确界原理的证明

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用闭区间套定理证明确界原理

用闭区间套定理证明确界原理

用闭区间套定理证明确界原理区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以。

就说一下有上界数集如何证有上确界,下界类似。

分两步,第一步套出一个数,第二步证明这个数就是上确界。

①对于数集X,如果它有上界M,就构造闭区间列U[n],U[1]=[a[1],M],a[1]是任意一个数,只要使得U[1]∩X≠∅就可以。

U[2]这样构造,如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数,就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2]。

U[3]构造类似,就是再把U[2]一分为二,右半边如果有X中的数就等于右半区间,否则等于左半区间。

就这样一直构造下去,所有的U[n]都是递减区间列,根据闭区间套定理,它们必有一个公共元素m。

②要证m就是X的上确界。

下面分类讨论。

1)先说如果m就是集合X中的元素,那么假设X中还有比m大的m',上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的,和m是公共元素矛盾了。

这个比较好证明,就不写具体过程了。

这样m在X中,而且X中还没有比m更大的数,显然m是X中的最大数,自然是上确界(根据上确界定义可知)。

2)m不在X中。

先证明m任意小邻域里面有X中的数。

还是反证法,假设可以找到一个δ>0,使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数,那由于区间U[n]长度可以任意小,只要n足够大。

所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ,但所有U都包含m,于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中,但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素,意思是U[j]里面就没有X中元素,和一开始约定的U[n]构造规则矛盾,所以m任意邻域都有X中数。

再证X中的数不可能比m大。

确界原理的数学分析证明

确界原理的数学分析证明

确界原理的数学分析证明确界原理是数学中常用的一个概念,它有助于理解实数集的性质,并在实际问题中起到重要的作用。

在本文中,我们将对确界原理进行数学分析证明。

首先,我们需要了解什么是确界。

在实数集中,如果存在一个数a,使得集合中的每个元素都小于等于a,那么a就被称为这个集合的上界。

类似地,如果存在一个数b,使得集合中的每个元素都大于等于b,那么b被称为这个集合的下界。

在实数集中,如果一个集合既有上界,又有下界,那么我们称这个集合是有界的。

否则,如果一个集合没有上界或下界,那么我们称这个集合是无界的。

现在,我们将证明确界原理,它陈述了任何一个非空的有上界的实数集合,都必然存在一个最小的上界。

证明过程如下:假设A是一个非空的有上界的实数集合,并且ub是A的一个上界。

根据实数集的定义,我们可以找到一个实数x,在A中至少存在一个元素a,使得a>x。

这是因为如果不存在这样的x,那么ub不是A的一个上界。

我们现在来构造一个新的实数集B,B由所有满足x≤a的实数x组成。

也就是说,B={x∈R : a≤x,对于所有的a∈A}。

首先,我们注意到B是非空的。

因为x≤ub,ub是A的一个上界,所以ub≤x,所以x∈B。

因此B非空。

其次,我们观察到B是有上界的。

因为ub是A的一个上界,所以ub≥x,对于所有的x∈B。

这意味着ub是B的一个上界。

现在我们可以应用确界原理。

根据确界原理,B的上界存在一个最小的上界,我们将其记为supB。

我们需要证明supB是A的上界。

假设存在一个元素a∈A,使得a>supB。

那么对于任意的x∈B,我们都有a>x,因为x≤a。

这意味着a是B的上界,但a>supB,这与supB是B的上界相矛盾。

因此,我们得出结论,supB是A的一个上界。

最后,我们需要证明supB是A的最小上界。

假设存在一个实数c,使得c是A 的一个上界,并且c<supB。

那么由于c<supB,所以c不是B的一个上界。

用确界原理证明有限覆盖定理

用确界原理证明有限覆盖定理

用确界原理证明有限覆盖定理
1确界原理
确界原理是一个基本数学定理,它用于证明集合中所有子集的和大于或等于兼容集中的所有元素。

它也被称为图解定理或包含定理,它建立在确界恒定假设的基础上,即集合中所有元素的个数是不可再改变的,并且一个集合内部的子集只会增加而不会改变数量。

2有限覆盖定理
有限覆盖定理是一个有用的数学定理,它宣称,如果在极限的情况下,集合A的每个元素被集合B中的至少一个元素覆盖,那么就可以说集合B有限覆盖集合A。

有限覆盖定理也可以定义为在极限的情况下,让集合A的所有元素有机会被集合B中的一个或多个元素覆盖,那么就可以说集合B有限覆盖集合A。

这一定理可以用于比较两个集合之间的差异,确定许多共同备份机制的有用性,以及确定系统中所需的物资的最小数量。

3用确界原理证明有限覆盖定理
由于确界原理的存在,有限覆盖定理的证明变得非常容易。

假设有两个集合A和B,其中集合A的每一个元素都可以被集合B中的一个或多个元素覆盖,那么根据确界原理,集合A中的所有元素加起来等于集合B中的所有元素。

这样,就可以证明有限覆盖定理,即在极限情况下,让集合A的所有元素有机会被集合B中的一个或多个元素覆盖,就可以说集合B有限覆盖集合A。

因此,当可以满足有限覆盖定理中的先决条件,即在极限情况下,让集合A的每一个元素都可以被集合B中的一个或多个元素覆盖,此时,满足有限覆盖定理不可避免地会转变为确界原理的证明方式。

确界原理的存在,使得有限覆盖定理的证明变得更加容易。

用柯西收敛准则证明确界原理

用柯西收敛准则证明确界原理

用柯西收敛准则证明确界原理确界原理(Bolzano–Weierstrass theorem)是实数完备性的一个重要结果之一,它表明,一个有界数列必然有收敛的子数列。

在证明确界原理时,通常会使用柯西收敛准则(Cauchy convergence criterion)。

柯西收敛准则也被称为柯西准则,是一种用来判断数列是否收敛的方法。

准则的表述如下:对于任意给定的正数ε,存在一个正整数N,对于所有的正整数m、n>N,当满足,m-n,<N时,必有,am-an,<ε。

现在,我们来证明确界原理。

假设我们有一个有界数列{an},它的上界为M,下界为m。

根据确界的定义,我们可以找到一个M的上界m',使得m' > m。

我们可以将这个上界作为第一个数列中的一些项,将其他的项作为第二个数列。

前一个数列的上界是m',下界是m,后一个数列的上界和下界与原有数列的上界和下界相同。

所以,我们可以将问题简化为证明下列命题:如果存在一个有界数列,其上界为M,且存在一个正整数N,使得当n>N时,有,a_N-an,<ε,则可以找到一个收敛的子数列,其极限为a_N。

根据柯西收敛准则,我们可以找到一个正整数N,满足当n,m>N时,有,an-am,<ε/2、(注意:这里的n和m是任意的正整数)注意到数列{an}是有界的,所以它至少有一个收敛子数列,我们将其表示为{an_k},极限为a。

由于{an_k}是一个收敛数列,根据收敛数列的定义,对于给定的ε/2,我们可以找到一个正整数K,当k>K时,有,an_k-a,<ε/2现在我们来证明{an_k}的极限也是{an}的极限。

对于给定的ε,选择N=max(N,K),则当n>N时,有:an-a,≤ ,an - an_k, + ,an_k - a,< ε/2 + ε/2 = ε这证明了{an_k}的极限也是{an}的极限。

确界原理的证明

确界原理的证明

确界原理的证明确界原理是指在一定条件下,一个有上界的非空实数集必有上确界。

这一原理在数学分析中具有重要的地位,对于实数的性质有着深远的影响。

下面,我们将从数学的角度出发,对确界原理进行证明。

首先,我们来定义一下确界的概念。

对于一个实数集合A,如果存在一个实数M,使得对于A中的任意元素x,都有x≤M成立,那么M就是A的上界。

而A的上确界,是指A的上界中最小的那个实数,即如果存在一个实数M,对于A中的任意元素x,都有x≤M成立,并且对于任意小于M的正实数ε,都存在A中的元素a,使得M-ε<a≤M成立,那么M就是A的上确界。

接下来,我们将证明确界原理。

假设A是一个非空的实数集合,且A有上界。

我们需要证明A有上确界。

首先,我们来证明A的上确界存在。

由于A有上界,所以A的上界的集合非空。

我们可以定义B为A的上界的集合,即B={x∈R|对于A中的任意元素a,都有a≤x成立}。

由于B非空且有上界,根据实数的完备性公理,B必有上确界,我们将其记为M。

接下来,我们需要证明M是A的上确界。

首先,对于A中的任意元素a,都有a≤M成立,因此M是A的上界。

其次,对于任意小于M的正实数ε,我们需要证明存在A中的元素a,使得M-ε<a≤M成立。

假设不存在这样的元素a,即对于任意M-ε<a≤M,都有a不属于A。

这意味着M-ε是A的上界,但这与M是A的上确界相矛盾。

因此,存在A中的元素a,使得M-ε<a≤M成立。

综上所述,我们证明了A的上确界存在,并且M是A的上确界。

因此,确界原理得证。

通过以上证明,我们可以得出结论,在一定条件下,一个有上界的非空实数集必有上确界。

确界原理在实数的性质中具有重要的地位,对于数学分析有着深远的影响。

这一原理的证明,不仅在理论上具有重要意义,也为实际问题的解决提供了重要的数学工具。

在数学分析中,确界原理的应用十分广泛,例如在实数序列的收敛性证明、连续函数的最值存在性证明等方面都有着重要的作用。

确界原理的证明

确界原理的证明

§2 数集. 确界原理(一) 教学内容:实数的区间与邻域;集合的上、下界,上确界和下确界;确界原理难 点: 上、下确界定义的理解、数集确界的证明 二) 教学目的:1)正确使用区间和邻域概念,掌握集合的有界性的证明; 2)初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。

(三)基本要求:1)掌握实数的区间与邻域概念;分清最大值与上确界的联系与区别;结合具体集合,能指出其确界;2)能用定义证明集合A 的上确界为ξ.即:Ax ∈∀有ξ≤x ,且 ,,00A x ∈∃>∀ε使得 εξ->0x .(三) 教学建议:(1) 此节重点是确界概念和确界原理.不可强行要求一步到位,对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题.(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理.对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题.一 区间与邻域: 区间邻 域设a 与δ是两个实数,且0>δ,称点集 }|||{δ<-=a x x E 为点 a 的δ邻域,记作)(a U δ称点集 }|{}|{)(δδδ+<<<<-=a x a x a x a x a U Y 为点 a 的去心δ邻域 记作)(0a U δ.δδa 的右δ邻域 }|{)(δδ+<≤=+a x a x a Ua 的右δ空心邻域 }|{)(0δδ+<<=+a x a x a Ua 的左δ邻域 }|{)(a x a x a U ≤<-=-δδa 的左δ空心邻域 }|{)(0a x a x a U <<-=-δδ∞邻域 }|||{)(M x x U >=∞∞+ 邻域 }|{)(M x x U >=∞∞- 邻域 }|{)(M x x U -<=∞二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集:定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数R 上的一个数集,若存在一个数M ( L ), 使得对一切 S x ∈ 都有 )(L x M x ≥≤,则称S 为有上界(下界)的数集。

实数完备性的六大基本定理的相互证明

实数完备性的六大基本定理的相互证明

1 确界原理非空有上(下)界数集,必有上(下)确界。

2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。

3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ,使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。

4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间,H 为],[b a 上的一个开覆盖,则在H 中存在有限个开区间,它构成],[b a 上的一个覆盖。

5 Weierstrass 聚点定理(Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。

) 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。

6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε,总存在某一个自然数N ,使得N n m >∀,时,都有ε<-||n m a a 。

一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明:1设 [an,bn] 是一个闭区间套,即满足: 1)∀n,[an+1,bn+1]⊂[an,bn];2)bn-an =我们证明,存在唯一的实数ξ,使得ξ∈[an,bn],(n =1,2,⋯)存在性:令S={an},显然,S非空且有上界(任一bn都是其上界).据确界原理,S有上确界,设sup S =ξ.现在,我们证明ζ属于每个闭区间[an,bn],(n=1,2,⋯)显然an ≤ξ,(n =1,2,⋯)所以,我们只需证明对一切自然数n,都有ξ≤bn. 事实上,因为对一切自然数n,bn都是S 的上界,而上确界是上界中最小者,因此必有 ξ≤bn,故我们证明了存在一实数ξ,使得ξ∈[an,bn],(n =1,2,⋯)唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ,则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。

确界原理证明零点定理

确界原理证明零点定理

确界原理证明零点定理
证明先后采用三种方法相结合:
1、二分法
2、迭代法
3、闭区间套定理
证明过程形如夹逼原理。

二分法:取自变量取值范围的中间值,查看中间值的函数值是否为零,是则定理得证end。

如果不是,中间值的两边会有一边是原函数的形式,也就是两端的函数值是不同符号的,这一边会在上一步中得到验证,这个迭代会继续下去。

最后利用闭区间套定理使自变量经过多次二分法缩小的值域两端点的函数值的极限等于零,即两端点中间自变量的函数值的左极限和右极限都等于零,这就是函数所寻求的零值点。

证明比较繁琐,但凭直觉一眼就能看出来。

你为什么要这么麻烦呢?。

实数完备性基本定理的相互证明

实数完备性基本定理的相互证明

实数完备性基本定理的相互证明(30个)一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{}n a 为有上界的单调递增数列.由确界原理,数列{}n a 有上确界,令{}n a sup a =,下面证明:lim n n a a →∞=.对任意的0ε>,由上确界的定义,存在数列{}n a 中某一项N a ,使得:N a a ε->. 由于{}n a 单调递增,故对任意的n N >,有:n N a a a ε-<<.另一方面,由于a 是{}n a 的一个上界,故对任意的正整数n 都有:n a a a ε≤<+. 所以任意的n N >,有:n a a a εε-<<+,即:n a a ε-<.由极限的定义,lim n n a a →∞=.同理可证单调递减有下界的数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理证明:设[]{},n n a b 是一个闭区间套. 令数集{}n S a =.由于任一n b 都是数列{}n a 的上界,由确界原理,数集S 有上确界,设supS ξ=. 下证ξ属于每个闭区间[](),1,2,3,n n a b n =L显然,()1,2,3,n a n ξ≤=L ,故只需证明对任意正整数n ,都有n b ξ≤.事实上,对任意正整数n ,n b 都是S 的上界,而上确界是最小上界,故必有n b ξ≤. 所以存在实数ξ,使得[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=L下证唯一性,假设还有另外一点ξ',也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=L .则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞,故有:ξξ'=.唯一性得证.3.确界原理证明有限覆盖定理证明:欲证闭区间[],a b 的任一开覆盖H 都有有限的子覆盖. 令[]{}|,S x a x H a x b =<≤能被中有限个开区间覆盖,显然S 有上界.又H 覆盖闭区间[],a b ,所以,存在一个开区间(),H αβ∈,覆盖住了a .取(),x a β∈,则[],a x 显然能被H 中有限个开区间覆盖(1个),x S ∈,从而S 非空. 由确界原理,令supS ξ=.先证明b ξ=.用反证法,若b ξ≠,则a b ξ<<.由H 覆盖闭区间[],a b ,一定存在开区间()11,H αβ∈,覆盖住了ξ.取12,x x ,使:11211,x x x S αξβ<<<<∈ ,则[]1,a x 能被H 中有限个开区间覆盖,把()11,αβ加进去,就得到[]2,a x 也能被H 中有限个开区间覆盖,即2x S ∈,这与supS ξ=矛盾,故b ξ=.最后证明b S ∈.设开区间()22,H αβ∈,覆盖住了b .由b supS =,故存在y 使得:2y b α<≤且y S ∈.则[],a y 能被H 中有限个开区间覆盖,把()22,αβ加进去,就得到[],a b 也能被H 中有限个开区间覆盖. 4.确界原理证明聚点定理证明:设S 有界无限点集,则由确界原理令inf S ξ=.若ξ是S 的一个聚点,则命题已经成立,下面设ξ不是S 的聚点.令 ){}|,T x x S ξ=⎡⎣中只包含中有限个元素.因为ξ不是S 的聚点,所以存在00ε>,使得()()000;,U ξεξεξε=-+只包含S 中有限个数,故0T ξε+∈,从而T 非空.又S 有界,所以S 的所有上界就是T 的上界,故T 有上确界,令sup T η=. 下面证明η是S 的一个聚点.对任意的0ε>,S ηε+∉,故),ξηε+⎡⎣包含S 中无穷多个元素.由上确界的定义,存在(],ληεη∈-,使得S λ∈,故),ξλ⎡⎣中只包含S 中有限多个元素.从而我们得知)(),;U ληεηε+⊂⎡⎣中包含了S 中无穷多个元素,由聚点的定义,η是S 的一个聚点.5.确界原理证明Cauchy 收敛准则证明:必要性:若lim n n x x →∞=,则对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >,有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性:现假设{}n x 满足对任意的0ε>,存在N ,对一切正整数,n m N >,有n m x x ε-<.令数集{}{}|,n n S x x x x x n =≥∀中只有有限项小于或,明显数列{}n x 的下界都属于S ,并且{}n x 的上界就是S 的上界.由确界存在定理,令sup S ξ=.对条件给定的0ε>和N ,S ξε+∉,故(),ξε-∞+包含{}n x 中无穷多项.由上确界的定义,存在(],λξεξ∈-,使得S λ∈,故(),λ-∞中只包含S 中有限多个元素.从而我们得知)()(),;,U ληεηεηεηε+⊂=-+⎡⎣中包含了S 中无穷多个元素,设()(),1,2,3,k n x U k ξε∈=L则对任意正整数n N >,总存在某个k n N >,故有:2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=.从而lim n n x ξ→∞=.二.单调有界定理6.单调有界定理证明确界定理证明:我们不妨证明非空有上界的数集S必有上确界.设{}|T r r S =为数集的有理数上界.明显T 是一个可数集,所以假设:{}12,,,,n T r r r =L L .令{}1min n i i nx r ≤≤=.则得单调递减有下界的数列,由单调有界定理得,令lim n n x ξ→∞=先证ξ是上界.任取s S ∈,有n n s r x ≤≤,由极限的保序性,s ξ≤.其次对于任意的0ε>,取一个有理数(),r ξεξ∈-%,它明显不是S 的上界,否则lim n n x r ξξ→∞=≤<%产生矛盾!故存在s S ∈,使得s ξε>-,我们证明了ξ是数集S 上确界.7.单调有界定理证明区间套定理若[]{},n n a b 是一个区间套,则{}n a 为单调递增有上界的数列,由单调有界定理, 令lim n n a ξ→∞=,并且容易得到()1,2,3,n a n ξ≤=L .同理,单调递减有下界的数列{}n b 也有极限,并按区间套的条件有:()lim lim 0n n n n n n b a b a ξξ→∞→∞=+-=+=⎡⎤⎣⎦,并且容易得到()1,2,3,n b n ξ≥=L .所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=L下证唯一性,假设还有另外一点ξ',也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=L .则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞,故有:ξξ'=.唯一性得证.8.单调有界定理证明有限覆盖定理设[]{}|,,T r a r H r r b =∈≤¤可以被的开区间有限开覆盖,且.容易得到T 中包含无穷多个元素,并且T 是一个可数集,所以假设:{}12,,,,n T r r r =L L .令{}1max n i i nx r≤≤=.则得单调递增有上界的数列,由单调有界定理得,令lim n n x ξ→∞=.先证明b ξ=.用反证法,若b ξ≠,则a b ξ<<.由H 覆盖闭区间[],a b ,一定存在开区间()11,H αβ∈,覆盖住了ξ.取,i j x r y =,使:11i j x r y αξβ<=<<< ,则[]1,a x 能被H 中有限个开区间覆盖,把()11,αβ加进去,就得到[],a y 也能被H 中有限个开区间覆盖,即y S ∈,这与supS ξ=矛盾,故b ξ=.最后证明b S ∈.设开区间()22,H αβ∈,覆盖住了b .由b supS =,故存在k l x r =使得:2k l x r b α<=≤.则[],l a r 能被H 中有限个开区间覆盖,把()22,αβ加进去,就得到[],a b 也能被H 中有限个开区间覆盖.9.单调有界定理证明聚点定理证明:设S 是一有界无限点集,在S 中选取一个单调{}n a ,下证数列{}n a 有聚点.(1)如果在{}n a 的任意一项之后,总存在最大的项,设1a 后的最大项是1n a ,1n a 后的最大项是2n a ,且显然()2121n n a a n n ≤>; 一般地,将kn a 后的最大项记为1k n a +,则有:()11,2,3,k k n n a a k +≤=L .这样,就得到了{}n a 的一个单调递减子列{}k n a .(2)如果(1)不成立 则从某一项开始,任何一项都不是最大的,不妨设从第一项起,每一项都不是最大项.于是,取11n a a =,因1n a 不是最大项,所以必存在另一项()2121n n a a n n >>又因为2n a 也不是最大项,所以又有:()3232n n a a n n >> ,这样一直做下去,就得到了{}n a 的一个单调递增子列{}k n a .综上所述,总可以在S 中可以选取一个单调数列{}k n a ,利用单调有界定理,{}k n a 收敛,极限就是S 的一个聚点.10.单调有界定理证明Cauchy 收敛准则 证明:必要性:若lim n n x x →∞=,则对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >,有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性:现假设{}n x 满足对任意的0ε>,存在N ,对一切正整数,n m N >,有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=,故存在某个正整数0N ,对一切n ,有011n N x x +-<,即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.参考9的做法,可知数列{}n a 有一个单调子列{}k n a ,由单调有界定理,{}k n a 收敛,令lim k n k x ξ→∞=.则对任意正整数n N >,总存在某个()k k n n N >,使得k n x ξε-<,故有:2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.三.区间套定理11.区间套定理证明确界原理证明:仅证明非空有上界的数集S 必有上确界取一个闭区间[],a b ,使得[],a b 包含S 中的元素,并且b 为S 的上界. 将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为数集S 的上界,则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为数集S 的上界,则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b .由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =L 并且每个闭区间[],n n a b 都包含S 中的元素,并且右端点n b 为S 的上界.由于对任意s S ∈,有n s b ≤,所有由极限的保序性,lim n n s b ξ→∞≤=,从而ξ是数集S 的上界.最后,对于任意0ε>,存在n ,使得0n n b a ε<-<.由闭区间套的选取,[],n n a b 包含了S 中某个元素s ,从而有n n s a b εξε≥>->-.故ξ是数集S 的上确界. 12. 区间套定理证明单调有界定理设{}n x 是单调有界数列,不妨设其为单调递增且有上界取一个闭区间[],a b ,使得[],a b 包含{}n x 中的项,并且b 为{}n x 的上界. 将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为{}n x 的上界,则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为{}n x 的上界,则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =L 并且每个闭区间[],n n a b 都包含{}n x 中的项,并且右端点n b 为{}n x 的上界.下面证明lim n n x ξ→∞=.对任意的0ε>,存在n ,使得0n n b a ε<-<.由闭区间套的选取,[],n n a b 包含了{}n x 中某一项N x ,从而有N n n x a b εξε≥>->-.由于{}n x 单调递增,故对任意的n N >,有:N n x x ξε-<<. 又n n n x b a εξε<<+<+,故有n x ξεξε-<<+,即n x ξε-<. 13. 区间套定理证明有限覆盖定理若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法,若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖. 将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b .由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =L .显然[],a b ξ∈,考虑H 中覆盖ξ的开区间(),αβ,取{}0min ,δξαβξ<<--.由于lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==,所以存在N ,对一切正整数n N >,有,n n a b ξξδ--<,故此时[]()(),;,n n a b U ξδαβ⊂⊂.从而[](),n n a b n N >可以被H 中的一个开区间(),αβ覆盖,产生矛盾!故假设不成立,即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖. 14. 区间套定理证明聚点定理证明:已知点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂. 将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ,每个闭区间包含了点集S 中无穷多个元素.由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =L .下证ξ是点集S 的一个聚点.因为lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==,故对任意的0ε>,必定存在一个N ,对一切正整数n N >,有,n n a b ξξε--<,从而[]()(),;n n a b U n N ξε⊂>.又每个闭区间[],n n a b 包含了点集S 中无穷多个元素,故();U ξε包含了点集S 中无穷多个元素.由聚点的定义,ξ是点集S 的一个聚点.15. 区间套定理证明Cauchy 收敛准则必要性:若lim n n x x →∞=,则对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >,有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性:现假设{}n x 满足对任意的0ε>,存在N ,对一切正整数,n m N >,有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=,故存在某个正整数0N ,对一切n ,有011n N x x +-<,即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.取一个闭区间[],a b ,使得[],a b 包含所有{}n x 中的项. 将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了{}n x 中无穷多项,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了{}n x 中无穷多项,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ,并且每个闭区间[],n n a b 都包含{}n x 中无穷多项.由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =L现在取一个子列{}k n x ,满足[](),1,2,3,k n k k x a b k ∈=L .因为lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==和夹逼定理,lim k n k x ξ→∞=.则对任意正整数n N >,总存在某个()k k n n N >,使得k n x ξε-<,故有:2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.四.有限覆盖定理16.有限覆盖定理证明确界原理证明:不妨设S 为非空有上界的数集,我们证明S 有上确界. 设b 为S 的一个上界,下面用反证法来证明S 一定存在上确界.假设S 不存在上确界,取a S ∈.对任一[],x a b ∈,依下述方法确定一个相应的邻域(开区间)()();,x x x x U U x x x δδδ==-+.(1)若x 不是S 的上界,则至少存在一点x S '∈,使x x '>,这时取x x x δ'=-.(2)若x 是S 的上界,由假设S 不存在上确界,故有0x δ>,使得](,x x x δδ- 中不包含S 中的点.此时取(),x x x U x x δδ=-+,可知它也不包含S 中的点.于是我们得到了[],a b 的一个开覆盖:()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈ 根据有限覆盖定理,[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖.很明显(1)的开区间右端点属于S ,(2)的开区间中不包含S 中的点.显然a 所属的开区间是属于(1)的,b 所属的开区间是属于(2)的,所以至少有一个(1)中的开区间与某个(2)中的开区间相交,这是不可能的.17.有限覆盖定理证明单调有界定理证明:设{}n x 是单调有界数列,不妨设其为单调递增且有上界.任取b 为{}n x 的一个上界以及{}n x 中某项t x ,构造出闭区间[],t x b ,对任意的[],t x x b ∈,依下述方法确定一个相应的邻域(开区间)()();,x x x x U U x x x δδδ==-+.(1) 若x 不是{}n x 的上界,则{}n x 中至少存在一项i x ,使i x x >,这时取x x x δ'=-.(2) 若x 是{}n x 的上界,由假设{}n x 发散,故不会收敛到x .即有存在某个00ε>,对任何正整数N ,存在n N >,使得()()000;,n x U x x x εεε∉=-+.由于{}n x 递增,有上界x ,所以{}n x 中的所有项均不落在()()000;,U x x x εεε=-+中.此时取0x δε=.于是我们得到了[],t x b 的一个开覆盖:()[]{},|,x x x t H U x x x x b δδ==-+∈. 根据有限覆盖定理,[],t x b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖.很明显(1)的开区间右端点属于{}n x ,(2)的开区间中不包含{}n x 中的项.显然t x 所属的开区间是属于(1)的,b 所属的开区间是属于(2)的,所以至少有一个(1)中的开区间与某个(2)中的开区间相交,这是不可能的.18. 有限覆盖定理证明区间套定理 证明:用反证法.假设[]{}(),1,2,3,nna b n =L 没有公共点,则对任意一点[]11,x a b ∈,它都不会是[]{}(),1,2,3,nna b n =L 的公共点,从而存在正整数xn,使得,x x n n x a b ⎡⎤∉⎣⎦.故总存在一个开区间(),x x x U x x δδ=-+,使得:(),,xnx x n nx x a b δδ⎡⎤-+⋂=∅⎣⎦,于是我们得到了[]11,a b 的一个开覆盖:()[]{}11,|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理,[]11,a b 可以被H 中有限个开区间{}1ikx i U =覆盖.注意到闭区间套之间的包含关系,则所有{}1ikx i U =一定和某个最小的闭区间001,,i i kn n n n i a b a b =⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦U 无交.从而:[]{}0000001111,,,,i i k kn n x n n x n n i i a b a b U a b U a b ==⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋂⊂⋂=⋂=∅⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭U I .产生矛盾!19. 有限覆盖定理证明聚点定理证明:设点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂.用反证法,假设S 没有聚点.利用聚点定义,对任意的[],x a b ∈,存在一个领域(),x x x U x x δδ=-+,使得x U 中只包含点集S 中有限个点.这样得到了[],a b 的一个开覆盖:()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理,[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖. 由于每个x U 中只包含点集S 中有限个点,所以[]1,inx i a b U=⊂U 也只包含了S 中有限个点,这与S 是无限点集相矛盾!故假设不成立,即S 有聚点. 20. 有限覆盖定理证明Cauchy 收敛准则 证明:必要性:若lim n n x x →∞=,则对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >,有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性:(使用反证法)现假设{}n x 满足对任意的0ε>,存在N ,对一切正整数,n m N >,有n m x x ε-<. 先证明柯西数列是有界的.取01ε=,故存在某个正整数0N ,对一切n ,有011n N x x +-<,即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.假设{}[],n x a b ⊂.若{}n x 发散,则对任意的[],x a b ∈,可以找到一个(),x x x U x x δδ=-+,使得{}n x 中只有有限项落在()0;U x ε中.否则对任何0δ>,(),x x δδ-+中均包含{}n x 中无限项,则可以证明{}n x 收敛. 这样得到了[],a b 的一个开覆盖:()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理,[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖. 所以[]1,inx i a b U=⊂U 也只包含了{}n x 中的有限项,矛盾!故假设不成立,{}n x 收敛.五.聚点定理21.聚点定理证明确界原理证明:仅证明非空有上界的数集S 必有上确界.取一个闭区间[],a b ,使得[],a b 包含S 中的元素,并且b 为S 的上界. 将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为数集S 的上界,则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为数集S 的上界,则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由于{}n b 明显有界,所有它有聚点ξ.对任意0,s S ε>∈,设()();,k b U ξεξεξε∈=-+,则k s b ξε≤<+.由ε的任意性,s ξ≤,故ξ是S 的一个上界.其次,对任意0ε>,取()();,k a U ξεξεξε∈=-+,设s S ∈包含于闭区间[],k k a b ,则k s a ξε≥>-.从而我们证明了ξ是S 的一个上确界. 22.聚点定理证明单调有界定理证明:设{}n x 是单调有界数列,则它一定存在聚点ξ.下证:lim n n x ξ→∞=.对任意的0ε>,由聚点的定义,()(),,U ξεξεξε=-+中包含{}n x 中的无穷多项,设{}()(),,kn x U ξεξεξε⊂=-+.则取1N n =,对一切正整数1n N n >=,假设kn n <.利用{}nx 是单调的,nx介于1n x 与k n x 之间,所以由()1,,k n n x x U ξε∈,可知(),n x U ξε∈,从而由极限的定义,lim n n x ξ→∞=23.聚点定理证明区间套定理证明:设{}{}n n S a b =⋃,则S 是有界无限点集 由聚点定理得数集S 聚点ξ.若存在一个某个正整数0n ,使得00,n n a b ξ⎡⎤∉⎣⎦,不妨假设00n n a b ξ<<.取00n b εξ=-,则对一切0n n >,有00n n n a b b ξε<≤=-.于是()()000;,U ξεξεξε=-+中只包含S 中有限个点,这与ξ是数集S 的聚点矛盾!故[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=L下证唯一性,假设还有另外一点ξ',也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=L .则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞,故有:ξξ'=.唯一性得证.24.聚点定理证明有限覆盖定理证明:若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法,若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖. 将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ,并且[](),1,2,3n n a b =L 均不能被H 有限开覆盖显然,{}n a 是有界的,故它存在聚点ξ.明显[],a b ξ∈.考虑H 覆盖中覆盖住ξ的开区间(),αβ.取{}min ,εξαβξ<--,则在()();,U ξεξεξε=-+中包含了{}n a 中的无穷多项,设{}()();,kn a U ξεξεξε⊂=-+.又()02n n nb aba n --=→→+∞ 于是存在某个0k n ,使得0k k n n b a βξε-<--故0n a ξεα>->;()00n n b a βξεξεβξεβ<+--<++--=.故[]00,,n n a b αβ⎡⎤⊂⎣⎦.这与[](),1,2,3n n a b =L 均不能被H 有限开覆盖矛盾!故假设不成立,即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.25.聚点定理证明Cauchy 收敛准则 证明:必要性:若lim n n x x →∞=,则对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >,有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性:现假设{}n x 满足对任意的0ε>,存在N ,对一切正整数,n m N >,有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=,故存在某个正整数0N ,对一切n ,有011n N x x +-<,即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.故它存在聚点,设为ξ.对条件中的0ε>,由聚点的定义,假设{}()();,k n x U ξεξεξε⊂=-+ 则对任意正整数n N >,总存在某个()k k n n N >,使得k n x ξε-<,故有:2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.六.Cauchy 收敛准则26. Cauchy 收敛准则证明确界原理证明: 设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,对任何正数α,存在整数k α ,使得k ααλα=为S 的上界,而()1k ααλαα-=-不是S 的上界, 即存在S α'∈使得()1k ααα'>- 分别取()11,2,3,n n α==L ,则对每一个正整数n ,存在相应的n λ,使得n λ为S 的上界,而1nnλ-不是S 的上界,故存在S α'∈,使得1n nαλ'>-又对正整数m ,m λ是S 的上界,故有m λα'≥.所以1m n n λαλ'≥>-,即有1m n m λλ-<.同理有1m n nλλ-<,于是得到11min ,m n m n λλ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭. 于是,对任意的0ε>,存在正整数N ,使得当,m n N >时有m n λλε-<.由柯西收敛准则,数列{}n λ收敛.记lim n n λλ→∞=现在证明λ就是S 的上确界.首先,对任何S α∈和正整数n ,有n αλ≤,有极限的保序性,lim n n αλλ→∞≤=,故λ是S 的上界其次,对于任意的0δ>,存在充分的的正整数n ,使得12n δ<并且2n δλλ>-. 由于1n n λ-不是S 的上界,所以存在S α'∈,并且1n nαλ'>-. 于是122n n δδαλλλδ'>->--=-.故λ就是S 的上确界. 27. Cauchy 收敛准则证明单调有界定理证明:设{}n x 是单调有界数列,不妨假设{}n x 单调递增有上界.若{}n x 发散,则又柯西收敛准则,存在00ε>,对一切正整数N ,存在m n N >>,使得0m n m n x x x x ε-=-≥. 于是容易得到{}n x 的子列{}k n x ,使得10k k n n x x ε+-≥.进而()101k n n x x k ε>+- 故()k n x k →+∞→∞,这与{}n x 是有界数列矛盾!所有假设不成立,即{}n x 收敛. 28. Cauchy 收敛准则证明区间套定理证明:设[]{},n n a b 为闭区间套.因为lim 0n n n a b →∞-=,所以对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>,m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<;m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<,由柯西收敛准则,{}{},n n a b 均收敛,而且是同一极限,设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.由于{}n a 单调递增,{}n b 单调递减,由极限的保序性, 所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=L下证唯一性,假设还有另外一点ξ',也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=L .则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞,故有:ξξ'=.唯一性得证.29.Cauchy 收敛准则证明有限覆盖定理证明:若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法,若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖. 将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ,并且[](),1,2,3n n a b =L 均不能被H 有限开覆盖.因为lim lim02n n nn n b aa b →∞→∞--==,所以对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>,m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<;m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<,由柯西收敛准则,{}{},n n a b 均收敛,而且是同一极限,设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.由于{}n a 单调递增,{}n b 单调递减,由极限的保序性, 所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=L .考虑H 覆盖中覆盖住ξ的开区间(),αβ.取{}min ,εξαβξ<--,则存在正整数N ,对一切n N >,,n n a b ξξε--<.即有[]()(),;,n n a b U ξεαβ⊂⊂.这与[](),1,2,3n n a b =L 均不能被H 有限开覆盖矛盾!故假设不成立,即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖. 30. Cauchy 收敛准则证明聚点定理证明:已知点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂. 将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ,每个闭区间包含了点集S 中无穷多个元素.因为lim lim02n n nn n b aa b →∞→∞--==,所以对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>,m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<;m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<,由柯西收敛准则,{}{},n n a b 均收敛,而且是同一极限,设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.下证ξ是S 的一个聚点.对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,,n n a b ξξε--<.即有[]()(),;,n n a b U ξεξεξε⊂=-+.故()();,U ξεξεξε=-+中包含了S 中无穷多个元素,由聚点的定义,ξ是S 的一个聚点.。

确界原理的证明

确界原理的证明

确界原理的证明在现代数学中,确界原理是一条基本的原理,也被称为实数完备性原理或连续性公理。

该原理指出,非空有上界的实数集合必定存在上确界,以及非空有下界的实数集合必定存在下确界。

为了证明确界原理,我们需要引入实数的基本性质和定义。

首先,我们需要了解实数的有序性质。

实数集合R中的任意两个不相等的元素a和b,必然满足以下三种情况之一:a<b,a=b,或者a>b。

这个性质被称为实数的全序性。

接下来,我们定义了实数集合中的上界和下界。

对于一个实数集合S,如果存在一个实数M,使得对于集合中的任意元素s,都有s≤M,则M被称为S的上界。

类似地,如果存在一个实数m,使得对于集合中的任意元素s,都有s≥m,则m被称为S的下界。

有了上界和下界的概念,我们可以开始证明确界原理。

首先,我们考虑有上界的实数集合S。

假设S是一个非空的实数集合,且存在一个实数M,使得对于集合中的任意元素s,都有s≤M。

我们需要证明存在一个实数M',满足M'是S的上确界。

我们分两步进行证明:第一步,我们需要证明存在一个实数M',使得M'是S的一个上界。

根据S的定义,我们知道存在一个实数M,使得对于集合中的任意元素s,都有s≤M。

所以M是S的一个上界。

换句话说,M是一个满足S的上界定义的实数。

第二步,我们需要证明若M'是一个比M更小的上界,则M'不能是S的上确界。

假设存在一个实数M',满足M'<M,且M'也是S的一个上界。

根据实数的全序性,我们可以找到一个介于M'和M之间的实数M",使得M'<M"<M。

由于M"介于M'和M之间,所以对于集合中的任意元素s,都有s≤M"。

然而,这与M是S的上界的定义相矛盾。

所以假设不成立,即不存在一个比M更小的上界。

综上所述,我们证明了有上界的实数集合必定存在上确界。

用实数域的闭区间套定理证明确界原理

用实数域的闭区间套定理证明确界原理

⽤实数域的闭区间套定理证明确界原理
闭区间套:
设[a n,b n]为实数域内的闭区间,n∈N+,且a n⊃a n+1
lim n→∞(a n−bn)=0
则,存在唯⼀⼀个实数ξ∈所有闭区间[a n,b n]
确界定理:设A为实数域内数集,且有上界(下界),则必有上确界(下确界)。

⽤实数域内的闭区间套定理证明确界定理在实数域内成⽴
证明:
设A的全体上界的集合为B设a_{1}\in A,b_{1}\in B因为B为A的全体上界集合,可知a_{1}<b_{1}考察区间[a_{1},b_{1}]的中点c,若c\in A,则设a_{2}=c否则,c必然属于B,设b_{2}=对[a_{2},b_{2}],重复上述步骤,得到[a_{3},b_{3}]以上步骤⼀直重复,得到闭区间套
[a_{n},b_{n}]由闭区间套定理,存在唯⼀⼀个实数\xi属于所有闭区间[a_{n},b_{n}].假设存在x\in A,有x>\xi,则可建⽴闭区间区间[\xi,x],可以将上述过程继续下去,$
Processing math: 100%。

确界原理的证明

确界原理的证明

确界原理的证明任何一个有上界的非空数集必有上确界,有下界的非空数集必有下确界引理:∀x∈R,x=[x]+(x)且任何实数都可以写成无限小数形式证法一:设S⊂R,且非空,有上界S={a0+0.a1a2a3...an...|a0=[x],0.a1a2a3...an...=(x),x∈S}因为S有上界取S元素中a0最大的所有数,记为α0设S0={x|x∈S,[x]=α0}若x∈S,且x∉S0则x<α0取S0中x的小数部分第1位小数最大的为α1S1={x|x∈S0,x的小数部分中第1位数为α1}若x∈S,且x∉S1则x<α0+0.α1取S1中x的小数部分第2位小数最大的为α2 S2={x|x∈S1,x的小数部分中第2位小数为α2}若x∈S,且x∉S2则x<α0+0.α1α2我们继续进行进行下去可以得到取Sn−1中x的小数部分第n位小数最大的为αn Sn={x|x∈Sn−1,x的小数部分中第n位为αn}若x∈S,且x∉Sn,则x<α0+0.α1α2α3...αn无限下去可以得到S⊃S0⊃S1⊃...⊃Sn⊃...其中α0∈Z , α1,α2,α3...∈{0,1,2, (9)令β=α0+0.α1α2α3...αn...现在我们来证明β为S的上确界1′先证β为S的一个上界∀x∈S,x有两种情况:i)∃n1∈N,使得x∉Sn1则x≤βii)∀n2∈N使得x∈Sn2,则x的整数和每位小数都与β相等,因此有x=β故β为S的一个上界2′现证β为S的上确界即证∀ε>0,β−ε不是上界取n3∈N,使得110n3<ε取x∈Sn3,有x=α0+0.α1α2α3...αn3β−x<110n3<ε即x>β−ε,β−ε不是S的上确界所以β为S的最小上确界故对于任意的非空有上界集合都可通过此种办法找到β因此非空有上界集合必定有上确界。

区间套证明确界原理

区间套证明确界原理

区间套证明确界原理引言:在数学中,区间套证明确界原理是一种常用的证明方法,用于证明实数集合中存在唯一的确界。

该原理可以帮助我们确定数集的上界和下界,从而更好地理解数学问题的性质和特点。

本文将详细介绍区间套证明确界原理的定义、原理和应用。

一、区间套的定义在数学中,区间是指由两个实数端点构成的集合。

设有一系列区间{[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...},满足以下条件:1. 对于任意的正整数n,区间[a_n, b_n]包含在区间[a_(n+1), b_(n+1)]中,即[a_n, b_n]⊆[a_(n+1), b_(n+1)];2. 区间的长度逐渐减小,即对于任意的正整数n,有b_n - a_n >= b_(n+1) - a_(n+1)。

二、区间套证明确界原理的原理区间套证明确界原理是基于一种递推的思想。

假设存在一个实数集合,这个集合的每个元素都是一系列区间的交集。

如果这些区间满足区间套的定义,那么这个实数集合必定存在唯一的上界和下界。

三、区间套证明确界原理的证明1. 首先,根据区间套的定义,我们可以得到以下结论:- 对于任意的正整数n,区间[a_n, b_n]包含在区间[a_(n+1),b_(n+1)]中;- 区间的长度逐渐减小。

2. 接下来,我们要证明这个实数集合存在上界和下界。

根据区间套的定义,我们可以得到以下结论:- 对于任意的正整数n,a_n <= a_(n+1),即区间的左端点逐渐增大;- 对于任意的正整数n,b_n >= b_(n+1),即区间的右端点逐渐减小。

3. 基于以上结论,我们可以得到以下两个结论:- a_n是一个递增数列,存在上界;- b_n是一个递减数列,存在下界。

4. 根据实数的完备性定理,递增数列存在上确界,递减数列存在下确界。

5. 接下来,我们要证明这个实数集合的上确界和下确界是唯一的。

假设存在两个上确界c和d,其中c < d。

确界原理的证明

确界原理的证明

确界原理的证明确界原理是一种数学概念,它是指对于一个有上界的非空实数集合,必然存在一个最小的上界。

这个概念在实际生活中有着广泛的应用,比如在金融领域中,对于投资组合的收益率,就需要找到最小的上界来进行有效的投资决策。

那么,接下来我们将通过数学推导来证明确界原理的有效性。

首先,我们假设存在一个非空实数集合A,它有上界,但不存在最小的上界。

即对于任意的上界M,必然存在另一个上界N,使得N<M。

那么我们可以构造一个序列{M_n},其中M_1是A的一个上界,然后我们依次取M_2,M_3,...,使得M_1>M_2>M_3>...。

根据确界原理,这个序列必然收敛,即存在极限lim(M_n)=L。

接下来我们证明L是A的上界。

假设L不是A的上界,那么存在一个元素a∈A,使得a>L。

但是根据序列{M_n}的定义,我们可以找到一个M_k,使得M_k<L,这与L是序列的极限相矛盾,所以L必然是A的上界。

另一方面,我们知道对于任意的ε>0,存在N,使得当n>N时,|M_n-L|<ε。

那么取ε=1,根据极限的定义,存在一个M_N,使得|M_N-L|<1,即M_N<L+1。

而根据序列{M_n}的定义,M_N是A的一个上界,但是它小于L+1,这与L是A的最小上界相矛盾。

综上所述,我们得出结论,对于一个有上界的非空实数集合A,必然存在一个最小的上界。

这就是确界原理的证明过程。

通过以上的数学推导,我们证明了确界原理的有效性。

这个原理在数学上有着重要的地位,也在实际生活中有着广泛的应用。

希望本文能够帮助读者更加深入地理解确界原理的概念和意义。

用柯西收敛准则证明确界原理

用柯西收敛准则证明确界原理

用柯西收敛准则证明确界原理用柯西收敛准则证明确界原理什么是确界原理•确界原理是数学中的一个基本原理,也被称为上确界原理或最大元原理。

在实际问题中,确界原理常常用于证明数列或函数的存在性及性质。

什么是柯西收敛准则•柯西收敛准则是数学分析中用于判断数列的收敛性的一种方法。

根据柯西收敛准则,如果对于任意给定的正数ε,序列的后续项差的绝对值小于ε时,我们可以说这个序列是收敛的。

如何用柯西收敛准则证明确界原理1.首先,让我们考虑一个数列{a_n},假设它是一个有上界的数列。

2.我们借助确界原理来证明这个数列必然存在一个上确界。

3.根据确界原理,我们需要证明数列的上确界是存在的、唯一的。

4.为了证明数列的上确界存在,我们需要使用柯西收敛准则。

5.根据柯西收敛准则,我们需要证明对于任意给定的正数ε,数列的后续项差的绝对值小于ε。

6.我们可以假设存在一个正数ε,使得数列的后续项差的绝对值大于等于ε,即|a_m - a_n| >= ε,其中m、n为自然数且m > n。

7.由于数列有上界,所以存在一个上确界M,使得M >= a_n对于所有的n。

8.考虑数列的后续项差a_m - a_n,由于数列有上确界,所以存在一个N,使得a_N >= M - ε。

9.由于a_N >= M - ε,所以a_m >= a_N,即a_m >= M - ε。

10.综合前两步得到的不等式,我们可以得到a_m - a_n >= (M - ε)- a_n。

11.由于|a_m - a_n| >= ε,所以(M - ε) - a_n >= ε,即M -2ε >= a_n。

12.这与M >= a_n矛盾,因此假设不成立。

13.因此,对于任意给定的正数ε,数列的后续项差的绝对值小于ε,即数列满足柯西收敛准则。

14.根据柯西收敛准则,数列是收敛的。

15.则存在一个上确界M,即数列的确界是存在的。

确界原理的证明范文

确界原理的证明范文

确界原理的证明范文
一、准确界定原理
准确界定原理是确定一个变量或一个组合的变量在其中一种条件下有
唯一解的理论。

它的核心思想是,对等价变量的讨论可以可以被独立地表达,而对它们的组合变量可以由它们的等价变量表示。

准确界定原理被用
来证明一些抽象数学结构的唯一性,它也被用来证明一些计算机问题的唯
一性。

二、证明准确界定原理
准确界定原理可以用组合可能性法证明。

我们假设存在X个自由变量:x1,x2,…,xn,并且它们可以通过运算机程序来定义。

令R为这些变量
的可能取值的集合。

对于任意给定项,可以将它们的组合构成一个具有n维向量的n维空间,并用它们表示总的取值空间。

则每一个X取值R{x1,x2,……,xn}
唯一地表示为与之对应的n维空间的点rn,更进一步说,任何给定项的
特定排列都可以由它的特定位置表示,例如给定取值x1=3,x2=7,……,xn=0,则它可以表示为空间点rn(3,7,…,0)。

假定每一个变量都有一个有限的取值集合,而这些变量的组合可以由
它们的取值解析构成出一个空间点,也就是说,对于每一个给定的变量取值,都可以得到唯一的空间点,否则有两个变量取值的组合得到相同的空
间点,从而矛盾。

实数完备性的六大基本定理的相互证明(共30个)

实数完备性的六大基本定理的相互证明(共30个)

1 确界原理非空有上(下)界数集,必有上(下)确界。

2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。

3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ,使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。

4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间,H 为],[b a 上的一个开覆盖,则在H 中存在有限个开区间,它构成],[b a 上的一个覆盖。

5 Weierstrass 聚点定理(Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。

) 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。

6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε,总存在某一个自然数N ,使得N n m >∀,时,都有ε<-||n m a a 。

一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明:1设 [an,bn] 是一个闭区间套,即满足: 1)∀n,[an+1,bn+1]⊂[an,bn];2)bn-an =我们证明,存在唯一的实数ξ,使得ξ∈[an,bn],(n =1,2,⋯)存在性:令S={an},显然,S非空且有上界(任一bn都是其上界).据确界原理,S有上确界,设sup S =ξ.现在,我们证明ζ属于每个闭区间[an,bn],(n=1,2,⋯)显然an ≤ξ,(n =1,2,⋯)所以,我们只需证明对一切自然数n,都有ξ≤bn. 事实上,因为对一切自然数n,bn都是S 的上界,而上确界是上界中最小者,因此必有 ξ≤bn,故我们证明了存在一实数ξ,使得ξ∈[an,bn],(n =1,2,⋯)唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ,则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。

确界原理证明

确界原理证明

确界原理证明
根据你的要求,以下是一种方式,通过解释这个原理的概念和相关性来证明这个结论:
确界原理是一种基于逻辑思维的原理,用于证明一个不等式或函数存在上下确界。

在数学中,上确界(supremum)指的是某个集合中的最小上界,下确界(infimum)指的是某个集合中的最大下界。

确界原理断言,非空有上界的实数集合必然存在上确界,同样地,非空有下界的实数集合必然存在下确界。

这个原理的概念可以用来证明数学问题中的一些重要结论。

例如,对于一个递增且有上界的数列,我们可以使用确界原理来证明该数列收敛于某个有限的极限。

类似地,针对一个递减且有下界的数列,可以使用确界原理来证明该数列亦会收敛于某个有限的极限。

确界原理的重要性在于,它为我们提供了一种证明存在性的方法,尤其在处理上下确界问题时。

通过使用确界原理,我们可以确保某个集合中存在一个最大值或最小值,从而帮助简化复杂的数学计算。

总结来说,确界原理是一种基于逻辑推理的原理,用于证明实数集合中存在上确界和下确界。

它在数学中具有广泛的应用,尤其在解决极限和收敛问题时具有重要的意义。

有限覆盖定理证明确界原理

有限覆盖定理证明确界原理

有限覆盖定理证明确界原理有限覆盖定理是数学中的一个重要定理,它在解决集合覆盖问题时起到了关键作用。

而确界原理则是数学中的一个基本原理,它在实数集合中的应用广泛。

本文将通过有限覆盖定理来证明确界原理的正确性。

在正式证明之前,我们先来了解一下有限覆盖定理的概念。

有限覆盖定理是指对于任意一个有界的实数集合,存在一个有限的开区间集合,使得该集合包含了整个实数集合。

换句话说,对于任意一个有界集合,我们可以用有限个开区间来覆盖它。

现在我们开始证明确界原理。

首先,我们需要明确确界原理的表述:对于一个非空的有上界(或下界)的实数集合,存在一个最小的上界(或最大的下界),即确界。

假设我们有一个非空的有上界的实数集合S。

根据确界原理的表述,我们需要证明存在一个最小的上界。

为了证明这一点,我们可以利用有限覆盖定理。

我们可以找到一个上界M,使得S中的所有元素都小于等于M。

这是因为S是有上界的,所以必然存在一个上界。

接下来,我们可以构造一个区间序列I,该序列包含了所有在区间(−∞,M]之间的实数。

换句话说,我们将区间(−∞,M]划分成无数个长度逐渐减小的开区间。

根据有限覆盖定理,我们知道可以用有限个开区间来覆盖区间(−∞,M]。

设这些开区间为I1,I2,...,In。

由于这些区间覆盖了(−∞,M],所以它们也覆盖了S中的所有元素。

现在我们来考虑这些开区间的上界。

由于这些区间都是开区间,所以它们的上界可能小于M。

但是根据这些区间的构造方式,我们可以确定它们的上界一定大于等于M。

因此,这些开区间的上界构成了S的一个上界集合。

接下来,我们需要找到这个上界集合的最小元素。

假设这个上界集合的最小元素为N。

我们可以证明N是S的确界。

首先,N是S的上界,因为它大于等于S中的所有元素。

其次,N是最小的上界,因为它是上界集合的最小元素。

我们通过有限覆盖定理证明了确界原理的正确性。

无论是有上界还是有下界的实数集合,都存在一个最小的上界或最大的下界。

确界原理证明柯西收敛准则

确界原理证明柯西收敛准则

确界原理证明柯西收敛准则确界原理证明柯西收敛准则柯西收敛准则是描述数列收敛的基本方法之一,其表述为:对于任意给定的正数 $\epsilon$,存在正整数 $N$,使得当 $n>N$ 时,$|x_n-x_m|<\epsilon$。

它指出,如果一个序列是柯西收敛的,那么它一定是收敛的。

在本文中,我们将探讨柯西收敛准则背后的确界原理证明。

一、确界原理的定义和性质1.1 定义确界原理是基于实数系统的一项基本原理,它指出:一个非空有上界的实数集合必定存在一个最小上界,称为这个集合的上确界;同样,一个非空有下界的实数集合必定存在一个最大下界,称为这个集合的下确界。

1.2 性质确界原理有以下两个重要的性质:(1)一般实数系中的确界原理等价于完备性公理。

(2)一个非空实数集合的上确界和下确界不一定属于该集合。

二、柯西收敛准则及其证明2.1 柯西收敛准则当一个数列 $\{x_n\}$ 满足柯西收敛准则时,它收敛到一个有限的极限值。

证明步骤如下:1. 设 $s_n=x_1+x_2+...+x_n$,证明 $\{s_n\}$ 是有界的。

根据确界原理,存在一个实数 $z$,使得$s_n≤z$ 对于所有的 $n$ 都成立。

2. 证明 $\lim_{n\rightarrow\infty}|x_{n+1}-x_n|=0$。

对于$\epsilon>0$,取 $N$ 使得 $|x_n-x_m|<\epsilon/2$ 对于所有$n,m>N$ 都成立。

由三角形不等式,$|x_{n+1}-x_n|≤|x_{n+1}-x_n|+|x_{n+2}-x_{n+1}|+...+|x_{N+1}-x_N|$。

故当 $n>N$ 时,$|x_{n+1}-x_n|<\epsilon$。

3. 证明 $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n$ 存在。

由于 $|x_n-x_m|≤|x_{n}-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+...+|x_{m+1}-x_m|$,由步骤二得,对于 $n>k>N$,$|x_n-x_k|<2\epsilon$。

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§2 数集. 确界原理
(一) 教学内容:实数的区间与邻域;集合的上、下界,上确界和下确界;确界原理
难 点: 上、下确界定义的理解、数集确界的证明 二) 教学目的:
1)正确使用区间和邻域概念,掌握集合的有界性的证明; 2)初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。

(三)基本要求:
1)掌握实数的区间与邻域概念;分清最大值与上确界的联系与区别;结合具体集合,
能指出其确界;
2)能用定义证明集合A 的上确界为ξ.即:
A
x ∈∀有ξ≤x ,且 ,,00A x ∈∃>∀ε使得 εξ->0x .
(三) 教学建议:
(1) 此节重点是确界概念和确界原理.不可强行要求一步到位,对多数学生可只布置
证明具体集合的确界的习题.
(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理.对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习
题.
一 区间与邻域: 区间
邻 域
设a 与δ是两个实数,且0>δ,称点集 }|||{δ<-=a x x E 为点 a 的δ邻域,记作)(a U δ
称点集 }|{}|{)(δδδ+<<<<-=a x a x a x a x a U 为点 a 的去心δ邻域 记作)(0
a U δ
.
δ
δ
a 的右δ邻域 }|{)(δδ+<≤=+a x a x a U
a 的右δ空心邻域 }|{)(0
δδ+<<=+a x a x a U
a 的左δ邻域 }|{)(a x a x a U ≤<-=-δδ
a 的左δ空心邻域 }|{)(0
a x a x a U <<-=-δδ
∞邻域 }|||
{)(M x x U >=∞
∞+ 邻域 }|{)(M x x U >=∞
∞- 邻域 }|{)(M x x U -<=∞
二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集:
定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数R 上的一个数集,若存在一个数M ( L ), 使得对一切 S x ∈ 都有 )(L x M x ≥≤,则称S 为有上界(下界)的数集。

若集合S 既有上界又有下界,则称S 为有界集。

例如,区间 ],[b a 、(,) (,a b a b 为有限数)、邻域等都是有界数集,集合 {}
) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.
无界数集: 若对任意0M >,存在 ,||x S x M ∈>,则称S 为无界集。

例如,) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-,有理数集等都是无界数集, 例1
证明集合 ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
∈=
=) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 是无界数集. 证明:对任意0M >, 存在 1
1
(0,1),,11x y E y M M M x
=∈=∈=+>+
由无界集定义,E 为无界集。

y x
M
M+1
确界,先给出确界的直观定义:若数集S 有上界,则显然它有无穷多个上界,其中最小的一个上界我们称它为数集S 的上确界,记作 S sup ;
同样,有下界数集有无穷多个下界,称最大下界为该数集的下确界,记作 S inf 。

精确定义
定义2 设S 是R 中的一个数集,若数 η满足以下两条: (1) 对一切 S x ∈ 有 η≤x ,即 η是数集S 的上界;
(2) 对任意0>ε,存在 S x ∈0 使得εη->0x (即η是S 的最小上界), 则称数η为数集S 的上确界。

记作 S sup =η
定义3 设S 是R 中的一个数集,若数 ξ 满足以下两条: (3) 对一切 S x ∈ 有 ξ≥x ,即 ξ 是数集S 的下界;
(4) 对任意0>ε,存在 S x ∈0使得εξ+<0x (即ξ是S 的最大下界),
则称数ξ为数集S 的下确界。

记作 S inf =ξ
例2 (1) ,) 1(1⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-+=n S n 则._______inf
______,sup ==S S (2) {}
.),0( ,sin π∈==x x y y E 则
00
M2
M1
._________inf ________,sup ==E E
注1 由确界定义,若数集S 的上(下)确界存在,则一定是唯一的,且
S S sup inf ≤
注2 由上面例子可知,数集S 的确界可以属于S ,也可以不属于S 。

例3 设数集S 有上确界,证明 S S max sup =⇔=ηη
证明 (略)
定理1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集,若S 有上界,则S 必有上确界;若S 有下界,则S 必有下确界。

证明 不妨设 S 包含非负数,S 有上界 ⇒ 存在自然数 n ,使得 1)1,+<∈∀n x S x ; 2)存在n a S a ≥∈00,
在)1,[+n n 内作10等分,分点分别为:9.,,2.,1.n n n ⇒ 存在自然数 1n
使得
1);10
1
.,
1+
<∈∀n n x S x 2)存在 111.,n n a S a ≥∈ …………
1);10
1
.,
21k k n n n n x S x +
<∈∀ 2)存在 k k k n n n n a S a 21.,≥∈ 按上述办法无限作下去,得到实数 k n n n n 21.=η ,可以验证S sup =η。

例4 设A 和B 是非空数集. 若对A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤ 则有
.inf sup B A ≤
证 A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤ y ⇒
是A 的上界, 而A sup 是A 的最小上界
.sup y A ≤⇒ 此式又A sup ⇒是B 的下界,≤⇒A sup B inf (B 的最大下界)
例5 A 和B 为非空数集, .B A S = 试证明:
{}
. inf , inf m in inf B A S = 证 ,S x ∈∀有 A x ∈ 或,B x ∈ 由A inf 和B inf 分别是 A 和B 的下界, 有
A x inf ≥ 或 {}. inf , inf m in .inf
B A x B x ≥⇒≥
即 {} inf , inf m in B A 是数集 S 的下界, {}
. inf , inf m in inf B A S ≥⇒ 又S A S ,⇒⊃的下界就是 A 的下界, S inf 是 S 的下界, S inf ⇒是A 的下界,
;inf inf A S ≤⇒ 同理有 .inf inf B S ≤ 于是有
{} inf , inf m in inf B A S ≤.
综上, 有 {} inf , inf m in inf B A S =.。

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