数学规划模型的建立
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
S
约束条件 问题可行
问题不可行
X
最优解
z
最优目标值
特别： min z c1 x1 c2 x2 cn xn (或 max) s.t. a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 （或 ， b1） a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 （或 ， b2）
x 0, y 0
这里 S {(x, y) | x2 y2 d 2, x, y 0}
X ( x, y)T
几个概念：
目标函数
min z f ( X ) (或 max z f ( X )）
可行解
X S ( Rn) X ( x1, x2 , , xn )T
可行域 决策变量
描述S 的数学式子
点可在不同料场取料。
设 ( xi , yi ) 为第 i 个料场坐标
wFra Baidu bibliotekj
为料场 mn
i
向施工点
j
提供的材料数量
则
min z
wij ( xi a j )2 ( yi bj )2 总吨公里数
m i1 j1
s.t. wij q j , j 1,2, , n
需求限制
i n1
wij Mi ,i 1,2, ,m
Bn
产量
A1
c11 c12 c1n
a1
A2
c21 c22 c2n
a2
Am
cm1 cm2 cmn
am
需求量 b1 b2 bn
求使总运费最少的调运方案。试建模。
42
解
m
m
假设 ai bj 产销平衡
i 1
j 1
设 xij 为产地 Ai 到销地 Bj 的运量。 mn
则
min z
cij xij
i 1
重要结论：
当供应量 ai 与需求量 bj 均为整数时， 模型的最优解 X 是整数解。
例2 自来水输送问题
某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A、B、 C由三个水库供应。四个区每天必须的基本生活用水 分别为30、70、10、10千吨，但三个水库每天最多只 能分别供应50、60、50千吨自来水。由于地理位置的 差别，自来水公司从各水库向各区送水所付出的引水 管理费不同（如表，其中C水库与丁区间无输水管 道），其它管理费均为450元/千吨。各区用户每千吨 收费900元。此外，各区用户都向公司申请了额外用 水量，分别为每天50、70、20、40千吨。问公司应如 何分配供水量，才能获利最多？
j 1
wij 0,i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
容量限制 非负限制
第二个问题不便用微分法求解，可用数学规 划方法求解。
学习这一部分需注意的地方： 1. 对给定的实际问题，如何作合理的假设，并建立
模型。如何处理分段函数、矛盾约束等问题。 2. 怎样将一类模型化为另一类模型，易于求解。 3. 同一问题可建立不同模型
等约束
X O
注： 1. 与
2. 与
min z CX M
s.t. AX b
X O
M是常数
min z CX s.t. AX b
X O
有相同的最优解
min z CX s.t. AX b
X O
max z0 CX 有相同的最优解
s.t. AX b X O
另外： 1. x j 取整数，称模型为整数规划模型
引水管理费(元/千吨)
A B C
甲乙丙 丁
160 130 220 170 140 130 190 150 190 200 230 /
解
将有关数据整理列表：
输
水
成
居民区
本
甲
乙
丙
丁
供应量
水库
A 160 130 220 170
B 140 130 c1ij90 150
C 190 200 230 /
50
60 ai
II 数学规划模型的建立
数学规划模型的一般形式：
min z f ( X ) (或 max X S ( Rn) X ( x1, x2 , , xn )T
z f ( X )）
若能写出描述S的数学式子，则可直接写出。
例如： max z kxy2 (k 0)
s.t. x2 y2 d 2 ,
i1 j1
线
n
s.t. xij ai , i 1,2, ,m
性 规
mj 1
划
xij bj , j 1,2, , n
模
i 1
型
xij 0, i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
n
注：若产大于销，则
xij ai , i 1,2, ,m
j 1
m
若产小于销，则
xij bj , j 1,2, ,n
例2 施工点 j 的坐标为 (a j ,bj ), j 1,2, ,n 对某材料的需求量为 qj , j 1,2, ,n 第 i个料场的容量为 Mi 吨, i 1,2, , m. 求料场的位置及各料场向各施工点的供应量，使
材料运输的总吨公里最小。
解 设各料场到各施工点的距离为直线距离，且各施工
2. x j中部分取整数，称模型为混合整数规划模型 3. x j只取0或1两个值，称为 0 — 1 规划模型 4. 目标函数或约束条件是非线性的，
称为非线性规划模型 5. 若目标函数只有一个，称为单目标规划模型；
若目标函数不只一个，称为多目标规划模型。
一、运输问题
例1
运 价 销地 产地
B1 B2
ai 160
i
50
生活用水
额外用水
30 50
70b
70
j
10 20
10 40
bj 300
j
问题分析：…可看成是“产小于销”的运输问题。
模型建立
设 xij 分别表示水库A,B,C(i=1,2,3)向居民因区16甲0千,乙吨, 水须
丙,丁(j=1,2,3,4)的供水量。其中X34=0. 全部输出
am1 x1 am2 x2 amn xn bm（或 ， bm）
x j 0, j 1,2, ,n
n
线性规划模型
或
min z c j x j
n j1
s.t. aij x j (,)bi ,i 1,2, ,m
j 1
x j 0, j 1,2, ,n
或
min z CX
s.t. AX b
例1 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形横梁。已知 横梁强度 z 与宽度 x 成正比，与高度 y 的平 方成正比。求宽、高各为多少时强度最大？
该问题的数学模型为： z kxy2 (k 0) x2 y2 d 2, x 0, y 0
用微分法容易求出其解。
数学规划模型格式： max z kxy2 (k 0) s.t. x2 y2 d 2 , x 0, y 0
约束条件 问题可行
问题不可行
X
最优解
z
最优目标值
特别： min z c1 x1 c2 x2 cn xn (或 max) s.t. a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 （或 ， b1） a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 （或 ， b2）
x 0, y 0
这里 S {(x, y) | x2 y2 d 2, x, y 0}
X ( x, y)T
几个概念：
目标函数
min z f ( X ) (或 max z f ( X )）
可行解
X S ( Rn) X ( x1, x2 , , xn )T
可行域 决策变量
描述S 的数学式子
点可在不同料场取料。
设 ( xi , yi ) 为第 i 个料场坐标
wFra Baidu bibliotekj
为料场 mn
i
向施工点
j
提供的材料数量
则
min z
wij ( xi a j )2 ( yi bj )2 总吨公里数
m i1 j1
s.t. wij q j , j 1,2, , n
需求限制
i n1
wij Mi ,i 1,2, ,m
Bn
产量
A1
c11 c12 c1n
a1
A2
c21 c22 c2n
a2
Am
cm1 cm2 cmn
am
需求量 b1 b2 bn
求使总运费最少的调运方案。试建模。
42
解
m
m
假设 ai bj 产销平衡
i 1
j 1
设 xij 为产地 Ai 到销地 Bj 的运量。 mn
则
min z
cij xij
i 1
重要结论：
当供应量 ai 与需求量 bj 均为整数时， 模型的最优解 X 是整数解。
例2 自来水输送问题
某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A、B、 C由三个水库供应。四个区每天必须的基本生活用水 分别为30、70、10、10千吨，但三个水库每天最多只 能分别供应50、60、50千吨自来水。由于地理位置的 差别，自来水公司从各水库向各区送水所付出的引水 管理费不同（如表，其中C水库与丁区间无输水管 道），其它管理费均为450元/千吨。各区用户每千吨 收费900元。此外，各区用户都向公司申请了额外用 水量，分别为每天50、70、20、40千吨。问公司应如 何分配供水量，才能获利最多？
j 1
wij 0,i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
容量限制 非负限制
第二个问题不便用微分法求解，可用数学规 划方法求解。
学习这一部分需注意的地方： 1. 对给定的实际问题，如何作合理的假设，并建立
模型。如何处理分段函数、矛盾约束等问题。 2. 怎样将一类模型化为另一类模型，易于求解。 3. 同一问题可建立不同模型
等约束
X O
注： 1. 与
2. 与
min z CX M
s.t. AX b
X O
M是常数
min z CX s.t. AX b
X O
有相同的最优解
min z CX s.t. AX b
X O
max z0 CX 有相同的最优解
s.t. AX b X O
另外： 1. x j 取整数，称模型为整数规划模型
引水管理费(元/千吨)
A B C
甲乙丙 丁
160 130 220 170 140 130 190 150 190 200 230 /
解
将有关数据整理列表：
输
水
成
居民区
本
甲
乙
丙
丁
供应量
水库
A 160 130 220 170
B 140 130 c1ij90 150
C 190 200 230 /
50
60 ai
II 数学规划模型的建立
数学规划模型的一般形式：
min z f ( X ) (或 max X S ( Rn) X ( x1, x2 , , xn )T
z f ( X )）
若能写出描述S的数学式子，则可直接写出。
例如： max z kxy2 (k 0)
s.t. x2 y2 d 2 ,
i1 j1
线
n
s.t. xij ai , i 1,2, ,m
性 规
mj 1
划
xij bj , j 1,2, , n
模
i 1
型
xij 0, i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
n
注：若产大于销，则
xij ai , i 1,2, ,m
j 1
m
若产小于销，则
xij bj , j 1,2, ,n
例2 施工点 j 的坐标为 (a j ,bj ), j 1,2, ,n 对某材料的需求量为 qj , j 1,2, ,n 第 i个料场的容量为 Mi 吨, i 1,2, , m. 求料场的位置及各料场向各施工点的供应量，使
材料运输的总吨公里最小。
解 设各料场到各施工点的距离为直线距离，且各施工
2. x j中部分取整数，称模型为混合整数规划模型 3. x j只取0或1两个值，称为 0 — 1 规划模型 4. 目标函数或约束条件是非线性的，
称为非线性规划模型 5. 若目标函数只有一个，称为单目标规划模型；
若目标函数不只一个，称为多目标规划模型。
一、运输问题
例1
运 价 销地 产地
B1 B2
ai 160
i
50
生活用水
额外用水
30 50
70b
70
j
10 20
10 40
bj 300
j
问题分析：…可看成是“产小于销”的运输问题。
模型建立
设 xij 分别表示水库A,B,C(i=1,2,3)向居民因区16甲0千,乙吨, 水须
丙,丁(j=1,2,3,4)的供水量。其中X34=0. 全部输出
am1 x1 am2 x2 amn xn bm（或 ， bm）
x j 0, j 1,2, ,n
n
线性规划模型
或
min z c j x j
n j1
s.t. aij x j (,)bi ,i 1,2, ,m
j 1
x j 0, j 1,2, ,n
或
min z CX
s.t. AX b
例1 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形横梁。已知 横梁强度 z 与宽度 x 成正比，与高度 y 的平 方成正比。求宽、高各为多少时强度最大？
该问题的数学模型为： z kxy2 (k 0) x2 y2 d 2, x 0, y 0
用微分法容易求出其解。
数学规划模型格式： max z kxy2 (k 0) s.t. x2 y2 d 2 , x 0, y 0