2019年江苏省专转本高等数学真题
江苏省专转本高数真题及答案
江苏省专转本⾼数真题及答案⾼等数学试题卷(⼆年级)注意事项：出卷⼈：江苏建筑⼤学-张源教授1、考⽣务必将密封线内的各项⽬及第 2页右下⾓的座位号填写清楚. 3、本试卷共8页，五⼤题24⼩题，满分150分，考试时间120分钟. ⼀、选择题(本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分) 1、极限 lim(2xsin 1 Sin 3x )=()x xA. 0B.2C.3D.52、设f (x)⼆2)sinx ,则函数f (x )的第⼀类间断点的个数为()|x|(x -4)'A. 0B.1C.2D.3133、设 f(x) =2x 2 -5x 2，则函数 f(x)()A.只有⼀个最⼤值B.只有⼀个极⼩值C.既有极⼤值⼜有极⼩值D.没有极值34、设z =ln(2x)-在点(1,1)处的全微分为()y1 1A. dx - 3dyB. dx 3dyC. ⼀ dx 3dyD. - dx - 3dy2 21 15、⼆次积分pdy.y f （x, y ）dx 在极坐标系下可化为（）sec'— 'sec jA. —4d ⼨ o f （「cos 〒，「sin ⼨）d 「B. —4d 丁 ? f （「cos 〒，「sin ⼨）「d 「&下列级数中条件收敛的是()⼆、填空题(本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，共24分)7要使函数f(x)=(1-2x )x 在点x=0处连续，则需补充定义f(0)= _________________ . 8、设函数 y = x （x 2 +2x +1）2 +e 2x ，贝⼙ y ⑺（0） = _______ .江苏省 2 0 12 年普通⾼校专转本选拔考试2、考⽣须⽤钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上, 答在草稿纸上⽆效. sec ? iC. o f （「cosd 「sin Jd 「D.4sec ?2d 丁 ? f （「cos ⼨,「sin ⼨）:?d "「TVXTnW ?、n9、设y =x x (x >0)，则函数y 的微分dy =.(1)函数f (x)的表达式;11、设反常积分［_e 」dx=q ，则常数a= ______________ . 12、幕级数￡上律(x -3)n 的收敛域为 __________________ :“⼆ n3 三、计算题(本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64 分)2x +2cosx —2 lim ⼚x 0x ln(1 x)2116、计算定积分"，-严.17、已知平⾯⼆通过M (1,2,3)与x 轴，求通过N(1,1,1)且与平⾯⼆平⾏，⼜与x 轴垂直的直线⽅程.18、设函数 “ f(x,xyr (x 2 y 2)，其中函数f 具有⼆阶连续偏导数，函数具有⼆阶连-2续导数，求⼀Zc^cy19、已知函数f(x)的⼀个原函数为xe x ，求微分⽅程丫 4/ 4^ f (x)的通解. 20、计算⼆重积分..ydxdy ，其中D 是由曲线y 「x-1，D四、综合题(本⼤题共2⼩题，每⼩题10分，共20分)21、在抛物线y =x 2(x 0)上求⼀点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平⾯图形的⾯积为2，并求该平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所形成的旋转体的体积.3x322、已知定义在(⽫，畑)上的可导函数f(x)满⾜⽅程xf(x)-4( f(t)dt=x 3-3，试求：10、设向量a,b 互相垂直，且= 3,^=2,,贝 U ^+2b13、求极限 14、设函数 y = y(x)由参数⽅程 xdty = t 2 2lnt所确定, 求鱼dx dx 2 °15、求不定积分 2x 1 J 2~cos x1直线T 及x 轴所围成的平⾯(2)函数f(x)的单调区间与极值;(3)曲线y= f(x)的凹凸区间与拐点.五、证明题(本⼤题共2⼩题，每⼩题9分，共18分)123、证明：当0 ： x ：： 1 时，arcsinx x x3.6⼗x0 g(t)dt g(x)24、设f(x)⼀2—XHO，其中函数g(x)在(⽫,母)上连续，且lim g(x⼃=3证x T1—COSX卫(0) x = 01明：函数f (x)在X = 0处可导，且f (0)⼔.⼀. 选择题1-5BCCABD⼆. 填空题7-12e°128x n(1 ln x)dx5ln 2 (0,6]13求极限x m0 2x 2 cos x - 216、计算定积分 ----------- dx .1x ? 2x T13 t -^dt ⼆21 1 ：; t2 1 t2dt =2arctant 1 t2原式=x叫x2 2 cos x -2 2x—2si nx=limx_0x—sin x3= lim4x3 x刃2x314、设函数y = y(x)由参数⽅程所确定，求2』=t +21 nt dydxd2ydx2原式号dx dydtdx2t -t12td2y_d燈)dtdx2t2 dt t2dx2dxdtt2115、求不定积分2x 12dx. cos x2x 1原式=i'2■ dx ' cosx ⼆(2x 1)d tanx ⼆(2x 1) tanx - tanxd(2x 1) 原式=令.2x -1 “，则原式=.?? 32(1)函数f (x)的表达式;17、已知平⾯⼆通过M (1,2,3)与x 轴，求通过N(1,1,1)且与平⾯⼆平⾏，⼜与x 轴垂直的直线⽅程.解：平⾯⼆的法向量n -OM 「=(0,3,⼀2)，直线⽅向向量为S = n "「= (0,-2,-3),直线⽅程：x -1 y -1 z -10 ⼀ -2 ⼀ -3 18、设函数z ⼆f(x,xy^ (x 2 y 2)，其中函数f 具有⼆阶连续偏导数，函数具有⼆阶连Z =f i f 2 y 2x ' zf i2 x f 2 xyf 22 2x 2y : .x :x.y19、已知函数f (x)的⼀个原函数为xe x ，求微分⽅程y” ? 4y ' 4y = f (x)的通解. 解：f (x) = (xe x ^ = (x 1)e x ，先求 y ” ? 4y ' 4y =0 的通解，特征⽅程：r 2 ? 4r *4 = 0,h 、2 = -2，齐次⽅程的通解为Y =(G C 2X )e'x .令特解为y =(Ax B)e x ，代⼊原⽅程9Ax 6A 9^x 1，有待定系数法得:__ 120、计算⼆重积分i iydxdy ，其中D 是由曲线y = ：x-1，直线y= —x 及x 轴所围成的平⾯D 2闭区域.原式=ydy 丫 dx 1.j 0'2y12四. 综合题21、在抛物线y =x 2(x 0)上求⼀点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平⾯图形的⾯积为2，并求该平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所形成的旋转体的体积. 3 解：设 P 点(x 0，x ° )(x 0 0)，则 k 切=2x °，切线：，y - x ° = 2x 0(x- x °)续导数，求；2z解:9A=1QA+9B =1解得* A 」9 -1，所以通解为丫"6)⼧(討?2x/即，y +x ° =2x °x ，由题意((y x^ 2x 0s y)dy =⼻，得 X0 = 2，P(2,4)(2)函数f(x)的单调区间与极值;(3)曲线—f(x)的凹凸区间与拐点.x解：(1)已知 xf(x)-4 4 f (t)dt =X 3 -3两边同时对 x 求导得：f (X )? x 「(x)-4f(x) =3x 2 3即.y" — -y=3x 则 y = —3x 2+cx 3 由题意得：f(1)=—2， c=1，贝U f(x)=—3x 2 + x 3 ■ x ' (2) f (x) =3x 2 -6x = 0,论=0,x 2 = 2 列表讨论得在(-⼆,0) (2,：：)单调递增，在(0,2)单调递减。
2019江苏专转本高数答案
江苏省 普通高校专转本选拔考试高等数学 试题卷答案一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1、C2、B3、B4、A5、D6、D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、2y e -= 8、5 9、2π10、2222y x dz dx dy x y x y =-+++ 11、3π 12、[0,2) 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、原式=23000arcsin arcsin lim lim arcsin x x x x x x x x x x x→→→→--===20116x x →-==- 14、2(32)y t dy y dy dt e t dx dx e t dt-+==+,0t dy dx ==15、2222222221111ln ln ln ln ln ln 2222x xdx xdx x x x d x x x x xdx ==-=-⎰⎰⎰⎰222222222211111111ln ln ln ln ln ln ln 22222222x x xdx x x x x x d x x x x x xdx =-=-+=-+⎰⎰⎰2222111ln ln 224x x x x x C =-++ 16、令t x =-12，则原式=222222220002444(1)22arctan 2044422t t t dt dt dt t t t π+-==-=-=-+++⎰⎰⎰ 17、平面∏的法向量(1,2,3)(1,0,0)(0,3,2)n MN i →→=⨯=⨯=-u u u u r ，直线方程：0(1)3(1)2(1)0x y z -+---=.即3210y z --=.18、12cos 2z xf xf x∂''=+∂212221222cos (2)2(2)2cos 4z xf y xf y y xf xyf x y∂''''''''=⋅-+⋅-=--∂∂ 19、2101001()()26y D y x y dxdy dy x y dx dy -+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ 20、特征方程：220r r -=，120,2r r ==，齐次方程的通解为212x Y C C e =+.令特解为2()x y x Ax B e *=+，则22(222)x y Ax Bx Ax B e *'=+++，22(44824)x y Ax Bx Ax A B e *''=++++代入原方程得：22(422)x x Ax A B e xe ++=， 有待定系数法得：41220A A B =⎧⎨+=⎩，解得1414A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以通解为221211()44x x y C C e x x e =++-. 四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21、令()ln 3f x x x =-,显然在区间(2,3)上连续，且38(2)2ln 23ln ln10,f e =-=<< (3)3ln 333(ln 31)0,f =-=->根据零点定理，(2,3),()0f ξξ∃∈=成立.又()ln 10f x x '=->Q ，(2,3)x ∈，)(x f '单调递增，唯一性得证.22、令21()1ln(1)2x f x e x x =---+，则1()1x f x e x x '=--+，21()1(1)x f x e x ''=-++， 在0x >时，()f x ''单调递增，()(0)10f x f ''''>=>，所以()f x '单调递增，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 单调递增，()(0)0f x f >=，得证.五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23、（1）2k y x '==-切，切线：,02(1)y x -=--，即2(1)y x =--，D 面积1201[2(1)(1)]3x x dx ----=⎰. (2) 21200211(1)(1)2326y y V d y y d y πππππ=---=-=⎰⎰ 24、已知0()1()xt t dt x ϕϕ=-⎰两边同时对x 求导得：()()x x x ϕϕ'=-，22()x x Ce ϕ-=，令0x =代入0()1()xt t dt x ϕϕ=-⎰得(0)1ϕ=，所以求得221,()x C x e ϕ-==.（2）因为2222232222(),(),()(1),()(3)x x x x x e x xe x x e x x x e ϕϕϕϕ----''''''==-=-=-(0)1ϕ=，(0)0ϕ'=，(0)1,(0)0ϕϕ'''''=-=. 20000()1()()(0)1lim ()lim lim lim (0)2222x x x x x x x f x f x x ϕϕϕϕ→→→→'''''-=====-=. 所以()f x 在0=x 处的连续.223000()11()(0)2()22lim lim lim 2x x x x f x f x x x x x x ϕϕ→→→-+--+==Q 20002()2()()11lim lim lim 6666x x x x x x x x x x ϕϕϕ→→→''''''+++====. 所以()f x 在0=x 处可导，1(0)6f '=.。
江苏省专转本高数真题及答案
江苏省专转本高数真题及答案高等数学试题卷(二年级)注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授1、考生务必将密封线内的各项目及第 2页右下角的座位号填写清楚. 3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分) 1、极限 lim(2xsin 1 Sin 3x )=()x xA. 0B.2C.3D.52、设f (x)二2)sinx ,则函数f (x )的第一类间断点的个数为()|x|(x -4)'A. 0B.1C.2D.3133、设 f(x) =2x 2 -5x 2，则函数 f(x)()A.只有一个最大值B.只有一个极小值C.既有极大值又有极小值D.没有极值34、设z =ln(2x)-在点(1,1)处的全微分为()y1 1A. dx - 3dyB. dx 3dyC. 一 dx 3dyD. - dx - 3dy2 21 15、二次积分pdy.y f （x, y ）dx 在极坐标系下可化为（）sec'— 'sec jA. —4d 寸 o f （「cos 〒，「sin 寸）d 「B. —4d 丁 ? f （「cos 〒，「sin 寸）「d 「&下列级数中条件收敛的是()二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)7要使函数f(x)=(1-2x )x 在点x=0处连续，则需补充定义f(0)= _________________ . 8、设函数 y = x （x 2 +2x +1）2 +e 2x ，贝卩 y ⑺（0） = _______ .江苏省 2 0 12 年普通高校专转本选拔考试2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上, 答在草稿纸上无效. sec ? iC. o f （「cosd 「sin Jd 「D.4sec ?2d 丁 ? f （「cos 寸,「sin 寸）:?d "「TVXTnW ?、n9、设y =x x (x >0)，则函数y 的微分dy =.(1)函数f (x)的表达式;11、设反常积分［_e 」dx=q ，则常数a= ______________ . 12、幕级数￡上律(x -3)n 的收敛域为 __________________ :“二 n3 三、计算题(本大题共8小题，每小题8分，共64 分)2x +2cosx —2 lim 厂x 0x ln(1 x)2116、计算定积分"，-严.17、已知平面二通过M (1,2,3)与x 轴，求通过N(1,1,1)且与平面二平行，又与x 轴垂直的直线方程.18、设函数“ f(x,xyr (x 2 y 2)，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连-2续导数，求一Zc^cy19、已知函数f(x)的一个原函数为xe x ，求微分方程丫4/ 4^ f (x)的通解. 20、计算二重积分..ydxdy ，其中D 是由曲线y 「x-1，D闭区域.四、综合题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)21、在抛物线y =x 2(x 0)上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为2，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.3x322、已知定义在(皿，畑)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)-4( f(t)dt=x 3-3，试求：10、设向量a,b 互相垂直，且= 3,^=2,,贝 U ^+2b13、求极限 14、设函数 y = y(x)由参数方程 xdty = t 2 2lnt所确定, 求鱼dx dx 2 °15、求不定积分 2x 1 J 2~cos x1直线T 及x 轴所围成的平面(2)函数f(x)的单调区间与极值;(3)曲线y= f(x)的凹凸区间与拐点.五、证明题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)123、证明：当0 ： x ：： 1 时，arcsinx x x3.6十x0 g(t)dt g(x)24、设f(x)一2—XHO，其中函数g(x)在(皿,母)上连续，且lim g(x丿=3证x T1—COSX卫(0) x = 01明：函数f (x)在X = 0处可导，且f (0)匕.一. 选择题1-5BCCABD二. 填空题7-12e°128x n(1 ln x)dx5ln 2 (0,6]三. 计算题13求极限x m0 2x 2 cos x - 216、计算定积分 ----------- dx .1x ? 2x T13 t -^dt 二21 1 ：; t2 1 t2dt =2arctant 1 t2原式=x叫x2 2 cos x -2 2x—2si nx=limx_0x—sin x3= lim4x3 x刃2x314、设函数y = y(x)由参数方程所确定，求2』=t +21 nt dydxd2ydx2原式号dx dydtdx2t -t12td2y_d燈)dtdx2t2 dt t2dx2dxdtt2115、求不定积分2x 12dx. cos x2x 1原式=i'2■ dx ' cosx 二(2x 1)d tanx 二(2x 1) tanx - tanxd(2x 1) 原式=令.2x -1 “，则原式=.?? 32(1)函数f (x)的表达式;17、已知平面二通过M (1,2,3)与x 轴，求通过N(1,1,1)且与平面二平行，又与x 轴垂直的直线方程.解：平面二的法向量n -OM 「=(0,3,一2)，直线方向向量为S = n "「= (0,-2,-3),直线方程：x -1 y -1 z -10 一 -2 一 -3 18、设函数z 二f(x,xy^ (x 2 y 2)，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连Z =f i f 2 y 2x ' zf i2 x f 2 xyf 22 2x 2y : .x :x.y19、已知函数f (x)的一个原函数为xe x ，求微分方程y” ? 4y ' 4y = f (x)的通解. 解：f (x) = (xe x ^ = (x 1)e x ，先求y ” ? 4y ' 4y = 0 的通解，特征方程：r 2 ? 4r *4 = 0,h 、2 = -2，齐次方程的通解为Y =(G C 2X )e'x .令特解为y =(Ax B)e x ，代入原方程9Ax 6A 9^x 1，有待定系数法得:__ 120、计算二重积分i iydxdy ，其中D 是由曲线y = ：x-1，直线y= —x 及x 轴所围成的平面D 2闭区域.原式=ydy 丫 dx 1.j 0'2y12四. 综合题21、在抛物线y =x 2(x 0)上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为2，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 3 解：设 P 点(x 0，x ° )(x 0 0)，则 k 切=2x °，切线：，y - x ° = 2x 0(x- x °)续导数，求；2z解:9A=1QA+9B =1解得* A 」9 -1，所以通解为丫"6)宀(討?2x/即，y +x ° =2x °x ，由题意((y x^ 2x 0s y)dy =彳，得 X0 = 2，P(2,4)(2)函数f(x)的单调区间与极值;(3)曲线—f(x)的凹凸区间与拐点.x解：(1)已知 xf(x)-4 4 f (t)dt =X 3 -3两边同时对 x 求导得：f (X )? x 「(x)-4f(x) =3x 2 3即.y" — -y=3x 则 y = —3x 2+cx 3 由题意得：f(1)=—2， c=1，贝U f(x)=—3x 2 + x 3 ■ x ' (2) f (x) =3x 2 -6x = 0,论=0,x 2 = 2 列表讨论得在(-二,0) (2,：：)单调递增，在(0,2)单调递减。
2019年江苏省普通高校“专转本”统一考试《高等数学》试卷
2019年江苏省普通高校“专转本”统一考试一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）l. 设当0→x 时，函数()2()ln 1f x kx =+与()1cos g x x =-是等价无穷小，则常数k 的值为（ ） A.14 B.12C.1D.2 2. 0x =是函数()111xf x e =+的（ ）A. 跳跃间断点B. 可去间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点 3. 设函数()f x 在0x =处连续，且()0lim 1sin 2x f x x→=，则()0f '=（ ）A. 0B.12C. 1D. 2 4. 设()f x 是函数cos2x 的一个原函数，且()00f =，则()f x dx =⎰（ ）A.1cos 24x C -+ B.1cos 22x C -+ C.cos2x C -+ D. cos2x C + 5. 设211ln 2ln 2a dx x x +∞=⎰，则积分下限a 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 设()f x 为(),-∞+∞上的连续函数，则与211f dx x ⎛⎫⎪⎝⎭⎰的值相等的定积分为（ ） A.()221f x dx x ⎰B. ()122f x dx x ⎰C. ()1122f x dx x ⎰D. ()1221f x dx x ⎰7.二次积分()011,xdx f x y dy --⎰⎰交换积分次序后得（ ）A.()011,y dy f x y dx --⎰⎰ B.()100,ydy f x y dx -⎰⎰C.()110,ydy f x y dx -⎰⎰ D.()10,ydy f x y dx -⎰⎰8.设()1ln 1nn u ⎛=-+⎝，1ln 1n v n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ） A.级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都收敛 B. 级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都发散C. 级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn v∞=∑发散 D. 级数1nn u∞=∑发散，而级数1nn v∞=∑收敛二、填空题{本大题共6小题，每小题4分，共24分)9. 设函数()()112,1,1x x x f x a x -⎧⎪-<=⎨≥⎪⎩在点1x =处连续，则常数a = .10. 曲线1ttx te y e ⎧=⎨=-⎩在点()0,0处的切线方程为 . 11. 设()ln 1y x =+，若()2018!n x y ==，则n = .12．定积分()141cosx x x dx -+⎰的值为 .13．设()2,1,2a b →→⨯=-，3a b →→⋅=，则向量a →与向量b →的夹角为 .14.幂级数2133n nn x n∞=+∑的收敛半径为 . 三、计算题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)15. 求极限()3ln 1lim1xx x t t dte →+-⎡⎤⎣⎦-⎰.16.求不定积分()2x xx e dx +⎰.17.计算定积分7⎰.18. 设()2,z f x y x y =-，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂.19. 设(),z z x y =是由方程()2sin 1y x xy z +++=所确定的函数，求z x ∂∂，z y∂∂.20. 求通过()1,0,1M ，且与直线1111:123x y z L ---==和21:2332x tL y t z t=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩都平行的平面方程.21.求微分方程xy y e '''-=的通解.22. 计算二重积分⎰⎰Dydxdy ,其中D是由曲线y =与直线1y =及0x =所围成的平面闭区域.四、证明题(本大题10分) 23.证明：当02x <<时，22xxe x+<-.五、综合题（本大题共2题，每小题10分，共20分)24.已知函数()43f x ax bx =+在点3x =处取得极值27-，试求： （1）常数,a b 的值；（2）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点； （3）曲线()1y f x =的渐近线.25.设()f x 为定义在[)0,+∞上的单调连续函数，曲线():C y f x =通过点()0,0及()1,1，过曲线C 上任一点(),M x y 分别作垂直于x 轴的直线x l 和垂直于y 轴的直线y l ，曲线C 与直线x l 及x 轴围成的平面图形的面积记为1S ，曲线C 与直线y l 及y 轴围成的平面图形的面积记为2S ，已知122S S =，试求： （1）曲线C 的方程；（2）曲线C 与直线y x =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.。
2019年江苏省普通高校专转本数学真题-6页精选文档
2019年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学1、考生务必将密封线内的各项填写清楚；2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效；3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考t时间120分钟.一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内）,1 ,,1、x = 0是f (x) = xsin —的xA、可去间断点B、跳跃间断点C、第二类间断点D、连续点1 .............2、右x = 2是函数y = x-ln(—+ ax)的可导极值点，则常数a =2A、-1B、-C、--D、12 23、若』f (x)dx = F(x)+C ,贝U [sinxf (cosx)dx =A、F(sinx)+CB、一F(sinx)+CC、F (cos)+ CD、一F(cosx)+C4、设区域D是xoy平面上以点A(1,1)、B(—1,1)、C(—1,—1)为顶点的三角形区域，区域D1是D在第一象限的部分，贝U：(xy cosxsin y)dxdy 二DA、2 ,[「(cos xsin y)dxdyB、2 jjxydxdyD1 D1C、4 JJ(xy+cosxsin y)dxdyD、0D15、设 u(x, y) = arctan — , v(x, y) = In xx 2+y 2 ,则下列等式成立的是 yx . xe -e -2x x -sin x8、函数f （x ）=lnx 在区间1,e 】上满足拉格郎日中值定理的 亡=;1二x 1 9、L —2- =.，1 x10、设向量 3 =6,4,—1卜 B =[2,1, k ）； u 、P 互相垂直，则 k=71 2211、交换二次积分的次序 f dx f f (x, y)dy =-J x '1' " ' " ---------------------------------QO12、塞级数Z (2n —1)x n的收敛区间为； n 13 .15、计算 J tan xsecxdx . 16、计算（arctan xdx.二217、已知函数z= f （sinx, y 2）,其中f （u,v ）有二阶连续偏导数，求 乌、」上二 x ：x-yA 、.:u jv:x jyB 、C 、ju D 、.:u jv :x ；xjy ；x.:y jyoO6、正项级数（1） u unn 4-3 ........................（2） Z U n ,则下列说法正确的是n 4A 、若（1）发散、则（2）必发散B 、若（2）收敛、则（1）必收敛C 、若（1）发散、则（2）不定D 、若（1）、（2）敛散性相同二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、三、解答题（本大题共 8小题，每小题 8分，满分64分）13、设函数F （x ）=f (x) 2sinx xax : 0 — 在R 内连续，并满足: x = 0 f(0)=0、f (0)=6,14、设函数y = y （x ）由方程‘x = costj = sint -1 cost所确定，求包、 dx d2ydx 2..... x -4 y 3 z ..18、求过点A(3,1,-2)且通过直线L：---- =—的平面万程.5 2 12 - x 19、把函数f(x)= 2展开为x的哥级数，并写出它的收敛区间.2 - x - x20、求微分方程xy' + y - e x =0满足y x二=e的特解.四、证明题(本题8分)21、证明方程：x3 -3x +1=0在匚1,1】上有且仅有一根.五、综合题(本大题共4小题，每小题10分，满分30分)22、设函数y = f (x)的图形上有一拐点P(2,4),在拐点处的切线斜率为-3 ,又知该函数的阶导数y =6x+a,求f(x).23、已知曲边三角形由y2=2x、x=0、y=1所围成，求：(1)、曲边三角形的面积；(2)、曲边三角形饶X轴旋转一周的旋转体体积. u u24、设f(x)为连续函数，且f(2)=1, F(u) = ( dy( f(x)dx, (u >1)(1)、交换F(u)的积分次序；(2)、求F (2).2019年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案12、(-1,1)13、因为F(x)在x =0处连续，所以lim F(x) = F(0),x 0f(x) 2sinx f(x)-f(0) c ' c G c climF(x)=lim —x — = lim —x —+2=f (0)+2= 6+2=8,F(0)=a,故 a=8.'出，，2,‘、,dy dt cost - cost tsint d y (y )t 14、==平= -------------------------- = —t, ―dx dx -sint dxx tdt15、原式.2..,2,2. 1 3=tan xtanxsecxdx = (sec x-1)dsecx= sec xd secx - secx = - sec x - secx C . 3211x ,二 1 1d(1 x、原式=xarctanx 0 - ----- 7dx = - ―- ---1 x2 4 2 0 11 1, 2 1= ---ln(1+x )0 4 2 二 1=_ _ _ln 2 4 217、——= cosx f 1, ---------- =cosx( f 12 2y) =2y cosxf 12.x 二x 二y18、l ={5,2]}, B=Q,—3,。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)—数学(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）—数学（解析版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！〔全卷总分值160分，考试时间120分钟〕参考公式： 棱锥的体积13V Sh=，其中S 为底面积，h 为高、 【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．、 1、〔2018年江苏省5分〕集合{124}A =，，，{246}B =，，，那么A B =▲、【答案】{}1,2,4,6。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。
2、〔2018年江苏省5分〕某学校高【一】高【二】高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，那么应从高二年级抽取▲名学生、 【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为假设干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。
3、〔2018年江苏省5分〕设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-〔i 为虚数单位〕，那么a b +的值为▲、【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由117i i 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。
4、〔2018年江苏省5分〕下图是一个算法流程图，那么输出的k 的值是▲、【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环 k 2k 5k 4-+ 循环前0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。
江苏专转本高等数学 定积分 例题加习题
- 106 -第四章 定积分本章主要知识点● 定积分计算● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ● 定积分应用（1）面积 （2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb a af x dx F b F a F x =-=⎰。
其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。
例4.1．111)edx x ⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x +=例4.2．30dx ⎰ 解：原式t x t x =+-==11222 1121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰22sin πxdx x- 107 -解：原式=⎰-22cos 21πx xd =⎰+-2022cos 21|2cos 21ππxdx x x =20|2sin 414ππx +=4π 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。
例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰=112211(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=112211222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+0110)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65- 108 -例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-=3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aaf x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江苏)含详解
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（江苏）含详解注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！数学Ⅰ 参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差221111(),n n i ii i s x x x x n n ===-=∑∑其中【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1.假设复数12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，那么复数12()z z i -的实部为★.【答案】20- 【解析】略2.向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||==a b 那么向量a 和向量b 的数量积=a b★ .【答案】3【解析】2332=⋅⋅=a b 。
3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ .【答案】(1,11)-【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
4.函数s i n ()(y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如下图，那么ω=★ .【答案】3【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=， 5.现有5根竹竿，它们的长度〔单位：m 〕分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，假设从中一次随机抽取2根竹竿，那么它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.21 π-23π-3π-O xy【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，那么以上两组数据的方差中较小的一个为2s = ★ .【答案】25【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ★ .【答案】22 【解析】略8.在平面上，假设两个正三角形的边长的比为1：2，那么它们的面积比为1：4，类似地，在空间，假设两个正四面体的棱长的比为1：2，那么它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，那么点P 的坐标为 ★ . 【答案】(2,15)-【解析】略10.12a -=，函数()xf x a =，假设实数,m n满足()()f m f n >，那么,m n 的大小关系为 ★ . 【答案】m n <【解析】略 11.集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，假设A B ⊆那么实数a的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4 【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。
2019年江苏省专转本高等数学真题
江苏省 2019年普通高校专转本选拔考试高等数学 试题卷一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1.当x 0→时，下列无穷小与()ln()2f x 1kx =+与()cosg x 1x =-是等阶无穷小，则常数k 的值为( )A. 14B. 12 C. 1 D. 22. x 0=是函数()1x1f x e 1=+的（ ）A. 跳跃间断点B. 可去间断点C.无穷间断点D. 振荡间断点 3.设函数()f x 若x 0=处连续，且()limsin x 0f x 12x→=，则()f 0'等于 ( )A. 0B.12C. 1D. 2 4.设()f x 是函数cos 2x 的一个原函数，且(0)0f =，则()f x dx =⎰（ ）A. 1cos 24x C -+ B. 1cos 22x C -+ C. cos2x C -+ D. cos 2x C + 5.设211ln 2ln 2adx x x +∞=⎰，则积分下限a 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 设()f x 为(,)-∞+∞的连续函数，则与211()f dx x⎰的值相反的是（ ） A.221()f x dx x ⎰B. 122()f x dx x ⎰C. 1122()f x dx x⎰ D. 1221()f x dx x ⎰ 7. 二次积分011(,)xdx f x y dy --⎰⎰交换积分次序后（ ）A. 011(,)y dy f x y dx --⎰⎰ B. 1(,)ydy f x y dx -⎰⎰C. 11(,)ydy f x y dx -⎰⎰ D. 1(,)ydy f x y dx -⎰⎰8.设11(1)ln(1ln(1)n n n u v n +=-=+，则（ ）A. 级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都收敛 B. 级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都发散C. 级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn v∞=∑发散 D. 级数1nn u∞=∑发散，而级数1nn v∞=∑收敛二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）9.设函数11(2), 1(), 1x x x f x a x -⎧⎪-<=⎨⎪≥⎩，在1x =处连续，则常数a = .10.曲线1ttx tey e⎧=⎪⎨=-⎪⎩在点(0,0)处的切线方程为 . 11. 设函数ln(1)y x =+，若()02018!n x y ==，则n = .12.定积分141(cos ||)x x x dx -+⎰的值为 .13.设(2,1,2), 3a b a b ⨯=-⋅=，则向量a 与b 的夹角为 .14.幂级数2133nn n x n∞=+∑的收敛半径为 . 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）15.求极限3[ln(1)]lim 1xx x t tdt e →+--⎰.16.求不定积分2()xx x e dx +⎰.17.求定积分70.⎰18.设2(,)z f x y x y =-，其中f 函数具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂.19.设(,)z z x y =是由方程2sin()1y x xy z +++=所确定的函数，求,z z x y∂∂∂∂. 20.求通过(1,0,1),M 且与直线1111:123x y z L ---==和21:2332x tL y t z t=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩都平行的平面方程.21.求微分方程xy y e '''-=的通解.22.计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由曲线y =1y =及0x =所围成的平面闭区域.四．证明题（本大题10分） 23.证明：当02x <<时，22xxe x+<-.五、综合题（本大题共 2 题，每小题 10 分，共 20 分）24.已知函数43()f x ax bx =+在点3x =处取得极值27-，试求： （1）常数,a b 的值；（2）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点；（3）曲线1()y f x =的渐近线. 25．设()f x 为定义在[0,)+∞上的单调连续函数，曲线:()C y f x =通过点(0,0)及(1,1)，过曲线C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴的直线x l 和垂直于y 轴的直线y l ，曲线C 与直线x l 及x 轴围成的平面图形的面积记为1S ，曲线C 与直线y l 及y 轴围成的平面图形的面积记为2S ，已知122S S =，试求：（1）曲线C 的方程；（2）曲线C 与直线y x =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.。
2019年3月16日江苏省专转本考试高等数学真题卷
江苏省2019年普通高校专转本选拔考试高等数学试题卷注意事项：1.本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟.2.必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效.作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置.3.考试结束时，须将试题卷和各答题卡一并交回.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1.设当x—0时，函数/(x)=ln(l+Ax2)与g(x)=l-c o s x是等价无穷小，则常数免的值为（）A.cos x-1B.yj\—x-1C.3 -1D.fl+x^_12.x=0 是函数/Y*=—^—的（>A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷丨IH/M荡H断13■设函数/〇)在J C=0处连续，且l i m^H=l，则/'(0)等于（）s in2xA.0B.-C.1D.224■设/〇)是函数cos2x的一个原函数，且/(0)=0,贝U j V(i)办（)A.—c o s2x+C4C.—cos2x+C5■设一A.2-d x:x ln2x21n2B.4B.—c o s2x+C2D.c o s2x+C，则积分下限a的值为（C.6D.6.设/〇〇为卜〇),+〇))的连续函数，则与f/(一>/x的值相等的定积分为（xA.C^d x B_r學xx x7.二次积分J*办交换积分次序后得（）A.^dy^f{x,y)dx B-\X〇d y^J f{x,y)dx C.^f{x,y)dx D*\0dy\_yf(x^y)dx8■设 ％ l)77ln(l H—-j=\ vn=ln(l H—)，则（）如nA•级数与文v w都收敛n=\ n=\B.级数与都发散n=\ n-\C.级数;收敛，而级数发散D.级数;发散，而级数收敛n=l n=\ n=\ n=\二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9.设函数/(x)=1在点x=：1处连齡，[她食数“=_________________.—[a,\x>l10.曲线jX_纪茬（0,0)处的切线方程为^丨'b=i-y11■设;;=ln〇+l)，若少(叫=2018!，则___________lx=012.定积分|1(尤(：034：\：+|1|)办的值为____________________13.设g x6=(2，1,—2),仏6=3，则向量“与向量6的夹角为.14.幂级数的收敛半径为____________________•n=i3 + n三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）j*[ln(l+/^)—t\dt15.求极限lim心-----；--------••T^°ex-116.求不定积分J*(x2+x)Z A: •17■计算定积dx •18.设2 = /(12少，尤-少），其中函数/具有二阶连续偏数，求d2za ? *19.设z = z 〇,>〇是由方程sin 〇 + z ) + x 少+ z 2 =1确定的函数，求一，一8x dyx =少=2 + 3(都平行 z = 3-\-2t的平面方程.2i ■求微分方程/-y =，的通解.20.求通过点M (l , 0,1)，且与直线A :x -1 y -\■和直线A22.计算二重积分办，其中乃是由曲线少=^21_义2与直线j ； = 1及x = 0所围成D的平面区域.四、 证明题（本大题10分）23■证明：当0<x <2肘，，<三土^.2 — x五、 综合题（本大题共2小题，每小题10分厂共20分）24. 己知函数/(x ) = m :4+fcc 3在点x = 3处取餐极值-27,试求：」(1) 常数的值;(2) 曲线j ； = /(x )的凹凸区间与拐点；(3) 曲线= ^■的渐近线.f (x)25. 设/〇)为定义在设[0，+〇〇上的单调连续函数，曲线二/(x )通过点（0,0)及(1，1)， 过曲线C 上任一点M (x ，少）分别作垂直于x 轴的直线/x 和垂直于j ；轴的直线/^，曲线C 与 直线^及尤轴围成的平面图形的面积记为曲线C 与直线及;;轴围成的平面图形的面积记为&，已知乂=2&，试求：(1) 曲线C 的方程；(2) 曲线C 与直线j ; = x 围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.。
2019年普通高等学校招生考试( 江苏省)数学试题及答案
2019年普通高等学校招生考试数学(江苏省)试题及答案1．（1）计算.)827(()14.3()101()412(21221---+-+解：原式=99（2）求函数)5lg(312x x x y -+-+-=的定义域 解：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠<≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-352030502x x x x x x 故函数的定义域为.5332<<<≤x x 和 （3）解方程.125522=+x x 解：原方程即,55322=+x x..1,3,322均为原方程的解=-==+∴x x x x（4）计算⎪⎭⎫⎝⎛-333333log log 解：原式=.33log )3log 271(log )3(log log 333327133=-=-=-- （5）把直角坐标方程9)3(22=+-y x 化为极坐标方程 解：原方程可展开为,99622=++-y x xθ=ρθ=ρ=ρ∴=θρ⋅-ρ=+-cos 6cos 60,0cos 6,06222即或y x x（6）计算.321lim2n nn ++++∞→解：原式=.2121lim 2)1(lim 2=+=+∞→∞→n n nn n n n（7）分解因式.4832224-+--y y y x x 解：原式=2222)22()(---y y x).23)(2()22)(22(2222+--+=+---+-=y x y x y y x y y x3．过抛物线x y 42=的焦点作倾斜角为π43的直线，它与抛物线相交于A 、B 两点求A 、B 两点间的距离解：抛物线x y 42=的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为,1)1(43x y x tgy -=-π=或它与抛物线之二交点坐标由下面方程组 确定⎩⎨⎧=+-=-=-=,016,4)1(41222x x x x xy xy 解得 由根与系数关系，得x 1+x 2=6, x 1x 2=1. 又解得,044),1(422=-+-=y y y yy 1+y 2=-4,y 1y 2=-4.由两点间距离公式221221)()(y y x x d -+-= 但,324364)()(21221221=-=-+=-x x x x x x83232,3216164)()(21221221=+=∴=+=-+=-d y y y y y y故AB 两点间距离为83．在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，且∠BCD 与∠ACD 之比为3:1，求证CD=DE证：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=900， ∴∠ACD=∠B又∵CE 是直角△ABC 的斜边AB 上的中线∴CE=EB∠B=∠ECB ，∠ACD=∠ECB 但∵∠BCD=3∠ACD ， ∠ECD=2∠ACD=21∠ACB=21×900=450， △EDC 为等腰直角三角形 ∴CE=DE4．在周长为300cm 的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动甲球从A 点出发按逆时针方向运动，乙球从B 点出发按顺时针C 点相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的２倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D 点已知AmC=40厘米，BnD=20厘米,求ACB的长度解：厘米甲球速度为甲v ，乙球速度为v 根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可得第一次等候时方程.4040xv v v x v ==乙甲乙甲或 第二次等候时方程.280)20(42120220300x x v v v x v x -+=+=--甲乙乙甲或 由此可得,280)20(440xx x -+= .0)80)(40(=--x xC ADE BDB由于已知条件甲v ≠乙v ，∴x ≠40,x=80（厘米）ACB=40+80=120（厘米）5．（1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为600证：设三角形三内角分别为,,,d d +αα-α则有.601803,180)()(︒=α∴︒=α︒=+α+α+-αd d （2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是600证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为600，今设其对边为a ，则三角形的三边分别为aq a qa ,,（此处q 为公比，且0>q ） 由余弦定理可得,021,21211,60cos 2)((2222222=+-⋅-+=︒⋅⋅-+=q qq qq aaq q a a),(1,1,11,0)1(22舍去不合题意-===∴==-q q q q q q q 由1=q 可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为600。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题卷江苏卷(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题卷本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=________.2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.4.函数y=√7+6x−x2的定义域是________.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.=1(b>0)经过点（3，4)，7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2则该双曲线的渐近线方程是________.8.已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8= 0,S9=27，则S8的值是________.9.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________.11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是________. 12.如图，在 △ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ， AD 与CE 交于点 O .若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ABAC的值是________.13.已知 tanαtan(α+π4)=−23 ，则 sin(2α+π4) 的值是________.14.设 f(x),g(x) 是定义在R 上的两个周期函数， f(x) 的周期为4， g(x) 的周期为2，且 f(x) 是奇函数.当 x ∈(0,2] 时， f(x)=√1−(x −1)2 ， g(x)={k(x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程 f(x)=g(x) 有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．（共6题；共90分） 15.在△ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ． （1）若a =3c ， b = √2 ，cos B = 23 ，求c 的值；（2）若sinAa =cosB2b，求sin(B+π2)的值．16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: x2a +y2b=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: (x−1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= 52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数f(x)=(x−a)(x−b)(x−c),a,b,c∈R、f ′(x)为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f ′(x)的零点均在集合{−3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若a=0,0<b⩽1,c=1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ 427．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n} (n∈N∗)满足：a2a4=a5,a3−4a2+4a4=0，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足: b1=1,1Sn =2b n−2b n+1，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n} (n∈N∗)，对任意正整数k，当k≤m时，都有c k⩽b k⩽c k+1成立，求m的最大值．三、数学Ⅱ(附加题)（每题10分）【选做题】本题包括21、22、23三题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共3题；共30分）21.A.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=[31 22]（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.22.在极坐标系中，已知两点A(3,π4),B(√2,π2)，直线l的方程为ρsin(θ+π4)=3.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.23.设x∈R，解不等式|x|+|2x−1|>2.四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．（共2题；共20分）24.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n,n⩾4,n∈N∗.已知a32=2a2a4.（1）求n的值；（2）设(1+√3)n=a+b√3，其中a,b∈N∗，求a2−3b2的值.25.在平面直角坐标系xOy中，设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}，B n={(0,1),(n,1)},C n={(0,2),(1,2),(2,2),⋯,(n,2)},n∈N∗.令M n=A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.答案解析部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，借助数轴得：A∩B={1,6}【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合A∩B。
专升本高等数学一2019年真题
高等数学一第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 当时，为的 （ ）0x →234x x x x +++x A.等价无穷小 B.2阶无穷小 C.3阶无穷小D.4阶无穷小2. （ ）2lim 1xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C. D.2e -e-e 2e 3. 设函数，则＝ （ ）cos 2y x =y 'A. B. C. D.2sin 2x2sin 2x-sin 2xsin 2x -4. 设函数在上连续，在可导，＞0，f (a ) f (b )＜0，则在内()f x [,]a b (,)a b ()f x '()f x (,)a b 零点的个数为 （ ）A.3B.2C.1D.05. 设为的一个原函数，则＝ （ ）2x ()f x ()f x A.0B.2C. D.2x 2x C+6. 设函数，则 （ ）()arctan f x x =()d f x x '=⎰A. B.arctan x C -+211C x -++C. D.arctan x C+211C x ++7. 设，，，则（ ）1210d I x x =⎰1320d I x x =⎰1430d I x x =⎰A. I 1＞I 2＞I 3 B. I 2＞I 3＞I 1C. I 3＞I 2＞I 1D. I 1＞I 3＞I 28. 设函数，则＝（ ）2e y z x =(1,0)z x∂∂A.0B.C.1D.2129. 平面的一个法向量为 （ ）2340x y z +-+=A. B. C. D.{1,3,4}-{1,2,4}{1,2,3}-{2,3,4}-10. 微分方程的阶数为 （ ）34()yy y y x ''++=A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（11~20小题，每小题4分，共40分）11..0tan 2limx xx→=12.若函数在点处连续，则a =.0x =13. 设函数，则d y =.2e x y =14.函数的极小值点x = .3()12f x x x =-15.= .x 16..121tan d x x x -=⎰17.设函数，d z =.32z x y =+18.设函数，则＝.arcsin z x y =22zx ∂∂19.幂级数的收敛半径为.1n n nx ∞=∑20.微分方程的通解y =.2y x '=三、解答题（21~28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤）21.（本题满分8分）若，求k .0sin 2lim2x x kxx→+=22.（本题满分8分）设函数，求.sin(21)y x =-y '23.（本题满分8分）设函数，求.ln y x x =y ''24.（本题满分8分）计算.13(e ) d x x x +⎰25.（本题满分8分）设函数，求.11z x y =-22z z x y x y ∂∂+∂∂26.（本题满分10分）设D 是由曲线与x 轴、y 轴，在第一象限围成的有界区域.求：21x y =-（1）D 的面积S ；（2）D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积V .27.（本题满分10分）求微分方程的通解.560y y y '''--=28.（本题满分10分）计算，其中D 是由曲线，，轴在第一象限围成的有界区22()d d Dx y x y +⎰⎰221x y +=y x =x 域.参考答案及解析一、选择题1.【答案】A【考情点拨】本题考查了等价无穷小的知识点.【应试指导】，故是的等价无穷2342300limlim(1)1x x x x x x x x x x→→+++=+++=234x x x x +++x 小.2.【答案】D【考情点拨】本题考查了两个重要极限的知识点.【应试指导】.22222222lim(1)lim(1)[lim(1)]e x x x x x x x x x→∞→∞→∞+=+=+=3.【答案】B【考情点拨】本题考查了复合函数的导数的知识点.【应试指导】·.(cos 2)sin 2y x x ''==-(2)2sin 2x x '=-4.【答案】C【考情点拨】本题考查了零点存在定理的知识点.【应试指导】由零点存在定理可知，在上必有零点，且函数是单调函数，故其()f x (,)a b 在上只有一个零点.(,)a b 5.【答案】B【考情点拨】本题考查了函数的原函数的知识点.【应试指导】由题可知，故.()d 2f x x x C =+⎰()(()d )(2)2f x f x x x C ''==+=⎰6.【答案】C【考情点拨】本题考查了不定积分的性质的知识点.【应试指导】.()d ()arctan f x x f x C x C '=+=+⎰7.【答案】A【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】在区间内，有x 2＞x 3＞x 4，由积分的性质可知(0,1)＞＞，即I 1＞I 2＞I 3.120d x x ⎰130d x x ⎰140d x x ⎰8.【答案】D【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点.【应试指导】，故2×1×1＝2.2e y zx x∂=∂(1,0)z x ∂=∂9.【答案】C【考情点拨】本题考查了平面的法向量的知识点.【应试指导】平面的法向量即平面方程的系数{1，2，}.3-10.【答案】B【考情点拨】本题考查了微分方程的阶的知识点.【应试指导】微分方程中导数的最高阶数称为微分方程的阶，本题最高是2阶导数，故本题阶数为2.二、填空题11.【答案】2【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换定理的知识点.【应试指导】.00tan 22limlim 2x x x xxx →→==12.【答案】0【考情点拨】本题考查了函数的连续性的知识点.【应试指导】由于在处连续，故有.()f x 0x =0lim ()lim 50(0)x x f x x f a --→→====13.【答案】22e d x x【考情点拨】本题考查了复合函数的微分的知识点.【应试指导】d y = d(e 2x ) = e 2x ·(2x )′d x = 2 e 2x d x.14.【答案】2【考情点拨】本题考查了函数的极值的知识点.【应试指导】，当或时，，当x ＜2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+2x =2x =-()0f x '=时，＞0；当＜x ＜2时，＜0；当x ＞2时，＞0，因此x =2是极小值2-()f x '2-()f x '()f x '点.15.【答案】arcsin x C+【考情点拨】本题考查了不定积分的计算的知识点.【应试指导】.arcsin x x C =+16.【答案】0【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】被积函数x tan 2x 在对称区间上是奇函数，故.[1,1]-121tan d 0x x y -=⎰17.【答案】23d 2d x x y y+【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点.【应试指导】，，所以.23z x x ∂=∂2z y y ∂=∂2d d d 3d 2d z z z x y x x y y x y∂∂==+=+∂∂18.【答案】0【考情点拨】本题考查了二阶偏导数的知识点.【应试指导】，.arcsin z y x ∂=∂220zx ∂=∂19.【答案】1【考情点拨】本题考查了收敛半径的知识点.【应试指导】，设，则有，故其收敛半径1nn n n nx nx ∞∞===∑∑n a n =11limlim(1)1x x n n nρ→∞→∞+==+=为.11R ρ==20.【答案】2x C+【考情点拨】本题考查了可分离变量的微分方程的通解的知识点.【应试指导】微分方程是可分离变量的微分方程，两边同时积分得2y x '=.2d 2d y x x x y xC '=⇒=+⎰⎰三、解答题21.，故.00sin 2sin limlim 2122x x x kx x k k x x →→+=+=+=12k =22.[sin(21)]y x ''=-·cos(21)x =-(21)x '- .2cos(21)x =-23.()ln (ln )y x x x x '''=+，ln 1x +故.1(ln )y x x'''==24.1133(e )d d e d xx x x x x x +=+⎰⎰⎰1131e 113x xC+=+++ .433e 4x x C =++25.，，故21z x x ∂=-∂21z y y ∂=∂··2221z z x y x y x∂∂+=-∂∂22x y +21y .110=-+=26.（1）积分区域D 可表示为：0≤y ≤1，0≤x ≤1y 2，-120(1)d S y y=-⎰3101()3y y =-.23（2）120πd V y x=⎰ 10π(1)d x x =-⎰.π2=27.特征方程，解得或，故微分方程的通解为2560r r --=11r =-26r =（C 1，C 2为任意常数）.1261212e e e e r x r x x x y C C C C -=+=+28.积分区域用极坐标可表示为：0≤≤，0≤r ≤1，θπ4所以22()d d DI x y x y=+⎰⎰ ·r d rπ12400d r θ=⎰⎰ ·π4=41014r.π16=。
2019专升本高数题库(含历年真题)
2019专升本高数题库(含历年真题)章节练习极限、连续1、【单项选择】当x一0时，与3x2+2x3等价的无穷小量是( )．正确答案：B2、【单项选择】正确答案：B3、【单项选择】正确答案：B 4、【单项选择】ABCD正确答案：B 5、【单项选择】B 1C正确答案：D6、【单项选择】当 x一0时，kx是sinx的等价无穷小量，则k等于( )正确答案：B7、【单项选择】正确答案：A8、【单项选择】正确答案：C 9、【单项选择】正确答案：B 10、【单项选择】正确答案：A 11、【单项选择】正确答案：D 12、【单项选择】正确答案：D 13、【单项选择】ABCD正确答案：B1、【案例分析】正确答案：2、【案例分析】正确答案：所给极限为重要极限公式形式．可知3、【案例分析】正确答案：4、【案例分析】正确答案：5、【案例分析】正确答案：6、【案例分析】当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则正确答案：由等价无穷小量的定义可知【评析】判定等价无穷小量的问题，通常利用等价无穷小量的定义与极限的运算．7、【案例分析】正确答案：8、【案例分析】正确答案：9、【案例分析】正确答案：10、【案例分析】正确答案：11、【案例分析】正确答案：a=012、【案例分析】正确答案：13、【案例分析】正确答案：一元函数微分学1、【单项选择】正确答案：B2、【单项选择】设函数f(x)=COS 2x，则f′(x)=( )．正确答案：B3、【单项选择】设正确答案：B4、【单项选择】曲线Y=x-3在点(1，1)处的切线的斜率为( )正确答案：C5、【单项选择】设y=lnx，则y″等于( )正确答案：D6、【单项选择】设Y=e-3x，则dy等于( )．正确答案：C7、【单项选择】设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)正确答案：B8、【单项选择】设，y=COSx，则y′等于( )(1分)正确答案：A 9、【单项选择】正确答案：A 10、【单项选择】正确答案：B11、【单项选择】正确答案：B12、【单项选择】正确答案：D13、【单项选择】设，f(x)在点x0处取得极值，则( )ABCD正确答案：A14、【单项选择】设Y=e-5x，则dy=( )正确答案：A15、【单项选择】曲线y=x3+1在点(1，2)处的切线的斜率为( )正确答案：C16、【单项选择】曲线y=x3+1在点(1，2)处的切线的斜率为( )正确答案：C17、【单项选择】设 y=2^x，则dy等于( )正确答案：D18、【单项选择】正确答案：A19、【单项选择】正确答案：D20、【单项选择】设Y=sinx+COSx，则dy等于( )．(1分)正确答案：C1、【案例分析】求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值正确答案：注意函数的定义域为2、【案例分析】正确答案：3、【案例分析】设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值正确答案：4、【案例分析】求函数的极大值与极小值．正确答案：5、【案例分析】设Y=y((x)满足2y+sin(x+y)=0，求y ′正确答案：将2y+sin(x+y)=0两边对x求导，得6、【案例分析】求函数的单调区间和极值正确答案：函数的定义域为函数f(x)的单调减区间为(-∞，0]，函数f(x)的单调增区间为[0，+∞)；f(0)=2为极小值．7、【案例分析】证明：正确答案：【评析】8、【案例分析】求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．正确答案：【评析】求函数f(x)的单调区间，应先判定函数的定义域．求出函数的驻点，即y′=0的点；求出y的不可导的点，再找出y′>0时x的取值范围，这个范围可能是一个区间，也可能为几个区间求曲线在点(1，3)处的切线方程曲线方程为，点因此所求曲线方程为或写为设Y=2ex-1则y″=e-x正确答案：11、【案例分析】正确答案：12、【案例分析】设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____正确答案：设y=fx)可导，点a0=2为fx)的极小值点，且f2)=3，则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为______．正确答案：由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，由极值的必要条件可知f′(2)=0．曲线y=fx)在点(2，3)处的切线方程为y-3=f′(2)(x-2)=0，即y=3为所求切线方程14、【案例分析】设Y=xsinx，求Y′正确答案：15、【案例分析】设Y=y((x)满足2y+sin(x+y)=0，求y ′正确答案：将2y+sin(x+y)=0两边对x求导，得16、【案例分析】求函数的单调区间和极值正确答案：函数的定义域为函数f(x)的单调减区间为(-∞，0]，函数f(x)的单调增区间为[0，+∞)；f(0)=2为极小值．17、【案例分析】正确答案：一元函数微分学1、【单项选择】正确答案：B 2、【单项选择】正确答案：B设正确答案：B正确答案：C5、【单项选择】设y=lnx，则y″等于( )正确答案：D正确答案：C7、【单项选择】设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)正确答案：B8、【单项选择】正确答案：A 9、【单项选择】正确答案：A 10、【单项选择】正确答案：B 11、【单项选择】正确答案：B 12、【单项选择】正确答案：D13、【单项选择】ABCD正确答案：A正确答案：A 15、【单项选择】正确答案：C 16、【单项选择】正确答案：C正确答案：D18、【单项选择】求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值正确答案：注意函数的定义域为【评析】判定f(x)的极值，如果x0为f（x)的驻点或不可导的点，可以考虑利用极值的第一充分条件判定．但是当驻点处二阶导数易求时，可以考虑利用极值的第二充分条件判定．2、【案例分析】正确答案：3、【案例分析】设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值正确答案：4、【案例分析】求函数的极大值与极小值．正确答案：5、【案例分析】设Y=y((x)满足2y+sin(x+y)=0，求y ′正确答案：将2y+sin(x+y)=0两边对x求导，得6、【案例分析】求函数的单调区间和极值正确答案：函数的定义域为函数f(x)的单调减区间为(-∞，0]，函数f(x)的单调增区间为[0，+∞)；f(0)=2为极小值．7、【案例分析】证明：正确答案：【评析】8、【案例分析】求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．正确答案：9、【案例分析】求曲线在点(1，3)处的切线方程曲线方程为，点因此所求曲线方程为或写为设Y=2ex-1则y″=e-x正确答案：11、【案例分析】正确答案：12、【案例分析】设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____正确答案：13、【案例分析】设y=fx)可导，点a0=2为fx)的极小值点，且f2)=3，则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为______．正确答案：由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，由极值的必要条件可知f′(2)=0．曲线y=fx)在点(2，3)处的切线方程为y-3=f′(2)(x-2)=0，即y=3为所求切线方程14、【案例分析】设Y=xsinx，求Y′正确答案：一元函数积分学1、【单项选择】正确答案：C 2、【单项选择】ABCD正确答案：D 3、【单项选择】正确答案：A 4、【单项选择】正确答案：B 5、【单项选择】正确答案：A 6、【单项选择】ABCD正确答案：B 7、【单项选择】正确答案：A 8、【单项选择】正确答案：B9、【单项选择】BD正确答案：D 10、【单项选择】正确答案：C 11、【单项选择】正确答案：C 12、【单项选择】正确答案：D 13、【单项选择】正确答案：C 14、【单项选择】正确答案：D 15、【单项选择】正确答案：D 16、【单项选择】正确答案：B 17、【单项选择】正确答案：A 18、【单项选择】等于( )正确答案：D 19、【单项选择】正确答案：A 1、【案例分析】正确答案：2、【案例分析】正确答案：3、【案例分析】正确答案：4、【案例分析】正确答案：5、【案例分析】正确答案：6、【案例分析】正确答案：7、【案例分析】(1)求曲线Y=ex及直线x=1，x=O,y=0所围成的平面图形(如图3—3所示)的面积A．(2)求(1)中平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx(1分)正确答案：8、【案例分析】【评析】定积分的分部积分运算u，u'的选取原则，与不定积分相同．只需注意不要忘记积分限．如果被积函数中含有根式，需先换元，再利用分部积分．正确答案：。
江苏专升本高等数学真题(附答案)
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）把握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。
（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。
（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。
2019—2019年江苏专转本高数真题(打印版)共18页
第 1 页2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）1、0=x 是xx x f 1sin )(=的A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、第二类间断点D 、连续点2、若2=x 是函数)21ln(ax x y +-=的可导极值点，则常数=aA 、1-B 、21C 、21- D 、13、若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sinA 、C x F +)(sinB 、C x F +-)(sin C 、C F +(cos)D 、C x F +-)(cos 4、设区域D 是xoy 平面上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则：=+⎰⎰dxdy y x xy D)sin cos (A 、⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB 、⎰⎰12D xydxdyC 、⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy D 、05、设yxy x u arctan ),(=，22ln ),(y x y x v +=，则下列等式成立的是A 、yv x u ∂∂=∂∂ B 、xvx u ∂∂=∂∂ C 、x v y u ∂∂=∂∂ D 、yv y u ∂∂=∂∂6、正项级数(1) ∑∞=1n n u 、(2) ∑∞=13n n u ，则下列说法正确的是A 、若（1）发散、则（2）必发散B 、若（2）收敛、则（1）必收敛C 、若（1）发散、则（2）不定D 、若（1）、（2）敛散性相同二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）第 2 页7、=----→x x xe e x x x sin 2lim； 8、函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格郎日中值定理的=ξ ；9、=++⎰-11211x x π ；10、设向量{}2,4,3-=α、{}k ,1,2=β；α、β互相垂直，则=k ；11、交换二次积分的次序=⎰⎰-+-dy y x f dx x x 2111),( ；12、幂级数∑∞=-1)12(n n x n 的收敛区间为 ；三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、设函数⎪⎩⎪⎨⎧+=a xx x f x F sin 2)()( 00=≠x x 在R 内连续，并满足：0)0(=f 、6)0('=f ，求a .14、设函数)(x y y =由方程⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos 所确定，求dx dy、22dx y d .15、计算⎰xdx x sec tan 3.16、计算⎰10arctan xdx17、已知函数),(sin 2y x f z =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求xz∂∂、y x z∂∂∂2 18、求过点)2,1,3(-A 且通过直线12354:zy x L =+=-的平面方程. 19、把函数222)(xx x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间.20、求微分方程0'=-+x e y xy 满足e y x ==1的特解.四、证明题（本题8分）21、证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根.第 3 页五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分） 22、设函数)(x f y =的图形上有一拐点)4,2(P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数a x y +=6''，求)(x f .23、已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求： （1）、曲边三角形的面积；（2）、曲边三角形饶X 轴旋转一周的旋转体体积.24、设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，dx x f dy u F uyu⎰⎰=)()(1，)1(>u（1）、交换)(u F 的积分次序； （2）、求)2('F .第 4 页2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、C3、D4、B5、A6、C7、2 8、1-e 9、2π10、5 11、dx y x f dy y y ⎰⎰---11102),( 12、)1,1(-13、因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，8262)0(2)0()(sin 2)()('0lim limlim =+=+=+-=+=→→→f x f x f x x x f x F x x x a F =)0(，故8=a .14、t t t t t t dtdx dt dydx dy -=-+-==sin sin cos cos ，t t x y dx y d t t csc sin 1)('''22=--==. 15、原式C x x x x xd x d x +-=-=-=⎰⎰sec sec 31sec sec sec sec )1(sec 322.16、原式⎰⎰++-=+-=102210211)1(2141arctan x x d dx x x x x π 102)1ln(214x +-=π2ln 214-=π 17、'1cos f x xz ⋅=∂∂，''12''122cos 2)2(cos xf y y f x y x z =⋅=∂∂∂ 18、{}1,2,5=l ，{}0,3,4-=B ，{}2,4,1-={}22,9,8241125--=-=⨯=kj il π平面点法式方程为：0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x .19、x x x x x x x x f -⋅++⋅=-++=1132116)1121(3)(222nn n n x x ∑∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=01212)1(3，收敛域为11<<-x . 20、xe y x y x=⋅+1'，通解为第 5 页x e x C C dx e x e e y x dx x x dx x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-11 因为e y =)1(，C e e +=，所以0=C ，故特解为xey x=.21、证明：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1-∈x ，且03)1(>=-f ，01)1(<-=f ，0)1()1(<⋅-f f ，由连续函数零点定理知，)(x f 在)1,1(-上至少有一实根. （提醒：本题亦可用反证法证明）22、设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，3)2('-=f ，0)2(''=f .由a x y +=6''，0)2(''=y 得12-=a ，即126''-=x y .因为126''-=x y ，故12'123C x x y +-=，由3)2('-=y ，解得91=C . 故22396C x x x y ++-=，由4)2(=y ，解得22=C . 所求函数为：29623++-=x x x y . 23、（1）61612113102===⎰y dy y S （2）4021)()21(2212πππ=-=-=⎰x x dx x V x24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤（1）⎰⎰⎰⎰⎰-===uxuDdx x f x dy x f dx d x f u F 111)()1()()()(σ；（2）)()1()('u f u u F -=，1)2()2()12()2('==-=f f F .2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、C2、B3、C4、C5、C6、A7、2 8、)(0x f 9、1- 10、1 11、)cos sin (x x y e xy + 12、113、原式322131lim 21341==--→x xx 14、21211122''t t t t x y dx dy tt =++-==，t t t t x dx dy dx y d t 411221)(22''22+=+== 15、原式C x x d x ++=++=⎰23)ln 1(32)ln 1(ln 1第 6 页16、原式x d x dx x x xx x d x cos 24sin 2sin sin 20220202202⎰⎰⎰+=-==πππππ24cos 2cos 24220202-=-+=⎰ππππxdx xx17、方程变形为2'⎪⎭⎫⎝⎛-=x y x y y ，令x y p =则''xp p y +=，代入得：2'p xp -=，分离变量得：dx x dp p ⎰⎰=-112，故C x p +=ln 1，C x x y +=ln . 18、令)1ln()(x x g +=，0)0(=g ，200'1)1()1()(+∞=∞=∑∑+-=-=n n n n nn x n dx x x g ， 故201)1()(+∞=∑+-=n n n x n x f ，11<<-x . 19、{}1,1,11-n 、{}1,3,42-n ，k j i kj i n n l ++=--=⨯=3213411321直线方程为123123+=-=-z y x . 20、'22f x yz=∂∂， ''222''213'2''22''212'2222)2(2yf x f x xf y f x f x xf xy z ++=⋅+⋅+=∂∂∂. 21、令33)(x x x f -=，[]2,2-∈x ，033)(2'=-=x x f ，1±=x ，2)1(-=-f ，2)1(=f ，2)2(-=f ，2)2(=-f ；所以2min -=f ，2max =f ，故2)(2≤≤-x f ，即233≤-x x .22、y x y +=2'，0)0(=y通解为x Ce x y +--=)22(，由0)0(=y 得2=C ，故x e x y 222+--=. 23、（1）364)8(2222=--=⎰-dx x x S （2）πππ16)8()(284240=-+=⎰⎰dy y dy y V 24、dx x f t dy x f dx dxdy x f tt t D t⎰⎰⎰⎰⎰==000)()()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰00)()(0t at x f t g t（1）0)(lim )(lim 00==⎰→→dx x f t g tt t ，由)(t g 的连续性可知0)(lim )0(0===→t g g a t （2）当0≠t 时，)()('t f t g =，第 7 页当0=t 时，)0()(lim )(lim )0()(lim )0(000'f h f hdx x f hg h g g h hh h ===-=→→→⎰综上，)()('t f t g =.2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）1、若21)2(lim 0=→x x f x ，则=→)3(lim0x f x x A 、21 B 、2 C 、3 D 、312、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(2x x xx x f 在0=x 处A 、连续但不可导B 、连续且可导C 、不连续也不可导D 、可导但不连续3、下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是A 、x e y =B 、x y +=1C 、21x y -=D 、xy 11-= 4、已知C e dx x f x +=⎰2)(，则=-⎰dx x f )('A 、C e x +-22B 、C e x +-221C 、C e x +--22D 、C e x +--2215、设∑∞=1n n u 为正项级数，如下说法正确的是A 、如果0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛B 、如果l u u nn n =+∞→1lim)0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛 C 、如果∑∞=1n n u ，则∑∞=12n nu 必定收敛 D 、如果∑∞=-1)1(n n nu ，则∑∞=1n n u 必定收敛6、设对一切x 有),(),(y x f y x f -=-，}0,1|),{(22≥≤+=y y x y x D ，=1D }0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ，则⎰⎰=Ddxdy y x f ),(A 、0B 、⎰⎰1),(D dxdy y x f C 、2⎰⎰1),(D dxdy y x f D 、4⎰⎰1),(D dxdy y x f二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）第 8 页7、已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等级无穷小，则=a 8、若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续.9、设)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ，⎰=103)(dx x f ，则⎰=1')(dx x xf10、设1=，⊥，则=+⋅)(b a a11、设x e u xysin =，=∂∂xu12、=⎰⎰Ddxdy . 其中D 为以点)0,0(O 、)0,1(A 、)2,0(B 为顶点的三角形区域.三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、计算11lim31--→x x x . 14、若函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求dx dy 、22dx y d .15、计算⎰+dx xxln 1. 16、计算dx x x ⎰202cos π.17、求微分方程2'2y xy y x -=的通解.18、将函数)1ln()(x x f +=展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）. 19、求过点)2,1,3(-M 且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程.20、设),(2xy x xf z =其中),(v u f 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、x y z ∂∂∂2.四、证明题（本题满分8分）.21、证明：当2≤x 时，233≤-x x .五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22、已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程.第 9 页23、已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成. （1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.24、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g t D ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续. （1）求a 的值使得)(t g 连续； （2）求)('t g .2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）1、若2)2(lim0=→x x f x ，则=∞→)21(lim x xf xA 、41B 、21C 、2D 、42、已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x n sin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=nA 、1B 、2C 、3D 、43、设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)('=x f 的实根个数为A 、1B 、2C 、3D 、4 4、设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则=⎰dx x f )2('A 、C x +4cosB 、C x +4cos 21C 、C x +4cos 2D 、C x +4sin5、设dt t x f x ⎰=212sin )(，则=)('x fA 、4sin xB 、2sin 2x xC 、2cos 2x xD 、4sin 2x x 6、下列级数收敛的是A 、∑∞=122n n n B 、∑∞=+11n n nC 、∑∞=-+1)1(1n n nD 、∑∞=-1)1(n n n第 10 页二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=020)1()(1x x kx x f x ，在点0=x 处连续，则常数=k 8、若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m 9、定积分dx x x x )cos 1(43222+-⎰-的值为10、已知→a ，→b 均为单位向量，且21=⋅→→b a ，则以向量→→⋅b a 为邻边的平行四边形的面积为 11、设yxz =，则全微分=dz 12、设x x e C e C y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限xx x e x x tan 1lim 0--→.14、设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求0=x dx dy 、022=x dx yd .15、求不定积分dx e x x⎰-2.16、计算定积分dx xx ⎰-122221. 17、设),32(xy y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2.18、求微分方程2'2007x y xy =-满足初始条件20081==x y 的特解.19、求过点)3,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=++-=+++01202z y x z y x 的平面方程.20、计算二重积分dxdy y x D⎰⎰+22，其中{}0,2|),(22≥≤+=y x y x y x D .四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成.（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积； （2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的第 11 页两部分.22、设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质： （1）在点1-=x 的左侧临近单调减少； （2）在点1-=x 的右侧临近单调增加； （3）其图形在点)2,1(的两侧凹凸性发生改变. 试确定a ，b ，c 的值.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 23、设0>>a b ，证明：dx x f e e dx e x f dy baa x x byy x ba⎰⎰⎰++-=)()()(232.24、求证：当0>x 时，22)1(ln )1(-≥-x x x .2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、C3、C4、A5、D6、D7、2ln 8、1 9、π2 10、23 11、dy y xdx y21-12、06'5''=+=y y y 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim 00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e xx e x x x e . 14、解：方程xy e e y x =-，两边对x 求导数得''xy y y e e y x +=⋅-，故xe ye y dx dy y x +-=='.又当0=x 时，0=y ，故10==x dx dy 、2022-==x dx y d .15、解：)(22)(2222xx x x x x e d x e x dx xe e x e d x dx e x ------⎰⎰⎰⎰--=+-=-= C e xe e x x x x +---=---222.16、解：令t x sin =，则41sin cos 1242212222πππ-==-⎰⎰dt t t dx x x . 17、解：'2'12yf f xz +=∂∂，)3()3(2''22''21'2''12''112x f f y f x f f y x z ⋅+⋅++⋅+⋅=∂∂∂第 12 页'2''22''12''11)32(6f xyf f y x f ++++=18、解：原方程可化为x y x y 20071'=⋅-，相应的齐次方程01'=⋅-y xy 的通解为Cx y =.可设原方程的通解为x x C y )(=.将其代入方程得x x C x C x x C 2007)()()('=-+，所以2007)('=x C ，从而C x x C +=2007)(，故原方程的通解为x C x y )2007(+=. 又2008)1(=y ，所以1=C ，于是所求特解为x x y )12007(+=.（本题有多种解法，大家不妨尝试一下） 19、解：由题意，所求平面的法向量可取为)3,1,2(112111)1,1,2()1,1,1(-=-=-⨯=→kj in .故所求平面方程为0)3(3)2()1(2=---+-x y x ，即0532=+-+z y x .20、解：916cos 38203cos 20220222====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πθπθθρρθθρρd d d d d dxdy y x DD.21、解：（1）⎰=-=122158)1(ππdx x V ； （2）由题意得⎰⎰-=-aady y dy y 012121)1()1(. 由此得2323)1(1)1(a a --=--. 解得31)41(1-=a .22、解：c bx ax x f ++=23)(2'，b ax x f 26)(''+=.由题意得0)1('=-f 、0)1(''=f 、2)1(=f ，解得1-=a 、3=b 、9=c23、证明：积分域D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤b x y b y a ，积分域又可表示成D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤x y a bx ady e dx e x f dy ex f dx dx ex f dy xay baxxayx babyyx b a⎰⎰⎰⎰⎰⎰==++2222)()()(dx x f e e dx e e e x f b aa x x baaxx⎰⎰+-=-=)()()()(232.24、证明：令11ln )(+--=x x x x F ，显然，)(x F 在()+∞,0上连续. 由于0)1(1)(22'>++=x x x x F ，故)(x F 在()+∞,0上单调递增， 于是，当10<<x 时，0)1()(=<F x F ，即11ln +-<x x x ，又012<-x ，故22)1(ln )1(->-x x x ；第 13 页当1≥x 时，0)1()(=≥F x F ，即11ln +-≥x x x ，又012≥-x ，故22)1(ln )1(-≥-x x x .综上所述，当0>x 时，总有22)1(ln )1(-≥-x x x .2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是 A 、)(x f y -= B 、)(43x f x y = C 、)(x f y --=D 、)()(x f x f y -+=2、设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是 A 、)0()()0('0limf x x f f x -=-→ B 、)()()2(0'00limx f x x f x x f x =-+→ C 、)()()(0'000limx f xx x f x x f x =∆∆--∆+→∆D 、)(2)()(0'000lim x f x x x f x x f x =∆∆+-∆-→∆ 3、设函数)(x f ⎰=122sin x tdt t ，则)('x f 等于 A 、x x 2sin 42 B 、x x 2sin 82 C 、x x 2sin 42-D 、x8-4、设向量)3,2,1(=→a ，)4,2,3(=→b ，则→→⨯b a 等于 A 、（2，5，4）B 、（2，－5，－4）C 、（2，5，－4） D 、（－2，－5，4）5、函数xyz ln=在点（2，2）处的全微分dz 为 A 、dy dx 2121+- B 、dy dx 2121+ C 、dy dx 2121- D 、dy dx 2121--6、微分方程123'''=++y y y 的通解为 A 、1221++=--x x e c e c y B 、21221++=--x x e c e c y C 、1221++=-x x e c e c yD 、21221++=-xx e c e c y 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数)1(1)(2--=x x x x f ，则其第一类间断点为 .第 14 页8、设函数{=)(x f ,0,3tan ,0,<≥+x xxx x a 在点0=x 处连续，则a ＝ .9、已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为 .10、设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分⎰dxx f )(＝ . 11、定积分dx x x⎰-++1121sin 2的值为 .12、幂函数∑∞=⋅12n nnn x 的收敛域为 . 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：xx xx 3)2(lim -∞→ 14、设函数)(x y y =由参数方程Z n n t t y t t x ∈≠⎩⎨⎧-=-=,2,cos 1,sin π所决定，求22,dxy d dx dy 15、求不定积分：⎰+dx x x 13.16、求定积分：⎰10dx e x .17、设平面π经过点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，5），求经过点P （1，2，1）且与平面π垂直的直线方程.18、设函数),(xy y x f z +=，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2. 19、计算二重积分⎰⎰Ddxdy x 2，其中D 是由曲线xy 1=，直线2,==x x y 及0=y 所围成的平面区域.20、求微分方程2,2x y xy +=的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、求曲线)0(1>=x xy 的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值.第 15 页22、设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成.（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分. 五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 23、设函数)(x f 在闭区间[]a 2,0)0(>a 上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间),0(a 上至少存在一点ξ，使得)()(a f f +=ξξ.24、对任意实数x ，证明不等式：1)1(≤-x e x .2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1—6 B 、A 、D 、C 、A 、B 7、0 8、3 9、（2，17）10、c x x ++-21cos 11、π 12、[]2.2-13、6233)21(lim )21(lim )2(lim ⋅∞→∞→∞→-=-=-xx x x x x x x x x ，令2xy -=，那么 6631)11(lim )2(lim ey xx y x x x =+=-⋅-∞→∞→.14、.sin )(cos )(cos 1)(sin )(t t x t t y t t x t t y==-==‘’‘’’‘，，， [].)cos 1(1)()()()()(cos 1sin )()(2322t t x t x t y t x t y dx y d t t t x t y dx dy --=-=-==‘’‘，，，，，’， 15、⎰⎰⎰⎰++-+-=++-++=+C x dx x x dx x x d dx x x dx x x 1ln )1(1)1(111233 .1ln 2323C x x x x ++-+-= 16⎰⎰⎰⎰⎰-==⋅==11211021211212112211)(222)(212121212121dx e ex de e dx x ex d e dx ex x x x x x ＝.222222221010212121=+-=-=-⎰e e e e dx e e xx17、由题意得：，，，－)032(=→AB )5,0,2(-=→AC ，那么法向量为第 16 页).6,10,15(032250225003=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⨯=→，－－，－n 18、.221，‘f xy f x z -=∂∂)1(212221212112‘’‘’，，，，－＋f x f x y f f y x z +=∂∂∂ ‘’‘’‘’，，－＝223212121f xy f x y f x f -+19、⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=10211222xx Ddy x dx dy x dx dxdy x⎰⎰=+=+=+=121212104347234124x x xdx dx x 20、积分因子为.1)(2ln 22xeex xdx x==⎰=--μ 化简原方程22x y xy +=，为.2x x ydx dy =-在方程两边同乘以积分因子21x ，得到.1232x xy dx x dy =-化简得：.1)(2x dx y x d =-等式两边积分得到通解⎰⎰=-.1)(2dx xdx y x d 故通解为C x x x y 22ln += 21、令y xy x F -=1),(，那么x 和y 的偏导分别为20001),(x y x F x -=，.1),(00-=y x F y所以过曲线上任一点),(00y x 的切线方程为：.01020=-+-y y x x x 当X ＝0时，y 轴上的截距为001y x y +=. 当y ＝0时，x 轴上的截距为.002x y x x += 令002000001),(x y x y x y x F +++=，那么即是求),(00y x F 的最小值. 而4)1(211),(00000000≥+=+++=x x x x x x y x F ，故当100==y x 时， 取到最小值4.22、（1）⎰==-=10105445353)4(πππx dx x x V . （2）由题意得到等式：⎰⎰-=-122022)2()2(a adx x x dx x x 化简得：⎰⎰=aa dx x dx x 0122. 解出a ，得到：213=a ，故.2131=a第 17 页23、令)()()(x f a x f x g -+=，那么)()2()(a f a f a g -=，).0()()0(f a f g -=由于0)0()(<g a g ，并且)(x g 在[]a ，0上连续.故存在)0(a ，∈ξ，使得0)(=ξg ，即)()(a f f +=ξξ. 24、将x e 用泰勒公式展开得到：⋅⋅⋅+++=2!21!111x x e x 代入不等式左边：131211)!21!111)(1()1(322≤⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅+++-=-x x x x x e x x 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生气，就是拿别人的过错来惩罚自己。
2019—2019年江苏专转本高数真题（打印版）共18页
2019—2019年江苏专转本⾼数真题（打印版）共18页第 1 页2005年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分.）1、0=x 是xx x f 1sin )(=的A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、第⼆类间断点D 、连续点2、若2=x 是函数)21ln(ax x y +-=的可导极值点，则常数=aA 、1-B 、21C 、21- D 、13、若?+=C x F dx x f )()(，则?=dx x xf )(cos sinA 、C x F +)(sinB 、C x F +-)(sin C 、C F +(cos)D 、C x F +-)(cos 4、设区域D 是xoy 平⾯上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三⾓形区域，区域1D 是D 在第⼀象限的部分，则：=+??dxdy y x xy D)sin cos (A 、??1)sin (cos 2D dxdy y xB 、??12D xydxdyC 、??+1)sin cos (4D dxdy y x xy D 、05、设yxy x u arctan ),(=，22ln ),(y x y x v +=，则下列等式成⽴的是v x u ??=?? B 、xvx u ??=C 、x v y u ??=??D 、yv y u ??=??6、正项级数(1) ∑∞=1n n u 、(2) ∑∞=13n n u ，则下列说法正确的是A 、若（1）发散、则（2）必发散B 、若（2）收敛、则（1）必收敛C 、若（1）发散、则（2）不定D 、若（1）、（2）敛散性相同⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分）第 2 页7、=----→x x xe e x x x sin 2lim； 8、函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满⾜拉格郎⽇中值定理的=ξ；9、=++?-11211x x π；10、设向量{}2,4,3-=α、{}k ,1,2=β；α、β互相垂直，则=k ；11、交换⼆次积分的次序=?-+-dy y x f dx x x 2111),( ；12、幂级数∑∞=-1)12(n n x n 的收敛区间为；13、设函数+=a xx x f x F sin 2)()( 00=≠x x 在R 内连续，并满⾜：0)0(=f 、6)0('=f ，求a .14、设函数)(x y y =由⽅程?-==t t t y t x cos sin cos 所确定，求dx dy、22dx y d .15、计算?xdx x sec tan 3.16、计算?10arctan xdx17、已知函数),(sin 2y x f z =，其中),(v u f 有⼆阶连续偏导数，求xz、y x z2 18、求过点)2,1,3(-A 且通过直线12354:zy x L =+=-的平⾯⽅程. 19、把函数222)(xx x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间.20、求微分⽅程0'=-+x e y xy 满⾜e y x ==1的特解.四、证明题（本题8分）21、证明⽅程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有⼀根.第 3 页五、综合题（本⼤题共4⼩题，每⼩题10分，满分30分） 22、设函数)(x f y =的图形上有⼀拐点)4,2(P ，在拐点处的切线斜率为3-，⼜知该函数的⼆阶导数a x y +=6''，求)(x f .23、已知曲边三⾓形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）、曲边三⾓形的⾯积；（2）、曲边三⾓形饶X 轴旋转⼀周的旋转体体积.24、设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，dx x f dy u F uyu=)()(1，)1(>u（1）、交换)(u F 的积分次序；（2）、求)2('F .⾼等数学参考答案1、A2、C3、D4、B5、A6、C7、2 8、1-e 9、2π10、5 11、dx y x f dy y y ??---11102),( 12、)1,1(-13、因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，8262)0(2)0()(sin 2)()('0lim limlim =+=+=+-=+=→→→f x f x f x x x f x F x x x a F =)0(，故8=a .14、t t t t t t dtdx dt dydx dy -=-+-==sin sin cos cos ，t t x y dx y d t t csc sin 1)('''22=--==. 15、原式C x x x x xd x d x +-=-=-=??sec sec 31sec sec sec sec )1(sec 322.16、原式??++-=+-=102210211)1(2141arctan x x d dx x x x x π 102)1ln(214x +-=π2ln 214-=π 17、'z ?=??，''12''122cos 2)2(cos xf y y f x y x z =?= 18、{}1,2,5=l ，{}0,3,4-=B ，{}2,4,1-= {}22,9,8241125--=-=?=kj il π平⾯点法式⽅程为：0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x .19、x x x x x x x x f -?++?=-++=1132116)1121(3)(222nn n n x x ∑∞=+??+-=01212)1(3，收敛域为11<<-x . 20、xe y x y x=?+1'，通解为第 5 页x e x C C dx e x e e y x dx x x dx x +=+=-11 因为e y =)1(，C e e +=，所以0=C ，故特解为xey x=.21、证明：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1-∈x ，且03)1(>=-f ，01)1(<-=f ，0)1()1(由连续函数零点定理知，)(x f 在)1,1(-上⾄少有⼀实根. （提醒：本题亦可⽤反证法证明）22、设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，3)2('-=f ，0)2(''=f .因为126''-=x y ，故12'123C x x y +-=，由3)2('-=y ，解得91=C . 故22396C x x x y ++-=，由4)2(=y ，解得22=C . 所求函数为：29623++-=x x x y . 23、（1）61612113102===?y dy y S （2）4021)()21(2212πππ=-=-=?x x dx x V x24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤（1）-===uxuDdx x f x dy x f dx d x f u F 111)()1()()()(σ；（2）)()1()('u f u u F -=，1)2()2()12()2('==-=f f F .2006年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学参考答案1、C2、B3、C4、C5、C6、A7、2 8、)(0x f 9、1- 10、1 11、)cos sin (x x y e xy + 12、113、原式3221==--→x xx 14、21211122''t t t t x y dx dy tt =++-==，t t t t x dx dy dx y d t 411221)(22''22+=+== 15、原式C x x d x ++=++=?23 )ln 1(32)ln 1(ln 1第 6 页16、原式x d x dx x x xx x d x cos 24sin 2sin sin 20220202202+=-==πππππ24cos 2cos 24220202-=-+=πππx17、⽅程变形为2'-=x y x y y ，令x y p =则''xp p y +=，代⼊得：2'p xp -=，分离变量得：dx x dp p ??=-112，故C x p +=ln 1，C x x y +=ln . 18、令)1ln()(x x g +=，0)0(=g ，200'1)1()1()(+∞=∞=∑∑+-=-=n n n n nn x n dx x x g ，故201)1()(+∞=∑+-=n n n x n x f ，11<<-x . 19、{}1,1,11-n 、{}1,3,42-n ，k j i kj i n n l ++=--=?=3213411321直线⽅程为123123+=-=-z y x . 20、'22f x yz=??， ''222''213'2''22''212'2222)2(2yf x f x xf y f x f x xf xy z ++=?+?+=. 21、令33)(x x x f -=，[]2,2-∈x ，033)(2'=-=x x f ，1±=x ，2)1(-=-f ，2)1(=f ，2)2(-=f ，2)2(=-f ；所以2min -=f ，2max =f ，故2)(2≤≤-x f ，即233≤-x x .22、y x y +=2'，0)0(=y通解为x Ce x y +--=)22(，由0)0(=y 得2=C ，故x e x y 222+--=. 23、（1）364)8(2222=--=?-dx x x S （2）πππ16)8()(284240=-+=??dy y dy y V 24、dx x f t dy x f dx dxdy x f tt t D t==000)()()(=≠=?00)()(0t a（1）0)(lim )(lim 00==?→→dx x f t g tt t ，由)(t g 的连续性可知0)(lim )0(0===→t g g a t （2）当0≠t 时，)()('t f t g =，第 7 页当0=t 时，)0()(lim )(lim )0()(lim )0(000'f h f hdx x f hg h g g h hh h ===-=→→→?综上，)()('t f t g =.2006年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分.）1、若21)2(lim 0=→x x f x ，则=→)3(lim0x f x x A 、21 B 、2 C 、3 D 、312、函数=≠=001sin)(2x x xx x f 在0=x 处A 、连续但不可导B 、连续且可导C 、不连续也不可导D 、可导但不连续3、下列函数在[]1,1-上满⾜罗尔定理条件的是A 、x e y =C 、21x y -=D 、xy 11-= 4、已知C e dx x f x +=?2)(，则=-?dx x f )('A 、C e x +-22B 、C e x +-221C 、C e x +--22D 、C e x +--2215、设∑∞=1n n u 为正项级数，如下说法正确的是A 、如果0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛B 、如果l u u nn n =+∞→1lim)0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛 C 、如果∑∞=1n n u ，则∑∞=12n nu 必定收敛 D 、如果∑∞=-1)1(n n nu ，则∑∞=1n n u 必定收敛=1D }0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ，则??=Ddxdy y x f ),(A 、0B 、??1),(D dxdy y x f C 、2??1),(D dxdy y x f D 、4??1),(D dxdy y x f⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分）第 8 页7、已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等级⽆穷⼩，则=a 8、若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续.9、设)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ，?=103)(dx x f ，则=1')(dx x xf10、设1=，⊥，则=+?)(b a a11、设x e u xysin =，=??xu12、=??Ddxdy . 其中D 为以点)0,0(O 、)0,1(A 、)2,0(B 为顶点的三⾓形区域.三、解答题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，满分64分）13、计算11lim31--→x x x . 14、若函数)(x y y =是由参数⽅程-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求dx dy 、22dx y d .15、计算?+dx xxln 1. 16、计算dx x x ?20.17、求微分⽅程2'2y xy y x -=的通解.18、将函数)1ln()(x x f +=展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）. 19、求过点)2,1,3(-M 且与⼆平⾯07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平⾏的直线⽅程.20、设),(2xy x xf z =其中),(v u f 的⼆阶偏导数存在，求y z ??、x y z 2.四、证明题（本题满分8分）.21、证明：当2≤x 时，233≤-x x .五、综合题（本⼤题共3⼩题，每⼩题10分，满分30分）22、已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线⽅程.第 9 页23、已知⼀平⾯图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成. （1）求此平⾯图形的⾯积；（2）求此平⾯图形绕y 轴旋转⼀周所得的旋转体的体积.24、设??=≠=??00)(1)(t a t dxdy x f t t g t D ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正⽅形区域，函数)(x f 连续. （1）求a 的值使得)(t g 连续；（2）求)('t g .2007年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、单项选择题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分.）1、若2)2(lim0=→x x f x ，则=∞→)21(lim x xf xA 、41B 、21C 、2D 、42、已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的⾼阶⽆穷⼩，⽽x n sin ⼜是x cos 1-的⾼阶⽆穷⼩，则正整数=nA 、1B 、2C 、3D 、43、设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则⽅程0)('=x f 的实根个数为B 、2C 、3D 、4 4、设函数)(x f 的⼀个原函数为x 2sin ，则=?dx x f )2('A 、C x +4cosB 、C x +4cos 21C 、C x +4cos 2D 、C x +4sin5、设dt t x f x ?=212sin )(，则=)('x fA 、4sin xB 、2sin 2x xC 、2cos 2x xD 、4sin 2x x 6、下列级数收敛的是A 、∑∞=122n n n B 、∑∞=+11n n nC 、∑∞=-+1)1(1n n nD 、∑∞=-1)1(n n n。
江苏省“专转本”《高等数学》试卷分类解析不定积分.
同方专转本高等数学核心教程第三章不定积分本章主要知识点：● 不定积分的意义，基本公式● 不定积分的三种基本方法● 杂例历年考试真题1.（2001）不定积分=（ D ）A.B. +CC. arcsinxD. arcsinx+C解析: 利用不定积分的定义.2001）计算⎰e2x2. （1+exdx。
解: ⎰e2xe2x+ex-exx1+exdx=⎰1+exdx=e-ln(1+ex)+C3. （2002）设f(x)有连续的导函数，且a≠0,1，则下列命题正确的是（A. ⎰f'(ax)dx=1af(ax)+C B. ⎰f'(ax)dx=f(ax)+CC. (⎰f'(ax)dx)'=af(ax)D. ⎰f'(ax)dx=f(x)+C解析: 由⎰f'(x)dx=f(x)+C⎰f'(ax)dx=1a⎰f'(ax)dax=1af(ax)+C4. （2002）求积分2解: 14arcsin2x2+C5. （2003）若F'(x)=f(x),f(x)连续，则下列说法正确的是（ C ） - 78 - A ）第三章不定积分A.C. ⎰F(x)dx=f(x)+c B. ⎰⎰dF(x)dx=f(x)dx dx⎰dF(x)dx=f(x) f(x)dx=F(x)+c D. dx⎰解析: 不定积分的定义 6. （2003）xlnxdxx2x2x2=lnx-⎰dlnx 解: 设u=lnx,dv=xdx,则⎰xlnxdx=⎰lnxd222x21=lnx-⎰xdx22 11=x2(lnx-)+C227. （2004）求不定积分3=1arcsin4x+C 4解析: 31dx=⎰arcsin3xdarcsinx=arcsin4x+C 4ex8. （2004）设f(x)的一个原函数为，计算⎰xf'(2x)dx xexex(x-1)ex解: 因为f(x)的一个原函数为，所以f(x)=()'=， xx2x1111⎰xf'(2x)dx=⎰xf'(2x)d(2x)=⎰xdf(2x)=xf(2x)-⎰f(2x)dx 222211x(2x-1)e2xx-12x-+C=e+C ＝xf(2x)-⎰f(2x)d(2x)=248x28x4x9. （2005）若⎰f(x)dx=F(x)+C,则⎰sinxf(cosx)dx=( D )A. F(sinx)+CB. -F(sinx)+CC. F(cosx)+CD. -F(cosx)+C解析: ⎰sinxf(cosx)dx=-⎰f(cosx)dcosx=-F(cosx)+C⎰310. （2005）计算tanxsecxdx2 解：原式＝tanxtanxsecxdx=⎰⎰(secx-1)d- 79 - 22secx=⎰secxdsecx-secx同方专转本高等数学核心教程=secx-secx+C11.（2006）已知A.2e-2x133⎰f(x)dx=e2x+C，则⎰f'(-x)dx=（ C ）. 11+CB.e-2x+CC. -2e-2x+CD. -e-2x+C 22解析: 由题意f(x)=2e2x,∴f'(x)=4e2x,f'(-x)=4e-2x所以⎰f'(-x)dx=⎰4e-2x-2xdx=⎰-2e-2xd(-2x)=-2e+C12.（2006）计算⎰dx x解：原式＝32(1+lnx)=(1+lnx)2+C 313. (2007) 设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则⎰f'(2x)dx=（ A ）1cos4x+C 2C. 2cos4x+CD. sin4x+C A. cos4x+C B.解析: f(x)=2cos2x,所以f'(x)=4sin2x,⎰f'(2x)dx=⎰4sin4xdx=⎰sin4xd(4x)=cos4x+C2-x14. (2007)求不定积分xedx．⎰2-x2-x 解：xedx=-xd(e) ⎰⎰2-x-x2-x-x =-xe+2xedx=-xe-2xd(e) ⎰⎰2-x-x-x =-xe-2xe+2edx ⎰=-xe单元练习题3 2-x-2xe-x-2e-x+C1．dcos2x=- 80 - ⎰第三章不定积分2．已知f(cosx)=sin2x，则⎰f(x-1)dx=。
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江苏省 2019年普通高校专转本选拔考试
高等数学 试题卷
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）
1.当x 0→时，下列无穷小与()ln()2
f x 1kx =+与()cos
g x 1x =-是等阶无穷小，则常数k 的值为( )
A. 14
B. 1
2 C. 1 D. 2
2. x 0=是函数()1x
1f x e 1
=
+的（ ）
A. 跳跃间断点
B. 可去间断点
C.无穷间断点
D. 振荡间断点 3.设函数()f x 若x 0=处连续，且()
lim
sin x 0f x 12x
→=，则()f 0'等于 ( )
A. 0
B.
1
2
C. 1
D. 2 4.设()f x 是函数cos 2x 的一个原函数，且(0)0f =，则
()f x dx =⎰（ ）
A. 1cos 24x C -
+ B. 1
cos 22
x C -+ C. cos2x C -+ D. cos 2x C + 5.设
2
11
ln 2ln 2
a
dx x x +∞
=⎰
，则积分下限a 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 设()f x 为(,)-∞+∞的连续函数，则与
2
1
1
()f dx x
⎰
的值相反的是（ ） A.
2
21
()f x dx x ⎰
B. 122()f x dx x ⎰
C. 1122()f x dx x
⎰ D. 1
2
21()f x dx x ⎰ 7. 二次积分0
1
1
(,)x
dx f x y dy --⎰
⎰交换积分次序后（ ）
A. 0
1
1(,)y dy f x y dx --⎰⎰ B. 1
(,)y
dy f x y dx -⎰⎰
C. 1
1
(,)y
dy f x y dx -⎰
⎰ D. 1
(,)y
dy f x y dx -⎰⎰
8.
设1
1
(1)
ln(1ln(1)n n n u v n +=-=+，则（ ）
A. 级数
1n
n u
∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑都收敛 B. 级数
1n
n u
∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑都发散
C. 级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，而级数
1
n
n v
∞
=∑发散 D. 级数
1
n
n u
∞
=∑发散，而级数
1
n
n v
∞
=∑收敛
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
9.设函数1
1(2), 1(), 1x x x f x a x -⎧⎪
-<=⎨⎪≥⎩，在1x =处连续，则常数a = .
10.曲线1t
t
x te
y e
⎧=⎪⎨=-⎪⎩在点(0,0)处的切线方程为 . 11. 设函数ln(1)y x =+，若()
02018!n x y ==，则n = .
12.定积分
1
41
(cos ||)x x x dx -+⎰
的值为 .
13.设(2,1,2), 3a b a b ⨯=-⋅=，则向量a 与b 的夹角为 .
14.幂级数2
133n
n n x n
∞
=+∑的收敛半径为 . 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）
15.求极限3
[ln(1)]lim 1
x
x x t t
dt e →+--⎰.
16.求不定积分2()x
x x e dx +⎰
.
17.求定积分
70.
⎰
18.设2
(,)z f x y x y =-，其中f 函数具有二阶连续偏导数，求22z
x
∂∂.
19.设(,)z z x y =是由方程2
sin()1y x xy z +++=所确定的函数，求
,z z x y
∂∂∂∂. 20.求通过(1,0,1),M 且与直线1111:123x y z L ---==和21:2332x t
L y t z t
=+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
都平行的平面方程.
21.求微分方程x
y y e '''-=的通解.
22.计算二重积分
D
ydxdy ⎰⎰，其中D 是由曲线y =1y =及0x =所围成的平面闭区域.
四．证明题（本大题10分） 23.证明：当02x <<时，22x
x
e x
+<
-.
五、综合题（本大题共 2 题，每小题 10 分，共 20 分）
24.已知函数4
3
()f x ax bx =+在点3x =处取得极值27-，试求： （1）常数,a b 的值；
（2）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点；
（3）曲线1
()
y f x =
的渐近线. 25．设()f x 为定义在[0,)+∞上的单调连续函数，曲线:()C y f x =通过点(0,0)及(1,1)，过曲线C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴的直线x l 和垂直于y 轴的直线y l ，曲线C 与
直线x l 及x 轴围成的平面图形的面积记为1S ，曲线C 与直线y l 及y 轴围成的平面图形的面积记为2S ，已知122S S =，试求：
（1）曲线C 的方程；
（2）曲线C 与直线y x =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.。