二次函数面积最值问题

1
2
x
CQ•PB
2 x
=
1
AP•PB
2
(0<x<2）
2
当P在线段AB的延长线上时
S△PCQ＝
1 2
CQ • PB
1 x(x 2) 2
即S＝ 1 x2 x 2
(x>2）
A
Q
D C
P BLeabharlann Baidu
(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有
① 1 x 2 x＝２ 2
此方程无解
② 1 x2 x ＝２ 2
x2 2x 4 0
二次函数的应用（最值问题）
（一）复习引入
1.二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的顶点坐标、 对称轴和最值
2.（1）求函数y＝x2+2x－3的最值。 （2）求函数y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）
3、抛物线在什么位置取最值？
1。自变量X的取值范围为一切实数，顶点处取最值。 2。有取值范围的在端点和顶点处取最值。
(2)当x＝
b 2a
3 时，S最大值＝
4ac b2 4a
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
2：在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四
边上分别选取E、F、G、H四点，且
AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，
已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与
直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等
∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时
1
S△PCQ＝
即S＝
问题：
用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面 积s随矩形一边长L的变化而变化。当L是多少 时，场地的面积S最大？
例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的 围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一 个矩形花圃 ，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃 的围栏（如图所示），花圃的宽AD究竟应为多少米才能 使花圃的面积最大？ (各边取整数）
可使花园面积最大？
D
GC 解：设花园的面积为y
H
F
则
6
y=60-x2
-（10-x）（6-x）
AE
=-2x2 + 16x （0<x<6）
B
=-2（x-4）2 + 32
10
所以当x=4时 花园的最大面积为32
练习3：
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm， 点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的 速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向 点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点 在分别到达B、C两点后就停止移动，回答 下列问题：
D
C
A
B
D
10米
A
B
解：设AD=x米，则AB=（32-2x） 米，设矩形面积为y米2， 得到：
Y=x（32-2x）=-2x2+32x
［错解］由顶点公式得：
x=8米时，y最大=128米2
而实际上定义域为10<x ﹤16，由图象或增减性可知x=11米时， y最大=110米2
例2：如图在ΔABC中，AB=8cmBC=6cm，∠B＝90°
作一个上部是半圆、下部是矩形的窗框,那么当
矩形的长、宽分别为多少时,才能使该窗户的透
光面积最大(精确到0.1m)?
窗户的透光面积= 半圆的面积+ 矩形的面积 解: 设矩形窗框的宽为__x_m,
则半圆形窗框的半径为__2_x__m,
2x
矩形窗框的高为_(_6_-_2_x_-_0_.5__π_x_)m.
米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
A
D
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0<x<6）
B
C
设窗户的透光面积为Sm2,则
S= 1πx2+2x(6-2x-0.5πx)
2
1
=-(
2
π+4)x2+12x
12
12
当 x 2(1 π 4)
≈1.1时,s的值最大.
π 8
即当矩形窗框2 宽约2.2m,高约2.1m时,……
拓展：
如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、
Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积 等于8cm2？
(2）设运动开始后第t秒时，五边形 APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关 系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）t为何值时S最小？求出S的最小值。
D
C
Q
A
B
P
练习 4：
室内通风和
采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光
面积.如果计划用一段长12m的铝合金材料,制
点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，
点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
A
几秒后ΔPBQ的面积最大？
最大面积是多少？
P
C
Q
B
解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大 A AP=2x cm PB=（8-2x ） cm
QB=x cm
要注意数与形结合。
作业
教材68、69页4、6、7、8题。
作业1：如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔
有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用 一段墙体(墙体的最大可使用长度a＝10米)。
(1)如果所围成的花圃的面积为45平方米，试求宽 AB的长； (2)按题目的设计要求，能围成面积比45平方米更大 的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法， 如果不能请说明理由．
∴ x1=1+ 5 , x2=1－ 5 (舍去)
∴当AP长为1+ 5 时，S△PCQ＝S△ABC A
Q
D C
P B
（四）师生小结
1. 对于面积最值问题应该设图形一 边长为自变量，所求面积为应变 量建立二次函数的模型，利用二
次函数有关知识求得最值，要注意函 数的定义域。
2. 用函数知识求解实际问题，需要 把实际问题转化为数学问题再建 立函数模型求解，解要符合实际题意，
P
则 y=1/2 x（8-2x）（0<x<4） =-x2 +4x =-（x2 -4x +4 -4）
= -（x - 2）2 + 4 C
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大
最大面积是 4 cm2
练习1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔
有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方