数学规划模型的建立
数学建模规划问题的经典案例
s.t.
x13 x34 x36 0; x12 x24 x25 0; x24 x34 x45 x47 0; x25 x45 x56 x57 0; x47 x57 x67 Q x36 x56 x67 0; xij 0， i , j 1,2,,7.
§2.4 案例
建立优化模型的一般步骤
1.确定决策变量 2.确定目标函数的表达式 3.寻找约束条件 例1：设某厂生产电脑和手机两种产品，这两种产品的生产需要 逐次经过两条装配线进行装配。电脑在第一条装配线每台需要2 小时，在第二条装配线每台需要3小时；手机在第一条装配线每 台需要4小时，在第二条装配线每台需要1小时。第一条装配线每 天有80个可用工时，第一条装配线每天有60个可用工时，电脑和 手机每台的利润分别为100元和80元。问怎样制定生产计划？
问题1
不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不
同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数
量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、 占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量 100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，
A
T1
B
T
t
允许缺货模型的存贮量q(t)
一个周期内存贮费
c2
T1
0
Q2 QT1 c2 q(t )dt c2 2r 2
( rT Q )(T T1 ) 一个周期内缺货损失费 c3 q(t )dt c3 T1 2 ( rT Q )2 c3 一个周期的总费用 2r
T
Q ( rT Q ) C c1 c2 c3 2r 2r
数学建立模型知识点总结
数学建立模型知识点总结一、数学建立模型的基本概念1. 模型的定义模型是对于特定对象或系统的数学表达式或描述。
它是一个用来代表真实事物、预测未来情况或解决实际问题的简化抽象。
模型可以是数学方程、图表、图形或者计算机程序等形式。
2. 模型的分类根据模型的形式和特点，可以将模型分为不同的类别，主要包括数学模型、物理模型、统计模型、仿真模型等。
3. 建立模型的目的建立模型的目的是为了更好地理解现实世界中的复杂问题，预测未来的发展趋势，进行决策分析和问题求解等。
二、数学建立模型的方法1. 建立模型的一般步骤通常建立模型的一般步骤包括问题分析、模型建立、模型求解、模型验证和结果分析等。
2. 建立模型的数学方法建立数学模型的数学方法主要包括差分方程模型、微分方程模型、优化模型、概率模型和统计模型等。
三、数学模型的应用1. 数学模型在自然科学领域的应用数学模型在物理学、化学、生物学等领域都有着广泛的应用，例如在物理学中用来研究物体的运动规律、在生物学中用来研究生物体的生长和繁殖规律等。
2. 数学模型在社会科学领域的应用数学模型在经济学、管理学、社会学等领域也有很多应用，例如在经济学中用来研究市场供求关系、在管理学中用来研究企业运营规律等。
3. 数学模型在工程技术领域的应用数学模型在工程技术领域中常常用来研究工程结构、流体力学、材料科学等诸多问题，例如在建筑工程中用来研究房屋结构的稳定性、在交通工程中用来研究交通流量规律等。
四、数学建立模型的典型案例1. 鱼群扩散模型鱼群扩散模型是用来研究在外界环境条件下鱼群扩散的问题，通常采用微分方程模型进行描述。
2. 物体自由落体模型物体自由落体模型是用来研究物体在重力作用下的运动规律，通常采用差分方程模型进行描述。
3. 经济增长模型经济增长模型常用来研究经济系统的增长规律，通常采用优化模型进行描述。
五、数学建立模型的发展趋势1. 多学科交叉融合数学建立模型的发展趋势是多学科交叉融合，即将数学模型与物理、化学、生物、经济、管理等学科相结合，以更好地解决现实世界中的复杂问题。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型线性规划是一种数学模型，被广泛应用于许多领域。
本文将介绍线性规划的数学模型的重要性和应用领域，并简要说明线性规划的定义和基本概念。
线性规划是一种优化问题的数学表述，其目的是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小的变量值。
线性规划的主要特点是目标函数和约束条件均为线性关系。
线性规划在工程、经济、物流、运输等领域都有广泛的应用。
它可以用来解决资源分配、生产计划、成本最小化、效益最大化等问题。
线性规划的数学模型可以通过建立目标函数和约束条件的数学表达式来表示。
这篇文档将深入探讨线性规划的数学模型，并介绍一些常见的线性规划应用案例。
通过了解线性规划的数学模型，读者可以更好地理解其背后的原理和应用。
希望本文能对读者在研究和实践中解决实际问题时提供帮助和指导。
本文将讨论如何构建线性规划模型，包括确定决策变量、目标函数和约束条件，以及如何将实际问题转化为数学模型。
决策变量在构建线性规划模型时，首先需要确定决策变量。
决策变量是用来表示决策问题中需要决定的未知量。
它们的取值将影响函数的输出结果。
在确定决策变量时，需要考虑问题的具体情况，并确保决策变量具有明确的定义和可行的取值范围。
目标函数确定决策变量后，下一步是确定目标函数。
目标函数是线性规划模型中需要最大化或最小化的函数。
它通常与问题的目标密切相关，并且能够量化问题的目标。
在确定目标函数时，需要考虑问题的特点和要求，确保目标函数能够准确地度量问题的目标。
约束条件除了目标函数，线性规划模型还包括一系列约束条件。
约束条件是对决策变量的限制和要求，用于限定决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式或不等式，它们对问题的解产生了限制和约束。
在确定约束条件时，需要将问题的限制条件转化为数学形式，并确保约束条件与实际问题相符合。
实际问题转化为数学模型最后，将实际问题转化为数学模型是构建线性规划模型的关键步骤。
这需要理解问题的要求和限制，并将其转化为决策变量、目标函数和约束条件的数学表达式。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
建立动态规划数学模型的步骤
例2（带回收的资源分配问题）某厂新购某种机床125台。据估计，这种设备5年后将被其它设备所代替。此机床如在高负荷状态下工作，年损坏率为1/2，年利润为10万元；如在低负荷状态下工作，年损坏率为1/5，年利润为6万元。问应如何安排这些机床的生产负荷，才能使5年内获得的利润最大？
解：以年为阶段，k=1，2，3，4，5 取k年初完好的机床数为状态变量xk 以k年初投入高负荷运行的机床数为决策变量uk，则低负荷运行机床数是xk-uk，于是状态转移方程为： xk+1=1/2uk+4/5（xk-uk）=0.8xk-0.3uk 以利润为目标函数，则k年利润为： 10uk+6（xk-uk）=4uk+6xk 记fk（xk）为k年至5年末最大总利润，则动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝ 0≤uk≤xk f6（x6）=0 k=5,4,3,2,1
动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝
当k=2时 f2（x2）= max｛ 4u2+6x2+f3（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛ 4u2+6x2+18（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛-1.4u2+20.4x2｝=20.4x2 u2=0 0≤u2≤x2 当k=1时 f1（x1）= max｛ 4u1+6x1+f2（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ 4u1+6x1+20.4（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ -2.12u1+22.32x1｝=22.32x1 u1=0 0≤u1≤x1 =22.32×125=2790（万元）
建立数学模型的方法
建立数学模型的方法数学模型是指用数学语言和符号描述现实世界中某个问题的方法。
它是一种把复杂的现实问题转化为数学问题来进行研究和解决的手段。
建立数学模型的过程不仅需要数学知识，还需要对实际问题的深刻理解和把握。
本文将从以下几个方面介绍建立数学模型的方法。
一、分析问题建立数学模型的第一步是分析问题，要明确问题的性质、特点、目的和限制条件。
在分析问题的过程中，需要了解问题的背景和相关知识，明确问题的主要矛盾和关键因素，确定问题的量化指标和评价标准，以及考虑问题的可行性和实际性。
例如，对于一个生产企业来说，它需要分析如何提高生产效率，减少成本，同时保证产品质量和员工安全。
这就需要考虑生产设备的利用率、员工的工作效率、原材料的采购成本、产品的质量检测等因素，以及企业的资源和技术条件。
二、建立数学模型在分析问题的基础上，可以建立数学模型。
数学模型是用数学语言和符号来描述现实问题的形式化表达。
数学模型可以是代数方程、微分方程、差分方程、概率统计模型、图论模型、优化模型等等。
例如，对于上述生产企业的问题，可以建立一个生产效率的数学模型。
设生产效率为E，设生产设备的利用率为x1，员工的工作效率为x2，原材料的采购成本为x3，产品的质量检测为x4，则可以建立以下数学模型：E=f(x1,x2,x3,x4)其中，f为生产效率的函数。
可以根据实际情况选择不同的函数形式，例如线性函数、指数函数、对数函数、多项式函数等等。
三、模型求解建立数学模型后，需要进行模型求解。
模型求解是指利用数学方法和计算机技术来求解数学模型，得到问题的解答或决策。
例如，对于上述生产效率的数学模型，可以利用优化方法来求解。
假设企业的目标是最大化生产效率，同时满足设备利用率≥80%、员工工作效率≥90%、采购成本≤100万元、产品合格率≥95%等限制条件。
则可以建立以下优化模型：Max E=f(x1,x2,x3,x4)s.t. x1≥0.8, x2≥0.9, x3≤100, x4≥0.95其中，s.t.表示限制条件。
三维路径规划数学建模
三维路径规划数学建模
三维路径规划数学建模是指在三维空间中寻找一条最优路径的
过程。
这个问题涉及到三维空间中的点和障碍物，以及路径的长度、曲率等因素。
在进行数学建模之前，我们需要定义一些基本概念和符号：
- 三维空间中的点可以使用三维坐标表示，例如 (x, y, z)。
- 障碍物也可以使用几何体表示，如球体、立方体等。
- 路径可以看作是一系列连接在一起的点的集合，我们可以用点的坐标来表示路径。
数学建模的过程包括下面几个步骤：
1. 定义目标：
- 确定起点和终点的位置。
- 确定路径长度、曲率等目标函数。
2. 建立数学模型：
- 将三维空间划分为离散的网格。
- 根据障碍物的位置，在网格中标记障碍物的位置。
- 使用图论算法，如A*算法、Dijkstra算法等，在离散网格中搜索最优路径。
- 可以通过调整网格分辨率和障碍物的大小来平衡计算复杂度和路径的精确性。
3. 求解最优路径：
- 根据建立的数学模型，在离散网格中搜索最优路径。
- 可以通过动态规划、贪心算法等方法求解。
- 通过计算路径长度、曲率等目标函数，评价路径的优劣。
- 可以通过调整模型参数和算法来优化路径的求解过程。
4. 优化路径：
- 根据求解得到的最优路径，对路径进行优化。
- 可以使用插值算法，如Bezier曲线、样条插值等，使路径更加平滑。
- 可以根据实际应用需求，进一步优化路径的特性，如避免突然变化的曲率、尽量避开障碍物等。
以上是三维路径规划数学建模的基本过程，具体建模方法和算法选用可以根据实际问题和需求进行调整和优化。
3建立数学模型方法和步骤
3建立数学模型方法和步骤建立数学模型是将实际问题转化为数学问题，以便进行定量分析和求解的过程。
建立数学模型能够帮助我们更好地理解问题背后的本质，为决策和预测提供依据。
下面将介绍建立数学模型的方法和步骤。
方法一：方程法方程法是一种常用的建立数学模型的方法，其基本步骤包括以下四个方面：1.确定问题的基本要素，包括变量、参数和指标。
变量是问题中可变的量，可以进行测量和观察，而参数是固定的量，通常是由以前的实验或者经验确定的。
指标是评价问题结果的标准。
2.建立数学方程或者不等式，用变量、参数和指标之间的关系来描述问题。
这些方程或者不等式可以是线性的，也可以是非线性的。
可以根据问题背景和要求，选择适当的数学模型，常见的数学模型包括数学规划模型、统计模型、差分方程模型等。
3.对建立的数学方程或者不等式进行求解，得到问题的解。
求解方法可以是数值求解，也可以是符号求解，具体方法取决于问题的特点和求解的难度。
4.对问题的解进行分析和解释，对模型的有效性进行验证。
通过对问题解的分析和解释，可以得出有关问题的结论，并对建立的模型的准确性和可靠性进行评估。
方法二：概率论和统计学方法概率论和统计学是建立数学模型的重要工具，其基本步骤如下：1.通过对问题的分析和理解，确定问题的基本要素，包括变量、参数和指标。
与方程法相似，变量是问题中可变的量，参数是固定的量，指标是评价问题结果的标准。
2.基于问题的特点和要求，选择适当的概率分布，建立数学模型。
常见的概率分布包括正态分布、泊松分布、指数分布等。
3.通过对问题相关数据的收集和分析，估计模型中的参数。
可以使用最大似然估计、矩估计等方法。
4.利用统计推断的方法对问题进行分析和预测。
可以通过置信区间、假设检验等方法对问题进行定量分析。
5.对模型的有效性和可靠性进行评估。
通过对实际数据和推断结果的比较，可以评估模型的准确性和可信度。
方法三：系统动力学模型系统动力学模型是一种常用的建立动态系统模型的方法，其基本步骤如下：1.确定问题的系统边界。
第一节 目标规划的数学模型
kl , kl 为分别赋予第l个目 式中：Pk为第k级优先因子，k=1,…,K； 标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标的预期目标值， l=1,…L。
建立目标规划数学模型的步骤
（1）按照实际问题所提出的各个目标与条件，列出目标的 优先级。 （2）写出绝对约束和目标约束 （3）给各个目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级中 各偏差变量，按不同的重要程度赋予不同的权系数。 （4）对要求恰好达到目标值的目标，则取正负偏差变量之 和，即 min(d d ) ；对要求超过目标值的，只取负偏差变量， min d 即 ；对要求不超过目标值的，只取正偏差变量， 即 min d ，构造一个极小化的关于偏差变量的目标函数。
又包含偏差变量；
6. 目标规划模型中的优先级 pi 较之 pi 1的重
要性一般为数倍至数十倍之间； 7. 目标规划模型中的目标函数按照问题的性 质要求可表示为求min或max； 8. 下列表达式能否表达目标规划模型中的 目标函数：
(1)max z p1d1 p2 d 2 (2)min z p1d1 p2 d 2 (3)min z p1d1 p2 ( d 2 d 2 )
6.1.2关于目标规划的几个概念
1.偏差变量
用d＋表示超过目标值的差值，称为正偏差变量；
d－表示未达到目标值的差值，称为负偏差变量．
第一目标:尽量完成本周期的利润指标24000元 如果实际利润是23500元,则 d 0, d 500 如果实际利润是24080元,则 d 80, d 0
min d1 300 x1 120 x2 d1 d1 24000 x d d 60 , x d d 100 min( d d 2 2 3 3 1 2 3 ) 2 20 x 10 x d d 1400 4 min d 1 2 4 4
建立数学模型的方法步骤特点及分类
建立数学模型的方法步骤特点及分类方法：1.归纳法：通过观察和分析问题的特点，总结规律，建立数学模型。
这种方法适用于一些具有规律性的问题。
2.拟合法：通过收集和分析实际数据，找到数据之间的关系，并用数学函数来拟合数据，建立数学模型。
这种方法常用于实际问题中的数据分析和预测。
3.分析法：通过对问题进行分析，找出问题的关键因素和数学关系，建立数学模型。
这种方法适用于复杂和抽象的问题。
步骤：1.确定问题：明确问题的背景、条件和目标。
2.收集数据：收集相关的实际数据，了解问题的现状。
3.建立假设：对问题进行分析，提出一些可能的假设。
4.建立模型：根据问题的性质和假设，选择合适的数学方法和函数，建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。
5.求解模型：通过数学计算和推理，解决建立的数学模型，得出结论。
6.模型验证：将模型的结果与实际情况进行比较和分析，检验模型的准确性和可靠性。
7.结果解释：将模型的结果解释给决策者或用户，提供对问题的认识和决策依据。
特点：1.抽象性：数学模型对实际问题进行了抽象和简化，从而能够更好地描述和解决问题。
2.精确性：数学模型具有精确的语言和推理，能够给出准确的数值结果。
3.可行性：数学模型能够通过计算和推理得出结果，帮助解决实际问题。
4.替代性：数学模型可以替代实验或观测，节省时间和成本。
分类：1.数量模型：用数学表达式和符号来描述问题的数量关系，包括线性模型、非线性模型、离散模型、连续模型等。
2.质量模型：用数学方法描述问题的质量关系，包括概率模型、统计模型、优化模型等。
3.动态模型：描述问题随时间变化的规律和趋势，包括微分方程模型、差分方程模型、随机过程模型等。
4.静态模型：描述问题的状态和平衡点，包括线性规划模型、非线性规划模型、输入输出模型等。
总之，建立数学模型是解决实际问题的重要方法之一、根据问题的性质和要求，选择合适的建模方法和模型类型，通过建立、求解和验证数学模型，可以得出有关问题的结论和解决方案。
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
建立动态规划数学模型的步骤
建立动态规划数学模型的步骤动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，它将问题分为若干阶段，每个阶段采取一个最优决策，通过递推的方式得到问题的最优解。
建立动态规划数学模型的步骤主要包括以下几个方面。
第一步，明确问题：首先要明确要解决的问题是什么，分析问题的特点和要求，明确决策的目标和约束条件。
例如，我们可以考虑求解一个最优化问题，使一些目标函数取得最大（或最小）值。
第二步，定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
状态是问题的一个关键特征，它描述了问题在每个阶段的情况，通常用一个或多个变量表示。
状态可以是离散的，也可以是连续的。
例如，假设我们要解决一个装箱问题，可以将状态定义为装箱剩余空间的大小。
第三步，确定决策变量：决策变量是问题中可以通过决策调整的变量，其取值将影响问题的解。
决策变量通常与状态有关，帮助我们在每个阶段做出最优决策。
继续以装箱问题为例，决策变量可以是选择放入的物品或物品的数量。
第四步，建立状态转移方程：通过分析问题的特点和约束条件，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了问题中不同状态之间的关系，即通过做出一些决策后，当前状态如何转移到下一个状态。
状态转移方程通常由决策变量和前一阶段的状态变量表示。
在装箱问题中，状态转移方程可以描述为剩余空间等于前一阶段的剩余空间减去当前决策变量所占空间。
第五步，确定边界条件：边界条件是求解动态规划问题的关键，它们表示问题的起始状态和结束状态。
通常，起始状态是已知的，而结束状态需要根据问题的要求进行分析确定。
例如，装箱问题的起始状态可以是剩余空间等于货柜的总容量，结束状态可以是没有物品剩余可以放入货柜。
第六步，确定目标函数：目标函数是求解最优化问题时需要优化的目标。
在动态规划中，目标函数通常与状态有关，它表示在每个阶段的状态下所要最大（或最小）化的目标量。
例如，在装箱问题中，目标函数可以是放入货柜的物品总价值。
第七步，建立递推关系：根据状态转移方程和边界条件，可以利用递推的方法从起始状态逐步计算到结束状态。
第三章数学规划模型
第三章数学规划模型第三章数学规划模型数学规划论起始20世纪30年代末，50年代与60年代发展成为⼀个完整的分⽀并受到数学界和社会各界的重视。
七⼋⼗年代是数学规划飞速发展时期，⽆论是从理论上还是算法⽅⾯都得到了进⼀步完善。
时⾄今⽇数学规划仍然是运筹学领域中热点研究问题。
从国内外的数学建模竞赛的试题中看，有近1/4的问题可⽤数学规划进⾏求解。
数学规划模型的⼀般表达式：),,(..),,(min(max)≤βαβαx g t s x ff 为⽬标函数，g 为约束函数，x 为可控变量，α为已知参数，β为随机参数。
本章主要介绍线性规划、整数规划、⾮线性规划的基本概念与基本原理、⽆约束问题的最优化⽅法、约束问题的最优化⽅法、动态规划。
3.1线性规划线性规划模型是运筹学的重要分⽀，是20世纪三四⼗年代初兴起的⼀门学科。
1947年美国数学家丹齐格G.B.Dantzig 及其同事提出的求解线性规划的单纯形法及有关理论具有划时代的意义。
他们的⼯作为线性规划这⼀学科的建⽴奠定了理论基础。
随着1979年前苏联数学家哈奇扬的椭球算法和1984年美籍印度数学家卡玛卡尔H.Karmarkar 算法的相继问世，线性规划的理论更加完备成熟，实⽤领域更加宽⼴。
线性规划研究的实际问题多种多样，如⽣产计划问题、物资运输问题、合理下料问题、库存问题、劳动⼒问题、最优设计问题等。
就模型⽽⾔，线形规划模型类似于⾼等数学中的条件极值问题，只是其⽬标函数和约束条件都限定为线性函数。
线性规划模型的求解⽅法⽬前仍以单纯形法为主要⽅法。
本节介绍的主要内容有：线性规划模型的建⽴以及求解，线性规划的matlab 解法，线性规划问题的建模实例。
3.1.1 线性规划模型的建⽴以及求解⼀、线性规划模型的建⽴例1、某机床⼚⽣产甲、⼄两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
⽣产甲机床需⽤B A 、机器加⼯，加⼯时间分别为每台2⼩时和1⼩时；⽣产⼄机床需⽤C B A 、、三种机器加⼯，加⼯时间为每台各⼀⼩时。
优化设计数学模型的建立
优化设计数学模型的建立是一个复杂的过程，需要综合考虑问题的各个要素，将实际的问题抽象化，并转化为数学语言。
以下是一个基本的步骤和要点：
1. 明确问题：首先，需要明确优化设计的目标。
这可能涉及到最小化成本、最大化效益、优化性能等。
同时，也要明确约束条件，例如资源限制、时间限制、技术限制等。
2. 建立数学模型：将问题抽象化，用数学符号和公式来表示问题。
这通常涉及到变量（决策变量）、函数（目标函数）和约束条件。
例如，在最小化成本的问题中，可以将成本作为目标函数，各种影响成本的因素作为决策变量，而技术、资源等限制作为约束条件。
3. 选择合适的数学工具：根据问题的性质，选择合适的数学方法和算法。
例如，线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
这些方法和算法可以帮助解决各种复杂的优化问题。
4. 参数化和数据收集：根据建立的模型，需要收集相关的数据和参数。
这些数据和参数应该能够支持模型的建立和验证。
5. 模型验证：在模型建立后，需要进行验证以确保其准确性和有效性。
这可以通过对比历史数据、进行模拟实验或与其他模型进行比较来完成。
6. 模型实施与优化：一旦模型通过验证，就可以开始实施优化方案。
在实施过程中，可能需要对模型进行持续的优化和调整，以适应不断变化的情况和新的数据。
通过以上步骤，可以建立一个有效的优化设计数学模型，为决策提供科学依据，提高设计的效率和效果。
数学建模——规划模型
假设：料 场和工地 之间有直 线道路
1)现有 2 料场，位于 A (5, 1), B (2, 7),记为 (xj,yj),j=1,2, 日储量 ej 各有 20 吨。
i 1 i
n
i
a ik x k bi , i 1, 2 ,..., n. s.t . k 1 x 0 , i 1, 2 ,..., n. i
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
1 n min u f ( x ) ci xi bij xi x j 2 i , j 1 i 1 n a ij x j bi , i 1, 2,..., n. s.t . j 1 x 0 .i 1, 2,..., n. i
改写为： S.t.
min z 13 9 10 11 12 8X
0 0 800 0.4 1.1 1 0 X 0 0 0 0 . 5 1 . 2 1 . 3 900
x1 x2 x 3 ，X 0 x4 x 5 x 6
编写M文件xxgh4.m如下： c = [40 36]; A=[-5 -3]; b=[-45]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(2,1); vub=[9;15]; %调用linprog函数： [x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
（一）规划模型的数学描述
u f ( x)
数学建模作业5数学规划模型----供应与选址的问题
三、模型假设
1、假设料场和建筑工地之间都可以由直线到达；
2、运输费用由“吨千米数”来衡量；
3、两料场的日存储量够向各建筑工地供应；
f1=0;
fori=1:6
s(i)=sqrt((x(13)-a(i))^2+(x(14)-b(i))^2);
f1=s(i)*x(i)+f1;
end
f2=0;
fori=7:12
s(i)=sqrt((x(15)-a(i-6))^2+(x(16)-b(i-6))^2);
f2=s(i)*x(i)+f2;
end
一、问题提出
某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系(a，b)表示，距离单位：km）及水泥日用量d（吨）由下表给出。目前有两个料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。
（1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少水泥，可使运输费用（总的吨千米数）最小，并求出吨千米数。
d=[3 5 4 7 6 11];
x=[5 2];
y=[1 7];
e=[20 20];
fori=1:6
forj=1:2
aa(i,j)=sqrt((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2);
end
end
CC=[aa(:,1); aa(:,2)]'
A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
(注：先画图，在坐标上标出各工地位置（用蓝色*标示）和料场位置（用红色o标示）)
数学模型之数学规划模型
多目标规划模型的应用案例
资源分配问题
投资组合优化
在有限的资源条件下，如何分配资源 以达到多个目标的优化，如成本、质 量、时间等。
在风险和收益的权衡下，如何选择投 资组合以达到多个目标的优化，如回 报率、风险分散等。
生产计划问题
在满足市场需求和生产能力限制的条件 下，如何制定生产计划以达到多个目标 的优化，如利润、成本、交货期等。
整数规划模型的应用案例
总结词
整数规划模型在生产计划、资源分配、物流优化等领域有广泛应用。
详细描述
在生产计划领域，整数规划模型可以用于安排生产计划、优化资源配置和提高生产效率。在资源分配 领域，整数规划模型可以用于解决资源分配问题，例如人员分配、物资调度等。在物流优化领域，整 数规划模型可以用于车辆路径规划、货物配载等问题，提高物流效率和降低运输成本。
数学规划模型可以分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态 规划等类型，根据问题的特性选择合适的数学规划模型进行建模 。
数学规划模型的应用领域
01
02
03
04
生产计划
数学规划模型可以用于制定生 产计划，优化资源配置，提高 生产效率。
物流运输
通过建立数学规划模型，可以 优化物流运输路线和运输方式 ，降低运输成本。
80%
金融投资组合优化
通过建立线性规划模型，可以优 化投资组合，实现风险和收益的 平衡。
03
非线性规划模型
非线性规划模型的定义
非线性规划模型是一种数学优化模型 ，用于解决目标函数和约束条件均为 非线性函数的问题。
它通过寻找一组变量的最优解，使得 目标函数达到最小或最大值，同时满 足一系列约束条件。
• 整数规划与混合整数规划的拓展：整数规划模型解决了离散变量的优化问题，混合整数规划则进一步扩展了整数规划的适 用范围。
内容提要如何建立一个简单的线性规划模型线性规划模
2.2 线性规划的图解法
画出直线2x212，定出2x2≤12的平面。 由于原点满足不等式2x2＜12，所以2x2≤12 为含直线2x212在内的下半平面。画出直线 x18，定出x1≤8的半平面，由于原点满足该 不等式，所以x1≤8表示含原点在内的左半平 面及直线x18本身。本模型的可行域图形如 图2.1阴影部分所示，即标识为R的部分。
17百袋，B工地需要用水泥1800袋，C工地需要水 泥1500袋。为此，甲、乙两个水泥厂每天生产 2300袋水泥和2700袋水泥专门供应三个工地。两 个水泥厂至工地的单位运价如表2.2所示。
问：如何组织调运使总运费最省。
2.1 线性规划及其数学模型
表2.2
水泥厂至工地运价
千元/百袋
工地
A
B
C
水泥厂
由题意容易得到如下数学模型：
minz=x11 +1.5x12 +2x13 +2x21 +4x22 +2x23
x11 x12 x13 23
x
21
x22
x23
27
s.t.
x11 x12
x21 x22
17 18
x13
x23
15
xij
其中，min是英文minimize（最小化）的缩写。
（2-1） （2-2）
2.1.2 线性规划的一般模型
建立一个实用的线性规划模型必须明确以 下四个组成部分的含义：
第一，决策变量。决策变量是模型中的可控而未知的 因素，经常使用带不同下标的英文字母表示不同的变 量，如式（2-2）中的xj。 第二，目标函数。线性规划模型的目标是求系统目标 的极值，可以是求极大值，如企业的利润和效率等， 也可以是求极小值，如成本和费用等。式（2-1）即为 最优化目标函数，简称目标函数。式中opt即optimize （最优化）的缩写，根据问题要求不同，可以表示为 max（最大化）或min（最小化）。
数学建模中的模型建立与求解
数学建模中的模型建立与求解数学建模是一种通过数学模型描述和解决实际问题的方法，它在各个领域具有重要应用。
在数学建模过程中，模型的建立和求解是关键步骤，决定了最终的分析和预测结果。
本文将探讨数学建模中的模型建立与求解的方法和技巧。
一、模型建立模型建立是数学建模的基础，它要求根据实际问题的特点和背景进行合理的抽象和假设，将复杂的实际问题转化为易于处理的数学形式。
模型的建立需要遵循以下原则：1. 简化与拟合：模型应该尽可能简化实际问题，将其关键特点和变量进行提取和抽象。
同时，模型也需要与实际数据进行拟合，以确保模型的准确性和可靠性。
2. 合理性与可验证性：模型的建立应该基于科学的理论和推理，避免主观臆断和不合理的假设。
模型也需要通过实际数据和实验进行验证，确保其能够准确地描述和预测实际问题。
3. 可操作性与实用性：模型的建立需要考虑其可操作性和实用性，以便能够得到实际问题的解决方案。
模型应该能够提供可行的策略和可靠的结果，帮助决策者做出正确的决策。
二、模型求解模型求解是数学建模的核心，它要求通过数学的方法和工具对模型进行求解，并得到实际问题的答案和解决方案。
在模型求解的过程中，可以采用多种方法和技巧，包括数值方法、优化方法和统计方法等。
1. 数值方法：数值方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数值计算和近似算法来求解复杂的数学模型。
数值方法的优点是求解速度快，适用范围广，但精度相对较低。
常用的数值方法包括数值积分、数值逼近和数值解微分方程等。
2. 优化方法：优化方法是模型求解中常用的方法之一，它通过优化算法和数学规划来求解最优化问题。
优化方法的优点是能够得到全局最优解或近似最优解，但求解复杂度较高。
常用的优化方法包括线性规划、非线性规划和整数规划等。
3. 统计方法：统计方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数据分析和概率统计来求解和预测实际问题。
统计方法的优点是能够考虑不确定性和随机性因素，但需要依赖大量的实际数据。
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wij 0,i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
容量限制 非负限制
第二个问题不便用微分法求解，可用数学规 划方法求解。
学习这一部分需注意的地方： 1. 对给定的实际问题，如何作合理的假设，并建立
模型。如何处理分段函数、矛盾约束等问题。 2. 怎样将一类模型化为另一类模型，易于求解。 3. 同一问题可建立不同模型
i 1
重要结论：
当供应量 ai 与需求量 bj 均为整数时， 模型的最优解 X 是整数解。
例2 自来水输送问题
某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A、B、 C由三个水库供应。四个区每天必须的基本生活用水 分别为30、70、10、10千吨，但三个水库每天最多只 能分别供应50、60、50千吨自来水。由于地理位置的 差别，自来水公司从各水库向各区送水所付出的引水 管理费不同（如表，其中C水库与丁区间无输水管 道），其它管理费均为450元/千吨。各区用户每千吨 收费900元。此外，各区用户都向公司申请了额外用 水量，分别为每天50、70、20、40千吨。问公司应如 何分配供水量，才能获利最多？
例1 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形横梁。已知 横梁强度 z 与宽度 x 成正比，与高度 y 的平 方成正比。求宽、高各为多少时强度最大？
该问题的数学模型为： z kxy2 (k 0) x2 y2 d 2, x 0, y 0
用微分法容易求出其解。
数学规划模型格式： max z kxy2 (k 0) s.t. x2 y2 d 2 , x 0, y 0
S
约束条件 问题可行
问题不可行
X
最优解
z
最优目标值
特别： min z c1 x1 c2 x2 cn xn (或 max) s.t. a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 （或 ， b1） a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 （或 ， b2）
例2 施工点 j 的坐标为 (a j ,bj ), j 1,2, ,n 对某材料的需求量为 qj , j 1,2, ,n 第 i个料场的容量为 Mi 吨, i 1,2, , m. 求料场的位置及各料场向各施工点的供应量，使
材料运输的总吨公里最小。
解 设各料场到各施工点的距离为直线距离，且各施工
ai 160
i
50
生活用水
额外用水
30 50
70b
70
j
10 20
10 40
bj 300
j
问题分析：…可看成是“产小于销”的运输问题。
模型建立
பைடு நூலகம்
设 xij 分别表示水库A,B,C(i=1,2,3)向居民因区16甲0千,乙吨, 水须
丙,丁(j=1,2,3,4)的供水量。其中X34=0. 全部输出
等约束
X O
注： 1. 与
2. 与
min z CX M
s.t. AX b
X O
M是常数
min z CX s.t. AX b
X O
有相同的最优解
min z CX s.t. AX b
X O
max z0 CX 有相同的最优解
s.t. AX b X O
另外： 1. x j 取整数，称模型为整数规划模型
点可在不同料场取料。
设 ( xi , yi ) 为第 i 个料场坐标
wij
为料场 mn
i
向施工点
j
提供的材料数量
则
min z
wij ( xi a j )2 ( yi bj )2 总吨公里数
m i1 j1
s.t. wij q j , j 1,2, , n
需求限制
i n1
wij Mi ,i 1,2, ,m
Bn
产量
A1
c11 c12 c1n
a1
A2
c21 c22 c2n
a2
Am
cm1 cm2 cmn
am
需求量 b1 b2 bn
求使总运费最少的调运方案。试建模。
42
解
m
m
假设 ai bj 产销平衡
i 1
j 1
设 xij 为产地 Ai 到销地 Bj 的运量。 mn
则
min z
cij xij
2. x j中部分取整数，称模型为混合整数规划模型 3. x j只取0或1两个值，称为 0 — 1 规划模型 4. 目标函数或约束条件是非线性的，
称为非线性规划模型 5. 若目标函数只有一个，称为单目标规划模型；
若目标函数不只一个，称为多目标规划模型。
一、运输问题
例1
运 价 销地 产地
B1 B2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm（或 ， bm）
x j 0, j 1,2, ,n
n
线性规划模型
或
min z c j x j
n j1
s.t. aij x j (,)bi ,i 1,2, ,m
j 1
x j 0, j 1,2, ,n
或
min z CX
s.t. AX b
i1 j1
线
n
s.t. xij ai , i 1,2, ,m
性 规
mj 1
划
xij bj , j 1,2, , n
模
i 1
型
xij 0, i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
n
注：若产大于销，则
xij ai , i 1,2, ,m
j 1
m
若产小于销，则
xij bj , j 1,2, ,n
引水管理费(元/千吨)
A B C
甲乙丙 丁
160 130 220 170 140 130 190 150 190 200 230 /
解
将有关数据整理列表：
输
水
成
居民区
本
甲
乙
丙
丁
供应量
水库
A 160 130 220 170
B 140 130 c1ij90 150
C 190 200 230 /
50
60 ai
II 数学规划模型的建立
数学规划模型的一般形式：
min z f ( X ) (或 max X S ( Rn) X ( x1, x2 , , xn )T
z f ( X )）
若能写出描述S的数学式子，则可直接写出。
例如： max z kxy2 (k 0)
s.t. x2 y2 d 2 ,
x 0, y 0
这里 S {(x, y) | x2 y2 d 2, x, y 0}
X ( x, y)T
几个概念：
目标函数
min z f ( X ) (或 max z f ( X )）
可行解
X S ( Rn) X ( x1, x2 , , xn )T
可行域 决策变量
描述S 的数学式子