板车浪费空间最小的原则列出目标函数，再由各个限制条件列出约束函数。
首先我们利用matlab 求出30组满足条件的最优解（见表一），得到占用空间最大为2039.4cm ，最小浪费空间为0.6cm 。
其次我们考虑到两辆平板车的载货性能是一样的，应当使两辆车上的货物重量及占用的空间的差量尽可能小，为此我们对模型作出了一些改进，使结果进一步优化（见表二、表三）。
关键字：整数规划 matlab 最优解一、问题重述有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t ，以厘米计）及重量（ω，以kg 计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），载重为40t 。
由于当地货运的限制，对765,,C C C 类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm 。
试把包装二、问题假设1、包装箱之间的空隙不计；2、铁路平板车只能放置一列包装箱；3、假设各包装箱的厚度和重量的数值是精确的；4、包装箱不会因挤压因素等发生变形。
三、符号说明i c 第i 种包装箱ij x 第i 辆平板车上第j 种规格包装箱的数目；j w 第j 种规格包装箱的重量； j t 第j 种规格包装箱的厚度； j s 第j 种规格包装箱的总数目；其中， 2,1=i7,6,5,4,3,2,1=j四、模型的建立及求解定理一 最优解中第七种包装箱的装货量必然为0。
两辆铁路平板车的装货问题-最新文档
两辆铁路平板车的装货问题一、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
t（cm） 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0w（kg） 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数 8 7 9 6 6 4 8二、模型假设1、假设包装箱之间不存在空隙2、假设包装箱排成一排不存在叠放等形式3、假设外界环境对包装箱不产生磨损等三、符号系统t（i）第i种包装箱的厚度w（i）第i种包装箱的载重x（i）第一辆车第i种包装箱的个数y（i）第二辆车第i种包装箱的个数n（i）第i种包装箱总个数a（i）第i种包装箱装载总个数i=1，2，3，4，5，6四、模型建立一、最小浪费空间计算减少空间浪费存在的限制条件主要包括题目中提到的平板车的长度、载重量限度、包装箱自身的个数以及一些特殊限制。
综合以上提及的限制条件，建立数学模型：Min=2040?1020102040302.7利用Llingo求得把包装箱装到平板车上去浪费的最小空间为0.6cm。
（程序及数据输出见附录1）二、最优解中第七种包装箱的个数必定为0题目中要求总占据空间不超过2040cm，并且C5，C6，C7类所占空间不超过302.7cm，通过计算可知前四类若所有包装箱都装上恰好为最大装载空间1737.3cm。
为了使浪费空间最小，因此前四类和后三类的装载空间都需达到限制范围内的最大值。
下面对后三类包装箱所占空间的最大值。
利用C语言编程求解得最优解为302.1，且在x5=3，x6=3，x7=0的条件下，由此标题得证。
平板车装货问题
平板车装货问题摘要：本题是一个装货问题，即在有限的空间装最多的货物，使空间浪费最少。
题目要求及有关数据我们可以把平板车装包装箱问题看成线性规划的问题进行处理，首先我们把求浪费空间最小转化为求装包装箱空间最大的问题，同时我们取每种包装箱的数量为变量，然后我们根据每一种包装箱的厚度列出每一辆车的装货时占用的空间，我们先把两辆车看成一个整体，求出两辆车占用的空间之和，然后再把这个整体分成两部分，也就是求每一辆车上所装包装箱的种类和数量。
这样我们就可以以占用两辆车的空间之和作为目标函数max f。
根据题意装在每一辆车上的包装箱总厚度不能超过平板车的长度；装在每一辆车上的总重量不能超过每一辆平板车的最大载重量；还有对第5、6、7类包装箱占用的空间不能超过题目中的要求；同时，装在两辆车上的同类包装箱的总件数不能超过题目给的件数，并且变量要取正整数。
在这些约束条件之下对目标函数进行求解，我们使用LINGO软件进行编程求解，最后得到装包装箱的总的最大空间为2039.6cm，第一辆车上应装的包装箱种类及件数依次为：7、2、5、3、1、0、0，第二辆车上应装的包装箱种类及件数依次为：1、5、4、3、2、3、0。
这样我们便得到了给两辆平板车装包装箱最多，并且占用空间最小的方法。
关键字：线性规划问题、最大占用空间。
问题提出：本文是求在两辆平板车上装包装箱，使得装的包装箱的个数最多同时占用空间最小的问题，并且对平板车的长度和重量给出了限制，对每一种包装箱的厚度、重量和数量给出了限制，还有对个别种类的包装箱来说总的占用厚度又有限制，在上述的条件约束之下，求占用平板车的总空间大，装的包装箱个数最多的方法。
问题的分析：题目求的是在装的包装箱个数最多的情况下，浪费平板车空间最小的方法。
我们可以把求浪费空间最小的问题转化成求装包装箱占用空间最大的问题。
因此，我们就把装货问题看成了线性规划问题：在约束条件之下求最大占用空间的问题。
根据题意装可以从已知条件中找到约束条件，根据题意可知已知条件为：每一辆车上的包装箱总厚度不能超过平板车的长度；装在每一辆车上的总重量不能超过每一辆平板车的最大载重量；还有对第5、6、7类包装箱占用的空间不能超过题目中的要求；同时装在两辆车上的同类包装箱的总件数不能超过题目给的件数，并且变量取正整数。
两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]两辆铁路平板车的装货问题2014摘要：将七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上并要求浪费空间最小的问题，实质上就是整数线性规划问题。
建立整数线性规划模型，并用lingo软件求得目标函数最小值得给出一组最优解。
然而由于LINGO软件的缺陷性，我们发现仍然存在其他多组最优解。
通过对原始数据的分析论证，我们得到一个结论：对任意一组最优解，两辆车的总包装箱种类和数量是确定的（即浪费空间最小的情况下，装载包装箱的厚度和重量一定）。
在此结论的基础上，通过穷举法，并利用Java高级计算机语言进行编程，大大减少了计算量，加快了运算速度，最终求解出24组等价最优解。
关键词：装货问题整数线性规划穷举法 LINGO Java语言1、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以cm计）及重量（w，以kg计）是不同的。
表一给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
表一2、问题分析优化问题，一般是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源，即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或者利润最低[]1。
在此问题中，要求浪费的空间最小，且存在车长、载重40t 、货运限制C5，C6，C7类的包装箱的总数≤三个约束条件，并且自变量（包装箱的数量）取整数值才有意义，所以此问题可以通过建立整数线性规划来求解。
其一般形式为：∑==nj jj x c z 1min⎪⎩⎪⎨⎧⋯=⋯==∑=),,2,1(),,2,1(..1n j x m i b x a t s j i nj jij 为非负整数。
两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题摘要本题针对铁路平板车装货的问题，有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
在厚度、载重、件数等条件的限制下，要求我们把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
针对本问题，初步分析可得：题中所有包装箱共重89t，而两辆平板车只能载重共80t，因此，不可能全安装下。
根据题意可得，浪费的空间最小就是要求尽可能使两辆车上的装箱总厚度尽可能大。
根据题目中关于厚度、载重、件数等限制条件，建立相应的线性规划数学模型，写出相应的目标函数和约束条件。
使用数学软件matlab和lingo得出相应的最优解。
若有数组最优解，最后用Excel 对得到的最优解进行分析，得出最符合题意的答案。
关键词：线性规划最优解lingo matlab一、问题重述有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数 8 7 9 6 6 4 8问：应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小（尽量使这些包装箱所占的空间最大）？试建立此问题的数学模型。
二、问题分析2.1对题目的分析题目中的所有包装箱的总重量W=2*8+3*7+9*1+0.5*6+4*6+2*4+1*8=89t但是两辆平板车的总载重量只有80t，所以不可能全部装下所有货物。
题目要求试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
所以不以尽可能装满80t货物为目标函数，而是以使两辆车上的装箱总厚度尽可能大为目标函数建立数学模型。
平板车装货问题
两辆铁路平板车装货问题的讨论摘要本文将铁路平板车的装货问题抽象简化为整数线性规划问题，经过合理假设，建立了优化问题模型，然后利用matlab软件求出一组最优解，考虑到变量较多以及变量权值的特殊（如C2、C6长度相等）我们猜想可能存在多组解，我们再参考matlab求出的一组最优解，根据C语言编译程序求得所有符合条件的60组最优解，经过去重后最终得到30组最优解。
本文鉴于题中给出的C5,C6,C7类的包装箱的总数的限制条件“这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm”存在两种理解方式，对该问题分两种情况讨论，分别建立模型得出最优方案。
第一种理解认为对每辆平板车而言C5,C6,C7类的包装箱所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
对此我们建立了整数线性规划模型一并用matlab求得最优解为C1,C2......C6,C7类包装箱的数量为得到了包装箱所浪费的最小空间为0.6cm，参考此最优解进而用C语言求出最终6组最优解（详见表一）。
第二种理解认为两辆平板车C5,C6,C7类的包装箱所占的空间（厚度）累计不能超过302.7cm。
对此我们建立了整数线性规划模型二并用matlab求得最优解为C1,C2......C6,C7类包装箱的数量为（3，5，0，5，2，3，0，5，2，9，1，1，0，0），得到了包装箱所浪费最小空间为0cm，参考此最优解进而用C语言求出最终30组最优解（详见表二）。
关键词：整数线性规划分类讨论最优解一、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有1020cm的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm（分两辆车和一辆车两种情况讨论）。
两辆铁路平板车的装货问题的讨论教材
两辆铁路平板车装货问题的讨论摘要本文针对两辆铁路平板车装运包装箱的问题，建立了铁路平板车装运包装箱的整数规划模型，通过LINGO软件方便快捷地求出了平板车不同种类包装箱装运件数一组最优解，同时使用Fortran编程求出所有符合条件的最优解。
本文鉴于题目中"当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数的特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm"的存在的歧义，对该问题分两种情况进行讨论，分别建立模型，得出了不同情况下满足题设的最优方案。
第一种情况认为货运的限制针对于每辆平板车，即每辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm。
针对该情况，我们建立了两辆铁路平板车装运包装箱的整数规划模型一，并用LINGO求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（6，2，6，0，0，0，4；1，5，2，5，1，1，2），剩余厚度为0cm。
考虑到LINGO求解整数规划只能求出一组最优解的局限性，我们进而用Fortran编程求出了所有符合条件的12组最优解。
因为不考虑两车先后次序，我们又用对结果去重，最终得到6组最优解（详见表一）。
另一种则认为货运的限制针对于一次货运，在本题中则为两辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm。
针对该情况，我们同样也建立了铁路平板车装运包装箱的整数规划模型二，并用LINGO求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（3，2，9，1，3，0，0；5，5，0，5，0，3，0），剩余厚度为0.6cm。
同样由于LINGO软件的局限性，我们又用Fortran编程求得所有符合条件的54组最优解，经过去重后最终得到27组最优解（详见表二）。
关键词：整数线性规划LINGO局限性Fortran一、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
两辆铁路平板车的装载方法研究
两辆铁路平板车的装货问题的探讨37组杨艳林周旭斌刘汇川周旭斌：论文大体框架的编写杨艳林：算法模型的建立，使用VB编写程序刘汇川：算法模型的建立，使用C语言和Lingo编写程序（河海大学）摘要：针对两辆铁路平板车的装货问题，我们将问题分成以下四种情况进行讨论求解：1）平板车只能装下一排包装箱，每一辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占空间都不超过302.7cm;2）平板车能装下两排包装箱，每一辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占空间都不超过302.7cm;3）平板车只能装下一排包装箱，在两辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占总空间不超过302.7cm;4）平板车能装下两排包装箱，在两辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占总空间不超过302.7cm;我们采用了约束优化和部分穷举法的方法对问题进行了求解，并用空间浪费率来表示空间浪费情况。
得到最优解的所有包装箱装车组合后，我们又考虑到一次运输能够放入的包装箱数量最多最多、载重最多和最安全的问题，得出了相应的最优装车组合。
我们得到的结果为：第一种情况下下两辆平板车可完全装满，空间浪费率为0；第二种情况下两辆平板车不能装满，两辆平板车浪费的空间总和为0.6cm,空间浪费率0.03%；第三种情况下，两辆车的空间浪费率为29.32%；第四种情况下两辆车的空间利用率为50.01%；相应的最优装车组合由于每种情况不止一种，我们将在模型解答中给出详细情况。
关键词：约束优化装箱设计穷举法1 问题重述：有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有1020cm的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm（分两辆车和一辆车两种情况讨论）。
实验5--平板车的装货问题
平板车的装货问题一、问题重述：有七种规格的包装箱有装到两辆铁路平板车上(如图所示).包装箱的高和宽相同,但厚度及重量不同,具体如表所示.每辆平板车载重40吨,并有10.2米的地方用来装箱.由于当地货物的限制,对x5,x6,x7类包装箱要求其总共所占空间(厚度)不能超过302.7厘米,试把包装箱装到平板车上使得浪费的空间最小.二、模型分析：本模型属于优化问题。
包装箱的长和宽均相等，厚度不一，本题假设厚度一定时（小于等于302.7厘米），求所装货物所占的最小空间。
三、符号说明：四、模型建立：目标函数：MIN=(2040-(48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7+48.7*y1+52 *y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7));约束条件：两辆平板车的载重限制：2*x1+3*x2+x3+.5*x4+4*x5+2*x6+x7<=40;2*y1+3*y2+x3+.5*y4+4*y5+2*y6+y7<=40;平板车长度的限制：48.7*y1+52*y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7<=1020;48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7<=1020; 对处，x5,x6,x7三类包装箱所占空间的限制：48.7*y5+52*y6+64*y7+48.7*x5+52*x6+64*x7<=302.7;且各变量均为整数。
五、模型求解运用lingo软件进行模型求解，所编程序如下：MIN=(2040-(48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7+48.7*y1+52 *y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7));48.7*y5+52*y6+64*y7+48.7*x5+52*x6+64*x7<=302.7;48.7*y1+52*y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7<=1020;48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7<=1020;2*x1+3*x2+x3+.5*x4+4*x5+2*x6+x7<=40;2*y1+3*y2+x3+.5*y4+4*y5+2*y6+y7<=40;x1+y1<=8;x2+y2<=7;x3+y3<=9;x4+y4<=6;x5+y5<=6;x6+y6<=4;x7+y7<=8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(y1)；@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);@gin(y6);@gin(y7)；运行结果：Global optimal solution founy at iteration: 213097Objextive value: 0.6000000Variable Value Reyuxey XostX1 6.000000 -48.70000X2 2.000000 -52.00000X3 5.000000 -61.30000X4 3.000000 -72.00000X5 1.000000 -48.70000X6 1.000000 -52.00000X7 0.000000 -64.00000Y1 2.000000 -48.70000Y2 5.000000 -52.00000Y3 4.000000 -61.30000Y4 3.000000 -72.00000Y5 2.000000 -48.70000Y6 2.000000 -52.00000Y7 0.000000 -64.00000Row Slaxk or Surplus Yual Prixe1 2039.400 1.0000002 0.6000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.6000000 0.0000005 9.500000 0.0000006 2.500000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 3.000000 0.00000012 1.000000 0.00000013 8.000000 0.000000 最优解为：平板车1的装货数量为：6 2 5 3 1 1 0平板车2的装货数量为：2 5 4 3 2 2 0此时平板车所浪费的空间最小。
两辆铁路平板车的装货问题
謝謝！
符号说明
c(j) x(ij) w(j) t(j) s(j) 第j种包装箱; 第i辆平板车上第j种规格包装箱的数目； 第j种规格包装箱的重量； 第j种规格包装箱的厚度； 第j种规格包装箱的总数目；
i=1,2; j=1,2..7;
问题分析
题中包装箱共有89吨，而两辆平板车只能装
载80吨，所以不能把所有包装箱全部装载。 究竟两辆车上各装载多少个包装箱才适合？ 必须有个评价标准。这个标准就是符合题中 的重量﹑厚度的要求，并尽量多装。可以看 出这是一个线性规划的问题。
结果
利用LINGO求解该线性规划： 第一辆车装载情況：
Ｃｊ Ｃ１ Ｃ２ Ｃ３ Ｃ４ Ｃ５ Ｃ６ Ｃ７
件數
８
０
９
１
０
０
０
第二辆车装载情況：
Ｃｊ Ｃ１ Ｃ２ Ｃ３ Ｃ４ Ｃ５ Ｃ６ Ｃ７
件數
０
７
０
５
０
０
４
浪费的空间
第一辆车： 10.2—8*0.487—9*0.613—1*0.72 = 0.067（m） 第二辆车： 10.2—7*0.5 2—5*0.72—4*0.64 = 0.0.4（m）
线性规划回顾
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、
方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管 理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函 数的极值问题的数学理论和方法。
模型的一般形式：
（1）列出约束条件及目标函线性规划步骤； （2）画出约束条件所表示的可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值。
问题
有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱
的宽和高是一样的，但厚度（t）及重量（ω）是不同的。 下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每辆平板 车有10.2m长的地方可用来装包装箱（象面包片那样）， 载重为40t。由于当地货运的限制，对C5﹑C6﹑C7类的包 装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚 度）不能超过302.7cm。试把包装箱上平板车而使浪费的 空间最小。
两辆平板车的装载问题.ppt
穷举的流程图如图：
上面的枚举过程可用枚举树来表示。为简单起见，设有3个 变量y1,y2,y3。y1可取值y11,y12,y13; y2可取值y21,y22; y3可取值y31,y32。这个枚举过程如下图
在具体枚举时，我们可以用深度优先来搜索。
在上图例子中，先固定y1,y2,再穷尽y3;然后再固定y1,再穷 尽y2；等等。过程如图。
库存量(个) 8 7 9 6 6 4 8
不妨设箱子的宽度和高度均相同，在每量车上装 载的货物箱的厚度和不超过10.2m, 总重量不超过40t的前提下，应如何装载，使平板 车浪费的空间最小？当地铁路部门还有一个附加 的规定：第5，6，7这3种箱子装车的厚度和不得 超过3.027m。
二、模型的建立
令ti , wi , ni分别表示第i种货物箱的厚度，重量和库存量。设xi和xi分别表示第i种货物箱在 两辆平板车上的装载数，显然这些量均为非负的。
使车浪费的空间最小，等价于装载货物箱的厚度和达到最大。用s表示两辆车上厚度和
7
s ti (xi xi) i 1
限制条件为（单位用cm）
7
7
ti xi 1020, ti xi 1020,
i 1
i 1
7
7
wi xi 40, wi xi 40,
i 1
i 1
货物库存量的限制为
xi xi ni (i 1,,7) 关于第5，6，7这三种货物箱的限制写为
两平板车的装载问题
一、问题提出
• 有两辆长10.2米，载重40t的铁路平板车，要装载 7种不同规格的货物箱，这7种箱子的厚度，重 量，库存量如下表所示：
箱类型 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 厚度(cm) 48.7 52 61.3 72 48.7 52 64 重量（t） 2 3 1 0.5 4 2 1
两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题郁舒阳，刘冲，孙屹（河海大学）摘要本文将铁路平板车的装载排列问题抽象为线性规划问题中的整数规划问题，经过合理的假设，建立了问题的最小化模型，然后分别通过Matlab软件和Lingo 软件的解得的结果比较，得到了包装箱所占最大空间为2039.4cm（也即浪费的空间最小）。
该模型简单直观，可推广应用于集装箱装货问题，仓库装货问题等相似领域。
关键词优化排列整数规划最大空间1.问题的重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数 8 7 9 6 6 4 82.问题的分析由于包装箱的宽和高是一样的，但厚度和重量是不同的额，所以在解决问题的过程中可以忽略包装箱的宽和高，而仅仅考虑包装箱的厚度、重量以及数量。
并且在本问题中还对两辆车的容量（有10.2米长的地方可用来装包装箱），载重（40吨），对C5,C6,C7类的包装箱的总数的限制（厚度不能超过302.7cm），还有包装箱Ci的数量限制，使得本问题变为一个线性规划问题中的整数规划问题，从而使本问题的解决思路变得明朗起来。
3.模型的假设1）不考虑包装箱之间的装配间隙。
2）不考虑包装箱的变形，即认为包装箱至始至终体积不变。
3）假设平板车能容纳包装箱的宽和高。
4）假设每种包装箱完全一样。
案例+平板车的装载问题
两辆平板车装箱总厚度之和
2
S [48.7 xi1 52 xi2 61.3xi3 72xi4
i 1
48.7 xi5 52 xi6 64 xi7 ]
此问题的数学模型为:
2
maxS [0.487 xi1 0.520 xi2 0.613 xi3 0.720 xi4
图1
(0,1,1/3,1,1,1), 3.0
x3 0 (2/5,1,0,1,1,1), 3.0
x3 1
(0,1,1,0,1,1), 2.9
由于x3=0 的解中x1=2/5 , 我们进一步增加约束x1=0 或 x1=1 来考察,即将变量取0,1的值的约束改为x3=0, x1=0 或x3=0, x1=1 来求解.
(6)
x16 x26 4
(7)
x17 x27 8
(8)
重量约束 2x11 3x12 x13 0.5x14 4x15 2x16 x17 40 (9) 2x21 3x22 x23 0.5x24 4x25 2x26 x27 40 (10)
i 1
0.487 xi5 0.520 xi6 0.640 xi7 ]
s.,t.
(2)
(13), (1).
这是整数线性规划模型
我们运用LINDO软件求解,可以得到该问题的一 个最优解为
c1 c2 c3 c4 c5 C6 c7 总重 总厚度 一 3 2 9 1 3 0 0 37.5 1019.9 二 5 5 0 5 0 3 0 29.5 1019.5
分支定界法的思想是:先求解LP:即放宽变量的 取值范围,改成0≤ xi ≤1.此时得到的最优解若是 整数,则它就是ILP的最优解;否则,我们在此解 本附例近比来较找简到单,一我们个不可用行软解件,即可直整接数求解解. LP.为此,我们
平板车的装箱问题
附件：2011年西安理工大学大学生数学建模竞赛试卷封面式样封一答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：论文题目：装箱设计问题组别：本科生参赛学校：西安理工大学报名序号：（可以不填）参赛队员信息(必填)：封二答卷编号（竞赛组委会填写）：评阅情况（省赛评阅专家填写）：省赛评阅1：省赛评阅2：省赛评阅3：省赛评阅4：省赛评阅5：装箱设计问题摘要为给铁路乘客创造更好的环境，提高铁路平板车的工作效率显得尤其重要，而铁路班车的装箱设计就成了重中之重。
同样的板车，同样多的箱子，不同的装法，就有不一样的效果。
我们对板车的装箱设计建立整数规划模型，使所有箱子占用最小的空间，。
箱子共重89吨，显然两辆平板车不能全部装下所有的包装箱，包装箱的宽和高都相同，只需要考虑包装箱的厚度和车长的关系，那么我们的目标就是让这两辆平板车的空间浪费最小，所装箱子的总厚度最大。
前提是满足板车载重的要求，箱子厚度的要求。
由此可列出目标函数和约束条件。
求解时利用lingo软件和整数规划，解得两辆平板车可装得箱子的最大厚度为2039.9cm,浪费了0.1cm.总体效果很好。
关键字：装箱设计，整数规划，lingo软件一：问题重述要把七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，包装箱的宽和高都是相同的，但厚度（t ，以厘米计）及重量（w,以千克计）是不一样的如下表所示，给出美中包装箱的厚度、重量及数量，每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱，载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占空间不能超过302、7cm 。
试问怎样把包装箱装到平板二：问题分析往平板车上装包装箱，不同的分配方法会有不同的效果。
所有包装箱的总厚度是一定的，那么我们就只能通过增大每辆平板车的装箱效率，使得每辆平板车上所装的包装箱的厚度∑=≤711020*j tj xj ,∑=≤711020*j tj yj 在满足约束条件的前提下达到最大。
问题 B 两辆平板车的装货问题
两辆平板车的装货问题
有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车 上去 包装箱的宽和高是一样的 但厚度 t , 以 厘米计 及重量 w, 以公斤计 是不同的 下表
给出了每种包装箱的厚度 重量以及数量 每辆 平板车有 10.2 米长的地方可用来装包装箱 像面 包片那样 载重为 40 吨 由于当地货运的限制 对 C5 ,C6, C7 类的包装箱的总数有一个特别的限
制 这类箱子所占的空间 厚度 不能超过 302.7 厘米 试反包装箱 见下表 装到平板车上去使 得浪费的空间最小
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 t (厘米) 48 7 52 0 61 3 74 0 48 7 52 0 64 0
W(公斤) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000
件数 8
7
ห้องสมุดไป่ตู้
9
6
6
4
8
本题是由佐治亚理工学院的 J.Bartholdi 提供的 这是出现在福特汽车公司的一个尚未解决 的问题的修正与简化 J.Bartholdi 还写了一篇评论性文章 The Outstanding Railroad Flatcar Papers,
The UMAPJournal, v.9(1988), no.4, 399 403
第四次试验：两辆铁路平板车装货问题的数学模型及其求解
两辆铁路平板车装货问题的数学模型及其求解项目编号：S0*******项目名称：两辆铁路平板车装货问题的数学模型及其求解实验学时：4实验日期：2015.5.25、2015.5.29实验地点：教二504、511指导教师：赵建强1.查找装箱问题、平板车问题等相关的参考文献，中文不少于10个，外文不少于5个，写个文献综述，并按序号排列出参考文献（格式与毕业论文要求相同），手写在实验报告的第一部分。
2．要把七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高都是相同的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以千克计）却不同。
下表给出了它们的厚度、重量及数量。
每辆平板车有10.2米长的地方可以用来装箱（象面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对三类包装箱（C5、C6、C7）的总数有如下特殊约束：它们所占的空间（厚度）不得超过302.7厘米。
试把这些包装箱装到平板车上去，而浪费的空间最小。
1、以两辆车浪费空间的总和最小建立最优化模型并求解；2、试试分别以先后以每辆车浪费空间最小建立两个最优化模型，并求解。
与前面的模型比较结果，并说明原因。
3.某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从｛1，2，3，4，5，6｝6个数中任意的取一数，但对于每个钥匙的5个槽高的取值需要满足以下两个条件1．至少有3个不同的数2．相邻的两槽的高度差不能为5满足以上两个条件的所有不同的锁具称为一批，销售部门随意的取60个装一箱出售同一批锁可以互开的条件：1.二者相对应的5个槽的高度中有4个相同2.另一个槽的高度相差为1由于销售部门随意的取60个装一箱，所以同一消费者可能买到互开的锁具，导致了消费者的不满。
我们的问题如下：1．每一批锁具有多少个，能装多少箱？2．求下面三个事件的概率：（1）槽的高度由5个不同数字组成；（2）槽的高度由4个不同数字组成；（3）槽的高度由3个不同数字组成。
3.销售部门如何制定一个方案，包括如何装箱（仍旧是60个锁具装一箱），如何给箱子以标记，出售时如何利用这些标志，是团体顾客不再抱怨或者减少抱怨。
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两辆铁路平板车装货问题的讨论摘要本文针对两辆铁路平板车装运包装箱的问题，建立了铁路平板车装运包装箱的整数规划模型，通过LINGO软件方便快捷地求出了平板车不同种类包装箱装运件数一组最优解，同时使用Fortran编程求出所有符合条件的最优解。
本文鉴于题目中"当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数的特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm"的存在的歧义，对该问题分两种情况进行讨论，分别建立模型，得出了不同情况下满足题设的最优方案。
第一种情况认为货运的限制针对于每辆平板车，即每辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm。
针对该情况，我们建立了两辆铁路平板车装运包装箱的整数规划模型一，并用LINGO求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（6，2，6，0，0，0，4；1，5，2，5，1，1，2），剩余厚度为0cm。
考虑到LINGO求解整数规划只能求出一组最优解的局限性，我们进而用Fortran编程求出了所有符合条件的12组最优解。
因为不考虑两车先后次序，我们又用对结果去重，最终得到6组最优解（详见表一）。
另一种则认为货运的限制针对于一次货运，在本题中则为两辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm。
针对该情况，我们同样也建立了铁路平板车装运包装箱的整数规划模型二，并用LINGO求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（3，2，9，1，3，0，0；5，5，0，5，0，3，0），剩余厚度为0.6cm。
同样由于LINGO软件的局限性，我们又用Fortran编程求得所有符合条件的54组最优解，经过去重后最终得到27组最优解（详见表二）。
关键词：整数线性规划LINGO局限性Fortran一、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有1020cm的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm（分两辆车和一辆车两种情况讨论）。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
C1C2C3C4C5C6C7t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数8 7 9 6 6 4 8二、问题分析通过理解题目，本例属于整数型线性规划问题，由题目中给出的条件,我们可以算出货物的总重量为89吨，而两辆车的载重量为80吨，所以必然不能将货物全部装载完，也就是说必然会有货物剩余。
我们假设平板车上恰好只能放一排包装箱，且包装箱之间间隙忽略不计。
对于题目中限制条件C5,C6,C7类包装箱的总厚度不超过302.7cm，存在以下两种理解：（1）一种是对于每辆车而言，车上C5,C6,C7类包装箱的总空间不超过302.7cm，（2）另一种是对于两辆车而言，C5,C6,C7类包装箱的总空间不超过302.7cm 。
由此，我们分别对这两种情况建立模型，并利用LINGO 解出该整数型线性规划的最优解。
考虑到变量较多以及变量权值的特殊性（如C 2、C 6 的长度相等，均为52.0cm ），我们猜想对每种情况都可能存在多组最优解。
我们利用lingo 软件解出一组最优解作为参考，再根据Fortran 编译程序，讨论得出所有最优解。
三、 模型假设一、 每辆平板车上恰好只能装载一排的包装箱，不存在并排或者叠加等情况 二、 包装箱之间的间隙可忽略不计三、 两辆平板车完全相同，不考虑两车先后次序问题 四、 不考虑一辆车上同一种包装箱组合方案的不同排列五、在重量符合要求的情况下，不考虑两车重量差别大小对最优解的影响四、 符号系统f 浪费的空间C ij 第i 种包装箱装在第j 辆平板车上数目 t i 第i 种包装箱的厚度 W i 第i 种包装箱的质量 n i第i 种包装箱的数目五、 模型建立与求解对于题目中所说的对C5,C6,C7类包装箱的总数的特别限制，存在以下两种理解： （1）一种是对于每辆车而言，车上C5,C6,C7类包装箱的总空间不超过302.7cm ， （2）另一种是对于两辆车而言，C5,C6,C7类包装箱的总空间不超过302.7cm 。
对此我们分别建立了以下两种模型：1、两辆铁路平板车装运包装箱的整数规划模型一2、两辆铁路平板车装运包装箱的整数规划模型二5.1模型一的建立与求解假设装箱时每辆平板车上只能装载一排的包装箱，不存在并排或者叠加等情况，同时有包装箱之间的间隙可忽略不计。
此时，设第i 种包装箱装在第j 辆平板车上数目Cij,则包装箱在两辆车上所占据的长度： 即为两辆平板。
车的总长为2040cm ，所以浪费的空间27112040ij ij i f C t ===-∑∑。
由于两辆平板车均有各自的长度限制，所以在两辆平板车上的包装箱总厚度不应超过两辆平板车各自的长度限制。
问题中给出两辆车的容许长度均为1020cm,据此建立第一个约束条件71102001,2ij i i C t j =-≥=∑。
由于当地货运的限制，对C 5,C 6,C 7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm 。
据此建立第二个约束条件75302.71,2ij ii C tj =≤=∑。
由于两辆平板车均为超出容许的载重，在平板车上的载重为，两辆平板车的载重均为40000Kg 。
据此建立第三个约束条件71400001,2ijii C W j =≤=∑。
若包装箱全部装车，则所需空间为2749.5cm 。
而两辆平板车的总长仅2040cm,可以发现包装箱不可以完全装到平板车上。
因此不应将所有包装箱都装到平板车上。
所以七种包装箱的数目在提供的包装箱件数ni 的容许的范围内，并且包装箱在每辆平板车上的数目不为负值，所以可以建立第四个约束条件2101,2, (7i)ij Cn i =≤≤=∑。
根据以上分析可建立以下整数线性规划数学模型：根据两辆铁路平板车装运包装箱的整数规划模型一，我们用LINGO 求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（6，2，6，0，0，0，4；1，5，2，5，1，1，2），剩余厚度为0cm 。
考虑到LINGO 求解整数规划只能求出一组最优解的局限性，我们进而用Fortran 编程求出了所有符合条件的12组最优解。
因为不考虑两车先后次序，我们又用对结果去重，最终得到6组最优解（详见下表）。
5.2.1模型二的建立分析可知模型二与模型一的差别，在于模型一中的第二约束条件。
模型二中，两辆平板车上C 5,C 6,C 7类箱子所占总空间的（厚度）不能超过302.7cm 。
所以约束条件2715302.7ij ij i C t==≤∑∑。
可以建立如下整数线性规划模型： 5.2.2模型二的求解根据铁路平板车装运包装箱的整数规划模型二，用LINGO 求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（3，2，9，1，3，0，0；5，5，0，5，0，3，0），剩余厚度为0.6cm。
同样由于LINGO软件的局限性，我们又用Fortran编程求得所有符合条件的54组最优解，经过去重后最终得到27组最优解（详见下表）。
六、模型分析本文针对两辆铁路平板车装运包装箱的问题（视两辆平板车相同，不考虑方案不同仅仅是AB车车次相互交换的情况）装货建立整数规划模型，通过LINGO实现了平板车浪费空间最小的目标，得出了不同种类包装箱装运件数的最优解。
然而，用LINGO求得最优解（仅为多组解中一组），我们采用高级语言：Fortran编译程序，从而得出其他解系（详见附件）。
七、模型推广铁路平板车装运包装箱的整数规划模型在多重约束的线性排列组合问题上具有一定通用性。
八、结论对于第一种理解即每辆车C5、C6、C7这类箱子所占的空间不超过302.7cm的情况，我们建立了模型一，得到6组最优解，两辆车浪费的总空间（厚度）最少为0cm。
对于第二种理解即两辆车C5、C6、C7这类箱子所占的总空间不超过302.7cm的情况，我们建立了模型二、模型三、模型四，最终得到27组最优解，两辆车浪费的总空间（厚度）最少为0.6cm。
九、参考文献[1] 马瑞民，FORTRAN90程序设计，哈尔滨工程大学出版社，2005。
附录1：程序说明1、pbc1.lg4 平板车装货问题规划模型1 Lingo求解的输出数据2、pbc1.lgr 平板车装货问题规划模型1 Lingo求解源程序3、pbc2.lg4 平板车装货问题规划模型1 Lingo求解源程序4、pbc2.lgr 平板车装货问题规划模型1 Lingo求解的输出数据5、pbcgh1.dat 平板车装货问题规划模型1 Fortran90求解的输出数据6、pbcgh1.f90 平板车装货问题规划模型1 Fortran90求解的源程序7、pbcgh2.dat 平板车装货问题规划模型2 Fortran90求解的输出数据8、pbcgh2.f90 平板车装货问题规划模型2 Fortran90求解的源程序附录2：!平板车装货问题规划模型1program pbcgh1implicit noneinteger,dimension(14)::c !C为第一辆、第二辆平板车装各类包装箱数量的组合；integer ::i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,wi,wj，n!i1,i2,...,i7为分别为第一辆车装C1，C2,...,C7类包装箱的数量;!i1,i2,...,i7为分别为第一辆车装C1，C2,...,C7类包装箱的数量;!wi,wj分别为第一辆车、第二辆车上包装箱总重量;! n为最优解的个数;real::t1,t2,ti,tj,s!t1,t2分别为第一辆车、第二辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度；!ti,tj分别为第一辆车、第二辆车上所有包装箱的总厚度；!s为平板车上剩余厚度（空间剩余量）；open(1,file='pbcgh1.dat',status='old')!文件pbcgh1为平板车装货问题模型1的数据文件s=2040 !平板车剩余厚度!为优化算法从C7,C6,...,C1的顺序穷举do i7=0,8do i6=0,4do i5=0,6t1=48.7*i5+52.0*i6+64.0*i7if(t1<=302.7)then !第一辆车C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm;do i4=0,6do i3=0,9do i2=0,7do i1=0,8ti=48.7*i1+52.0*i2+61.3*i3+72.0*i4+48.7*i5+52.0*i6+64.0*i7if(ti<=1020)then !第一辆车上所有包装箱的总厚度不超过车长1020cm；wi=2000*i1+3000*i2+1000*i3+500 *i4+4000*i5+2000*i6+1000*i7if(wi<=40000)then !第一辆车上包装箱总重量不超过40000Kg;do j7=0,8-i7do j6=0,4-i6do j5=0,6-i5t2=48.7*j5+52.0*j6+64.0*j7if(t2<=302.7)then !第二辆车C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm;do j4=0,6-i4do j3=0,9-i3do j2=0,7-i2do j1=0,8-i1tj=48.7*j1+52.0*j2+61.3*j3+72.0*j4+48.7*j5+52.0*j6+64.0*j7if(tj<=1020)then !第二辆车上所有包装箱的总厚度不超过车长1020cm；wj=2000*j1+3000*j2+1000*j3+500 *j4+4000*j5+2000*j6+1000*j7if(wj<=40000)then !第二辆车上包装箱总重量不超过40000Kg;!如果该组合下平板车剩余厚度小于s，最优解的个数记为1，并将该组合下平板车剩余厚度记s；!将该最优解组合存放在数组c中，并将文件定位到文件初始点在第一行按顺序记录下n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,s的值if((2040-ti-tj)<s)thenn=1s=2040-ti-tjc=(/i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7/)rewind(1)write(1,'(1X,17I6,5F7.1)')n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,s!如果该组合下平板车剩余厚度等于s，最优解的个数n加1；!将该最优解组合存放在数组c中，并将文件定位到文件初始点在第n行按顺序记录下n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,s的值else if((2040-ti-tj)==s)thenn=n+1c=(/i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7/)write(1,'(1X,17I6,5F7.1)')n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,send ifend ifend ifend doend doend doend ifend doend doend doend ifend ifend doend doend doend doend ifend doend doend doclose(1)end program pbcgh1附录3：平板车装货问题规划模型2求解的Fortran程序!平板车装货问题规划模型2program pbcgh2implicit noneinteger,dimension(14)::c !C为第一辆、第二辆平板车装各类包装箱数量的组合；integer ::wi,wj,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,n!i1,i2,...,i7为分别为第一辆车装C1，C2,...,C7类包装箱的数量;!i1,i2,...,i7为分别为第一辆车装C1，C2,...,C7类包装箱的数量;!wi,wj分别为第一辆车、第二辆车上包装箱总重量;! n为最优解的个数;real::ti,tj,t1,t2,t12,s!t1,t2分别为第一辆车、第二辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度；!ti,tj分别为第一辆车、第二辆车上所有包装箱的总厚度；!s为平板车上剩余厚度（空间剩余量）；open(1,file='pbcgh2.dat',status='old') !文件pbcgh2为平板车装货问题模型1的数据文件s=2040 !平板车剩余厚度!为优化算法从C7,C6,...,C1的顺序穷举do i7=0,8do i6=0,4do i5=0,6t1=48.7*i5+52.0*i6+64.0*i7 !第一辆车C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm; do i4=0,6do i3=0,9do i1=0,8ti=48.7*i1+52.0*i2+61.3*i3+72.0*i4+48.7*i5+52.0*i6+64.0*i7if(ti<=1020)then !第一辆车上所有包装箱的总厚度不超过车长1020cm；wi=2000*i1+3000*i2+1000*i3+500 *i4+4000*i5+2000*i6+1000*i7if(wi<=40000)then !第一辆车上包装箱总重量不超过40000Kg;do j7=0,8-i7do j6=0,4-i6do j5=0,6-i5t2=48.7*j5+52.0*j6+64.0*j7t12=t1+t2if(t12<=320.7)then !两辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm;do j4=0,6-i4do j3=0,9-i3do j2=0,7-i2do j1=0,8-i1tj=48.7*j1+52.0*j2+61.3*j3+72.0*j4+48.7*j5+52.0*j6+64.0*j7if(tj<=1020)then !第二辆车上所有包装箱的总厚度不超过车长1020cm；wj=2000*j1+3000*j2+1000*j3+500 *j4+4000*j5+2000*j6+1000*j7if(wj<=40000)then !第二辆车上包装箱总重量不超过40000Kg;!如果该组合下平板车剩余厚度小于s，最优解的个数记为1，并将该组合下平板车剩余厚度记s；!将该最优解组合存放在数组c中，并将文件定位到文件初始点在第一行按顺序记录下n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,t12,s的值if((2040-ti-tj)<s)thenn=1s=2040-ti-tjc=(/i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7/)rewind(1)write(1,'(1X,17I6,6F7.1)')n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,t12,s!如果该组合下平板车剩余厚度等于s，最优解的个数n加1；!将该最优解组合存放在数组c中，并将文件定位到文件初始点在第n行按顺序记录下n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,t12,s的值else if((2040-ti-tj)==s)thenn=n+1c=(/i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7/)write(1,'(1X,17I6,6F7.1)')n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,t12,send ifendifend ifend doend doend doend doend doend doend doend ifend ifend doend doend doend doend doend doend doclose(1)end program pbcgh2附录3：平板车装货问题规划模型1 Lingo求解的输出数据:Global optimal solution found.Objective value: -0.1705303E-12Objective bound: 0.000000Infeasibilities: 0.1154632E-12Extended solver steps: 231161Total solver iterations: 380690Model Title: 两辆铁路平板车的装货问题Variable Value Reduced Cost A1 6.000000 -48.70000 A2 2.000000 -52.00000 A3 6.000000 -61.30000 A4 0.000000 -72.00000 A5 0.000000 -48.70000 A6 0.000000 -52.00000 A7 4.000000 -64.00000 B1 1.000000 -48.70000 B2 5.000000 -52.00000 B3 2.000000 -61.30000 B4 5.000000 -72.00000 B5 1.000000 -48.70000 B6 1.000000 -52.00000 B7 2.000000 -64.00000 Row Slack or Surplus Dual Price1 0.000000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 12.00000 0.0000005 10.50000 0.0000006 46.70000 0.0000007 74.00000 0.0000008 1.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 1.000000 0.00000011 1.000000 0.00000012 5.000000 0.00000013 3.000000 0.00000014 2.000000 0.000000 附录4：平板车装货问题规划模型2 Lingo求解的输出数据:Global optimal solution found.Objective value: 0.6000000Objective bound: 0.6000000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 18522Total solver iterations: 57502Model Title: 两辆铁路平板车的装货问题2Variable Value Reduced Cost A1 3.000000 -48.70000 A2 2.000000 -52.00000 A3 9.000000 -61.30000 A4 1.000000 -72.00000 A5 3.000000 -48.70000 A6 0.000000 -52.00000 A7 0.000000 -64.00000 B1 5.000000 -48.70000 B2 5.000000 -52.00000 B3 0.000000 -61.30000 B4 5.000000 -72.00000 B5 0.000000 -48.70000 B6 3.000000 -52.00000 B7 0.000000 -64.00000 Row Slack or Surplus Dual Price1 0.6000000 -1.0000002 0.1000000 0.0000003 0.5000000 0.0000004 6.500000 0.0000005 6.500000 0.0000006 0.6000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 3.000000 0.00000012 1.000000 0.00000013 8.000000 0.000000。