自动控制原理(上)第4章控制系统的根轨迹分析法

i 1 j 1
10
二.系统闭环零点、极点和开环零点、极点的关系
在利用根轨迹方程进行根轨迹绘制之前，首先要了解系统闭环 零点、极点和开环零点、极点之间的关系。 1）系统的闭环零点由系统前向通道的零点和反馈通道的极 点组成，当系统是单位反馈系统时，即时，系统的闭环零点 等于系统的开环零点。 2）系统的闭环极点与系统的开环零点、开环极点和开环根 轨迹增益有关。 3）系统的闭环根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益 ，当系统是单位反馈系统时，即时，系统的闭环根轨迹增益 等于系统的开环根轨迹增益。
7. 根轨迹的分离点 求根轨迹的分离点，就是求取闭环特征方程的重根，设系统的 m 闭环特征方程为 K (sz )
Ds ( ) 1Gs ( )Hs ( ) 1

j 1
j
(sp)
i 1 i
n
0
则根轨迹的分离点就是上述方程的解
dK 0 ds
工程上可以通过以下等式，使用试探法，找到使等式近似成立的 点，这个点就是系统的分离点。 m n 1 1 j 1 d zj i 1 dp i
G (s) s

(T s 1 )
k 1 k
k 1 b

k 1
(s p )
k 1 k
b
H(s)
K ( l s1 ) H
l 1
c
K
H
(s z )
l 1 l l
c
(Ts 1 )
l 1 l
d
(s p )
l 1
d
8
一.根轨迹方程
则系统开环传递函数为
求解 得到根
d K 2 ( 3 s 6 s 2 )0 d s
s 0 . 4 2 3 , s 1 . 5 7 7 ( 舍 去 ) 1 2
24
一.绘制根轨迹图的基本法则
【例4-3】 设反馈系统的开环传递函数为
K (s 1 ) Gs ( )H (s) s(s2 )(s3 ) 试绘制系统的根轨迹。
26
一.绘制根轨迹图的基本法则
5）根轨迹的分离点： 1 1 1 1 d 1 d 0 d 2 d 3 在[-3,-2]上取一试探点d=－2.5，带入上式，有
i 1 n
从图4-4可得
Ks |1 p | | s p | 2 2 2 1 1 2
K K 1 2
16
4.3 根轨迹的绘制
一.绘制根轨迹图的基本法则
二. 绘制根轨迹图举例
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一.绘制根轨迹图的基本法则
1. 根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续的，并且对称于实轴。又因为系统特征方程的根 或是实数，或是共轭复数，所以根轨迹一定是对称于实轴的。 2. 根轨迹的分支数 根轨迹在s平面上的分支数等于闭环传递函数的阶数n，也即是 开环传递函数的阶数。
从根轨迹中可以直观的看出当开环增益 K变化时，系统的闭环极 点变化的情况和分布规律 。 （1） 稳定性 从图4-2可以看到，系统对于任意的K >0 ，系统始终是稳定的。 （2）稳态性能 从图4-2可以看到，系统有一个开环极点位 于坐标原点，所以该系统是I型系统，系统在 给定输入信号下的稳态误差由静态速度误差 系数决定。 （3）动态性能 图4-1所示系统是一个典型的二阶系统，系 统的性能由系统闭环极点的性质决定。
3
一. 根轨迹
根轨迹就是指当系统的开环传递函数的某个参数（如开环增益K ）从零变到无穷时，闭环极点，即特征方程的根在复平面上变化 的轨迹。 设控制系统如图4-1所示，其开环和闭环传递函数为
K G( s) s(0.5s 1)
Y () s 2 K K () s 2 2 R () s s 2 s 2 K s 2 s 2 K
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二.系统闭环零点、极点和开环零点、极点的关系
4）系统的开环根轨迹增益与系统的开环增益之间只相差一个 系数，如下式所示
K GK H k l k l k 1 l 1 k 1 l 1 K K K K H b d b d G T T T T k l k l
* G
K ( s z K K ( s z ( s z j) k) l) j 1 l 1 G ( sH ) ( s ) b d n ( s p ( s p ( s p k) l) i)
k 1 l 1 i 1
a H k 1
c
m
闭环传递函数为
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一.绘制根轨迹图的基本法则
【例4-2】 设反馈系统的开环传递函数为
K Gs ( )H (s) s(s 1 )(s2 ) 试求系统根轨迹的分离点坐标。 解 由系统的开环传递函数可以得系统的特征方程为 K 1 G () sH () s 1 0 ss ( 1 ) ( s 2 ) K ss ( 1 ) ( s 2 ) 0 则有
) 当K*=∞时，由 lim 1 j 1 得s=z 。 0 i 或s=∞ n K K ( s pi )
j i 1
(s z
19
一.绘制根轨迹图的基本法则
4. 实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域，如果其右边开环实数零点、极点的个数之 和为奇数，则该区域必是根轨迹。 设系统的开环零点、极点分布如 图4-5所示，对于闭环极点s1，由相 角条件有
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三.相角条件和幅值条件
可以得到绘制根轨迹的相角条件和幅值条件。 相角条件
( sz ) ( sp )( 21 k )
m n j 1 j i 1 i
k 0 ,1 ,2 , . . .
幅值条件
K



n

i1 m j1
| s pi | |s zj |
( s
j 1
m
1
z j ) ( s1 pi )
i 1
n
(1 2 ) (1 2 3 4 5 ) 1 ( 3 4 ) 所以闭环极点s1是根轨迹上的点。
20
一.绘制根轨迹图的基本法则
5. 根轨迹的渐近线 如果系统的开环极点数n大于开环零点数m，当根轨迹增益K* 由0∞时，必有n-m条根轨迹沿着与实轴交角为a、交点为的 一组渐近线趋向无穷远处。其中
渐进线与实轴的交点 a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
渐进线与实轴交角
( 2 k 1 ) a nm
( k 0 ,1 , 2 , . . . . . . . )
21
一.绘制根轨迹图的基本法则
6. 根轨迹的起始角和终止角 根轨迹起始于开环复极点处的切线与正实轴的夹角称为根轨迹 的起始角pi；根轨迹终止于开环复零点处的切线与正实轴的夹 角称为根轨迹的终止角zj，这些角度可由以下公式求出
系统的闭环特征方程为
2 2 D ( s ) s 22 s K s 2 sK 0
系统闭环特征方程式的根为
s 1 12 K 1 1 K 1
s 1 12 K 1 1 K 2
4
一. 根轨迹
5
二.根轨迹与系统性能
机械工业出版社
第4章 控制系统的根轨迹分析法
第4章 控制系统的根轨迹分析法
1 2 3
4.1 引言 4.2 根轨迹法的基本概念 4.3 根轨迹的绘制 4.4 广义根轨迹的绘制 4.5 利用根轨迹图分析控制系统性能 4.6 用MATLAB进行控制系统的根轨迹分析
2
4 5
6
4.1 引言
一.根轨迹 二.根轨迹与系统性能
解 1）根轨迹的分支数： 3条 2）根轨迹的起始点：0，－2，－3 终止点： －1，∞， ∞ 3）实轴上的根轨迹： [－1,0]，[－3,－2]
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一.绘制根轨迹图的基本法则
4）根轨迹的渐进线：
i 1 a n m
p z
i j 1 j
n m
( 0 2 3 ) (1 ) 2 3 1
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一.绘制根轨迹图的基本法则
3. 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于系统的开环极点，终止于系统的开环零点（ m条根轨迹终止于m个开环零点，有n-m条根轨迹终止于无 穷远处 ）。 当K*=0时，由

n
m
j 1
(s z j ) (s pi )
1 。 得 s=p i K
m
i 1
从图4-4可得
o o o 0 1 3 5 4 5 1 8 0 o o o 0 2 2 5 3 1 5 5 4 0 3 满足相角条件，所以s1，s2是系统的闭环极点。
由幅值条件，有
K |s p |s p | |s p i | 1 1 1 2|
( 2 k 1 ) ( p z ( p p p i j) i j)
i
m
n
j 1
j 1 j i
( 2 k 1 ) ( z z ( z p z i j) i j)
i
m
n
j 1 j i
j 1
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一.绘制根轨迹图的基本法则

KG (s zk ) (s pl ) k 1
a
c
(s p ) K (s z )
i 1源自文库i j 1 j
n
l 1 m
9
一.根轨迹方程
根轨迹的绘制的实质就是在s平面标注系统闭环极点的过程，而 系统的闭环极点由下式所得 ，称为根轨迹方程。
n m
1 G () s H () s ( s p ) K ( s z ) 0 i j
6
4.2 根轨迹法的基本概念
一.根轨迹方程 二.系统闭环零点、极点和开环零点、极点的关系
三.相角条件和幅值条件
7
一.根轨迹方程
设控制系统如图4-3所示，其闭环传递函数为
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
式中前向通道传递函数G(s)和反馈通道传递函数H(s)分别可以表 a a 示为 * K ( k s 1 ) K (s zk ) G G
当系统无开环零点时，幅值条件可表示为
K | s pi |
i 1
n
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三.相角条件和幅值条件
【例4-1】 已知反馈系统的开环传递函数为 K G (s)H(s) s(0.5s 1 ) 试用相角条件和幅值条件确定s1=-1+j, s2=-1-j 是系统的共轭 闭环极点，并计算此时系统开环增益K的值。 K 2 K 解 因为 G ( sH ) ( s ) s ( 0 . 5 s 1 ) ss ( 2 ) 如果s1，s2是系统的闭环极点，就要满足相角条件，即
Ys () Gs () Rs () 1 Gs ( )Hs ()
K ( s z ( sp k) l)
b d l 1 a c k l k l
a G k 1
c
( sp ) ( sp) K ( s z) ( s z)
k 1 l 1 k 1 l 1
( 2 k 1 ) ( 2 k 1 ) 9 0 , 2 7 0 a nm 31 5）根轨迹的分离点： 1 1 1 1 d 1 d 0 d 2 d 3 在[-3,-2]上取一试探点d=－2.5，带入上式，有 1 1 1 1 d 1 d 0 d 2 d 3
k 1 l 1 k 1 l 1 a c a c
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三.相角条件和幅值条件
由的根轨迹方程可得
Gs ( )Hs ( ) 1
即
K ( s zj) m
( sp)
i 1 i
j 1 n
j (2 k 1 ) 1 1 e
k 0 , 1 , 2 ,. . .
0 ( s p ) ( s p )( 21 k )
0 ( s p ) ( s p )( 21 k ) 1 1 1 2
2 1 2 2
k 0 ,1 ,2 , . . . k 0 ,1 ,2 , . . .
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三.相角条件和幅值条件