2017年考研数学三真题与解析

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2017年数三考研真题_附答案解析

2017年数三考研真题_附答案解析

2017年数三考研真题_附答案解析2017年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学三试题及参考答案⼀、选择题:1~8⼩题,每⼩题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.若函数1,0(),0x f x axb x ?->?=??≤?在0x =处连续,则()(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =2.⼆元函数(3)z xy x y =--的极值点()(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)3.设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>则()(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()11f f >-(D)()()11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞=??--∑收敛,则k =()(A)1(B)2(C)-1(D)-25.设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则()(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆(D)2T E αα-不可逆6.已知矩阵200021001A=??210020001B =??100020002C ??=,则()(A)A 与C 相似,B 与C 相似(B)A 与C 相似,B 与C 不相似(C)A 与C 不相似,B 与C 相似(D)A 与C 不相似,B 与C 不相似7.设A B 、、C 为三个随机事件,且A 与C 相互独⽴,与C 相互独⽴,则A B ?与C 相互独⽴的充要条件是()(A)A 与B 相互独⽴(B)A 与B 互不相容(C)AB 与C 相互独⽴(D)AB 与C 互不相容8.设12,......(2)n X X X n ≥来⾃总体(,1)N µ的简单随机样本,记11nii X X n ==∑则下列结论中不正确的是()(A)21()ni i X µ=-∑服从2χ分布(B)212()n X X -服从2χ分布(C)21()n ii XX =-∑服从2χ分布(D)2()n X µ-服从2χ分布⼆、填空题:9~14⼩题,每⼩题4分,共24分。

历年考研数学三真题及答案解析

历年考研数学三真题及答案解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线221x xyx+=-渐近线的条数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…(-),其中n为正整数,则(0)f'=()(A)1(1)(1)!n n---(B)(1)(1)!n n--(C)1(1)!n n--(D)(1)!n n-(3)设函数()f t连续,则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=()(A)222() dx x y dy+⎰(B)222() dx f x y dy+⎰(C)2221() dx x y dy+⎰⎰(D)2221() dx x y dy+⎰⎰(4)已知级数11(1)inα∞=-∑绝对收敛,21(1)ninα∞-=-∑条件收敛,则α范围为()(A)0<α12≤(B)12< α≤1(C)1<α≤32(D)32<α<2(5)设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ,,,为任意常数,则下列向量组线性相关的是() (A )123ααα,, (B )124ααα,,(C )134ααα,,(D )234ααα,,(6)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 123=P ααα(,,),1223=Q αααα(+,,)则1=Q AQ -()(A )121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B )112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C )212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D )221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (7)设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则+P X Y ≤22{1}( )(A )14(B )12(C )8π(D )4π(8)设1234X X X X ,,,为来自总体N σσ>2(1,)(0)的简单随机样本,则统计量1234|+-2|X X X X -的分布()(A )N (0,1)(B )(1)t(C )2(1)χ (D )(1,1)F二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→(10)设函数ln 1(),(()),21,1x dy x f x y f f x dx x x =⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.(11)函数(,)z f x y =满足010,x y →→=则(0,1)dz =_______.(12)由曲线4y x =和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为_______.(13)设A 为3阶矩阵,|A|=3,A*为A 的伴随矩阵,若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ,则|BA*|=________.(14)设A,B,C 是随机事件,A,C 互不相容,11(),(),23P AB P C ==则C P AB ()=_________.解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)计算222cos 40lim x xx e e x -→-(16)(本题满分10分)计算二重积分xD e xydxdy⎰⎰,其中D为由曲线y y ==所围区域.(17)(本题满分10分)某企业为生产甲、乙两种型号的产品,投入的固定成本为10000(万元),设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件),且固定两种产品的边际成本分别为20+2x(万元/件)与6+y (万元/件).1)求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y (万元)2)当总产量为50件时,甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小?求最小的成本. 3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释其经济意义.(18)(本题满分10分)证明:21ln cos1,1 1.12x xx x xx++≥+-<< -(19)(本题满分10分)已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x"'+-=及()()2x f x f x e '+=1)求表达式() f x2)求曲线的拐点22()()xy f x f t dt =-⎰(20)(本题满分10分)设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(I)求|A|(II)已知线性方程组Ax b=有无穷多解,求a,并求Ax b=的通解.(21)(本题满分10分)已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦,二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2,求实数a的值;求正交变换x=Qy将f化为标准型.(22)(本题满分10分)已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示:求(1)P(X=2Y); (2)cov(,)XY X Y Y -ρ与.(23)(本题满分10分) 设随机变量X和Y相互独立,且均服从参数为1的指数分布,min(,),=max(,).V X Y U X Y =求(1)随机变量V 的概率密度; (2)()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。

考研数学三-101_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三-101_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三-101(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。

1.已知且,f(0)=0,则等于( )SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[详解] 记为常数,于是有Af'(x)=8,即两边积分得f(x)=由f(0)=0,得C=0,从而于是故应选(D)。

2.已知函数f(x,y)=|x-y|g(x,y),其中g(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,则f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在的充分条件是( )SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[分析] 因为f(x,y)含有绝对值且已知只给出g(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,所以,利用偏导数定义讨论偏导数的存在性。

[详解] 因为所以f'x (0,0)与f'y(0,0)存在的充要条件是极限存在且都等于零。

因此,当g(x,y)在点(0,0)处连续,且g(0,0)=0时,有即故应选(D)。

[评注] 本题考查二元函数偏导数、极限、连续的概念。

反之则不然,所以,(D)是充分条件而不是必要条件。

3.设X1,X2,X3,X4为来自总体X~N(1,1)的简单随机样本,且服从χ2(n)分布,则常数k和χ2分布的自由度n分别为( )SSS_SIMPLE_SIN该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[详解] 因从而故即选(C)。

4.累次积分f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ可写成( )SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[分析] 先将积分区域D用极坐标表示,再转化为用直角坐标表示,然后可表示成直角坐标下的二次积分形式。

[详解] 其图形如图6,由图形即可看出可知应选(D)。

[评注] 一般都是由直角坐标化为极坐标,反过来,由极坐标转换为直角坐标也应熟悉。

5.设随机变量X与Y相互独立,且X服从区间(0,2)上的均匀分布,Y服从参数为1的指数分布,则概率P(X+Y>1)的值为( )SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[详解] X与Y的联合密度为f(x,y)=fX (x)fY(y)6.设A为m×n矩阵,B为n×p矩阵,则矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是( )SSS_SIMPLE_SIN该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[详解] 设A=[α1,α2,…,αn],X=[x1,x2,…,xp],B=[β1,β2,…,β3],则矩阵方程AX=B有解Axj=βj有解(j=1,2,…,p)。

历年考研数学三真题及答案解析

历年考研数学三真题及答案解析

二、填空题: 9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上 .
1
lim (tan x ) cos x sin x
x
(9) 4
ln x , x 1
f (x)
,y
( 10 )设函数
2 x 1, x 1
dy f ( f ( x)), 求
dx x0
___________.
(11)函数 z
n
绝对收敛,
n
( 1)
2
n
条件收敛,则
1
1
(A) 0<
2
(B) 2 <
1
范围为( )
3
(C) 1<
2
3 (D) 2 < <2
0
0
1
1
1
0,2
1,3
(5 )设
c1
c2
任意常数,则下列向量组线性相关的是(

1, 4 c3
1 c 4 其中 c1, c2, c3, c4 为
(A) 1, 2, 3
(B) 1, 2, 4
设该企业生产甲、 乙两种产品的产量分别为 元/ 件)与 6+y(万元 / 件) .
x( 件 ) 和 y( 件) ,且固定两种产品的边际成本分别为
x 20+ 2 (万
1)求生产甲乙两种产品的总成本函数 C ( x , y ) (万元)
2)当总产量为 50 件时,甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小?求最小的成本
|BA*|=________.
P ( AB )
( 14 ) 设 A,B,C 是 随 机 事 件 , A,C 互 不 相 容 ,
1 , P(C )

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.(1990年)设函数f(x)=xtanxesinx,则f(x)是( )A.偶函数.B.无界函数.C.周期函数.D.单调函数.正确答案:B解析:由于则f(x)无界.2.(2011年)已知当x→0时,函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小,则( )A.k=1,c=4.B.k=1,c=一4.C.k=3,c=4.D.k=3,c=一4.正确答案:C解析:则k=3,c=43.(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导,则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是( )A.f(a)=0且f’(a)=0B.f(a)=0且f’(a)≠0C.f(a)>0且f’(a)>0D.f(a)<0且f’(a)<0正确答案:B解析:排除法.A选项显然不正确,f(x)=(x一a)2就是一个反例.事实上C 和D也是不正确的.因为f(x)在a点可导,则f(x)在a点连续,若f(a)>0(或f(a)<0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)>0(或f(x)<0),因此在a点的此邻域内|f(x)|=f(x)(或|f(x)|=一f(x)).从而可知|f(x)|与f(x)在a点可导性相同,而f(x)在点可导,从而C和D都不正确,因此,应选B.4.(2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p,其中Q,p分别表示需求量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是( ) A.10C.30.D.40.正确答案:D解析:由题设可知,该商品的需求弹性为由知p=40.故应选D.5.(1987年)下列广义积分收敛的是( )A.B.C.D.正确答案:C解析:由于收敛,所以.应选C.6.(2018年)设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且∫01 f(x)dx=0,则( ) A.B.C.D.正确答案:D解析:由泰勒公式得上式两端积分得7.(2006年)设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数,且φ’(x,y)≠0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是( ) A.若fx’(x0,y0)=0,则fy’(x0,y0)=0.B.若fx’(x0,y0)=0,则fy’(x0,y0)≠0.C.若fx’(x0,y0)≠0,则fy’(x0,y0)=0.D.若fx’(x0,y0)≠0,则fy’(x0,y0)≠0.正确答案:D解析:由拉格朗日乘数法知,若(x0,y0)是f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点,则必有若fx’(x0,y0)≠0,由①式知λ≠0,由原题设知φy’ (x0,y0)≠0,由②式可知fy’ (x0,y0)≠0,故应选8.(2016年)级数(k为常数)( )A.绝对收敛.B.条件收敛.C.发散.D.收敛性与k有关.正确答案:A解析:由于收敛,则原级数绝对收敛.填空题9.(2007年) =______.正确答案:应填0.解析:由于sinx+cosx为有界变量,则10.(1990年)设f(x)有连续的导数,f(0)=0且f’(0)=b,若函数在x=0处连续,则常数A=______.正确答案:应填a+b.解析:由于F(x)在x=0连续,则11.(2003年)已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切,则b2可以通过a表示为b2=______.正确答案:应填4a6.解析:设曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切,则3x02—3a2=0 且x03—3a2x0+b=0即x02=a2 且x0(x02—3a2)=一b从而可得b2=4a612.(2018年)设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0),且f(0)=2,则f(1)=______.正确答案:应填2e.解析:由f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)知上式中令△x→0得f’(x)=2xf(x)解方程得f(x)=Cex2又f(0)=2,则C=2,f(x)=2ex2,f(1)=2e.13.(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫0x+ye-t2dt=∫0xxsint2dt确定,则=______.正确答案:应填一1.解析:由∫0x+ye-t2dt=x∫0xsintdt知,x=0时y=0,且e-(x+y)2(1+y’)=∫0xsintdt+xsinx将x=0和y=0代入上式得1+y’(0)=0y’(0)=-114.(2000年)设其中f,g均可微,则=______.正确答案:应填解析:15.(2014年)二次积分=______.正确答案:应填解析:积分中的第二项适合先对x后对y积分,但第一项适合先对y后对x 积分.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研真题【2003-2017考研数(三)真题及详解】2003考研数学三真题及答案解析

考研真题【2003-2017考研数(三)真题及详解】2003考研数学三真题及答案解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续,则的取值范围是_____. (2)已知曲线与x 轴相切,则可以通过a 表示为________. (3)设a>0,而D 表示全平面,则=_______.(4)设n 维向量;E 为n 阶单位矩阵,矩阵 , , 其中A 的逆矩阵为B ,则a=______.(5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若,则Y 与Z 的相关系数为________.(6)设总体X 服从参数为2的指数分布,为来自总体X 的简单随机样本,则当时,依概率收敛于______.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且存在,则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] (2)设可微函数f(x,y)在点取得极小值,则下列结论正确的是(A) 在处的导数等于零. (B )在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ ]λb x a x y +-=2332b =2b ,x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(0,),0,,0,(<=a a a T αT E A αα-=T aE B αα1+=4.0-=X Z n X X X ,,,21 ∞→n ∑==ni i n X n Y 121)0(f 'xx f x g )()(=),(00y x ),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =(3)设,,,则下列命题正确的是(A) 若条件收敛,则与都收敛.(B) 若绝对收敛,则与都收敛.(C) 若条件收敛,则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛,则与敛散性都不定. [ ](4)设三阶矩阵,若A 的伴随矩阵的秩为1,则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b 0.(C) a b 且a+2b=0. (D) a b 且a+2b 0. [ ] (5)设均为n 维向量,下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数,都有,则线性无关.(B) 若线性相关,则对于任意一组不全为零的数,都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] (6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:={掷第一次出现正面},={掷第二次出现正面},={正、反面各出现一次},={正面出现两次},则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立.(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ] 三、(本题满分8分)2nn n a a p +=2nn n a a q -=,2,1=n ∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ≠≠≠≠s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 1A 2A 3A 4A 321,,A A A 432,,A A A 321,,A A A 432,,A A A设试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.四 、(本题满分8分)设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足,又,求 五、(本题满分8分) 计算二重积分其中积分区域D=六、(本题满分9分)求幂级数的和函数f(x)及其极值.七、(本题满分9分)设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件: ,,且f(0)=0,(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程; (2) 求出F(x)的表达式. 八、(本题满分8分)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在,使九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组其中试讨论和b 满足何种关系时,(1) 方程组仅有零解;).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ]1,21[12222=∂∂+∂∂v f u f )](21,[),(22y x xy f y x g -=.2222y gx g ∂∂+∂∂.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π}.),{(22π≤+y x y x ∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x ),(+∞-∞)()(x g x f =')()(x f x g ='.2)()(x e x g x f =+)3,0(∈ξ.0)(='ξf ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a .01≠∑=ni ian a a a ,,,21(2) 方程组有非零解. 在有非零解时,求此方程组的一个基础解系. 十、(本题满分13分) 设二次型,中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值;(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、(本题满分13分) 设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为, 而Y 的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2003年考研数学(三)真题解析一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续,则的取值范围是. 【分析】 当0可直接按公式求导,当x=0时要求用定义求导.【详解】 当时,有显然当时,有,即其导函数在x=0处连续.(2)已知曲线与x 轴相切,则可以通过a 表示为 . 【分析】 曲线在切点的斜率为0,即,由此可确定切点的坐标应满足的条件,再根据在切点处纵坐标为零,即可找到与a 的关系.【详解】 由题设,在切点处有,有)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X λ2>λ≠x 1>λ,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ2>λ)0(0)(lim 0f x f x '=='→b x a x y +-=2332b =2b 64a 0='y 2b 03322=-='a x y .220a x =又在此点y 坐标为0,于是有,故【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件,同时切点还应满足曲线方程. (3)设a>0,而D 表示全平面,则= .【分析】 本题积分区域为全平面,但只有当时,被积函数才不为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ==【评注】 若被积函数只在某区域内不为零,则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.(4)设n 维向量;E 为n 阶单位矩阵,矩阵 , , 其中A 的逆矩阵为B ,则a= -1 .【分析】 这里为n 阶矩阵,而为数,直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设,有====,于是有 ,即 ,解得 由于A<0 ,故a=-1. (5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若,则Y 与Z 的相关系数为0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为0300230=+-=b x a x .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=,x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(2a 10,10≤-≤≤≤x y x ⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(dxdy ax y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102.])1[(2121012adx x x ady dx ax x=-+=⎰⎰⎰+0,),0,,0,(<=a a a T αT E A αα-=T aE B αα1+=T αα22a T =ααE AB =)1)((T T a E E AB αααα+-=T T T T a a E αααααααα⋅-+-11T T T T a a E αααααααα)(11-+-T T T a a E αααααα21-+-E aa E T =+--+αα)121(0121=+--a a 0122=-+a a .1,21-==a a 4.0-=X Z )4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y= =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且于是有 cov(Y ,Z)==【评注】 注意以下运算公式:, (6)设总体X 服从参数为2的指数分布,为来自总体X 的简单随机样本,则当时,依概率收敛于 .【分析】 本题考查大数定律:一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量,当方差一致有界时,其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值:【详解】 这里满足大数定律的条件,且=,因此根据大数定律有 依概率收敛于二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且存在,则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设,可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点,且由f(x)为不恒等于零的奇函数知,f(0)=0. 于是有 存在,故x=0为可去间断点. 【评注1】 本题也可用反例排除,例如f(x)=x, 则此时g(x)=可排除(A),(B),(C) 三项,故应选(D).【评注2】 若f(x)在处连续,则.(2)设可微函数f(x,y)在点取得极小值,则下列结论正确的是)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +--.DX DZ =DZDY Z Y ),cov(.9.0),cov(==XY DYDXY X ρDX a X D =+)().,cov(),cov(Y X a Y X =+n X X X ,,,21 ∞→n ∑==ni i n X n Y 12121n X X X ,,,21 ).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i 22221,,,nX X X 22)(i i i EX DX EX +=21)21(412=+∑==n i i n X n Y 121.21112=∑=n i i EX n )0(f 'xx f x g )()(=)0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 0x x =.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→),(00y x(A) 在处的导数等于零. (B )在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在,再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点取得极小值,根据取极值的必要条件知,即在处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义,在处的导数即;而在处的导数即【评注2】 本题也可用排除法分析,取,在(0,0)处可微且取得极小值,并且有,可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).(3)设,,,则下列命题正确的是(A) 若条件收敛,则与都收敛.(B) 若绝对收敛,则与都收敛.(C) 若条件收敛,则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛,则与敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若绝对收敛,即收敛,当然也有级数收敛,再根据,及收敛级数的运算性质知,与都收敛,故应选(B).),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(00y x 0),(00='y x f y ),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(00y x f y '),(0y x f 0x x =).,(00y x f x '22),(y x y x f +=2),0(y y f =2nn n a a p +=2nn n a a q -=,2,1=n ∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n na∑∞=1n na2nn n a a p +=2nn n a a q -=∑∞=1n np∑∞=1n nq(4)设三阶矩阵,若A 的伴随矩阵的秩为1,则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b 0.(C) a b 且a+2b=0. (D) a b 且a+2b 0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2,由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知,秩(A)=2,故有,即有或a=b.但当a=b 时,显然秩(A), 故必有 a b 且a+2b=0. 应选(C).【评注】 n (n 阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系:(5)设均为n 维向量,下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数,都有,则线性无关.(B) 若线性相关,则对于任意一组不全为零的数,都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解,以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数,都有,则必线性无关,因为若线性相关,则存在一组不全为零的数,使得 ,矛盾. 可见(A )成立.(B): 若线性相关,则存在一组,而不是对任意一组不全为零的数,都有 (B)不成立.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ≠≠≠≠0))(2(2=-+=b a b a ab b b a bbb a 02=+b a 2≠≠)2≥.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα(C) 线性无关,则此向量组的秩为s ;反过来,若向量组的秩为s ,则线性无关,因此(C)成立.(D) 线性无关,则其任一部分组线性无关,当然其中任意两个向量线性无关,可见(D)也成立.综上所述,应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如,原命题:若存在一组不全为零的数,使得成立,则线性相关. 其逆否命题为:若对于任意一组不全为零的数,都有,则线性无关. 在平时的学习过程中,应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:={掷第一次出现正面},={掷第二次出现正面},={正、反面各出现一次},={正面出现两次},则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立.(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可,注意应先检查两两独立,若成立,再检验是否相互独立.【详解】 因为,,,, 且 ,,,,可见有,,,,.故两两独立但不相互独立;不两两独立更不相互独立,应选(C).【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的,否则结论不一定成立.三 、(本题满分8分) 设s ααα,,,21 s ααα,,,21 s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 1A 2A 3A 4A 321,,A A A 432,,A A A 321,,A A A 432,,A A A 21)(1=A P 21)(2=A P 21)(3=A P 41)(4=A P 41)(21=A A P 41)(31=A A P 41)(32=A A P 41)(42=A A P 0)(321=A A A P )()()(2121A P A P A A P =)()()(3131A P A P A A P =)()()(3232A P A P A A P =)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠)()()(4242A P A P A A P ≠321,,A A A 432,,A A A ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.【分析】 只需求出极限,然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解】 因为= === =由于f(x)在上连续,因此定义,使f(x)在上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题,但以这种形式表现出来,还考查了连续的概念.在计算过程中,也可先作变量代换y=1-x ,转化为求的极限,可以适当简化.四 、(本题满分8分)设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足,又,求 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题:,,直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用【详解】, ]1,21[)(lim 1x f x -→)(lim 1x f x -→])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππxx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→.1π)1,21[π1)1(=f ]1,21[+→0y 12222=∂∂+∂∂v f u f )](21,[),(22y x xy f y x g -=.2222ygx g ∂∂+∂∂),(v u f g =)(21,22y x v xy u -==.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂vfxu f y x g ∂∂+∂∂=∂∂.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂故 ,所以 =【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五 、(本题满分8分) 计算二重积分其中积分区域D=【分析】 从被积函数与积分区域可以看出,应该利用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换:,有=令,则.记 ,则==== 因此 ,【评注】 本题属常规题型,明显地应该选用极坐标进行计算,在将二重积分化为定积vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222.2222222222vf v f y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂.22y x +.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π}.),{(22π≤+y x y x θθsin ,cos r y r x ==dxdy y x e e I Dy x)sin(22)(22+=⎰⎰+-π.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ2r t =tdt e e I t sin 0⎰-=πππtdt e A t sin 0⎰-=πt t de e A --⎰-=int 0π]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t ⎰--πcos t tde ]sin cos [0tdt e t e t t ⎰--+-ππ.1A e -+-π)1(21π-+=e A ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-分后,再通过换元与分步积分(均为最基础的要求),即可得出结果,综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、(本题满分9分)求幂级数的和函数f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和,再积分即可得和函数,注意当x=0时和为1. 求出和函数后,再按通常方法求极值.【详解】上式两边从0到x 积分,得由f(0)=1, 得令,求得唯一驻点x=0. 由于,可见f(x)在x=0处取得极大值,且极大值为 f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形,然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、(本题满分9分)设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件:,,且f(0)=0,(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程; (4) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数,提示应先对F(x)求导,并将其余部分转化为用F(x)表示,导出相应的微分方程,然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由== =(2-2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x .1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n x xx x f ).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 0)(='x f ,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ),(+∞-∞)()(x g x f =')()(x f x g ='.2)()(x e x g x f =+)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=')()(22x f x g +)()(2)]()([2x g x f x g x f -+2)x e(2)==将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式,得 C=-1. 于是【评注】 本题没有直接告知微分方程,要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式,从题型来说比较新颖,但具体到微分方程的求解则并不复杂,仍然是基本要求的范围.八、(本题满分8分)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在,使【分析】 根据罗尔定理,只需再证明存在一点c ,使得,然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于,问题转化为1介于f(x)的最值之间,最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M 和最小值m ,于是, , . 故由介值定理知,至少存在一点,使因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,所以由罗尔定理知,必存在,使【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点,且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组.4)(2)(2x e x F x F =+']4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-]4[42C dx e e x x +⎰-.22x x Ce e -+.)(22x x e e x F --=)3,0(∈ξ.0)(='ξf )3,0[∈)3(1)(f c f ==13)2()1()0(=++f f f M f m ≤≤)0(M f m ≤≤)1(M f m ≤≤)2(.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤]2,0[∈c .13)2()1()0()(=++=f f f c f )3,0()3,(⊂∈c ξ.0)(='ξf ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a其中试讨论和b 满足何种关系时,(1) 方程组仅有零解;(2) 方程组有非零解. 在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同,问题转化为系数矩阵行列式是否为零,而系数行列式的计算具有明显的特征:所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加,然后提出公因式,再将第一行的(-1)倍加到其余各行,即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式=(1) 当时且时,秩(A)=n ,方程组仅有零解.(2) 当b=0 时,原方程组的同解方程组为 由可知,不全为零. 不妨设,得原方程组的一个基础解系为,,当时,有,原方程组的系数矩阵可化为.01≠∑=ni ian a a a ,,,21 ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++= 321321321321).(11∑=-+ni i n a b b0≠b 01≠+∑=ni iab .02211=+++n n x a x a x a 01≠∑=ni ia),,2,1(n i a i =01≠a T a a )0,,0,1,(121 -=αT a a )0,,1,0,(132 -=α.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α∑=-=ni iab 10≠b ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211(将第1行的-1倍加到其余各行,再从第2行到第n 行同乘以倍)( 将第n 行倍到第2行的倍加到第1行,再将第1行移到最后一行)由此得原方程组的同解方程组为,, . 原方程组的一个基础解系为【评注】 本题的难点在时的讨论,事实上也可这样分析:此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零),且显然为方程组的一个非零解,即可作为基础解系.十、(本题满分13分) 设二次型,中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12. (3) 求a,b 的值;(4) 利用正交变换将二次型f 化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和,特征值之积为A 的行列式,由此可求出a,b 的值;进一步求出A 的特征值和特征向量,并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要),然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 (1)二次型f 的矩阵为∑=-ni ia11→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a n a -2a -→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--- 12x x =13x x =1,x x n = .)1,,1,1(T =α∑=-=ni iab 1T )1,,1,1( =α)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T设A 的特征值为 由题设,有,解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式,得A 的特征值对于解齐次线性方程组,得其基础解系 ,对于,解齐次线性方程组,得基础解系由于已是正交向量组,为了得到规范正交向量组,只需将单位化,由此得,,令矩阵,则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下,有.20020⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=b A ).3,2,1(=i i λ1)2(2321=-++=++a λλλ.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ)3()2(220202012+-=+----=-λλλλλλA E .3,2321-===λλλ,221==λλ0)2(=-x A E T )1,0,2(1=ξ.)0,1,0(2T =ξ33-=λ0)3(=--x A E .)2,0,1(3T -=ξ321,,ξξξ321,,ξξξT )51,0,52(1=ηT )0,1,0(2=η.)52,0,51(3T -=η[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ,且二次型的标准形为【评注】 本题求a,b ,也可先计算特征多项式,再利用根与系数的关系确定:二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为设A 的特征值为,则由题设得,解得a=1,b=2.十一、(本题满分13分) 设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式,从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围,再对y 分段讨论.【详解】 易见,当x<1时,F(x)=0; 当x>8 时,F(x)=1. 对于,有设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然,当时,G(y)=0;当时,G(y)=1. 对于,有= =⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=300020AQ Q T .322232221y y y f -+=)].2()2()[2(2020022b a a bbaA E +----=+----=-λλλλλλλ321,,λλλ).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ1)2(2321=-+=++a λλλ.12)2(22321-=+-=b a λλλ;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f )1)(0(≤≤X F ]8,1[∈x .131)(3132-==⎰x dt t x F x0<y 1≥y )1,0[∈y })({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P .])1[(3y y F =+于是,Y=F(X)的分布函数为【评注】 事实上,本题X 为任意连续型随机变量均可,此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 当y<0时,G(y)=0; 当 时,G(y)=1;当 0时, = = 十二、(本题满分13分)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为 , 而Y 的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布,一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值,求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设F(y)是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y 的分布函数为= =. 由于X 和Y 独立,可见G(u)== 由此,得U 的概率密度=【评注】 本题属新题型,求两个随机变量和的分布,其中一个是连续型一个是离散型,要求用全概率公式进行计算,类似问题以前从未出现过,具有一定的难度和综合性..1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若1≥y 1<≤y })({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=)}({1y F X P -≤.))((1y y F F =-⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X }{)(u Y X P u G ≤+=}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P }22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P ).2(7.0)1(3.0-+-u F u F )2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g ).2(7.0)1(3.0-+-u f u f。

2017考研数学三真题及解析

2017考研数学三真题及解析

2017年考研数学真题一、选择题:1~8 小题,每小题4 分,共32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定的位置上. (1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x =0连续,则 (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =【答】应选(A )【解】由连续的定义可知:0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==,其中0(0)lim ()x f f x b -→==,20001112lim ()lim lim 2x x x f x ax ax a +++→→→-===,从而12b a =,也即12ab =,故选(A )。

(2) 二元函数(3)z xy x y =--的极值点( )(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答】应选(D).【解】(3)(32)xz y x y xy y x y '=---=-- (3)(32)y z x x y xy x x y '=---=--2xx z y ''=-,322xy z x y ''=--,2yy z x ''=-验证可得(A )、(B )、(C )、(D )四个选项均满足00x yz z '=⎧⎨'=⎩,其中(D)选项对应(1,1)2xx A z ''==-,(1,1)1xy B z ''==-,(1,1)2yy C z ''==-满足230AC B -=>,所以该点为极值点.(3) 设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>则(A)()()11f f >- (B)()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <-【答】应选(C).【解】令2()()F x f x =,则有()2()()F x f x f x ''=,故()F x 单调递增,则(1)(1)F F =-,即22[(1)][(1)]f f >-,即(1)(1)f f >-,故选C .(4) 若级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则()k =(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2【答】(C ) 【解】由332211111111sinln(1)()()62k k o k o n n n n n n n n--=-++++232111(1)()26k k o n n n n=++-+,又211[sinln(1)]n k n n∞=--∑收敛,故有10k +=,即1k =-,故选C 。

2017考研数学三真题及答案解析

2017考研数学三真题及答案解析

ln 2
ln 2
2

5
19.(本题满分 10 分)

a0
1, a1
0, an1
n
1
1
(na
n
a n 1 )(n
1, 2,3 ),

S(x)
为幂级数
n0
an xn
的和函数
(1)证明 an xn 的收敛半径不小于1. n0
(2)证明 (1 x)S(x) xS(x) 0(x (1,1)) ,并求出和函数的表达式.
0
2
10.差分方程 yt1 2 yt 2t 的通解为

【详解】齐次差分方程 yt1 2 yt 0 的通解为 y C 2x ;

yt 1
2 yt
2t
的特解为
yt
at 2t
,代入方程,得 a
1 2

所以差分方程
yt 1
2 yt
2t
的通解为
y
C 2t
1 t2t. 2
11.设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 eQ ,其中产量为 Q ,则边际成本为
8.设
X1, X 2,, X n(n
2)
为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本,若
X
1 n
n i 1
Xi
,则下列结论中不
正确的是( )
n
(A) ( X i )2 服从 2 分布 i 1
(B) 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
(C) ( X i X )2 服从 2 分布 i 1
时, g(x) g(0) 0 ,进一步得到当 x (0,1) 时, f (x) 0 ,也就是 f (x) 在 (0,1) 上单调减少.

2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版

2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版
【解析】由 E A 0 可知 A 的特征值为 2,2,1
1 0 0
因为
3
r(2E
A)
1,∴A
可相似对角化,且
A
~
0 0
2 0
0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r(2E B) 2 ,∴B 不可相似对角化,显然 C 可相似对角化, ∴ A ~ C ,且 B 不相似于 C
1) n
1 n
1 6n 3
o(
1 n3
)
k
1 n
k 2n 2
o(
1 n2

)
(1
k)
1 n
k 2n2
1 6n3
o(
1 n2
)
因为原级数收敛,所以1 k 0 k 1 .选 C.
(5)设 是 n 维单位列向量, E 为 n 阶单位矩阵,则( )
( A ) E T 不可逆 ( B ) E T 不可逆 ( C ) E 2 T 不可逆 ( D ) E 2 T 不可逆
【答案】B 【解析】
(D) n( X )2 服从 2分布
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1),C 正确, i 1
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
(A) f (1) f (1) (B) f (1) f (1) (C) f (1) f (1) (D) f (1) f (1)
【答案】C 【解析】
方法
1:
f
(x)
f
'(x)

2010——2017年考研数学三真题及参考答案解析(精心整理)

2010——2017年考研数学三真题及参考答案解析(精心整理)

2010年考研数学三真题与解析一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a = A0B1C2D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解,若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解,21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解,则A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数,且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值,则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f4设1010)(,)(,ln )(xe x h x x g x xf ===则当x 充分大时有 Ag(x)<h(x)<f(x)Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x)Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示,,,:,可由向量组sI βββααα⋯⋯21r 21II ,,:,下列命题正确的是:A 若向量组I 线性无关,则s r ≤B 若向量组I 线性相关,则r>sC 若向量组II 线性无关,则s r ≤D 若向量组II 线性相关,则r>s6.设A 为4阶实对称矩阵,且02=+A A ,若A 的秩为3,则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0111 C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---01117.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x,则P (X=1)=A0B 21C 121--e D 11--e 8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度,)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度,若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度,则a,b 满足:A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1Da+b=2 二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xy x t dtt x dt e 020sin 2确定,则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方,x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +,其中p 为价格,且R(1)=1,则R(p)=________________ 12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ,B 为3阶矩阵,且2,2,31=+==-B A B A ,则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。

2017【考研数学三】真题及答案解析

2017【考研数学三】真题及答案解析

2017年考研数学三真题及解析一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A )2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂,232z x x xy y ∂=--∂,2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )T E αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆 (C )2T E αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1L ;2,1,1,,1L ;1,1,1,,1-L ;3,1,1,,1L .显然只有TE αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ).7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B U 与C 相互独立的充分必要条件是( )(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容 (C ),AB C 相互独立 (D ),AB C 互不相容 【详解】()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-U显然,A B U 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ).8.设12,,,(2)n X X X n ≥L 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布 (C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=L 且相互独立,所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B ):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.3(sinx dx ππ-=⎰ .解:由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰.10.差分方程122tt t y y +-=的通解为 .【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =; 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =; 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e-+-.平均成本()1QC Q e-=+,则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)yf x y xye =.13.设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=.三、解答题15.(本题满分10分)求极限0limt x dt +→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33t x u u x x x x x dt e du du ++++---→→→→==== 16.(本题满分10分)计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰,其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域. 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)111141128Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-= ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17.(本题满分10分) 求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18.(本题满分10分) 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+,则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+,所以()g x '在(0,1)上单调减少,由于(0)0g '=,所以当(0,1)x ∈时,()0)0g x g ''<=,也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少,当(0,1)x ∈时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x ∈时,()0f x '<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<.设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+L ,()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数(1)证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1.(2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+L1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+L也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+L111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑Llim1n n n ρ→∞=≤≤=,所以收敛半径1R ≥ (2)所以对于幂级数nn n a x∞=∑, 由和函数的性质,可得11()n nn S x na x∞-='=∑,所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-.解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=,得()1xCe S x x-=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1xe S x x-=-.设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥.假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他. (1)求概率P Y EY ≤();(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23.(本题满分11分)n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ,利用12,,,n Z Z Z L 估计参数σ. (1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量1ni i Z σ===.(3)设12,,,n Z Z Z L 的观测值为12,,,n z z z L .当0,1,2,i z i n >=L 时似然函数为221121()(,)ni i n nz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=。

2017年考研数学三真题及答案解析

2017年考研数学三真题及答案解析

2017全国研究生入学考试考研数学三试题本试卷满分150,考试时间180分钟一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1)若函数0,(),0,x f x b x >=⎪≤⎩在0x =,处连续,则( )(A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =(2)二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( ) (A )(0,0)(B )(0,3)(C )(3,0)(D )(1,1)(3)设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>,则( ) (A )(1)(1)f f >- (B )(1)(1)f f <-(C )(1)(1)f f >- (D )(1)(1)f f <-(4)设级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1(B )2(C )1-(D )2-(5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则 (A )TE αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆(C )2T E αα+不可逆(D )2TE αα-不可逆(6)设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 (A )A 与C 相似,B 与C 相似(B )A 与C 相似,B 与C 不相似 (C )A 与C 不相似,B 与C 相似(D )A 与C 不相似,B 与C 不相似(7)设,,A B C 为三个随机事件,且A 与C 相互独立,B 与C 相互独立,则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是(A )A 与B 相互独立(B )A 与B 互不相容(C )AB 与C 相互独立(D )AB 与C 互不相容(8)设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是 (A )21()nii Xμ=-∑服从2χ分布(B )212()n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布(D )2()n X μ-服从2χ分布二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上.(9)3(sin x dx ππ-=⎰_______。

2017考研数学三真题及答案解析

2017考研数学三真题及答案解析

2017年考研数学三真题及解析一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A )2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂,232z x x xy y ∂=--∂,解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )T E αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆 (C )2T E αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆【详解】矩阵T αα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1.显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ).7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B 与C 相互独立的充分必要条件是( )(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容 (C ),AB C 相互独立 (D ),AB C 互不相容 【详解】 显然,AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ).8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立,所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B ):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.3(sin x dx ππ-=⎰ .解:由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰.10.差分方程122tt t y y +-=的通解为 .【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =; 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =; 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-.平均成本()1QC Q e-=+,则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)yf x y xye =.13.设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=.三、解答题15.(本题满分10分)求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,0t x u dt du -=⎰⎰16.(本题满分10分)计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰,其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域. 【详解】17.(本题满分10分) 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义 18.(本题满分10分) 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+,则令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+,所以()g x '在(0,1)上单调减少,由于(0)0g '=,所以当(0,1)x ∈时,()0)0g x g ''<=,也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少,当(0,1)x ∈时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x ∈时,()0f x '<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<. 19.(本题满分10分)设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+,()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数(1)证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1.(2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+1lim1!n n n n ρ→∞=≤++≤=,所以收敛半径1R ≥ (2)所以对于幂级数nn n a x∞=∑, 由和函数的性质,可得11()n nn S x na x∞-='=∑,所以也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-.解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=,得()1xCe S x x -=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1xe S x x-=-.20.(本题满分11分)设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥.假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他. (1)求概率P Y EY ≤();(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)Z X Y =+的分布函数为故Z X Y =+的概率密度为 23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.(1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为 当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量122ni i Z nσ===∑.(3)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z .当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=。

2017年考研数学三真题及解析

2017年考研数学三真题及解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1)若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则() ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒= (2)二元函数(3)z xy x y =--的极值点()(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答案】D【解析】(3)设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>则()(A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C) ()()11f f >- (D)()()11f f <-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩,只有C 选项满足(1)且满足(2),所以选C 。

(4)若级数2111n sin kln nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则()k =(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 【解析】(5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则()(A) T E αα-不可逆 (B) TE αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2TE αα-不可逆 【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解,故0αα-=T E .即αα-TE 不可逆.选项B,由()1ααα=Tr 得ααT的特征值为n-1个0,1.故αα+TE 的特征值为n-1个1,2.故可逆.其它选项类似理解.(6)已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 (A) A 与C 相似,B 与C 相似 (B) A 与C 相似,B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似,B 与C 相似 (D) A 与C 不相似,B 与C 不相似 【答案】B【解析】由()0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1.因为3(2)1r E A --=,∴A 可相似对角化,且100~020002A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.由0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.因为3(2)2r E B --=,∴B 不可相似对角化,显然C 可相似对角化, ∴~A C ,且B 不相似于C.(7)设A B 、、C 为三个随机事件,且A 与C 相互独立,B 与C 相互独立,则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是 (A) A 与B 相互独立 (B)A 与B 互不相容 (C)AB 与C 相互独立 (D)AB 与C 互不相容 【答案】C 【解析】(8)设12,......(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是: (A)21()nii Xμ=-∑服从2χ分布 (B) 212()n X X -服从2χ分布 (C)21()nii XX =-∑服从2χ分布(D) 2()n X μ-服从2χ分布 【答案】B【解析】2212221222211(,1),(0,1)()(),(1)()(1)C 1~(,)(0,1),()~(1),()~(0,2),~(1),B 2i ni i ni i n n XN X N X n A n S X X n X N X N n X D nX X X X N μμμχχμμμχχ==-⇒-⇒-=--⇒---⇒-∑∑正确,正确,正确,故错误.由于找不正确的结论,故B 符合题意.二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分。

-历年考研数学三真题及答案解析

-历年考研数学三真题及答案解析

是c+等价无穷小,则(C) R = 3,c = 4已知 f(x)在 X = O 处可导,且 /(0) = 0,则 Iim x ~f M~2 / CV)Λ→0设{冷}是数列,则下列命题正确的是OOX若£心收敛’则∑(∕G H -I +U 2π)收敛/1-1n-1X OC若£(%如)收敛,则收敛“■]/1-1OO X若X ©收敛,则X(∕Y 2^1 T6)收敛 ∕ι≡lπ-! 若X("2-1 Tf 2』收敛‘则X ©收敛π-l ∕ι≡lπ JT π设/ =JJIn(Sin x)dx , J = JJ In(COt x)dx, K = U In(COS x)dx 贝IJ 八 J , K的大 小关系是解,k lt k 2为任意常数.则Ax = β的通解为(A) k = l,c = 4(B) IC = ^C =-4⑷-2/(0)(B) -/'(O) (C) /(O) (D) 0(C) (D)(A) I<J<K (B) I<K<J (C) J <I<K (D) K<J<I⑸ 设A 为3阶矩阵・将A 的第2列加到第1列得矩阵3.再交换B 的第2行与第31 O OU O 0,行得单位矩阵记为片=1 1 O,£ = O O 1,0 0 1’O 1 O 丿(C) P 2P 1 (D) P['P ∖(6)设人为4x3矩阵,7,J Il > “3 是非齐次线性方程组AX = 0的3个线性无关的(B) P^P I (A)砒 ,则4 =(B)t h∑211 + k2{η2-η^(C)T h;+ & (% - 帀)+ £(“2 - 7)(D)+ «2(〃2 一〃1)+ 鸟3(〃3一帀)(7)设F i(x), F2(X)为两个分布函数,其相应的概率密度f l(x), /I(X)是连续函数, 则必为概率密度的是(A)∕1U)Λ(x)(B) If2(X)FM(C) ∕1(X)F2(X)(D) f l(x)F2(x) + f2(x)F i(x)(8)设总体X服从参数2(Λ>0)的泊松分布,X P X l,..∙X,1(∕z≥2)为来自总体的简1" IilZil单随即样本,贝IJ对应的统iiS7;=-yx(., T l =——Vx1-+-X,,刃台^ H-I ⅛r IJ '(A) ET i > ET2i DT l > DT2(B) ETl > ET^DT i < DT2(C) ET x < ET2.DT x > DT1(D) ET x < ET1,DT x < DT1二、填空题:旷14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.X(9)设/(x) = IimX(I+ 3r)7,则 / (X) = __ ・∕→0X(10)设函数2 = (1 +丄)匚则^I(II= _______ ・y(11)曲线tan(x + y + -)="在点(0,0)处的切线方程为_______ ・4(12)曲线y = 直线X = I及X轴所囤成的平面图形绕X轴旋转所成的旋转体的体积 _____ .(13)设二次型/(X P X2,X3)= XΓAΛ-的秩为1, A中行元素之和为3,则/在正交变换下X = Qy的标准型为 ____ •(14)设二维随机变⅛(X,K)服从N(“,“;bSb?;。

2017年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)

2017年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)

2017年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.若函数f(x)=在x=0处连续,则( )A.ab=1/2B.ab=-C.ab=0D.ab=2正确答案:A解析:=1/2a,∵f(x)在x=0处连续,1/2a=bab=1/2,选A.2.二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是( )A.(0,0)B.(0,3)C.(3,0)D.(1,1)正确答案:D解析:=-1,从而AC-B2>0,从而(1,1)为极值点.3.设函数f(x)可导,且f(x)f’(x)>0,则( )A.f(1)>f(-1)B.f(1)<f(-1)C.|f(1)|>f(-1)|D.|f(1)|<|f(-1)|正确答案:C解析:举特例,设f(x)=ex,可排除BD;设f(x)=-ex,可排除A,故选C.4.若函数收敛,则k=( )A.1B.2C.-1D.-2正确答案:C解析:因为原级数收敛,所以1+k=0k=-1.选C.5.设α为n维单位向量,E为n阶单位矩阵,则( )A.E-ααT不可逆B.E+ααT不可逆C.E+2ααT不可逆D.E-2ααT不可逆正确答案:A解析:选项A,由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解,故|E-ααT|=0.即E-ααT不可逆,选项B,由r(ααT)=1得ααT的特征值为n-1个0,1故E-ααT的特征值为n-1个1,2,故可逆.6.已知矩阵A=,则( )A.A与C相似,B与C相似B.A与C相似,B与C不相似C.A与C不相似,B与C相似D.A与C不相似,B与C不相似正确答案:B解析:由(λE-A)=0可知A的特征值为2,2,1因为2E-A=得r(2E-A)=1,∴A可相似对角化。

且A~由|λE-B|=0可知B特征值为2,2,1因为2E-B=得r(2E-B)=2,∴B不可能相似对角化,显然C可相似对角化,∴A~C,且B不相似于C.7.设A,B,C为三个随机事件,且A与C相互独立,B与C相互独立,则A∪B与C相互独立的充分必要条件是( )A.A与B相互独立B.A与B互不相容C.AB与C相互独立D.AB与C互不相容正确答案:C解析:由题设知,P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),由A∪B与C相互独立知,P(A∪B)C=P(A∪B)P(C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)而P[(A∪B)∩C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)P(ABC)=P(AB)P(C),即AB与C相互独立.8.设X1,X2,…,Xn(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记Xi,则下列结论不正确的是( )A.(X1-μ)2服从χ2分布B.2(Xn-x1)2服从χ2分布C.)2服从χ2分布D.n(-μ)2服从χ2分布正确答案:B二、填空题9.∫-ππ(sin3x+)dx=_______.正确答案:π3/2解析:∫-ππ(sin3x+)dx=2∫0π(2∫0π/2πcost.πcostdt=2π2∫0π/2πcos2tdt=2π22.=π3/2.10.差分方程yt+1-2yt=2t通解为yt=_______.正确答案:φt=C.2t+t.2t解析:由yt+1-2y1=2tλ=2,∴=C2t设y1*=C1t21,则y1+1*=C1(t+1)2i+1=2tt2i(C∈R).11.设生产某产品的平均成本(Q)=1+e-Q,其中产量为Q,则边际成本为_______.正确答案:1+(1-Q)e-Q解析:C=Q=Q(1+e-Q)C’(Q)=1+e-Q-Qe-Q=1+(1-Q)e-Q.12.设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且(x,y)=yeydx+x(1+y)eydy,f(0,0)=0,则f(x,y)=_______.正确答案:xyey解析:f’k=yey,f’y=x(1+y)ey,f(x,y)=∫yeydx=xyey+c(y),故f’y=xey+xyey+c’(y)=xey+xyey,故c’(y)=0,由f(0,0)=0,即f(x,y)=xyey.13.设矩阵A=,α1、α2、α3为线性无关的三维向量组,则向量组Aα1、Aα2、Aα3的秩为_______.正确答案:2解析:由a1,a2,a3,线性无关,可知矩阵a1,a2,a3,可逆,故r(Aa1,Aa2,Aa3)=r(A(a1,a2,a3))=r(A)再由r(A)=2得r(Aa1,Aa2,Aa3)=2.14.设随机变量X的概率分布为P{X=-2}=1/2,P={X=1}=a,P{X=3}=b,若EX=0,则DX=_______.正确答案:9/2解析:由归一性得+a+b=1,再由EX=0得-1+a+3b=0故a=b=1/4,故EX2=(-2)2×=9/2,DX=EX2-(EX)2=9/2.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(矩阵的特征值和特征向量)历年真题试卷汇编1(题后含

考研数学三(矩阵的特征值和特征向量)历年真题试卷汇编1(题后含

考研数学三(矩阵的特征值和特征向量)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.[2002年] 设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( ).A.P-1αB.PTαC.PαD.(P-1)Tα正确答案:B解析:解一由题设有Aα=λα,且AT=A,令B=(P-1AP)T,则B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1,A=(PT)-1BPT,故Aα=(PT)-1BPTα,即(PT)-1B(PTα)=λα.两边左乘PT,得到B(PTα)=λPTα.又PTα≠0.事实上,如PTα=0,则由P为可逆矩阵知,PT也为可逆矩阵,于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0,即α=0.这与α≠0矛盾,故PTα为矩阵B=(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量.仅(B)入选.解二用定义(P-1AP)TX=λX判别.当X=PT α时,计算(P-1AP)T(PTα)时看其是否为P-1Tα的λ倍.事实上,有(P-1AP)T(PTα)=PTA T(P-1)T(PTα)=PTA(PT)-1PTα=PT(Aα)=λPTα.又PTT ≠0.因而PTT是(PTAP)-1的属于特征值λ的特征向量.解三为检验选项中4个向量哪个是特征向量,只需检验哪个向量是齐次方程组[(P-1AP)T-λE]X=0的非零解向量.事实上,令X=PTT,有[(P-1AP)T-λE](PT α)=[PTA(PT)-1PTα-λPTα]=PTAα-λPTα=λPTα-λPTα=0.易验证(A)、(C)、(D)中向量均不满足上述方程.又PTα≠0.仅(B)入选.知识模块:矩阵的特征值和特征向量2.[2016年] 设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是( ).A.AT与BT相似B.A-1与B-1相似C.A+AT与B+BT相似D.A+A-1与B+B-1相似正确答案:C解析:因A~B,故存在可逆矩阵P使得B=P-1AP.①在式①两边取转置,得到BT=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=[(PT)-1]-1AT[(PT)-1]故AT与BT相似.选项(A)正确.在式①两边求逆运算得到B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P.②故A与A-1相似.选项(B)正确.由式①+式②得到B+B-1=P-1AP+P-1A-1P=P-1(A+A-1)P,故A+A-1~B+B-1.选项(D)正确.仅(C)入选.知识模块:矩阵的特征值和特征向量3.[2018年] 下列矩阵中,与矩阵相似的是( ).A.B.C.D.正确答案:A解析:记矩阵[*]则[*] 所以矩阵M的特征值为λ1=λ2=λ3=1,且秩(λE-M)=秩(E-M)=2.设选项(A)、(B)、(C)、(D)的矩阵分别记为A、B、C、D,容易计算出其特征值均为1,且秩(AE-A)=秩(E-A)=2,秩(E-B)=秩(E-C)=秩(E-D)=1,若两矩阵相似,其对应的特征值矩阵也相似,故秩相等.所以可以判断选项(A)正确.知识模块:矩阵的特征值和特征向量4.[2017年] 已知矩阵则( ).A.A与C相似,B与C相似B.A与C相似,B与C不相似C.A与C不相似,B与C相似D.A与C不相似,B与C不相似正确答案:B解析:显然A,B,C的特征值都为λ1=λ2=2,λ3=1.由得秩(2E-A)=1,则A可以相似对角化,故A与C相似.由得秩(2E-B)=2,则B不可相似对角化,故B与C不相似.综上,仅(B)入选.知识模块:矩阵的特征值和特征向量5.[2013年] 矩阵相似的充分必要条件为( ).A.a=0,b=2B.a=0,b为任意常数C.a=2,b=0D.a=2,b为任意常数正确答案:B解析:令则因λ=2为B的特征值,故λ=2也必为A的特征值,则|2E—A|=2[22-(b+2).2+2b一2a2]=2(-2a2)=0,故a=0.由λ=b为B的特征值知,λ=b也必为A的特征值,则|bE-A|=b[b2-(b+2)·b+2b]=b·0=0,即易可为任意常数.仅(B)入选.知识模块:矩阵的特征值和特征向量6.[2010年] 设A为四阶实对称矩阵,且A2+A=O,若A的秩为3,则A 相似于( ).正确答案:D解析:设λ为A的特征值,则由A2+A=O得到λ2+λ=(λ+1)λ=0.于是A 的特征值为-1或0.又因A为实对称矩阵,故A必与对角矩阵A相似.因A 的秩为3,由命题2.5.4.1(2)知,A的非零特征值个数为3,故对角矩阵A 的秩也为3,于是A=diag(-1,-1,-1,0).仅(D)入选.知识模块:矩阵的特征值和特征向量填空题7.[2018年] 设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的向量组,若Aα1=α1+α2+α3,Aα2=α2+2α3,Aα3=一α2+α3,则A的实特征值为__________.正确答案:2解析:由题设得因为[α1,α2,α,3]可逆,所以矩阵A与矩阵相似,故特征值相同,而所以A的实特征值为2.知识模块:矩阵的特征值和特征向量8.[2015年] 设三阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A2-A+E,其中E 为三阶单位矩阵,则行列式|B|=__________.正确答案:21解析:因A的特征值为2,-2,1,而B=f(A)=AT-A+E,故B的特征值分别为f(2)=2T-2+1=3,f(-2)=(-2)T-(-2)+1=7,f(1)=1T-1+1=1,故|B|=f(2)·f(1)·f(-2)=3×1×7=21.知识模块:矩阵的特征值和特征向量9.[2009年] 设α=[1,1,1]T,β=[1,0,k]T,若矩阵αβT相似于则k=_________.正确答案:2解析:解一因αβT相似于而利用相似矩阵的性质即命题2.5.3.3(4)得到tr(αβT)=1+0+k=3+0+0,即k=2.解二设A=αβT,λ为A的特征值,而故A2=A·A=αβT·αβT=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(1+k)A,所以λ2=(1+k)λ,即λ[λ-(1+k)]=0,从而λ=0或λ=1+k.又A相似于对角矩阵由命题2.5.3.3(3)知,相似矩阵有相同的特征值,故A的特征值0,0,3,于是应有1+k=3,即k=2.注:命题2.5.3.3 设矩阵A=[aij]n×n与B=[bij]n×n相似,则(3)|λE-A|=|λE—B|,从而A与B有相同的特征值;(4)a11+a22+…+ann=b11+b22+…+bnn,即tr(A)=tr(B).知识模块:矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab = 【详解】000112lim ()lim lim2x x x xf x ax a +++→→→===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A )2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,) 【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂,232z x x xy y ∂=--∂,2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( )(A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )TE αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆(C )2TE αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1.显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ). 7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则AB 与C 相互独立的充分必要条件是( )(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容 (C ),AB C 相互独立 (D ),AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然,AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ).8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立,所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.3(sinx dx ππ-=⎰ .解:由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰.10.差分方程122tt t y y +-=的通解为 .【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =; 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =; 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-.平均成本()1QC Q e-=+,则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)y f x y xye =.13.设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=.三、解答题15.(本题满分10分)求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33t x u u x x x x x dt e du du ++++---→→→→==== 16.(本题满分10分)计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰,其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域. 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17.(本题满分10分) 求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18.(本题满分10分) 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+,则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+,所以()g x '在(0,1)上单调减少,由于(0)0g '=,所以当(0,1)x ∈时,()0)0g x g ''<=,也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少,当(0,1)x ∈时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x ∈时,()0f x '<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<. 19.(本题满分10分)设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+,()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数(1)证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1.(2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑lim1!n n n n ρ=≤++≤=,所以收敛半径1R ≥ (2)所以对于幂级数nn n a x∞=∑, 由和函数的性质,可得11()n nn S x na x∞-='=∑,所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-.解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=,得()1xCe S x x -=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1xe S x x-=-.20.(本题满分11分)设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥.假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵.22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他. (1)求概率P Y EY ≤();(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.(1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量;(3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量122nii Znσ===∑.(3)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z .当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=。

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