北师大版数学八年级下内容复习(知识树图解)
北师大八年级数学下册 知识梳理
北师大数学八年级下册知识点网络分布表第一章：三角形的证明等腰三角形定义：两边相等的三角形是等腰三角形。
性质1：等腰三角形两腰相等。
性质2：等腰三角形两底相等（简称等边对等角）性质3：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中级及底边上的高相互重合。
简称“三线合一”。
性质4：等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴。
等边三角形性质定义：三边分别相等的三角形是等边三角形。
性质1：等边三角形的三条边相等。
性质2：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于︒60。
等腰三角形的判定定理判定1：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（定义判定）判定2：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形判定定理判定1：三边分别相等的三角形是等边三角形。
（定义判定）判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。
判定3：有一个角等于︒60的等腰三角形是等边三角形。
反证法三步法：1：先假设命题的结论不成立2：然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件矛盾的结果。
3：从而证明命题的结论一定成立。
直角三角形直角三角形的性质：定义：有一个角是90度的三角形叫直角三角形。
性质1：直角三角形的两个锐角互余。
性质2：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
（勾股定理）性质3：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形判定定理：判定1：有一个角是90度的三角形是直角三角形。
（定义判定）判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形。
判定3：在三角形中，如果最短两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（勾股定理逆定理）。
全等三角形的判定定理判定1：三边对应相等的两个三角形全等（SSS)判定2：两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）判定3：两角及夹边对应相等的两个三角形全等（ASA)判定4：两角相等且其中一组等角对边对应相等的两个三角形全等（AAS)判定5：在直角三角形中，斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等（HL）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
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北师大版八年级数学下册知识点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一 . 不等关系1.一般地；用符号“ <”(或“≤” )；“>”(或“≥” )连接的式子叫做不等式 .2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系；不等式表示是不相等的关系。
3.准确“翻译”不等式；正确理解“非负数” 、“不小于”等数学术语 .非负数<===> 大于等于 0( ≥0) <===> 0 和正数<===> 不小于 0非正数<===> 小于等于 0( ≤0) <===> 0 和负数<===> 不大于 0二 . 不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质；并会灵活运用 :(1)不等式的两边加上 (或减去 )同一个整式；不等号的方向不变；即 :如果 a>b；那么 a+c>b+c； a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以 (或除以 )同一个正数；不等号的方向不变；即如果 a>b；并且 c>0；那么 ac>bc；a b .c c(3)不等式的两边都乘以 (或除以 )同一个负数；不等号的方向改变；即 :如果 a>b；并且 c<0；那么 ac<bc；a b c c2.比较大小 :(a 、b 分别表示两个实数或整式 ) 一般地 :如果 a>b；那么 a-b 是正数 ; 反过来；如果 a-b 是正数；那么 a>b;如果 a=b；那么 a-b 等于 0;反过来；如果 a-b 等于 0；那么 a=b; 如果 a<b；那么 a-b 是负数 ; 反过来；如果 a-b 是正数；那么 a<b;即 :a>b <===> a-b>0a=b <===> a-b=0a<b <===> a-b<0(由此可见；要比较两个实数的大小；只要考察它们的差就可以了.三 . 不等式的解集 :1.能使不等式成立的未知数的值；叫做不等式的解 ;一个不等式的所有解；组成这个不等式的解集 ;求不等式的解集的过程；叫做解不等式 .2.不等式的解可以有无数多个；一般是在某个范围内的所有数；与方程的解不同 .3. 不等式的解集在数轴上的表示 :用数轴表示不等式的解集时；要确定边界和方向:①边界 : 有等号的是实心圆圈；无等号的是空心圆圈; ②方向 : 大向右；小向左四 . 一元一次不等式 :1. 只含有一个未知数；且含未知数的式子是整式；未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式 .2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似；特别要注意；当不等式两边都乘以一个负数时；不等号要改变方向 .3. 解一元一次不等式的步骤 :①去分母 ; ②去括号 ; ③移项 ; ④合并同类项 ; ⑤系数化为 1( 不等号的改变问题 )4. 一元一次不等式基本情形为 ax>b(或 ax<b) ①当 a>0 时；解为 xb; ②当 a=0 时；且 b<0；则 x 取一切实数 ; 当 a=0 时；且 bab ;≥ 0；则无解 ; ③当 a<0 时； 解为 xa 5. 不等式应用的探索 (利用不等式解决实际问题 )列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似；即:①审 : 认真审题；找出题中的不等关系；要抓住题中的关键字眼；如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义 ;②设 : 设出适当的未知数 ;③列 : 根据题中的不等关系；列出不等式 ;④解 : 解出所列的不等式的解集 ;⑤答 : 写出答案；并检验答案是否符合题意.五 . 一元一次不等式组1. 定义 : 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组； 叫做一元一次不等式组 .2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集 .如果这些不等式的解集无公共部分；就说这个不等式组无解 .几个不等式解集的公共部分；通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤 :(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分；即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a 、b 为实数；且 a<b)一元一次不解图示叙述语言表达等式集x ax>b x bx ax>a x bx aa<x<b x bx a无解x b a ba ba ba b两大取较大两小取小大小交叉中间找在大小分离没有解(是空集 )第二章分解因式一 . 分解因式1.把一个多项式化成几个整式的积的形式；这种变形叫做把这个多项式分解因式 .2.因式分解与整式乘法是互逆关系。
北师大版八年级下册数学各章节知识点总结(A3排版A4打印,便于记忆)
北师大版八年级下册数学知识点总结第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. ¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cbc a >.(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, cbc a <※2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式)一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即: a>b <===> a-b>0；a=b <===> a-b=0；a<b <===> a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了) 三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左 四. 一元一次不等式:※1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.※2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向. ※3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母; ②去括号; ③移项; ④合并同类项; ⑤系数化为1(不等号的改变问题) ※4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为abx >; ②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b≥0,则无解; ③当a<0时, 解为abx <;¤5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式与一次函数 六. 一元一次不等式组※1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. ※3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.第二章 分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. ※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: )(c b a ac ab +=+ ※2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(c b a m mc mb ma -+=-+ ※3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. ※2. 主要公式:(1)平方差公式: ))((22b a b a b a -+=-(2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++ ；222)(2b a b ab a -=+- ¤3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底. ※4. 运用公式法:(1)平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; ③二项是异号. (2)完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.※5. 因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四. 分组分解法:※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++ ※2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. ※3. 注意: 分组时要注意符号的变化.第三章 分式一. 分式※1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称BA为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.※2. 整式和分式统称为有理式,即有: ⎩⎨⎧分式整式有理式※3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.)0(,≠÷÷=⨯⨯=M MB M A B A M B M A B A※4. 一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.二. 分式的乘除法※1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即: BD AC D C B A =⋅, CB D ACD B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷※2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方.即: )(为正整数n B A B A nn n=⎪⎭⎫⎝⎛逆向运用nn n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有n n nB A B A =⎪⎭⎫⎝⎛成立.※3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.三. 分式的加减法※1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分. ※2. 分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:CBA CBC A ±=±(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBCAD BD BC BD AD D C B A ±=±=± ※3. 概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解. 四. 分式方程※1. 解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程; ②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.※2. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意; ②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程; ④解方程,并验根; ⑤写出答案.第四章 相似图形一. 线段的比※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nmB A =.※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即dcb a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段. ※3. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍; ②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a与ab 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a = 二. 黄金分割※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.1:618.0215:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.四. 相似多边形¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 五. 相似三角形※1. 在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. ※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. ※5. 相似三角形周长的比等于相似比.※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 六.探索三角形相似的条件基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似._图1_ B_ C_ A_ 图2_F _ E _ D _C _ B _ A _ l _3_ l _2 _ l _1※2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EFBCDE AB. ※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八. 相似的多边形的性质※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方. 九. 图形的放大与缩小※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. ◎3. 位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形. ③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.第五章 数据的收集与处理一. 每周干家务活的时间※1. 所要考察的对象的全体叫做总体;把组成总体的每一个考察对象叫做个体;从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本. ※2. 为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查. 二. 数据的收集※1. 抽样调查的特点: 调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值.而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.第六章 证明(一)二. 定义与命题※1. 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.※2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.※3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.※4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理. ¤5. 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明. 三. 为什么它们平行※1. 平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理) ※2. 平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行. ※3. 平行判定定理: 同错角相等,两直线平行. 四. 如果两条直线平行※1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等; ※2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等; ※3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补. 五. 三角形和定理的证明※1. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180° ¤2. 一个三角形中至多只有一个直角 ¤3. 一个三角形中至多只有一个钝角 ¤4. 一个三角形中至少有两个锐角 六. 关注三角形的外角※1. 三角形内角和定理的两个推论:推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和; 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）。
初中数学知识树图 新北师大 修改版
轴对称变换
图形与几何6-4
用 坐标 表示 轴对
称
作：关于x轴、 y轴的对称点
解决几何中的 极值问题
基本图形 旋转中心
一条直线
翻折后与 两部分重合
对称轴 定义
轴对称图形 静
基本图形 方向 距离
前.后图形全等
对应线段 平行且相等
利用平移 制作图案
要素
平移
特征
动 应用
平移过程 对应点坐标
（x,y）平移后 （x±a,y±b）
的变化规律 右加左减 上加下减
静
轴对 称
图 形 的 全 等 变 换
要
旋转方向
动
素
旋转角
对应点到旋转中心 的距离相等
图形的旋转
旋转前.后的图形全等
特 对应点与旋转中心所 征 连线段的夹角=旋转角
旋转角=1800 中心对称图形
旋转1800后与 其自身重合
旋转
中心对称
对称中心是对称 点连线的中点
关于中心对称 两图形全等
观 验 读信
察 与 与息
与 探 思技
猜 究 考术
想
应
用
选学 练习
课上使用
所学 内容 的的 巩固 与延
伸
开放性
节、习题
习题
课内课外作业
章前图、引言
体
例
导入新课材料 供学生预习
安
排
复习题
复习巩固 综合应用 拓广探索
复习全章使用
三、教材内容
逆用公式
平 方 差、 完 全 平 方
多项式除以 单项式
单项式除以 单项式
同底数幂 除法
相除
公 提式 公法 因
十 字 相 乘
北师大版八年级数学下册全册复习课件(共206张PPT)精选全文
第一章 | 复习
针对第8题训练
1．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么
它的三个内角之比为( D ) A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
2．如图1－10，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交
CB边于点D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为
第一章 | 复习
6．直角三角形的性质及判定 性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的___一__半____； 性质(2)：直角三角形的两个锐角互余． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 7．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 __平__方___． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是_直__角______三角形．
第二章 | 复习
考点攻略
►考点一 不等式的性质 例1 ＞
＞
＜ ＜
[易错地带] 不等式两边都乘（或除以）同一个复数时，不等号的 方向要改变。
第二章 | 复习
►考点二 一元一次不等式(组)的解法 例2
第二章 | 复习 [技巧总结]
第二章 | 复习
难易度
易
1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14， 15，17，18，19，20
中
9，10，21，22
难
16，23，24
第一章 | 复习
知识与 技能
全等三角形
等腰三角形 及直角三角
形
直角三角形 和勾股定理
及逆定理
线段的垂直 平分线及角
平分线
逆命题
反证法
2，16，17，22，24 1，4，10，14，20，21，23，24
北师大版八年级下册数学各章知识点总结
北师大版八年级下册数学各章知识点总结集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cb c a >.(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, c b c a <2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为ab x >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a b x <;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。
北师大版八年级下册知识框架
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.不等关系2.不等式的基本性质3.不等式的解集4.一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组第二章分解因式1.分解因式2.提公因式法3.运用公式法第三章分式1.分式2.分式的乘除法3.分式的加减法4.分式方程第四章相似图形1.线段的比2.黄金分割3.形状相同的图形4.相似多边形5.相似三角形6.探索三角形相似的条件7.测量旗杆的高度8.相似多边形的性质9.图形的放大与缩小第五章数据的收集与处理1.每周干家务活的时间2.数据的收集3.频数与频率4.数据的波动第六章证明（一）1.你能肯定吗2.定义与命题3.为什么它们平行4.如果两条直线平行5.三角形内角和定理的证明6.关注三角形的外角第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.不等关系了解不等式关系2.不等式的基本性质3.不等式的解集4.一元一次不等式什么是一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数列一次函数然后用一元一次不等式的关系求解6.一元一次不等式组什么是一元一次不等式组以及解集第二章分解因式1.分解因式把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
2.提公因式法3.运用公式法第三章分式1.分式2.分式的乘除法3.分式的加减法4.分式方程第四章相似三角形1.线段的比2.黄金分割3.形状相同的图形4.相似多边形5.相似三角形6.探索三角形相似的条件7.测量旗杆的高度相似三角形的现实应用8.相似多边形的性质9.图形的放大与缩小第五章数据的收集与处理1.每周干家务活的时间2.数据的收集3.频数与频率4.数据的波动。
新版北师大版八年级下册数学期末知识点复习
八年级下册数学考试知识点复习第一章证明（二）一、全等三角形的判定及性质※1性质：全等三角形对应相等、对应相等※2判定：①分别相等的两个三角形全等（SSS);②分别相等的两个三角形全等(SAS)③分别相等的两个三角形全等(ASA)④相等的两个三角形全等(AAS)⑤相等的两个直角三角形全等（HL）二. 等腰三角形※1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.※2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．※3. 推论：等腰三角形、、互相重合（即“”）．※4.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴.判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.三.直角三角形※1. 勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的等于的平方．逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是．※2.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么等于的一半.※3.直角三角形斜边上的中线等于的一半。
要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”．②直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法．四. 线段的垂直平分线※1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的 .※2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.五. 角平分线※1. 角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到 的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.※2. 三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是 的关系;不等式表示的是 的关系. ※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向 ,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向 ,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cb c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向 ,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, cb c a < ※2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式)一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即：a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 一元一次不等式组解集一元一次不等式组的解集的四种情况(a 、b 为实数,且a<b) 一元一次不等式 解集 图示 叙述语言表达⎩⎨⎧>>b x a x x>b b a 同大取大 ⎩⎨⎧<<bx a x x>a b a ⎩⎨⎧<>bx a x a<x<b b a ⎩⎨⎧><b x a x 无解 b a第三章 平移和旋转一.图形的平移※1. 概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
【精品】北师版初二下册数学知识点总结(精选)
※ 3. 解一元一次不等式的步骤 :①去分母 ; ②去括号 ; ③移项 ; ④合并同类项 ; ⑤系数 化为 1( 不等号的改变问题 )
※ 4. 不等式应用的探索 (利用不等式解决实际问题 ) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似 ,即:
最新北师大版《数学》 （八年级下册）知识点总结 第一章 三角形的证明
1、等腰三角形 （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定： SSS、SAS、ASA、 AAS。 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（ 等边对等角 ） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（ 等角对等边 ） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“ 三线合一 ”） （3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60 度；等边三角形的三条边都满 足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴。 判定定理： 有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。 或者三个角都相等的三角形是等边 三角形。 （4）含 30 度的直角三角形的边的性质 定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆 定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（ 斜边直角边，简称： HL ） 3、线段的垂直平分线（ 中垂线 ） （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点 A 、B 为圆心，以大于 AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点 M 、 N； 作直线 MN ，则直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线
北师大版八年级(下)册知识点复习
八年级（下）数学●北师大版知识点复习第一章：三角形的证明一，知识点一：等腰三角形○1，全等三角形的判定定理：定理1：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS定理）定理2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA定理）定理3：三边分别对应相等的两个三角形全等.（SSS定理）定理4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS定理）○2,全等三角形的性质之一：全等三角形的对应边，对应角相等.○3，等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形是轴对称图形.性质2：等腰三角形的两腰相等.性质3：等腰三角形的两底角相等（简述为：等边对等角）性质4：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一定理）性质5：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高线也相等.○4，定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.○5，定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简述为：等角对等边）○6，等边三角形的判定定理：定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.○7，定理：在直角三角形，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.逆定理:在直角三角形中，如果直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.二，知识点二：直角三角形○1，直角三角形的判定定理：定理1：有两个角互余的三角形是直角三角形.定理2：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.（勾股定理逆定理）○2，直角三角形的性质定理:性质1:直角三角形的两个锐角互余.性质2:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）○3，两个直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（HL定理或斜边，直角边定理）三，知识点三：线段的垂直平分线○1，性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.（这个距离指线段的长度）○2，判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这个距离指线段的长度）四，知识点四：角平分线○1，性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.○2，判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.第二章：一元一次不等式与一元一次不等式组一，知识点一：不等关系概念：一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.二，知识点二：不等式的基本性质不等式的基本性质：性质1:不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.三，知识点三：不等式的解集○1，概念：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.○2，概念：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.四，知识点四：一元一次不等式○1，概念：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.○2，解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.（注：第一种情况:当在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变；）五，一元一次不等式组○1，概念：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.○2，概念：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.○3，找一元一次不等式组解集的口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到.第三章:图形的平移与旋转一，知识点一：图形的平移○1，概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.○2，平移不改变图形的形状，大小，只改变图形的位置.○3，一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等.○4，确定一个图形平移后的位置需要:平移的方向，平移的距离两个条件.○5，在平面直角坐标系中，点（x,y）平移的关系：平移方向平移距离对应点坐标沿x轴方向a个单位长度(a＞0)（x+a，y）（x-a,y）沿y轴方向（x,y+a）（x,y-a）二，知识点二：图形的旋转○1，概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小.○2，性质:一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.三，知识点三：中心对称○1，概念:如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.（指两个图形）○2，把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.（指一个图形）○3，常见的中心对称图形有:线段，边数为偶数的正多边形，平行四边形，圆等等.第四章：因式分解一，知识点一：因式分解○1，概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.○2，因式分解必须分解到每个多项式不能分解为止.○3，因式分解是整式的恒等变形.二，知识点二：提公因式法○1，公因式:把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.○2，概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.○3，注：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.三，知识点三：公式法○1，平方差公式：()()b a b a b a -+=-22○2，完全平方公式：()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=++22222222b a b ab a b a b ab a ○3，注意：公式中的b a ,可以是单个的数和字母，也可以是单项式或多项式.四，因式分解的一般步骤○1，如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式；○2，如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解；○3，如果上述方法都不能因式分解，可以尝试先整理多项式，然后分解；○4，因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.○5，因式分解步骤简述如下：首项有“负”必先提，各项有“公”先提“公”，每项都提莫漏“1”，括号里面分到底.第五章：分式与分式方程一，知识点一：认识分式○1，概念：一般地，用A,B 表示两个整式，A÷B 可以表示成BA 的形式，如果B 中含有字母，，那么称BA为分式（B ≠0）.○2,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠===≠.000;0;0B A B A B B AB B A必须同时满足分式无意义的条件是：分式有意义的条件是：分式○3,分式基本性质文字叙述：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.数学符号：()0,≠÷÷=∙∙=m ma mb a b m a m b ab （当a,b,m 为多项式时，用括号括上）○4，约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.（关键：找出分子，分母的公因式，当分子，分母为多项式时，要先把分式的分子与分母因式分解，最后约去公因式，化成最简分式）○5，找公因式的方法：()()⎩⎨⎧.2,1低次幂，因式取相同因式的最系数取最大公约数；○6，最简分式：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式.（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式）二，知识点二：分式的乘除法○1，分式乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；数学语言：acbd cda b =∙分式除法法则：两个分式相除，把除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘.数学语言：adbc dc a b cd ab =∙=÷○2，nn na b a b =⎪⎭⎫⎝⎛○3，⎩⎨⎧.)2(),1(也可以是多项式既可以是乘积的形式，，最后结果中的分母，成最简分式或整式；分式运算结果通常要化三，知识点三：分式的加减法○1，同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.acb ac a b ±=±○2，异分母的分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.acad bc ac ad ac bc c d a b ±=±=±○3，四，知识点四：分式方程○1，概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.○2，增根：使原分式方程的分母为0的未知数的值叫做原方程的增根.()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.432,1确定最简公分母一般应先因式分解，再，如果分母是多项式，的一个因式；的指数作为最简公分母母中出现的字母连同它，把只在一个分式的分分母的一个因式；的最高次幂作为最简公同因式或因式分解后得到的相，把相同字母母的系数；小公倍数作为最简公分把各分式分母系数的最○3，因为解分式方程会产生增根，所以解分式方程必须验根.○4，解分式方程的一般步骤：第一步：去分母，把分式方程转化为整式方程（方法是：两边都乘最简公分母）；第二步：解这个整式方程；第三步：验根；第四步：写出分式方程的根.第六章：平行四边形一，知识点一：平行四边形的性质○1，定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.○2，性质1：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.性质2：平行四边形的对边相等.性质3：平行四边形的对角相等.性质4：平行四边形的对角线互相平分.二，知识点二：平行四边形的判定○1，定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.○2，定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.○3，定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.三，知识点三：三角形的中位线○1，概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.○2，三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.四，知识点四:多边形的内角和与外交角和○1，定理：n边形的内角和等于（n-2）●180°.○2，定理:多边形的外交和都等于360°.。
北师大版八年级数学下册知识点总结
八年级下册数学各章节知识点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数<> 大于等于0(≥0) <> 0和正数<> 不小于0非正数<> 小于等于0(≤0) <> 0和负数<> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么>, >.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么>, .(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么<,2. 比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么是正数;反过来,如果是正数,那么a>b;如果,那么等于0;反过来,如果等于0,那么;如果a<b,那么是负数;反过来,如果是正数,那么a<b;即>b <> >0<> 0a<b <> <0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为>b(或<b)①当a>0时,解为;②当0时,且b<0,则x取一切实数;当0时,且b≥0,则无解;③当a<0时, 解为;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。
新北师大版初二数学下册知识点总结
初二数学下册总结第一章三角形的证明一、全等三角形的判定定理：三边分别相等的两个三角形全等.（SSS）定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA）定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(HL)二、全等三角形的性质全等三角形对应边相等、对应角相等.、三、等腰（边）三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等.(等边对等角)推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.四、等腰（边）三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边）定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.五、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.六、<七、直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.七、直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.八、线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.·三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.九、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.三角形三内角的平分线性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.十、互逆命题和互逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.备注：一个命题一定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理.十一、尺规作图的应用`已知等腰三角形的底边及底边上的高作等腰三角形.第二章一元一次不等式与一元一次不等式组一、不等关系定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.与方程的区别：方程表示的是相等的关系；不等式表示的是不相等的关系.备注：准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”“不小于”“不大于”“至多”“至少”等数学术语.二、不等式的基本性质●不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变，即如果a ＞b ，那么c a ±＞c b ±；●不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc （或c a ＞c b ）；●不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc （或c a ＜c b ）.三、[四、不等式的解集1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.2、不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的实心圆点，无等号的空心圆圈；（2）方向：大于向右，小于向左.四、一元一次不等式定义：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式.解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.列不等式解应用题的基本步骤：①审，②设，③列，④解，⑤答.备注：解一元一次不等式特别要注意，当不等式两边都乘一个负数时，不等号要改变方向.五、】六、一元一次不等式与函数设一次函数b=，则有一次函数的图像在x轴的上方⇔by+kxkx+＞0；一次函数的图像在x轴的下方⇔bkx+＜0.六、一元一次不等式组解一元一次不等式组的方法：“分开解，集中判”备注：几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定.第三章图形的平移与旋转一、平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移的两个要素：平移方向、平移距离.二、`三、平移的性质1、平移不改变图形的形状和大小.2、一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等.3、一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.4、平移前后的图形全等.三、旋转定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.四、旋转的性质1、旋转不改变图形的大小和形状.2、.3、一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.4、旋转前后的图形全等.五、两图成中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.备注：成中心对称的图形是两个图形.六、两个图形成中心对称的性质1、成中心对称的两个图形是全等图形；2、成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分；3、成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等.七、中心对称图形】定义：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.例如：圆，平行四边形，长方形，正方形及边数是偶数的正多边形都是中心对称图形.八、中心对称图形的性质中心对称图形上的每一对对应点连成的线段都被对称中心平分.九、图案设计步骤1、确定设计图案的表达意图；2、分析设计图案所给定的基本图形；3、对基本图形综合运用平移、旋转、轴对称设计图案第四章因式分解一、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.*因式分解与整式乘法的区别与联系：（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式.备注：因式分解与整式乘法是互逆关系二、提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.如：)(c b a ac ab +=+.依据：)(c b a m cm bm am ++=++步骤：①找公因式：系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积； ②提公因式：提取公因式后的多项式，合并同类项前与原多项式的项数相同.（多项式中的某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为1，而不是0）三、公式法1、【2、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；3、完全平方公式：222)(2b a b ab a -=+-,222)(2b a b ab a +=++.●因式分解的一般步骤：首项有“负”必先提，各项有“公”先提“公”，每项都提莫漏“1”，括号里面分到底.第五章 分式与分式方程一、分式1、定义：一般地，用A ，B 表示两个整式，A÷B 可以表示成BA 的形式，A为分式.对于任意一个分式，分母都不如果B中含有字母，那么称B能为零.2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.3、公因式：一个分式的分子与分母都含有的因式，叫这个分式的公因式.4、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.约分的方法：可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子、分母同除以它们的公因式，也就是把分子、分母的公因式约去.-5、最简公分母：（1）把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（2）把相同字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次幂作为最简公分母的一个因式；（3）把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式.6、通分：把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.7、最简分式：一个分式的分子与分母除了1以外没有其他的公因式时，叫做最简分式.二、分式的乘除法1、两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；2、两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.三、分式的加减法#1、同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.式子表示是：C B A C B C A ±=± 2、异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.式子表示是：BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 备注：先对多项式进行因式分解，再确定最简公分母.四、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2、解分式方程的一般步骤：①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入原方程进行检验，也可以代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3、分式方程的增根：解分式方程的过程中所求出的使原分式方程的分母等于零的根，是原方程的增根.4、列分式方程解应用题的一般步骤：①审清题意；②设未知数；③根据题意找相等关系，列出（分式）方程；④解方程，并验根；⑤写出答案.—备注：解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验！第六章平行四边形一、平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等.定理：平行四边形的对角相等.定理：平行四边形的对角线互相平分.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.二、平行四边形的判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.$定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形.三、三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.●由三角形的三条中位线，可以得出以下结论：（1)三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半；（2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；（3)三条中位线将三角形划分出三个面积相等的平行四边形.四、多边形的内角和与外角和定理：n边形的内角和等于)2（·180°.n定理：多边形的外角和都等于360°.备注：n 边形共有)3(21 n n 条对角线.。
北师大版八年级数学下知识点汇总
全册知识点总结第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质：定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法四、直角三角形1 、直角三角形的性质直角三角形的两锐角互余直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2 、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3 、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线、角平分线1 、线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2 、角平分线。
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组1..定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
2.. 基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.（注：移项要变号，但不等号不变）性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,< span="">说明：比较大小: 作差法a>b <===> a- b> 0a=b <===> a- b= 0 a<b <===> a- b< 03.. 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解4.. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
数学八年级下知识点总结(北师大版)
数学八年级下册目录：第一章三角形的证明1等腰三角形2直角三角形3线段的垂直平分线4角平分线第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1不等关系2不等式的基本性质3不等式的解集4一元一次不等式5一元一次不等式与一次函数6一元一次不等式组第三章图形的平移与旋转1图形的平移2图形的旋转3中心对称4简单的图案设计第四章因式分解1因式分解2提公因式法3公式法第五章分式与分式方程1认识分式2分式的乘除法3分式的加减法4分式方程第六章平行四边形1平行四边形的性质2平行四边形的判定3三角形的中位线4多边形的内角和与外角和第一章三角形的证明1等腰三角形2直角三角形3线段的垂直平分线4角平分线第一章第一节等腰三角形一、知识点定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）。
推论：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
定理：等腰三角形的两底角相等，这一定理可以简述为：等边对等角。
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度。
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，这一定理可以简述为：等角对等边。
定理：三个角都相等的三角形，是等边三角形。
定理：有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。
定理：在直角三角形中如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质（等边三角形是特殊的等腰三角形）：1.从边看：等腰三角形的两腰相等。
2.从角看：等腰三角形的两底角相等3.从重要线段看：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合，简述为三线合一。
等腰三角形的判定：1.用边判定：两腰相等的三角形是等腰三角形。
2.用较判定：两底角相等的三角形是等腰三角形。
二、例题讲解例4求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的半。
已知：如图1-11，在△ABC中，AB=AC,角B=15°，CD是腰AB上的高。