正四面体的外接球半径的求法

正四面体是一种比较灵活的多面体，而球又是高中教材中唯一保 留下

来的旋转体，此两种几何的组合无疑有着特殊的意义。 现把求四 面体外接球的半径的几种方法总结如下， 本人认为很有代表意义，希 望它对高三备考的师生能有启发作用。

如右图：已知正四面体A BCD ，H 为底面的中心，0为外接球的 球心，

设棱长为a ,外接球半径为R,内切球半径为r ，试求R.

方法一：易知R+r=AH=^ a ，由等积法得：

3

V A BCD V O ABC V O BCD V O CDA V o DAB

所以:

所以

可得

方法三:

如图设延长AH 交球面上一点K,则AK=2R 在直角三角形ABK 中由射影 定理得AB 2 AH AK 即a 2 6a 2R 故得R a .

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方法四：如图正四面体可补成一个边长为 丄2

a 的正方体，显然正方体 1 3AH S BCD

1 3 故r -AH ,R -AH

方法二：如图 AHM

BNM 所 H M °0A '即3 i ，又由 R+r=AH =f a

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的外接球即为正四面体的外接球，而.3（辽a） 2R故可得R至a.

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小结：此四种方法立体交叉，思想性、艺术性各有千秋，对培养学生的空间想象能力以及综合解题能很有帮助。