确界原理的证明

§2 数集. 确界原理

(一) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理

难 点： 上、下确界定义的理解、数集确界的证明 二) 教学目的：

1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明； 2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。 （三）基本要求：

1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，

能指出其确界；

2）能用定义证明集合A 的上确界为ξ．即：

A

x ∈∀有ξ≤x ，且 ,,00A x ∈∃>∀ε使得 εξ->0x ．

(三) 教学建议：

(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置

证明具体集合的确界的习题．

(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习

题．

一 区间与邻域: 区间

邻 域

设a 与δ是两个实数，且0>δ，称点集 }|||{δ<-=a x x E 为点 a 的δ邻域，记作)(a U δ

称点集 }|{}|{)(δδδ+<<<<-=a x a x a x a x a U 为点 a 的去心δ邻域 记作)(0

a U δ

.

δ

δ

a 的右δ邻域 }|{)(δδ+<≤=+a x a x a U

a 的右δ空心邻域 }|{)(0

δδ+<<=+a x a x a U

a 的左δ邻域 }|{)(a x a x a U ≤<-=-δδ

a 的左δ空心邻域 }|{)(0

a x a x a U <<-=-δδ

∞邻域 }|||

{)(M x x U >=∞

∞+ 邻域 }|{)(M x x U >=∞

∞- 邻域 }|{)(M x x U -<=∞

二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集:

定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数R 上的一个数集，若存在一个数M （ L ）, 使得对一切 S x ∈ 都有 )(L x M x ≥≤，则称S 为有上界(下界)的数集。

若集合S 既有上界又有下界，则称S 为有界集。

例如，区间 ],[b a 、(,) (,a b a b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}

) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.

无界数集: 若对任意0M >，存在 ,||x S x M ∈>，则称S 为无界集。

例如，) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-，有理数集等都是无界数集, 例1

证明集合 ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

∈=

=) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 是无界数集. 证明：对任意0M >, 存在 1

1

(0,1),,11x y E y M M M x

=∈=∈=+>+

由无界集定义，E 为无界集。

y x

M

M+1

确界，先给出确界的直观定义：若数集S 有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S 的上确界，记作 S sup ；

同样，有下界数集有无穷多个下界，称最大下界为该数集的下确界，记作 S inf 。 精确定义

定义2 设S 是R 中的一个数集，若数 η满足以下两条： （1） 对一切 S x ∈ 有 η≤x ，即 η是数集S 的上界；

（2） 对任意0>ε，存在 S x ∈0 使得εη->0x （即η是S 的最小上界）， 则称数η为数集S 的上确界。记作 S sup =η

定义3 设S 是R 中的一个数集，若数 ξ 满足以下两条： （3） 对一切 S x ∈ 有 ξ≥x ，即 ξ 是数集S 的下界；

（4） 对任意0>ε，存在 S x ∈0使得εξ+<0x （即ξ是S 的最大下界），

则称数ξ为数集S 的下确界。记作 S inf =ξ

例2 （1） ,) 1(1⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-+=n S n 则._______inf

______,sup ==S S （2） {}

.),0( ,sin π∈==x x y y E 则

00

M2

M1

._________inf ________,sup ==E E

注1 由确界定义，若数集S 的上（下）确界存在，则一定是唯一的，且

S S sup inf ≤

注2 由上面例子可知，数集S 的确界可以属于S ，也可以不属于S 。

例3 设数集S 有上确界，证明 S S max sup =⇔=ηη

证明 （略）

定理1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界。

证明 不妨设 S 包含非负数，S 有上界 ⇒ 存在自然数 n ，使得 1）1,+<∈∀n x S x ； 2）存在n a S a ≥∈00,

在)1,[+n n 内作10等分，分点分别为：9.,,2.,1.n n n ⇒ 存在自然数 1n

使得

1）;10

1

.,

1+

<∈∀n n x S x 2）存在 111.,n n a S a ≥∈ …………

1）;10

1

.,

21k k n n n n x S x +

<∈∀ 2）存在 k k k n n n n a S a 21.,≥∈ 按上述办法无限作下去，得到实数 k n n n n 21.=η ，可以验证S sup =η。 例4 设A 和B 是非空数集. 若对A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤ 则有

.inf sup B A ≤

证 A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤ y ⇒

是A 的上界, 而A sup 是A 的最小上界

.sup y A ≤⇒ 此式又A sup ⇒是B 的下界,≤⇒A sup B inf （B 的最大下界）

例5 A 和B 为非空数集, .B A S = 试证明:

{}

. inf , inf m in inf B A S = 证 ,S x ∈∀有 A x ∈ 或,B x ∈ 由A inf 和B inf 分别是 A 和B 的下界, 有

A x inf ≥ 或 {}. inf , inf m in .inf

B A x B x ≥⇒≥

即 {} inf , inf m in B A 是数集 S 的下界, {}

. inf , inf m in inf B A S ≥⇒ 又S A S ,⇒⊃的下界就是 A 的下界, S inf 是 S 的下界, S inf ⇒是A 的下界,

;inf inf A S ≤⇒ 同理有 .inf inf B S ≤ 于是有

{} inf , inf m in inf B A S ≤.

综上, 有 {} inf , inf m in inf B A S =.